# Eindexamen Wiskunde C VWO 2025 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2

## Vraag 1 – Vraag (3 punten)

3p 1 Bereken deze inflatie. Geef je antwoord in procenten in twee decimalen. In het onderzoek werd onderscheid gemaakt tussen eten thuis: voedsel dat thuis gegeten wordt, en eten buiten de deur: voedsel dat elders wordt gegeten (bijvoorbeeld in restaurants, onderweg of op het werk). We gaan er verder van uit dat vanaf 2010 de inflatie jaarlijks 2% was. Uit het onderzoek bleek dat vanaf 2010 de kosten voor eten buiten de deur inclusief de jaarlijkse inflatie ook nog stegen met een extra percentage van 0,84% per jaar. Op 1 januari 2010 betaalde je voor een Bacon Cheeseburger bij een bepaalde Amerikaanse fastfoodketen $ 4,25.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie waarin een prijs over een bepaalde periode is gestegen. Je moet de jaarlijkse groeifactor en vervolgens de inflatie in procenten berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van een groeifactor kennen en weten hoe je deze gebruikt bij exponentiële groei. Je moet ook weten hoe je een groeifactor omzet naar een percentage.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale groeifactor over een periode berekenen. Je kunt de jaarlijkse groeifactor bepalen uit een groeifactor over meerdere jaren met behulp van worteltrekken. Je kunt een groeifactor omzetten naar een percentage en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste periode gebruikt voor de groeifactor. Als de totale groei over 20 jaar is, moet je de 20e-machtswortel nemen voor de jaarlijkse groeifactor.
Rond niet te vroeg af! Gebruik voldoende decimalen bij tussenstappen om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
Vergeet niet de groeifactor om te zetten naar een percentage. Een groeifactor van 1,03036... betekent een stijging van 3,036...%.
Zorg ervoor dat je antwoord in procenten en in twee decimalen wordt gegeven, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, inflatie, samengestelde interest

Veelgemaakte fouten:
- Lineaire groei verwarren met exponentiële groei (totaal percentage delen door aantal jaar)
- Afrondingsfouten bij tussenstappen
- Vergeten de groeifactor om te zetten naar een percentage
- Niet voldoen aan de gevraagde afronding op twee decimalen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Vraag (4 punten)

4p 2 Bereken in welk jaar de prijs van dezelfde Bacon Cheeseburger volgens deze aannamen $ 7,00 zal zijn. In het onderzoek werd ook gekeken naar de totale uitgaven voor voedsel (eten thuis plus eten buiten de deur). Om deze uitgaven uit verschillende jaren met elkaar te kunnen vergelijken, werden alle bedragen omgerekend naar bedragen in 1988. Hierdoor hoeft er geen rekening gehouden te worden met inflatie. De (naar 1988 omgerekende) uitgaven voor eten thuis blijken ieder jaar hetzelfde te zijn, namelijk $ 1143. We nemen aan dat dit de komende jaren zo zal blijven. De totale uitgaven voor voedsel per persoon, omgerekend naar de bedragen in 1988, namen lineair toe van $ 1600 in 1953 tot $ 2250 in 2014.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële groeiformule moeten opstellen en oplossen. Je combineert twee groeifactoren en gebruikt deze om de tijd te berekenen die nodig is om een bepaalde prijs te bereiken.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van exponentiële groei kennen, inclusief hoe je een groeifactor berekent uit een percentage en hoe je meerdere groeifactoren combineert. Ook moet je weten hoe je een exponentiële vergelijking oplost, zowel met logaritmes als met de grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven percentages kunnen omzetten naar groeifactoren en deze correct kunnen vermenigvuldigen. Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen (N = B * g^t) en deze vergelijking kunnen oplossen voor 't' met behulp van je grafische rekenmachine of logaritmes. Tot slot moet je de berekende tijd 't' correct kunnen interpreteren om het juiste jaartal te bepalen.

Waar op letten: Je moet goed opletten hoe je twee procentuele stijgingen combineert. Denk eraan dat je groeifactoren vermenigvuldigt, niet optelt.
Zorg ervoor dat je percentages correct omzet naar groeifactoren. Een stijging van 2% is een groeifactor van 1,02, en een stijging van 0,84% is een groeifactor van 1,0084.
Rond de groeifactor niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen of sla de waarde op in je rekenmachine.
Let goed op de interpretatie van de uitkomst van 't'. Als t bijvoorbeeld 17,7 is, betekent dit dat de prijs in de loop van het 18e jaar na het startjaar de $7,00 passeert. Je moet dan het juiste jaartal bepalen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, samengestelde groei, exponentiële vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Optellen van percentages of groeifactoren (1,02 + 1,0084) in plaats van vermenigvuldigen van de groeifactoren (1,02 * 1,0084).
- Foutieve omzetting van percentage naar groeifactor, bijvoorbeeld 0,84% wordt 1,084 in plaats van 1,0084.
- Incorrect afronden van de tijd t of het verkeerd omzetten naar een jaartal. t=17,7... betekent dat de prijs de grens passeert in de loop van het 18e jaar na 2010, dus in 2027.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Vraag (4 punten)

In het onderzoek werd ook gekeken naar de totale uitgaven voor voedsel (eten thuis plus eten buiten de deur). Om deze uitgaven uit verschillende jaren met elkaar te kunnen vergelijken, werden alle bedragen omgerekend naar bedragen in 1988. Hierdoor hoeft er geen rekening gehouden te worden met inflatie.
De (naar 1988 omgerekende) uitgaven voor eten thuis blijken ieder jaar hetzelfde te zijn, namelijk $ 1143. We nemen aan dat dit de komende jaren zo zal blijven. De totale uitgaven voor voedsel per persoon, omgerekend naar de bedragen in 1988, namen lineair toe van $ 1600 in 1953 tot $ 2250 in 2014.

4p 3 Bereken in welk jaar een gemiddelde Amerikaan voor het eerst meer uitgaf voor eten buiten de deur dan voor eten thuis.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over lineaire groei in de context van financiële uitgaven. Je moet een lineair model opstellen en dit gebruiken om een specifiek jaartal te bepalen wanneer aan een bepaalde voorwaarde wordt voldaan.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire groeifactor (richtingscoëfficiënt) berekent op basis van twee punten. Je moet ook weten hoe je een lineaire vergelijking opstelt en oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt de informatie uit de tekst correct interpreteren om de constante uitgaven voor eten thuis en de lineaire toename van de totale uitgaven te onderscheiden. Je kunt een lineair model opstellen voor de totale uitgaven en dit model gebruiken om het jaar te vinden waarin de uitgaven voor eten buiten de deur die voor eten thuis overtreffen. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en afronden op het juiste moment.

Waar op letten: Lees de vraag goed: 'meer uitgaf voor eten buiten de deur dan voor eten thuis'. Dit betekent dat de uitgaven buiten de deur groter moeten zijn dan $1143. Hoe verhoudt dit zich tot de totale uitgaven?
Voorkom te vroeg afronden van de jaarlijkse toename. Gebruik de volledige waarde in je berekeningen om afrondingsfouten te minimaliseren.
Let op de eenheden: alle bedragen zijn in dollars en de tijd in jaren. Zorg dat je antwoord een jaartal is.
Controleer je berekening van de jaarlijkse toename. Een kleine fout hier kan leiden tot een significant ander eindantwoord.

Kernbegrippen: lineaire toename, lineair model opstellen, vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de voorwaarde 'meer uitgeven aan eten buiten de deur dan thuis', wat leidt tot een verkeerde drempelwaarde.
- Reken- of afrondingsfouten bij het bepalen van de jaarlijkse toename.
- Incorrect omzetten van het aantal jaar na 2014 (bijv. 3,37...) naar het juiste jaartal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Vraag (2 punten)

2p 4 Geef bij beide argumenten een berekening die het argument ondersteunt. In de Eredivisie wordt een volledige competitie gespeeld. Dit betekent dat elk team twee keer tegen elk ander team speelt – één keer thuis en één keer uit. Het totaal aantal wedstrijden in de volledige competitie noemen we \(W\) en het aantal teams in de competitie \(T\). Uit deze gegevens is af te leiden dat: \(W = T^2 - T\) In de seizoenen 1962/63 tot en met 1965/66 waren er minder teams en minder gespeelde wedstrijden dan tegenwoordig. Ook in het seizoen 2019/20 werden er minder wedstrijden gespeeld, namelijk 232. Dit kwam omdat de competitie eerder stilgelegd werd vanwege COVID-19.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je gegevens uit de vraagtekst moet gebruiken om berekeningen uit te voeren. Je zult moeten beslissen of je totalen of gemiddelden vergelijkt, afhankelijk van het argument dat je wilt ondersteunen. Je moet twee verschillende perspectieven op de data kunnen presenteren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gemiddelde berekent en hoe je een totaal aantal berekent op basis van een gemiddelde en een aantal. Je moet ook de basisprincipes van argumenteren met statistische gegevens kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de relevante informatie uit de vraagtekst te filteren. Je moet correcte berekeningen kunnen uitvoeren om zowel een 'eens' als een 'oneens' argument te ondersteunen. Je moet ook kunnen uitleggen waarom je een bepaalde berekening kiest om een specifiek argument te onderbouwen.

Waar op letten: Let goed op of je absolute aantallen (totalen) of relatieve aantallen (gemiddelden) moet vergelijken. Dit is cruciaal voor de conclusie die je trekt.
Zorg ervoor dat je beide argumenten, 'eens' en 'oneens', van een onderbouwende berekening voorziet. Eén argument is niet voldoende.
Controleer of je de juiste gegevens uit de tekst of tabel haalt voor je berekeningen, zoals het aantal wedstrijden en het aantal goals per seizoen.
Rond niet te vroeg af bij het berekenen van gemiddelden, dit kan je conclusie beïnvloeden.
Vergeet niet de context van de vraag: het gaat om het ondersteunen van argumenten, dus je berekening moet direct relevant zijn voor het standpunt.

Kernbegrippen: gemiddelde berekenen, totaal berekenen, interpreteren van statistische gegevens, argumenteren met data

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van absolute en relatieve aantallen (totaal vs. gemiddelde)
- Onvolledig antwoord geven (slechts één van de twee argumenten geven)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Vraag (3 punten)

In de Eredivisie wordt een volledige competitie gespeeld. Dit betekent dat elk team twee keer tegen elk ander team speelt – één keer thuis en één keer uit. Het totaal aantal wedstrijden in de volledige competitie noemen we W en het aantal teams in de competitie T.
Uit deze gegevens is af te leiden dat: W = T² − T
In de seizoenen 1962/63 tot en met 1965/66 waren er minder teams en minder gespeelde wedstrijden dan tegenwoordig. Ook in het seizoen 2019/20 werden er minder wedstrijden gespeeld, namelijk 232. Dit kwam omdat de competitie eerder stilgelegd werd vanwege COVID-19.
3p 5 Toon met behulp van de formule van W aan dat er met 232 wedstrijden geen volledige competitie gespeeld kan zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee variabelen. Je moet deze formule toepassen om een specifieke bewering te controleren. Dit vereist dat je de formule invult of oplost en de resultaten interpreteert in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een kwadratische vergelijking oplost, ofwel door de abc-formule toe te passen, ofwel door gebruik te maken van de grafische rekenmachine. Je moet ook begrijpen dat het aantal teams (T) altijd een geheel getal moet zijn in de context van een sportcompetitie.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule W = T² - T gebruiken. Je kunt de waarde van W invullen en de resulterende kwadratische vergelijking voor T oplossen. Je kunt ook verschillende gehele waarden voor T invullen in de formule om te zien welke W-waarden daarbij horen en hoe 232 zich daartoe verhoudt. Je kunt een logische conclusie trekken op basis van je berekeningen.

Waar op letten: Let goed op de context: het aantal teams (T) moet een geheel getal zijn. Een team kan niet 'half' zijn.
Als je de vergelijking T² - T = 232 oplost, let dan op de nauwkeurigheid van je berekening. Te vroeg afronden kan leiden tot een verkeerde conclusie.
Zorg ervoor dat je duidelijk je conclusie formuleert: waarom kan er met 232 wedstrijden géén volledige competitie gespeeld zijn?
Je kunt de vraag op twee manieren benaderen: door de vergelijking op te lossen voor T, of door waarden voor T in te vullen en te laten zien dat 232 er precies tussenin valt. Beide methoden zijn geldig, kies degene die je het meest vertrouwd is.

Kernbegrippen: kwadratische vergelijkingen, wiskundig model toepassen, gehele getallen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of afrondingsfouten bij het oplossen van de vergelijking.
- Vergeten de conclusie te trekken dat het aantal teams een geheel getal moet zijn.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Vraag (4 punten)

In het seizoen 2018/19 werden er 1061 goals gescoord.

Bij het seizoen 2019/20 staat: –346. Dit betekent dat er in dit seizoen 346 goals minder gescoord werden dan in 2018/19. Dit lijkt een enorme daling. In werkelijkheid valt dit wel mee, omdat er in het seizoen 2019/20 maar 232 wedstrijden gespeeld werden, ten opzichte van 306 in de andere jaren.

De uitspraak “Zorgelijke trend: steeds minder goals in de Eredivisie” zegt dat er een afname is in het aantal goals, maar niet of deze afname toenemend, constant of afnemend is. Om het aantal goals in de verschillende seizoenen eerlijk met elkaar te kunnen vergelijken, berekenen we hoeveel goals er in het seizoen 2019/20 gescoord zouden zijn als er in dat seizoen niet 232 maar 306 wedstrijden gespeeld zouden zijn. We nemen daarbij aan dat in dat seizoen het aantal goals recht evenredig is met het aantal gespeelde wedstrijden. Hierdoor zullen de waardes in de tabel bij de seizoenen 2019/20 en 2020/21 veranderen.

6 Onderzoek of er op basis van deze veranderde waarden sprake was van een toenemende, constante of afnemende daling van het aantal goals in de seizoenen 2020/21 tot en met 2021/22.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je eerst de absolute aantallen goals per seizoen moet berekenen op basis van de startwaarde en de veranderingen in de tabel. Daarna pas je een correctie toe voor één specifiek seizoen, waarbij je gebruikmaakt van het concept van recht evenredigheid. Tot slot vergelijk je de veranderingen om een trend te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je absolute waarden berekent op basis van een startwaarde en opeenvolgende veranderingen. Je moet ook het concept van recht evenredigheid kennen en hoe je dit toepast om een waarde te extrapoleren. Daarnaast moet je in staat zijn om een trend (toenemend, constant, afnemend) te herkennen uit een reeks getallen die een verandering weergeven.

Wat moet je kunnen: Je moet de tekst nauwkeurig kunnen lezen en de relevante informatie eruit filteren. Je moet de tabel correct kunnen interpreteren om de aantallen goals per seizoen te bepalen. Je moet een verhouding kunnen opstellen en berekenen om de correctie voor het seizoen 2019/20 uit te voeren. Tot slot moet je de berekende dalingen met elkaar kunnen vergelijken en de juiste conclusie trekken over de trend.

Waar op letten: Let goed op de startwaarde: het aantal goals in 2018/19 is 1061. Alle andere aantallen goals bereken je hieruit door de toenames/afnames uit de tabel toe te passen.
Vergeet niet de correctie toe te passen voor het seizoen 2019/20. Je moet het aantal goals in dat seizoen 'opschalen' naar 306 wedstrijden, uitgaande van recht evenredigheid.
Wees zorgvuldig met het berekenen van de absolute aantallen goals voor elk relevant seizoen (2019/20, 2020/21, 2021/22) na de correctie.
Interpreteer 'toenemende, constante of afnemende daling' correct. Een daling van -45 is een grotere daling dan -23, wat betekent dat de daling toeneemt.

Kernbegrippen: recht evenredig verband, verandering berekenen, trendanalyse

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het aantal goals voor seizoen 2019/20 te extrapoleren van 232 naar 306 wedstrijden.
- Reken- of overnamefouten bij het bepalen van de absolute aantallen goals per seizoen op basis van de veranderingen.
- Verkeerde interpretatie van 'toenemende daling': een daling van -45 is een grotere daling dan -23, wat duidt op een toename van de daling.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Vraag (4 punten)

In het seizoen 2018/19 was de wedstrijd Heracles Almelo - Excelsior de wedstrijd met de meeste goals: de einduitslag was 4-5 na een ruststand van 1-2.
Bereken hoeveel verschillende scoreverlopen er mogelijk zijn voor een wedstrijd met als einduitslag 4-5 en een ruststand van 1-2.

Wat kun je verwachten: Je zult een telprobleem moeten oplossen waarbij de volgorde van de gebeurtenissen (goals) van belang is, maar de specifieke 'wie scoort wanneer' binnen een reeks goals van één team niet. Je moet het probleem opdelen in logische stappen en de resultaten combineren.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van telproblemen kennen, in het bijzonder hoe je combinaties gebruikt. Je moet ook de vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen beheersen.

Wat moet je kunnen: Je moet een complex telprobleem kunnen opdelen in kleinere, behapbare delen. Je moet het aantal manieren kunnen berekenen waarop een bepaalde score kan worden bereikt, zowel voor de rust als na de rust. Vervolgens moet je deze aantallen correct kunnen combineren om tot het totale aantal scoreverlopen te komen.

Waar op letten: Let goed op de splitsing van de wedstrijd: eerst de periode tot de ruststand, daarna de periode van de ruststand tot de einduitslag. Dit zijn twee aparte berekeningen die je vervolgens moet combineren.
Zorg ervoor dat je het juiste aantal goals voor elk team in elk deel van de wedstrijd bepaalt. Trek de ruststand af van de einduitslag om de goals in de tweede helft te vinden.
Denk goed na of je permutaties of combinaties moet gebruiken. Hier gaat het om het verdelen van 'wie scoort' over een vast aantal goals, wat duidt op combinaties.
Vergeet niet de vermenigvuldigingsregel toe te passen: het aantal mogelijkheden voor de eerste helft vermenigvuldig je met het aantal mogelijkheden voor de tweede helft, je telt ze niet op.

Kernbegrippen: combinaties, vermenigvuldigingsregel, telprobleem

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het aantal scoreverlopen voor de eerste helft (ruststand) te berekenen.
- De mogelijkheden voor de eerste en tweede helft optellen in plaats van vermenigvuldigen.
- Een foute berekening van het aantal goals in de tweede helft (eindstand minus ruststand).
- Permutaties gebruiken in plaats van combinaties.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Vraag (3 punten)

3p 8 Beredeneer met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage welke perspectieftekening (A, B of C) het beste bij de Wilhelminatrap past. Er bestaan verschillende trappen en niet alle trappen lopen even gemakkelijk. Dit heeft onder andere te maken met: – de optrede o: dit is de verticale lengte van een traptrede in cm; – de aantrede a: dit is de horizontale lengte van een traptrede in cm; – de helling h: de richtingscoëfficiënt van de 'raaklijn' aan de trap. Zie figuur 1. Er geldt h = (o)/(a) en dan volgt: h · a = o (formule 1) figuur 1 optrede aantrede y 'raaklijn' x Er zijn drie typen trappen, afhankelijk van de helling. Zie de tabel. tabel steile trap helling groter of gelijk aan 1 normale trap helling tussen 0,58 en 1 luie trap helling kleiner of gelijk aan 0,58

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over perspectieftekenen, waarbij je een keuze moet maken uit meerdere opties op basis van een foto en de principes van perspectief. Je moet je antwoord beargumenteren.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van perspectieftekenen kennen, met name de relatie tussen het verdwijnpunt, de horizon en de kijkrichting. Je moet ook weten hoe objecten die in de verte verdwijnen, worden weergegeven.

Wat moet je kunnen: Je moet een foto kunnen analyseren op perspectivische kenmerken. Je moet de principes van perspectief kunnen toepassen om een redenering op te bouwen en een conclusie te trekken. Je moet ook de gegeven tekeningen kunnen interpreteren en vergelijken met de werkelijkheid.

Waar op letten: Let goed op de richting waarin de trap smaller wordt en wat dit betekent voor het verdwijnpunt.
Bedenk waar de horizon zich bevindt ten opzichte van het verdwijnpunt als je omhoog kijkt.
Vergelijk de kenmerken van de Wilhelminatrap (zoals het smaller worden naar boven toe) zorgvuldig met de visuele kenmerken van de perspectieftekeningen A, B en C.
Zorg dat je je redenering duidelijk en logisch opbouwt, stap voor stap uitleggend waarom een bepaalde tekening het beste past.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, horizon

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd plaatsen van het verdwijnpunt ten opzichte van de horizon (bijvoorbeeld erop of erboven).
- Niet gebruiken van de informatie dat de trap naar boven toe smaller wordt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Vraag (3 punten)

3p 9 Bereken de mogelijke aantreden van een normale trap met een optrede van 20 cm. Geef je antwoord in gehelen.

Wat kun je verwachten: Je moet de gegeven informatie over trappen en de formule h = o/a gebruiken om de mogelijke aantreden van een normale trap te berekenen, gegeven een specifieke optrede. Je zult een ongelijkheid moeten opstellen en oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een 'normale trap' kennen, zoals beschreven in de bijlage. Je moet ook weten hoe je een formule kunt omvormen en hoe je met ongelijkheden rekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule h = o/a omzetten naar een formule voor 'a'. Je kunt de gegeven optrede invullen en de grenzen van de helling voor een normale trap toepassen om een ongelijkheid voor de aantrede op te stellen. Vervolgens kun je deze ongelijkheid oplossen en het antwoord in gehele getallen geven.

Waar op letten: Let goed op de definitie van een 'normale trap': de helling ligt 'tussen' 0,58 en 1. Dit betekent dat de grenzen (0,58 en 1) er niet bij horen in de ongelijkheid voor de helling zelf.
Zorg ervoor dat je de formule h = o/a correct omvormt naar een uitdrukking voor 'a' voordat je de waarden invult. Een fout hierin leidt tot een omgekeerde ongelijkheid.
Rond niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen tijdens je berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen, vooral bij het bepalen van de grenzen voor de aantrede.
Het antwoord moet in gehele getallen worden gegeven. Dit betekent dat je na het berekenen van de numerieke grenzen voor de aantrede, de kleinste en grootste gehele getallen binnen dit interval moet bepalen.

Kernbegrippen: lineaire verbanden, ongelijkheden oplossen, rekenen met formules

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect interpreteren van 'tussen 0,58 en 1' (grenzen horen er niet bij)
- Vergeten dat het antwoord in gehele getallen gegeven moet worden
- Afrondingsfouten of het incorrect bepalen van de integer-range uit de berekende grenzen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Vraag (5 punten)

5p 10 Bereken wat de maximale lengte van één horizontaal plateau zou moeten zijn, zodat alle trapdelen nog net in de categorie luie trap vallen. Geef je antwoord in gehele cm. Voor trappen binnenshuis geldt dat deze vaak steiler zijn dan trappen buiten (zoals bijvoorbeeld de Wilhelminatrap). Voor een trap binnenshuis geldt meestal een helling van 0,76. Om een trap met zo weinig mogelijk energie te betreden bedacht de Franse architect François Blondel (al in de 17e eeuw) de volgende formule: \(2o + a = 63\) (formule 2) Hierin is \(o\) de optrede in cm en \(a\) de aantrede in cm. Met behulp van formule 1 en formule 2 én een helling van 0,76 kunnen de optrede en aantrede van een zo efficiënt mogelijk te betreden trap berekend worden.

Wat kun je verwachten: Je zult de totale horizontale lengte van de trap moeten bepalen met behulp van de Stelling van Pythagoras. Daarna zul je de eigenschappen van een 'luie trap' moeten toepassen om de maximale aantrede per trapdeel te vinden. Vervolgens bereken je de totale lengte van alle aantreden en trek je dit af van de totale horizontale lengte om de totale lengte van de plateaus te vinden. Ten slotte verdeel je dit over het aantal plateaus en rond je af naar gehele centimeters.

Wat moet je kennen: Je moet de Stelling van Pythagoras kennen en kunnen toepassen. Je moet ook weten hoe je een helling (o/a) interpreteert en hoe je eenheden omrekent (meters naar centimeters). Daarnaast moet je de informatie uit de tabel en figuren correct kunnen interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale horizontale lengte van de trap berekenen. Je kunt de definitie van een 'luie trap' uit de tabel gebruiken om de maximale aantrede per trapdeel te bepalen. Je kunt de totale lengte van de aantreden berekenen en deze aftrekken van de totale horizontale lengte. Je kunt het resultaat correct verdelen over het aantal plateaus en je antwoord in de juiste eenheid en nauwkeurigheid geven.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de schuine lengte (248 m) en de horizontale lengte van de trap. Je moet de horizontale lengte eerst berekenen met de Stelling van Pythagoras.
Controleer zorgvuldig het aantal trapdelen (22) en het aantal plateaus (21). Dit is cruciaal voor de juiste verdeling.
Voorkom tussentijds afronden. Gebruik de onafgeronde waarden in je rekenmachine om afrondingsfouten te minimaliseren. Rond pas aan het einde af naar gehele centimeters.
Let op de eenheden. De gegeven afmetingen zijn in meters, maar het antwoord moet in gehele centimeters. Vergeet niet om te rekenen.

Kernbegrippen: stelling van Pythagoras, helling, richtingscoëfficiënt, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van schuine lengte met horizontale lengte
- Foutief aantal plateaus (22 i.p.v. 21)
- Afrondingsfouten door tussentijds afronden
- Vergeten om te rekenen van meters naar centimeters

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Vraag (4 punten)

Voor trappen binnenshuis geldt dat deze vaak steiler zijn dan trappen buiten (zoals bijvoorbeeld de Wilhelminatrap). Voor een trap binnenshuis geldt meestal een helling van 0,76. Om een trap met zo weinig mogelijk energie te betreden bedacht de Franse architect François Blondel (al in de 17e eeuw) de volgende formule:
2o + a = 63 (formule 2)
Hierin is o de optrede in cm en a de aantrede in cm.
Met behulp van formule 1 en formule 2 én een helling van 0,76 kunnen de optrede en aantrede van een zo efficiënt mogelijk te betreden trap berekend worden.
Bereken de optrede en de aantrede van deze trap.

Wat kun je verwachten: Je zult een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden moeten opstellen en oplossen. Dit doe je door de gegeven helling te gebruiken in de eerste formule en deze vervolgens te combineren met de tweede formule.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een stelsel van vergelijkingen oplost, bijvoorbeeld met de substitutiemethode. Ook moet je de betekenis van 'optrede', 'aantrede' en 'helling' begrijpen zoals die in de context van de vraag worden gedefinieerd.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven helling correct invullen in formule 1. Je kunt vervolgens formule 1 en formule 2 combineren tot één vergelijking met één onbekende. Je kunt deze vergelijking algebraïsch oplossen en daarna de waarde van de andere variabele berekenen. Vergeet niet de eenheden (cm) bij je antwoord te vermelden.

Waar op letten: Let goed op welke variabele 'o' is en welke 'a' is, en verwissel deze niet. De vraagtekst definieert ze expliciet.
Zorg ervoor dat je de helling van 0,76 correct invult in formule 1 (h ⋅ a = o).
Voer de algebraïsche stappen zorgvuldig uit om rekenfouten te voorkomen, vooral bij het oplossen van de vergelijking na substitutie.
Nadat je één variabele (bijvoorbeeld 'a') hebt gevonden, moet je niet vergeten de andere variabele ('o') ook te berekenen. De vraag vraagt om beide.
Controleer of je antwoorden logisch zijn binnen de context van een trap (positieve waarden).

Kernbegrippen: stelsel van vergelijkingen oplossen, substitutiemethode

Veelgemaakte fouten:
- Variabelen o en a verwisselen
- Reken- of algebrafout bij het oplossen
- Vergeten de tweede variabele uit te rekenen na het vinden van de eerste

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Vraag (5 punten)

5p 12 Bereken of hier sprake is van een steile, normale of luie trap.

Wat kun je verwachten: Je zult verschillende gegevens uit de tekst en figuren moeten combineren. Je berekent eerst de optrede per trede en daarna de aantrede per trede. Hiervoor gebruik je de formule voor de omtrek van een cirkel en verhoudingen. Uiteindelijk deel je de optrede door de aantrede om de helling te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de omtrek van een cirkel berekent (omtrek = 2πr). Je moet ook weten hoe je een deel van een cirkelboog berekent als je de hoek en de straal kent. Daarnaast moet je de definitie van 'optrede', 'aantrede' en 'helling' van een trap kennen, en de criteria voor een steile, normale of luie trap (deze criteria zijn vaak gegeven in een eerdere vraag of context).

Wat moet je kunnen: Je kunt informatie uit verschillende bronnen (tekst, figuren) halen en deze correct interpreteren. Je kunt eenheden omrekenen (bijvoorbeeld meters naar centimeters). Je kunt de straal voor de aantrede correct bepalen door rekening te houden met het midden van de trede. Je kunt de totale booglengte van de draai van de trap berekenen en deze verdelen over het aantal treden. Tot slot kun je de helling berekenen en een conclusie trekken op basis van de berekende waarde.

Waar op letten: Let goed op de eenheden! De hoogte is in meters, diameters in meters en centimeters, en de breedte van de trede in centimeters. Zorg ervoor dat je alles naar dezelfde eenheid omrekent (bijvoorbeeld centimeters) voordat je gaat rekenen.
De aantrede wordt gedefinieerd als de lengte van de cirkelboog die precies door het midden van een trede loopt. Zorg ervoor dat je de straal voor deze middellijn correct berekent, niet de binnen- of buitenstraal.
De trap maakt een draai van 190 graden en heeft 12 treden. Je moet de totale booglengte van de draai over 12 treden verdelen om de aantrede van één trede te vinden.
Rond niet te vroeg af! Gebruik tussenresultaten met voldoende decimalen in je berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen. Rond pas aan het einde van de berekening af voor je uiteindelijke antwoord.
De vraag vraagt om een conclusie over het type trap (steil, normaal of lui). Zorg ervoor dat je de berekende helling vergelijkt met de gegeven criteria (die je uit de context moet halen) en een duidelijke conclusie formuleert.

Kernbegrippen: geometrie, omtrek cirkel, verhoudingen, helling berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Eenheden door elkaar halen (meters en centimeters).
- Verkeerd berekenen van de straal voor de aantrede (niet het midden van de trede nemen).
- Vergeten de totale booglengte te delen door het aantal treden.
- De definitie van steile/normale/luie trap niet kennen (gegeven in een eerdere, niet meegeleverde vraag).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Vraag (2 punten)

2p 13 Licht dat toe. Voor het vervolg van de opgave voeren we de volgende notaties in: – \(S_n\) betekent 'de speler pakt \(n\) knikkers' – \(D_n\) betekent 'Dr. Nim pakt \(n\) knikkers' – \(W\) betekent 'de speler kan winnen' Bij dit spel met 12 knikkers is de strategie van Dr. Nim als volgt: Als de speler 1 knikker pakt, dan pakt Dr. Nim 3 knikkers; als de speler 2 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 2 knikkers; als de speler 3 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 1 knikker.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je de spelregels en de strategie van Dr. Nim nauwkeurig moet toepassen. Je zult logisch moeten redeneren om aan te tonen waarom de speler niet kan winnen, door alle mogelijke scenario's te doorlopen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen en hoe je een strategie analyseert. Je moet ook de notaties die in de vraag worden gegeven, correct kunnen interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de tekst goed te begrijpen en de informatie te structureren. Je moet een duidelijke en volledige redenering kunnen opbouwen die alle mogelijke zetten van de speler omvat en de gevolgen daarvan voor het spelverloop.

Waar op letten: Je moet goed letten op de notaties die worden geïntroduceerd, zoals \(S_n\) en \(D_n\), om de strategie correct te begrijpen.
Je moet alle mogelijke zetten van de speler (1, 2 of 3 knikkers pakken) afzonderlijk bekijken en voor elk scenario de reactie van Dr. Nim analyseren.
Je moet duidelijk uitleggen waarom Dr. Nim in elk van die scenario's de winnende zet kan doen, gebaseerd op het aantal knikkers dat overblijft.
Je moet een sluitende redenering geven die laat zien dat de speler, ongeacht zijn zet, altijd in een verliezende positie terechtkomt.

Kernbegrippen: logisch redeneren, speltheorie, winnende strategie

Veelgemaakte fouten:
- Onvolledige redenering
- Niet alle scenario's (speler pakt 1, 2 of 3) behandelen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Vraag (4 punten)

Voor het vervolg van de opgave voeren we de volgende notaties in:
– S_n betekent 'de speler pakt n knikkers'
– D_n betekent 'Dr. Nim pakt n knikkers'
– W betekent 'de speler kan winnen'

Bij dit spel met 12 knikkers is de strategie van Dr. Nim als volgt:

Als de speler 1 knikker pakt, dan pakt Dr. Nim 3 knikkers;
als de speler 2 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 2 knikkers;
als de speler 3 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 1 knikker.

4p 14 Vertaal elk van de drie stappen van deze strategie, gebruikmakend van de bovenstaande notaties, in logische symbolen en leg uit waarom deze strategie altijd tot winst voor Dr. Nim zal leiden.

Wat kun je verwachten: Je zult de gegeven zinnen moeten omzetten naar logische implicaties (als... dan...). Daarna moet je een duidelijke redenering opbouwen waarom Dr. Nim altijd wint, door te kijken naar het totale aantal knikkers dat per ronde (speler + Dr. Nim) wordt gepakt.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van logische symbolen zoals '⇒' (impliceert) kennen. Ook moet je strategisch kunnen denken over het aantal knikkers dat overblijft na elke beurt.

Wat moet je kunnen: Je moet de 'als... dan...' structuur van de strategie correct kunnen vertalen naar logische symbolen. Je moet ook een logische redenering kunnen opzetten en uitleggen waarom de strategie van Dr. Nim leidt tot een gegarandeerde overwinning, door het aantal knikkers te volgen.

Waar op letten: Let goed op de notaties die zijn gegeven (S_n, D_n, W) en gebruik deze consistent in je antwoord.
Zorg ervoor dat je de 'als... dan...' relatie correct weergeeft met het juiste logische symbool (⇒). Gebruik geen '=' of andere symbolen.
Vergeet niet beide delen van de vraag te beantwoorden: zowel de vertaling als de uitleg van de winnende strategie.
Bouw je redenering stap voor stap op, door te laten zien hoeveel knikkers er na elke gecombineerde beurt (speler + Dr. Nim) overblijven.

Kernbegrippen: logische implicatie, strategisch redeneren

Veelgemaakte fouten:
- Onvolledige redenering (niet doorredeneren tot 4 knikkers)
- Incorrecte logische notatie (bv. = i.p.v. ⇒)
- Alleen de vertaling geven en de uitleg vergeten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 16 – Vraag (3 punten)

3p 16 Bereken de tijd die Myrthe in november 2022 zwom. Geef je antwoord in seconden in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin je bekende waarden invult. Vervolgens los je de vergelijking op om de onbekende variabele (de tijd) te vinden. Je moet je antwoord in seconden en in twee decimalen geven.

Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formule kennen en weten hoe je deze correct invult met de juiste waarden uit de opgave. Je moet ook weten hoe je een vergelijking met een kwadraat en een breuk algebraïsch oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule correct invullen. Je kunt de vergelijking stap voor stap omvormen om de onbekende variabele te isoleren. Je kunt correct omgaan met kwadraten en wortels. Je kunt je eindantwoord correct afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Controleer goed welke variabele je moet berekenen en welke waarden je moet invullen. Lees de vraag zorgvuldig om te zien welke gegevens je nodig hebt.
Let op de volgorde van bewerkingen bij het oplossen van de vergelijking, vooral bij het kwadraat en de breuk. Een veelvoorkomende fout is het kwadraat verkeerd toepassen of de breuk niet correct omvormen.
Rond pas af bij de laatste stap. Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord. Gebruik de volledige waarden in je rekenmachine tot het einde.
Zorg ervoor dat je antwoord in de gevraagde eenheid (seconden) en met het juiste aantal decimalen (twee) wordt gegeven. Dit is een expliciete eis in de vraag.

Kernbegrippen: formules, vergelijking oplossen, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- Onjuist omvormen van de formule, bijvoorbeeld de kwadraat of de breuk verkeerd behandelen.
- Afrondingsfouten tijdens tussenstappen.
- Vergeten het antwoord in het gevraagde aantal decimalen te geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Vraag (3 punten)

In formule 1 worden o en n als losse variabelen gebruikt, maar vooral de verhouding r = n/o is van belang. Er geldt:
- Als 0 < r < 1, dan is er sprake van een verbetering van het persoonlijk record.
- Als r ≥ 1, dan is er geen verbetering van het persoonlijk record.

Formule 1 kan worden herschreven tot S_{sw} = 100/r² (formule 2).

Er kan ook een alternatieve Swimrankingsscore worden bepaald. Daarbij hoort de volgende formule:
S_{alt} = 200 - 100r (formule 3)

Hierin is S_{alt} de alternatieve Swimrankingsscore en r = n/o (met o het oude persoonlijke record in seconden en n de gezwommen tijd in seconden).

17 Onderzoek of het mogelijk is dat formule 2 en formule 3 dezelfde uitkomst geven, als een zwemmer zijn persoonlijk record niet verbeterd heeft.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je twee formules aan elkaar gelijkstelt en de resulterende vergelijking moet oplossen. De context is een sportprestatie, maar de kern van de vraag is algebraïsch. Je moet ook een voorwaarde (niet verbeterd persoonlijk record) meenemen in je conclusie.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je algebraïsche vergelijkingen oplost, zowel handmatig als met je grafische rekenmachine. Je moet ook de betekenis van de variabele 'r' en de voorwaarde 'niet verbeterd' begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de twee gegeven formules aan elkaar gelijkstellen. Je kunt de vergelijking 100/r² = 200 - 100r oplossen. Je kunt de gevonden oplossingen voor r interpreteren in de context van de vraag, met name de voorwaarde r ≥ 1.

Waar op letten: Let goed op de voorwaarde 'een zwemmer zijn persoonlijk record niet verbeterd heeft'. Dit betekent dat je alleen oplossingen voor r mag accepteren waarvoor geldt r ≥ 1.
Wees zorgvuldig met de algebraïsche stappen bij het oplossen van de vergelijking. Een veelvoorkomende fout is het vermenigvuldigen met r² zonder alle termen mee te nemen.
Als je de grafische rekenmachine gebruikt, zorg dan dat je een passend window instelt, vooral voor de x-as (r-waarde), zodat je de snijpunten goed kunt zien en vinden.
Rond niet te vroeg af als je met decimalen werkt. Gebruik de volledige precisie van je rekenmachine totdat je bij het eindantwoord bent.

Kernbegrippen: Vergelijkingen oplossen, Modelanalyse, Algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- De voorwaarde 'niet verbeterd' (r ≥ 1) vergeten te controleren voor de gevonden oplossingen.
- Moeite met het oplossen van de vergelijking, bijvoorbeeld door algebraïsche fouten of onjuist gebruik van de grafische rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Vraag (4 punten)

In formule 1 worden o en n als losse variabelen gebruikt, maar vooral de verhouding r = n/o is van belang. Er geldt:
- Als 0 < r < 1, dan is er sprake van een verbetering van het persoonlijk record.
- Als r ≥ 1, dan is er geen verbetering van het persoonlijk record.
Formule 1 kan worden herschreven tot S_sw = 100/r² (formule 2).
Er kan ook een alternatieve Swimrankingsscore worden bepaald. Daarbij hoort de volgende formule:
S_alt = 200 - 100r (formule 3)
Hierin is S_alt de alternatieve Swimrankingsscore en r = n/o (met o het oude persoonlijke record in seconden en n de gezwommen tijd in seconden).

Gegeven zijn de volgende twee beweringen:
1 De uitkomsten van S_sw en S_alt zijn altijd positief.
2 Als er gerekend wordt met S_alt in plaats van S_sw, dan kun je nooit een Swimrankingsscore van 287,7 halen.

4p 18 Geef van beide beweringen aan of ze wel of niet waar zijn. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee beweringen voorgelegd over de formules voor Swimrankingscores. Je moet voor elke bewering bepalen of deze waar of niet waar is en je antwoord duidelijk toelichten met een redenering of berekening.

Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formules kunnen interpreteren en de betekenis van de variabelen, met name r = n/o, begrijpen. Je moet ook weten dat tijden (o en n) altijd positief zijn, en dus ook hun verhouding r.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formules gebruiken om waarden te controleren of vergelijkingen op te lossen. Je kunt logisch redeneren over het domein en bereik van de functies, rekening houdend met de context van de variabelen. Je kunt een duidelijke toelichting geven bij je conclusies.

Waar op letten: Let goed op de definitie van r = n/o. Omdat n en o tijden zijn, zijn ze altijd positief. Dit betekent dat r altijd positief moet zijn (r > 0).
Voor bewering 1 moet je nagaan of S_sw en S_alt onder alle realistische omstandigheden (dus voor alle mogelijke waarden van r > 0) positief blijven. Denk hierbij aan extreme waarden van r.
Voor bewering 2 moet je de gegeven score gelijkstellen aan de formule voor S_alt en de vergelijking oplossen naar r. Controleer daarna of de gevonden waarde van r realistisch is (dus r > 0).
Zorg ervoor dat je toelichting helder en volledig is. Een simpele 'ja' of 'nee' zonder onderbouwing levert geen punten op.

Kernbegrippen: Analyse van functies, Domein en bereik, Lineaire vergelijking oplossen, Modelkritiek

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de variabele r (verhouding van tijden) altijd positief moet zijn.
- Niet alle mogelijke waarden voor r overwegen, bijvoorbeeld r > 2 voor bewering 1.
- Een rekenfout maken bij het oplossen van de vergelijking voor bewering 2.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Vraag (3 punten)

3p 19 Bereken de waarde van \(g\) in vijf decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële vergelijking moeten opstellen en oplossen. Je vult de gegeven waarden in het model in en herleidt de vergelijking om de onbekende groeifactor te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in het model kennen (C is concentratie, t is tijd, g is groeifactor). Je moet ook weten hoe je een exponentiële vergelijking van de vorm a = b^x oplost door de x-de-machtswortel te trekken.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste waarden uit de vraag en de bijlagen kunnen halen en deze correct in het model kunnen invullen. Je moet algebraïsche stappen kunnen uitvoeren om de vergelijking te herleiden en de groeifactor te isoleren. Tot slot moet je je grafische rekenmachine kunnen gebruiken om de n-de-machtswortel te berekenen en correct kunnen afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Je moet goed opletten dat je de juiste waarde voor 't' gebruikt. 't' is de tijd in jaren sinds 1 januari 1800. Als de concentratie in 2002 wordt gegeven, is 't' dus 2002 - 1800.
Je moet de vergelijking stap voor stap oplossen. Begin met het isoleren van de term met 'g^t' voordat je de machtswortel trekt.
Je moet de groeifactor 'g' in vijf decimalen nauwkeurig afronden, zoals gevraagd in de vraag. Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.
Je moet controleren of je de correcte bewerking uitvoert om de groeifactor te vinden. Dit is de t-de-machtswortel, niet delen door t.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, exponentiële vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte waarde voor t gebruiken, bijvoorbeeld 2002 in plaats van 202 (2002 - 1800).
- Vergeten de 280 van 370 af te trekken voordat de machtsverheffing wordt opgelost.
- Afronden op een incorrect aantal decimalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Ratio (3 punten)

3p 20 Bereken in welk jaar de concentratie \(\text{CO}_2\) verdubbeld zal zijn ten opzichte van de natuurlijke concentratie. Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De formule \(C = 280 + 1,0225^t\) benadert deze stijging.

Wat kun je verwachten: Je zult een vergelijking moeten opstellen op basis van de gegeven formule en de vraagstelling. Vervolgens los je deze vergelijking op en interpreteer je de uitkomst in de context van het probleem.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een exponentiële vergelijking opstelt en oplost. Ook moet je begrijpen wat 'verdubbeling' betekent in de context van de gegeven formule en wat de variabelen C en t voorstellen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule correct toepassen. Je kunt de natuurlijke concentratie identificeren en de verdubbelde concentratie berekenen. Je kunt een exponentiële vergelijking oplossen met behulp van je grafische rekenmachine of logaritmen. Tot slot kun je het berekende aantal jaren omzetten naar een specifiek jaar.

Waar op letten: Let goed op de 'natuurlijke concentratie'. Dit is niet de startwaarde van de exponentiële term, maar de constante in de formule (280 ppm). De verdubbeling slaat op deze natuurlijke concentratie.
De formule is C = 280 + 1,0225^t. De 'groeifactor' is hier 1,0225, maar let op dat de 280 erbij opgeteld wordt. Dit is geen standaard exponentiële groeiformule C = C₀ * g^t.
Vergeet niet dat t = 0 overeenkomt met 1 januari 1800. Als je een waarde voor t vindt, moet je deze bij 1800 optellen om het uiteindelijke jaar te bepalen.
Rond niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen tijdens je berekeningen om een nauwkeurig eindantwoord te krijgen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, exponentiële vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde vergelijking opstellen, bijvoorbeeld C = 2 * 280 in plaats van 280 + g^t = 2 * 280.
- Vergeten het berekende aantal jaren (t) op te tellen bij het startjaar 1800.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Ratio (4 punten)

4p 21 Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie \(\text{CO}_2\) met (ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter totdat de volgende 10% stijging van de concentratie \(\text{CO}_2\) werd gemeten. Bereken hoeveel gehele jaren hiervoor nodig waren. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. einde

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële formule moeten gebruiken om concentraties op verschillende tijdstippen te berekenen. Daarna moet je een nieuwe concentratiewaarde bepalen na een procentuele toename en vervolgens de bijbehorende tijd berekenen door een vergelijking op te lossen met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor exponentiële groei kennen en hoe je procentuele veranderingen toepast (bijvoorbeeld een toename van 10% is vermenigvuldigen met 1,10). Je moet ook weten hoe je een exponentiële vergelijking oplost met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je kunt de concentratie CO₂ berekenen voor een gegeven aantal jaren (t). Je kunt een procentuele toename correct toepassen op een gegeven waarde. Je kunt een vergelijking van de vorm C = 280 + 1,0225ᵗ = 'doelwaarde' oplossen voor 't' met je GR. Tot slot kun je het verschil in jaren berekenen en correct afronden naar een geheel aantal jaren.

Waar op letten: Let goed op de basis voor de procentuele toename: de 10% stijging is ten opzichte van de concentratie op dat specifieke moment (na 150 jaar), niet ten opzichte van de beginconcentratie in 1800.
Rond niet tussentijds af. Gebruik de volledige waarden die je GR geeft om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
De vraag vraagt om 'gehele jaren'. Dit betekent dat je aan het einde van je berekening correct moet afronden naar boven als er een deel van een jaar nodig is.
Vergeet niet dat de variabele 't' staat voor het aantal jaren sinds 1800. Als je de duur van een periode berekent, moet je het verschil nemen tussen de eind-t en de begin-t.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, procentuele toename, vergelijking oplossen met GR

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde basis voor procentuele toename (280 ppm i.p.v. de waarde na 150 jaar)
- Vergeten de 150 jaar af te trekken van het eindresultaat
- Afrondingsfouten door tussentijds afronden
- Foutieve berekening van de nieuwe concentratie (bv. +0,10 i.p.v. x1,10)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-2/vraag/21

## Vragen in dit examen

### Vraag 15 – Vraag

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee beweringen in formele logische notatie met connectieven zoals conjunctie, disjunctie, negatie en implicatie. Je vertaalt deze formules eerst naar helder Nederlands en beargumenteert vervolgens stap voor stap of de bewering waar of onwaar is op basis van de spelregels.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis kennen van de logische operatoren: ∧ ('en'), ∨ ('of'), ¬ ('niet') en de implicatie ⇒ ('als ..., dan ...'). Daarnaast moet je de achterliggende winnende strategie van het spel Nim paraat hebben (op welk aantal knikkers je de tegenspeler moet achterlaten om winst af te dwingen).

Wat moet je kunnen: Je vertaalt logische formules foutloos naar een vlot lopende Nederlandse 'als-dan'-zin. Vervolgens tel je per beurt het aantal gepakte knikkers en redeneer je welk aantal knikkers er op tafel blijft liggen, om te bepalen wie vanaf dat moment een winnende strategie kan hanteren.

Waar op letten: Verwar het 'en'-symbool (∧) niet met het 'of'-symbool (∨) bij het uitschrijven van de Nederlandse zin.
Formuleer een implicatie (⇒) altijd als een duidelijke voorwaardelijke zin: 'Als [antecedent], dan [consequent]'.
Besteed aandacht aan de negatie (¬): vertaal ¬ T_3 expliciet als 'niet 3 knikkers' (dus 1 of 2 knikkers) en ¬ W als 'de speler wint niet' of 'de speler verliest'.
Vergeet bij de onderbouwing niet om beide stappen te noemen: tel exact hoeveel knikkers er na de zetten overblijven én leg uit welke zet daarna de winst of het verlies bezegelt.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2025
tijdvak 2
woensdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-25-2-o

### Pagina 2

Eten buiten de deur

Prijzen van producten, waaronder die van voedsel, stijgen elk jaar met
een bepaald percentage. We noemen dat percentage inflatie.

In 2020 werd een onderzoek naar de kosten van voedsel in de Verenigde
Staten gepubliceerd. Volgens het onderzoek gaf in 1988 een gemiddelde
Amerikaan $ 1143 per jaar uit aan eten thuis en steeg dit bedrag door
inflatie tot $ 2079 in 2008. Neem aan dat tussen 1988 en 2008 de inflatie
ieder jaar hetzelfde was.

3p 1 Bereken deze inflatie. Geef je antwoord in procenten in twee decimalen.

In het onderzoek werd onderscheid gemaakt tussen eten thuis: voedsel
dat thuis gegeten wordt, en eten buiten de deur: voedsel dat elders
wordt gegeten (bijvoorbeeld in restaurants, onderweg of op het werk).

We gaan er verder van uit dat vanaf 2010 de inflatie jaarlijks 2% was.
Uit het onderzoek bleek dat vanaf 2010 de kosten voor eten buiten de
deur inclusief de jaarlijkse inflatie ook nog stegen met een extra
percentage van 0,84% per jaar.

Op 1 januari 2010 betaalde je voor een Bacon Cheeseburger bij een
bepaalde Amerikaanse fastfoodketen $ 4,25.

4p 2 Bereken in welk jaar de prijs van dezelfde Bacon Cheeseburger volgens
deze aannamen $ 7,00 zal zijn.

In het onderzoek werd ook gekeken naar de totale uitgaven voor voedsel
(eten thuis plus eten buiten de deur). Om deze uitgaven uit verschillende
jaren met elkaar te kunnen vergelijken, werden alle bedragen omgerekend
naar bedragen in 1988. Hierdoor hoeft er geen rekening gehouden te
worden met inflatie.

De (naar 1988 omgerekende) uitgaven voor eten thuis blijken ieder jaar
hetelfde te zijn, namelijk $ 1143. We nemen aan dat dit de komende
jaren zo zal blijven. De totale uitgaven voor voedsel per persoon,
omgerekend naar de bedragen in 1988, namen lineair toe van $ 1600 in
1953 tot $ 2250 in 2014.

4p 3 Bereken in welk jaar een gemiddelde Amerikaan voor het eerst meer
uitgaf voor eten buiten de deur dan voor eten thuis.

VW-1026-a-25-2-0
2/13
lees verder

### Pagina 3

Goals in de Eredivisie
De Eredivisie is de hoogste voetbalafdeling in Nederland in de betaalde
mannencompetitie. Aan het einde van seizoen 2021/22 stond op een
voetbalwebsite de volgende uitspraak:
"Zorgelijke trend: steeds minder goals in de Eredivisie."
Het gemiddelde aantal goals per wedstrijd lag in het seizoen 2021/22 op
2,8595. De competitie telde toen 306 wedstrijden.
In het seizoen 1965/66 werden er 779 goals gescoord. Er werden toen
240 wedstrijden gespeeld.
Op basis van deze gegevens is er een argument te geven waarbij je het
eens bent met de uitspraak op de website en is er ook een argument te
geven waarbij je het oneens bent met de uitspraak.
2p
4
Geef bij beide argumenten een berekening die het argument ondersteunt.
In de Eredivisie wordt een volledige competitie gespeeld. Dit betekent dat
elk team twee keer tegen elk ander team speelt – één keer thuis en één
keer uit. Het totaal aantal wedstrijden in de volledige competitie noemen
we $W$ en het aantal teams in de competitie $T$.
Uit deze gegevens is af te leiden dat: $W = T^2 - T$
In de seizoenen 1962/63 tot en met 1965/66 waren er minder teams en
minder gespeelde wedstrijden dan tegenwoordig. Ook in het seizoen
2019/20 werden er minder wedstrijden gespeeld, namelijk 232. Dit kwam
omdat de competitie eerder stilgelegd werd vanwege COVID-19.
3p
5
Toon met behulp van de formule van $W$ aan dat er met 232 wedstrijden
geen volledige competitie gespeeld kan zijn.
VW-1026-a-25-2-o
3/13
lees verder

### Pagina 4

In de tabel staan van de seizoenen 2011/12 tot en met 2021/22 de
totale (positieve getallen) of afnames (negatieve getallen) van het
aantal goals per seizoen ten opzichte van het seizoen ervoor.
tabel

seizoen
toename/afname
2011/12
10
2012/13
-33
2013/14
14
2014/15
-36
2015/16
-30
2016/17
-28

seizoen
toename/afname
2017/18
76
2018/19
101
2019/20
-346
2020/21
205
2021/22
-45

In het seizoen 2018/19 werden er 1061 goals gescoord.
Bij het seizoen 2019/20 staat: –346. Dit betekent dat er in dit seizoen
346 goals minder gescoord werden dan in 2018/19. Dit lijkt een enorme
daling. In werkelijkheid valt dit wel mee, omdat er in het seizoen 2019/20
maar 232 wedstrijden gespeeld werden, ten opzichte van 306 in de
andere jaren.
De uitspraak "Zorgelijke trend: steeds minder goals in de Eredivisie" zegt
dat er een afname is in het aantal goals, maar niet of deze afname
toenemend, constant of afnemend is. Om het aantal goals in de
verschillende seizoenen eerlijk met elkaar te kunnen vergelijken,
berekenen we hoeveel goals er in het seizoen 2019/20 gescoord zouden
zijn als er in dat seizoen niet 232 maar 306 wedstrijden gespeeld zouden
zijn. We nemen daarbij aan dat in dat seizoen het aantal goals recht
evenredig is met het aantal gespeelde wedstrijden. Hierdoor zullen de
waardes in de tabel bij de seizoenen 2019/20 en 2020/21 veranderen.
4p
6
Onderzoek of er op basis van deze veranderde waarden sprake was van
een toenemende, constante of afnemende daling van het aantal goals in
de seizoenen 2020/21 tot en met 2021/22.
In het seizoen 2018/19 was de wedstrijd Heracles Almelo Excelsior de
wedstrijd met de meeste goals: de einduitslag was 4-5 na een ruststand
van 1-2.
4p
7
Bereken hoeveel verschillende scoreverlopen er mogelijk zijn voor een
wedstrijd met als einduitslag 4-5 en een ruststand van 1-2.
VW-1026-a-25-2-0
4/13
lees verder

### Pagina 5

Trappen

In Landgraaf (Zuid-Limburg) bevindt zich de langste
openluchttrap van Nederland: de Wilhelminatrap.
Zie foto 1. De 508 treden tellende trap is 248 meter
lang. De treden beneden zijn breder dan boven:
beneden zijn ze 12 meter breed en boven 2 meter.
Op deze manier wordt de illusie gewekt dat de trap
oneindig lang is.

Op de uitwerkbijlage staan drie vereenvoudigde
perspectieftekeningen van de bovenste en onderste
trede van een trap. Ook is de 'horizon' aangegeven.

3p
8
Beredeneneer met behulp van de figuur op de
uitwerkbijlage welke perspectieftekening (A, B of C)
het beste bij de Wilhelminatrap past.

Er bestaan verschillende trappen en niet alle trappen lopen even
gemakkelijk. Dit heeft onder andere te maken met:
– de optrede o: dit is de verticale lengte van een
treede in cm;
– de aantrede a: dit is de horizontale lengte van een
treede in cm;
– de helling h: de richtingscoëfficiënt van de 'raaklijn'
aan de trap.

Zie figuur 1. Er geldt
$h=\frac{o}{a}$
en dan volgt:
$h\cdot a=o$ (formule 1)

figuur 1

aantrede
optrede

'raaklijn'
X
Er zijn drie typen trappen, afhankelijk van de helling. Zie de tabel.

tabel
steile trap
normale trap
luie trap
helling groter of gelijk aan 1
helling tussen 0,58 en 1
helling kleiner of gelijk aan 0,58

3p
9
Bereken de mogelijke aantreden van een normale trap met een optrede
van 20 cm. Geef je antwoord in gehelen.

VW-1026-a-25-2-0
5 / 13
lees verder

### Pagina 6

De Wilhelminatrap bestaat uit 22 trapdelen, verbonden door
21 horizontale plateaus. Zie foto 2 en (schematisch) figuur 2.
De trap is 248 meter lang. In figuur 2 is dit weergegeven met een
stippellijn. De trap overbrugt een hoogte van 95 meter.
foto 2
figuur 2
21e plateau
22e deel
---
248 meter
2e plateau
95 m
2e deel
1e plateau
1e deel
Een architect wil een trap maken die net als de Wilhelminatrap 248 meter
lang is en 95 meter hoog. De architect wil alle 22 trapdelen even lang en
even steil maken. Ook alle plateaus worden onderling even lang.
5p
10
Bereken wat de maximale lengte van één horizontaal plateau zou moeten
zijn, zodat alle trapdelen nog net in de categorie luie trap vallen. Geef je
antwoord in gehele cm.
Voor trappen binnenshuis geldt dat deze vaak steiler zijn dan trappen
buiten (zoals bijvoorbeeld de Wilhelminatrap). Voor een trap binnenshuis
geldt meestal een helling van 0,76. Om een trap met zo weinig mogelijk
energie te betreden bedacht de Franse architect François Blondel (al in
de 17e eeuw) de volgende formule:
2o + a = 63
(formule 2)
Hierin is o de optrede in cm en a de aantrede in cm.
Met behulp van formule 1 en formule 2 én een helling van 0,76 kunnen de
optrede en aantrede van een zo efficiënt mogelijk te betreden trap
berekend worden.
4p
11
Bereken de optrede en de aantrede van deze trap.
VW-1026-a-25-2-o
6/13
lees verder

### Pagina 7

Niet alle trappen lopen recht omhoog. Binnenshuis loopt een trap soms
met een draai, zoals de trap op foto 3. In figuur 3 staat een vooraanzicht
van deze trap, getekend vanuit de positie recht voor de paal waar de trap
omheen draait. In figuur 4 is een bovenaanzicht van deze trap te zien,
waarin de treden elkaar niet overlappen. In figuur 5 is een losse trede van
de trap te zien.
foto 3
figuur 3
12 cm
figuur 4
2,47 m
figuur 5
aantrede
1,82 m
91 cm
Verder geldt:
6 cm
De trap is 2,47 meter hoog.
De trap maakt een draai van 190 graden.
De buitendiameter van de trap is 1,82 meter en de binnendiameter is
12 cm.
De 12 treden van de trap hebben allemaal precies dezelfde vorm en
afmetingen.
De 12 optreden van deze trap zijn allemaal even groot.
We nemen voor de aantrede de lengte van de cirkelboog die precies door
het midden van een trede loopt. Zie figuur 5. Met behulp van de formule
van de omtrek van een cirkel (omtrek cirkel = 2π · straal) is deze aantrede
te berekenen.
5p 12 Bereken of hier sprake is van een steile, normale of luie trap.
VW-1026-a-25-2-0
7/13
lees verder

### Pagina 8

Dr. Nim
The Amazing Dr. Nim is een bordspel uit de
jaren 60 van de vorige eeuw. Het is een spel
voor één speler, waarbij het spel zelf (Dr. Nim)
de tegenstander is.
Het spel werkt met een ingenieus systeem van
schakelaartjes die ervoor zorgen dat Dr. Nim
een bepaalde strategie kan uitvoeren.
De spelregels zijn eenvoudig: het spel begint met 12 knikkers. De speler
is altijd eerst aan de beurt en mag in zijn beurt 1, 2 of 3 knikkers pakken.
Daarna mag Dr. Nim op zijn beurt 1, 2 of 3 knikkers pakken. Dit gaat zo
door tot er geen knikkers meer over zijn. Degene die de laatste knikker
pakt wint.
Als je het spel met slechts 4 knikkers zou spelen in plaats van 12, kan
Dr. Nim altijd winnen.
2p 13
Licht dat toe.
Voor het vervolg van de opgave voeren we de volgende notaties in:
S
n
betekent 'de speler pakt n knikkers'
D
betekent 'Dr. Nim pakt n knikkers'
W
betekent 'de speler kan winnen'
Bij dit spel met 12 knikkers is de strategie van Dr. Nim als volgt:
Als de speler 1 knikker pakt, dan pakt Dr. Nim 3 knikkers;
als de speler 2 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 2 knikkers;
als de speler 3 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 1 knikker.
4p
14
Vertal elk van de drie stappen van deze strategie, gebruikmakend van de
bovenstaande notaties, in logische symbolen en leg uit waarom deze
strategie altijd tot winst voor Dr. Nim zal leiden.
VW-1026-a-25-2-o
8 / 13
lees verder

### Pagina 9

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [],
  "keywords": "logica, spel, strategie, beweringen, knikkers, notatie, wiskunde, eindexamen, variant, vertalen"
}
```

### Pagina 10

Procenten en zwemtijden
Bij wedstrijdzwemmen kunnen verschillende afstanden en slagen gezwommen worden. Er kan bijvoorbeeld de 25 meter vlinderslag, de 50 meter rugslag of de 100 meter schoolslag gezwommen worden.
Op de website www.swimrankings.net wordt van veel zwemwedstrijden de uitslag gepubliceerd. Op deze website worden ook ranglijsten en persoonlijke records van zwemmers bijgehouden. Een persoonlijk record is de snelste tijd die een persoon ooit gezwommen heeft op een bepaalde afstand en met een bepaalde slag.
In de uitslagen van wedstrijden worden onder andere de gezwommen tijd, het oude persoonlijke record en een percentage genoemd. Dit percentage geeft aan hoe goed de gezwommen tijd is ten opzichte van het oude persoonlijke record. Het percentage wordt op een heel andere manier berekend dan de standaardberekening met procentuele toenames. Daarom noemen we dat percentage in deze opgave de Swimrankingsscore en niet een percentage.
De Swimrankingsscore wordt berekend met de formule:
$S_{sw} = (\frac{o}{n})^2 \cdot 100$ (formule 1)
Hierin is $S_{sw}$ de Swimrankingsscore, $o$ het oude persoonlijke record in seconden en $n$ de gezwommen tijd in seconden.
Als een zwemmer een persoonlijk record verbetert, dan is meestal de Swimrankingsscore tussen de 100 en 120. Er zijn echter uitzonderingen, zo zwom Myrtne in november 2022 op de 25 meter vlinderslag een Swimrankingsscore van 287,7. Haar oude persoonlijke record was 29,77 seconden.
3p 16 Bereken de tijd die Myrtne in november 2022 zwom. Geef je antwoord in seconden in twee decimalen.
VW-1026-a-25-2-o
10 / 13
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

In formule 1 worden o en n als losse variabelen gebruikt, maar vooral de
verhouding $r = \frac{n}{o}$ is van belang. Er geldt:
– Als $0 < r < 1$, dan is er sprake van een verbetering van het persoonlijk
record.
– Als $r \geq 1$, dan is er geen verbetering van het persoonlijk record.

Formule 1 kan worden herschreven tot $S_{sw} = \frac{100}{r^2}$ (formule 2).

Er kan ook een alternatieve Swimrankingsscore worden bepaald. Daarbij
hoort de volgende formule:
$S_{alt} = 200 - 100r$ (formule 3)

Hierin is $S_{alt}$ de alternatieve Swimrankingsscore en $r = \frac{n}{o}$ (met o het oude
persoonlijke record in seconden en n de gezwommen tijd in seconden).

3p 17 Onderzoek of het mogelijk is dat formule 2 en formule 3 dezelfde uitkomst
geven, als een zwemmer zijn persoonlijk record niet verbeterd heeft.

Gegeven zijn de volgende twee beweringen:
1 De uitkomsten van $S_{sw}$ en $S_{alt}$ zijn altijd positief.
2 Als er gerekend wordt met $S_{alt}$ in plaats van $S_{sw}$ dan kun je nooit een
Swimrankingsscore van 287,7 halen.

4p 18 Geef van beide beweringen aan of ze wel of niet waar zijn. Licht je
antwoord toe.

VW-1026-a-25-2-o
11 / 13
leas verder

### Pagina 12

CO₂ in de atmosfeer
In deze opgave kijken we naar het verloop van de concentratie CO₂ in de
atmosfeer. Onderzoekers hebben geconstateerd dat de natuurlijke
concentratie CO₂ eeuwenlang stabiel is gebleven rond de 280 ppm (parts
per million). De toename van de concentratie CO₂ sinds de industriële
revolutie wordt met name veroorzaakt door massaproductie van goederen
en voedsel.
In de figuur zie je het verloop van de concentratie CO₂ in de periode
1800–2009.
figuur
concentratie
CO₂ (in ppm)
390
370
350
330
310
290
270
250
1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
jaar
De toename verloopt exponentieel. Het verloop van de concentratie CO₂
kan worden benaderd met het model:
C = 280 + gt
Hierbij is C de concentratie CO₂ in ppm en t de tijd in jaren met t = 0 op
1 januari 1800. De waarde 280 staat in dit model voor de constante
natuurlijke concentratie CO₂.
Op 1 januari 2002 was de concentratie CO₂ 370 ppm. Met dit gegeven en
met behulp van bovenstaande gegevens is te berekenen dat de waarde
van g, afgerond op vier decimalen, gelijk is aan 1,0225.
3p 19 Bereken de waarde van g in vijf decimalen.
VW-1026-a-25-2-0
12 / 13
lees verder

### Pagina 13

3p 20 Bereken in welk jaar de concentratie CO₂ verdubbeld zal zijn ten opzichte
van de natuurlijke concentratie.
Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De
formule $C = 280 + 1,0225^t$ benadert deze stijging.
Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie CO₂ met
(ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter
totdat de volgende 10% stijging van de concentratie CO₂ werd gemeten.
4p 21 Bereken hoeveel gehele jaren hiervoor nodig waren.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1026-a-25-2-0
13 / 13
einde