# Eindexamen Wiskunde C VWO 2025 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1

## Vraag 2 – Opgave 2 (3 punten)

De wetenschapper Doug Boucher beweerde in 2018 dat de wereldbevolking al ruim een halve eeuw bij benadering lineair groeide. Hij baseerde dit lineaire model op historische gegevens. Zie figuur 1.

Voor zijn lineaire benadering gebruikte Boucher dat de wereldbevolking groeide van 3,084 miljard halverwege 1961 tot 7,330 miljard halverwege 2016.
Veronderstel dat Bouchers lineaire benadering ook na 2016 bleef gelden, dan volgt hieruit een lagere schatting voor de wereldbevolking begin 2019 dan de eerder genoemde schatting van 7,67 miljard.
Bereken hoeveel lager de schatting volgens Bouchers lineaire benadering uitvalt. Geef je antwoord in gehele miljoenen.

Wat kun je verwachten: Je zult een lineaire groeifactor moeten bepalen op basis van twee gegeven punten. Daarna gebruik je deze groeifactor om een waarde te extrapoleren naar een toekomstig tijdstip. Tot slot vergelijk je jouw berekende waarde met een gegeven schatting en geef je het verschil in de juiste eenheid.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de richtingscoëfficiënt van een lineaire functie berekent (verandering in y gedeeld door verandering in x). Je moet ook weten hoe je met deze richtingscoëfficiënt een toekomstige waarde kunt voorspellen (extrapoleren).

Wat moet je kunnen: Je kunt de jaarlijkse groei van de wereldbevolking berekenen op basis van de gegevens uit 1961 en 2016. Je kunt vervolgens deze groei toepassen om de wereldbevolking begin 2019 te schatten volgens Bouchers model. Tot slot kun je het verschil tussen jouw schatting en de gegeven schatting berekenen en dit omzetten naar miljoenen.

Waar op letten: Let goed op de tijdsperiodes: bereken eerst de duur tussen de twee gegeven meetpunten (1961 en 2016) en daarna de duur van het laatste meetpunt (2016) tot het gevraagde jaar (begin 2019).
Zorg ervoor dat je consistent bent met de eenheden. De bevolkingsaantallen zijn in miljarden, maar het eindantwoord moet in gehele miljoenen. Vergeet de omrekening niet.
Rond niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen in je tussenberekeningen om de nauwkeurigheid van het eindantwoord te garanderen.
Vergeet niet de laatste stap: het berekende aantal volgens Bouchers model af te trekken van de gegeven schatting van 7,67 miljard.

Kernbegrippen: lineair model, lineaire groei, richtingscoëfficiënt, extrapoleren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd berekenen van de tijdsduur tussen de meetpunten (55 jaar) en de extrapolatieperiode (2,5 jaar).
- Eenheden door elkaar halen: de berekening is in miljarden, maar het eindantwoord moet in miljoenen.
- Vergeten het berekende getal af te trekken van de gegeven schatting van 7,67 miljard.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 2 (2 punten)

2p 3 Beredeneer dit zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld. In figuur 2 zijn de jaarlijkse groeipercentages voor de periode 1950-2050 weergegeven. Hierbij zijn de percentages na 2013 voorspelde percentages. Bovendien is een trendlijn getekend. figuur 2 groei- percentage ↑ 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 → jaar In tegenstelling tot het model van Boucher waarin de wereldbevolking lineair zou toenemen, geeft de trend in figuur 2 aanleiding voor een ander model waarin de groeipercentages lineair afnemen. Een formule voor de trendlijn in figuur 2 is: \(P = -0,0177t + 2,2153\) Hierin is \(P\) het jaarlijkse groeipercentage en \(t\) de tijd in jaren met \(t=0\) het jaar 1950. In de formule van de trendlijn kun je zien dat in 1950 de wereldbevolking toenam met afgerond 2,2%. Er zijn wetenschappers die vermoeden dat aan het eind van deze eeuw de wereldbevolking nauwelijks nog zal groeien of op termijn misschien zelfs gaat afnemen. Stel dat de groeipercentages zich ook na 2050 volgens de formule van \(P\) zullen blijven ontwikkelen.

Wat kun je verwachten: Je moet een redenering opzetten die het verband legt tussen een constante absolute toename en een afnemend relatief groeipercentage, zonder concrete getallen te gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen absolute en relatieve groei. Je moet weten hoe een groeipercentage wordt berekend.

Wat moet je kunnen: Je moet een logische redenering kunnen formuleren die deze concepten correct met elkaar verbindt. Je moet de instructie 'zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld' strikt opvolgen.

Waar op letten: Verwar absolute toename (aantal mensen) niet met relatieve toename (percentage).
Zorg dat je redenering algemeen is en geen specifieke getallen bevat, zoals expliciet gevraagd.
Leg duidelijk uit dat het groeipercentage een verhouding is van de toename ten opzichte van de totale bevolking.
Bedenk wat er gebeurt met de noemer (totale bevolking) als de bevolking lineair toeneemt.

Kernbegrippen: lineaire groei, procentuele verandering, absolute toename, relatieve toename

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van absolute en relatieve toename
- Gebruik van een getallenvoorbeeld ondanks verbod

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 2 (3 punten)

In tegenstelling tot het model van Boucher waarin de wereldbevolking lineair zou toenemen, geeft de trend in figuur 2 aanleiding voor een ander model waarin de groeipercentages lineair afnemen.

Een formule voor de trendlijn in figuur 2 is:
P = −0,0177t + 2,2153

Hierin is P het jaarlijkse groeipercentage en t de tijd in jaren met t = 0 het jaar 1950.

In de formule van de trendlijn kun je zien dat in 1950 de wereldbevolking toenam met afgerond 2,2%.
Er zijn wetenschappers die vermoeden dat aan het eind van deze eeuw de wereldbevolking nauwelijks nog zal groeien of op termijn misschien zelfs gaat afnemen. Stel dat de groeipercentages zich ook na 2050 volgens de formule van P zullen blijven ontwikkelen.

3p 4 Bereken in welk jaar de wereldbevolking dan voor het eerst zal afnemen.

Wat kun je verwachten: Je zult een lineaire vergelijking moeten opstellen en oplossen. Je moet de betekenis van het groeipercentage en de variabele 't' in de context van de vraag goed begrijpen. Daarna moet je het resultaat correct omzetten naar een kalenderjaar.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire vergelijking van de vorm ax + b = 0 oplost. Je moet ook begrijpen dat een negatief groeipercentage betekent dat iets afneemt. Je moet de relatie tussen 't' en het kalenderjaar kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule kunnen gebruiken om een vergelijking op te stellen die het moment van geen groei representeert. Je moet deze vergelijking kunnen oplossen, zowel algebraïsch als eventueel met je grafische rekenmachine. Tot slot moet je het berekende aantal jaren kunnen omrekenen naar het juiste kalenderjaar, rekening houdend met de startdatum en de afronding.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen wat 'afnemen' betekent in de context van een groeipercentage. Dit betekent dat het groeipercentage negatief wordt. Het omslagpunt is dus wanneer het groeipercentage nul is.
Je moet de berekende waarde van 't' correct interpreteren. 't' is het aantal jaren ná 1950. Vergeet niet dit bij 1950 op te tellen om het uiteindelijke jaar te vinden.
Je moet zorgvuldig afronden. Als t = 125,1... is, betekent dit dat de groei nog positief is in het 125e jaar na 1950. De afname begint dan pas in het 126e jaar na 1950. Let op dat je het jaar correct bepaalt.
Je moet de eenheid van 't' (jaren) en de start van de telling (t=0 in 1950) goed in de gaten houden bij het bepalen van het uiteindelijke jaar.

Kernbegrippen: lineair model, vergelijking oplossen, extrapoleren

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de berekende waarde van t op te tellen bij het startjaar 1950.
- Incorrect afronden van de waarde van t. Omdat t=125,1... het moment is waarop de groei 0 wordt, is de groei in het 125e jaar (2075) nog positief. De afname begint in het daaropvolgende jaar (2076).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 2 (2 punten)

2p 5 Teken op schaal 1 : 200 het bovenaanzicht van Turm. Op de uitwerkbijlage staat een gestippelde perspectieftekening van een kubus.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een afbeelding van een gebouw en een schaal. Je moet de afmetingen van het gebouw afleiden uit de context (vaak impliciet in de vorm van een kubus met bepaalde ribben) en deze omrekenen naar de juiste schaal. Vervolgens teken je het bovenaanzicht van het gebouw op de uitwerkbijlage.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een schaal betekent en hoe je deze toepast. Je moet ook de basisprincipes van ruimtemeetkunde kennen, met name wat een bovenaanzicht is en hoe je dit visualiseert vanuit een 3D-object.

Wat moet je kunnen: Je kunt afmetingen omrekenen met behulp van een schaal. Je kunt een bovenaanzicht van een 3D-object visualiseren en dit vervolgens nauwkeurig tekenen op papier, rekening houdend met de juiste verhoudingen en afmetingen.

Waar op letten: Let goed op de schaal: 1 : 200 betekent dat 1 cm op je tekening overeenkomt met 200 cm in werkelijkheid. Vergeet niet de eenheden (meters naar centimeters) correct om te zetten voordat je de schaal toepast.
Zorg ervoor dat je het juiste aanzicht tekent. De vraag vraagt specifiek om een 'bovenaanzicht'. Dit betekent dat je het gebouw van bovenaf bekijkt en tekent.
Interpreteer de afbeelding van Turm zorgvuldig om de vorm en de afmetingen van de 'uitsparingen' correct te bepalen. De foto toont een kubusvormig gebouw met een hoekige uitsparing aan de bovenkant. Bedenk hoe dit er van bovenaf uitziet.
Controleer of je tekening proportioneel is en of de afmetingen op schaal kloppen. Een kleine rekenfout in de schaal kan leiden tot een volledig verkeerde tekening.

Kernbegrippen: schaalrekenen, ruimtemeetkunde, bovenaanzicht, tekenen op schaal

Veelgemaakte fouten:
- Schaal verkeerd toepassen (bijv. delen door 200 zonder om te rekenen naar cm)
- Verkeerd aanzicht tekenen (bijv. zijaanzicht)
- De weggelaten kubussen niet diagonaal tegenover elkaar tekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 2 (6 punten)

6p 6 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de perspectieftekening van Turm, zonder deuren, vanuit het aanzicht van foto 1.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een afbeelding van een object en een uitwerkbijlage. Je moet de principes van perspectieftekenen toepassen om het object correct in perspectief te tekenen, inclusief de details zoals uitsparingen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van tweepuntsperspectief kennen, inclusief het bepalen van verdwijnpunten, het tekenen van verdwijnlijnen en het gebruiken van diagonalen voor het construeren van diepte en breedte in perspectief.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen werken met een liniaal en potlood. Je moet verdwijnpunten kunnen bepalen, verdwijnlijnen kunnen trekken en constructielijnen kunnen gebruiken om de juiste verhoudingen en posities van objecten in perspectief te bepalen. Je moet ook de tekening netjes kunnen afwerken.

Waar op letten: Je moet de verdwijnpunten nauwkeurig bepalen door de ribben van het gebouw door te trekken. Kleine afwijkingen hier kunnen grote gevolgen hebben voor de rest van je tekening.
Je moet de constructielijnen (verdwijnlijnen en diagonalen) licht tekenen, zodat je ze later eventueel kunt uitgummen of zodat ze duidelijk onderscheiden zijn van de definitieve lijnen van het gebouw.
Je moet goed letten op de hoogte en de afmetingen van de uitsparingen. Deze moeten correct geprojecteerd worden met behulp van de verdwijnlijnen en diagonalen.
Je moet controleren of de uitsparingen diagonaal tegenover elkaar liggen, zoals in de bronfoto te zien is. Dit is een veelvoorkomende fout.
Je moet de tekening netjes en duidelijk afmaken, waarbij de definitieve lijnen van het gebouw duidelijker zijn dan de constructielijnen.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunten, constructielijnen, ruimtemeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd bepalen van de verdwijnpunten
- Foutieve schaal of positie van de uitsparingen
- Onjuist gebruik van constructielijnen (verdwijnlijnen, diagonalen)
- Vergeten dat de uitsparingen diagonaal tegenover elkaar liggen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 8 – Opgave 2 (3 punten)

Omdat de levensvoldoening alleen maar met een cijfer vanaf 0 tot en met 10 beoordeeld kan worden, is de formule van de trendlijn enkel tussen bepaalde inkomensgrenzen geldig.
Bereken deze grenzen. Geef je antwoord in gehele dollars.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee variabelen. Je moet de grenzen van één variabele gebruiken om de bijbehorende grenzen van de andere variabele te berekenen. Dit vereist het oplossen van vergelijkingen, in dit geval logaritmische vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van logaritmische functies kennen, inclusief hoe je een logaritmische vergelijking oplost. Je moet ook weten hoe je een logaritme met een willekeurig grondtal (zoals ²log) omzet naar een exponentiële vorm.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de gegeven formule L = 0,6 × ²log(I) − 1,973 te gebruiken. Je moet de waarden L=0 en L=10 invullen en de resulterende logaritmische vergelijkingen algebraïsch oplossen voor I. Daarna rond je de uitkomsten correct af op gehele dollars.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen dat 'levensvoldoening alleen maar met een cijfer vanaf 0 tot en met 10 beoordeeld kan worden' betekent dat je de formule moet gelijkstellen aan L=0 en L=10 om de inkomensgrenzen te vinden.
Je moet de logaritmische vergelijkingen correct oplossen. Dit betekent dat je de logaritme moet isoleren en vervolgens de definitie van de logaritme moet gebruiken om I te vinden (bijvoorbeeld: als ²log(I) = x, dan is I = 2^x).
Let op de basis van de logaritme: in dit geval is het een ²log, dus logaritme met grondtal 2.
Je moet je antwoord afronden op gehele dollars, zoals expliciet gevraagd in de vraagstelling. Te vroeg afronden kan leiden tot onnauwkeurige eindantwoorden.

Kernbegrippen: logaritmische functies, logaritmische vergelijkingen oplossen, modelleren, domein en bereik

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de grenzen van L (0 en 10) te gebruiken om de vergelijkingen op te stellen.
- Algebraïsche fouten bij het isoleren van de logaritme.
- Foutief omzetten van de logaritmische vorm naar de exponentiële vorm.
- Niet afronden op gehele dollars zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 2 (3 punten)

In de figuur is te zien dat over het algemeen geldt dat hoe hoger het gemiddelde inkomen is, hoe hoger de levensvoldoening is. Dit is niet overal het geval. Zo geldt voor Denemarken en Hongkong dat het gemiddelde inkomen per inwoner bijna even hoog is, namelijk 28 000 dollar. De levensvoldoening is in Denemarken echter aanzienlijk hoger dan in Hongkong. Bij beide landen wijkt het levensvoldoeningscijfer behoorlijk af van wat je op basis van de formule van de trendlijn zou verwachten. De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage en de formule van de trendlijn bij welk van deze twee landen de afwijking het grootst is.

Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek moeten interpreteren om specifieke waarden af te lezen. Daarna zul je een logaritmische formule moeten gebruiken om een verwachte waarde te berekenen. Tot slot zul je de afgelezen en berekende waarden met elkaar moeten vergelijken om een conclusie te trekken over de grootste afwijking.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je punten afleest uit een spreidingsdiagram en hoe je een logaritmische formule met een specifiek grondtal (hier grondtal 2) correct toepast. Je moet ook weten hoe je een afwijking berekent (het absolute verschil) en hoe je getallen vergelijkt.

Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig waarden aflezen van een grafiek. Je kunt een logaritmische formule correct invoeren en berekenen met je grafische rekenmachine. Je kunt de afwijking van een punt ten opzichte van een trendlijn berekenen en op basis hiervan een onderbouwde conclusie trekken.

Waar op letten: Je moet de levensvoldoeningscijfers voor Denemarken en Hongkong nauwkeurig aflezen uit de figuur. Let op de schaalverdeling van de y-as en de toegestane afleesınarge van 0,1.
Je moet de logaritmische formule correct invoeren in je rekenmachine. Vergeet niet dat ²log(I) betekent 'logaritme met grondtal 2 van I'. Als je rekenmachine geen directe ²log-functie heeft, gebruik dan de omrekenregel: ²log(I) = log(I) / log(2) of ln(I) / ln(2).
Je moet de afwijking berekenen als het absolute verschil tussen de afgelezen waarde en de berekende waarde. De volgorde van aftrekken maakt dan niet uit, zolang je het positieve verschil neemt.
Je moet niet te vroeg afronden tijdens de berekeningen. Gebruik voldoende decimalen voor de berekende trendlijnwaarde om nauwkeurige afwijkingen te krijgen. Rond pas af bij de uiteindelijke afwijkingen en de conclusie.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, werken met logaritmische formules, afwijking berekenen, waarden vergelijken

Veelgemaakte fouten:
- Onnauwkeurig aflezen van de grafiek (buiten de marge van 0,1).
- Verkeerd berekenen van de afwijking (bijvoorbeeld de volgorde van aftrekken verwarren).
- Rekenmachinefout bij het invoeren van de logaritmische formule.
- Vergeten de conclusie te trekken welk land de grootste afwijking heeft.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 2 (3 punten)

Op basis van de onderzoeksresultaten deden de onderzoekers de volgende uitspraak:
Elke verdubbeling van het inkomen per inwoner gaat gepaard met een constante toename van het levensvoldoeningscijfer.

10 Bereken met behulp van de formule L = 0,6 ⋅ ²log(I) − 1,973 hoe groot de toename is bij een verdubbeling van I. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet de verandering in een logaritmische functie berekenen wanneer de input verdubbelt. Dit kun je doen door een getallenvoorbeeld te gebruiken of door de eigenschappen van logaritmen toe te passen.

Wat moet je kennen: Je moet de formule L = 0,6 ⋅ ²log(I) − 1,973 kennen en weten hoe je deze moet gebruiken. Je moet ook de rekenregels voor logaritmen kennen, met name ²log(a) - ²log(b) = ²log(a/b) en ²log(2) = 1. Als alternatief moet je weten hoe je een getallenvoorbeeld kiest en invult.

Wat moet je kunnen: Je kunt waarden voor I invullen in de formule en de bijbehorende L-waarden berekenen. Je kunt het verschil tussen twee L-waarden bepalen. Je kunt de rekenregels van logaritmen toepassen om de toename algebraïsch te bepalen. Je kunt je antwoord correct afronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op de notatie van de logaritme: ²log(I) betekent de logaritme met grondtal 2. Je rekenmachine heeft vaak een 'log_b(a)' functie of je moet de omrekenregel log(a)/log(b) gebruiken.
Als je een getallenvoorbeeld kiest, zorg er dan voor dat de tweede I-waarde precies het dubbele is van de eerste I-waarde (bijvoorbeeld I=10000 en I=20000, of I=1 en I=2).
Rond pas aan het einde van je berekening af. Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.
De vraag vraagt om de 'toename', wat betekent dat je het verschil tussen de twee L-waarden moet berekenen (nieuwe L - oude L).
Geef je antwoord in één decimaal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logaritmische functies, rekenregels voor logaritmen, verandering berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of intoetsfouten bij het berekenen van de logaritme.
- Het niet kiezen van een correct getallenvoorbeeld (waarbij het ene inkomen het dubbele is van het andere).
- Verkeerd afronden van het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 2 (2 punten)

2p 11 Vertaal de gegeven zin in logische symbolen, gebruikmakend van bovenstaande notatie. Als de verdeling van de lootjes niet goed is, dan heeft minstens één persoon het eigen lootje getrokken en/of is het lootjes trekken niet anoniem. Met twee personen is er geen goede verdeling van lootjes mogelijk. Immers: * Als je je eigen lootje trekt, dan is de verdeling niet goed. Bovendien weet je dan ook dat de ander zichzelf heeft en is het daarmee ook niet anoniem. * Als je het lootje van de ander trekt, dan weet je dat de ander jouw lootje heeft getrokken en is het lootjes trekken niet anoniem.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een Nederlandse zin voorgelegd die je moet omzetten naar een logische uitdrukking. Je zult de betekenis van woorden als 'als...dan', 'en', 'of', en 'niet' moeten herkennen en vertalen naar de juiste logische symbolen.

Wat moet je kennen: Je moet de basislogische symbolen kennen: implicatie (⇒), conjunctie (∧), disjunctie (∨), en negatie (¬). Ook moet je weten hoe je deze symbolen gebruikt om de structuur van een zin correct weer te geven.

Wat moet je kunnen: Je moet een complexe Nederlandse zin kunnen ontleden in kleinere, logische delen. Je moet de kernbeweringen kunnen identificeren en deze correct kunnen verbinden met de juiste logische operatoren. Je moet ook in staat zijn om ontkenningen correct te interpreteren en te symboliseren.

Waar op letten: Let goed op de structuur van de zin: 'Als ..., dan ...' duidt op een implicatie (⇒). Identificeer correct wat de oorzaak (antecedent) en het gevolg (consequent) is.
Besteed extra aandacht aan ontkenningen, zoals 'niet' of 'niemand'. 'Niemand het eigen lootje getrokken heeft' is de ontkenning van 'minstens één persoon heeft het eigen lootje getrokken'.
Maak geen fouten tussen 'en' (∧) en 'of' (∨). De vraagtekst gebruikt 'en/of' in de eerste zin, maar de zin die je moet vertalen gebruikt 'en'.
Zorg ervoor dat je de haakjes correct plaatst om de juiste volgorde van bewerkingen aan te geven. Hoewel de opmerking in het correctievoorschrift zegt dat haakjes niet verplicht zijn voor punten, is het voor de duidelijkheid en correctheid wel aan te raden.

Kernbegrippen: logisch redeneren, vertalen van zinnen naar logische symbolen, implicatie, conjunctie, negatie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd vertalen van 'niemand' (vergeten van de negatie ¬ op Z)
- Verwarren van conjunctie (∧, 'en') met disjunctie (∨, 'of')
- Omkeren van de implicatie (pijl de verkeerde kant op)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 13 – Opgave 2 (4 punten)

Een groep van zes personen gaat lootjes trekken. Bij zes personen is lootjes trekken altijd anoniem, zolang mensen niet vertellen welk lootje zij getrokken hebben. In het vervolg van deze opgave hoef je dus geen rekening meer te houden met de anonimiteit. Een mogelijke verdeling van de lootjes is in de tabel weergegeven.

tabel

Zonder het van elkaar te weten, vormen P, Q en R een subgroep binnen de groep van zes personen. De drie personen trekken in een soort kringetje elkaars lootje. Dit noemen we een **kringetje van lengte 3**. Ook S, T en U vormen een kringetje van lengte 3. Omdat niemand het eigen lootje heeft, is er sprake van een goede verdeling.

Met de notatie K_n wordt bedoeld dat er ten minste één kringetje van lengte n aanwezig is in de verdeling van de lootjes.

De volgende twee beweringen worden gedaan over het lootjes trekken met zes personen:
- K₅ ⇒ G
- (K₄ ∧ G) ⇒ K₂

4p 13 Vertaal elk van de twee beweringen naar een zin en geef van elke zin aan of de bewering waar is of niet. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je zult twee logische beweringen moeten vertalen naar gewone zinnen. Daarna moet je van elke bewering bepalen of deze waar is of niet, en je antwoord uitgebreid toelichten. Dit vereist inzicht in logische implicaties en de definities van 'kringetjes' en een 'goede verdeling'.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van logische symbolen zoals '⇒' (impliceert, 'als... dan...') en '∧' (en) kennen. Ook moet je de definities van 'K_n' (kringetje van lengte n) en 'G' (goede verdeling) uit de opgave goed begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet logische beweringen kunnen vertalen naar duidelijke Nederlandse zinnen. Je moet ook in staat zijn om de waarheid van een logische bewering te beoordelen door de voorwaarden te analyseren en de gevolgen daarvan te beredeneren, eventueel met behulp van een tegenvoorbeeld.

Waar op letten: Let goed op de definitie van 'K_n': 'ten minste één kringetje van lengte n'. Dit betekent dat er ook andere kringetjes kunnen zijn, of dat er personen zijn die niet in dat specifieke kringetje zitten.
De definitie van 'G' is cruciaal: 'goede verdeling' betekent dat niemand zijn eigen lootje heeft getrokken. De anonimiteit is hier niet meer relevant.
Bij het vertalen van de beweringen naar zinnen, moet je de logische connectoren (⇒ voor 'als... dan...', ∧ voor 'en') correct weergeven.
Voor het bepalen van de waarheid van elke bewering, moet je een scenario bedenken dat voldoet aan de voorwaarde (het 'als'-deel) en dan controleren of de conclusie (het 'dan'-deel) noodzakelijkerwijs volgt. Als je een tegenvoorbeeld kunt vinden, is de bewering niet waar.
Zorg voor een duidelijke en volledige toelichting waarom een bewering waar of niet waar is. Visualiseer de personen en hun getrokken lootjes om de kringetjes te doorgronden.

Kernbegrippen: logisch redeneren, implicatie (als... dan...), conjunctie (en), vertalen van symbolische logica naar zinnen, waarheid van een bewering bepalen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring over de definitie van 'goed'. In dit deel van de opgave is anonimiteit niet meer relevant, dus 'goed' betekent alleen 'niemand heeft zijn eigen lootje'.
- Moeite met het visualiseren van de kringetjes en de consequenties daarvan voor de overgebleven personen.
- Onvolledige toelichting bij de waarheid van de beweringen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 2 (2 punten)

2p 14 Bereken hoeveel gebruikers er gemiddeld per minuut bij kwamen in deze periode. Geef je antwoord in tientallen nauwkeurig. Pokémon GO was na de lancering veruit het populairst in de Verenigde Staten (VS). De volgende vragen gaan over het aantal gebruikers per dag van Pokémon GO in de Verenigde Staten. In figuur 1 is dit aantal voor de periode juli 2016 tot en met december 2016 weergegeven. figuur 1 aantal gebruikers per dag (in miljoenen) 28,5 miljoen 30 25 20 15 10 5 0 1-7 19-7 4-8 20-8 5-9 21-9 7-10 23-10 8-11 24-11 10-12 26-12 In de eerste week na de lancering van het spel op 6 juli 2016 nam het aantal gebruikers per dag toe tot maximaal 28,5 miljoen op 13 juli 2016. Na 13 juli 2016 nam het aantal gebruikers per dag alweer af. De afname verliep in het begin bij benadering lineair tot 15,1 miljoen gebruikers op 12 augustus 2016.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gemiddelde verandering moet berekenen over een bepaalde tijdsperiode. Dit betekent dat je de totale verandering in het aantal gebruikers moet delen door de totale tijd in minuten.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gemiddelde verandering berekent en hoe je verschillende tijdseenheden (weken, dagen, uren) naar minuten omrekent. Je moet ook weten hoe je getallen correct afrondt op tientallen.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de tekst kunnen halen om de begin- en eindpunten van de periode en de bijbehorende gebruikersaantallen te bepalen. Je moet vervolgens de totale verandering in gebruikers en de totale tijd in minuten kunnen berekenen, en tot slot de gemiddelde verandering per minuut kunnen bepalen en afronden.

Waar op letten: Let goed op de periode waarover de vraag gaat. De vraagtekst spreekt over 'deze periode', wat verwijst naar de periode van toename die in de tekst wordt beschreven.
Zorg ervoor dat je alle eenheden correct omrekent naar minuten. Een week heeft 7 dagen, een dag 24 uur en een uur 60 minuten.
Vergeet niet om het uiteindelijke antwoord af te ronden op tientallen nauwkeurig, zoals gevraagd. Dit betekent dat het laatste cijfer een 0 moet zijn, en het cijfer daarvoor het tiental aangeeft.

Kernbegrippen: gemiddelde verandering, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte omrekening van weken naar minuten
- Vergeten af te ronden op tientallen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 2 (3 punten)

In de eerste week na de lancering van het spel op 6 juli 2016 nam het aantal gebruikers per dag toe tot maximaal 28,5 miljoen op 13 juli 2016. Na 13 juli 2016 nam het aantal gebruikers per dag alweer af. De afname verliep in het begin bij benadering lineair tot 15,1 miljoen gebruikers op 12 augustus 2016.
Bereken met behulp van deze gegevens het aantal gebruikers per dag in de VS op 1 augustus 2016. Geef je antwoord in gehele miljoenen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekst met daarin informatie over de ontwikkeling van het aantal gebruikers van een spel over een bepaalde periode. Een deel van deze periode wordt beschreven als een lineaire afname. Je moet met deze gegevens een waarde op een specifieke datum binnen die lineaire periode berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineair verband herkent en hoe je hiermee rekent. Dit omvat het berekenen van een verandering per eenheid (in dit geval per dag) en het toepassen van deze verandering om een waarde op een ander tijdstip te vinden. Je moet ook weten hoeveel dagen de maand juli heeft.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de tekst kunnen filteren: de startdatum en -waarde van de lineaire afname, de einddatum en -waarde van de lineaire afname, en de datum waarvoor je een waarde moet berekenen. Vervolgens moet je het aantal dagen tussen deze datums correct kunnen bepalen. Daarna bereken je de gemiddelde afname per dag en gebruik je deze om het aantal gebruikers op 1 augustus 2016 te schatten.

Waar op letten: Je moet heel precies het aantal dagen tellen tussen de verschillende datums. Let op het aantal dagen in juli (31 dagen). Een fout hierin leidt direct tot een verkeerde afname per dag.
Je berekent een lineaire afname. Dit betekent dat de verandering per dag constant is. Je moet dus eerst de 'richtingscoëfficiënt' (afname per dag) bepalen.
Je moet goed opletten vanaf welke datum je begint te tellen voor de afname. De afname start na 13 juli 2016.
Rond niet te vroeg af. Gebruik de onafgeronde waarde van de afname per dag in je vervolgberekening om afrondingsfouten te voorkomen.
Je antwoord moet in gehele miljoenen worden gegeven. Zorg ervoor dat je aan het einde correct afrondt naar het dichtstbijzijnde hele getal.

Kernbegrippen: lineair verband, lineair interpoleren, richtingscoëfficiënt, rate of change

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal dagen berekenen tussen de gegeven data (bijvoorbeeld vergeten dat juli 31 dagen heeft).
- Reken- of afrondingsfouten.
- Het antwoord niet in de gevraagde eenheid (gehele miljoenen) geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 2 (4 punten)

Een formule waarmee het aantal gebruikers per dag vanaf 12 augustus 2016 benaderd kan worden, is:
N = 10,5·0,972^t + 4,6
Hierin is N het aantal gebruikers per dag in de VS in miljoenen en t de tijd in dagen met t = 0 op 12 augustus 2016.

Bereken hoeveel gehele dagen na de lancering van Pokémon GO op 6 juli het aantal gebruikers per dag in de VS voor het eerst minder dan een kwart was van het maximale aantal gebruikers per dag in de VS.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële vergelijking moeten opstellen en oplossen. Je moet ook goed de tijdsperiodes en referentiedata in de gaten houden om tot het juiste eindantwoord te komen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een kwart van een getal berekent. Je moet ook de betekenis van de variabelen in een exponentiële formule begrijpen en hoe je een exponentiële vergelijking oplost, bijvoorbeeld met je grafische rekenmachine. Daarnaast moet je kunnen rekenen met datums en dagen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de maximale waarde uit de tekst halen en daar een kwart van berekenen. Je kunt de gegeven formule gelijkstellen aan deze berekende waarde en de vergelijking oplossen voor t. Je kunt het aantal dagen tussen twee datums berekenen en dit correct optellen bij de gevonden waarde van t om het uiteindelijke antwoord te bepalen, afgerond op gehele dagen.

Waar op letten: Je moet goed opletten dat de formule N = 10,5·0,972^t + 4,6 pas geldig is vanaf t=0 op 12 augustus 2016. De vraag stelt echter naar het aantal dagen na de lancering op 6 juli. Je moet dus de dagen tussen 6 juli en 12 augustus apart meetellen.
Je moet het 'maximale aantal gebruikers' correct identificeren uit de contextinformatie. Dit is 28,5 miljoen. Vervolgens bereken je een kwart hiervan.
Je lost een vergelijking op voor t. De waarde van t zal waarschijnlijk een decimaal getal zijn. Omdat de vraag vraagt naar 'gehele dagen' en 'voor het eerst minder dan', moet je de waarde van t correct afronden (naar boven) om te bepalen op welke dag de grens wordt overschreden.
Je moet nauwkeurig het aantal dagen tussen 6 juli en 12 augustus berekenen. Vergeet niet dat juli 31 dagen heeft. Een kleine rekenfout hier kan leiden tot een verkeerd eindantwoord.

Kernbegrippen: exponentiële functie, exponentiële vergelijking oplossen, rekenen met tijd en datum

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de startperiode (6 juli tot 12 augustus) mee te rekenen in het eindantwoord.
- Incorrect afronden van de tijd t; t=50,1... betekent dat de grens op de 51e dag wordt overschreden.
- Foutieve berekening van het aantal dagen tussen twee data, bijvoorbeeld door het aantal dagen in juli verkeerd te nemen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 2 (3 punten)

Pokémon GO bestaat uit 40 levels. Een van de redenen dat flink wat gebruikers van Pokémon GO weer afhaken, is dat het steeds moeilijker wordt om een volgend level in het spel te bereiken.
Om een volgend level te bereiken, moet je een bepaald totaal aantal punten behaald hebben. Dit worden XP (Experience Points) genoemd. Zie figuur 2.

Vanaf level 22 blijkt er bij benadering een exponentieel verband te bestaan tussen het level en het totaal aantal behaalde XP. Bij level 22 horen 335 000 XP en bij level 40 wel 20 000 000 XP.
Uit de gegevens volgt dat afgerond op drie decimalen de groeifactor van het totaal aantal behaalde XP per level gelijk is aan 1,255.

Bereken met behulp van de gegevens deze groeifactor in vier decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei in de context van een spel. Je moet een groeifactor berekenen over een specifieke periode en deze vervolgens omzetten naar een groeifactor per eenheid (in dit geval per level).

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van exponentiële groei kennen, inclusief de formule N(t) = N(0) * g^t. Je moet ook weten hoe je een groeifactor over een langere periode kunt omrekenen naar een groeifactor per tijdseenheid (of per level).

Wat moet je kunnen: Je moet de totale groeifactor kunnen berekenen over een gegeven aantal levels. Vervolgens moet je de n-de machtswortel kunnen toepassen om de groeifactor per level te vinden. Je moet ook nauwkeurig kunnen afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let goed op het aantal perioden (levels) waarover de groei plaatsvindt. Dit is niet zomaar het hoogste level min het laagste level, maar het aantal stappen tussen de levels.
Zorg ervoor dat je de juiste bewerking gebruikt voor exponentiële groei: je neemt de n-de machtswortel, niet een deling.
Rond pas af aan het einde van je berekening en gebruik voldoende decimalen in tussenstappen om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je de begin- en eindwaarden correct interpreteert voor de berekening van de totale groeifactor.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per periode, n-de machtswortel

Veelgemaakte fouten:
- Het aantal perioden (levels) verkeerd berekenen: 40 - 22 = 18, niet 17 of 19.
- Lineair rekenen (delen door 18) in plaats van exponentieel (de 18e-machtswortel nemen).
- Rekenen met het absolute verschil in XP in plaats van de verhouding (de groeifactor).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 2 (3 punten)

Youtuber Brandon Tan bereikte op een gegeven moment level 40. Naar eigen zeggen behaalde hij tussen level 39 en level 40 gemiddeld 300 000 XP per dag.
Bereken hoeveel dagen hij volgens de gegevens bezig is geweest om van level 39 naar level 40 te komen. Maak gebruik van de groeifactor en geef je antwoord in gehele dagen.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële groeifactor moeten gebruiken om het aantal XP bij een bepaald level te berekenen. Daarna zul je een eenvoudige deling moeten uitvoeren en het resultaat correct moeten afronden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met een groeifactor rekent in een exponentieel verband. Je moet ook de context van de vraag goed begrijpen om de juiste XP-waarden te bepalen.

Wat moet je kunnen: Je moet het totale aantal XP bij level 39 kunnen berekenen met behulp van de gegeven groeifactor en de informatie over level 22 en 40. Vervolgens moet je het verschil in XP tussen level 39 en 40 kunnen bepalen en dit delen door de dagelijkse XP-winst. Tot slot moet je het resultaat correct naar boven afronden op een geheel aantal dagen.

Waar op letten: Je moet goed opletten dat je het verschil in XP tussen level 39 en level 40 berekent, en niet het totale XP van level 40.
Je moet de groeifactor correct toepassen om het totale XP bij level 39 te vinden. Je kunt dit doen door terug te rekenen vanaf level 40 of door vooruit te rekenen vanaf level 22.
Let op de afronding: het aantal dagen moet een geheel getal zijn. Als je een deel van een dag nodig hebt, betekent dit dat je een hele extra dag bezig bent.
Zorg ervoor dat je niet te vroeg afrondt bij het berekenen van de XP-waarden, dit kan leiden tot een verkeerd eindantwoord.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, rekenen met exponentiële modellen

Veelgemaakte fouten:
- rekenfouten met grote getallen
- verkeerd afronden (13,5... wordt 13 dagen i.p.v. 14 dagen)
- verwarring tussen totaal XP en benodigde XP per level

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 2 (3 punten)

3p 19 Bereken hoeveel van de seizoenen vóór dit 17ᵉ seizoen uit 35 afleveringen bestonden. Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden. In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden, kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.

Wat kun je verwachten: Je zult een probleem moeten oplossen waarbij je informatie uit de tekst combineert om tot een specifiek aantal te komen. Dit kan door logisch redeneren en rekenen, of door een lineaire vergelijking op te stellen en op te lossen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je informatie uit een tekst filtert en hoe je een logische redenering opbouwt. Ook moet je basisrekenvaardigheden beheersen, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Als je kiest voor de algebraïsche aanpak, moet je weten hoe je een lineaire vergelijking opstelt en oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt het totale aantal afleveringen voor de relevante seizoenen bepalen. Je kunt de uitzonderingen (zoals het 11e seizoen en het huidige 17e seizoen) correct verwerken. Je kunt vervolgens het aantal seizoenen met 35 afleveringen berekenen, hetzij door een 'basis'-scenario te vergelijken met het werkelijke totaal, hetzij door een vergelijking op te stellen en op te lossen.

Waar op letten: Lees de vraag goed: het gaat om 'vóór dit 17e seizoen'. Dit betekent dat het 17e seizoen zelf niet meetelt in de berekening van de 'eerdere' seizoenen.
Let op de uitzonderingen: er is een specifiek seizoen (het 11e) dat een afwijkend aantal afleveringen heeft. Zorg ervoor dat je dit seizoen apart behandelt en niet meeneemt in de algemene aanname van 30 of 35 afleveringen.
Controleer je rekenstappen zorgvuldig. Een kleine rekenfout kan leiden tot een incorrect antwoord.
Als je een vergelijking opstelt, controleer dan of alle variabelen en constanten correct zijn gedefinieerd en of de vergelijking de situatie nauwkeurig weergeeft.

Kernbegrippen: lineaire vergelijkingen, probleemoplossen, rekenvaardigheid

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het 11e seizoen (met 5 afleveringen) apart te behandelen en daardoor rekenen met 16 seizoenen van 30/35 afleveringen.
- Vergeten de 30 afleveringen van het 17e seizoen af te trekken van het totaal van 500.
- Een rekenfout maken bij het bepalen van het totaal aantal afleveringen of seizoenen.
- Incorrect opstellen van de vergelijking, bijvoorbeeld door het verkeerde aantal seizoenen te gebruiken (16 i.p.v. 15).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 2 (4 punten)

Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden. In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden, kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.
Bereken hoeveel verschillende standen er na de eerste ronde mogelijk zijn als er in deze ronde in totaal 40 seconden worden verdiend.

Wat kun je verwachten: Je zult een probleem tegenkomen waarbij je verschillende manieren moet tellen om een bepaald aantal 'punten' (in dit geval seconden) te verdelen over een aantal personen. Dit vereist systematisch denken en het toepassen van combinatoriek.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, zoals het verschil tussen combinaties en permutaties, en hoe je deze berekent. Ook moet je weten hoe je omgaat met herhalingen in een verdeling.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om alle mogelijke verdelingen van de 40 verdiende seconden over de drie kandidaten te identificeren. Vervolgens moet je voor elke unieke verdeling het aantal manieren kunnen berekenen waarop deze scores aan de specifieke kandidaten kunnen worden toegewezen, rekening houdend met gelijke scores. Tot slot tel je al deze mogelijkheden bij elkaar op.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je alle mogelijke manieren vindt om 40 seconden te verdelen over drie kandidaten. Denk hierbij aan de stappen van 10 seconden.
Let goed op het verschil tussen de 'verdiende' seconden en de 'totale' seconden. De vraag gaat over de verdiende seconden die verdeeld worden.
Wanneer je de verdelingen hebt gevonden (bijvoorbeeld 40-0-0 of 20-20-0 verdiende seconden), moet je voor elke verdeling bepalen op hoeveel manieren je deze scores aan kandidaat A, B en C kunt toewijzen. Hierbij is de volgorde belangrijk (permutaties).
Wees extra voorzichtig als er gelijke scores zijn binnen een verdeling (bijvoorbeeld 20-10-10). Dit beïnvloedt de manier waarop je het aantal permutaties berekent.
Vergeet niet om aan het einde alle berekende mogelijkheden bij elkaar op te tellen om tot het totale aantal verschillende standen te komen.

Kernbegrippen: combinatoriek, permutaties, verdelingsprobleem

Veelgemaakte fouten:
- Niet alle scoreverdelingen vinden
- Permutaties incorrect berekenen (vooral bij herhaalde scores)
- Vergeten de mogelijkheden van alle verdelingen op te tellen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 23 – Opgave 2 (3 punten)

3p 23 Bereken hoeveel procent van het totaal aantal onderzochte zonnebloemen een fibonacci-spiralenpaar had. Geef je antwoord in gehelen. Niet alle zonnebloemen blijken dus fibonacci-spiralenparen te hebben. Toch is er bij de andere spiralenparen vaak wel iets bijzonders aan de hand, waardoor de andere zonnebloemen ook kunnen worden ingedeeld in zogeheten families. De zonnebloem van foto 2 heeft het spiralenpaar \((29, 47)\) en behoort tot een andere familie dan de zonnebloemen met fibonacci-spiralenparen. Bij de familie van deze bloem zijn de spiralenparen twee opeenvolgende getallen uit een andere rij. Deze rij is wel vergelijkbaar met de rij van Fibonacci, want ook voor deze rij geldt dat elke term de som is van de twee voorafgaande termen. foto 2 58 \((29,47)\) Van de familie van zonnebloemen uit foto 2 is het kleinste aantal spiralen 11 en het grootste aantal spiralen 123.

Wat kun je verwachten: Je zult een percentage moeten berekenen op basis van gegeven percentages en absolute aantallen uit verschillende groepen. Dit vereist dat je de informatie uit de tekst zorgvuldig combineert.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages omzet naar absolute aantallen en hoe je een gewogen gemiddelde berekent. Ook moet je weten hoe je een deel van een geheel als percentage uitdrukt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale aantallen zonnebloemen per groep bepalen. Je kunt het aantal zonnebloemen met een fibonacci-spiralenpaar per groep berekenen. Je kunt deze aantallen optellen en vervolgens het totale percentage berekenen. Je kunt je eindantwoord correct afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen percentages en decimale getallen. Als je met percentages rekent, zet je ze eerst om naar decimalen (bijvoorbeeld 74% wordt 0,74).
Voorkom dat je te vroeg afrondt. Bereken eerst de absolute aantallen zonnebloemen met fibonacci-spiralenparen per groep en tel deze op voordat je het uiteindelijke percentage berekent.
Neem geen ongewogen gemiddelde van de percentages (74% en 64%). De groepen zijn niet even groot, dus je moet rekening houden met de grootte van elke groep (dit heet een gewogen gemiddelde).
Lees de vraag goed: het antwoord moet in gehelen worden gegeven. Rond je uiteindelijke percentage dus correct af.

Kernbegrippen: gewogen gemiddelde, procentrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Onterecht het gemiddelde van de percentages nemen (74% en 64%) zonder weging.
- Foutief afronden van de absolute aantallen zonnebloemen.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/23

## Vraag 24 – Opgave 2 (3 punten)

Niet alle zonnebloemen blijken dus fibonacci-spiralenparen te hebben. Toch is er bij de andere spiralenparen vaak wel iets bijzonders aan de hand, waardoor de andere zonnebloemen ook kunnen worden ingedeeld in zogeheten families.
De zonnebloem van foto 2 heeft het spiralenpaar (29, 47) en behoort tot een andere familie dan de zonnebloemen met fibonacci-spiralenparen. Bij de familie van deze bloem zijn de spiralenparen twee opeenvolgende getallen uit een andere rij. Deze rij is wel vergelijkbaar met de rij van Fibonacci, want ook voor deze rij geldt dat elke term de som is van de twee voorafgaande termen.

[foto 2 is hier afgebeeld met bijschrift (29, 47)]

Van de familie van zonnebloemen uit foto 2 is het kleinste aantal spiralen 11 en het grootste aantal spiralen 123.

Geef alle mogelijke spiralenparen uit deze familie. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je zult een reeks getallen moeten opbouwen die voldoet aan een specifieke recursieve relatie, vergelijkbaar met de Fibonacci-rij. Je begint met een gegeven paar en werkt zowel vooruit als achteruit om de volledige reeks binnen bepaalde grenzen te vinden. Daarna vorm je de gevraagde paren.

Wat moet je kennen: Je moet het principe van een recursieve rij kennen, waarbij elke term afhankelijk is van voorgaande termen (zoals bij de Fibonacci-rij). Je moet ook logisch kunnen redeneren om zowel vooruit als achteruit in zo'n rij te werken.

Wat moet je kunnen: Je kunt de volgende term in een recursieve rij berekenen door de twee voorgaande termen op te tellen. Je kunt ook de voorgaande term berekenen door de tweede van de twee opeenvolgende termen af te trekken van de daaropvolgende term. Je kunt de geconstrueerde rij omzetten in de gevraagde spiralenparen.

Waar op letten: Je moet zowel vooruit als achteruit redeneren vanuit het gegeven paar (29, 47) om de volledige reeks te vinden.
Zorg ervoor dat alle getallen in de reeks binnen de opgegeven grenzen van 11 en 123 vallen.
Let goed op de definitie van een 'spiralenpaar': dit zijn twee opeenvolgende getallen uit de geconstrueerde rij.
Je moet je antwoord toelichten door te laten zien hoe je de getallen in de rij hebt gevonden.

Kernbegrippen: rijen en reeksen, recursieve formule, Fibonacci-rij

Veelgemaakte fouten:
- Alleen vooruit rekenen vanaf (29, 47) en niet achteruit
- Niet alle paren binnen de gegeven grenzen (11 en 123) vinden
- De resulterende rij getallen niet correct omzetten naar de gevraagde spiralenparen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2025/tijdvak-1/vraag/24

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een berekening moet uitvoeren waarbij je een deel van een totaal en het bijbehorende percentage gebruikt om het totale aantal te vinden. Dit vereist inzicht in hoe percentages werken en hoe je hiermee terugrekent naar het geheel.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages omzet naar decimale getallen (bijvoorbeeld 7,1% is 0,071). Je moet ook de basisprincipes van het rekenen met percentages kennen, met name hoe je het geheel berekent als je een deel en het percentage van dat deel weet.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de tekst kunnen filteren. Je moet een correcte berekening kunnen opstellen om het totale aantal mensen te vinden. Tot slot moet je je antwoord correct kunnen afronden op gehele miljarden, zoals gevraagd.

Waar op letten: Lees goed de vraag: 'hoeveel mensen er volgens dit model tot 2019 ooit op aarde hebben geleefd'. Dit is het 'geheel' waar je naar zoekt.
Identificeer de twee getallen die je nodig hebt: de wereldbevolking in 2019 (7,67 miljard) en het percentage dat dit getal vertegenwoordigt van het totaal (7,1%).
Let goed op de eenheid van het antwoord: 'gehele miljarden'. Dit betekent dat je op het einde correct moet afronden.
Denk goed na over de bewerking: als je een deel en het percentage van het geheel weet, hoe bereken je dan het geheel? Deel je door het percentage of vermenigvuldig je ermee? En hoe zet je een percentage om naar een decimaal getal?

### Vraag 7 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je zult een probleem oplossen waarbij je ruimtelijk inzicht nodig hebt. Je past de stelling van Pythagoras toe om een lengte te berekenen en gebruikt daarna gelijkvormigheid om een onbekende afstand te vinden. Je moet de informatie uit de tekst en de figuur combineren.

Wat moet je kennen: Je moet de stelling van Pythagoras kennen en kunnen toepassen. Ook moet je de eigenschappen van gelijkvormige driehoeken kennen, inclusief hoe je de vergrotingsfactor bepaalt en toepast. Je moet ook weten hoe je een diagonaal van een vierkant berekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante informatie uit de tekst en de figuur halen. Je kunt de stelling van Pythagoras correct toepassen om de lengte van EC te berekenen. Je kunt de gelijkvormige driehoeken in de figuur herkennen en de juiste zijden met elkaar in verhouding brengen om de afstand te berekenen. Je kunt nauwkeurig rekenen en op het juiste moment afronden.

Waar op letten: Lees de tekst goed om te begrijpen welke punten bij welke hoogtes horen en wat de relatie is tussen de camera en Turm. Let op de zin 'EC een diagonaal van een vierkant met zijden van 4 meter is'.
Identificeer de gelijkvormige driehoeken correct. Welke hoeken zijn gelijk en welke zijden corresponderen met elkaar? Dit is cruciaal voor het opstellen van de juiste verhoudingen.
Voorkom te vroeg afronden. Gebruik de volledige, niet-afgeronde waarden in je tussenberekeningen en rond pas aan het einde af op één decimaal, zoals gevraagd.
Controleer of je de juiste hoogtes gebruikt voor de verhouding van de gelijkvormige driehoeken. De hoogte van de camera is 1,5 meter, en de hoogte van punt C ten opzichte van de grond is 6 meter. Wat is dan de relevante hoogte voor de driehoek boven C?

### Vraag 12 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een open redeneervraag waarin je met een systematische opsomming of gevalsonderscheiding moet aantonen dat er geen geldige uitkomst mogelijk is onder de gegeven regels.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie en voorwaarden van een 'goede verdeling' kennen (inclusief het concept anonimiteit en het uitsluiten van het eigen lootje trekken).

Wat moet je kunnen: Je stelt alle mogelijke lootjesverdelingen (permutaties) systematisch op, filtert de gevallen weg waarin iemand zichzelf trekt, en beredeneert per overgebleven geval waarom de trekking niet anoniem is doordat één persoon direct kan afleiden wie welk lootje heeft.

Waar op letten: Vergeet de eis van anonimiteit niet; een verdeling waarbij niemand zichzelf trekt is niet automatisch 'goed' als iemand kan afleiden wie welk lootje heeft.
Zorg voor een volledige gevalsonderscheiding: bekijk alle 3! = 6 mogelijke verdelingen of werk sluitend vanuit de keuzes van één persoon.
Noteer je redenering expliciet per overgebleven situatie: laat zien wie welk lootje trekt en wat diegene daaruit direct met zekerheid kan concluderen.
Blijf strikt binnen de context van de drie personen en haal de regels voor zes personen er nog niet bij.

### Vraag 21 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een contextrijk stappenplan of spelverloop waarin je per ronde stapsgewijs scores moet bijhouden. Je vult een overzicht aan of rekent door totdat de eindstand bekend is.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je nauwkeurig spelregels vertaalt naar rekenkundige bewerkingen: optellen van bonussen, aftrekken van kosten of tijd, en vergelijken van tussenstanden om volgordes te bepalen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de tussenstanden na ieder fragment systematisch berekenen, bepalen wie op welk moment mag antwoorden op basis van de tussenstand, en op grond van de eindtotalen een duidelijke conclusie trekken.

Waar op letten: Let goed op de regel voor wie als tweede aan de beurt komt: dit is de kandidaat die op dat moment de minste seconden heeft.
Houd de oplopende puntenverdeling (10, 20, 30, 40, 50 seconden) scherp in de gaten; het aantal punten hangt af van welk trefwoord binnen het fragment aan de beurt is, ongeacht wie het noemt.
Trek de gebruikte denktijd consequent af van de score van de kandidaat die aan de beurt is.
Formuleer aan het einde een expliciete conclusie waarin je aangeeft wie de winnaar ('De slimste van de dag') is op basis van de berekende eindscores.

### Vraag 22 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een reeks getallenparen en je moet aantonen welke hiervan voldoen aan de eigenschappen van een bekende wiskundige rij.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie en het recursieve karakter van de rij van Fibonacci kennen: elk volgend getal ontstaat door de twee voorgaande getallen bij elkaar op te tellen (beginnend met 1, 1, 2, 3, ...).

Wat moet je kunnen: Je berekent de termen van de rij van Fibonacci correct en verifieert systematisch of beide getallen uit een paar opeenvolgende termen in deze rij zijn.

Waar op letten: Schrijf de rij van Fibonacci ver genoeg uit, minimaal tot en met het hoogste getal dat in de paren voorkomt (144).
Maak geen rekenfout bij het opeenvolgend optellen van de termen in de rij.
Controleer niet alleen of de getallen in de rij voorkomen, maar ook of ze daadwerkelijk direct op elkaar volgen.
Noteer expliciet je gegenereerde rij of je redenering in je uitwerking; alleen de letters van de foto's noemen levert niet de maximale score op.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2025
tijdvak 1
woensdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur


wiskunde C

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 24 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1026-a-25-1-o

### Pagina 2

Groeipercentages wereldbevolking
De wereldbevolking is gedefinieerd als het totaal aantal levende mensen
op aarde op een bepaald moment. Het blijkt moeilijk te zijn om op een
bepaald moment de wereldbevolking exact te bepalen, daarom wordt de
wereldbevolking in werkelijkheid altijd geschat. Hierbij worden
verschillende modellen gebruikt. Begin 2019 werd op basis van een van
die modellen de wereldbevolking op 7,67 miljard mensen geschat.
Volgens hetzelfde model zou dat 7,1% zijn van het totaal aantal mensen
dat dan tot dan toe ooit op aarde had geleefd.
2p 1
Bereken hoeveel mensen er volgens dit model tot 2019 ooit op aarde
hebben geleefd. Geef je antwoord in gehele miljarden.
De wetenschapper Doug Boucher beweerde in 2018 dat de
wereldbevolking al ruim een halve eeuw bij benadering lineair groeide. Hij
baseerde dit lineaire model op historische gegevens. Zie figuur 1.
figuur 1
wereldbevolking
(in miljarden)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
→ jaar
Voor zijn lineaire benadering gebruikte Boucher dat de wereldbevolking
groeide van 3,084 miljard halverwege 1961 tot 7,330 miljard halverwege
2016.
Veronderstel dat Bouchers lineaire benadering ook na 2016 bleef gelden,
dan volgt hieruit een lagere schatting voor de wereldbevolking begin 2019
dan de eerder genoemde schatting van 7,67 miljard.
3p 2
Bereken hoeveel lager de schatting volgens Bouchers lineaire benadering
uitvalt. Geef je antwoord in gehele miljoenen.
VW-1026-a-25-1-o
2/15
lees verder ►►►

### Pagina 3

Als de wereldbevolking bij benadering lineair groeit, dan zal het jaarlijkse
groeipercentage afnemen.
2p 3
Bereneener dit zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld.
In figuur 2 zijn de jaarlijkse groeipercentages voor de periode 1950-2050
weergegeven. Hierbij zijn de percentages na 2013 voorspelde
percentages. Bovendien is een trendlijn getekend.
figuur 2
groei-
percentage
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050
→ jaar
In tegenstelling tot het model van Boucher waarin de wereldbevolking
lineair zou toenemen, geeft de trend in figuur 2 aanleiding voor een ander
model waarin de groeipercentages lineair afnemen.
Een formule voor de trendlijn in figuur 2 is:
P = -0,0177t + 2,2153
Hierin is P het jaarlijkse groeipercentage en t de tijd in jaren met t = 0 het
jaar 1950.
In de formule van de trendlijn kun je zien dat in 1950 de wereldbevolking
toename met afgerond 2,2%.
Er zijn wetenschappers die vermoeden dat aan het eind van deze eeuw
de wereldbevolking nauwelijks nog zal groeien of op termijn misschien
zelfs gaat afnemen. Stel dat de groeipercentages zich ook na 2050
volgens de formule van P zullen blijven ontwikkelen.
3p 4
Bereken in welk jaar de wereldbevolking dan voor het eerst zal afnemen.

### Pagina 4

Turm
De Duitse tekenaar en beeldhouwer
Erwin Heerich (1922–2004) maakte
in zijn werk vaak gebruik van eenvoudige
ruimtelijke figuren. Later in zijn
carrière ontwierp hij ook gebouwen.
Op foto 1 zie je zijn Turm (Duits voor 'toren'),
foto 1
die hij bedacht voor het openluchtmuseum
Museum Insel Hombroich bij Neuss in
Duitsland.
[FIGUUR: Foto van een gebouw bestaande uit stenen kubussen.]
Turm heeft de vorm van een kubus met een
ribbe van 10 meter. Op een hoogte van
6 meter zijn diagonaal tegenover elkaar
twee kubussen met een ribbe van 4 meter
weggelaten.
2p
5
Tekenen op schaal 1 : 200 het bovenaanzicht van Turm.
Op de uitwerkbijlage staat een gestippelde perspectieftekening van een
kubus.
6p
6
Tekenen in de figuur op de uitwerkbijlage de perspectieftekening van Turm,
zonder deuren, vanuit het aanzicht van foto 1.
VW-1026-a-25-1-o
4/15
lees verder

### Pagina 5

Op foto 2 is Turm vanuit een bijzonder perspectief gefotografeerd waarbij twee hoekpunten van een van de weggelaten kubussen samenvallen.
foto 2
figuur
[FIGUUR: Een schematische tekening van de hoek van een kubus die onder een hoek is gefotografeerd. Twee punten D en C liggen op de bovenste rand van de kubus. Een punt E ligt op de onderste rand en projecteert recht naar beneden op de bovenste rand. Er is een rechthoek getekend met hoekpunten op de bovenste rand en een zijde van 10. De hoogte van de kubus is niet expliciet gegeven, maar er is een schaal aangegeven met de hoogte 4 onder punt D. Op een lijn recht naar beneden vanaf C is een punt B getekend met de waarde 1,5 eronder. Er is een stippellijn van D naar B en een stippellijn van B naar A, waar A het punt is waar de projectie van E op de bovenste rand valt.]
Foto 2 is op anderhalve meter hoogte genomen, waarbij de camera van de fotograaf precies op het (denkbeeldige) verlengde van een diagonaal van het grondvlak van Turm stond. In de figuur is schematisch de positie van de fotocamera, in punt B, ten opzichte van Turm weergegeven. Uit de gegevens volgt dat EC een diagonaal van een vierkant met zijden van 4 meter is.
3p 7 Bereken, zonder te meten, op welke afstand vanaf Turm foto 2 gemaakt is. Geef je antwoord in meters in één decimaal.
VW-1026-a-25-1-o
5/15
lees verder ► ► ►

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "n.v.t.",
    "year": "n.v.t.",
    "tijdvak": "n.v.t."
  },
  "figures": [
    "Spreidingsdiagram met op de y-as het 'gemiddeld levensvoldoeningscijfer' en op de x-as het 'gemiddeld inkomen per inwoner (in dollars)'. Verschillende landen zijn weergegeven als cirkels, waarvan de grootte varieert. De trend is weergegeven met een grijze lijn. Enkele landen zoals Denemarken, Verenigde Staten, China, Hongkong en Rusland zijn gelabeld."
  ],
  "keywords": "geld, geluk, levensvoldoening, inkomen, trendlijn, formule, logaritme, grenzen, dollars"
}
```

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Wiskunde",
    "year": "2017",
    "tijdvak": "1"
  },
  "transcription": "In de figuur is te zien dat over het algemeen geldt dat hoe hoger het\ngemiddelde inkomen is, hoe hoger de levensvoldoening is. Dit is niet\noveral het geval. Zo geldt voor Denemarken en Hongkong dat het\ngemiddelde inkomen per inwoner bijna even hoog is, namelijk 28 000\ndollar. De levensvoldoening is in Denemarken echter aanzienlijk hoger\ndan in Hongkong. Bij beide landen wijkt het levensvolvoeningscijfer\nbehoorlijk af van wat je op basis van de formule van de trendlijn zou\nverwachten. De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.\n3p 9\nOnderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage en de formule\nvan de trendlijn bij welk van deze twee landen de afwijking het grootst is.\nOp basis van de onderzoeksresultaten deden de onderzoekers de\nvolgende uitspraak:\nElke verdubbeling van het inkomen per inwoner gaat gepaard met een\nconstante toename van het levensvoldoeningscijfer.\n3p 10\nBereken met behulp van de formule $L = 0,6 \cdot ^2\log(I) - 1,973$ hoe groot de\ntoename is bij een verdubbeling van $I$. Geef je antwoord in één decimaal.",
  "figures": [],
  "keywords": "levensvoldoening, inkomen, trendlijn, formule, verdubbeling, logaritme"
}
```

### Pagina 8

Lootjes trekken

Veel groepen en families trekken voor Sinterklaas of Kerstmis lootjes om te bepalen wie aan wie een cadeautje geeft.

Het trekken van lootjes kan met behulp van papiertjes worden gedaan. Daarover gaat deze opgave. Dit lootjes trekken gaat als volgt:
— Elke deelnemer schrijft de eigen naam op een papiertje.
— Vervolgens worden deze zogenaamde lootjes in een zak gestopt.
— Daarna trekt iedereen willekeurig blind één lootje uit de zak.

Als iemand het eigen lootje trekt, moeten alle lootjes weer worden ingeleverd en worden de lootjes opnieuw getrokken.

We noemen het trekken van lootjes anoniem als iedereen alleen de naam weet op het lootje dat hij/zij getrokken heeft en van geen enkel ander lootje kan beredeneren door wie het getrokken is. De verdeling van de lootjes over de verschillende personen noemen we goed als niemand het eigen lootje heeft en als het lootjes trekken anoniem is.

We voeren de volgende notaties in:
Z Minstens één persoon heeft het eigen lootje getrokken.
A Het lootjes trekken is anoniem.
G De verdeling van de lootjes is een goede verdeling.

Gegeven is de zin:
Als niemand het eigen lootje getrokken heeft en het lootjes trekken is anoniem, dan is de verdeling van de lootjes een goede verdeling.

2p 11
Vertaal de gegeven zin in logische symbolen, gebruikmakend van bovenstaande notatie.

Als de verdeling van de lootjes niet goed is, dan heeft minstens één persoon het eigen lootje getrokken en/of is het lootjes trekken niet anoniem.

Met twee personen is er geen goede verdeling van lootjes mogelijk.
Immers:
— Als je je eigen lootje trekt, dan is de verdeling niet goed. Bovendien weet je dan ook dat de ander zichzelf heeft en is het daarmee ook niet anoniem.
— Als je het lootje van de ander trekt, dan weet je dat de ander jouw lootje heeft getrokken en is het lootjes trekken niet anoniem.

VW-1026-a-25-1-0
8 / 15
lees verder


### Pagina 9

Ook voor drie personen is het niet mogelijk om een goede verdeling te
krijgen.
Sem, Finn en Rik gaan lootjes trekken.
12
Berenedeneer dat er bij deze drie personen geen goede verdeling van de
lootjes mogelijk is.
Een groep van zes personen gaat lootjes trekken. Bij zes personen is
lootjes trekken altijd anoniem, zolang mensen niet vertellen welk lootje zij
getrokken hebben. In het vervolg van deze opgave hoef je dus geen
rekening meer te houden met de anonimiteit. Een mogelijke verdeling van
de lootjes is in de tabel weergegeven.
tabel
persoon
P
Q
R
S
T
U
heeft het lootje getrokken van
R
P
Q
T
U
S
Zonder het van elkaar te weten, vormen P, Q en R een subgroep binnen
de groep van zes personen. De drie personen trekken in een soort
kringetje elkaars lootje. Dit noemen we een kringetje van lengte 3. Ook
S, T en U vormen een kringetje van lengte 3. Omdat niemand het eigen
lootje heeft, is er sprake van een goede verdeling.
Met de notatie K wordt bedoeld dat er ten minste één kringetje van
lengte n aanwezig is in de verdeling van de lootjes.
De volgende twee beweringen worden gedaan over het lootjes trekken
met zes personen:
K5 G
(KA G) K2
13
Vertaa elk van de twee beweringen naar een zin en geef van elke zin aan
of de bewering waar is of niet. Licht je antwoord toe.
4p
4p
VW-1026-a-25-1-o
9/15
lees verder

### Pagina 10

Pokémon GO
Pokémon GO is een spel dat je via een app op een smartphone kunt
spelen. Het spel werd op 6 juli 2016 uitgebracht door Nintendo en werd al
snel een van de populairste spellen op een smartphone.
2p 14
In de eerste twee weken na de lancering van Pokémon GO nam het
aantal gebruikers spectaculair toe tot 45 miljoen wereldwijd.
Bereken hoeveel gebruikers er gemiddeld per minuut bij kwamen in deze
periode. Geef je antwoord in tientallen nauwkeurig.
Pokémon GO was na de lancering veruit het populairst in de Verenigde
Staten (VS). De volgende vragen gaan over het aantal gebruikers per dag
van Pokémon GO in de Verenigde Staten. In figuur 1 is dit aantal voor de
periode juli 2016 tot en met december 2016 weergegeven.
figuur 1
aantal
gebruikers
per dag
(in miljoenen)
30
28,5 miljoen
25
20
15
10
5
0
1-7
19-7
4-8
20-8
5-9
7-10
21-10
8-11
24-11
10-12
26-12
3p 15
In de eerste week na de lancering van het spel op 6 juli 2016 nam het
aantal gebruikers per dag toe tot maximaal 28,5 miljoen op 13 juli 2016.
Na 13 juli 2016 nam het aantal gebruikers per dag alweer af. De afname
verliep in het begin bij benadering lineair tot 15,1 miljoen gebruikers op
12 augustus 2016.
Bereken met behulp van deze gegevens het aantal gebruikers per dag in
de VS op 1 augustus 2016. Geef je antwoord in gehele miljoenen.
Een formule waarmee het aantal gebruikers per dag vanaf
12 augustus 2016 benaderd kan worden, is:
N = 10,5 · 0,972' + 4,6
Hierin is N het aantal gebruikers per dag in de VS in miljoenen en t de tijd
in dagen met t = 0 op 12 augustus 2016.
4p 16
Bereken hoeveel gehele dagen na de lancering van Pokémon GO op 6 juli
het aantal gebruikers per dag in de VS voor het eerst minder dan een
kwart was van het maximale aantal gebruikers per dag in de VS.
VW-1026-a-25-1-o
10 / 15
lees verder

### Pagina 11

Pokémon GO bestaat uit 40 levels. Een van de redenen dat flink wat
gebruikers van Pokémon GO weer afhaken, is dat het steeds moeilijker
wordt om een volgend level in het spel te bereiken.
Om een volgend level te bereiken, moet je een bepaald totaal aantal
punten behaald hebben. Dit worden XP (Experience Points) genoemd.
Zie figuur 2.
figuur 2
25-
totaal
aantal XP
(in miljoenen) 20-
15-
10-
5-
0+
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
level
Vanaf level 22 blijkt er bij benadering een exponentieel verband te
bestaan tussen het level en het totaal aantal behaalde XP. Bij level 22
horen 335 000 XP en bij level 40 wel 20 000 000 XP.
Uit de gegevens volgt dat afgerond op drie decimalen de groeifactor van
het totaal aantal behaalde XP per level gelijk is aan 1,255.
3p 17
Bereken met behulp van de gegevens deze groeifactor in vier decimalen.
Youtuber Brandon Tan bereikte op een gegeven moment level 40. Naar
eigen zeggen behaalde hij tussen level 39 en level 40 gemiddeld
300 000 XP per dag.
Bereken hoeveel dagen hij volgens de gegevens bezig is geweest om van
level 39 naar level 40 te komen. Maak gebruik van de groeifactor en geef
je antwoord in gehele dagen.
3p 18
VW-1026-a-25-1-0
11/15
lees verder

### Pagina 12

De slimste mens
'De slimste mens' is een televisietest. In elke aflevering van deze quiz
strijden drie kandidaten tegen elkaar. In verschillende rondes moet
geprobeerd worden zoveel mogelijk seconden te verdienen door juiste
antwoorden te geven. De kandidaat die aan het einde de meeste
seconden heeft, is 'De slimste van de dag'.
Van deze quiz worden per jaar twee seizoenen uitgezonden, één in de
zomer en één in de winter. Elk seizoen bevat 30 of 35 afleveringen. Alleen
het 11e seizoen bevatte slechts 5 afleveringen.
In de zomer van 2020 werd het 17e seizoen uitgezonden. De 30e
aflevering van dit seizoen was de 500e aflevering van deze quiz.
3p 19
Bereken hoeveel van de seizoenen vóór dit 17e seizoen uit
35 afleveringen bestonden.
Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden.
In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een
mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden,
kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In
totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.
4p 20
Bereken hoeveel verschillende standen er na de eerste ronde mogelijk
zijn als er in deze ronde in totaal 40 seconden worden verdiend.
VW-1026-a-25-1-0
12 / 15
lees verder

### Pagina 13

Bij de laatste ronde worden drie filmfragmenten getoond. Bij ieder
fragment moeten vijf trefwoorden worden genoemd. Hierbij gelden de
volgende regels:
— Per fragment levert het trefwoord dat als eerste juist genoemd wordt
10 seconden op, het tweede 20 seconden en zo verder tot 50
seconden voor het vijfde juist genoemde trefwoord. Dit is onafhankelijk
van welke kandidaat het juiste antwoord heeft.
— Als bij een fragment de eerste kandidaat niet alle juiste trefwoorden
heeft gegeven, mogen de andere twee kandidaten proberen de
overige juiste trefwoorden te noemen. De kandidaat die op dat
moment de minste seconden heeft, mag dit als eerste proberen.
— Het aantal seconden dat een kandidaat nodig heeft om na te denken
en trefwoorden te noemen wordt in mindering gebracht.
De kandidaat die aan het einde van deze ronde de meeste seconden
heeft, is 'De slimste van de dag'.
Bij een aflevering was de stand voor aanvang van de laatste ronde:
— kandidaat A: 254 seconden
— kandidaat B: 273 seconden
— kandidaat C: 222 seconden
Kandidaat C mocht bij de laatste ronde beginnen en wist vier juiste
trefwoorden te geven in 13 seconden. Vervolgens gaf kandidaat A geen
juist trefwoord, maar gebruikte wel 6 seconden om na te denken.
Kandidaat B paste direct en verspeelde daardoor geen seconden.
In de tabel op de uitwerkbijlage is de tussenstand van de kandidaten na
fragment 1 al ingevuld. Verder is voor de overige fragmenten
weergegeven hoeveel trefwoorden een kandidaat goed had en hoeveel
seconden de kandidaat daarvoor nodig had. Ook is te zien dat kandidaat
A bij fragment 2 mocht beginnen en kandidaat B bij fragment 3.
5p 21 Bereken welke kandidaat deze aflevering 'De slimste van de dag' was. Je
kunt hierbij gebruikmaken van de tabel op de uitwerkbijlage.
VW-1026-a-25-1-0
13/15
lees verder

### Pagina 14

Zonnebloemen

Als je goed naar een zonnebloem kijkt, dan kun je zien dat de pitten
geordend zijn in spiralen. Er zijn spiralen die linksom draaien en spiralen
die rechtsom draaien.

In figuur 1 en foto 1 zie je bijvoorbeeld een zonnebloem met 21 linksom
draaiende en 34 rechtsom draaiende spiralen. De getallen 21 en 34 zijn
opvallend, omdat het twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci
zijn.

figuur 1
foto 1
34
21
[FIGUUR: Een geometrische weergave van spiraalvormige lijnen op een zwarte achtergrond, met de getallen 34 en 21 erboven met pijlen die een relatie aangeven. Rechts daarvan een zwart-wit foto van het midden van een zonnebloem met zichtbare patronen van zaden.]

In deze opgave bedoelen we met een spiralenpaar het aantal linksom
draaiende en het aantal rechtsom draaiende spiralen in een specifieke
zonnebloem. We noteren deze spiralenparen steeds tussen haakjes met
het kleinste aantal eerst. Het spiralenpaar uit foto 1 wordt dus genoteerd
als (21, 34).
Met een fibonacci-spiralenpaar bedoelen we dat het spiralenpaar uit
twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci bestaat. Het
spiralenpaar uit foto 1 is dus een fibonacci-spiralenpaar.

Een recursieve formule van de rij van Fibonacci is $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ met
$F_0 = F_1 = 1$ .
Hieronder staan nog vijf andere foto's van zonnebloemen uit het
onderzoek, met de bijbehorende spiralenparen.
A
B
C
D
E
[FIGUUR: Vijf zwart-wit foto's van de centra van verschillende zonnebloemen, elk met nummers onderaan die paren van getallen weergeven.]
(55, 89)
(34, 57)
(42, 68)
(89, 144)
(57, 89)
2p 22 Onderzoek op welke van deze foto's zonnebloemen staan afgebeeld met
een fibonacci-spiralenpaar.

VW-1026-a-25-1-o
14/15
lees verder ►►►

### Pagina 15

In 2012 werd er door het Manchester Museum of Science and Industry
een onderzoek gestart naar de aanwezigheid van fibonacci-spiralenparen
in zonnebloemen. Voor het onderzoek waren veel zonnebloemen nodig en
daarom konden geïnteresseerde mensen zelf zonnebloemen kweken, het
aantal spiralen tellen en de gegevens insturen.
De onderzoekers leverden gegevens van 768 zonnebloemen aan en het
publiek van 1281 zonnebloemen. Hiervan bleek afgerond respectievelijk
74% en 64% van de zonnebloemen een fibonacci-spiralenpaar te hebben.
Bereken hoeveel procent van het totaal aantal onderzochte
zonnebloemen een fibonacci-spiralenpaar had. Geef je antwoord in
gehelen.
Niet alle zonnebloemen blijken dus fibonacci-spiralenparen te hebben.
Toch is er bij de andere spiralenparen vaak wel iets bijzonders aan de
hand, waardoor de andere zonnebloemen ook kunnen worden ingedeeld
in zogeheten families.
De zonnebloem van foto 2 heeft het spiralenpaar (29, 47) en behoort tot
een andere familie dan de zonnebloemen met fibonacci-spiralenparen. Bij
de familie van deze bloem zijn de spiralenparen twee opeenvolgende
getallen uit een andere rij. Deze rij is wel vergelijkbaar met de rij van
Fibonacci, want ook voor deze rij geldt dat elke term de som is van de
twee voorafgaande termen.
foto 2
(29, 47)
Van de familie van zonnebloemen uit foto 2 is het kleinste aantal spiralen
11 en het grootste aantal spiralen 123.
3p 24 Geef alle mogelijke spiralenparen uit deze familie. Licht je antwoord toe.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1026-a-25-1-o
15 / 15
einde