# Eindexamen Wiskunde C VWO 2024 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (2 punten)

2p 1 Arceer in het Venndiagram op de uitwerkbijlage het gebied waarin zich een persoon bevindt die volgens de drie criteria van de overheid werkloos is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een Venndiagram met drie overlappende cirkels die elk een criterium voor werkloosheid representeren. Je moet het gebied arceren dat voldoet aan alle gegeven voorwaarden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van Venndiagrammen kennen, inclusief hoe je doorsneden (EN), verenigingen (OF) en complementen (NIET) van verzamelingen weergeeft.

Wat moet je kunnen: Je moet de tekstuele beschrijving van de criteria voor werkloosheid kunnen vertalen naar logische operaties (EN, NIET) en deze correct kunnen visualiseren in het Venndiagram door het juiste gebied te arceren.

Waar op letten: Lees de criteria voor werkloosheid heel nauwkeurig. Elk woord telt.
Let goed op de negatie ('geen betaald werk'). Dit betekent dat het gebied dat je zoekt, buiten de cirkel van 'betaald werk' moet liggen.
De term 'volgens de drie criteria' betekent dat aan ALLE drie de voorwaarden tegelijkertijd voldaan moet zijn. Dit duidt op een logische EN-verbinding (doorsnede).
Zorg ervoor dat je het hele gebied arceert dat aan alle voorwaarden voldoet, en niet slechts een deel ervan of een te groot gebied.

Kernbegrippen: Venndiagram, logische conjunctie, logische negatie, doorsnede van verzamelingen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de voorwaarde 'geen betaald werk' (¬B) en daardoor de doorsnede van alle drie de cirkels (B ∧ Z ∧ S) arceren.
- Slechts een deel van de voorwaarden arceren, bijvoorbeeld alleen de doorsnede van Z en S.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (2 punten)

Leg uit of S een voldoende voorwaarde is voor W en leg uit of S een nodige voorwaarde is voor W.

Wat kun je verwachten: Je moet de definities van 'nodige voorwaarde' en 'voldoende voorwaarde' toepassen op de gegeven situatie. Je analyseert de relatie tussen S en W en legt uit waarom S wel of geen van beide is.

Wat moet je kennen: Je moet de precieze betekenis van 'nodige voorwaarde' en 'voldoende voorwaarde' kennen. Je moet ook de definitie van werkloosheid (W) kennen, die waarschijnlijk een combinatie is van meerdere voorwaarden (B, Z, S).

Wat moet je kunnen: Je moet logisch kunnen redeneren en de definities van nodige en voldoende voorwaarde correct kunnen toepassen. Je moet een heldere en beargumenteerde uitleg kunnen geven voor je conclusies.

Waar op letten: Let goed op de richting van de implicatie: 'Als P dan Q' betekent dat P een voldoende voorwaarde is voor Q, en Q een nodige voorwaarde voor P.
Verwar de termen 'nodig' en 'voldoende' niet. Een nodige voorwaarde moet er zijn, maar is niet per se genoeg. Een voldoende voorwaarde is genoeg, maar is niet per se nodig.
Lees de definitie van 'werkloos' (W) heel nauwkeurig. Vaak is werkloosheid gedefinieerd als het voldoen aan MEERDERE criteria tegelijk (bijvoorbeeld 'niet werken EN beschikbaar EN zoekend').
Formuleer je uitleg helder en beargumenteerd. Gebruik de termen 'want' of 'omdat' om je redenering te onderbouwen.

Kernbegrippen: logisch redeneren, nodige voorwaarde, voldoende voorwaarde

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van nodige en voldoende voorwaarde.
- Niet realiseren dat werkloosheid (W) de conjunctie is van drie voorwaarden (¬B, Z, en S).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (3 punten)

3p 3 Gegeven is de bewering \( (S \land \neg Z) \Rightarrow \neg W \). Vertaal deze bewering in een gewone zin **en** bepaal of de bewering in overeenstemming is met de drie criteria van de overheid. Of iemand wel of niet werkloos is, wordt bepaald aan de hand van een ingevulde vragenlijst. In de vragenlijst die tot en met 2021 werd gebruikt, werden onderstaande drie meerkeuzevragen gesteld. Bij de drie vragen is met • aangegeven wat een bepaalde persoon op deze vragen heeft geantwoord. 1) Heeft u op dit moment betaald werk? ο ja • nee 2) Heeft u de afgelopen 4 weken naar betaald werk gezocht? • ja ο nee 3) Op welke termijn kunt u beginnen met werken? ο Binnen 2 weken • 2 weken tot 3 maanden ο 3 maanden tot 6 maanden ο 6 maanden of langer

Wat kun je verwachten: Je zult een logische bewering moeten ontleden en elk onderdeel correct moeten vertalen naar de context van de vragenlijst. Daarna moet je de vertaalde bewering toetsen aan de criteria voor werkloosheid en de gegeven antwoorden om te bepalen of de bewering in overeenstemming is met de situatie.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de logische symbolen ∧ (en), ¬ (niet) en ⇒ (als... dan...) kennen. Ook moet je de criteria voor werkloosheid begrijpen zoals die impliciet in de vragenlijst en de context worden gegeven.

Wat moet je kunnen: Je moet logische symbolen kunnen vertalen naar natuurlijke taal. Je moet de gegeven informatie (vragenlijst en antwoorden) kunnen interpreteren en deze kunnen gebruiken om de waarheidswaarde van een logische bewering te bepalen. Je moet een conclusie kunnen trekken op basis van de logische redenering en de context.

Waar op letten: Let goed op de correcte vertaling van elk logisch symbool: ∧ betekent 'en', ¬ betekent 'niet' en ⇒ betekent 'als... dan...'. Een kleine fout hierin kan de hele vertaling onjuist maken.
Zorg ervoor dat je de negatie (¬) correct toepast op de bijbehorende variabele. Bijvoorbeeld, als Z staat voor 'heeft gezocht', dan staat ¬Z voor 'heeft NIET gezocht'.
Lees de criteria voor werkloosheid zorgvuldig. Iemand is pas werkloos als aan ALLE criteria is voldaan. Als aan één criterium niet is voldaan, is de persoon NIET werkloos.
Verwar de implicatie (⇒) niet met een equivalentie. De bewering 'als A dan B' betekent niet automatisch 'als B dan A'.
Controleer of je redenering over de overeenstemming van de bewering met de criteria logisch en consistent is. Gebruik de antwoorden van de persoon op de vragenlijst om je conclusie te onderbouwen.

Kernbegrippen: logisch redeneren, formele logica, implicatie, conjunctie, negatie, vertalen van logische symbolen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte vertaling van logische symbolen (∧, ¬, ⇒)
- Vergeten de negatie (¬) correct te vertalen in de context
- Foutieve redenering over de geldigheid van de bewering op basis van de gegeven criteria

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (2 punten)

Of iemand wel of niet werkloos is, wordt bepaald aan de hand van een ingevulde vragenlijst. In de vragenlijst die tot en met 2021 werd gebruikt, werden onderstaande drie meerkeuzevragen gesteld. Bij de drie vragen is met • aangegeven wat een bepaalde persoon op deze vragen heeft geantwoord.

1) Heeft u op dit moment betaald werk?
 ο ja
 • nee
2) Heeft u de afgelopen 4 weken naar betaald werk gezocht?
 • ja
 ο nee
3) Op welke termijn kunt u beginnen met werken?
 ο Binnen 2 weken
 • 2 weken tot 3 maanden
 ο 3 maanden tot 6 maanden
 ο 6 maanden of langer

Geef met een redenering in logische symbolen weer, of deze persoon wel of niet volgens de drie criteria van de overheid tot de werklozen wordt gerekend. Gebruik in je antwoord alle vier de symbolen B, Z, S en W.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie beschreven met meerkeuzevragen en antwoorden. Je moet deze informatie omzetten in logische symbolen en vervolgens een logische redenering opstellen om een conclusie te trekken over de status van de persoon. Je gebruikt hierbij de symbolen voor negatie (¬), conjunctie (∧) en implicatie (⇒).

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis kennen van de logische symbolen ¬ (niet), ∧ (en), en ⇒ (impliceert/als...dan...). Je moet ook weten hoe je tekstuele informatie, zoals 'nee' of 'niet binnen 2 weken', correct vertaalt naar deze symbolen. Specifiek voor deze vraag moet je de definitie van 'werkloos' kennen, die vaak impliciet in de context van dergelijke vragen wordt gegeven (namelijk: geen betaald werk EN gezocht EN kan snel beginnen).

Wat moet je kunnen: Je kunt de antwoorden op de vragenlijst correct vertalen naar logische proposities. Je kunt deze proposities combineren met de juiste logische operatoren. Je kunt een volledige logische redenering opstellen die leidt tot een conclusie, waarbij je alle gevraagde symbolen (B, Z, S, W) gebruikt. Je kunt onderscheid maken tussen de voorwaarde 'kan binnen twee weken starten' (S) en het gegeven antwoord '2 weken tot 3 maanden' (wat juist de negatie van S is).

Waar op letten: Let goed op de negaties: 'nee' op een vraag betekent de negatie van de propositie. Bijvoorbeeld, 'nee' op 'Heeft u betaald werk?' betekent ¬B.
De derde vraag is cruciaal: 'Op welke termijn kunt u beginnen met werken?' en het antwoord '2 weken tot 3 maanden'. De voorwaarde voor werkloosheid is vaak 'binnen 2 weken' (S). Als het antwoord '2 weken tot 3 maanden' is, dan betekent dit juist ¬S.
Zorg ervoor dat je alle vier de gevraagde symbolen (B, Z, S en W) gebruikt in je uiteindelijke redenering. Dit is een expliciete eis in de vraag.
De redenering moet een implicatie (⇒) zijn, waarbij de gecombineerde antwoorden leiden tot de conclusie over werkloosheid (W of ¬W).

Kernbegrippen: logisch redeneren, propositielogica, vertalen van tekst naar logische symbolen, negatie (¬), conjunctie (∧), implicatie (⇒)

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect vertalen van de antwoorden naar logische symbolen, met name de negatie bij 'nee' en 'niet binnen 2 weken'.
- Verwarring tussen de voorwaarde 'kan binnen twee weken starten' (S) en het antwoord '2 weken tot 3 maanden' (wat ¬S betekent).
- Niet opstellen van een volledige implicatie die leidt tot de conclusie (¬W).
- Vergeten om alle vier de gevraagde symbolen (B, Z, S, W) te gebruiken in de eindredenering.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (3 punten)

Het CBS is inmiddels overgegaan op een nieuwe methode voor het bepalen van het aantal werklozen. In oktober 2021 is het aantal werklozen zowel met de oude als met de nieuwe methode bepaald. Hierbij bleek dat de nieuwe methode een hoger aantal werklozen opleverde.
In oktober 2021 had Nederland volgens de oude methode 277 duizend werklozen. Dit kwam neer op 2,9% van de beroepsbevolking. Met de nieuwe methode was het 4,02%.
Bereken hoeveel werklozen er met de nieuwe methode meer werden bepaald dan met de oude methode. Geef je antwoord in duizendtallen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekst met percentages en absolute aantallen over werkloosheid. Je moet de beroepsbevolking berekenen en vervolgens het verschil in werklozen bepalen op basis van een nieuw percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met percentages rekent, hoe je een deel terugrekent naar het geheel, en hoe je een percentage van een geheel berekent. Ook moet je de eenheden goed in de gaten houden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de beroepsbevolking berekenen met behulp van het aantal werklozen en het bijbehorende percentage. Je kunt vervolgens het nieuwe aantal werklozen berekenen met het nieuwe percentage en het verschil bepalen. Je kunt je antwoord in de gevraagde eenheid (duizendtallen) geven.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen percentages en decimale getallen; 2,9% is 0,029 en 4,02% is 0,0402.
Rond tussenantwoorden niet te vroeg af om nauwkeurigheid te bewaren. Gebruik de volledige getallen in je rekenmachine.
Bereken eerst de totale beroepsbevolking. Dit is de basis waarover de percentages worden berekend.
Neem niet zomaar het verschil van de percentages (4,02% - 2,9%) en pas dit toe op een van de getallen; dit leidt tot een fout antwoord.
Zorg ervoor dat je eindantwoord in de gevraagde eenheid (duizendtallen) wordt gegeven.

Kernbegrippen: rekenen met procenten, terugrekenen van deel naar geheel, verhoudingsrekening

Veelgemaakte fouten:
- Verschil in percentages nemen (4,02% - 2,9%) en dit toepassen op een van de getallen.
- Het nieuwe percentage (4,02%) toepassen op het oude aantal werklozen (277 duizend).
- Te vroeg afronden van tussenantwoorden, wat leidt tot een onnauwkeurig eindantwoord.
- Vergeten het antwoord in de gevraagde eenheid (duizendtallen) te geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (3 punten)

Een punt in figuur 1 stelt niet de huurprijs van één appartement voor, maar de gemiddelde huurprijs van alle appartementen met dezelfde reistijd.
Verhuurders van appartementen gebruiken soms de volgende vuistregel:
Voor elke kamer meer in een appartement stijgt de huurprijs met ongeveer 25%.

We bekijken appartementen met een reistijd van 25 minuten.
Onderzoek met behulp van figuur 1 op de uitwerkbijlage of de gemiddelde huurprijs van deze appartementen aan bovenstaande vuistregel voldoet.

Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek moeten aflezen om specifieke waarden te vinden. Daarna pas je een procentuele groeiregel toe over meerdere stappen. Tot slot vergelijk je je berekening met de afgelezen waarden en formuleer je een conclusie.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een spreidingsdiagram afleest en hoe je een procentuele toename als een groeifactor gebruikt, vooral wanneer deze toename herhaaldelijk wordt toegepast (exponentiële groei).

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten kunnen aflezen uit een grafiek, een groeifactor kunnen berekenen en toepassen, en op basis van je berekeningen een heldere conclusie kunnen formuleren die de vraag beantwoordt.

Waar op letten: Je moet de huurprijzen voor zowel het 1-kamer- als het 3-kamerappartement nauwkeurig aflezen bij een reistijd van 25 minuten. Let op de schaalverdeling van de y-as en de toegestane marge van $100.
De vuistregel spreekt over een stijging 'voor elke kamer meer'. Dit betekent dat je de procentuele toename exponentieel moet toepassen. Als het verschil twee kamers is (van 1 naar 3 kamers), pas je de groeifactor twee keer toe (tot de macht 2).
Zorg ervoor dat je de procentuele toename correct omzet naar een groeifactor. Een stijging van 25% komt overeen met een groeifactor van 1,25.
Vergelijk je berekende waarde met de afgelezen waarde en trek een duidelijke conclusie of de vuistregel wel of niet voldoet.
Rond niet te vroeg af tijdens je berekeningen om afrondingsfouten in je conclusie te voorkomen.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, procentuele toename, exponentiële groei, vuistregel toetsen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de waarden uit de grafiek (binnen de marge van $100 is correct).
- Lineair rekenen in plaats van exponentieel. De toename is per kamer, dus voor twee kamers extra moet de groeifactor twee keer worden toegepast (tot de macht 2).
- Vergeten een conclusie te trekken op basis van de berekening.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (3 punten)

In figuur 2 op de uitwerkbijlage zijn aan figuur 1 twee trendlijnen toegevoegd. In het vervolg van deze opgave gaan we uit van deze trendlijnen en niet meer van de individuele datapunten.

We bekijken een 1-kamerappartement met een reistijd van 15 minuten tot 42nd Street. Voor de huurprijs van dit appartement kun je ook een 3-kamerappartement huren. De reistijd tot 42nd Street vanaf dat 3-kamerappartement is wel langer dan de reistijd vanaf het 1-kamerappartement.

Bepaal met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage hoeveel langer de reistijd vanaf dat 3-kamerappartement is. Licht je antwoord toe en geef je antwoord in hele minuten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je informatie uit een grafiek met trendlijnen moet aflezen en interpreteren. Je zult een specifieke waarde op de ene trendlijn moeten vinden en deze waarde vervolgens moeten gebruiken om een corresponderende waarde op de andere trendlijn te bepalen. Uiteindelijk bereken je een verschil tussen twee afgelezen waarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een spreidingsdiagram met trendlijnen correct afleest. Je moet begrijpen dat een trendlijn een algemene ontwikkeling weergeeft en dat je deze moet gebruiken in plaats van de losse datapunten, tenzij anders vermeld. Je moet ook weten hoe je een verschil berekent tussen twee getallen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een waarde op de y-as aflezen bij een gegeven waarde op de x-as langs een trendlijn. Je kunt vervolgens deze afgelezen y-waarde gebruiken om de corresponderende x-waarde op een andere trendlijn te vinden. Je kunt het verschil tussen twee afgelezen x-waarden berekenen en dit resultaat in hele minuten geven.

Waar op letten: Je moet de trendlijnen gebruiken, niet de individuele datapunten. De vraagtekst benadrukt dit expliciet.
Je leest eerst de huurprijs af voor het 1-kamerappartement bij de gegeven reistijd. Let goed op welke trendlijn je hiervoor gebruikt.
Vervolgens gebruik je deze afgelezen huurprijs om de bijbehorende reistijd voor het 3-kamerappartement te vinden. Zorg dat je de juiste trendlijn voor 3-kamerappartementen volgt.
Je moet het verschil tussen de twee reistijden berekenen. Vergeet niet deze laatste stap.
Je antwoord moet in hele minuten zijn. Rond je uiteindelijke antwoord correct af.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, trendlijn interpreteren, vergelijken van waarden

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de waarden op de assen.
- Vergeten het verschil in reistijd te berekenen en slechts één van de afgelezen waarden opgeven.
- De losse datapunten gebruiken in plaats van de trendlijnen, wat expliciet wordt afgeraden in de opgave.
- Afleesfouten buiten de toegestane marge van 2 minuten maken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (2 punten)

De formule die past bij de trendlijn van de 3-kamerappartementen is:
 H = 20 367 / r^0,571
Hierin is H de huurprijs per maand van een 3-kamerappartement in dollars en r de reistijd tot 42nd Street in minuten.

Beredeneer aan de hand van de formule, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, dat de huurprijs H hoger wordt als de reistijd r korter wordt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je de invloed van een variabele op een andere variabele moet uitleggen, puur op basis van de structuur van een gegeven formule. Je moet de logica achter de formule begrijpen en kunnen verwoorden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe breuken werken: als de noemer kleiner wordt (en de teller constant blijft), wordt de totale waarde van de breuk groter. Je moet ook begrijpen hoe machten met een positieve exponent zich gedragen: als de basis (r) kleiner wordt, wordt de uitkomst van de macht (r^0,571) ook kleiner.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule kunnen ontleden en de afzonderlijke componenten (teller, noemer, macht) kunnen analyseren. Je moet vervolgens de effecten van een verandering in 'r' op de noemer en daarna op de hele breuk logisch kunnen beredeneren en helder kunnen opschrijven.

Waar op letten: Let goed op de structuur van de formule: het is een breuk met een constante teller en een variabele noemer.
Analyseer eerst wat er gebeurt met de noemer (r^0,571) als r kleiner wordt. Denk na over de positieve exponent.
Beredeneer vervolgens wat het effect is van een kleinere noemer op de totale waarde van de breuk (H).
Zorg ervoor dat je geen getallen invult of een schets maakt, zoals expliciet gevraagd in de opdracht.
Formuleer je antwoord duidelijk en stapsgewijs, zodat je redenering goed te volgen is.

Kernbegrippen: machtsfuncties, inverse relatie, redeneren met formules

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen een directe en een inverse relatie; onterecht aannemen dat een kleinere r ook een kleinere H geeft.
- Moeite met redeneren zonder concrete getallen te gebruiken, wat de vraag expliciet verbiedt.
- Niet correct interpreteren dat r^0,571 kleiner wordt als r kleiner wordt (omdat de exponent positief is).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 1 (4 punten)

Neem aan dat voor de overspanning in totaal 4950 kratten zijn gebruikt.
Voor beide torens geldt dat laag 12 tot en met laag 29 elk evenveel kratten bevatte als laag 11.
4p 9 Bereken het totaal aantal kratten in de hele krattenbrug.

Wat kun je verwachten: Je zult een complex probleem moeten opdelen in kleinere, behapbare stappen. Je moet de informatie over de lagen en de overspanning correct interpreteren en combineren om tot het totale aantal kratten te komen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een patroon in een reeks getallen kunt herkennen en toepassen. Je moet ook de basisprincipes van optellen en vermenigvuldigen beheersen om de aantallen correct te sommeren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de aantallen kratten per laag berekenen op basis van de gegeven regels. Je kunt de som van een reeks getallen bepalen. Je kunt alle onderdelen van de brug (torens en overspanning) correct bij elkaar optellen.

Waar op letten: Lees de vraag goed: er staat 'beide torens', dus vergeet niet de berekende waarde voor één toren te vermenigvuldigen met 2.
Tel nauwkeurig het aantal lagen voor 'laag 12 tot en met laag 29'. Dit zijn 18 lagen (29 - 12 + 1). Een veelvoorkomende fout is om 29 - 12 = 17 te nemen.
Zorg ervoor dat je de 4950 kratten van de overspanning pas aan het einde bij het totaal optelt.
Voorkom te vroeg afronden; werk met exacte getallen tot de laatste stap.

Kernbegrippen: Toepassen van een stuksgewijs voorschrift, Rekenkundige rij, Sommatie, Probleem opdelen in stappen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat er twee torens zijn en de berekende waarde voor één toren niet vermenigvuldigen met 2.
- Reken- of telfout bij het aantal lagen, bijvoorbeeld voor laag 12 t/m 29 (het zijn 18 lagen, niet 17).
- Verkeerd toepassen van de formules voor even en oneven lagen.
- Vergeten de 4950 kratten van de overspanning op te tellen bij het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 11 – Opgave 1 (2 punten)

Een persoon met een lengte van 1,90 meter loopt op een afstand van 6 meter van de waterkant onder de brug door.
Onderzoek of deze persoon rechtop onder de brug door kan lopen.

Wat kun je verwachten: Je zult een x-coördinaat moeten berekenen op basis van de gegeven afstanden. Vervolgens zul je deze x-coördinaat moeten invullen in de formule van de boog om de bijbehorende hoogte (y-waarde) te vinden. Tot slot vergelijk je deze hoogte met de lengte van de persoon en trek je een conclusie.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een kwadratische formule interpreteert in de context van een assenstelsel. Je moet ook weten hoe je afstanden in een schematische tekening omzet naar coördinaten in een assenstelsel, vooral wanneer de y-as de symmetrieas is.

Wat moet je kunnen: Je moet een x-coördinaat kunnen bepalen door afstanden correct op te tellen of af te trekken. Je moet een waarde kunnen invullen in een gegeven formule en het resultaat kunnen berekenen. Je moet ook een logische conclusie kunnen trekken op basis van je berekeningen en de vraagstelling.

Waar op letten: Je moet goed opletten hoe de afstand van 6 meter is gedefinieerd. Is dit vanaf het midden van de Dommel, vanaf de oever, of vanaf een ander referentiepunt? De tekst zegt '6 meter van de waterkant'.
Je moet de x-coördinaat correct bepalen. De y-as loopt door het midden van de brug (en de Dommel). De Dommel is 9,0 meter breed, dus de waterkant bevindt zich op 9,0 / 2 = 4,5 meter van de y-as. De persoon loopt 6 meter *vanaf* die waterkant, dus je moet deze afstanden bij elkaar optellen.
Je moet de berekende hoogte van de boog op die plek correct vergelijken met de lengte van de persoon (1,90 meter). Is de hoogte groter of kleiner dan de lengte?
Je moet je conclusie duidelijk formuleren: kan de persoon rechtop lopen of niet, en waarom.

Kernbegrippen: kwadratische functies, modelleren, coördinatenstelsel

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd bepalen van de x-coördinaat. De 6 meter is vanaf de waterkant, niet vanaf de oever of de y-as.
- Vergeten dat de Dommel in het midden ligt en symmetrisch is.
- Verkeerde conclusie trekken uit de berekening (vergelijken van de berekende hoogte met 1,90 m).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (4 punten)

4p 12 Bereken op welke hoogte de foto is genomen. Geef je antwoord in een geheel aantal centimeters. Bij de ribben van een frame onderscheiden we drie verschillende richtingen zoals in foto 2 met de dubbele pijlen is aangegeven. foto 2 LeWitt stelde een aantal voorwaarden aan de frames in zijn serie: I In elk frame ontbreken één of meerdere van de twaalf ribben die een kubus heeft, waardoor er een incomplete kubus ontstaat. II Een frame mag niet uit verschillende delen bestaan. III Een frame bevat in elk van de drie richtingen ten minste één ribbe.

Wat kun je verwachten: Je zult een foto moeten analyseren en daarop meetkundige constructies moeten uitvoeren. Je gebruikt de principes van perspectieftekenen om de horizon te bepalen en vervolgens verhoudingen toe te passen om de gevraagde hoogte te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van perspectieftekenen kennen, in het bijzonder hoe je verdwijnpunten en de horizon construeert. Ook moet je weten hoe je met verhoudingen werkt om een onbekende lengte te berekenen als je een schaal of een referentielengte hebt.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen meten op een afbeelding. Je moet lijnen kunnen trekken die evenwijdig zijn in werkelijkheid en deze laten samenkomen in een verdwijnpunt op de horizon. Vervolgens moet je de juiste verhouding kunnen opstellen en de berekening uitvoeren. Tot slot rond je het antwoord correct af.

Waar op letten: Nauwkeurigheid is cruciaal bij het tekenen van de verdwijnpunten en de horizon op de foto. Een kleine afwijking kan leiden tot een significant ander resultaat.
Zorg ervoor dat je de juiste ribben kiest om de verdwijnpunten te bepalen. Dit zijn ribben die in werkelijkheid evenwijdig zijn en niet loodrecht op het beeldvlak staan.
Let goed op welke afstanden je meet op de foto en hoe je deze relateert aan de werkelijke hoogte van het frame. De verhouding tussen de afstand van de onderkant van het frame tot de horizon en de hoogte van het frame op de foto moet je correct toepassen op de werkelijke hoogte van het frame.
Vergeet niet om je antwoord af te ronden op een geheel aantal centimeters, zoals gevraagd in de vraagstelling.
Controleer of je de juiste eenheden gebruikt en of je berekening logisch is in de context van de vraag.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, horizon, verhoudingen, schaalrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Onnauwkeurig meten op de foto.
- Verkeerd opstellen van de verhouding.
- Vergeten af te ronden op een geheel getal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (2 punten)

2p 13 Er bestaan meerdere frames die ook een vooraanzicht hebben zoals figuur 1. Deze frames hebben niet allemaal vijf ribben. Beredeneer hoeveel ribben een frame met een vooraanzicht als in figuur 1 minimaal heeft. In het vervolg van de opgave kijken we naar frames waarvan de drie aanzichten zijn zoals weergegeven in figuur 2. figuur 2 vooraanzicht bovenaanzicht zijaanzicht Er kan geconcludeerd worden dat zo’n frame in alle drie de richtingen ten minste twee ribben heeft, dus dat zo’n frame minimaal zes ribben heeft. Het is mogelijk om verschillende frames te maken die bestaan uit zes ribben waarvan de drie aanzichten zijn zoals in figuur 2. Een aantal van die frames voldoet aan alle voorwaarden van LeWitt en een aantal van die frames voldoet niet aan alle voorwaarden van LeWitt. In de figuur op de uitwerkbijlage zijn met behulp van stippellijnen de ribben van twee kubussen getekend. Hierin kan je een frame tekenen door stippellijnen te vervangen door doorgetrokken lijnen. Hierbij betekent een doorgetrokken lijn dat het frame daar een ribbe heeft en een stippellijn dat het frame daar geen ribbe heeft.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een minimaal aantal onderdelen (ribben) moet bepalen voor een 3D-object, gegeven een 2D-aanzicht en aanvullende regels. Je moet goed de tekst lezen en de voorwaarden correct interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van 3D-aanzichten kennen en begrijpen dat een 2D-aanzicht niet alle informatie over de diepte van een 3D-object prijsgeeft. Je moet ook logisch kunnen redeneren over minimale vereisten.

Wat moet je kunnen: Je kunt een 2D-aanzicht (zoals figuur 1) interpreteren en je kunt bedenken hoe dit aanzicht in 3D eruit zou kunnen zien. Je kunt de impliciete voorwaarde uit de tekst ('het frame moet in drie richtingen een ribbe hebben') toepassen om het minimale aantal ribben te bepalen.

Waar op letten: Lees de vraag heel nauwkeurig: er wordt gevraagd naar het *minimale* aantal ribben.
Let goed op de voorwaarde die later in de tekst wordt genoemd: 'zo’n frame in alle drie de richtingen ten minste twee ribben heeft, dus dat zo’n frame minimaal zes ribben heeft.' Dit is een algemene voorwaarde voor *alle* frames in de opgave, maar de eerste vraag gaat over een *ander* frame (met vooraanzicht als figuur 1) en de *impliciete* voorwaarde dat een frame in drie richtingen een ribbe moet hebben. Verwar deze niet.
Verwar het 2D-aanzicht (figuur 1) niet met het 3D-frame zelf. Het aanzicht toont alleen wat je ziet vanuit één richting.
Denk na over de drie dimensies (lengte, breedte, diepte). Als een aanzicht in twee dimensies ribben toont, betekent dit niet automatisch dat er geen ribben in de derde dimensie zijn, of dat er geen ribben *nodig* zijn in de derde dimensie om aan de voorwaarden te voldoen.

Kernbegrippen: ruimtelijk inzicht, aanzichten, logisch redeneren, voorwaarden toepassen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van voorwaarde III (ribbe in elke richting).
- Aannemen dat het antwoord 3 is, gebaseerd op het 2D-aanzicht.
- Aannemen dat het antwoord 5 is, gebaseerd op het voorbeeld in foto 3.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (4 punten)

In het vervolg van de opgave kijken we naar frames waarvan de drie aanzichten zijn zoals weergegeven in figuur 2.

Er kan geconcludeerd worden dat zo’n frame in alle drie de richtingen ten minste twee ribben heeft, dus dat zo’n frame minimaal zes ribben heeft.
Het is mogelijk om verschillende frames te maken die bestaan uit zes ribben waarvan de drie aanzichten zijn zoals in figuur 2. Een aantal van die frames voldoet aan alle voorwaarden van LeWitt en een aantal van die frames voldoet niet aan alle voorwaarden van LeWitt.
In de figuur op de uitwerkbijlage zijn met behulp van stippellijnen de ribben van twee kubussen getekend. Hierin kan je een frame tekenen door stippellijnen te vervangen door doorgetrokken lijnen. Hierbij betekent een doorgetrokken lijn dat het frame daar een ribbe heeft en een stippellijn dat het frame daar geen ribbe heeft.

4p 14 Teken op de uitwerkbijlage twee frames, die bestaan uit zes ribben en waarvan de aanzichten zijn zoals in figuur 2, waarbij het eerste frame wél voldoet aan alle voorwaarden van LeWitt en het tweede frame niet.

Wat kun je verwachten: Je zult twee 3D-frames moeten visualiseren en tekenen op basis van gegeven 2D-aanzichten en een aantal specifieke eisen. Je moet je voorstellingsvermogen gebruiken om te bepalen welke combinaties van zes ribben aan de criteria voldoen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van ruimtemeetkunde kennen, in het bijzonder hoe 3D-objecten worden weergegeven door 2D-aanzichten (orthografische projecties). Ook moet je de eerder genoemde voorwaarden van LeWitt paraat hebben en kunnen toepassen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om 2D-aanzichten te vertalen naar een 3D-structuur. Je moet logisch kunnen redeneren om te controleren of een getekend frame voldoet aan alle gestelde voorwaarden (aantal ribben, aanzichten, LeWitt-voorwaarden). Daarnaast moet je nauwkeurig kunnen tekenen op de uitwerkbijlage.

Waar op letten: Je moet heel precies de drie aanzichten uit figuur 2 interpreteren. Een aanzicht toont welke ribben je ziet als je recht van voren, boven of opzij kijkt. Let op dat een aanzicht een projectie is, niet een perspectieftekening.
Je moet ervoor zorgen dat elk frame precies zes ribben heeft. Tel de ribben die je tekent zorgvuldig.
Je moet de voorwaarden van LeWitt goed begrijpen en toepassen. Deze voorwaarden zijn eerder in de opgave geïntroduceerd (incompleet, aaneengesloten, ribbe in elke richting). Voor het eerste frame moeten alle voorwaarden gelden, voor het tweede frame moet minstens één voorwaarde geschonden worden, terwijl het nog steeds zes ribben en de juiste aanzichten heeft.
Je moet de frames op de juiste plek tekenen op de uitwerkbijlage: het frame dat wél voldoet als eerste, en het frame dat niet voldoet als tweede. Het omwisselen van de volgorde kost je punten.

Kernbegrippen: ruimtemeetkunde, projecties, aanzichten, logisch redeneren, voorwaarden controleren

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten te controleren of de getekende frames aan alle voorwaarden voldoen: 6 ribben, de drie aanzichten zoals in figuur 2, en de drie voorwaarden van LeWitt (incompleet, aaneengesloten, ribbe in elke richting).
- Het verkeerd interpreteren van de aanzichten. Een aanzicht is een orthografische projectie, niet een perspectivische tekening.
- Voor het 'niet voldoet' frame een frame tekenen dat niet aan de eis van 6 ribben of de juiste aanzichten voldoet.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 16 – Opgave 1 (3 punten)

In de Nederlandse Voornamenbank is vanaf het jaar 1880 bijgehouden hoe vaak een voornaam per jaar in Nederland gegeven wordt.
In de tabel staan voor de voornaam Axel van jongens in Nederland een aantal gegevens voor het jaar 2000 en voor het jaar 2005.

Beredeneer, zonder een berekening te maken, of er in het jaar 2005 in totaal meer of minder jongens geboren werden dan in het jaar 2000.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tabel met absolute aantallen en percentages. Je moet deze informatie combineren om een logische conclusie te trekken over een onderliggend totaal aantal, zonder te rekenen.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van percentages en verhoudingen goed begrijpen. Je moet weten dat een percentage een deel van een geheel weergeeft en hoe veranderingen in het deel en het percentage het geheel beïnvloeden.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegevens uit de tabel correct kunnen aflezen en interpreteren. Je moet een heldere, logische redenering kunnen opbouwen die de relatie tussen de absolute aantallen en de percentages uitlegt om tot een conclusie te komen.

Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen absolute aantallen (het aantal jongens met de naam Axel) en relatieve aantallen (het percentage van alle jongens).
De vraag verbiedt expliciet het maken van een berekening; je moet puur redeneren op basis van de gegeven getallen.
Je moet de relatie tussen het deel (Axel), het percentage en het geheel (totaal aantal jongens) correct interpreteren.
Let op de kleine verschillen in de percentages en aantallen; ook kleine veranderingen zijn relevant voor je redenering.

Kernbegrippen: procenten, verhoudingen, redeneren met percentages

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van absolute aantallen en percentages.
- Een berekening uitvoeren terwijl de vraag dit expliciet verbiedt.
- Onvolledige redenering, bijvoorbeeld alleen het absolute aantal of alleen het percentage benoemen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (4 punten)

De voornaam Kevin kwam tot 1970 nauwelijks voor in Nederland, maar tussen 1970 en 1992 groeide het aantal baby's met deze voornaam explosief. Na 1992 nam de populariteit van de voornaam Kevin weer af. Zie figuur 1.

Het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is, kan vanaf 1950 worden benaderd met de formule:
N = (23162)/(1 + 10301 · 0,8025^t)
Hierin is N het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is en t de tijd in jaren met t=0 het einde van het jaar 1950.

Volgens de formule groeide in de jaren 1971 tot en met 1974 het aantal geboren Kevins per jaar bij benadering exponentieel.

4p 17 Toon dit met behulp van een berekening aan.

Wat kun je verwachten: Je zult de gegeven formule moeten gebruiken om het cumulatieve aantal Kevins op verschillende tijdstippen te berekenen. Vervolgens bereken je de jaarlijkse toename door de verschillen tussen deze cumulatieve aantallen te nemen. Daarna bepaal je de groeifactoren van deze jaarlijkse toenames om te controleren of ze constant zijn.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat exponentiële groei inhoudt (een constante groeifactor) en hoe je een groeifactor berekent. Ook moet je begrijpen hoe je een cumulatieve formule gebruikt om jaarlijkse veranderingen af te leiden.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule correct kunnen invoeren in je grafische rekenmachine en de waarden voor N(t) kunnen berekenen voor de relevante t-waarden. Je moet de jaarlijkse toenames kunnen berekenen en vervolgens de groeifactoren tussen deze toenames kunnen bepalen. Tot slot moet je een conclusie kunnen formuleren op basis van je berekeningen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen het *totale* aantal Kevins (N) en het *aantal geboren Kevins per jaar*. De formule geeft N, maar de vraag gaat over de toename per jaar.
Controleer zorgvuldig welke t-waarden je moet gebruiken. t=0 is einde 1950. Het jaar 1971 is de periode van einde 1970 tot einde 1971. Dit betekent dat je de toename berekent tussen N(20) en N(21) voor het jaar 1971, enzovoort.
Rond niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen bij het berekenen van de groeifactoren om nauwkeurigheid te behouden.
Vergeet niet een duidelijke conclusie te trekken over de groeifactoren om aan te tonen dat de groei bij benadering exponentieel is.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, logistisch model, toename berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Cumulatief (N) verwarren met jaarlijkse toename (ΔN). De formule geeft het totaal, de vraag gaat over de groei per jaar.
- Incorrecte t-waarden gebruiken voor de jaren. Het jaar 1971 komt overeen met de toename van t=20 naar t=21.
- Reken- of invoerfouten bij het invoeren van de complexe formule in de rekenmachine.
- Vergeten een conclusie te trekken op basis van de berekende groeifactoren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (4 punten)

De voornaam Kevin kwam tot 1970 nauwelijks voor in Nederland, maar tussen 1970 en 1992 groeide het aantal baby's met deze voornaam explosief. Na 1992 nam de populariteit van de voornaam Kevin weer af. Zie figuur 1.

Het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is, kan vanaf 1950 worden benaderd met de formule:
N = 23162 / (1 + 10301 * 0,8025^t)

Hierin is N het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is en t de tijd in jaren met t=0 het einde van het jaar 1950.

De formule nadert naar een grenswaarde. Deze grenswaarde is het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren zal worden.
Bereken met behulp van de formule in welk jaar de helft van het totaal aantal Kevins dat ooit geboren zal worden, al geboren was.

Wat kun je verwachten: Je zult een logistische groeiformule tegenkomen. Je moet de grenswaarde van deze formule kunnen bepalen en vervolgens een vergelijking kunnen oplossen om een specifieke t-waarde te vinden. Daarna zet je deze t-waarde om naar een jaartal.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de grenswaarde van een logistische groeifunctie bepaalt. Je moet ook bekend zijn met het oplossen van vergelijkingen met exponentiële termen, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet de grenswaarde van de gegeven formule kunnen afleiden. Je moet de helft van deze grenswaarde kunnen berekenen. Je moet de vergelijking N = (helft van grenswaarde) kunnen opstellen en oplossen voor t, bijvoorbeeld door de 'intersect'-functie van je GR te gebruiken of door waarden in te vullen en te controleren. Tot slot moet je de gevonden t-waarde correct kunnen omzetten naar het gevraagde jaartal, rekening houdend met de startdatum van t.

Waar op letten: Je moet eerst de grenswaarde van de formule bepalen. Denk na over wat er gebeurt met de term 0,8025^t als t heel groot wordt.
Nadat je de grenswaarde hebt gevonden, bereken je de helft daarvan. Dit is de N-waarde die je moet gebruiken om t te vinden.
Let goed op de definitie van t: t=0 is het einde van het jaar 1950. Als je een waarde voor t vindt, moet je deze correct omrekenen naar het juiste jaartal.
Rond niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen tijdens je berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen, vooral bij het oplossen van de vergelijking.

Kernbegrippen: logistische groei, grenswaarde, asymptoot, vergelijking oplossen met GR, exponentiële functies

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat t=0 overeenkomt met het einde van 1950. Een antwoord t=41.9... moet correct worden omgerekend naar het jaartal 1950 + 41.9 = 1991.9, wat in de loop van het jaar 1992 is.
- Foutief afronden van het jaartal (bijv. naar 1991).
- Reken- of invoerfouten bij het gebruik van de grafische rekenmachine.
- De grenswaarde verkeerd bepalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (3 punten)

Aan de helling van de grafiek in figuur 2 is te zien dat vanaf 1950 de populariteit van de naam Ingrid echt begon toe te nemen, maar dat die later weer afnam. Er was een jaar waarin er net zoveel baby's met de naam Ingrid bijkwamen als in 1950.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage in welk jaar dat was.

Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek zien die het totale aantal geboren Ingrids over de jaren weergeeft. De vraag vraagt je om een specifiek jaar te vinden waarin de snelheid van toename van de naam Ingrid gelijk was aan die in 1950.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de helling van een cumulatieve grafiek de snelheid van verandering (in dit geval de toename per jaar) weergeeft. Je moet ook weten hoe je een raaklijn aan een grafiek tekent en hoe je evenwijdige lijnen herkent.

Wat moet je kunnen: Je moet een raaklijn kunnen tekenen aan een grafiek op een specifiek punt. Je moet een tweede raaklijn kunnen tekenen die evenwijdig is aan de eerste. Tot slot moet je nauwkeurig een jaartal kunnen aflezen op de horizontale as van de grafiek.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen dat 'het aantal baby's dat bijkwam' de helling van de grafiek voorstelt, en niet de y-waarde (het totale aantal).
Je moet nauwkeurig een raaklijn tekenen bij het jaar 1950. Gebruik hiervoor een geodriehoek of liniaal.
Je moet vervolgens een tweede raaklijn tekenen die precies evenwijdig loopt aan de eerste raaklijn, op een ander deel van de grafiek.
Je moet het jaartal dat hoort bij het raakpunt van de tweede raaklijn zorgvuldig aflezen. Zorg dat je antwoord binnen het toegestane interval valt.

Kernbegrippen: helling van een grafiek, raaklijn, interpretatie van de afgeleide (visueel), cumulatieve grafiek

Veelgemaakte fouten:
- De y-waarde van de grafiek verwarren met de helling. De vraag gaat over de toename per jaar (helling), niet over het totale aantal (y-waarde).
- Onnauwkeurig tekenen van de raaklijnen, waardoor het gevonden jaartal buiten het toegestane interval valt.
- De tweede raaklijn niet evenwijdig tekenen aan de eerste.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (4 punten)

4p 20 Bereken het percentage vrouwen dat in 2019 deelnam aan de Zevenheuvelenloop. Geef je antwoord in één decimaal. Zoals de naam doet vermoeden, is het parcours van de Zevenheuvelenloop heuvelachtig. In het jaar 2019 werd de New Balance Kilometer (NBK) geïntroduceerd. Dat is de 11e kilometer van de lange afstand. In deze kilometer wordt omhoog gelopen. Voor deze kilometer wordt op de volgende manier een winnaar bepaald: - Na afloop wordt op basis van de eindtijd voor elke deelnemer de gemiddelde kilometertijd op de lange afstand berekend. - De deelnemer die op de NBK een tijd heeft gelopen die relatief het verst onder zijn berekende gemiddelde kilometertijd zit, wint de NBK. rekenvoorbeeld Rogier finisht op de lange afstand van 15 km in een tijd van 1:30:00, dus in 1 uur, 30 minuten en 0 seconden. Zijn berekende gemiddelde kilometertijd is dus 360 seconden. Over de NBK deed Rogier 5 minuten en 40 seconden. Dit is 20 seconden sneller dan zijn gemiddelde kilometertijd. Rogier had (20)/(360) · 100% ≈ 5,6% minder tijd nodig voor de NBK dan zijn gemiddelde kilometertijd. Pieter van der Ark liep in 2019 de lange afstand van 15 km in een tijd van 2:03:38 (dus in 2 uur, 3 minuten en 38 seconden). Hij eindigde daarmee in de achterhoede van de lange afstand. Van der Ark had 56,3% minder tijd nodig voor de NBK dan zijn gemiddelde kilometertijd en won daarmee wel de NBK.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je eerst het aantal vrouwen per afstand (kort en lang) moet berekenen. Daarna tel je deze aantallen bij elkaar op en deel je dit door het totale aantal deelnemers om het uiteindelijke percentage te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages berekent en hoe je met absolute aantallen werkt om een totaal percentage te vinden. Je moet ook weten hoe je een gewogen gemiddelde toepast in een context met verschillende groepsgroottes.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de tekst kunnen filteren en de percentages correct kunnen omzetten naar absolute aantallen. Je moet vervolgens een breuk kunnen opstellen van het totale aantal vrouwen gedeeld door het totale aantal deelnemers en dit omzetten naar een percentage, afgerond op één decimaal.

Waar op letten: Je moet goed opletten dat je de juiste percentages gebruikt. De tekst kan percentages mannen noemen, terwijl de vraag naar vrouwen vraagt. Zorg ervoor dat je deze percentages correct omrekent (100% - percentage mannen = percentage vrouwen).
Je moet rekening houden met de verschillende groepsgroottes. Het is niet voldoende om simpelweg de percentages van de korte en lange afstand te middelen; je moet een gewogen gemiddelde berekenen door de absolute aantallen vrouwen en het totale aantal deelnemers te gebruiken.
Let op de eenheid en de afronding. De vraag vraagt om het antwoord in één decimaal. Rond pas op het allerlaatste moment af om afrondingsfouten te voorkomen.
Zorg ervoor dat je alle relevante getallen uit de tekst haalt. Er staat veel informatie in de vraag, maar niet alles is nodig voor deze specifieke berekening.

Kernbegrippen: procenten, gewogen gemiddelde, samengestelde groepen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het percentage mannen (69%) op de lange afstand om te rekenen naar het percentage vrouwen (100% - 69% = 31%).
- Het ongewogen gemiddelde van de twee percentages (57% en 31%) nemen, zonder rekening te houden met de verschillende groepsgroottes (8000 en 24000).
- Afrondingsfout of het niet geven van het antwoord in één decimaal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (4 punten)

Zoals de naam doet vermoeden, is het parcours van de Zevenheuvelenloop heuvelachtig. In het jaar 2019 werd de New Balance Kilometer (NBK) geïntroduceerd. Dat is de 11e kilometer van de lange afstand. In deze kilometer wordt omhoog gelopen. Voor deze kilometer wordt op de volgende manier een winnaar bepaald:
- Na afloop wordt op basis van de eindtijd voor elke deelnemer de gemiddelde kilometertijd op de lange afstand berekend.
- De deelnemer die op de NBK een tijd heeft gelopen die relatief het verst onder zijn berekende gemiddelde kilometertijd zit, wint de NBK.

rekenvoorbeeld
Rogier finisht op de lange afstand van 15 km in een tijd van 1:30:00, dus in 1 uur, 30 minuten en 0 seconden.
Zijn berekende gemiddelde kilometertijd is dus 360 seconden.
Over de NBK deed Rogier 5 minuten en 40 seconden. Dit is 20 seconden sneller dan zijn gemiddelde kilometertijd.
Rogier had (20)/(360) · 100% ≈ 5,6% minder tijd nodig voor de NBK dan zijn gemiddelde kilometertijd.

Pieter van der Ark liep in 2019 de lange afstand van 15 km in een tijd van 2:03:38 (dus in 2 uur, 3 minuten en 38 seconden). Hij eindigde daarmee in de achterhoede van de lange afstand. Van der Ark had 56,3% minder tijd nodig voor de NBK dan zijn gemiddelde kilometertijd en won daarmee wel de NBK.
4p 21 Bereken hoelang van der Ark over de NBK deed. Geef je antwoord in gehele seconden.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je verschillende stappen moet doorlopen om tot het antwoord te komen. Je begint met het omrekenen van een tijd naar seconden, daarna bereken je een gemiddelde, en tot slot pas je een procentuele afname toe. Het is een typische vraag waarbij je nauwkeurig moet rekenen en de context goed moet begrijpen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je uren, minuten en seconden omrekent naar een totaal aantal seconden. Je moet ook weten hoe je een gemiddelde berekent en hoe je procentuele veranderingen toepast. Specifiek, als er staat 'X% minder tijd', moet je weten hoe je dit correct vertaalt naar een berekening (bijvoorbeeld door 100% - X% te nemen).

Wat moet je kunnen: Je moet de totale tijd van Pieter van der Ark kunnen omrekenen naar seconden. Je moet zijn gemiddelde kilometertijd kunnen berekenen. Vervolgens moet je de informatie over '56,3% minder tijd' correct kunnen interpreteren en toepassen om de tijd voor de NBK te vinden. Tot slot moet je het antwoord kunnen afronden op gehele seconden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: alle tijden moeten uiteindelijk in seconden worden uitgedrukt om consistent te kunnen rekenen. Vergeet niet dat 1 uur 3600 seconden is en 1 minuut 60 seconden.
Wees nauwkeurig met het omrekenen van de procenten. '56,3% minder tijd' betekent dat de tijd voor de NBK (100 - 56,3)% = 43,7% is van de gemiddelde kilometertijd. Je kunt ook eerst het verschil berekenen en dit dan aftrekken.
Voorkom te vroeg afronden. Gebruik bij voorkeur de niet-afgeronde waarden in je rekenmachine voor tussenstappen om afrondingsfouten in het eindantwoord te minimaliseren.
Lees de vraag goed: het antwoord moet in gehele seconden worden gegeven. Rond dus pas op het allerlaatste moment af.

Kernbegrippen: rekenen met procenten, procentuele afname, rekenen met tijdseenheden, gemiddelde berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte omrekening van tijd (uren, minuten, seconden) naar totaal aantal seconden.
- Reken- of afrondingsfouten bij tussenstappen.
- Verkeerd interpreteren van '56,3% minder tijd': bijvoorbeeld 56,3% van de tijd berekenen in plaats van 100% - 56,3% = 43,7% van de tijd, of de berekende afname niet aftrekken van het gemiddelde.
- Eindantwoord niet afronden op gehele seconden zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 1 (3 punten)

3p 22 Stevens deed er in 2019 iets langer over dan je zou verwachten op basis van zijn tijd in 2016 en de invloed van de leeftijd. Bereken hoeveel seconden langer. Geef je antwoord in gehele seconden. **invloed van de verandering in lichaamsgewicht** Hoe zwaarder je bent, des te langzamer je gaat. Er geldt: S_2 = \left(1,9 - 0,9 (G_2)/(G_1)\right) S_1 \quad (formule 1) Hierin is: G_1 het gewicht in kilogram op moment 1; S_1 de (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen is bij gewicht G_1; G_2 het gewicht in kilogram op moment 2; S_2 de voorspelde (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen wordt bij gewicht G_2.

Wat kun je verwachten: Je zult een procentuele verandering moeten omzetten naar een groeifactor en deze toepassen over meerdere jaren. Daarna vergelijk je de berekende tijd met de gegeven tijd en rond je het verschil af op een geheel getal.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele toename omzet naar een groeifactor. Je moet ook weten hoe je exponentiële groei toepast over een bepaalde periode.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor berekenen uit een procentuele verandering. Je kunt de eindwaarde berekenen met behulp van de groeifactor en het aantal perioden. Je kunt het verschil tussen twee tijden berekenen en dit correct afronden.

Waar op letten: Let goed op het aantal jaren tussen 2016 en 2019. Dit is de exponent die je moet gebruiken.
Zet de procentuele toename van 0,8% correct om naar een groeifactor (niet 0,8 maar 1,008).
Rond pas aan het einde van de berekening af op hele seconden. Te vroeg afronden kan leiden tot een verkeerd eindantwoord.
Zorg ervoor dat je de juiste begintijd (uit 2016) gebruikt voor je berekening.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal jaren gebruiken (2019-2016=3, maar de leeftijden 67 en 64 geven ook 3 jaar verschil)
- Lineaire groei aannemen in plaats van exponentiële groei
- Afrondingsfouten tijdens tussenberekeningen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/22

## Vraag 23 – Opgave 1 (3 punten)

invloed van de verandering in lichaamsgewicht
Hoe zwaarder je bent, des te langzamer je gaat. Er geldt:
S_2 = \left(1,9 - 0,9 (G_2)/(G_1)\right) S_1 \quad (formule 1)
Hierin is:
G_1 het gewicht in kilogram op moment 1;
S_1 de (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen is bij gewicht G_1;
G_2 het gewicht in kilogram op moment 2;
S_2 de voorspelde (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen wordt bij gewicht G_2.

Een hardloper met gewicht G_1 loopt met een gemiddelde snelheid S_1. Stel dat deze hardloper 5% zwaarder wordt.
Bereken met hoeveel procent zijn gemiddelde snelheid dan afneemt volgens formule 1. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en een scenario waarin een variabele (gewicht) verandert met een bepaald percentage. Je moet deze procentuele verandering vertalen naar een factor en deze factor correct invullen in de formule. Vervolgens bereken je de nieuwe waarde van de andere variabele (snelheid) en bepaalt de procentuele afname hiervan.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele toename omzet naar een vermenigvuldigingsfactor (bijvoorbeeld 5% toename is factor 1,05). Je moet ook weten hoe je een procentuele verandering berekent: (nieuw - oud) / oud * 100%.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule correct interpreteren en de waarden van de variabelen op de juiste plek invullen. Je kunt rekenen met percentages en deze omzetten naar decimalen en vice versa. Je kunt een procentuele afname nauwkeurig berekenen en afronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op de vertaling van '5% zwaarder wordt'. Dit betekent dat het nieuwe gewicht G_2 gelijk is aan 1,05 keer het oude gewicht G_1. Dus G_2/G_1 = 1,05.
Zorg ervoor dat je de procentuele afname van de snelheid correct berekent. Dit is (S_1 - S_2) / S_1 * 100%.
Rond pas aan het einde van je berekening af op één decimaal, om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je de eenheden correct interpreteert, hoewel ze in deze vraag niet direct in de berekening van de procentuele verandering meespelen, is het altijd goed om hier alert op te zijn.

Kernbegrippen: procentuele verandering, formule substitutie, verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte berekening van de procentuele verandering (bijvoorbeeld delen door de nieuwe waarde in plaats van de oude).
- Verwarring tussen een toename van 5% en de factor 1,05.
- Reken- of substitutiefout bij het invullen van de formule.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/23

## Vraag 24 – Opgave 1 (5 punten)

invloed van de afstand
Op een korte afstand kun je een hogere gemiddelde snelheid lopen dan op een langere afstand.
Hardlooptrainer Jan Willem Nieboer bracht de drie invloeden samen in onderstaande formule:
S₂ = (A₁/A₂)⁰,⁰⁶ ⋅ (1,9 - 0,9 G₂/G₁) ⋅ 1,008^(L₁-L₂) ⋅ S₁ (formule 2)
Nieuw in formule 2 ten opzichte van formule 1 zijn:
L₁ de leeftijd in jaren op moment 1;
L₂ de leeftijd in jaren op moment 2;
A₁ de afstand in kilometer op moment 1;
A₂ de afstand in kilometer op moment 2.
Formule 2 geldt voor leeftijden vanaf 35 jaar.
Erben Wennemars liep toen hij 40 jaar was een tijd van 56 minuten en 49 seconden op de lange afstand van de Zevenheuvelenloop. In het tv-programma Jinek vertelde Wennemars dat hij de marathon van Rotterdam in een tijd van minder dan 2 uur en 50 minuten zou willen afleggen. Wennemars was 44 jaar toen hij de marathon van Rotterdam liep. In tabel 2 staan de afstanden en afgeronde tijden van Wennemars.
tabel 2
| | afstand (in km) | behaalde eindtijd (in uren) |
|:---|:---|:---|
| Zevenheuvelenloop | 15 | 0,947 |
| Marathon van Rotterdam | 42,195 | 2,833 |
Neem aan dat Wennemars tijdens de Zevenheuvelenloop een gewicht van 78 kg had en dat hij alleen invloed op zijn gewicht had om zijn streeftijd op de marathon van Rotterdam te kunnen behalen.
5p 24 Bereken met behulp van formule 2 in één decimaal hoeveel procent Wennemars minimaal af had moeten afvallen om zijn streeftijd op de marathon te behalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een complexe formule moeten invullen met gegevens uit de tekst en tabel. Je berekent eerst de snelheden die horen bij de Zevenheuvelenloop en de streeftijd voor de marathon. Daarna stel je een vergelijking op met de formule, waarbij het nieuwe gewicht de onbekende is. Deze vergelijking los je op en tot slot bereken je de procentuele afname van het gewicht.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gemiddelde snelheid berekent (afstand/tijd). Je moet bekend zijn met het invullen van waarden in een formule en het oplossen van een vergelijking met één onbekende. Ook moet je weten hoe je een procentuele verandering berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante gegevens uit de tekst en tabel kunnen halen en correct toewijzen aan de variabelen in formule 2. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en je grafische rekenmachine effectief kunnen gebruiken voor het oplossen van de vergelijking. Tot slot moet je de berekende gewichtsafname kunnen omzetten naar een procentuele afname.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: afstanden zijn in km, tijden in uren. Zorg dat je de snelheden consistent in km/uur berekent.
Voorkom te vroeg afronden van tussenresultaten, vooral bij de snelheden S₁ en S₂. Gebruik zoveel mogelijk onafgeronde waarden in je berekeningen om de nauwkeurigheid te bewaren.
Controleer of je de variabelen A₁, A₂, L₁, L₂ en G₁ correct invult in de formule. Let op welke waarde bij 'moment 1' (Zevenheuvelenloop) hoort en welke bij 'moment 2' (Marathon van Rotterdam).
De exponent (L₁-L₂) is 40-44 = -4. Zorg dat je dit correct invult in de formule.
Vergeet niet de laatste stap: na het vinden van het nieuwe gewicht G₂, moet je nog de procentuele afname ten opzichte van het oorspronkelijke gewicht G₁ berekenen. Denk eraan dat 1% = 0,01.

Kernbegrippen: formules met meerdere variabelen, procentuele verandering, vergelijking oplossen, snelheid, afstand en tijd

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect invullen van de variabelen in de formule (bv. A1 en A2 omwisselen).
- Foutieve berekening van de leeftijdsexponent L₁-L₂ = 40-44 = -4.
- Te vroeg afronden van tussenresultaten, zoals de snelheden S₁ en S₂.
- Vergeten om de uiteindelijke procentuele afname te berekenen na het vinden van het nieuwe gewicht G₂.
- Een rekenfout bij het berekenen van de procentuele verandering.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-2/vraag/24

## Vragen in dit examen

### Vraag 10 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je zult een kwadratische functie gebruiken om een reële situatie te modelleren. Je moet de eigenschappen van een parabool, zoals symmetrie en de betekenis van de top, kunnen toepassen om een onbekende parameter in de formule te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een kwadratische functie (y = ax² + bx + c of y = ax² + c voor een parabool met top op de y-as) kennen. Je moet ook weten hoe je coördinaten van punten in een formule invult en hoe je een eenvoudige vergelijking oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de tekst en de figuur kunnen halen. Je moet de breedte van de boog correct kunnen interpreteren in relatie tot de x-as en de y-as. Vervolgens moet je een punt op de boog kunnen identificeren en de coördinaten hiervan correct kunnen invullen in de gegeven formule. Tot slot moet je de vergelijking voor 'a' algebraïsch kunnen oplossen en het resultaat correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de symmetrie van de boog. De breedte van 26,7 meter is de totale breedte, dus de afstand van de y-as tot een van de uiteinden is de helft hiervan.
De maximale hoogte van 5,3 meter is de y-coördinaat van het hoogste punt. Omdat de y-as door dit punt gaat, is de x-coördinaat van dit punt 0.
Je moet een punt op de boog kiezen waarvan je zowel de x- als de y-coördinaat weet. Dit punt vul je in de gegeven formule in om de parameter 'a' te berekenen.
Rond pas aan het einde van je berekening af op het gevraagde aantal decimalen (vier decimalen). Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig antwoord.

### Vraag 15 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je berekent hoeveel geldige namen er nog overblijven door systematisch het totaal aantal permutaties van de vier letters te bepalen, de ongeldige combinaties volgens de gestelde regels uit te sluiten en de reeds vergeven namen er vervolgens van af te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat het aantal volgordes van 4 verschillende letters gelijk is aan 4! = 4 * 3 * 2 * 1. Daarnaast moet je begrijpen hoe je systematisch voorwaarden toepast om ongeldige combinaties te tellen.

Wat moet je kunnen: Je berekent het totaal aantal mogelijke lettervolgordes, je brengt nauwkeurig in kaart welke namen afvallen volgens de restricties in de tekst, en je trekt zowel de niet-toegestane als de reeds gebruikte namen af van het totaal.

Waar op letten: Bereken eerst het totale aantal mogelijke volgordes van de 4 unieke letters met 4! = 24.
Let goed op alle voorwaarden voor ongeldige namen (zoals letters die niet aan het begin of einde naast elkaar mogen staan) en tel deze combinaties zonder dubbelingen.
Vergeet niet om de namen die het koppel al aan hun eerdere kinderen heeft gegeven (de 12 reeds gebruikte namen) ook van het totaal af te trekken.
Schrijf je toelichting helder en systematisch op, zodat elke tussenstap inzichtelijk is voor de puntenverdeling.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2024
tijdvak 2
donderdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 24 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1026-a-24-2-o

### Pagina 2

Meer werklozen?

Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) presenteert ieder kwartaal cijfers over de beroepsbevolking van Nederland. Hierbij wordt onder andere het aantal werklozen vermeld.

Volgens de overheid is iemand werkloos als die persoon aan de volgende drie criteria voldoet:
I De persoon heeft geen betaald werk.
II De persoon heeft in de afgelopen vier weken naar betaald werk gezocht.
III De persoon kan binnen twee weken starten met werken.

We voeren de volgende notaties in:
$B$ Een persoon heeft betaald werk
$Z$ Een persoon heeft in de afgelopen vier weken naar betaald werk gezocht
$S$ Een persoon kan binnen twee weken starten met werken
$W$ Een persoon is volgens de overheid werkloos

In de figuur hieronder is een Venndiagram weergegeven. Dit Venndiagram staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Een Venn-diagram met drie cirkels, genaamd B, Z en S, die elkaar overlappen. De cirkel W is het universum.]

2p 1 Arceren in het Venndiagram op de uitwerkbijlage het gebied waarin zich een persoon bevindt die volgens de drie criteria van de overheid werkloos is.

2p 2 Leg uit of $S$ een voldoende voorwaarde is voor $W$ en leg uit of $S$ een nodige voorwaarde is voor $W$.

VW-1026-a-24-2-o 2 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

3p 3 Gegeven is de bewering $(S \wedge \neg Z) \Rightarrow \neg W$.
Vertaal deze bewering in een gewone zin en bepaal of de bewering in
overeenstemming is met de drie criteria van de overheid.

Of iemand wel of niet werkloos is, wordt bepaald aan de hand van een
ingevulde vragenlijst. In de vragenlijst die tot en met 2021 werd gebruikt,
werden onderstaande drie meerkeuzevragen gesteld. Bij de drie vragen is
met aangegeven wat een bepaalde persoon op deze vragen heeft
geantwoord.

[FIGUUR: Een grijze rechthoek met daarin drie vragen met multiple choice antwoorden. Vraag 1 is "Heeft u op dit moment betaald werk?" met antwoorden ja en nee. Vraag 2 is "Heeft u de afgelopen 4 weken naar betaald werk gezocht?" met antwoorden ja en nee. Vraag 3 is "Op welke termijn kunt u beginnen met werken?" met antwoorden "Binnen 2 weken", "2 weken tot 3 maanden", "3 maanden tot 6 maanden" en "6 maanden of langer". Voor de antwoorden zijn verschillende bullet points en rondjes gebruikt.]

1) Heeft u op dit moment betaald werk?
  o ja
  • nee
2) Heeft u de afgelopen 4 weken naar betaald werk gezocht?
  • ja
  o nee
3) Op welke termijn kunt u beginnen met werken?
  o Binnen 2 weken
  • 2 weken tot 3 maanden
  o 3 maanden tot 6 maanden
  o 6 maanden of langer

2p 4 Geef met een redenering in logische symbolen weer, of deze persoon wel
of niet volgens de drie criteria van de overheid tot de werklozen wordt
gerekend. Gebruik in je antwoord alle vier de symbolen $B$, $Z$, $S$ en $W$.

Het CBS is inmiddels overgegaan op een nieuwe methode voor het
bepalen van het aantal werklozen. In oktober 2021 is het aantal werklozen
zowel met de oude als met de nieuwe methode bepaald. Hierbij bleek dat
de nieuwe methode een hoger aantal werklozen opleverde.

3p 5 In oktober 2021 had Nederland volgens de oude methode 277 duizend
werklozen. Dit kwam neer op 2,9% van de beroepsbevolking. Met de
nieuwe methode was het 4,02%.
Bereken hoeveel werklozen er met de nieuwe methode meer werden
bepaald dan met de oude methode. Geef je antwoord in duizendtallen.

VW-1026-a-24-2-o 3 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 4

Wonen in New York

Wonen in het centrum van een grote stad is in het algemeen duurder dan
wonen buiten het centrum. In figuur 1 staan de huurprijzen per maand in
2016 van 1- en 3-kamerappartementen in New York, uitgezet tegen de
reistijd met het openbaar vervoer tot 42nd Street, een van de
belangrijkste straten in het commerciële centrum. Figuur 1 staat ook
vergoot op de uitwerkbijlage.

figuur 1
[FIGUUR: Scatterplot met op de x-as 'reistijd tot 42nd Street met openbaar vervoer (min.)' van 0 tot 65, en op de y-as 'huurprijs per maand (dollar)' van 0 tot 10000. Twee datareeksen worden weergegeven: 3-kamerappartementen (open cirkels) en 1-kamerappartementen (zwarte gevulde cirkels).]
O 3-kamerappartement
• 1-kamerappartement

Een punt in figuur 1 stelt niet de huurprijs van één appartement voor,
maar de gemiddelde huurprijs van alle appartementen met dezelfde
reistijd.

Verhuurders van appartementen gebruiken soms de volgende vuistregel:

Voor elke kamer meer in een appartement stijgt de huurprijs met
ongeveer 25%.

3p 6 We bekijken appartementen met een reistijd van 25 minuten.
Onderzoek met behulp van figuur 1 op de uitwerkbijlage of de gemiddelde
huurprijs van deze appartementen aan bovenstaande vuistregel voldoet.

VW-1026-a-24-2-o 4 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 5

In figuur 2 op de uitwerkbijlage zijn aan figuur 1 twee trendlijnen
toegevoegd. In het vervolg van deze opgave gaan we uit van deze
trendlijnen en niet meer van de individuele datapunten.

We bekijken een 1-kamerappartement met een reistijd van 15 minuten tot
42nd Street. Voor de huurprijs van dit appartement kun je ook een
3-kamerappartement huren. De reistijd tot 42nd Street vanaf dat
1-kamerappartement is wel langer dan de reistijd vanaf het
1-kamerappartement.

3p 7 Bepaal met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage hoeveel langer de
reistijd vanaf dat 3-kamerappartement is. Licht je antwoord toe en geef je
antwoord in hele minuten.

De formule die past bij de trendlijn van de 3-kamerappartementen is:

$$H = \frac{20\,367}{r^{0,571}}$$

Hierin is $H$ de huurprijs per maand van een 3-kamerappartement in dollars
en $r$ de reistijd tot 42nd Street in minuten.

2p 8 Beredeneer aan de hand van de formule, zonder getallen in te vullen of
een schets/tekening te maken, dat de huurprijs $H$ hoger wordt als de
reistijd $r$ korter wordt.

VW-1026-a-24-2-o 5 / 15 lees verder

### Pagina 6

Krattenbrug

Studenten van de Technische Universiteit Eindhoven hebben in 2016 een
brug van kratten gebouwd. Zie de foto. Naast de foto zie je ook een
afbeelding van een computeranimatie uit de ontwerpfase van de
krattenbrug.

foto afbeelding

[FIGUUR: Foto van de krattenbrug.] [FIGUUR: Computeranimatie van de krattenbrug.]

Elke toren bestaat uit 29 lagen gestapelde kratten. De bovenste laag
geven we nummer 1, de laag direct daaronder nummer 2, enzovoorts.

Voor de bovenste 11 lagen geldt voor het aantal kratten per laag:
$A(n) = 3,5n + 3,5$ voor lagen met een oneven nummer
$A(n) = 3,5n + 3$ voor lagen met een even nummer
Hierin is $A(n)$ het aantal kratten en $n$ het nummer van de laag.

Neem aan dat voor de overspanning in totaal 4950 kratten zijn gebruikt.
Voor beide torens geldt dat laag 12 tot en met laag 29 elk evenveel
kratten bevatte als laag 11.

4p 9 Bereken het totaal aantal kratten in de hele krattenbrug.

VW-1026-a-24-2-0 6 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Op de foto is te zien dat de krattenbrug over een rivier is gebouwd. Deze rivier, de Dommel, stroomt midden onder de brug door. In de figuur is de situatie schematisch weergegeven in een assenstelsel. In deze figuur zijn van de brug alleen de torens en de onderkant van de overspanning weergegeven. Deze onderkant noemen we de boog.

[FIGUUR: Een schematische tekening van een brug over een rivier. De boog van de brug is weergegeven als een parabool, met de y-as in het midden van de boog en de x-as op de grond. De breedte van de brug is 26,7 meter, de breedte van de Dommel is 9,0 meter, en de maximale hoogte van de boog is 5,3 meter.]

In de figuur is de grond als x-as genomen en gaat de y-as door het hoogste punt van de boog.
Verder zijn de volgende gegevens bekend, zie de figuur:
- De boog is 26,7 meter breed.
- De maximale hoogte van de boog is 5,3 meter ten opzichte van de grond.
- De Dommel is 9,0 meter breed.

Voor de boog kan een formule worden opgesteld van de vorm
$y = a \cdot x^2 + 5,3$.

Na afronding geldt $a = -0,030$.

3p 10 Bereken met behulp van de gegevens $a$ in vier decimalen.

2p 11 Een persoon met een lengte van 1,90 meter loopt op een afstand van 6 meter van de waterkant onder de brug door. Onderzoek of deze persoon rechtop onder de brug door kan lopen.

VW-1026-a-24-2-o
7 / 15
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Incomplete open kubussen

Op foto 1 is een kunstwerk te zien van de Amerikaanse kunstenaar Sol LeWitt.
foto 1
[FIGUUR: Foto van een wit, open kubusachtig kunstwerk, bestaande uit zes ribben, met de bovenkant open.]

Dit kunstwerk is onderdeel van een serie kunstwerken. Elk kunstwerk in de serie is een zogheten frame. Een frame bestaat uit een aantal ribben van een kubus.

Alle frames zijn 106,7 cm hoog.
Foto 1 staat ook op de uitwerkbijlage.
12 4p Bereken op welke hoogte de foto is genomen.
Geef je antwoord in een geheel aantal centimeters.

Bij de ribben van een frame onderscheiden we drie verschillende richtingen zoals in foto 2 met de dubbele pijlen is aangegeven.

foto 2
[FIGUUR: Foto van een deel van een wit kunstwerk, vergelijkbaar met foto 1, met twee dubbele pijlen die de drie richtingen aangeven. Eén pijl wijst omhoog en omlaag, de andere wijst naar links en rechts, en een derde pijl (gedeeltelijk zichtbaar) wijst naar voren en achteren.]

LeWitt stelde een aantal voorwaarden aan de frames in zijn serie:
I In elk frame ontbreken één of meerdere van de twaalf ribben die
een
kubus heeft, waardoor er een incomplete kubus ontstaat.
II Een frame mag niet uit verschillende delen bestaan.
III Een frame bevat in elk van de drie richtingen ten minste één ribbe.

VW-1026-a-24-2-o 8 / 15 lees verder ►►►


### Pagina 9

Op foto 3 is een frame te zien dat bestaat uit vijf ribben. Figuur 1 is het vooraanzicht van dit frame.
foto 3
[FIGUUR: Foto van een wit frame met vier rechtopstaande staanders, twee aan de zijkanten en twee in het midden, verbonden door horizontale ribben op verschillende hoogtes.]
figuur 1
[FIGUUR: Schematische weergave van het vooraanzicht van een frame, bestaande uit een rechthoek met een verticale lijn in het midden.]
Er bestaan meerdere frames die ook een vooraanzicht hebben zoals figuur 1. Deze frames hebben niet allemaal vijf ribben. Bereedeneer hoeveel ribben een frame met een vooraanzicht als in figuur 1 minimaal heeft.

In het vervolg van de opgave kijken we naar frames waarvan de drie aanzichten zijn zoals weergegeven in figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Drie schematische weergaven van een frame: vooraanzicht (rechthoek met verticale middenlijn), bovenaanzicht (rechthoek), zijaanzicht (rechthoek).]
vooraanzicht
bovenaanzicht
zijaanzicht
Er kan geconcludeerd worden dat zo'n frame in alle drie de richtingen ten minste twee ribben heeft, dus dat zo'n frame minimaal zes ribben heeft.

Het is mogelijk om verschillende frames te maken die bestaan uit zes ribben waarvan de drie aanzichten zijn zoals in figuur 2. Een aantal van die frames voldoet aan alle voorwaarden van LeWitt en een aantal van die frames voldoet niet aan alle voorwaarden van LeWitt.

In de figuur op de uitwerkbijlage zijn vijf frames getekend met behulp van stippellijnen de ribben van twee kubussen getekend. Hierin kan je een frame tekenen door stippellijnen te vervangen door doorgetrokken lijnen. Hierbij betekent een doorgetrokken lijn dat het frame daar een ribbe heeft en een stippellijn dat het frame daar geen ribbe heeft.
4p 14 Teken op de uitwerkbijlage twee frames, die bestaan uit zes ribben en waarvan de aanzichten zijn zoals in figuur 2, waarbij het eerste frame wél voldoet aan alle voorwaarden van LeWitt en het tweede frame niet.

VW-1026-a-24-2-o
9 / 15
le es verder ► ► ►

### Pagina 10

Babynamen

In april 2022 verwelkomde een Belgisch koppel hun twaalfde kindje. Deze
dochter kreeg een voornaam die bestaat uit dezelfde letters als die van de
namen van de elf andere kinderen. De broertjes en zusjes van de
pasgeboren dochter Laex heten Alex, Axel, Xela, Lexa, Xael, Xeal, Exla,
Leax, Xale, Elax en Alxe.

Alle voornamen van de kinderen bestaan uit vier letters: een A, een E,
een L en een X.
Omdat de namen uitspreekbaar moeten zijn, nemen we aan dat een naam
niet mag beginnen of eindigen met LX of XL.
3p 15 Bepaal hoeveel verschillende namen met deze vier letters er nog mogelijk
zijn voor dit koppel als ze nog meer kinderen zouden krijgen. Licht je
antwoord toe.

In de Nederlandse Voornamenbank is vanaf het jaar 1880 bijgehouden
hoe vaak een voornaam per jaar in Nederland gegeven wordt.

In de tabel staan voor de voornaam Axel van jongens in Nederland een
aantal gegevens voor het jaar 2000 en voor het jaar 2005.

tabel
| aantal jongens dat de naam Axel kreeg | 2000 | 2005 |
|---|---|---|
| percentage ten opzichte van het totaal aantal jongens dat in hetzelfde jaar geboren is | 0,0598% | 0,0654% |

3p 16 Beredeneer, zonder een berekening te maken, of er in het jaar 2005 in
totaal meer of minder jongens geboren werden dan in het jaar 2000.

VW-1026-a-24-2-o 10 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 11

De voornaam Kevin kwam tot 1970 nauwelijks voor in Nederland, maar
tussen 1970 en 1992 groeide het aantal baby's met deze voornaam
explosief. Na 1992 nam de populariteit van de voornaam Kevin weer af.
Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de x-as jaren (van 1880 tot 2016) en op de y-as het aantal geboren Kevins in het jaar (van 0 tot 1400). De grafiek toont een lijn die voor 1970 nauwelijks boven de 0 komt, daarna sterk stijgt tot een piek rond 1992, en vervolgens weer daalt.]

Het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is, kan vanaf 1950
worden benaderd met de formule:

$N = \frac{23162}{1+10 \cdot 301^{-0,8025^t}}$

Hierin is $N$ het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is en $t$
de tijd in jaren met $t=0$ het einde van het jaar 1950.

Volgens de formule groeide in de jaren 1971 tot en met 1974 het aantal
geboren Kevins per jaar bij benadering exponentieel.

4p 17 Toon dit met behulp van een berekening aan.

De formule nadert naar een grenswaarde. Deze grenswaarde is het totaal
aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren zal worden.
4p 18 Bereken met behulp van de formule in welk jaar de helft van het totaal
aantal Kevins dat ooit geboren zal worden, al geboren was.

VW-1026-a-24-2-o 11 / 15 lees verder ►►►


### Pagina 12

De verspreiding van de voornaam Ingrid verloopt op vergelijkbare wijze
als die van de voornaam Kevin. Het totaal aantal Ingrids dat ooit geboren
is, is voor de jaren 1910-2018 in figuur 2 weergegeven. Figuur 2 staat
vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as het aantal geboren Ingrids (van 0 tot 40000) en op de x-as de jaren (van 1900 tot 2020). De grafiek toont een curve die vanaf ongeveer 1930 begint te stijgen, een steile stijging kent tussen 1950 en 1980, en daarna afvlakt.]

Aan de helling van de grafiek in figuur 2 is te zien dat vanaf 1950 de
populariteit van de naam Ingrid echt begon toe te nemen, maar dat die
later weer afnam.
Er was een jaar waarin er net zoveel baby's met de naam Ingrid
3p 19
bijkwamen als in 1950.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage in welk jaar dat was.

VW-1026-a-24-2-o 12 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 13

Zevenheuvelenloop
De Zevenheuvelenloop is een jaarlijks terugkerend hardloopevenement in
Nijmegen. Deelnemers kunnen kiezen tussen de korte afstand van 7 km
en de lange afstand van 15 km.

In 2019 waren er voor de korte afstand 8000 deelnemers en voor de lange
afstand 24 000. Bij de korte afstand waren de vrouwen met 57% in de
meerderheid. Bij de lange afstand waren de mannen met 69% in de
meerderheid.

20 Bereken het percentage vrouwen dat in 2019 deelnam aan de
Zevenheuvelenloop. Geef je antwoord in één decimaal.

Zoals de naam doet vermoeden, is het parcours van de
Zevenheuvelenloop heuvelachtig. In het jaar 2019 werd de New Balance
Kilometer (NBK) geïntroduceerd. Dat is de 11e kilometer van de lange
afstand. Deze kilometer wordt omhoog gelopen. Voor deze kilometer
wordt op de volgende manier een winnaar bepaald:
- Na afloop wordt op basis van de eindtijd voor elke deelnemer de
gemiddelde kilometertijd op de lange afstand berekend.
- De deelnemer die op de NBK een tijd heeft gelopen die relatief het
verst onder zijn berekende gemiddelde kilometertijd zit, wint de NBK.

rekenvoorbeeld
Rogier finisht op de lange afstand van 15 km in een tijd van 1:30:00, dus
in 1 uur, 30 minuten en 0 seconden.
Zijn berekende gemiddelde kilometertijd is dus 360 seconden.
Over de NBK deed Rogier 5 minuten en 40 seconden. Dit is 20 seconden
sneller dan zijn gemiddelde kilometertijd.
Rogier had $\frac{20}{360} \cdot 100% \approx 5,6%$ minder tijd nodig voor de NBK dan zijn
gemiddelde kilometertijd.

Pieter van der Ark liep in 2019 de lange afstand van 15 km in een tijd van
2:03:38 (dus in 2 uur, 3 minuten en 38 seconden). Hij eindigde daarmee
in de achterhoede van de lange afstand. Van der Ark had 56,3% minder
tijd nodig voor de NBK dan zijn gemiddelde kilometertijd en won daarmee
wel de NBK.

21 Bereken hoelang van der Ark over de NBK deed. Geef je antwoord in
gehele seconden.

VW-1026-a-24-2-o 13/15 lees verder ►►►

### Pagina 14

We bekijken nu een model met drie factoren die de prestatie tijdens het hardlopen beïnvloeden: de leeftijd, het lichaamsgewicht en de afstand.

invloed van de leeftijd
Vanaf het 35e levensjaar gaat het fysieke prestatievermogen achteruit. Hierdoor zal een hardloper elk jaar gemiddeld 0,8% langer over dezelfde afstand doen dan het jaar ervoor.

Henk Stevens (bedenker van de Zevenheuvelenloop) doet jaarlijks mee aan de Zevenheuvelenloop. In tabel 1 zie je zijn eindtijden op de 15 km in 2016 op 64-jarige leeftijd en in 2019 op 67-jarige leeftijd.

tabel 1
| leeftijd (in jaren) | eindtijd (in seconden) |
|---|---|
| 64 | 3842 |
| 67 | 3937 |

3p 22 Stevens deed er in 2019 iets langer over dan je zou verwachten op basis van zijn tijd in 2016 en de invloed van de leeftijd. Bereken hoeveel seconden langer. Geef je antwoord in gehele seconden.

invloed van de verandering in lichaamsgewicht
Hoe zwaarder je bent, des te langzamer je gaat. Er geldt:

$$ S_2 = \left(1,9 - 0,9 \frac{G_2}{G_1}\right) \cdot S_1 \quad \text{(formule 1)} $$

Hierin is:
$G_1$ het gewicht in kilogram op moment 1;
$S_1$ de (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen is bij gewicht $G_1$;
$G_2$ het gewicht in kilogram op moment 2;
$S_2$ de voorspelde (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen wordt bij gewicht $G_2$.

Een hardloper met gewicht $G_1$ loopt met een gemiddelde snelheid $S_1$. Stel dat deze hardloper 5% zwaarder wordt.

3p 23 Bereken met hoeveel procent zijn gemiddelde snelheid dan afneemt volgens formule 1. Geef je antwoord in één decimaal.

VW-1026-a-24-2-o 14 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 15

invloed van de afstand
Op een korte afstand kun je een hogere gemiddelde snelheid lopen dan
op een langere afstand.

Hardloop trainer Jan Willem Nieboer bracht de drie invloeden samen in
onderstaande formule:

$$ S_2 = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{0,06} \cdot (1,9-0,9 \frac{G_2}{G_1}) \cdot 1,008^{L_1 - L_2} \cdot S_1 \quad (\text{formule } 2) $$

Nieuw in formule 2 ten opzichte van formule 1 zijn:
$L_1$ de leeftijd in jaren op moment 1;
$L_2$ de leeftijd in jaren op moment 2;
$A_1$ de afstand in kilometer op moment 1;
$A_2$ de afstand in kilometer op moment 2.
Formule 2 geldt voor leeftijden vanaf 35 jaar.

Erben Wennemars liep toen hij 40 jaar was een tijd van 56 minuten en
49 seconden op de lange afstand van de Zevenheuvelenloop. In het
tv-programma Jinek vertelde Wennemars dat hij de marathon van
Rotterdam in een tijd van minder dan 2 uur en 50 minuten zou willen
afleggen. Wennemars was 44 jaar toen hij de marathon van Rotterdam
liep. In tabel 2 staan de afstanden en afgeronde tijden van Wennemars.

tabel 2
[FIGUUR: Tabel met twee rijen en drie kolommen. De eerste kolom bevat "Zevenheuvelenloop" en "Marathon van Rotterdam". De tweede kolom bevat de afstanden in km: "15" en "42,195". De derde kolom bevat de behaalde eindtijden in uren: "0,947" en "2,833".]

5p 24 Neem aan dat Wennemars tijdens de Zevenheuvelenloop een gewicht van
78 kg had en dat hij alleen invloed op zijn gewicht had om zijn streeftijd op
de marathon van Rotterdam te kunnen behalen.
Bereken met behulp van formule 2 in één decimaal hoeveel procent
Wennemars minimaal af had moeten afvallen om zijn streeftijd op de
marathon te behalen.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1026-a-24-2-0
15 / 15
einde
Beschikbaar gesteld door Stichting Studievegeleiding Leiden (SSL).