# Eindexamen Wiskunde C VWO 2024 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1

## Vraag 1 – Vraag (4 punten)

4p 1 Bereken hoeveel dm\(^3\) marmer er is gebruikt voor de letter Z. Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een zijaanzicht van het kunstwerk, gezien vanaf links. De letter Z is al in het zijaanzicht op de uitwerkbijlage getekend. De letters A en Z zijn even dik en ze staan loodrecht ten opzichte van elkaar (zie de foto). De letter A is 120 cm hoog en de afstand tussen de A en de Z is 140 cm.

Wat kun je verwachten: Je zult een figuur moeten analyseren om de afmetingen van de letter Z te bepalen. Vervolgens bereken je de oppervlakte van dit figuur en vermenigvuldig je dit met de dikte om het volume te vinden. Tot slot reken je de eenheid om.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de oppervlakte van samengestelde figuren berekent (bijvoorbeeld rechthoeken en driehoeken). Ook moet je de formule voor het volume van een prisma kennen (Volume = Oppervlakte grondvlak × hoogte) en hoe je eenheden van volume omrekent (cm³ naar dm³).

Wat moet je kunnen: Je kunt een schematisch bovenaanzicht interpreteren en daaruit de juiste afmetingen aflezen. Je kunt de oppervlakte van een complexe vorm berekenen door deze op te delen in eenvoudigere vormen. Je kunt het volume van een 3D-object berekenen en je kunt eenheden van volume correct omrekenen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden die in de vraag en de figuren worden gebruikt (cm) en de eenheid waarin het antwoord gevraagd wordt (dm³). Je moet dus aan het einde omrekenen.
Je moet de oppervlakte van het grondvlak (de letter Z) nauwkeurig bepalen. Dit kan op verschillende manieren: door de Z op te delen in rechthoeken en driehoeken, of door een grote rechthoek te nemen en daar delen vanaf te trekken. Kies de methode die jij het meest overzichtelijk vindt.
Verwar de hoogte van de letter A (120 cm) niet met de dikte van de letter Z. De dikte van de letter Z is de 'hoogte' van het prisma dat je moet berekenen.
Controleer of je alle benodigde afmetingen correct hebt afgelezen uit het bovenaanzicht. Een kleine afleesfout kan leiden tot een verkeerd eindantwoord.

Kernbegrippen: Volume van een prisma, Oppervlakte van samengestelde figuren, Eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de einduitkomst om te rekenen van cm³ naar dm³.
- Reken- of afleesfouten bij het bepalen van de oppervlakte van het grondvlak.
- Verwarring tussen de verschillende afmetingen (hoogte van de letter vs. afmetingen van het bovenaanzicht).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Vraag (3 punten)

Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een zijaanzicht van het kunstwerk, gezien vanaf links. De letter Z is al in het zijaanzicht op de uitwerkbijlage getekend. De letters A en Z zijn even dik en ze staan loodrecht ten opzichte van elkaar (zie de foto).
De letter A is 120 cm hoog en de afstand tussen de A en de Z is 140 cm.
Teken in het zijaanzicht op de uitwerkbijlage de letter A erbij.

Wat kun je verwachten: Je zult een schematische tekening moeten maken van de letter A, die past bij het reeds getekende deel van het kunstwerk op de uitwerkbijlage. Dit betekent dat je nauwkeurig moet meten en tekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een schaal berekent en toepast. Ook moet je in staat zijn om informatie uit een tekst en afbeeldingen te combineren en te visualiseren in een zijaanzicht.

Wat moet je kunnen: Je moet de schaal van de tekening kunnen afleiden uit de gegeven informatie. Je moet de afmetingen van de letter A en de afstand tot de Z kunnen omrekenen naar de juiste schaal. Tot slot moet je de letter A correct kunnen positioneren en tekenen op de uitwerkbijlage, rekening houdend met de dikte en de hoogte.

Waar op letten: Je moet eerst de schaal van de tekening op de uitwerkbijlage bepalen. Dit doe je door een bekende afmeting van de letter Z (bijvoorbeeld de dikte) uit de opgave te vergelijken met de getekende afmeting op de uitwerkbijlage.
Je moet goed letten op de oriëntatie 'gezien vanaf links'. Dit bepaalt hoe de letters A en Z ten opzichte van elkaar staan in het zijaanzicht.
Je moet alle relevante afmetingen (hoogte A, afstand A-Z, dikte A en Z) omrekenen naar de juiste schaal voordat je ze tekent.
Je moet de letter A tekenen als een rechthoek, waarbij je rekening houdt met de hoogte en de dikte van de letter, en de afstand tot de letter Z.

Kernbegrippen: tekenen op schaal, ruimtelijk inzicht, interpreteren van tekst en afbeeldingen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect interpreteren van de schaal van de tekening op de uitwerkbijlage.
- Vergeten dat de letters A en Z even dik zijn (40 cm).
- De afstand tussen de letters verkeerd tekenen.
- De oriëntatie 'gezien vanaf links' verkeerd interpreteren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Vraag (4 punten)

De foto staat ook op de uitwerkbijlage.
Zoals eerder vermeld is de zithoogte van de letter Z 40 cm.
3 Bereken op welke hoogte deze foto genomen is. Geef je antwoord in gehele centimeters.

Wat kun je verwachten: Je zult een foto van het kunstwerk 'Van A tot Z' zien. Je moet op deze foto lijnen tekenen en metingen verrichten om de hoogte van de fotograaf te bepalen. Je gebruikt hierbij de principes van perspectieftekenen en verhoudingsrekening.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een verdwijnpunt en een horizon zijn in perspectieftekenen. Je moet ook de relatie kennen tussen de horizon en de ooghoogte van de waarnemer (fotograaf). Daarnaast moet je bekend zijn met het opstellen en oplossen van verhoudingen.

Wat moet je kunnen: Je moet op een afbeelding parallelle lijnen kunnen identificeren en deze verlengen om een verdwijnpunt te vinden. Je moet door dit verdwijnpunt de horizon kunnen tekenen. Vervolgens moet je nauwkeurig hoogtes kunnen meten op de foto en deze metingen gebruiken om, in combinatie met een gegeven werkelijke hoogte, een onbekende werkelijke hoogte te berekenen met behulp van verhoudingen.

Waar op letten: Je moet nauwkeurig werken bij het tekenen van hulplijnen en het aflezen van afstanden op de foto. Kleine afwijkingen kunnen leiden tot een ander eindantwoord.
Je moet de juiste verhouding opstellen tussen de gemeten hoogtes op de foto en de werkelijke hoogtes. Denk goed na welke hoogtes bij elkaar horen.
Je moet de zithoogte van de letter Z (40 cm) correct gebruiken als de bekende werkelijke hoogte.
Je moet je antwoord afronden op een geheel aantal centimeters, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, horizon, verhoudingsrekening, schaalrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Onnauwkeurig bepalen van het verdwijnpunt
- Meetfouten op de foto
- Verkeerde verhouding opstellen
- Vergeten af te ronden op gehele centimeters

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Vraag (2 punten)

2p 4 Bereken hoeveel hectare grasland er nog was in Nederland in 2014. Geef je antwoord in duizenden hectares. Een van de weidevogelsoorten die het meest in aantal is afgenomen, is de veldleeuwerik. In de jaren vanaf 1990 tot en met 2000 bleef de procentuele afname per jaar ten opzichte van het jaar ervoor nagenoeg gelijk. Dit gold ook voor de jaren vanaf 2001 tot en met 2005. In figuur 1 zijn deze jaarlijkse procentuele afnames voor deze twee periodes weergegeven voor drie verschillende soorten gebieden: duingebieden, heidegebieden en agrarische gebieden. figuur 1 - jaarlijkse afname aantal veldleeuweriken in % -15 -10 -5 0 Legenda: 2001-2005 1990-2000 duingebieden heidegebieden agrarische gebieden

Wat kun je verwachten: Je zult een berekening moeten uitvoeren waarbij je een percentage gebruikt om terug te rekenen naar een oorspronkelijke hoeveelheid en vervolgens de overgebleven hoeveelheid bepaalt. Je moet goed letten op de eenheden en de afronding.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met percentages rekent, in het bijzonder hoe je een oorspronkelijke waarde berekent als je de procentuele afname en de absolute afname kent. Je moet ook weten hoe je een getal in duizenden hectares uitdrukt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de absolute afname van 150.000 hectare koppelen aan de procentuele afname van 14%. Je kunt de oorspronkelijke hoeveelheid grasland in 1990 berekenen. Vervolgens kun je de hoeveelheid grasland in 2014 bepalen en dit correct afronden en uitdrukken in duizenden hectares.

Waar op letten: Let goed op de formulering: '14% van het grasland dat er in 1990 was' betekent dat de 150.000 hectare overeenkomt met 14% van de *oorspronkelijke* hoeveelheid, niet van de hoeveelheid in 2014.
Zorg ervoor dat je het antwoord uiteindelijk in 'duizenden hectares' geeft. Dit betekent dat je het berekende aantal door 1000 moet delen of de eenheid correct moet noteren.
Rond niet te vroeg af tijdens je berekeningen om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
Controleer of je de vraag beantwoordt: 'hoeveel hectare grasland er nog was in Nederland in 2014', dus niet de oorspronkelijke hoeveelheid in 1990.

Kernbegrippen: procenten, procentuele afname, terugrekenen van een percentage

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de 14%: dit is de afname die gelijk is aan 150.000 hectare, niet een percentage van de nieuwe waarde.
- Vergeten het antwoord in duizenden hectares te geven.
- Afrondingsfouten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Vraag (4 punten)

Een van de weidevogelsoorten die het meest in aantal is afgenomen, is de veldleeuwerik. In de jaren vanaf 1990 tot en met 2000 bleef de procentuele afname per jaar ten opzichte van het jaar ervoor nagenoeg gelijk. Dit gold ook voor de jaren vanaf 2001 tot en met 2005. In figuur 1 zijn deze jaarlijkse procentuele afnames voor deze twee periodes weergegeven voor drie verschillende soorten gebieden: duingebieden, heidegebieden en agrarische gebieden.

figuur 1 - jaarlijkse afname aantal veldleeuweriken in %

In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat in de jaren vanaf 2001 tot en met 2005 het aantal veldleeuweriken in duingebieden jaarlijks met 7,8% afnam.
Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent minder veldleeuweriken er in duingebieden waren in 2005 ten opzichte van het aantal in 1989.
Geef je antwoord in gehele procenten.

Wat kun je verwachten: Je zult een staafdiagram moeten interpreteren om percentages af te lezen. Daarna pas je je kennis van groeifactoren en exponentiële groei toe om de totale afname over een langere periode te berekenen. Je moet zorgvuldig omgaan met het aantal jaren per periode en de omzetting van procenten naar groeifactoren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele afname omzet naar een groeifactor. Je moet ook de formule voor samengestelde groei kennen, waarbij je een groeifactor tot de macht van het aantal periodes verheft. Daarnaast moet je weten hoe je de totale groeifactor over meerdere periodes combineert.

Wat moet je kunnen: Je kunt percentages correct aflezen uit een staafdiagram. Je kunt een procentuele afname omrekenen naar een groeifactor. Je kunt de totale groeifactor over meerdere opeenvolgende periodes berekenen door de groeifactoren te vermenigvuldigen, elk verheven tot de juiste macht. Tot slot kun je de totale groeifactor weer omzetten naar een procentuele afname en deze correct afronden.

Waar op letten: Je moet de percentages correct aflezen uit figuur 1 voor de duingebieden in beide periodes. Let goed op de schaalverdeling.
Zet de procentuele afname om naar een groeifactor. Een afname van X% betekent een groeifactor van (100-X)/100. Let op het verschil tussen percentage en decimaal.
Tel nauwkeurig het aantal jaren in elke periode. De periode 1990-2000 omvat 11 jaar (van begin 1990 tot eind 2000) en de periode 2001-2005 omvat 5 jaar (van begin 2001 tot eind 2005).
Rond pas aan het einde af op gehele procenten. Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.
De vraag vraagt om 'hoeveel procent minder', wat betekent dat je de totale afname moet geven, niet de resterende fractie.

Kernbegrippen: groeifactor, procentuele afname, samengestelde groei, machtsverheffen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de grafiek
- Verwarring tussen afnamepercentage en groeifactor
- Fout in het aantal jaren per periode (bijv. 10 i.p.v. 11)
- Het eindpercentage (22%) geven in plaats van de totale afname (78%)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Vraag (4 punten)

In figuur 2 zie je voor heel Nederland hoe het percentage veldleeuweriken zich in de jaren vanaf 1990 tot en met 2014 ontwikkelde ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in 1990.

We voeren de variabelen P en t in. Hierin is P het percentage veldleeuweriken ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in 1990 in Nederland en is t de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1990.

Ondanks de schommelingen kan het verband tussen P en t in de jaren vanaf 1990 tot en met 2005 goed benaderd worden met een rij die hoort bij een exponentieel verband.

Uit figuur 2 valt af te lezen dat het totale aantal veldleeuweriken in Nederland in 2005 nog maar 40% was van het totale aantal veldleeuweriken in 1990.

Stel met behulp van dit gegeven een recursieve formule op voor de rij. Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over een exponentieel verband dat de afname van een populatie beschrijft. Je moet een recursieve formule opstellen op basis van gegeven percentages over een bepaalde tijdsperiode.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie en opbouw van een recursieve formule kennen, met name voor exponentiële verbanden. Je moet ook weten hoe je een groeifactor berekent over een bepaalde periode en deze omrekent naar een groeifactor per tijdseenheid (in dit geval per jaar).

Wat moet je kunnen: Je kunt de tijdsduur tussen twee meetpunten correct bepalen. Je kunt de totale groeifactor over deze periode berekenen en deze omzetten naar een jaarlijkse groeifactor. Je kunt vervolgens een recursieve formule opstellen met de juiste beginterm en de berekende groeifactor, afgerond op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen een recursieve formule en een directe formule. De vraag vraagt expliciet om een recursieve formule.
Je moet de groeifactor correct berekenen. Let op dat je de juiste machtswortel trekt (of machtsverheffing uitvoert) om van de totale factor over 15 jaar naar de jaarlijkse factor te gaan.
Je moet de beginterm P(0) correct vermelden. Het percentage in 1990 (t=0) is het referentiepunt.
Je moet de groeifactor afronden op drie decimalen, zoals gevraagd in de opgave. Rond niet te vroeg af tijdens je berekeningen.

Kernbegrippen: exponentieel verband, recursieve formule, groeifactor berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen een recursieve en een directe formule.
- Het vergeten van de beginterm P(0)=100.
- Onjuiste berekening van de jaarlijkse groeifactor (15e machtswortel).
- Foutieve afronding van de groeifactor.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Vraag (4 punten)

4p 7 Het gewicht van een jonge veldleeuwerik heeft een grenswaarde. Beredeneer aan de hand van de formule voor \( G \), dus zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, hoe groot deze grenswaarde is. Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze toenamesnelheid maximaal. Op de uitwerkbijlage is de grafiek van \( G \) uit figuur 3 vergroot weergegeven.

Wat kun je verwachten: Je zult een grenswaarde moeten bepalen van een functie die een exponentiële term bevat. Je moet hierbij laten zien dat je begrijpt hoe exponentiële functies zich gedragen voor zeer grote waarden van de variabele.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een grenswaarde is in de context van een functie. Je moet ook de eigenschappen van exponentiële functies kennen, met name hoe termen met een negatieve exponent zich gedragen wanneer de variabele in de exponent naar oneindig gaat.

Wat moet je kunnen: Je moet een wiskundige redenering kunnen opzetten om de grenswaarde van een gegeven formule te bepalen. Dit betekent dat je de formule stap voor stap analyseert en uitlegt hoe de verschillende delen van de formule zich gedragen wanneer de onafhankelijke variabele (T) heel groot wordt.

Waar op letten: Let goed op de formulering 'beredeneer aan de hand van de formule, dus zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden'. Dit betekent dat je de limiet van de functie moet bepalen als T heel groot wordt, en niet de grenswaarde uit de grafiek mag aflezen of door invullen van grote T-waarden mag benaderen.
Je moet begrijpen wat er gebeurt met een term als 2,72^(-0,307 * T) wanneer T extreem groot wordt. Een negatieve exponent in combinatie met een grote variabele (T) zorgt ervoor dat de term naar 0 nadert.
Vergeet niet de constante '+ 9' aan het einde van de formule mee te nemen in je uiteindelijke berekening van de grenswaarde. Dit is een veelvoorkomende valkuil.
Zorg ervoor dat je elke stap van je redenering duidelijk uitlegt. Hoe beïnvloedt de term die naar 0 gaat de noemer van de breuk, en vervolgens de hele breuk?

Kernbegrippen: grenswaarde, limiet, asymptoot, exponentiële functies, negatieve exponenten

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de +9 aan het einde van de formule mee te nemen in de eindberekening.
- Moeite met het concept dat een term met een negatieve exponent naar 0 gaat als de variabele in de exponent naar oneindig gaat.
- De vraag negeren en proberen de grenswaarde af te lezen uit de grafiek, wat niet de bedoeling is ('beredeneer aan de hand van de formule').

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Vraag (4 punten)

Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze toenamesnelheid maximaal.
Op de uitwerkbijlage is de grafiek van $G$ uit figuur 3 vergroot weergegeven.

4p 8 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de maximale toenamesnelheid van het gewicht. Licht je antwoord toe en geef je antwoord in gehele grammen per mm.

noot 1 Men meet de tarsuslengte als een maat voor de leeftijd van de jonge veldleeuwerik omdat de leeftijd zelf moeilijk te bepalen valt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek van het gewicht tegen de tarsuslengte. Je moet het punt vinden waar de grafiek het steilst is en daar de helling van de raaklijn bepalen. Dit is een typische vraag waarbij je grafieken moet interpreteren en de betekenis van een helling in een context moet toepassen.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de toenamesnelheid van een functie wordt weergegeven door de helling van de grafiek. Je moet ook weten dat de maximale toenamesnelheid zich bevindt in het buigpunt van een S-vormige (sigmoïde) curve, waar de grafiek het steilst is.

Wat moet je kunnen: Je moet een raaklijn kunnen tekenen aan een grafiek in een specifiek punt. Je moet nauwkeurig coördinaten kunnen aflezen van punten op een grafiek of een getekende lijn. Vervolgens moet je de helling van een lijn kunnen berekenen met behulp van twee afgelezen punten (Δy/Δx) en de juiste eenheid aan je antwoord kunnen koppelen.

Waar op letten: Je moet het steilste punt van de grafiek (het buigpunt) visueel zo nauwkeurig mogelijk bepalen. Dit is het punt waar de toenamesnelheid maximaal is.
Je tekent een raaklijn in dit steilste punt. Zorg dat deze raaklijn de grafiek in dat ene punt raakt en de helling van de grafiek op dat punt zo goed mogelijk benadert.
Je kiest twee duidelijk afleesbare punten op de getekende raaklijn (niet per se op de oorspronkelijke grafiek!) om de helling te berekenen. Hoe verder deze punten uit elkaar liggen, hoe nauwkeuriger je berekening vaak is.
Je berekent de helling van de raaklijn met de formule Δy/Δx. Let goed op de eenheden van de assen: gewicht (gram) op de y-as en tarsuslengte (mm) op de x-as. De eenheid van je antwoord moet 'gram per mm' zijn.
Je rondt je antwoord af op hele grammen per mm, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: helling, raaklijn, maximale toenamesnelheid, buigpunt, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd buigpunt kiezen
- Onnauwkeurig raaklijn tekenen
- Afleesfouten bij coördinaten
- Reken- of omkeerfout bij helling (Δx/Δy)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Vraag (3 punten)

3p 9 Leg uit met behulp van een venndiagram of deze redenering correct is. We voeren de volgende logische symbolen in: – \(R\): je bent rechter – \(E\): je bent eerlijk Nu bekijken we de volgende uitspraak: 'Als je rechter bent, dan ben je eerlijk.' We kunnen deze uitspraak met behulp van logische symbolen als volgt weergeven: \(R \Rightarrow E\) Volgens de logica kan hieruit nu de volgende uitspraak volgen: 'Als je niet eerlijk bent, dan ...'

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logische uitspraak en de weergave ervan in symbolen. Je moet de implicatie van deze uitspraak begrijpen en met behulp van een venndiagram controleren of een afgeleide uitspraak correct is. Je zult zelf een venndiagram moeten tekenen of interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van logische implicatie (\(R \Rightarrow E\)) kennen en hoe je deze correct weergeeft in een venndiagram. Je moet ook het concept van een contrapositie begrijpen, zelfs als de term niet expliciet wordt genoemd.

Wat moet je kunnen: Je moet een venndiagram kunnen tekenen dat de relatie tussen twee verzamelingen (bijvoorbeeld 'rechters' en 'eerlijke mensen') correct weergeeft. Je moet ook in staat zijn om uit een venndiagram af te leiden of een logische redenering geldig is.

Waar op letten: Let goed op de richting van de implicatie: 'Als R, dan E' betekent dat de verzameling R volledig binnen de verzameling E ligt. Dit is cruciaal voor je venndiagram.
Zorg ervoor dat je venndiagram de gegeven uitspraak 'Als je rechter bent, dan ben je eerlijk' correct visualiseert. Dit betekent dat de cirkel 'R' (rechters) volledig binnen de cirkel 'E' (eerlijk) moet liggen.
De vraag vraagt naar de conclusie 'Als je niet eerlijk bent, dan ...'. Bedenk wat dit betekent in je venndiagram. Als je buiten de cirkel 'E' bent, waar ben je dan ten opzichte van de cirkel 'R'?
Verwar de oorspronkelijke uitspraak niet met de omkering ervan. 'Als R, dan E' is niet hetzelfde als 'Als E, dan R'. De contrapositie is echter wel logisch equivalent.

Kernbegrippen: logisch redeneren, venndiagram, validiteit van een redenering

Veelgemaakte fouten:
- Onjuiste representatie van premissen in venndiagram
- Verwarren van 'alle A zijn B' met 'alle B zijn A'
- Conclusie trekken zonder visuele onderbouwing van het diagram

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Vraag (2 punten)

We voeren de volgende logische symbolen in:
– R: je bent rechter
– E: je bent eerlijk
Nu bekijken we de volgende uitspraak: 'Als je rechter bent, dan ben je eerlijk.'
We kunnen deze uitspraak met behulp van logische symbolen als volgt weergeven: R ⇒ E
Volgens de logica kan hieruit nu de volgende uitspraak volgen:
'Als je niet eerlijk bent, dan ...'
Maak de zin hierboven volgens de logica af en schrijf de uitspraak in logische symbolen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logische uitspraak in woorden en symbolen. Je moet een logisch equivalente uitspraak afleiden en deze zowel in woorden als in logische symbolen opschrijven.

Wat moet je kennen: Je moet de concepten van implicatie (als-dan uitspraak) en contrapositie kennen. Je moet ook weten hoe je ontkenningen (niet) in logische symbolen weergeeft (¬).

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven implicatie kunnen omzetten naar de contrapositie. Je moet verbale uitspraken kunnen vertalen naar logische symbolen en andersom. Je moet de logische equivalentie tussen een implicatie en zijn contrapositie kunnen toepassen.

Waar op letten: Let goed op de richting van de implicatie. De contrapositie draait de volgorde om en ontkent beide delen.
Verwar de contrapositie niet met de omkering (converse) of de inverse. Alleen de contrapositie is logisch equivalent aan de oorspronkelijke implicatie.
Zorg ervoor dat je de ontkenning (¬) correct toepast op de juiste proposities.
Controleer of je antwoord zowel de verbale aanvulling als de symbolische weergave bevat, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logisch redeneren, implicatie, contrapositie, ontkenning

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van contrapositie met omkering (converse) of inverse
- Onjuiste vertaling van de verbale uitspraak naar logische symbolen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Vraag (2 punten)

2p 11 Beschrijf deze beide beweringen in gewoon Nederlands en geef bij elke bewering aan of deze volgt uit de bewering \(R \Rightarrow E\). In een rechtszaak zijn drie zussen de verdachten: Alicia, Bahija en Cecile. Uit DNA-onderzoek is gebleken dat slechts een van de drie zussen op de plaats van de misdaad is geweest. Het enige wat ze zeggen is het volgende: – Alicia: Ik was daar niet aanwezig. – Bahija: Ik was daar niet aanwezig. – Cecile: Slechts een van ons drieën spreekt de waarheid. Hieruit is te concluderen wie op de plaats van de misdaad is geweest.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logische implicatie in symbolen en twee andere beweringen. Je moet deze beweringen in gewone taal omschrijven en bepalen of ze logisch volgen uit de gegeven implicatie.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van logische symbolen zoals 'R', 'E' en '⇒' kennen. Je moet ook het verschil tussen een implicatie en de omkering ervan begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet logische symbolen kunnen vertalen naar duidelijke Nederlandse zinnen. Je moet ook logisch kunnen redeneren om te bepalen of een bewering noodzakelijkerwijs volgt uit een andere, of dat het een aparte, ongerelateerde bewering is.

Waar op letten: Let goed op de richting van de implicatie. 'R ⇒ E' betekent 'Als R, dan E', niet 'Als E, dan R'.
Zorg ervoor dat je de beweringen nauwkeurig vertaalt naar gewoon Nederlands, zonder de betekenis te verdraaien.
Bedenk dat een implicatie (R ⇒ E) niet automatisch betekent dat de omkering (E ⇒ R) ook waar is. Dit is een veelvoorkomende denkfout.
Controleer of de beweringen echt 'volgen' uit de gegeven implicatie, wat betekent dat ze altijd waar moeten zijn als de oorspronkelijke implicatie waar is.

Kernbegrippen: logica, implicatie, omkering, vertalen van logische symbolen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van een implicatie (R ⇒ E) met de omkering (E ⇒ R).
- Onjuist concluderen dat een van de beweringen volgt uit de gegeven implicatie.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Vraag (4 punten)

In een rechtszaak zijn drie zussen de verdachten: Alicia, Bahija en Cecile. Uit DNA-onderzoek is gebleken dat slechts een van de drie zussen op de plaats van de misdaad is geweest. Het enige wat ze zeggen is het volgende:
– Alicia: Ik was daar niet aanwezig.
– Bahija: Ik was daar niet aanwezig.
– Cecile: Slechts een van ons drieën spreekt de waarheid.
Hieruit is te concluderen wie op de plaats van de misdaad is geweest.

12 Leg uit wie er op de plaats van de misdaad is geweest.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je logisch moet redeneren op basis van gegeven uitspraken en een voorwaarde. Je zult verschillende scenario's moeten overwegen en controleren op consistentie.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen, zoals het verschil tussen 'de waarheid spreken' en 'liegen', en hoe je conclusies trekt uit tegenstrijdigheden. Je moet ook weten hoe je een bewijs uit het ongerijmde kunt opzetten.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de uitspraken van de zussen te vertalen naar logische proposities. Je moet systematisch alle mogelijke scenario's (wie was de dader?) doorlopen en voor elk scenario controleren of de uitspraken van de zussen consistent zijn met de voorwaarde dat slechts één van hen de waarheid spreekt. Je moet een tegenspraak kunnen herkennen en daaruit de juiste conclusie trekken.

Waar op letten: Let goed op de precieze formulering van elke uitspraak. 'Ik was daar niet aanwezig' is iets anders dan 'Ik spreek de waarheid'.
Houd strikt vast aan de voorwaarde dat 'slechts een van de drie zussen op de plaats van de misdaad is geweest'. Dit betekent dat er maar één dader is.
Houd ook strikt vast aan de uitspraak van Cecile: 'Slechts een van ons drieën spreekt de waarheid'. Dit is cruciaal voor het controleren van je scenario's.
Werk systematisch: neem elk van de drie zussen als mogelijke dader en kijk wat dat betekent voor de waarheid van hun uitspraken. Controleer daarna of Cecile's uitspraak dan klopt.
Vermijd aannames die niet expliciet in de tekst staan. Baseer je redenering alleen op de gegeven informatie.

Kernbegrippen: logisch redeneren, bewijs uit het ongerijmde, casusanalyse

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen 'de waarheid spreken' en 'niet aanwezig zijn'
- Aannames doen die niet in de tekst staan
- Niet alle scenario's systematisch onderzoeken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Vraag (3 punten)

3p 13 Beredeneer dit, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, met behulp van bovenstaande gegevens. Voor het vetpercentage V geldt: V = (G - VVM)/(G) · 100 \quad (formule 2) Met behulp van formule 2 en formule 1 kan voor 33-jarige mannen een formule worden opgesteld waarin het vetpercentage V wordt uitgedrukt in de lengte L in meters en het lichaamsgewicht G in kg: V = 58,271 - 943,8 · (L^2)/(G) \quad (formule 3)

Wat kun je verwachten: Je zult de relatie tussen verschillende variabelen in de formules moeten analyseren en beredeneren hoe een verandering in de ene variabele (leeftijd) het uiteindelijke resultaat (vetpercentage) beïnvloedt.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de symbolen in de formules kennen (V, G, VVM, L, j) en hoe bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) de uitkomst van een formule beïnvloeden.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de formules te ontleden en de impact van elke term te begrijpen. Je moet een logische redenering kunnen opbouwen die stap voor stap uitlegt hoe de verandering in leeftijd leidt tot een verandering in vetpercentage, zonder specifieke getallen te gebruiken.

Waar op letten: Let goed op de expliciete instructie om GEEN getallenvoorbeeld te gebruiken. Je redenering moet algemeen geldig zijn.
Analyseer zorgvuldig de structuur van formule 1, met name welke termen worden opgeteld of afgetrokken. Een minteken heeft een cruciale impact op je redenering.
Zorg ervoor dat je de keten van oorzaak en gevolg volledig uitlegt: hoe leeftijd de VVM beïnvloedt, en hoe de VVM op zijn beurt het vetpercentage beïnvloedt (via formule 2).
Controleer of je redenering consistent is met de definities van de variabelen, zoals dat VVM staat voor 'vetvrije massa' en V voor 'vetpercentage'.

Kernbegrippen: formules interpreteren, redeneren met variabelen, verbanden analyseren

Veelgemaakte fouten:
- gebruik van een getallenvoorbeeld terwijl dit expliciet verboden is
- onvolledige redenering, bijvoorbeeld de link tussen afname VVM en toename vetpercentage niet uitleggen
- tekenfout bij de interpretatie van de formule (niet zien dat de term met 'j' wordt afgetrokken)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Vraag (3 punten)

Voor het vetpercentage V geldt:
V = (G - VVM) / G ⋅ 100 (formule 2)

Met behulp van formule 2 en formule 1 kan voor 33-jarige mannen een formule worden opgesteld waarin het vetpercentage V wordt uitgedrukt in de lengte L in meters en het lichaamsgewicht G in kg:
V = 58,271 - 943,8 ⋅ (L² / G) (formule 3)

3p 14 Toon dit aan.

Wat kun je verwachten: Je zult een algebraïsche afleiding moeten uitvoeren. Je begint met twee gegeven formules en een specifieke waarde voor een variabele, en je moet door middel van substitutie en herordening aantonen dat een derde formule hieruit volgt.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het wegwerken van haakjes, het combineren van gelijksoortige termen en het splitsen van breuken. Je moet ook weten hoe je een variabele substitueert in een andere formule.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen substitueren, haakjes correct kunnen wegwerken (let op mintekens!), gelijksoortige termen kunnen samenvoegen en een breuk kunnen splitsen om de gewenste vorm te verkrijgen.

Waar op letten: Let goed op het minteken voor de haakjes bij de substitutie van VVM in formule 2. Dit minteken heeft invloed op alle termen binnen de haakjes.
Zorg ervoor dat je de leeftijd j = 33 correct invult in formule 1 voordat je deze substitueert.
Wees zorgvuldig met het vermenigvuldigen van de coëfficiënten en het combineren van de G-termen.
Denk eraan dat (A - B) / C gelijk is aan A/C - B/C. Dit is cruciaal voor het splitsen van de breuk en het verkrijgen van de uiteindelijke vorm van formule 3.
Voer de berekeningen exact uit en rond niet tussentijds af, tenzij expliciet aangegeven.

Kernbegrippen: formules combineren, algebraïsche vaardigheden, substitutie, formule omschrijven

Veelgemaakte fouten:
- tekenfout bij haakjes wegwerken
- rekenfout bij vermenigvuldigen
- fout bij splitsen van breuk

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Vraag (3 punten)

3p 15 Bereken met behulp van formule 3 het verschil tussen beide vetpercentages voor Ronaldo. Geef je antwoord als een geheel getal. Zowel een te hoog als een te laag vetpercentage is niet gezond. Voor gezonde 33-jarige mannen geldt dat zij een vetpercentage hebben tussen de 8 en de 20. Het gezonde lichaamsgewicht bij een bepaalde lengte heeft dus een boven- en een ondergrens. Voor de bovengrens en ondergrens van het gezonde lichaamsgewicht van mannen kunnen formules worden opgesteld waarbij het lichaamsgewicht \(G\) in kg uitgedrukt wordt in de lengte \(L\) in meters. Op de uitwerkbijlage staat een assenstelsel met daarin op de horizontale as de lengte (in meters) van 33-jarige mannen en verticaal hun lichaamsgewicht (in kg). Hierin is met behulp van formule 3 de grafiek van de bovengrens van het gezonde lichaamsgewicht al getekend. Deze grafiek is **geen** rechte lijn.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een formule moet toepassen en dat je goed moet lezen welke waarden je moet gebruiken. Ook moet je een percentageverschil berekenen en correct afronden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage gebruikt om een totaal te berekenen als een deel en het percentage van dat deel gegeven zijn. Je moet ook de volgorde van bewerkingen kennen bij het invullen van een formule.

Wat moet je kunnen: Je moet een formule kunnen invullen met de juiste waarden en de uitkomst correct kunnen berekenen. Je moet ook het verschil tussen twee percentages kunnen bepalen en je antwoord op een geheel getal kunnen afronden.

Waar op letten: Je moet eerst het totale lichaamsgewicht (G) van Ronaldo berekenen. De vraagtekst geeft aan dat Ronaldo 15,96 kg lichaamsvet heeft en een vetpercentage van 19%. Gebruik deze informatie om G te vinden voordat je formule 3 toepast.
Let goed op de juiste substitutie van de waarden voor L (lengte) en G (lichaamsgewicht) in formule 3. Ronaldo's lengte is 1,87 meter. Zorg dat je L kwadrateert (L²).
Na het berekenen van het vetpercentage met formule 3, moet je het verschil bepalen tussen dit berekende percentage en het gegeven vetpercentage van 19%.
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals expliciet gevraagd in de vraagstelling. Let op de afrondingsregels.

Kernbegrippen: formules substitueren, rekenen met percentages, probleemoplossend rekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het totale lichaamsgewicht G eerst te berekenen uit de gegeven hoeveelheid lichaamsvet en het vetpercentage.
- Reken- of afrondingsfouten bij het invullen van de formule.
- Het eindantwoord niet afronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Vraag (4 punten)

Zowel een te hoog als een te laag vetpercentage is niet gezond. Voor gezonde 33-jarige mannen geldt dat zij een vetpercentage hebben tussen de 8 en de 20. Het gezonde lichaamsgewicht bij een bepaalde lengte heeft dus een boven- en een ondergrens.
Voor de bovengrens en ondergrens van het gezonde lichaamsgewicht van mannen kunnen formules worden opgesteld waarbij het lichaamsgewicht G in kg uitgedrukt wordt in de lengte L in meters.
Op de uitwerkbijlage staat een assenstelsel met daarin op de horizontale as de lengte (in meters) van 33-jarige mannen en verticaal hun lichaamsgewicht (in kg). Hierin is met behulp van formule 3 de grafiek van de bovengrens van het gezonde lichaamsgewicht al getekend. Deze grafiek is **geen** rechte lijn.

4p 16 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van de ondergrens van het gezonde lichaamsgewicht en arceer vervolgens het gebied van de gezonde lichaamsgewichten.

Wat kun je verwachten: Je zult een formule moeten omzetten, punten moeten berekenen, en een grafiek moeten tekenen. Daarna moet je een specifiek gebied in de grafiek markeren.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van het herleiden van formules kennen, vooral als het gaat om het isoleren van een variabele. Je moet ook weten hoe je punten berekent voor een grafiek en hoe je een vloeiende curve tekent in een assenstelsel.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen herleiden om een specifieke variabele (G) uit te drukken in een andere variabele (L). Je moet vervolgens in staat zijn om met deze herleide formule coördinaten te berekenen, deze punten nauwkeurig in een assenstelsel te plaatsen en te verbinden met een vloeiende lijn. Tot slot moet je een specifiek gebied in de grafiek kunnen arceren.

Waar op letten: Je moet de gegeven formule voor het vetpercentage (V) gebruiken en deze herleiden om G uit te drukken in L voor de ondergrens (V=8). Let goed op de algebraïsche stappen om G correct te isoleren.
Je moet voldoende punten berekenen (minimaal 3, maar 4-5 is beter voor nauwkeurigheid) om een vloeiende lijn te kunnen tekenen. Kies L-waarden die goed verdeeld zijn over het gegeven bereik (bijvoorbeeld 1.60, 1.75, 1.90, 2.05).
Je moet de berekende punten nauwkeurig in het assenstelsel plaatsen en verbinden met een vloeiende curve, geen rechte lijn. De vraagtekst geeft expliciet aan dat de bovengrens 'geen rechte lijn' is, wat impliceert dat de ondergrens dat ook niet zal zijn.
Je moet na het tekenen van de ondergrens de eenheden controleren en het gebied tussen de twee grafieken (bovengrens en ondergrens) arceren om het gebied van gezonde lichaamsgewichten aan te geven.
Je moet ervoor zorgen dat je niet te vroeg afrondt bij het berekenen van de G-waarden, dit kan leiden tot onnauwkeurige punten en een minder precieze grafiek.

Kernbegrippen: formules herleiden, verbanden tussen variabelen, grafieken tekenen, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- Algebraïsche fouten bij het isoleren van G uit de formule.
- Onvoldoende punten berekenen om een nauwkeurige, vloeiende curve te tekenen.
- Een rechte lijn tekenen in plaats van een curve.
- Vergeten het gebied tussen de grafieken te arceren.
- De ondergrens (V=8) en bovengrens (V=20) door elkaar halen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Vraag (2 punten)

2p 17 Toon aan dat er in de tabel **geen** sprake is van een lineair of exponentieel verband tussen \(n\) en \(T_n\). De gegevens in de tabel worden redelijk benaderd door de formule \(T_n = 0,026 \cdot n^{4,4}\). We nemen aan dat deze formule geldt voor alle waarden van \(n\) groter dan of gelijk aan 2.

Wat kun je verwachten: Je zult de verschillen en verhoudingen tussen opeenvolgende waarden van T_n moeten berekenen. Je moet deze berekeningen gebruiken om te bepalen of er sprake is van een constant verschil (lineair) of een constante verhouding (exponentieel).

Wat moet je kennen: Je moet de definities van een lineair en een exponentieel verband kennen. Je moet weten dat bij een lineair verband de absolute toename (het verschil) tussen opeenvolgende y-waarden constant is bij gelijke stappen in x. Je moet ook weten dat bij een exponentieel verband de relatieve toename (de groeifactor, oftewel de verhouding) tussen opeenvolgende y-waarden constant is bij gelijke stappen in x.

Wat moet je kunnen: Je kunt de verschillen tussen opeenvolgende T_n-waarden berekenen. Je kunt de verhoudingen (groeifactoren) tussen opeenvolgende T_n-waarden berekenen. Je kunt op basis van deze berekeningen een duidelijke conclusie trekken over het type verband.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je zowel het lineaire als het exponentiële verband onderzoekt. Het is een veelvoorkomende fout om slechts één van de twee te controleren.
Gebruik minimaal twee verschillende intervallen voor zowel de verschillen als de verhoudingen om aan te tonen dat ze niet constant zijn. Eén interval is niet voldoende om 'geen verband' aan te tonen.
Wees nauwkeurig met je berekeningen. Een kleine rekenfout kan leiden tot een verkeerde conclusie.
Formuleer een duidelijke conclusie na je berekeningen. Leg uit waarom de berekende waarden betekenen dat er geen sprake is van een lineair of exponentieel verband (bijvoorbeeld: 'omdat de verschillen niet gelijk zijn, is er geen lineair verband').

Kernbegrippen: lineair verband, exponentieel verband, constante toename, constante groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Slechts één type verband (lineair of exponentieel) onderzoeken en niet beide.
- Verkeerde waarden uit de tabel gebruiken of een rekenfout maken.
- Niet expliciet concluderen waarom het verband niet lineair/exponentieel is (bijvoorbeeld alleen de berekeningen geven zonder de conclusie 'de verschillen/factoren zijn niet gelijk').

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Vraag (3 punten)

De gegevens in de tabel worden redelijk benaderd door de formule T_n = 0,026 ⋅ n^(4,4). We nemen aan dat deze formule geldt voor alle waarden van n groter dan of gelijk aan 2.

18 Bereken met behulp van de formule vanaf welk kubusnummer het wereldrecord boven het uur zal liggen.

Wat kun je verwachten: Je zult een vergelijking moeten opstellen en oplossen. Hierbij is het belangrijk dat je de eenheden goed omrekent en het antwoord correct interpreteert in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een machtsvergelijking oplost. Ook moet je de relatie tussen uren en seconden kennen. Je moet ook begrijpen wat 'vanaf welk kubusnummer' betekent in relatie tot je berekende waarde.

Wat moet je kunnen: Je kunt een machtsvergelijking opstellen en oplossen met je grafische rekenmachine. Je kunt eenheden omrekenen (uur naar seconden). Je kunt je berekende antwoord correct afronden en interpreteren in de context van de vraag.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de formule geeft de tijd waarschijnlijk in seconden, maar de vraag spreekt over 'boven het uur'. Zorg dat je deze eenheden consistent maakt voordat je gaat rekenen.
Voorkom te vroeg afronden tijdens je berekening. Gebruik de volledige precisie van je rekenmachine totdat je het eindantwoord bepaalt.
De vraag is 'vanaf welk kubusnummer'. Als je een decimaal getal voor n vindt, moet je goed nadenken of je naar boven of naar beneden moet afronden om aan de voorwaarde 'boven het uur' te voldoen.
Controleer je invoer op de rekenmachine, vooral bij het werken met machten. Een kleine fout kan leiden tot een heel ander resultaat.

Kernbegrippen: machtsvergelijking oplossen, omrekenen van eenheden, interpreteren van ongelijkheid

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten 1 uur om te rekenen naar 3600 seconden.
- Incorrect afronden: n=14,7... betekent dat bij n=14 de tijd nog onder het uur is, dus het antwoord moet 15 zijn.
- Rekenmachinefouten bij het invoeren van de machtsfunctie.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 20 – Vraag (3 punten)

Als n verdubbelt, dan wordt T_n met een factor vermenigvuldigd.
Bepaal die factor. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult een factor moeten bepalen die aangeeft hoe T_n verandert wanneer n verdubbelt. Dit vereist inzicht in hoe machtsfuncties reageren op veranderingen in de input.

Wat moet je kennen: Je moet de formule T_n = 0,026 ⋅ n^4,4 kennen en de rekenregels voor machten, specifiek hoe je (k ⋅ n)^p vereenvoudigt.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule kunnen toepassen door n te vervangen door 2n en vervolgens de resulterende uitdrukking te vereenvoudigen om de vermenigvuldigingsfactor te vinden. Je moet ook correct kunnen afronden op één decimaal.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen wat 'verdubbelt' betekent voor de variabele n. Dit betekent dat n wordt vervangen door 2n.
Je moet de rekenregels voor machten correct toepassen, met name (a ⋅ b)^p = a^p ⋅ b^p. Let op dat je niet per ongeluk 2 ⋅ n^4,4 maakt van (2n)^4,4.
Je moet de factor correct berekenen en afronden op één decimaal, zoals gevraagd in de vraag.
Je kunt de factor vinden door de nieuwe T-waarde te delen door de oorspronkelijke T-waarde, of door de eigenschappen van machtsfuncties te gebruiken.

Kernbegrippen: machtsfuncties, schaalfactor, rekenen met machten

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van rekenregels voor machten, bijvoorbeeld (2n)^4,4 verwarren met 2 * n^4,4.
- Rekenmachinefout bij het berekenen van 2^4,4.
- Afrondingsfout of niet afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Vraag (4 punten)

4p 21 Onderzoek hoeveel verschillende samenstellingen er voor een drieling bestaan als je let op geslacht en op de drie manieren waarop een drieling kan ontstaan. Licht je antwoord toe. Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek\(^{1)}\) eind jaren tachtig van de vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe. In 1980 waren er in Nederland 180517 geboorten, waarvan slechts 25 van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698 geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.

Wat kun je verwachten: Je zult een telprobleem moeten oplossen waarbij je verschillende scenario's (manieren van ontstaan van een drieling) moet onderscheiden en binnen elk scenario de mogelijke geslachtscombinaties moet bepalen. Je moet je antwoord toelichten, wat betekent dat je je redenering duidelijk moet opschrijven.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, met name hoe je systematisch alle mogelijke uitkomsten telt zonder iets te missen of dubbel te tellen. Je moet ook het verschil begrijpen tussen een eeneiige, twee-eiige en drie-eiige drieling, vooral met betrekking tot genetische identiteit en geslacht.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een complex telprobleem op te splitsen in kleinere, overzichtelijke delen. Je moet logisch kunnen redeneren over de eigenschappen van eeneiige, twee-eiige en drie-eiige drielingen en deze eigenschappen vertalen naar mogelijke geslachtscombinaties. Vervolgens moet je de resultaten van de verschillende scenario's correct bij elkaar optellen en je redenering helder formuleren.

Waar op letten: Maak een duidelijk onderscheid tussen de drie typen drielingen: eeneiig, twee-eiig en drie-eiig. Elk type heeft specifieke regels voor geslacht en genetische identiteit.
Bij een eeneiige drieling zijn alle drie de kinderen genetisch identiek en dus van hetzelfde geslacht. Bedenk welke twee opties dit geeft.
Bij een twee-eiige drieling zijn twee kinderen genetisch identiek en het derde kind is genetisch verschillend. Dit betekent dat de twee identieke kinderen hetzelfde geslacht hebben, en het derde kind kan een ander geslacht hebben. Denk goed na over de combinaties (bijvoorbeeld: twee identieke jongens en een meisje, of twee identieke meisjes en een jongen).
Bij een drie-eiige drieling zijn alle drie de kinderen genetisch verschillend. Hierdoor kunnen ze elk onafhankelijk van elkaar jongen of meisje zijn. Gebruik eventueel een boomdiagram of een systematische lijst om alle 2x2x2=8 combinaties te bepalen en te groeperen naar unieke samenstellingen (bijvoorbeeld: 3J, 2J1M, 1J2M, 3M).
Tel aan het einde alle unieke samenstellingen van de drie typen drielingen bij elkaar op. Zorg ervoor dat je geen samenstellingen dubbel telt of mist.

Kernbegrippen: systematisch tellen, combinatoriek, casussen onderscheiden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten onderscheid te maken tussen genetisch identieke en genetisch verschillende kinderen bij het bepalen van de samenstellingen.
- Dubbel tellen van samenstellingen of het missen van mogelijke gevallen.
- Onvoldoende systematisch werken, waardoor het overzicht verloren gaat.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/21

## Vraag 22 – Vraag (3 punten)

Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek¹) eind jaren tachtig van de vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe.
In 1980 waren er in Nederland 180 517 geboorten, waarvan slechts 25 van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698 geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.
Bereken met hoeveel procent het percentage drie(-plus)lingen in 1991 is toegenomen ten opzichte van het percentage drie(-plus)lingen in 1980. Geef je antwoord in gehele procenten.

noot 1 Bij de IVF-techniek worden eicellen in het laboratorium bevrucht en vervolgens in de baarmoeder teruggeplaatst.

Wat kun je verwachten: Je berekent percentages en vervolgens een procentuele toename. Je moet goed de gegevens uit de tekst halen en deze op de juiste manier verwerken.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor procentuele verandering kennen: ((nieuw - oud) / oud) * 100%. Je moet ook weten hoe je een percentage berekent van een totaal.

Wat moet je kunnen: Je kunt de percentages drie(-plus)lingen voor 1980 en 1991 berekenen. Je kunt vervolgens de procentuele toename van deze percentages berekenen en je antwoord afronden op een geheel percentage.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen absolute aantallen en percentages. De vraag vraagt om de procentuele toename van het *percentage* drie(-plus)lingen, niet van het *aantal* drie(-plus)lingen.
Rond percentages en tussenresultaten niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen in je berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen. Rond pas aan het einde af op een geheel percentage.
Zorg ervoor dat je de juiste formule voor procentuele toename toepast: (nieuw - oud) / oud * 100%. De 'oud' waarde is hier het percentage van 1980.
Controleer of je antwoord logisch is. Een grote toename in absolute aantallen kan leiden tot een grote procentuele toename, maar het is belangrijk om de percentages zelf te vergelijken.

Kernbegrippen: Procentuele verandering, Rekenen met percentages

Veelgemaakte fouten:
- De absolute toename van de percentages berekenen (0,063...% - 0,013...%) in plaats van de relatieve toename.
- Tussenantwoorden te vroeg afronden, wat kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.
- De groeifactor verwarren met de procentuele toename (bijvoorbeeld een factor 4,55 interpreteren als een toename van 455% in plaats van 355%).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/22

## Vraag 23 – Vraag (3 punten)

3p 23 Bereken hoeveel meer. Zoals eerder vermeld waren er in het jaar 1991 van de 196 698 geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten. Neem aan dat de drie(-plus)lingen in 1991 hooguit uit vijf kinderen bestonden. Het percentage drie(-plus)linggeboorten ten opzichte van het totale aantal geboorten was in dat jaar vele malen groter dan volgens de wet van Hellin, waarbij we uitgaan van 196 698 natuurlijke zwangerschappen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je informatie uit de tekst en de bijlage moet combineren om twee verschillende aantallen tweelinggeboorten te berekenen: het werkelijke aantal natuurlijke tweelinggeboorten en het aantal dat de wet van Hellin voorspelt. Vervolgens bereken je het verschil tussen deze twee aantallen.

Wat moet je kennen: Je moet de wet van Hellin kennen, zoals die in de bijlage is beschreven. Ook moet je weten hoe je percentages omzet naar decimale getallen en hoe je daarmee rekent.

Wat moet je kunnen: Je moet percentages kunnen toepassen op een totaal aantal om een deel te berekenen. Je moet ook een model (de wet van Hellin) kunnen toepassen op een gegeven situatie en de resultaten van verschillende berekeningen met elkaar kunnen vergelijken. Daarnaast moet je zorgvuldig de juiste getallen uit de tekst en bijlage kunnen selecteren.

Waar op letten: Let goed op de jaartallen. De vraag verwijst naar 1991, maar de benodigde data voor de berekening van 'hoeveel meer' komen uit 2002, zoals vermeld in de bijlage. De vraagtekst is een algemene inleiding en de berekening zelf gaat over 2002.
Zorg ervoor dat je het juiste percentage gebruikt voor natuurlijke tweelinggeboorten. Er staat dat 22% van de tweelingen door IVF was verwekt; dit betekent dat 100% - 22% = 78% natuurlijk was.
De wet van Hellin geldt voor 'natuurlijke zwangerschappen'. Trek daarom eerst het aantal IVF-geboorten af van het totale aantal geboorten voordat je de wet van Hellin toepast.
Rond pas aan het einde van je berekening af, of rond tussentijds voldoende nauwkeurig af om afrondingsfouten te voorkomen. Het gaat om aantallen mensen, dus het eindantwoord moet een geheel getal zijn.

Kernbegrippen: procenten, rekenen met modellen, interpreteren van tekstuele gegevens

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten IVF-geboorten af te trekken van totaal aantal geboorten voor het toepassen van de wet van Hellin.
- 22% gebruiken in plaats van 78% (100% - 22%) voor het berekenen van het aantal natuurlijke tweelingen.
- Afrondingsfouten of inconsistent afronden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/23

## Vraag 24 – Vraag (3 punten)

Zoals eerder vermeld waren er in het jaar 1991 van de 196 698 geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten. Neem aan dat de drie(-plus)lingen in 1991 hooguit uit vijf kinderen bestonden.
Het percentage drie(-plus)linggeboorten ten opzichte van het totale aantal geboorten was in dat jaar vele malen groter dan volgens de wet van Hellin, waarbij we uitgaan van 196 698 natuurlijke zwangerschappen.
3p 24 Bereken op basis van bovenstaande informatie hoeveel keer zo groot. Geef je antwoord als een geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een vergelijking moet maken tussen een waargenomen frequentie en een theoretische frequentie op basis van een gegeven regel (de Wet van Hellin). Je zult moeten rekenen met percentages of aantallen en deze met elkaar moeten vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet de Wet van Hellin kennen en begrijpen hoe je deze toepast om de verwachte aantallen of percentages van meerlinggeboorten te berekenen. Je moet ook weten hoe je percentages berekent en hoe je verhoudingen uitdrukt.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante gegevens uit de vraagtekst en de bijlage kunnen halen. Je moet de formules van de Wet van Hellin correct kunnen toepassen voor drielingen, vierlingen en vijflingen. Je moet percentages kunnen berekenen en deze met elkaar kunnen vergelijken door middel van een deling. Tot slot moet je je eindantwoord correct kunnen afronden tot een geheel getal.

Waar op letten: Je moet goed opletten dat 'drie(-plus)linggeboorten' betekent dat je drielingen, vierlingen én vijflingen moet meenemen in je berekening, zowel voor de werkelijke situatie als voor de Wet van Hellin.
Je moet de percentages of aantallen volgens de Wet van Hellin correct berekenen. Vergeet niet dat de Wet van Hellin de kansen geeft, die je vervolgens moet omzetten naar aantallen of percentages voor het totale aantal geboorten.
Je moet niet te vroeg afronden tijdens je berekeningen. Gebruik voldoende decimalen voor tussenstappen om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
Je moet het eindantwoord geven als een geheel getal, zoals gevraagd in de vraagstelling. Let dus goed op de afronding aan het einde van je berekening.
Je moet de verhouding correct berekenen: het werkelijke aantal gedeeld door het verwachte aantal (of percentage werkelijk gedeeld door percentage verwacht).

Kernbegrippen: procenten, verhoudingen berekenen, kansrekening, wet van Hellin

Veelgemaakte fouten:
- Niet alle 'drie-plus-lingen' meenemen (drieling, vierling, vijfling)
- Verkeerde afronding van het eindantwoord (moet geheel getal zijn)
- Te vroeg afronden van tussenantwoorden
- Teller en noemer omdraaien in de laatste deling

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2024/tijdvak-1/vraag/24

## Vragen in dit examen

### Vraag 19 – Vraag

Wat kun je verwachten: Je zult een gegeven formule moeten gebruiken om een waarde te berekenen. Daarna moet je het resultaat, dat in seconden is, omzetten naar dagen, uren en minuten. Dit vereist nauwkeurig rekenwerk en kennis van tijdseenheden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een machtsfunctie met een decimaal exponent invoert op je rekenmachine. Ook moet je de omrekenfactoren tussen seconden, minuten, uren en dagen kennen (60, 60, 24).

Wat moet je kunnen: Je moet een waarde (n=33) correct invullen in de formule T_n = 0,026 ⋅ n^(4,4) en de uitkomst in seconden berekenen. Vervolgens moet je deze seconden stap voor stap omrekenen naar hele dagen, uren en minuten, waarbij je de restwaarden correct interpreteert.

Waar op letten: Let goed op de juiste invoer van de macht (n^(4,4)) in je rekenmachine. Een kleine fout hier kan een groot verschil maken in het eindresultaat.
Zorg ervoor dat je de eenheden correct omrekent: van seconden naar minuten, dan naar uren, en tenslotte naar dagen. Vergeet niet dat er 60 seconden in een minuut zitten, 60 minuten in een uur en 24 uur in een dag.
Rond pas af aan het einde van de berekening. Te vroeg afronden, vooral bij de tussenstappen van het omrekenen, kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.
Controleer of je antwoord logisch is. Een kubus met nummer 33 zal waarschijnlijk veel langer duren dan een paar seconden.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2024
tijdvak 1
donderdag 23 mei
13.30 - 16.30 uur














wiskunde C


















































































Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.


















































































Dit examen bestaat uit 24 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.





VW-1026-a-24-1-o


### Pagina 2

Van A tot Z
Op de Oude Groenmarkt in Haarlem staat het beeld Van A tot Z van de
Nederlandse beeldhouwer en landschapskunstenaar Marinus Boezem, uit
2007. Het is een monument voor de Haarlemse tekstdichter Lemmaart
Nijgh (1945–2002). Het kunstwerk bestaat uit twee massief marmeren
letters A en Z. Zie de foto.
foto
[FIGUUR: Twee grote marmeren letters, A en Z, staan in de buitenlucht
voor een gebouw.]
De marmeren letters A en Z symboliseren volgens Boezem de letters die
schrijvers en dichters gebruiken om hun creaties te maken. In de A was
oorspronkelijk een klein fonteintje aangebracht en de liggende Z dient als
zitbank. Hiermee krijgt het werk behalve een esthetisch karakter ook een
praktisch nut.
VW-1026-a-24-1-o
2/13
lees verder ►►►

### Pagina 3

In de figuur staat een bovenaanzicht van de letter Z met daarin ook
enkele afmetingen (in cm). De zithoogte is 40 cm.
figuur
40
50
100
40
50
142
4p 1 Bereken hoeveel dm³ marmer er is gebruikt voor de letter Z.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een zijaanzicht van het
kunstwerk, gezien vanaf links. De letter Z is al in het zijaanzicht op de
uitwerkbijlage getekend. De letters A en Z zijn even dik en ze staan
loodrecht ten opzichte van elkaar (zie de foto).
De letter A is 120 cm hoog en de afstand tussen de A en de Z is 140 cm.
Tekenen in het zijaanzicht op de uitwerkbijlage de letter A erbij.
3p 2
De foto staat ook op de uitwerkbijlage.
Zoals eerder vermeld is de zithoogte van de letter Z 40 cm.
Bereken op welke hoogte deze foto genomen is. Geef je antwoord in
gehele centimeters.
4p 3
VW-1026-a-24-1-0
3/13
lees verder ►►►

### Pagina 4

Veldleeuweriken
De laatste tientallen jaren is het in Nederland voor veel weidevogels
lastiger geworden om geschikte broedplaatsen te vinden. Dit komt doordat
landbouwgrond steeds intensiever en gevarieerder wordt gebruikt, en
                     doordat steden voortdurend verder uitbreiden.

 Grasland is het voornaamste broedgebied voor weidevogels. Uit een
onderzoek van Sovon Vogelonderzoek Nederland blijkt dat in de jaren
vanaf 1990 tot en met 2014 ruim 150 000 hectare grasland verloren is
gegaan. Dat is een daling van 14 procent.
2p 4
Bereken hoeveel hectare grasland er nog was in Nederland in 2014. Geef
je antwoord in duizenden hectares.

Een van de weidevogelsoorten die het meest in aantal is afgenomen, is
de veldleeuwerik. In de jaren vanaf 1990 tot en met 2000 bleef de
 procentuele afname per jaar ten opzichte van het jaar ervoor nagenoeg
gelijk. Dit gold ook voor de jaren vanaf 2001 tot en met 2005. In figuur 1
zijn deze jaarlijkse procentuele afnames voor deze twee periodes
weergegeven voor drie verschillende soorten gebieden: duingebieden,
heidegebieden en agrarische gebieden.
figuur 1 - jaarlijkse afname aantal veldleeuweriken in %
        -15       -10        -5         0
                                                                                 duingebieden
                                                                                 heidegebieden
                                                                                 agrarische gebieden
[FIGUUR: Een staafdiagram met drie groepen van twee staven. Elke groep representeert een type gebied (duingebieden, heidegebieden, agrarische gebieden). Binnen elke groep zijn twee staven zichtbaar: een donkergrijze staaf die de periode 2001-2005 weergeeft en een lichtgrijze staaf die de periode 1990-2000 weergeeft. De x-as is een getallenlijn van -15 tot 0 met streepjes voor de eenheden. De legenda toont dat donkergrijs staat voor 2001-2005 en lichtgrijs voor 1990-2000.]

Legenda:
2001-2005
1990-2000

4p 5
In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat in de jaren vanaf 2001 tot en met
2005 het aantal veldleeuweriken in duingebieden jaarlijks met 7,8% afnam.
Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent minder veldleeuweriken
er in duingebieden waren in 2005 ten opzichte van het aantal in 1989.
Geef je antwoord in gehele procenten.
vw-1026-a-24-1-o
4 / 13
lees verder

### Pagina 5

In figuur 2 zie je voor heel Nederland hoe het percentage veldleeuweriken zich in de jaren vanaf 1990 tot en met 2014 ontwikkelde ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in 1990.

figuur 2
[FIGUUR: Een lijngrafiek die het percentage veldleeuweriken ten opzichte van 1990 weergeeft van 1990 tot en met 2014. De y-as loopt van 0 tot 120 en is gelabeld met 'percentage ten opzichte van 1990'. De x-as loopt van 1990 tot en met 2014 en is gelabeld met de jaren. De lijn begint rond de 100% en daalt geleidelijk tot ongeveer 70% in 2014.]

We voeren de variabelen $P$ en $t$ in. Hierin is $P$ het percentage veldleeuweriken ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in 1990 in Nederland en is $t$ de tijd in jaren met $t=0$ in het jaar 1990.
Ondanks de schommelingen kan het verband tussen $P$ en $t$ in de jaren vanaf 1990 tot en met 2005 goed benaderd worden met een rij die hoort bij een exponentieel verband.

Uit figuur 2 valt af te lezen dat het totale aantal veldleeuweriken in Nederland in 2005 nog maar 40% was van het totale aantal veldleeuweriken in 1990.

4p 6
Stel met behulp van dit gegeven een recursieve formule op voor de rij.
Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.

### Pagina 6

Sovon deed niet alleen onderzoek naar het aantal veldleeuweriken in
Nederland, maar ving ook regelmatig jonge veldleeuweriken om ze te
meten en te wegen. In figuur 3 is van 265 gevangen jonge
veldleeuweriken het gewicht uitgezet tegen de zogeheten tarsuslengte¹),
dat is de lengte van het onderbeen.
figuur 3
35
gewicht
(in gram)
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
→ tarsuslengte (in mm)
In figuur 3 is ook een kromme weergegeven die het verband tussen het
gewicht en de tarsuslengte benadert. Deze kromme kan worden
beschreven met de formule:
$G = \frac{22}{1+1420\cdot2^{-0.307\cdot T}} + 9$
Hierin is G het gewicht in grammen en T de tarsuslengte in millimeters.
4p
7
Het gewicht van een jonge veldleeuwerik heeft een grens waarde.
Beredenear aan de hand van de formule voor G, dus zonder gebruik te
maken van getallenvoorbeelden, hoe groot deze grenswaarde is.
Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller
toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze
toenamesnelheid maximaal.
4p
8
Op de uitwerkbijlage is de grafiek van G uit figuur 3 vergroot
weergegeven.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de maximale
toenamesnelheid van het gewicht. Licht je antwoord toe en geef je
antwoord in gehele grammen per mm.
noot 1 Men meet de tarsuslengte als een maat voor de leeftijd van de jonge veldleeuwerik
omdat de leeftijd zelf moeilijk te bepalen valt.
VW-1026-a-24-1-0
6 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 7

Rechtspraak
We kijken naar de volgende redenering:
–
–
–
Rechters zijn eerlijk.
Maarten is rechter.
Dus Maarten is eerlijk.
Om na te gaan of deze redenering correct is,
kan een venndiagram zoals in de figuur
gebruikt worden.
Nu bekijken we de volgende redenering:
– Rechters zijn eerlijk.
– Docenten zijn eerlijk.
– Dus alle docenten zijn rechter.
figuur
eerlijke mensen
Maarten
rechters
3p 9 Leg uit met behulp van een venndiagram of deze redenering correct is.
We voeren de volgende logische symbolen in:
R: je bent rechter
E: je bent eerlijk
Nu bekijken we de volgende uitspraak: ‘Als je rechter bent, dan ben je
eerlijk.'
We kunnen deze uitspraak met behulp van logische symbolen als volgt
weergeven: R ⇒ E
Volgens de logica kan hieruit nu de volgende uitspraak volgen:
‘Als je niet eerlijk bent, dan ...'
2p 10 Maak de zin hierboven volgens de logica af en schrijf de uitspraak in
logische symbolen.
Gegeven zijn de volgende twee beweringen:
I
E ⇒ R
II
E ⇒ R
2p 11 Beschrijf deze beide beweringen in gewoon Nederlands en geef bij elke
bewering aan of deze volgt uit de bewering R ⇒ E.
In een rechtszaak zijn drie zussen de verdachten: Alicia, Bahija en Cecile.
Uit DNA-onderzoek is gebleken dat slechts een van de drie zussen op de
plaats van de misdaad is geweest. Het enige wat ze zeggen is het
volgende:
– Alicia: Ik was daar niet aanwezig.
– Bahija: Ik was daar niet aanwezig.
– Cecile: Slechts een van ons drieën spreekt de waarheid.
Hieruit is te concluderen wie op de plaats van de misdaad is geweest.
4p 12 Leg uit wie er op de plaats van de misdaad is geweest.
VW-1026-a-24-1-o
7/13
lees verder

### Pagina 8

Vetpercentage
Om te bepalen of je een gezond gewicht hebt, kun je je vetpercentage
berekenen. Het vetpercentage is de hoeveelheid lichaamsvet als
percentage van het lichaamsgewicht.
De hoeveelheid lichaamsvet kan gemeten worden met speciale
apparatuur. Deze kostbare apparatuur is echter niet altijd voorhanden. De
onderzoekster Dympna Gallagher stelde daarom een formule op om de
vetvrije massa te benaderen. De vetvrije massa (VVM) is het
lichaamsgewicht zonder het lichaamsvet.
Voor mannen wordt de formule van Gallagher gegeven door:
VVM = 0,446·G - 0,00087·j·G + 9,438·L²
(formule 1)
Hierbij is G het lichaamsgewicht in kg, j de leeftijd in jaren en L de lengte
in meters.
Volgens Gallagher neemt bij gelijkblijvend gewicht en gelijkblijvende
lengte het vetpercentage van een man toe naarmate hij ouder wordt.
3p
13
Berëdeneer dit, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, met
behulp van bovenstaande gegevens.
Voor het vetpercentage V geldt:
V = G-VVM . 100
G
(formule 2)
Met behulp van formule 2 en formule 1 kan voor 33-jarige mannen een
formule worden opgesteld waarin het vetpercentage V wordt uitgedrukt in
de lengte L in meters en het lichaamsgewicht G in kg:
V = 58,271 - 943,8 · L²
G
(formule 3)
3p
14
Toon dit aan.
VW-1026-a-24-1-o
8/13
lees verder

### Pagina 9

Cristiano Ronaldo wordt gezien als een van de meest fitte voetballers ter
wereld ooit. Op 33-jarige leeftijd had de voetballer een gemeten
vetpercentage van 7 met een hoeveelheid lichaamsvet van 5,88 kg bij een
lengte van 1,87 m.
De formule van Gallagher, en dus ook formule 3, geeft voor topsporters
een veel hoger berekend vetpercentage dan de werkelijke gemeten
waarde.
3p 15 Bereken met behulp van formule 3 het verschil tussen beide
vetpercentages voor Ronaldo. Geef je antwoord als een geheel getal.
Zowel een te hoog als een te laag vetpercentage is niet gezond. Voor
gezonde 33-jarige mannen geldt dat zij een vetpercentage hebben tussen
de 8 en de 20. Het gezonde lichaamsgewicht bij een bepaalde lengte
heeft dus een boven- en een ondergrens.
Voor de bovengrens en ondergrens van het gezonde lichaamsgewicht van
mannen kunnen formules worden opgesteld waarbij het lichaamsgewicht
$G$ in kg uitgedrukt wordt in de lengte $L$ in meters.
Op de uitwerkbijlage staat een assenstelsel met daarin op de horizontale
as de lengte (in meters) van 33-jarige mannen en verticaal hun
lichaamsgewicht (in kg). Hierin is met behulp van formule 3 de grafiek van
de bovengrens van het gezonde lichaamsgewicht al getekend. Deze
grafiek is geen rechte lijn.
4p 16 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van de ondergrens van
het gezonde lichaamsgewicht en arceer vervolgens het gebied van de
gezonde lichaamsgewichten.
VW-1026-a-24-1-o
9 / 13
lees verder

### Pagina 10

Rubiks kubussen

Rubiks kubussen zijn er in verschillende maten. De bekendste is de kubus
waar negen vierkantjes zichtbaar zijn op elk zijvlak (de middelste kubus in
foto 1). Dit is de klassieke Rubiks kubus, die in de jaren zeventig van de
vorige eeuw door de Hongaar Ernő Rubik is ontwikkeld.

foto 1
[FIGUUR: Foto van drie Rubiks kubussen op een rij. De linker is een 2x2x2, de middelste een 3x3x3 en de rechter een 4x4x4.]

n=2
n=3
n=4

In deze opgave wordt het getal n gebruikt voor het kubusnummer. Bij

kubusnummer n bestaat een zijvlak van de Rubiks kubus uit n bij n

vierkantjes, dus n² in totaal.

foto 2
[FIGUUR: Foto van een 2x2x2 Rubiks kubus.]

Het oplossen van de Rubiks kubus is het terugbrengen van een door
elkaar gedraaide kubus (zie foto 2) naar de opgeloste toestand. In de
opgeloste toestand hebben alle vierkantjes op een zijvlak dezelfde kleur.
In totaal heeft de Rubiks kubus zes verschillende kleuren.

VW-1026-a-24-1-0
10/13
lees verder ►►►


### Pagina 11

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "vaknaam indien zichtbaar",
    "year": "examenjaar indien zichtbaar",
    "tijdvak": "1 of 2 indien zichtbaar"
  },
  "figures": [],
  "keywords": "Rubiks kubussen, wereldrecords, tijd, formule, berekenen, kubusnummer, lineair, exponentieel, factor"
}
```

### Pagina 12

Meerlingen
Een vrouw bevalt na een zwangerschap meestal van één kind. Een
meerling, dat zijn twee of meer kinderen die uit één zwangerschap
geboren worden, komt van nature weinig voor.
Een drieling is een meerling van drie kinderen. Een drieling kan op drie
manieren ontstaan:
- uit één eitje: in dat geval zijn de drie kinderen van een eeneiige
genetisch identiek en dus van hetzelfde geslacht. We spreken dan van
een eeneiige drieling.
- uit twee eitjes: in dat geval zijn twee kinderen genetisch identiek en
dus van hetzelfde geslacht, maar het derde kind is genetisch
verschillend (en kan van hetzelfde of verschillend geslacht zijn). We
spreken dan van een twee-eiige drieling.
- uit drie eitjes: in dat geval zijn alle drie de kinderen onderling
genetisch verschillend. We spreken dan van een drie-eiige drieling.
We gaan er in deze opgave verder van uit dat een kind bij de geboorte
altijd een jongen of een meisje is.
4p 21 Onderzoek hoeveel verschillende samenstellingen er voor een drieling
bestaan als je let op geslacht en op de drie manieren waarop een drieling
kan ontstaan. Licht je antwoord toe.
Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek 1) eind jaren tachtig van de
vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om
de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het
aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe.
In 1980 waren er in Nederland 180 517 geboorten, waarvan slechts 25
van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698
3p 22
geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.
Bereken met hoeveel procent het percentage drie(-plus)lingen in 1991 is
toegenomen ten opzichte van het percentage drie(-plus)lingen in 1980.
Geef je antwoord in gehele procenten.
noot 1 Bij de IVF-techniek worden eicellen in het laboratorium bevrucht en vervolgens in de
baarmoeder teruggeplaatst.
VW-1026-a-24-1-o
12/13
lees verder ▶▶▶

### Pagina 13

De Duitse onderzoeker Hellin voorspelde al in 1895 het volgende voor
meerlingen bij natuurlijke zwangerschappen:
– gemiddeld 1 op de 89 geboorten is de geboorte van een tweeling;
– gemiddeld 1 op de 8° geboorten is de geboorte van een drieling;
– gemiddeld 1 op de 89 geboorten is de geboorte van een vierling;
– gemiddeld 1 op de 89 geboorten is de geboorte van een vijflling.
Dit werd later door andere wetenschappers de wet van Hellin genoemd.
In 2002 waren in Nederland 199 205 geboorten, waarvan 3707
tweelinggeboorten. Dat waren de meeste tweelinggeboorten ooit in
Nederland in een jaar. Van deze tweelingen was (afgerond) 22 procent
door middel van IVF (of een verwante techniek) verwekt. In 2002 waren er
in totaal 3270 geboorten na IVF (of een verwante techniek). Uit deze
gegevens volgt dat er in 2002 in Nederland meer tweelingen na een
natuurlijke zwangerschap zijn geboren dan de wet van Hellin voorspelt.
3p 23 Bereken hoeveel meer.
Zoals eerder vermeld waren er in het jaar 1991 van de 196 698 geboorten
124 drie(-plus)linggeboorten. Neem aan dat de drie(-plus)lingen in 1991
hooguit uit vijf kinderen bestonden.
Het percentage drie(-plus)linggeboorten ten opzichte van het totale aantal
geboorten was in dat jaar vele malen groter dan volgens de wet van
Hellin, waarbij we uitgaan van 196 698 natuurlijke zwangerschappen.
3p 24 Bereken op basis van bovenstaande informatie hoeveel keer zo groot.
Geef je antwoord als een geheel getal.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1026-a-24-1-o
13/13
einde