# Eindexamen Wiskunde C VWO 2023 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

3p 1 Bereken de inhoud van de showroom. Geef je antwoord in een geheel aantal m\(^3\). Een opvallend aspect in het ontwerp van de showroom is dat de opstaande ribben van het piramidevormige dak tot op de grond verlengd zijn. Dat betekent dat de vier ijzeren balken van de top tot aan de grond doorlopen. Links voor op de foto is van een van deze ijzeren balken het deel dat buiten de showroom zit goed te zien. Op de uitwerkbijlage is de grond aangegeven waarop de showroom is gebouwd.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van de inhoud van een samengesteld figuur. Je zult de showroom moeten opdelen in herkenbare geometrische vormen, zoals een balk en een piramide, en voor elk deel de inhoud moeten berekenen. Daarna tel je deze inhouden bij elkaar op.

Wat moet je kennen: Je moet de formules voor de inhoud van een balk (lengte × breedte × hoogte) en een piramide (1/3 × oppervlakte grondvlak × hoogte) kennen. Ook moet je weten hoe je afmetingen uit een tekening of beschrijving haalt.

Wat moet je kunnen: Je moet de inhoud van een balk kunnen berekenen en de inhoud van een piramide kunnen berekenen. Je moet ook in staat zijn om de totale inhoud van een samengesteld figuur te bepalen door de inhouden van de afzonderlijke delen op te tellen. Tot slot moet je correct kunnen afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Je moet de juiste formules voor de inhoud van een balk en een piramide gebruiken. Let op de factor 1/3 bij de piramide.
Je moet de afmetingen correct aflezen uit de bijlage en deze consistent toepassen in de formules.
Je moet de inhouden van de balk en de piramide bij elkaar optellen om de totale inhoud van de showroom te krijgen.
Je moet je antwoord afronden op een geheel aantal m^3, zoals gevraagd in de vraagtekst.
Let op de eenheden; alle afmetingen zijn in meters, dus de inhoud is in m^3.

Kernbegrippen: inhoud balk, inhoud piramide, samengesteld figuur, ruimtemeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde formule voor inhoud piramide (factor 1/3 vergeten)
- Reken- of afrondingsfouten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (3 punten)

Een opvallend aspect in het ontwerp van de showroom is dat de opstaande ribben van het piramidevormige dak tot op de grond verlengd zijn. Dat betekent dat de vier ijzeren balken van de top tot aan de grond doorlopen. Links voor op de foto is van een van deze ijzeren balken het deel dat buiten de showroom zit goed te zien.
Op de uitwerkbijlage is de grond aangegeven waarop de showroom is gebouwd.
3p 2 Teken op de uitwerkbijlage op schaal 1 : 200 het vooraanzicht van de showroom inclusief de ijzeren balken. Laat daarbij ramen, deuren en dergelijke buiten beschouwing.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een ruimtelijk figuur (een showroom) moet visualiseren en vervolgens een specifiek aanzicht (vooraanzicht) op schaal moet tekenen. Je zult de gegeven afmetingen moeten omrekenen naar de juiste schaal en deze nauwkeurig moeten overbrengen op de uitwerkbijlage.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een vooraanzicht is en hoe je dit correct tekent. Je moet ook het concept van schaalrekenen beheersen, inclusief het omrekenen van werkelijke afmetingen naar afmetingen op schaal en vice versa. Daarnaast moet je de basisvormen (rechthoek, driehoek) herkennen en kunnen construeren.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de vraagtekst en eventuele bijlagen kunnen halen. Je moet de werkelijke afmetingen kunnen omrekenen naar de schaal 1:200. Je moet een rechthoek en een gelijkbenige driehoek kunnen tekenen met de juiste afmetingen. Tot slot moet je de schuine zijden van de driehoek kunnen verlengen tot op de grond, zoals de vraag beschrijft.

Waar op letten: Let goed op de schaal 1:200. Dit betekent dat 1 cm op je tekening overeenkomt met 200 cm (of 2 meter) in werkelijkheid. Je moet alle afmetingen correct omrekenen.
Vergeet niet de ijzeren balken door te trekken tot op de grond, zoals beschreven in de vraagtekst. Dit is een cruciaal detail voor een complete tekening.
Zorg ervoor dat je de juiste afmetingen gebruikt voor de breedte van de showroom en de hoogtes van zowel de rechthoekige onderbouw als het piramidevormige dak. Lees de tekst en eventuele bijlagen nauwkeurig.
Controleer of je tekening een vooraanzicht is, en dus de breedte en hoogte correct weergeeft, zonder diepte-elementen die niet zichtbaar zijn vanaf de voorkant.
Rond niet te vroeg af tijdens het omrekenen van de maten. Werk nauwkeurig om een correcte tekening te krijgen.

Kernbegrippen: schaalrekenen, ruimtemeetkunde, vooraanzicht, tekenen op schaal

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de schaal.
- Verkeerd omrekenen van meters naar centimeters.
- Vergeten de ijzeren balken door te trekken tot de grond.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (6 punten)

Op de uitwerkbijlage is het onderste balkvormige deel van de showroom in perspectief getekend. De horizon is ook getekend.

6p 3 Teken in deze tekening de drie ijzeren balken die zichtbaar zijn. Geef hierbij door middel van punten duidelijk de eindpunten aan van de ijzeren balken op de grond.

Wat kun je verwachten: Je zult een constructie moeten uitvoeren op een gegeven perspectieftekening. Je moet de principes van perspectieftekenen toepassen om objecten correct in 3D-ruimte weer te geven op een 2D-vlak.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van perspectieftekenen kennen, inclusief het gebruik van verdwijnpunten en de horizon. Je moet ook weten hoe je hoogtes en dieptes correct afzet in perspectief.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om lijnen te verlengen, diagonalen te tekenen en snijpunten te bepalen. Je moet nauwkeurig kunnen tekenen en de eindpunten van de balken duidelijk kunnen markeren.

Waar op letten: Let goed op de hoogte van de piramide. Deze is twee keer de hoogte van het balkvormige deel. Je moet deze hoogte correct in perspectief afzetten.
Zorg ervoor dat je de verdwijnpunten correct gebruikt voor alle lijnen die de diepte in gaan. Parallelle lijnen in werkelijkheid komen samen in één verdwijnpunt op de horizon.
De eindpunten van de ijzeren balken op de grond moeten nauwkeurig worden geconstrueerd door de lijnen vanuit de top van de piramide door de hoekpunten van de balk te verlengen tot ze de verlengde diagonalen van het grondvlak snijden.
Vergeet niet om de eindpunten van de ijzeren balken op de grond expliciet aan te geven met duidelijke punten, zoals gevraagd in de opgave.
Werk nauwkeurig met je potlood en liniaal. Kleine afwijkingen kunnen leiden tot een incorrecte constructie.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, horizon, constructie, centrale projectie

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect bepalen van de hoogte van de piramide in perspectief
- Verdwijnpunten niet correct gebruiken
- Eindpunten van de balken op de grond niet correct construeren door lijnen te verlengen
- Vergeten de eindpunten expliciet aan te geven met punten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (3 punten)

3p 4 Bereken het minimale aantal onderling volledig verbonden apparaten waarbij er meer dan honderd verbindingen nodig zijn. Elk apparaat dat met het internet verbonden is, heeft zijn eigen, unieke IP-adres nodig. IP-adressen kunnen worden geschreven als acht groepen van vier zogeheten hexadecimale cijfers, gescheiden door dubbele punten. Hiervoor worden de gewone cijfers 0 tot en met 9 uitgebreid met de cijfers A (=10) tot en met F (=15). Dus A tot en met F zijn in deze toepassing ook cijfers en géén letters. voorbeeld van een geldig IP-adres: 2001:0DB8:85A3:0000:1319:8A2E:0370:7344

Wat kun je verwachten: Je zult een situatie tegenkomen waarin je het aantal mogelijke verbindingen tussen een groep objecten moet berekenen. Je moet een manier vinden om dit aantal te bepalen en vervolgens uitzoeken bij welk aantal objecten een bepaalde drempelwaarde wordt overschreden.

Wat moet je kennen: Je moet het principe van combinatoriek kennen, specifiek hoe je het aantal verbindingen tussen 'n' objecten berekent als elk object met elk ander object is verbonden. Je moet ook weten hoe je een ongelijkheid oplost of systematisch waarden kunt testen om tot het juiste antwoord te komen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule voor het aantal verbindingen tussen 'n' onderling volledig verbonden apparaten opstellen of afleiden. Je kunt deze formule gebruiken om het aantal verbindingen te berekenen voor verschillende aantallen apparaten. Je kunt ook een vergelijking of ongelijkheid opstellen en oplossen om het minimale aantal apparaten te vinden dat aan de gestelde voorwaarde voldoet. Tot slot kun je je antwoord controleren om er zeker van te zijn dat het voldoet aan de eis 'meer dan honderd'.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen wat 'onderling volledig verbonden' betekent. Dit houdt in dat elk apparaat met elk ander apparaat verbonden is, en elke verbinding telt maar één keer.
Je moet de juiste formule of methode gebruiken om het aantal verbindingen te bepalen. Denk na over hoe je dubbeltellingen voorkomt.
Je moet de vraag 'meer dan honderd verbindingen' correct interpreteren. Dit betekent dat het aantal verbindingen strikt groter moet zijn dan 100.
Je moet een geheel aantal apparaten als antwoord geven, aangezien je geen halve apparaten kunt hebben.
Je moet systematisch te werk gaan, bijvoorbeeld door waarden te proberen of een vergelijking op te lossen, en controleren of je antwoord voldoet aan de voorwaarde 'meer dan honderd'.

Kernbegrippen: combinatoriek, systematisch tellen, formule voor aantal verbindingen, ongelijkheid oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten te delen door 2 (dubbeltellingen)
- Verkeerde interpretatie van 'meer dan honderd'
- Stoppen met proberen na het vinden van een waarde dichtbij 100

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (3 punten)

Elk apparaat dat met het internet verbonden is, heeft zijn eigen, unieke IP-adres nodig. IP-adressen kunnen worden geschreven als acht groepen van vier zogeheten hexadecimale cijfers, gescheiden door dubbele punten. Hiervoor worden de gewone cijfers 0 tot en met 9 uitgebreid met de cijfers A (=10) tot en met F (=15). Dus A tot en met F zijn in deze toepassing ook cijfers en géén letters.
voorbeeld van een geldig IP-adres:
2001:0DB8:85A3:0000:1319:8A2E:0370:7344
Bereken hoeveel IP-adressen er theoretisch mogelijk zijn. Geef je antwoord in de vorm a ⋅ 10ᵇ met a in één decimaal en b als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie waarin je het aantal mogelijke combinaties moet berekenen. Dit soort vragen test je vermogen om informatie uit de tekst te halen en dit te vertalen naar een telprobleem.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat hexadecimale cijfers zijn en hoe je het aantal mogelijkheden berekent als er meerdere onafhankelijke keuzes zijn (vermenigvuldigingsregel). Ook moet je weten hoe je een getal in wetenschappelijke notatie schrijft (a ⋅ 10ᵇ).

Wat moet je kunnen: Je kunt het aantal hexadecimale cijfers correct bepalen. Je kunt het totale aantal posities in een IP-adres berekenen. Je kunt de vermenigvuldigingsregel toepassen om het totale aantal mogelijkheden te vinden. Je kunt je antwoord correct omzetten naar de gevraagde wetenschappelijke notatie en afronden.

Waar op letten: Tel het aantal hexadecimale cijfers heel precies: 0 t/m 9 zijn 10 cijfers, A t/m F zijn 6 'cijfers'. Hoeveel zijn dat er in totaal?
Een IP-adres bestaat uit acht groepen van vier cijfers. Hoeveel individuele cijferposities zijn er dan in totaal?
Denk aan de vermenigvuldigingsregel: als je voor elke positie een aantal keuzes hebt, hoe combineer je die dan om het totale aantal mogelijkheden te vinden?
Let goed op de gevraagde notatie: a ⋅ 10ᵇ met 'a' in één decimaal en 'b' als geheel getal. Rond pas op het allerlaatste moment af.

Kernbegrippen: combinatoriek, machtsverheffen, vermenigvuldigingsregel, wetenschappelijke notatie

Veelgemaakte fouten:
- Aantal hexadecimale cijfers verkeerd tellen (bijv. 15 i.p.v. 16)
- Aantal posities in het IP-adres verkeerd berekenen (bijv. 8 i.p.v. 32)
- Fout bij het omzetten naar wetenschappelijke notatie
- Afrondingsfout

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (2 punten)

Het totaal aantal apparaten ('dingen') die via internetverbindingen met andere apparaten of systemen in contact staan en daarmee gegevens uitwisselen, wordt het internet der dingen genoemd. Het internet der dingen wordt afgekort tot IoT (naar het Engels: Internet of Things).
In figuur 2, uit een internet-artikel uit november 2013, gaat men uit van 31% jaarlijkse groei van het IoT.

De grafiek in figuur 2 uit het internet-artikel en de aanname van 31% jaarlijkse groei uit datzelfde artikel spreken elkaar tegen.
Leg uit waar dit uit blijkt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een bewering uit een tekst moet vergelijken met de informatie in een grafiek. Je moet een tegenstrijdigheid aantonen door de eigenschappen van lineaire en exponentiële groei te herkennen en toe te passen.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil tussen lineaire en exponentiële verbanden kennen. Je moet weten dat een vast groeipercentage hoort bij exponentiële groei en dat een rechte lijn in een grafiek hoort bij lineaire groei. Je moet ook weten hoe je een groeifactor berekent uit een groeipercentage.

Wat moet je kunnen: Je moet een grafiek kunnen interpreteren en aflezen. Je moet een groeifactor kunnen toepassen om een toekomstige waarde te berekenen. Je moet logisch kunnen redeneren om een tegenstrijdigheid tussen twee gegeven stukken informatie aan te tonen.

Waar op letten: Je moet goed het verschil begrijpen tussen lineaire groei (vaste absolute toename) en exponentiële groei (vaste procentuele toename).
Je moet nauwkeurig de grafiek kunnen aflezen, vooral de beginwaarde in 2012 en de waarde in 2013.
Je moet de procentuele groei correct omzetten naar een groeifactor (bijvoorbeeld 31% groei is een factor van 1,31).
Je moet de conclusie helder formuleren: ofwel de vorm van de grafiek klopt niet met de procentuele groei, ofwel de berekende waarde klopt niet met de grafiekwaarde.

Kernbegrippen: lineaire groei, exponentiële groei, grafiek interpreteren, procentuele groei

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van lineaire en exponentiële groei.
- Niet herkennen dat een vast groeipercentage leidt tot een kromme (exponentiële) grafiek.
- Onnauwkeurig aflezen van waarden uit de grafiek voor de rekenkundige aanpak.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (4 punten)

4p 7 Bereken na hoeveel hele weken het IoT verdubbeld is bij 31% jaarlijkse groei.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële vergelijking moeten opstellen en oplossen. Je moet ook tijdseenheden omrekenen en correct afronden.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van exponentiële groei en de bijbehorende groeifactor kennen. Je moet ook weten hoe je een verdubbelingstijd berekent en hoe je tijdseenheden (jaren naar weken) omrekent.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen op basis van een gegeven groeipercentage en een verdubbelingsvraag. Je moet deze vergelijking kunnen oplossen met behulp van logaritmen of de grafische rekenmachine. Tot slot moet je het resultaat correct kunnen omrekenen en afronden naar het gevraagde aantal hele weken.

Waar op letten: Je moet de jaarlijkse groei van 31% correct omzetten naar een groeifactor. Denk eraan dat 31% groei betekent dat je 100% + 31% = 131% overhoudt, wat overeenkomt met een factor van 1,31.
Je lost een exponentiële vergelijking op om de tijd in jaren te vinden. Let goed op de notatie van de vergelijking: groeifactor^tijd = verdubbelingsfactor.
Nadat je de tijd in jaren hebt gevonden, moet je deze omrekenen naar weken. Vergeet niet dat er 52 weken in een jaar zitten.
De vraag vraagt om 'hele weken'. Dit betekent dat je naar boven moet afronden als de verdubbelingstijd niet precies een heel aantal weken is, omdat de verdubbeling pas ná dat aantal hele weken volledig is bereikt.
Voorkom te vroeg afronden van tussenresultaten, vooral bij de groeifactor per week of de tijd in jaren, om afrondingsfouten in het eindantwoord te minimaliseren.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, verdubbelingstijd, omrekenen tijdseenheden

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd afronden (bijvoorbeeld naar 133 weken in plaats van 134)
- Vergeten de tijdseenheid om te rekenen van jaren naar weken
- Reken- of intoetsfouten bij het oplossen van de exponentiële vergelijking

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (3 punten)

De 31% jaarlijkse groei uit het eerder genoemde internet-artikel is inmiddels naar beneden bijgesteld. In figuur 3 zie je hoe het IoT zich volgens een ander onderzoek sinds het jaar 2015 ontwikkelt. Hierin zijn de gegevens voor de jaren na 2018 voorspelde gegevens. De trendlijn is gestippeld weergegeven.

In december 2015 was de omvang van het IoT 15,41 miljard apparaten.
In december 2025 is dit (volgens de voorspelling) 75,44 miljard.
Ook volgens de gegevens in figuur 3 groeit het IoT bij benadering met een vast percentage per jaar.

8 Bereken dit percentage met behulp van de gegevens van de jaren 2015 en 2025. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult een groeifactor moeten berekenen over een periode van meerdere jaren en deze vervolgens omrekenen naar een jaarlijkse groeifactor en een jaarlijks groeipercentage. Dit is een standaardvraag bij exponentiële groei.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van exponentiële groei kennen, inclusief de relatie tussen beginwaarde, eindwaarde, groeifactor en het aantal perioden. Je moet ook weten hoe je een groeifactor omzet naar een percentage en vice versa.

Wat moet je kunnen: Je moet de totale groeifactor over de gegeven periode kunnen berekenen. Je moet vervolgens de n-de machtswortel kunnen trekken om de groeifactor per jaar te vinden. Tot slot moet je deze jaarlijkse groeifactor kunnen omrekenen naar een percentage en correct afronden.

Waar op letten: Je moet goed opletten dat je de juiste begin- en eindwaarden gebruikt, namelijk 15,41 miljard in 2015 en 75,44 miljard in 2025.
Je moet het juiste aantal jaren bepalen. Van december 2015 tot december 2025 zijn er precies 10 jaar verstreken.
Je moet de groeifactor per jaar berekenen door de 10e-machtswortel te trekken, niet door te delen. Dit is essentieel voor exponentiële groei.
Je moet de berekende jaarlijkse groeifactor correct omzetten naar een groeipercentage. Denk eraan dat een groeifactor van bijvoorbeeld 1,1721 overeenkomt met een groei van 17,21%.
Je moet je eindantwoord afronden op één decimaal, zoals gevraagd. Reken tussentijds door met onafgeronde getallen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per periode, groeipercentage

Veelgemaakte fouten:
- Lineair rekenen in plaats van exponentieel (bijvoorbeeld de totale procentuele groei delen door 10).
- Vergeten de berekende jaarlijkse groeifactor om te rekenen naar een percentage (stap: (groeifactor - 1) * 100).
- Afrondingsfouten door tussentijds afronden in plaats van doorrekenen met het onafgeronde getal.
- Verkeerd aantal jaren gebruiken (het is 10 jaar, van eind 2015 tot eind 2025).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 1 (4 punten)

De trendlijn in figuur 3 kan benaderd worden met de volgende formule:
I = 14,7 ⋅ 1,17^t
Hierin is I de omvang van het IoT in miljarden en t de tijd in jaren met t = 0 in december 2015. Veronderstel dat de formule voor I ook na 2025 geldt.
Bereken met behulp van de formule voor I in welk jaar het IoT voor het eerst meer dan drie keer zo veel apparaten zal bevatten als eind 2025.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële formule gebruiken om een toekomstige waarde te berekenen en vervolgens een exponentiële vergelijking oplossen om een tijdstip te vinden waarop een bepaalde drempel wordt overschreden.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in een exponentiële formule kennen (beginwaarde, groeifactor, tijd) en weten hoe je deze formule gebruikt om waarden te berekenen voor specifieke tijdstippen. Ook moet je weten hoe je een exponentiële vergelijking oplost, bijvoorbeeld met logaritmen of met de grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet de waarde van 't' voor een specifiek jaartal kunnen bepalen. Je moet de formule kunnen invullen om de omvang van het IoT in 2025 te berekenen. Vervolgens moet je deze waarde kunnen verdrievoudigen en de resulterende exponentiële vergelijking kunnen oplossen voor 't'. Tot slot moet je de berekende 't' kunnen omzetten naar het juiste jaartal.

Waar op letten: Je moet goed opletten welke waarde je precies moet verdrievoudigen. Het gaat om de omvang van het IoT 'eind 2025', niet de beginwaarde in 2015.
De variabele 't' staat voor het aantal jaren na december 2015. Je moet dus eerst de juiste 't' voor 2025 bepalen en vervolgens de berekende 't' correct omzetten naar een jaartal.
Rond niet te vroeg af. Gebruik de volledige, onafgeronde waarden in je berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen, vooral bij exponentiële functies.
De vraag vraagt 'in welk jaar het IoT voor het eerst meer dan drie keer zo veel apparaten zal bevatten'. Als je een decimaal getal voor 't' vindt, bijvoorbeeld 16,9 jaar na 2015, betekent dit dat de grens in de loop van het 17e jaar wordt overschreden. Je moet dan het jaartal correct bepalen (2015 + 17 = 2032).

Kernbegrippen: exponentieel model, groeifactor, oplossen van exponentiële vergelijking

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde waarde verdrievoudigen (bijv. de beginwaarde I(0) in plaats van de waarde in 2025, I(10)).
- De berekende waarde voor t (aantal jaren na 2015) niet correct omzetten naar een jaartal.
- Foutief afronden: t=16,9... betekent dat de grens in de loop van het 17e jaar na 2015 wordt overschreden, dus in het jaar 2015 + 17 = 2032.
- Bij de alternatieve methode (1,17^t = 3) vergeten dat de gevonden t (6,9...) het aantal jaren *na 2025* is en deze nog opgeteld moet worden bij de 10 jaar van 2015 tot 2025.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 1 (2 punten)

Bereken hoeveel keer zo groot de oppervlakte van het grootste vierkant is als de oppervlakte van het op één na grootste vierkant. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de verhouding van oppervlaktes van vierkanten die onderdeel zijn van een groter geheel, zoals een Fibonacci-klok. Je moet de relevante afmetingen uit een figuur halen en daarmee rekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de oppervlakte van een vierkant berekent. Je moet ook begrijpen wat 'hoeveel keer zo groot' betekent in termen van een verhouding of deling. Daarnaast moet je de instructie voor afronden opvolgen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de zijden van de grootste en op één na grootste vierkanten correct aflezen uit de figuur. Je kunt de oppervlaktes van deze vierkanten berekenen. Je kunt de verhouding van deze oppervlaktes bepalen door een deling uit te voeren en het resultaat correct afronden op één decimaal.

Waar op letten: Lees de vraag goed: het gaat om de 'oppervlakte' en niet om de 'zijde'. Een veelvoorkomende fout is om de verhouding van de zijden te geven in plaats van de verhouding van de oppervlaktes.
Zorg ervoor dat je de juiste vierkanten selecteert: het 'grootste' en het 'op één na grootste'.
Rond pas af aan het einde van je berekening. Gebruik de onafgeronde waarde voor de deling en rond daarna pas af op één decimaal, zoals gevraagd.
Controleer je afronding: 2,77... wordt afgerond 2,8. Weet je nog hoe afronden werkt?

Kernbegrippen: oppervlakte, verhoudingen, kwadrateren, Fibonacci-rij

Veelgemaakte fouten:
- Verhouding van de zijden (5/3) gebruiken in plaats van de verhouding van de oppervlaktes ((5/3)²).
- Verkeerd afronden op één decimaal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 1 (4 punten)

Achter elk van de vierkanten zitten drie lampjes verborgen: een rood, een groen en een blauw. Van deze lampjes brandt er steeds hooguit één. Hierdoor zijn er voor elk vierkant 4 mogelijkheden: het vlak staat 'uit', óf het vlak heeft een kleur: rood, groen of blauw. Met behulp van deze kleuren kun je de tijd aflezen.
De klok werkt volgens de 12-uurs-notatie. Daarbij wordt 12.00 weergegeven als 0.00.
Elke 5 minuten verspringt de klok. Als de werkelijke tijd bijvoorbeeld 14.50 of 14.53 is, geeft de klok op beide tijdstippen 2.50 weer.
De klok heeft veel meer standen dan dat er tijden zijn die de klok kan weergeven.
Bereken hoeveel keer zo veel. Geef je antwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je zult een vraag tegenkomen die je uitdaagt om goed te lezen en de informatie over de klok en de tijdweergave correct te interpreteren. Je moet combinatorische principes toepassen om het totale aantal standen te bepalen en logisch redeneren om het aantal unieke tijden te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, met name hoe je het aantal mogelijkheden berekent wanneer er meerdere onafhankelijke keuzes zijn. Je moet ook weten hoe je een verhouding berekent en deze correct afrondt naar een geheel getal, zoals gevraagd in de vraag.

Wat moet je kunnen: Je moet de tekst zorgvuldig kunnen lezen en de relevante informatie eruit filteren. Je moet het aantal mogelijkheden per vierkant correct kunnen identificeren (uit, rood, groen, blauw). Je moet het aantal mogelijke uren (12-uurs notatie, 12.00 als 0.00) en het aantal mogelijke minuten (elke 5 minuten verspringt de klok) correct kunnen bepalen. Tot slot moet je de berekende waarden kunnen delen en het resultaat correct afronden.

Waar op letten: Let goed op het aantal mogelijkheden per vierkant: 'uit' is ook een mogelijkheid, dus dat zijn er 4, niet 3.
Denk goed na over de 12-uurs notatie en hoe 12.00 als 0.00 wordt weergegeven. Dit beïnvloedt het aantal unieke uren.
De klok verspringt elke 5 minuten. Dit betekent dat je niet met 60 minuten moet rekenen, maar met het aantal stappen van 5 minuten binnen een uur.
Rond pas aan het einde af naar een geheel getal, zoals gevraagd in de vraag. Voorkom te vroeg afronden van tussenresultaten.

Kernbegrippen: combinatoriek, machtsverheffen, productregel, afronden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat 'uit' ook een mogelijkheid is, en daardoor rekenen met 3^5 in plaats van 4^5 standen.
- Foutief berekenen van het aantal mogelijke tijden, bijvoorbeeld door 60 minuten te gebruiken in plaats van 12 (omdat de tijd in stappen van 5 minuten gaat).
- Incorrect afronden van het eindantwoord. De vraag 'hoeveel keer zo veel' impliceert een geheel aantal, dus 7,1... wordt 7.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (3 punten)

Je kunt de tijd op de klok als volgt aflezen:
– Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de rood gekleurde vierkanten bij elkaar op. Dat zijn de uren.
– Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de groen gekleurde vierkanten bij elkaar op en vermenigvuldig de uitkomst met 5. Dat zijn de minuten.
De blauw gekleurde vierkanten tellen dus bij zowel de uren als de minuten mee.
In tabel 1 zie je een manier om met alleen maar rood en groen gekleurde vierkanten de tijd 7.25 weer te geven.
tabel 1
vierkant | 1 | 1 | 2 | 3 | 5
---|---|---|---|---|---
kleur | rood | rood | rood | rood | groen
Op een bepaald moment branden de lampjes op de klok zoals in tabel 2 is weergegeven.
tabel 2
vierkant | 1 | 1 | 2 | 3 | 5
---|---|---|---|---|---
kleur | blauw | – (uit) | groen | rood | rood
3p 12 Bereken welke tijd de klok volgens tabel 2 weergeeft.

Wat kun je verwachten: Je zult de instructies voor het aflezen van de klok moeten toepassen op de specifieke situatie in tabel 2. Je berekent eerst de uren en daarna de minuten, en combineert deze tot de uiteindelijke tijd.

Wat moet je kennen: Je moet de basisrekenvaardigheden zoals optellen en vermenigvuldigen beheersen. Ook moet je weten hoe je informatie uit een tabel en een tekst correct interpreteert.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven regels stap voor stap kunnen volgen. Je moet de juiste getallen uit tabel 2 kunnen selecteren op basis van hun kleur en de instructies, en vervolgens de berekeningen correct uitvoeren om de tijd te bepalen.

Waar op letten: Lees de regels voor het berekenen van de uren en minuten heel precies. Elk detail telt.
Let goed op welke kleuren bij de uren horen en welke bij de minuten. De blauwe vierkanten tellen voor beide mee.
Vergeet niet de som van de minutenwaarden met 5 te vermenigvuldigen, zoals de instructie aangeeft.
Controleer of je alle relevante vierkanten uit tabel 2 hebt meegenomen voor zowel de uren als de minuten.

Kernbegrippen: interpreteren van regels, rekenen met gegevens uit een tabel, systeemdenken

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat blauw bij zowel uren als minuten meetelt.
- Verkeerd optellen van de getallen.
- Vergeten de minuten met 5 te vermenigvuldigen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (4 punten)

4p 13 Geef nog twee andere manieren om de tijd 7.25 weer te geven. Iemand wil een vergelijkbare Fibonacci-klok met groene, rode en blauwe lampjes maken, die de werkelijke tijden op de minuut nauwkeurig kan weergeven in de 24-uurs notatie (dus van 0.00 tot en met 23.59). Die klok moet dan aan twee eisen voldoen: 1 Het grootst mogelijke getal moet een optelling zijn met als uitkomst (minstens) 59. 2 Alle getallen van 0 t/m 59 moeten kunnen worden gevormd. Om zo'n klok te maken, moeten er aan de klok uit de figuur vierkanten worden toegevoegd die Fibonacci-getallen voorstellen.

Wat kun je verwachten: Je zult verschillende combinaties van kleuren voor de vierkanten moeten bedenken die leiden tot de tijd 7.25. Je moet hierbij systematisch te werk gaan en controleren of je combinaties voldoen aan de regels voor het aflezen van de tijd en of ze verschillen van de gegeven voorbeelden.

Wat moet je kennen: Je moet de Fibonacci-getallen kennen die bij de vierkanten horen (1, 1, 2, 3, 5). Je moet ook de regels voor het aflezen van de uren en minuten uit de bijlage 'Je kunt de tijd op de klok als volgt aflezen:' uit je hoofd kennen of bij de hand hebben.

Wat moet je kunnen: Je moet systematisch alle mogelijke combinaties van kleuren (rood, groen, blauw, uit) voor de vijf vierkanten kunnen bedenken. Je moet voor elke combinatie de uren en minuten correct kunnen berekenen volgens de gegeven regels. Je moet ook kunnen controleren of een gevonden combinatie al in tabel 3 staat, zodat je geen dubbele antwoorden geeft.

Waar op letten: Let goed op de rol van de blauw gekleurde vierkanten: deze tellen zowel mee voor de uren als voor de minuten. Dit is een veelvoorkomende valkuil.
De uren worden berekend door de som van de waarden in de rode en blauwe vierkanten. Deze som moet 7 zijn.
De minuten worden berekend door de som van de waarden in de groene en blauwe vierkanten, vermenigvuldigd met 5. Deze uitkomst moet 25 zijn, wat betekent dat de som van de waarden in de groene en blauwe vierkanten 5 moet zijn (25 / 5 = 5).
Zorg ervoor dat de twee manieren die je geeft, verschillen van de twee voorbeelden die al in tabel 3 staan. Je moet dus nieuwe, unieke combinaties vinden.
Werk systematisch. Begin bijvoorbeeld met het bepalen welke vierkanten blauw moeten zijn om aan de minuten-eis te voldoen, en vul dan de rode en groene vierkanten aan om aan de uren-eis te voldoen.

Kernbegrippen: combinatoriek, systematisch tellen, logisch redeneren

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat blauwe vierkanten zowel voor uren als minuten meetellen.
- Een combinatie vinden die al in tabel 3 gegeven is.
- Reken- of telfouten maken bij het optellen van de waarden voor uren en minuten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (4 punten)

Iemand wil een vergelijkbare Fibonacci-klok met groene, rode en blauwe lampjes maken, die de werkelijke tijden op de minuut nauwkeurig kan weergeven in de 24-uurs notatie (dus van 0.00 tot en met 23.59). Die klok moet dan aan twee eisen voldoen:
1 Het grootst mogelijke getal moet een optelling zijn met als uitkomst (minstens) 59.
2 Alle getallen van 0 t/m 59 moeten kunnen worden gevormd.
Om zo'n klok te maken, moeten er aan de klok uit de figuur vierkanten worden toegevoegd die Fibonacci-getallen voorstellen.
Onderzoek welke opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci dan minimaal aan de klok moeten worden toegevoegd **en** licht toe dat de klok dan inderdaad aan beide eisen voldoet.

Wat kun je verwachten: Je zult een reeks Fibonacci-getallen moeten identificeren en beargumenteren waarom deze reeks voldoet aan de gestelde eisen voor de klok. Je moet laten zien dat de som van de getallen groot genoeg is en dat alle getallen van 0 t/m 59 gevormd kunnen worden.

Wat moet je kennen: Je moet de Fibonacci-rij kennen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). Je moet ook weten hoe de getallen op de klok (volgens de figuur) worden gebruikt om tijden weer te geven door ze op te tellen.

Wat moet je kunnen: Je moet de Fibonacci-rij kunnen voortzetten. Je moet logisch kunnen redeneren over getalcombinaties en kunnen uitleggen hoe je met een set getallen alle waarden binnen een bepaald bereik kunt vormen. Je moet de twee eisen van de vraag nauwkeurig kunnen controleren en toelichten.

Waar op letten: Je moet de Fibonacci-rij correct voortzetten en de getallen in de juiste volgorde toevoegen.
Je moet niet alleen controleren of de som van de getallen groot genoeg is (minstens 59), maar ook expliciet toelichten hoe je alle getallen van 0 t/m 59 kunt vormen met de gekozen Fibonacci-getallen.
Je moet de redenering stap voor stap opbouwen, beginnend met de bestaande klok en vervolgens de toegevoegde getallen.
Let op de formulering 'minimaal aan de klok moeten worden toegevoegd'. Dit impliceert dat je de kleinste set opeenvolgende Fibonacci-getallen moet vinden die voldoet.

Kernbegrippen: Fibonacci-rij, Getalrepresentatie, Combinatorisch redeneren

Veelgemaakte fouten:
- Alleen controleren of de som groter is dan 59, en niet of alle tussenliggende getallen gemaakt kunnen worden.
- Vergeten de redenering te geven waarom alle getallen van 0 t/m 59 gevormd kunnen worden.
- Onvoldoende Fibonacci-getallen toevoegen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 1 (2 punten)

2p 15 Bepaal het percentage unieke woorden in de eerste twee zinnen van deze opgave samen. Geef je antwoord als geheel getal. Van het boek *On The Origin of Species* van Charles Darwin is het verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 1. figuur 1 U
↑ 10000 1000- 100- 10 10 100 1000 10000 100 000 → T

Wat kun je verwachten: Je zult een korte tekst moeten analyseren. Je telt het totale aantal woorden en het aantal unieke woorden. Daarna bereken je een percentage en rond je dit af op een geheel getal.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage berekent: (deel / geheel) * 100%. Je moet ook weten wat 'unieke woorden' betekent in de context van een tekst.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig woorden kunnen tellen in een zin. Je moet dubbele woorden kunnen identificeren en deze correct verwerken in je telling van unieke woorden. Je moet een percentage kunnen berekenen en correct afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Lees de vraag goed: het gaat om 'de eerste twee zinnen van deze opgave samen'. Zorg dat je alleen die zinnen meeneemt in je analyse.
Tel zorgvuldig het *totale* aantal woorden (T). Elk woord telt, ook als het meerdere keren voorkomt.
Tel daarna het aantal *unieke* woorden (U). Elk woord dat minstens één keer voorkomt, telt hier één keer mee. Woorden die vaker voorkomen, tel je maar één keer voor U.
Let op de afronding: je antwoord moet een 'geheel getal' zijn. Rond dus correct af naar het dichtstbijzijnde hele getal.
Negeer leestekens zoals punten en komma's; deze tellen niet als woorden.

Kernbegrippen: percentage berekenen, tekstanalyse, tellen

Veelgemaakte fouten:
- Foutief tellen van het totaal aantal woorden (T).
- Foutief tellen van het aantal unieke woorden (U), bijvoorbeeld door dubbele woorden over het hoofd te zien.
- Incorrect afronden van het eindantwoord; de vraag vereist een geheel getal.
- Rekening houden met leestekens, terwijl de opgave expliciet aangeeft deze te negeren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 1 (5 punten)

5p 16 Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal. De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen U en T voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd. De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database – de zogeheten RCV1 – beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek. Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 2, waarin log(U) tegen log(T) is uitgezet. figuur 2 log(U) {r@{ }c@{ }l} 6
↑ 5
4
3
2
1
0 0 2 4 6 8 → log(T) De grafiek in figuur 2 geeft het werkelijke verband tussen U en T in RCV1 en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan-Heap.

Wat kun je verwachten: Je zult een aantal stappen moeten doorlopen. Eerst bereken je hoeveel woorden een kwart van het boek is. Daarna zoek je deze waarde op de horizontale as van de grafiek. Vervolgens lees je de bijbehorende waarde af op de verticale as met behulp van de gestippelde lijn. Tot slot bereken je welk percentage dit is van het totale aantal unieke woorden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met logaritmische schalen omgaat. Je moet ook kunnen werken met procenten en een deel van een geheel kunnen berekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet een deel van een totaal aantal woorden kunnen berekenen. Je moet een waarde op een logaritmische as kunnen vinden en de bijbehorende waarde op de andere as kunnen aflezen. Je moet een percentage kunnen berekenen van een gegeven totaal.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen dat beide assen een logaritmische schaal hebben. Dit betekent dat de afstanden tussen de getallen niet lineair zijn, maar dat gelijke afstanden op de as overeenkomen met vermenigvuldiging met een vaste factor (bijvoorbeeld 10).
Je moet nauwkeurig aflezen op de grafiek. Gebruik een liniaal op de uitwerkbijlage om de juiste waarde op de U-as te vinden die hoort bij de berekende T-waarde op de gestippelde lijn.
Je moet het berekende aantal unieke woorden uitdrukken als een percentage van het *totale* aantal unieke woorden in het boek, zoals vermeld in de tekst. Let op dat je het juiste totaal gebruikt.
Je moet je antwoord als een geheel getal geven. Rond dus pas aan het einde af naar het dichtstbijzijnde hele getal.

Kernbegrippen: logaritmische schaal, aflezen van een grafiek, procenten berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de logaritmische schaal (bijvoorbeeld lineair interpreteren)
- Reken- of afrondingsfouten bij het bepalen van de positie op de as of bij de eindberekening
- Vergeten het eindantwoord als percentage van het totaal aantal unieke woorden te berekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (2 punten)

Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.
Ga met behulp van figuur 2 na of deze tekst voldoet aan de wet van Herdan-Heap.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een grafiek met logaritmische schalen moet aflezen en interpreteren. Je vergelijkt een werkelijk verband met een model (de wet van Herdan-Heap) om te zien of de werkelijkheid aan het model voldoet.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een logaritmische schaal interpreteert. Je moet ook begrijpen wat het betekent als een grafiek 'voldoet aan' of 'afwijkt van' een model.

Wat moet je kunnen: Je moet de waarde van 7432 woorden (T) omzetten naar de juiste positie op de log(T)-as. Daarna moet je de twee lijnen in de grafiek op die positie vergelijken en een conclusie trekken over het voldoen aan de wet van Herdan-Heap.

Waar op letten: Let goed op de assen: de horizontale as is 'log(T)', niet 'T'. Je moet dus eerst log(7432) bepalen of een referentiepunt gebruiken.
Verwar de doorgetrokken lijn (werkelijk verband) niet met de gestippelde lijn (wet van Herdan-Heap).
De vraag is of de tekst 'voldoet' aan de wet. Dit betekent dat de lijnen (nagenoeg) moeten samenvallen. Een duidelijke afwijking betekent 'niet voldoen'.
Zorg dat je je redenering duidelijk onderbouwt met wat je afleest uit de grafiek.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, model en werkelijkheid vergelijken, logaritmische schaal

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de logaritmische as (log(T) vs T).
- Onjuiste conclusie trekken uit de visuele afwijking tussen de lijnen (bijv. denken dat 'dichtbij' goed genoeg is).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (3 punten)

3p 18 Benader met behulp van deze formule het aantal unieke woorden in de eerste 1 000 000 woorden in RCV1. Geef je antwoord in duizenden. De formule \(\log(U) = 0,49\log(T) + 1,64\) kan geschreven worden als \(U = 43,65 \cdot T^{0,49}\). Stel nu dat je RCV1 in zijn geheel gaat lezen. Als je dan drie keer zo ver bent gekomen, wil dat niet zeggen dat je ook drie keer zo veel unieke woorden bent tegengekomen. Met behulp van de formule \(U = 43,65 \cdot T^{0,49}\) kun je berekenen hoeveel procent meer unieke woorden je dan wel bent tegengekomen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met logaritmen en je moet een specifieke waarde invullen om een onbekende te berekenen. Daarna moet je het antwoord correct afronden en de juiste eenheid gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van logaritmen kennen, met name hoe je een logaritmische vergelijking oplost door de inverse bewerking (10 tot de macht) toe te passen. Je moet ook weten hoe je getallen afrondt op duizenden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven waarde van T correct invullen in de formule. Je kunt de logaritme van een getal berekenen en vervolgens de vergelijking oplossen om U te vinden. Je rondt je eindantwoord af zoals gevraagd in de opgave.

Waar op letten: Let goed op de notatie van de formule: \(\log(U)\) en \(\log(T)\). Dit betekent logaritme met grondtal 10.
Vergeet niet de inverse bewerking van de logaritme toe te passen om U te vinden. Als \(\log(U) = x\), dan is \(U = 10^x\).
Rond pas af aan het einde van de berekening. Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig antwoord.
Geef je antwoord in duizenden, zoals expliciet gevraagd in de vraag. Dit betekent dat je het berekende aantal moet delen door 1000 en dan afronden.

Kernbegrippen: logaritmen, formules toepassen, logaritmische verbanden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de inverse bewerking van de logaritme (10 tot de macht) toe te passen om U te vinden.
- Het antwoord niet correct afronden op duizenden zoals gevraagd.
- Reken- of intoetsfouten op de rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (4 punten)

De formule log(U) = 0,49log(T) + 1,64 kan geschreven worden als U = 43,65 ⋅ T^0,49.
Stel nu dat je RCV1 in zijn geheel gaat lezen. Als je dan drie keer zo ver bent gekomen, wil dat niet zeggen dat je ook drie keer zo veel unieke woorden bent tegengekomen. Met behulp van de formule U = 43,65 ⋅ T^0,49 kun je berekenen hoeveel procent meer unieke woorden je dan wel bent tegengekomen.
Bereken dit percentage. Geef je antwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je zult een formule moeten toepassen en vervolgens een procentuele toename moeten berekenen. Dit vereist inzicht in hoe je met machten werkt en hoe je een groeifactor omzet naar een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een machtsfunctie evalueert en hoe je een procentuele verandering berekent op basis van een begin- en eindwaarde. Ook is het belangrijk dat je begrijpt wat een groeifactor inhoudt.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule correct kunnen invullen met een zelfgekozen waarde voor T, en vervolgens met 3T. Daarna bereken je de bijbehorende U-waarden en gebruik je deze om de procentuele toename te bepalen. Je rondt je eindantwoord af op een geheel getal.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de groeifactor en het uiteindelijke percentage. Een groeifactor van 1,71 betekent een toename van 71%.
Voer de berekeningen met machten nauwkeurig uit op je rekenmachine. Rond pas aan het einde af.
Denk eraan dat je antwoord een geheel getal moet zijn, zoals gevraagd in de vraag.
Je mag een willekeurige waarde voor T kiezen om de berekening te starten. Het resultaat is onafhankelijk van de gekozen startwaarde.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, werken met machtsfuncties, wiskundig model toepassen

Veelgemaakte fouten:
- De groeifactor (ongeveer 1,71) verwarren met het percentage (71%).
- Reken- of intoetsfouten bij het berekenen van de macht.
- Vergeten het antwoord af te ronden op een geheel getal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (2 punten)

2p 20 De zitting van het centraal examen vwo wiskunde C duurt 180 minuten. Bereken hoeveel procent van de tijd kandidaten het examenlokaal mogen verlaten. Geef je antwoord in hele procenten. We voeren de volgende notaties in: - H: het eerste halfuur van de examenzitting is bezig; - U: het eerste uur van de examenzitting is bezig; - K: het laatste kwartier van de examenzitting is bezig. Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een Venn-diagram van een examenzitting. De rechthoek stelt de hele examenzitting voor en het gebied voor U is hierin al getekend.

Wat kun je verwachten: Je zult de totale duur van het examen moeten gebruiken en de periodes moeten identificeren waarin je het lokaal niet mag verlaten. Vervolgens bereken je het percentage van de tijd dat je wél weg mag.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een deel van een geheel als percentage uitdrukt. Je moet ook de betekenis van 'halfuur', 'uur' en 'kwartier' kennen en kunnen omzetten naar minuten.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante informatie uit de tekst filteren en de tijdsduur correct omzetten naar minuten. Je kunt de periodes waarin je het lokaal niet mag verlaten optellen en vervolgens het percentage van de resterende tijd berekenen. Je rondt je antwoord af op hele procenten.

Waar op letten: Let goed op de formulering van de regels: 'het eerste halfuur', 'het eerste uur' en 'het laatste kwartier'. Dit zijn specifieke, overlappende of opeenvolgende periodes.
Zorg ervoor dat je alle tijdsduur correct omzet naar dezelfde eenheid (minuten).
Bereken eerst de totale tijd dat je NIET weg mag, en trek dit af van de totale examentijd om de tijd te vinden dat je WEL weg mag.
Rond pas aan het einde af, en dan ook precies zoals gevraagd: in hele procenten.
Vergeet niet om je antwoord als een percentage (%) te noteren.

Kernbegrippen: procentrekenen, interpreteren van regels

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de regels
- Afrondingsfout

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (2 punten)

We voeren de volgende notaties in:
- H: het eerste halfuur van de examenzitting is bezig;
- U: het eerste uur van de examenzitting is bezig;
- K: het laatste kwartier van de examenzitting is bezig.

Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een Venn-diagram van een examenzitting. De rechthoek stelt de hele examenzitting voor en het gebied voor U is hierin al getekend.

2p 21 Vul het Venn-diagram op de uitwerkbijlage op de juiste wijze aan met de gebieden voor H en K.

Wat kun je verwachten: Je zult een Venn-diagram moeten aanvullen. Dit betekent dat je gebieden (meestal cirkels of ovalen) moet tekenen en labelen binnen een gegeven rechthoek, op basis van de beschreven relaties tussen de verzamelingen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van Venn-diagrammen kennen, inclusief hoe je deelverzamelingen (een set die volledig binnen een andere set valt) en disjuncte verzamelingen (sets die geen elementen gemeen hebben) weergeeft.

Wat moet je kunnen: Je moet de beschrijvingen van de tijdintervallen kunnen vertalen naar logische relaties tussen verzamelingen. Vervolgens moet je deze relaties correct kunnen visualiseren door gebieden te tekenen en te labelen in een Venn-diagram.

Waar op letten: Let goed op de definitie van de notaties H, U en K. 'Het eerste halfuur' is altijd onderdeel van 'het eerste uur'.
Bedenk of de verschillende tijdsperioden elkaar overlappen of juist volledig gescheiden zijn. Het 'eerste uur' en het 'laatste kwartier' van een zitting overlappen doorgaans niet.
Zorg ervoor dat alle getekende gebieden binnen de rechthoek van de 'hele examenzitting' vallen.
Vergeet niet de getekende gebieden te labelen met de juiste notatie (H en K).

Kernbegrippen: Venn-diagram, verzamelingenleer, deelverzameling, disjuncte verzamelingen

Veelgemaakte fouten:
- H en U als overlappende cirkels tekenen in plaats van H als deelverzameling van U.
- K overlappend met U tekenen.
- K buiten de rechthoek tekenen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 1 (3 punten)

Verder voeren we de volgende notaties in:
– V: de kandidaat mag de zaal verlaten;
– I: de kandidaat mag zijn/haar werk inleveren.

Johan vertaalt regel 8 met de volgende formule: U ⇒ (¬I ∨ V). Dit is echter niet de bedoeling van regel 8, want de bedoeling van regel 8 is dat de kandidaat het eerste uur van de examenzitting geen werk mag inleveren en het examenlokaal niet mag verlaten.

Als de formule van Johan juist zou zijn, kunnen er twee situaties optreden die niet de bedoeling zijn van regel 8.

Geef de vertaling van de formule van Johan en geef vervolgens de twee situaties die volgens deze formule kunnen optreden, maar niet de bedoeling zijn van regel 8.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logische formule en de betekenis van de symbolen. Je moet deze formule correct vertalen naar een begrijpelijke zin in het Nederlands. Daarna moet je situaties beschrijven die volgens de formule van Johan wel mogen, maar volgens de oorspronkelijke bedoeling van regel 8 niet mogen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de logische symbolen kennen: '⇒' (implicatie: 'als...dan'), '¬' (negatie: 'niet') en '∨' (disjunctie: 'of'). Je moet ook het verschil begrijpen tussen de inclusieve 'of' in de logica en de vaak exclusieve 'of' in de dagelijkse spreektaal.

Wat moet je kunnen: Je kunt een logische formule omzetten naar een correcte Nederlandse zin. Je kunt de waarheidswaarden van logische uitdrukkingen analyseren en situaties identificeren waarin een formule waar is, terwijl een andere, gerelateerde uitdrukking onwaar is. Je kunt specifieke scenario's beschrijven die aan deze voorwaarden voldoen.

Waar op letten: Let goed op de vertaling van de implicatie (⇒). De structuur 'als A dan B' is cruciaal.
De 'of' (∨) in de logica is een inclusieve 'of'. Dit betekent dat 'A of B' ook waar is als zowel A als B waar zijn. Dit is een veelvoorkomende valkuil.
Identificeer de twee situaties waarin de formule van Johan waar is, maar de bedoeling van regel 8 (niet inleveren EN niet verlaten) onwaar is. Dit betekent dat in deze situaties de kandidaat wel iets doet wat niet de bedoeling is.
Zorg ervoor dat je de situaties duidelijk en specifiek beschrijft, inclusief de status van 'eerste uur bezig'.

Kernbegrippen: logisch redeneren, implicatie, disjunctie, negatie, vertalen van formele logica naar natuurlijke taal

Veelgemaakte fouten:
- Het verwarren van de logische 'of' (inclusief) met de 'of' uit spreektaal (vaak exclusief). De formule ¬I ∨ V is ook waar als zowel ¬I als V waar zijn.
- Het niet correct identificeren van de situaties waarin Johans formule waar is, maar de bedoelde regel (¬I ∧ ¬V) onwaar is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/22

## Vraag 23 – Opgave 1 (3 punten)

Voor het laatste onderdeel gaan we ervan uit dat regel 8 luidt:
"Het eerste uur van de zitting mag de kandidaat geen werk inleveren én het examenlokaal niet verlaten."

Volgens regels 8 en 9 geldt voor het eerste uur en het laatste kwartier precies hetzelfde. Door middel van één logische bewering over U, K, V, en I kunnen regels 8 en 9 tegelijkertijd beschreven worden.

23 Noteer deze bewering met behulp van logische symbolen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een Nederlandse zin moet omzetten in een logische bewering met symbolen. Je moet de verschillende delen van de zin herkennen als proposities en de verbindingswoorden ('en', 'of', 'niet', 'als...dan') vertalen naar logische connectieven.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van de propositielogica kennen, inclusief de symbolen voor conjunctie (∧), disjunctie (∨), negatie (¬) en implicatie (⇒). Je moet ook weten hoe je deze symbolen correct toepast om de betekenis van een zin te behouden.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om complexe zinnen te ontleden in hun logische componenten. Je moet de notaties U, K, V en I correct gebruiken zoals gedefinieerd in de bijlagen. Je moet de 'als...dan'-structuur van de regel herkennen en deze vertalen naar een implicatie. Daarnaast moet je de negaties correct toepassen op de beweringen die een verbod inhouden.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van 'en' en 'of' in de Nederlandse zinnen en hoe je deze vertaalt naar de juiste logische symbolen (∧ voor 'en', ∨ voor 'of').
Zorg ervoor dat je de negaties (¬) correct toepast op de beweringen die 'niet' bevatten. 'Niet inleveren' wordt ¬I, en 'niet verlaten' wordt ¬V.
Identificeer de 'als...dan'-structuur van de regel. De voorwaarde(n) komen vóór de implicatie (⇒) en de consequentie(s) erna. In dit geval is 'als het eerste uur OF het laatste kwartier is' de voorwaarde, en 'dan mag je NIET inleveren EN NIET verlaten' de consequentie.
Controleer of je alle onderdelen van de zin hebt meegenomen in je logische bewering en of de haakjes correct zijn geplaatst om de volgorde van de bewerkingen duidelijk te maken, ook al worden ze hier niet afgestraft.

Kernbegrippen: Logisch redeneren, Propositielogica, Vertalen van natuurlijke taal naar logische formules, Logische connectieven (implicatie, disjunctie, conjunctie, negatie)

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen conjunctie (en, ∧) en disjunctie (of, ∨)
- Incorrecte toepassing van de implicatie (⇒)
- Foutieve negatie van een samengestelde bewering
- Vergeten van haakjes om de samengestelde proposities, hoewel dit hier niet wordt afgestraft.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-2/vraag/23

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2023
tijd vak 2
tijdsduur: 3 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
opgenomen.
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-23-2-0

### Pagina 2

Showroom
Op de foto zie je de showroom van een autobedrijf in Lochem. De pijl in
de foto geeft de voorkant van de showroom aan.
foto
[FIGUUR: Foto van de showroom, met een pijl die naar voren wijst]
De showroom heeft de vorm van een balk met afmetingen 18 bij 18 bij
2,8 meter met daarbovenop een regelmatige piramide met hetzelfde
vierkante grondvlak en hoogte 5,6 meter.
3p 1 Bereken de inhoud van de showroom. Geef je antwoord in een geheel
aantal m³.
Een opvallend aspect in het ontwerp van de showroom is dat de
opstaande ribben van het piramidevormige dak tot op de grond verlengd
zijn. Dat betekent dat de vier ijzeren balken van de top tot aan de grond
doorlopen. Links voor op de foto is van een van deze ijzeren balken het
deel dat buiten de showroom zit goed te zien.
Op de uitwerkbijlage is de grond aangegeven waarop de showroom is
gebouwd.
3p 2 Teken op de uitwerkbijlage op schaal 1 : 200 het vooraanzicht van de
showroom inclusief de ijzeren balken. Laat daarbij ramen, deuren en
dergelijke buiten beschouwing.
Op de uitwerkbijlage is het onderste balkvormige deel van de showroom
in perspectief getekend. De horizon is ook getekend.
6p 3 Teken in deze tekening de drie ijzeren balken die zichtbaar zijn. Geef
hierbij door middel van punten duidelijk de eindpunten aan van de ijzeren
balken op de grond.
VW-1026-a-23-2-o
2/12
lees verder

### Pagina 3

Het internet der dingen

Tegenwoordig zijn er steeds meer apparaten die via het internet met elkaar in verbinding kunnen staan. Denk bijvoorbeeld aan smartphones en smartwatches maar ook aan de 'slimme' deurbel en thermostaat, enzovoorts.

Als bijvoorbeeld vier apparaten A, B, C en D volledig onderling met elkaar verbonden zijn – dat wil zeggen dat ieder apparaat met ieder ander apparaat verbonden is – dan zijn daar zes verbindingen voor nodig. In figuur 1 wordt dit geïllustreerd, waarbij de lijnen de onderlinge verbindingen voorstellen.

[FIGUUR: Diagram met vier rechthoeken, "apparaat A" en "apparaat B" links, "apparaat D" en "apparaat C" rechts. Lijnen verbinden A met D en C, B met D en C. Lijnen verbinden ook A met B en D met C.]

figuur 1

3p 4 Bereken het minimale aantal onderling volledig verbonden apparaten waarbij er meer dan honderd verbindingen nodig zijn.

Elk apparaat dat met het internet verbonden is, heeft zijn eigen, unieke IP-adres nodig. IP-adressen kunnen worden geschreven als acht groepen van vier zogenaamde hexadecimale cijfers, gescheiden door dubbele punten. Hiervoor worden de gewone cijfers 0 tot en met 9 uitgebreid met de cijfers A (=10) tot en met F (=15). Dus A tot en met F zijn in deze toepassing ook cijfers en géén letters.

voorbeeld van een geldig IP-adres:
2001:0DB8:85A3:0000:1319:8A2E:0370:7344

3p 5 Bereken hoeveel IP-adressen er theoretisch mogelijk zijn. Geef je antwoord in de vorm $a \cdot 10^b$ met $a$ in één decimaal en $b$ als geheel getal.

VW-1026-a-23-2-o 3 / 12 lees verder ►►►


### Pagina 4

Het totaal aantal apparaten ('dingen') die via internetverbindingen met andere apparaten of systemen in contact staan en daarmee gegevens uitwisselen, wordt het internet der dingen genoemd. Het internet der dingen wordt afgekort tot IoT (naar het Engels: Internet of Things).

In figuur 2, uit een internet-artikel uit november 2013, gaat men uit van 31% jaarlijkse groei van het IoT.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "aantal verbonden apparaten (in miljarden)" van 0 tot 80, en op de x-as jaren van 2012 tot 2020. De grafiek toont een stijgende lijn vanaf ongeveer 5 miljard in 2012 naar 75 miljard in 2020, met de tekst "31% gemiddelde jaarlijkse groei" en een pijl die de groei aanduidt.]

2p 6 De grafiek in figuur 2 uit het internet-artikel en de aanname van 31% jaarlijkse groei uit datzelfde artikel spreken elkaar tegen. Leg uit waar dit uit blijkt.

4p 7 Bereken na hoeveel hele weken het IoT verdubbeld is bij 31% jaarlijkse groei.

VW-1026-a-23-2-o 4 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 5

De 31% jaarlijkse groei uit het eerder genoemde internet-artikel is
inmiddels naar beneden bijgesteld. In figuur 3 zie je hoe het IoT zich
volgens een ander onderzoek sinds het jaar 2015 ontwikkelt. Hierin zijn
de gegevens voor de jaren na 2018 voorspelde gegevens. De trendlijn is
gestippeld weergegeven.

figuur 3
[FIGUUR: Staafdiagram met een trendlijn die de groei van het aantal verbonden apparaten (in miljarden) van 2015 tot 2025 weergeeft.]

In december 2015 was de omvang van het IoT 15,41 miljard apparaten. In
december 2025 is dit (volgens de voorspelling) 75,44 miljard.
Ook volgens de gegevens in figuur 3 groeit het IoT bij benadering met een
vast percentage per jaar.

3p 8 Bereken dit percentage met behulp van de gegevens van de jaren 2015
en 2025. Geef je antwoord in één decimaal.

De trendlijn in figuur 3 kan benaderd worden met de volgende formule:
$$I=14,7 \cdot 1,17^t$$
Hierin is $I$ de omvang van het IoT in miljarden en $t$ de tijd in jaren met
$t=0$ in december 2015. Veronderstel dat de formule voor $I$ ook na 2025
geldt.

4p 9 Bereken met behulp van de formule voor $I$ in welk jaar het IoT voor het
eerst meer dan drie keer zo veel apparaten zal bevatten als eind 2025.

VW-1026-a-23-2-o 5 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 6

Fibonacci-klok

Op internet is een bijzondere klok te koop: foto
de Fibonacci-klok. Zie de foto.
De klok is gebaseerd op een bekende wiskundige
rij: de rij van Fibonacci. Van deze rij zijn de
eerste tien termen de getallen:
$1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55$
Op de foto zie je dat de klok uit vijf vierkanten
bestaat. Deze vierkanten stellen de getallen uit de rij van Fibonacci voor.
Dit is ook in onderstaande figuur weergegeven.

figuur
[FIGUUR: Een tekening van vijf vierkanten. Twee kleine vierkanten met de cijfers 1 en 1 naast elkaar. Een vierkant met het cijfer 2 ernaast. Een vierkant met het cijfer 3 eronder. Een groter vierkant met het cijfer 5 ernaast.]

De getallen in de figuur geven een maat voor de lengte van de zijden van
de vierkanten in de figuur aan.
2p 10 Bereken hoeveel keer zo groot de oppervlakte van het grootste vierkant
is als de oppervlakte van het op één na grootste vierkant. Geef je
antwoord in één decimaal.

Achter elk van de vierkanten zitten drie lampjes verborgen: een rood, een
groen en een blauw. Van deze lampjes brandt er steeds hooguit één.
Hierdoor zijn er voor elk vierkant 4 mogelijkheden: het vlak staat ‘uit’, óf
het vlak heeft een kleur: rood, groen of blauw. Met behulp van deze
kleuren kun je de tijd aflezen.

De klok werkt volgens de 12-uurs-notatie. Daarbij wordt 12.00
weergegeven als 0.00.
Elke 5 minuten verspringt de klok. Als de werkelijke tijd bijvoorbeeld 14.50
of 14.53 is, geeft de klok op beide tijdstippen 2.50 weer.

De klok heeft veel meer standen dan dat er tijden zijn die de klok kan
weergeven.
4p 11 Bereken hoeveel keer zo veel. Geef je antwoord als geheel getal.

VW-1026-a-23-2-o 6 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 7

Je kunt de tijd op de klok als volgt aflezen:
- Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de rood gekleurde vierkanten bij elkaar op. Dat zijn de uren.
- Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de groen gekleurde vierkanten bij elkaar op en vermenigvuldig de uitkomst met 5. Dat zijn de minuten.
De blauw gekleurde vierkanten tellen dus bij zowel de uren als de minuten mee. In tabel 1 zie je een manier om met alleen maar rood en groen gekleurde vierkanten de tijd 7.25 weer te geven.

tabel 1
| vierkant | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| kleur | rood | rood | rood | rood | groen |

Op een bepaald moment branden de lampjes op de klok zoals in tabel 2 is weergegeven.

tabel 2
| vierkant | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| kleur | blauw | - (uit) | groen | rood | rood |

3p 12
Bereken welke tijd de klok volgens tabel 2 weergeeft.

Op deze klok kunnen veel tijden op meer dan een manier worden weergegeven. In tabel 3 staan twee verschillende manieren om de tijd 7.25 weer te geven.

tabel 3
| vierkant | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| kleur | rood | rood | rood | groen |
| kleur | - (uit) | - (uit) | rood | - (uit) | blauw |

4p 13
Geef nog twee andere manieren om de tijd 7.25 weer te geven.

Iemand wil een vergelijkbare Fibonacci-klok met groene, rode en blauwe lampjes maken, die de werkelijke tijd op de minuut nauwkeurig kan weergeven in de 24-uurs notatie (dus van 0:00 tot en met 23:59). Die klok moet dan aan twee eisen voldoen:
1 Het grootst mogelijke getal moet een optelling zijn met als uitkomst (minstens) 59.
2 Alle getallen van 0 t/m 59 moeten kunnen worden gevormd.

Om zo'n klok te maken, moeten er aan de klok uit de figuur vierkanten worden toegevoegd die Fibonacci-getallen voorstellen.

4p 14
Onderzoek welke opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci dan minimaal aan de klok moeten worden toegevoegd en licht toe dat de klok dan inderdaad aan beide eisen voldoet.

VW-1026-a-23-2-o
7 / 12
lees verder

### Pagina 8

Unieke woorden
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.
In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:
$U$: het aantal unieke woorden in een stuk tekst;
$T$: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.
We bekijken de eerste twee zinnen van deze opgave:
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend.
2p 15 Bepaal het percentage unieke woorden in de eerste twee zinnen van deze opgave samen. Geef je antwoord als geheel getal.
Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het verband tussen $U$ en $T$ bepaald. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as de logaritme van U en op de x-as de logaritme van T. De schaal op de y-as gaat van 10 tot 10000, met markeringen voor 10, 100, 1000 en 10000. De schaal op de x-as gaat van 10 tot 100000, met markeringen voor 10, 100, 1000, 10000 en 100000. Er zijn 11 datapunten weergegeven als zwarte stippen. Een stippellijn is door de datapunten getrokken.]
VW-1026-a-23-2-o 8 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 9

In figuur 1 is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De
gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen $U$ en $T$.
Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen
8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds
minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt
gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden
tegengekomen.
5p 16 Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur op de
uitwerkbijlage hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je
dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal.

De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen $U$
en $T$ voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap
bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.

De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database - de
zogheten RCV1 - beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek.
Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen $U$ en $T$ bepaald.
Zie figuur 2, waarin log($U$) tegen log($T$) is uitgezet.

figuur 2

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'log(U)' van 0 tot 5 en op de x-as 'log(T)' van 0 tot 8. Een gestippelde lijn loopt van (0,0) naar ongeveer (8,4). Een doorgetrokken lijn begint rond (2,1.5) en loopt omhoog tot ongeveer (7,3.5).]

De grafiek in figuur 2 geeft het werkelijke verband tussen $U$ en $T$ in RCV1
en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan-
Heap.

VW-1026-a-23-2-o 9 / 12 lees verder

### Pagina 10

lemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.
2p 17 Ga met behulp van figuur 2 na of deze tekst voldoet aan de wet van
Her dan-Heap.
Een formule voor de gestippelde lijn in figuur 2 is
$log(U) = 0,49log(T) + 1,64$
3p 18 Benader met behulp van deze formule het aantal unieke woorden in de
eerste 1 000 000 woorden in RCV1. Geef je antwoord in duizenden.
De formule $log(U) = 0,49log(T) + 1,64$ kan geschreven worden als
$U = 43,65 \cdot T^{0,49}$
Stel nu dat je RCV1 in zijn geheel gaat lezen. Als je dan drie keer zo ver
bent gekomen, wil dat niet zeggen dat je ook drie keer zo veel unieke
woorden bent tegengekomen. Met behulp van de formule $U = 43,65 \cdot T^{0,49}$
kun je berekenen hoeveel procent meer unieke woorden je dan wel bent
4p 19 Bereken dit percentage. Geef je antwoord als geheel getal.
VW-1026-a-23-2-o 10 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Examen zitting
Om ervoor te zorgen dat tijdens een zitting van een centraal examen alles eerlijk en in heel Nederland zo gelijk mogelijk verloopt, zijn er strikte regels.
Hieronder zie je een voorbeeld van een aantal regels die in het examenreglement van een school in Nederland opgenomen zijn.

Gang van zaken tijdens zittingen van het centraal examen
1. Het bevoegd gezag draagt er zorg voor dat het nodige toezicht bij het centraal examen wordt uitgeoefend.
7. Een kandidaat die te laat komt, mag tot uiterlijk een half uur na de aanvang van de zitting worden toegelaten. (Hij/zij levert zijn werk in op het tijdstip dat voor de andere kandidaten geldt.)
8. Het eerste uur van de zitting mag de kandidaat geen werk inleveren of het examenlokaal verlaten.
9. Gedurende het laatste kwartier mag de kandidaat geen werk inleveren en het examenlokaal niet verlaten.

In deze opgave laten we het recht op tijdverlenging, dat voor een aantal kandidaten geldt, buiten beschouwing. Ook gaan we ervan uit dat alle kandidaten op tijd komen.

2p 20 De zitting van het centraal examen vwo wiskunde C duurt 180 minuten. Bereken hoeveel procent van de tijd kandidaten het examenlokaal mogen verlaten. Geef je antwoord in hele procenten.

We voeren de volgende notaties in:
- H: het eerste halfuur van de examenzitting is bezig;
- U: het eerste uur van de examenzitting is bezig;
- K: het laatste kwartier van de examenzitting is bezig.

Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een Venn-diagram van een examenzitting. De rechthoek stelt de hele examenzitting voor en het gebied voor U is hierin al getekend.
2p 21 Vul het Venn-diagram op de uitwerkbijlage op de juiste wijze aan met de gebieden voor H en K.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1026-a-23-2-o 11 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 12

Verder voeren we de volgende notaties in:
– V: de kandidaat mag de zaal verlaten;
– I: de kandidaat mag zijn/haar werk inleveren.

Johan vertaalt regel 8 met de volgende formule: $U \Rightarrow (\neg I \vee V)$. Dit is
echter niet de bedoeling van regel 8, want de bedoeling van regel 8 is dat
de kandidaat het eerste uur van de examenzitting geen werk mag
inleveren en het examenlokaal niet mag verlaten.

Als de formule van Johan juist zou zijn, kunnen er twee situaties optreden
die niet de bedoeling zijn van regel 8.

3p 22 Geef de vertaling van de formule van Johan en geef vervolgens de twee
situaties die volgens deze formule kunnen optreden, maar niet de
bedoeling zijn van regel 8.

Voor het laatste onderdeel gaan we ervan uit dat regel 8 luidt:
"Het eerste uur van de zitting mag de kandidaat geen werk inleveren én
het examenlokaal niet verlaten."

Volgens regels 8 en 9 geldt voor het eerste uur en het laatste kwartier
precies hetzelfde. Door middel van één logische bewering over U, K, V,
en I kunnen regels 8 en 9 tegelijkertijd beschreven worden.

3p 23 Noteer deze bewering met behulp van logische symbolen.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1026-a-23-2-o 12 / 12 einde