# Eindexamen Wiskunde C VWO 2023 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (2 punten)

Niemand van de 20 leerlingen uit 5 vwo hoeft op dinsdag vier toetsen te maken.
Leg uit hoe je dit in het diagram kunt zien.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een Venn-diagram met vier overlappende verzamelingen. Je moet de betekenis van de verschillende gebieden in het diagram begrijpen en de getallen die erin staan correct interpreteren om een conclusie te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe een Venn-diagram werkt, vooral met meerdere overlappende verzamelingen. Je moet begrijpen dat elk gebied een unieke combinatie van vakken representeert en dat de getallen in die gebieden het aantal leerlingen met die specifieke combinatie aangeven. Je moet ook weten dat de doorsnede van alle verzamelingen het gebied is waar alle elementen (in dit geval vakken) samenkomen.

Wat moet je kunnen: Je moet het juiste gebied in het Venn-diagram kunnen identificeren dat overeenkomt met 'alle vier de vakken'. Vervolgens moet je het getal in dat specifieke gebied kunnen aflezen en dit getal gebruiken om de bewering in de vraag te onderbouwen.

Waar op letten: Let goed op de labels van de vakken (Ec, Gs, Na, Du) en hoe deze de verschillende ellipsen in het diagram representeren.
Identificeer nauwkeurig welk gebied de doorsnede van *alle vier* de vakken voorstelt. Dit is het gebied waar alle vier de ellipsen elkaar overlappen.
Lees het getal in dit specifieke gebied zorgvuldig af. Dit getal is cruciaal voor je uitleg.
Verwar een gebied dat de doorsnede van bijvoorbeeld drie vakken is niet met het gebied van vier vakken. Elk gebied heeft een unieke betekenis.
Formuleer je antwoord duidelijk door eerst het juiste gebied te benoemen en daarna de bijbehorende waarde te vermelden als onderbouwing.

Kernbegrippen: Venn-diagram, doorsnede van verzamelingen, aflezen van diagrammen

Veelgemaakte fouten:
- Het verkeerd interpreteren van de gebieden in het Venn-diagram, bijvoorbeeld denken dat een gebied voor twee vakken ook leerlingen omvat die een derde vak hebben.
- Het niet identificeren van het juiste gebied (F) voor de doorsnede van alle vier de vakken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (2 punten)

2p 2 Onderzoek met behulp van het diagram welke toetsen tegelijkertijd ingeroosterd kunnen worden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een Venn-diagram te zien met daarin de aantallen leerlingen die verschillende combinaties van vakken volgen. Je moet op basis hiervan een logische conclusie trekken over de roosterbaarheid van toetsen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een Venn-diagram interpreteert, met name wat de overlappende gebieden betekenen. Je moet ook het concept van 'disjuncte verzamelingen' begrijpen in de context van leerlingen en vakken.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit het Venn-diagram correct kunnen aflezen en interpreteren. Je moet logisch kunnen redeneren welke vakken geen gemeenschappelijke leerlingen hebben en dus tegelijkertijd ingeroosterd kunnen worden.

Waar op letten: Let goed op de definitie van 'tegelijkertijd ingeroosterd kunnen worden': dit betekent dat er GEEN ENKELE gemeenschappelijke leerling mag zijn tussen die twee vakken.
Controleer alle mogelijke paren van vakken. Het is niet voldoende om er maar één te vinden; je moet zeker weten dat er geen andere paren zijn die aan de voorwaarde voldoen.
Vergeet niet dat een overlap tussen twee cirkels in een Venn-diagram alle gebieden omvat die binnen beide cirkels vallen, niet alleen de direct 'gedeelde' gebieden die door drie of vier cirkels worden gevormd.
Zorg ervoor dat je de aantallen in elk gebied correct optelt voor de totale overlap tussen twee vakken.

Kernbegrippen: Venn-diagram, disjuncte verzamelingen, logisch redeneren

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten alle combinaties van vakken te controleren.
- Alleen kijken naar de direct aangrenzende gebieden en niet de totale overlap van twee cirkels.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (4 punten)

We voeren voor Julia, een leerling uit deze 5 vwo-groep, de volgende notaties in:
– Ec betekent: Julia heeft economie in haar pakket;
– Na betekent: Julia heeft natuurkunde in haar pakket;
– Gs betekent: Julia heeft geschiedenis in haar pakket;
– Du betekent: Julia heeft Duits in haar pakket.

Roostermaker Hansen, die het vakkenpakket van Julia niet kent, beweert het volgende:
Du ⇒ (Na ∨ Gs)

Vertaal deze bewering in een gewone zin en licht met behulp van het diagram toe dat deze bewering juist is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logische bewering voorgelegd met symbolen voor vakken en logische operatoren. Je moet deze bewering eerst omzetten naar een begrijpelijke zin in gewone taal. Daarna moet je met behulp van een bijgevoegd Venn-diagram uitleggen waarom deze bewering wel of niet klopt.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de logische symbolen '⇒' (implicatie, 'als... dan...') en '∨' (disjunctie, 'of') kennen. Ook moet je weten hoe je een Venn-diagram leest en interpreteert, met name hoe je gebieden identificeert die aan bepaalde voorwaarden voldoen.

Wat moet je kunnen: Je moet een logische bewering correct kunnen vertalen naar een Nederlandse zin. Je moet ook in staat zijn om de gebieden in een Venn-diagram te identificeren die overeenkomen met specifieke vakken of combinaties van vakken. Tot slot moet je logisch kunnen redeneren om de juistheid van de bewering te controleren door de relevante gebieden in het diagram te analyseren.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van de logische symbolen: '⇒' betekent 'als... dan...' (implicatie) en '∨' betekent 'of' (disjunctie). Een verkeerde vertaling leidt tot een onjuiste redenering.
Bij het controleren van de bewering 'Du ⇒ (Na ∨ Gs)' in het Venn-diagram, moet je alle gebieden identificeren waar Julia Duits (Du) heeft. Vervolgens controleer je voor elk van deze gebieden of Julia ook natuurkunde (Na) of geschiedenis (Gs) heeft.
Zorg ervoor dat je de bewering eerst volledig in een gewone zin vertaalt voordat je de toelichting met het diagram geeft. Dit zijn twee aparte onderdelen van de vraag.
Controleer of je alle gebieden in het Venn-diagram die onder 'Du' vallen, hebt meegenomen in je analyse. Mis je er één, dan kan je conclusie onjuist zijn.

Kernbegrippen: logisch redeneren, implicatie, disjunctie, Venn-diagram interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- Het verkeerd vertalen van de logische symbolen ⇒ (implicatie, 'als... dan...') en ∨ (disjunctie, 'of').
- Niet alle relevante gebieden in het Venn-diagram betrekken bij de controle van de bewering.
- Vergeten de bewering eerst in een gewone zin te vertalen voordat de toelichting wordt gegeven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (4 punten)

In het diagram in de figuur zijn verschillende vakkencombinaties door middel van een bijbehorend gebied weergegeven. Er zijn echter meer combinaties mogelijk met twee of meer van de vier vakken economie, geschiedenis, natuurkunde en Duits dan in dit diagram weergegeven zijn. Een leerling met zo’n vakkencombinatie zou dus niet passen in dit diagram. (Gelukkig kwamen deze vakkencombinaties niet voor bij deze 20 leerlingen.)
4p 4 Geef alle theoretisch mogelijke combinaties van twee of meer van deze vier vakken en onderzoek voor elke combinatie of deze door middel van een bijbehorend gebied in het diagram weergegeven is.

Wat kun je verwachten: Je zult een systematische aanpak moeten gebruiken om alle combinaties te vinden. Daarna analyseer je het Venn-diagram om te bepalen welke van deze combinaties daadwerkelijk een eigen, afgebakend gebied hebben.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen om het aantal combinaties van k elementen uit een set van n elementen te bepalen (nCk). Ook moet je weten hoe je een Venn-diagram leest en interpreteert, specifiek hoe je gebieden identificeert die overeenkomen met specifieke combinaties van verzamelingen.

Wat moet je kunnen: Je kunt systematisch alle combinaties van 2, 3 en 4 vakken opsommen. Je kunt een Venn-diagram nauwkeurig analyseren om te zien welke gebieden uniek zijn voor een bepaalde combinatie van vakken. Je kunt onderscheid maken tussen een combinatie die theoretisch mogelijk is en een combinatie die daadwerkelijk een eigen gebied heeft in het diagram.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je alle combinaties van twee, drie én vier vakken systematisch opsomt. Gebruik bijvoorbeeld een methode zoals 'nCr' of schrijf ze handmatig uit om niets te missen.
Let goed op de formulering 'een bijbehorend gebied'. Dit betekent dat er een unieke regio in het diagram moet zijn die alleen die specifieke combinatie van vakken representeert, en geen andere vakken.
Verwar de getallen (aantallen leerlingen) in de gebieden niet met het bestaan van het gebied zelf. Een gebied kan bestaan, zelfs als er 0 leerlingen in zitten.
Controleer zorgvuldig of elk gebied in het diagram daadwerkelijk overeenkomt met één van de door jou opgesomde combinaties, en vice versa.

Kernbegrippen: combinatoriek, Venn-diagram, verzamelingenleer, systematisch tellen

Veelgemaakte fouten:
- Niet alle combinaties systematisch opsommen.
- Verkeerde interpretatie van 'een bijbehorend gebied'; dit betekent een regio voor uitsluitend die combinatie.
- De aantallen leerlingen (de getallen in het diagram) verwarren met het al dan niet bestaan van een gebied.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (2 punten)

2p 5 Bereken in dat geval het gemiddeld aantal bruin zandoogjes per \(100\) m\(^2\). Het aantal bruin zandoogjes is dan wel min of meer stabiel gebleven maar helaas geldt dat niet voor alle vlindersoorten. Het totaal aantal vlinders is in de periode 1992–2017 met 40% afgenomen. Hierbij vermoedt men een exponentiële trend.

Wat kun je verwachten: Je zult een gemiddelde moeten berekenen, waarbij je rekening houdt met de eenheden en de schaal waarop het gemiddelde gevraagd wordt (per 100 m²).

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een oppervlakte berekent en hoe je verhoudingen toepast om een gemiddelde per eenheid te vinden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de oppervlakte van een rechthoekige strook berekenen. Je kunt een verhouding opstellen en omrekenen naar een gevraagde eenheid (in dit geval per 100 m²).

Waar op letten: Let goed op de eenheden die gebruikt worden. De lengte van de strook kan in kilometers gegeven zijn, maar de oppervlakte moet in vierkante meters zijn om consistent te zijn met de gevraagde 'per 100 m²'. Zorg dat je alles omrekent naar meters voordat je de oppervlakte berekent.
Verwar niet het totale aantal vlinders met het aantal per 100 m². Je moet de totale oppervlakte eerst omzetten naar 'aantallen van 100 m²' voordat je deelt.
Rond niet te vroeg af. Hoewel dit een relatief eenvoudige berekening is, is het altijd een goede gewoonte om pas aan het einde af te ronden.

Kernbegrippen: oppervlakte berekenen, rekenen met eenheden, verhoudingen, dichtheid

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde eenheid voor de lengte gebruiken (1 km in plaats van 1000 m).
- Fout bij het berekenen van de verhouding per 100 m², bijvoorbeeld delen door 5000 in plaats van door 50.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (4 punten)

Het aantal bruin zandoogjes is dan wel min of meer stabiel gebleven maar helaas geldt dat niet voor alle vlindersoorten. Het totaal aantal vlinders is in de periode 1992–2017 met 40% afgenomen. Hierbij vermoedt men een exponentiële trend.

4p 6 Bereken de jaarlijkse procentuele afname in deze periode, uitgaande van de exponentiële trend. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie voorgelegd waarin iets exponentieel afneemt over een langere periode. Je moet de jaarlijkse procentuele afname berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen lineaire en exponentiële afname. Je moet weten hoe je een totale procentuele afname omzet naar een totale groeifactor. Ook moet je weten hoe je een groeifactor over een langere periode omrekent naar een groeifactor per jaar.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale afname van 40% omzetten naar een groeifactor. Je kunt het aantal jaren in de periode correct bepalen. Je kunt de jaarlijkse groeifactor berekenen met behulp van machten of wortels. Tot slot kun je de jaarlijkse groeifactor omzetten naar een jaarlijkse procentuele afname en deze correct afronden.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een lineaire en een exponentiële afname. De vraag vermeldt expliciet 'exponentiële trend', dus je mag niet zomaar delen door het aantal jaren.
Bereken eerst de totale groeifactor over de hele periode. Een afname van 40% betekent dat er nog 60% over is. Hoe vertaal je dit naar een groeifactor?
Bepaal nauwkeurig het aantal jaren in de periode 1992-2017. Dit is cruciaal voor de correcte berekening van de jaarlijkse groeifactor.
Zet de berekende jaarlijkse groeifactor om naar een procentuele afname. Denk eraan dat een groeifactor van bijvoorbeeld 0,98 een afname van 2% betekent. Je moet dus (1 - groeifactor) * 100% doen.
Rond pas aan het einde af op één decimaal, zoals gevraagd. Voorkom tussentijds afronden om nauwkeurigheid te bewaren.

Kernbegrippen: exponentiële afname, groeifactor, procentuele verandering, groeifactor per tijdseenheid

Veelgemaakte fouten:
- Lineaire afname veronderstellen in plaats van exponentiële afname (bijv. 40% / 25 jaar).
- Verkeerde periode berekenen (2017 - 1992 = 25 jaar).
- De groeifactor (0,9797...) vergeten om te zetten naar een procentuele afname ((1 - 0,9797...) * 100%).
- Afrondingsfouten door tussentijds afronden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (3 punten)

De heivlinder is een van de vlindersoorten waarvan het aantal sterk is gedaald. Zie figuur 1.

In figuur 1 is op de verticale as een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Op deze as is niet het aantal heivlinders maar de populatie-index weergegeven. Deze index geeft het percentage heivlinders aan ten opzichte van het totaal aantal heivlinders in 1992. De populatie-index van het jaar 1992 is dus 100. In 1995 is de populatie-index weer (ongeveer) 100. Met andere woorden: in 1995 waren er (ongeveer) evenveel heivlinders als in 1992.

Nadat het aantal heivlinders vanaf 2003 stabiel leek en zich in de periode 2011–2013 zelfs wat leek te herstellen, was 2017 weer een rampjaar voor de heivlinder.

Bereken met behulp van de figuur het percentage heivlinders in 2017 ten opzichte van het aantal heivlinders in 1992. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult een waarde moeten aflezen uit een grafiek waarbij de verticale as een logaritmische schaal heeft. Daarna moet je deze afgelezen waarde omzetten naar een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe een logaritmische schaal werkt en hoe je waarden correct afleest van zo'n schaal. Ook moet je begrijpen wat een populatie-index betekent, namelijk een percentage ten opzichte van een referentiejaar (hier 1992).

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen aflezen uit een grafiek met een logaritmische schaal. Je moet de afgelezen logaritmische waarde kunnen omrekenen naar de werkelijke indexwaarde met behulp van machten van 10. Tot slot moet je het resultaat in het juiste formaat (één decimaal) kunnen geven.

Waar op letten: Let goed op de logaritmische schaalverdeling op de verticale as. De afstand tussen 1 en 10 is even groot als tussen 10 en 100, maar de waarden daartussen zijn niet lineair verdeeld.
Wees nauwkeurig bij het aflezen van de waarde voor 2017. Gebruik eventueel een liniaal om de positie op de y-as te bepalen ten opzichte van de bekende logaritmische waarden.
Vergeet niet dat de afgelezen waarde op de logaritmische as de exponent is. Je moet deze exponent gebruiken om de populatie-index te berekenen (bijvoorbeeld 10^x).
Rond pas af op één decimaal aan het einde van je berekening, om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: logaritmische schaal, aflezen van grafieken, indexcijfers

Veelgemaakte fouten:
- Lineair aflezen van een logaritmische schaal.
- Onnauwkeurig meten of schatten.
- Vergeten de afgelezen logaritmische waarde terug te rekenen naar de populatie-index met een macht van 10.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (2 punten)

Als de trend zich op dezelfde manier blijft doorzetten, zal het aantal getelde heivlinders in een gegeven jaar minder dan 2% zijn van het aantal getelde heivlinders in 1992.
Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het geval zal zijn.

Wat kun je verwachten: Je zult een vergelijking moeten opstellen en oplossen. Je gebruikt de gegeven formule en de informatie over de procentuele afname om de juiste waarde voor P te vinden. Daarna los je de vergelijking op voor t.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een logaritmische vergelijking oplost en hoe je procentuele informatie vertaalt naar een concrete waarde voor P. Je moet ook de context van 'jaren na 1992' correct interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule toepassen en een vergelijking opstellen. Je kunt deze vergelijking oplossen, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine. Je kunt het gevonden resultaat voor 't' correct omzetten naar een jaartal.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van 'minder dan 2%'. Dit betekent dat de populatie-index P een bepaalde waarde moet onderschrijden. Denk na over welke waarde dat is, gegeven dat de index in 1992 de referentie is.
Vergeet niet dat 't' het aantal jaren ná 1992 is. Als je een waarde voor 't' vindt, moet je dit nog optellen bij 1992 om het uiteindelijke jaartal te bepalen.
Rond pas op het allerlaatste moment af. Een te vroege afronding van 't' kan leiden tot een verkeerd jaartal.
Denk goed na over de afronding van het jaartal. Als de grens bijvoorbeeld bij t = 57,6 wordt overschreden, in welk jaar is het dan voor het eerst 'minder dan'?

Kernbegrippen: logaritmische functies, exponentiële modellen, vergelijking oplossen, interpretatie van modelparameters

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat t het aantal jaren na 1992 is en dus 1992 bij het gevonden antwoord voor t op te tellen.
- Verkeerd interpreteren van 'minder dan 2%': dit betekent P < 2, dus de vergelijking wordt opgelost voor de grenswaarde P = 2.
- Incorrect afronden van het jaartal. t = 57,6... betekent dat de grens wordt overschreden in het 58e jaar na 1992, wat het jaar 2050 is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 1 (3 punten)

De formule log(P) = -0,026t + 1,8 kan worden herleid tot P = 63 · 0,942^t waarmee de populatie-index in een bepaald jaar in één keer kan worden berekend.
3p 9 Laat zien hoe de formule log(P) = -0,026t + 1,8 herleid kan worden tot P = 63 · 0,942^t.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logaritmische formule en je moet laten zien hoe je deze stap voor stap omzet naar een exponentiële formule. Dit vereist kennis van logaritmen en de rekenregels voor machten.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een logaritme kennen (log(x) = y is equivalent aan x = 10^y). Ook moet je de rekenregels voor machten kennen, met name a^(b+c) = a^b * a^c en (a^b)^c = a^(b*c).

Wat moet je kunnen: Je kunt een logaritmische vergelijking omzetten naar een exponentiële vorm. Je kunt vervolgens de rekenregels voor machten toepassen om de exponentiële formule te herschrijven in de vorm P = b * g^t. Je kunt de constante factoren (b en g) correct berekenen en afronden.

Waar op letten: De definitie van logaritme: log(P) = X betekent P = 10^X. Dit is de eerste en cruciale stap.
De rekenregel voor machten: 10^(A+B) is NIET 10^A + 10^B, maar 10^A * 10^B. Pas dit correct toe op de exponent -0,026t + 1,8.
De rekenregel voor machten: 10^(c*t) kan geschreven worden als (10^c)^t. Dit is nodig om de groeifactor te bepalen.
Afronding: Rond de getallen 10^1,8 en 10^-0,026 pas aan het einde af op het gevraagde aantal decimalen (of zoals in de gegeven formule, 63 en 0,942). Gebruik tijdens de berekening voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je eindresultaat overeenkomt met de gegeven formule P = 63 · 0,942^t.

Kernbegrippen: logaritmen, rekenregels voor machten, exponentiële functies, formules herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van rekenregels voor logaritmen en machten, bijvoorbeeld 10^(a+b) niet correct splitsen in 10^a * 10^b.
- Reken- of afrondingsfouten bij het berekenen van 10^1,8 en 10^-0,026.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 1 (3 punten)

3p 10 Bereken hoelang het duurt totdat nog maar de helft van de whisky over is. Geef je antwoord in jaren en gehele maanden. In werkelijkheid is bij traditioneel gebrouwen whisky het engelendeel niet ieder jaar even groot. Zeker aan het begin van de rijpingsperiode is dit deel een stuk groter, doordat de whisky nog in het hout moet trekken. Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de producent staat het volgende: Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De 8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar. Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het vullen van de flessen.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële vergelijking moeten opstellen en oplossen om de tijd te vinden waarin de hoeveelheid whisky halveert. Je moet de groeifactor bepalen en vervolgens de vergelijking oplossen met behulp van logaritmen of de grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage afname omzet naar een groeifactor. Je moet ook de definitie van halveringstijd kennen en hoe je een exponentiële vergelijking van de vorm g^t = C oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste groeifactor kunnen bepalen uit een gegeven percentage afname. Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en deze kunnen oplossen met behulp van logaritmen (bijvoorbeeld log(C) / log(g)) of door de 'intersect'-functie van je grafische rekenmachine te gebruiken. Tot slot moet je een decimaal aantal jaren kunnen omrekenen naar jaren en gehele maanden.

Waar op letten: Je moet goed opletten welke informatie relevant is voor deze specifieke vraag. De vraag vraagt naar de halveringstijd onder een *constante* afname, dus de variërende afnamepercentages in de eerste jaren en het verlies bij het vullen van de flessen zijn hier niet van toepassing.
Je moet het percentage afname correct omzetten naar een groeifactor. Een afname van 4,5% betekent dat er 100% - 4,5% = 95,5% overblijft, dus de groeifactor is 0,955.
Je moet het decimale deel van het aantal jaren correct omrekenen naar maanden. Vermenigvuldig het decimale deel met 12 om het aantal maanden te vinden en rond dit af op een geheel getal.
Je moet niet te vroeg afronden tijdens je berekeningen. Gebruik de volledige uitkomst van je rekenmachine voor de logaritme of intersectie totdat je het eindantwoord omrekent naar jaren en maanden.

Kernbegrippen: exponentiële afname, groeifactor, halveringstijd, oplossen exponentiële vergelijking

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte groeifactor gebruiken, bijvoorbeeld 1.045 of 0.045 in plaats van 1 - 0.045 = 0.955.
- Foutieve omrekening van het decimale deel van het aantal jaren naar maanden. Bijvoorbeeld 0,05 jaar interpreteren als 5 maanden in plaats van 0,05 * 12 ≈ 1 maand.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 1 (4 punten)

In werkelijkheid is bij traditioneel gebrouwen whisky het engelendeel niet ieder jaar even groot. Zeker aan het begin van de rijpingsperiode is dit deel een stuk groter, doordat de whisky nog in het hout moet trekken.
Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de producent staat het volgende:

Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De 8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar. Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het vullen van de flessen.

Pappy Van Winkle 23 wordt verkocht in flessen van 750 ml.
Bereken hoeveel van zulke flessen kunnen worden gevuld, uitgaande van 200 liter whisky.

Wat kun je verwachten: Je zult een reeks berekeningen moeten uitvoeren waarbij je start met een beginhoeveelheid en deze achtereenvolgens vermenigvuldigt met verschillende groeifactoren voor specifieke periodes. Daarna trek je een vast bedrag af en deel je het resultaat door de inhoud van één fles.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele afname omzet naar een groeifactor. Je moet ook weten hoe je samengestelde groei (of afname) berekent over meerdere periodes door te vermenigvuldigen met machten van de groeifactor. Daarnaast moet je de relatie tussen liters en milliliters kennen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de tekst nauwkeurig lezen en de verschillende stappen van het rijpingsproces en de bijbehorende verliezen identificeren. Je kunt de juiste groeifactoren bepalen en deze correct toepassen voor de juiste tijdsduur. Je kunt eenheden omrekenen en het uiteindelijke aantal flessen correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de verschillende tijdsperiodes en de bijbehorende groeifactoren. Het eerste jaar is 10% verlies, de 8 jaren erna 4% verlies per jaar, en de resterende jaren 3% verlies per jaar. Hoeveel jaren zijn dat in totaal?
Zorg ervoor dat je de procentuele verliezen correct omzet naar groeifactoren. Een verlies van 10% betekent een groeifactor van 0,90. Hoe zit dat met 4% en 3%?
Vergeet niet het vaste verlies van 6 liter aan het einde van het proces af te trekken. Dit is een lineaire afname na alle procentuele afnames.
Let op de eenheden: de beginhoeveelheid is in liters, de flessen zijn in milliliters. Je moet deze consistent maken voordat je deelt.
Bij het berekenen van het aantal flessen rond je altijd naar beneden af, omdat je geen 'deel van een fles' kunt vullen en verkopen.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, samengestelde groei

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de 6 liter verlies bij het vullen af te trekken
- Incorrecte berekening van de tijdsperiodes voor de verschillende percentages (1, 8 en 14 jaar)
- Afronden van het aantal flessen naar boven in plaats van naar beneden
- Verkeerde eenheden gebruiken (liter vs milliliter)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (2 punten)

De meeste whisky rijpt tegenwoordig niet meer in houten vaten. In plaats daarvan wordt de whisky in grote metalen ketels gedaan en worden er houtsnippers aan toegevoegd. Hierdoor wordt het engelendeel beperkt tot zo'n 3% per jaar. Voor het vervolg van de opgave gaan we ervan uit dat het engelendeel ieder jaar 3% is.
Bij de massaproductie van whisky wordt ervoor gezorgd dat de totale hoeveelheid whisky gelijk blijft door jaarlijks de ketel weer bij te vullen met nieuw geproduceerde whisky. Hierdoor ontstaat er een mengsel dat maar voor een deel uit de oorspronkelijke whisky bestaat.

Bijvoorbeeld: Een ketel bevat 500 liter whisky. Na een jaar is daarvan 3%, dus 15 liter, verloren gegaan. Er wordt aan het eind van dat jaar 15 liter nieuw geproduceerde whisky in de ketel gedaan, zodat er dan 485 liter whisky van 1 jaar oud en 15 liter whisky van 0 jaar oud in zit. Aan het eind van het tweede jaar is er weer 15 liter verloren gegaan en ook dit wordt weer aangevuld met nieuw geproduceerde whisky, enzovoorts.

In de tabel staat voor een aantal jaren de samenstelling van het mengsel aan het eind van het jaar, in procenten.

In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat aan het eind van het 4e jaar 88,53% van het mengsel bestaat uit 4 jaar oude whisky, 2,74% uit 3 jaar oude whisky, 2,82% uit 2 jaar oude whisky, 2,91% uit 1 jaar oude whisky en 3% uit nieuw geproduceerde whisky (0 jaar oude whisky).

Aan het eind van jaar n is een deel van het mengsel dus n jaar oud. De rest is een mengsel van whisky's van leeftijd 0 jaar tot en met n−1 jaar oud.
De percentages later toegevoegde whisky's in dat mengsel vormen de rij: 3; 2,91; 2,82; 2,74; ... .

12 Stel een recursieve formule op van deze rij.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over een situatie waarin een hoeveelheid jaarlijks afneemt met een vast percentage. Je moet deze situatie vertalen naar een recursieve formule. Dit betekent dat je een beginwaarde en een regel voor de overgang van de ene term naar de volgende moet opstellen.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een recursieve formule kennen. Je moet ook weten hoe je een percentage afname omzet naar een groeifactor. Een afname van 3% betekent dat er 97% overblijft, dus de groeifactor is 0,97.

Wat moet je kunnen: Je kunt de informatie uit de tekst en de tabel gebruiken om de eerste term van de rij te bepalen. Je kunt ook de jaarlijkse verandering (het 'engelendeel') omzetten naar een groeifactor die je nodig hebt voor de recursieve stap. Je stelt de formule op in de vorm W(n+1) = ... en je geeft de beginwaarde W(1) = ....

Waar op letten: Let goed op de notatie van een recursieve formule: je hebt zowel een beginwaarde (bijvoorbeeld W(1)) als een regel nodig die W(n+1) uitdrukt in W(n).
Zorg ervoor dat je de juiste groeifactor gebruikt. Een afname van 3% betekent dat je vermenigvuldigt met 0,97 (niet met 0,03 of 1,03).
Lees de vraag goed: de rij die je moet opstellen, gaat over de 'percentages later toegevoegde whisky's'. Kijk goed in de tabel welke kolom of rij hierbij hoort.
Controleer of je de beginwaarde correct afleidt uit de tekst of de tabel. Wat is het percentage van de 'nieuw geproduceerde whisky' (0 jaar oud) aan het eind van het eerste jaar?

Kernbegrippen: recursieve formule, rijen, procentuele afname, groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen directe en recursieve formule.
- Vergeten van de beginwaarde.
- Foutieve groeifactor (bijv. 1.03 of 0.03 in plaats van 0.97).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (4 punten)

4p 13 Bereken hoeveel procent van het mengsel aan het eind van het 7e jaar bestaat uit whisky van 5 jaar of ouder. Geef je antwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult moeten werken met percentages en exponentiële afname. Je berekent de percentages van whisky van verschillende leeftijden en telt deze vervolgens bij elkaar op.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een groeifactor gebruikt voor exponentiële afname. Je moet ook begrijpen hoe de percentages van de verschillende jaargangen whisky zich ontwikkelen over de jaren heen, zoals beschreven in de tekst en de tabel.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor correct toepassen om de percentages van de whisky van 5, 6 en 7 jaar oud te berekenen. Je kunt de informatie uit de tekst en de tabel interpreteren om te bepalen welke percentages je precies moet berekenen en hoe deze tot stand komen. Je kunt de berekende percentages correct optellen en afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Let goed op de groeifactor. Als er 3% verloren gaat, is de groeifactor 1 - 0,03 = 0,97. Gebruik deze groeifactor consequent.
De vraag vraagt om whisky van '5 jaar of ouder'. Dit betekent dat je de percentages voor whisky van 5 jaar, 6 jaar én 7 jaar oud moet berekenen en deze allemaal moet optellen.
De whisky die 'n jaar oud' is, is de whisky die oorspronkelijk in de ketel zat en n jaar is afgenomen. De 'nieuw geproduceerde whisky' en de 'later toegevoegde whisky' hebben een andere oorsprong en afnamegeschiedenis. Zorg dat je de juiste percentages aan de juiste oorsprong koppelt.
Rond pas aan het einde van je berekening af op twee decimalen. Tussentijds afronden kan leiden tot een incorrect eindantwoord.
Vergeet niet het procentteken (%) in je eindantwoord te vermelden, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: exponentiële afname, rijen, procenten, samengestelde groei/afname

Veelgemaakte fouten:
- Misinterpreteren van de tabel
- Vergeten om alle relevante leeftijdsgroepen (5, 6 en 7 jaar) op te tellen
- Reken- of afrondingsfouten
- Incorrecte toepassing van de groeifactor op de verschillende jaargangen whisky

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (4 punten)

4p 14 Bereken met behulp van de uitwerkbijlage de hoogte waarop de foto genomen is. Geef je antwoord in gehele cm. Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een perspectieftekening van het woord HIER. De letters hebben een vereenvoudigde vorm en het voetstuk is weggelaten. De letter H ontbreekt nog. De afstand tussen de H en de I is even groot als de afstand tussen de I en de E, en de letter H is ook even breed als deze afstand. De horizontale middenstreep van de letter E zit, net zoals de horizontale middenstreep van de letter H, precies halverwege de totale hoogte van die letter.

Wat kun je verwachten: Je zult een perspectieftekening moeten analyseren. Je gaat metingen verrichten op een uitwerkbijlage en deze metingen gebruiken om een werkelijke hoogte te berekenen. Dit vereist inzicht in hoe perspectief werkt en hoe je verhoudingen toepast.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van perspectieftekenen kennen, in het bijzonder de relatie tussen de horizon, het verdwijnpunt en de ooghoogte (of camerahhoogte). Je moet ook weten hoe je met schaal en verhoudingen werkt om van een tekening naar de werkelijkheid te rekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen meten met een liniaal op een tekening. Je moet een verdwijnpunt en de horizon kunnen identificeren of construeren. Vervolgens moet je een correcte verhouding kunnen opstellen en daarmee de gevraagde hoogte berekenen. Tot slot rond je je antwoord correct af.

Waar op letten: Je moet nauwkeurig meten op de uitwerkbijlage. Kleine afwijkingen in je metingen kunnen leiden tot een ander eindantwoord.
Je moet de horizon en het verdwijnpunt correct bepalen op de uitwerkbijlage. De horizon is cruciaal voor het bepalen van de ooghoogte.
Je moet de juiste verhouding opstellen tussen de gemeten hoogtes op de tekening en de werkelijke hoogtes. Denk goed na welke hoogtes je met elkaar vergelijkt.
Je moet je antwoord afronden op gehele centimeters, zoals gevraagd in de vraagstelling. Rond niet te vroeg af in je berekening.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, horizon, schaalrekenen, verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Meetfouten op de uitwerkbijlage
- Incorrect bepalen van de horizon
- Verkeerde verhouding opstellen
- Afrondingsfout of niet afronden op gehele centimeters

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 1 (4 punten)

Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een perspectieftekening van het woord HIER. De letters hebben een vereenvoudigde vorm en het voetstuk is weggelaten. De letter H ontbreekt nog. De afstand tussen de H en de I is even groot als de afstand tussen de I en de E, en de letter H is ook even breed als deze afstand. De horizontale middenstreep van de letter E zit, net zoals de horizontale middenstreep van de letter H, precies halverwege de totale hoogte van die letter.
4p 15 Teken de letter H op de juiste plaats in de perspectieftekening op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Je moet een letter construeren in perspectief. Dit betekent dat je de regels van perspectieftekenen toepast om de juiste positie, breedte en hoogte van de letter H te bepalen, inclusief de dwarsbalk.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van eenpunts-perspectief kennen, met name hoe je een verdwijnpunt bepaalt en hoe je gelijke afstanden in de diepte construeert met behulp van diagonalen. Ook moet je weten hoe je parallelle lijnen in perspectief tekent (naar het verdwijnpunt).

Wat moet je kunnen: Je kunt het verdwijnpunt bepalen door bestaande lijnen die de diepte ingaan te verlengen. Je kunt gelijke afstanden in perspectief construeren met behulp van diagonalen. Je kunt lijnen tekenen die naar het verdwijnpunt lopen om de diepte van de letter correct weer te geven.

Waar op letten: Let goed op de instructie dat de afstand tussen de H en de I, en tussen de I en de E, even groot is. Deze gelijke afstanden moet je perspectivisch correct construeren, niet zomaar opmeten.
Zorg ervoor dat alle lijnen die in werkelijkheid parallel zijn en de diepte in gaan (zoals de bovenkant, onderkant en de middenstreep van de letters) naar hetzelfde verdwijnpunt lopen.
De middenstreep van de H moet precies halverwege de totale hoogte van de letter zitten, net zoals bij de E. Dit betekent dat je ook de middenhoogte perspectivisch correct moet bepalen.
Gebruik hulplijnen (zoals diagonalen en lijnen naar het verdwijnpunt) en laat deze eventueel zien, want ze zijn onderdeel van de constructie en kunnen punten opleveren.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, construeren van gelijke afstanden in perspectief

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd bepalen of gebruiken van het verdwijnpunt.
- Afstanden in de diepte even groot tekenen op papier, in plaats van ze perspectivisch te construeren.
- De dwarsbalk van de letter H niet correct in perspectief tekenen (niet naar het verdwijnpunt laten lopen).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 1 (5 punten)

5p 16 Bereken in welk jaar de cementproductie in dat geval voor het eerst meer dan 5000 miljoen ton was.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een exponentieel groeimodel moet toepassen. Je moet gegevens uit een grafiek halen om de groeifactor te bepalen en vervolgens een vergelijking opstellen en oplossen om een specifiek jaartal te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een exponentiële groeifactor is en hoe je deze berekent over verschillende tijdsperioden. Je moet ook de basisvorm van een exponentiële formule kennen: N(t) = N(0) * g^t.

Wat moet je kunnen: Je moet de beginwaarde en een waarde na een bepaalde tijd uit een grafiek kunnen aflezen. Je moet de groeifactor per jaar kunnen berekenen uit twee datapunten. Vervolgens moet je een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en oplossen met je grafische rekenmachine om de tijd (t) te vinden. Tot slot moet je de berekende tijd correct kunnen omzetten naar een jaartal.

Waar op letten: Je moet de groeifactor per jaar nauwkeurig berekenen. Let op dat je niet te vroeg afrondt; gebruik zoveel mogelijk decimalen in je berekeningen.
Je moet goed begrijpen hoe je een groeifactor over een langere periode (40 jaar) omzet naar een groeifactor per jaar. Dit doe je door de 40e-machtswortel te trekken, niet door te delen.
Je moet de exponentiële vergelijking correct opstellen met de beginwaarde, de groeifactor en de onbekende tijd (t).
Je moet de uitkomst van 't' (het aantal jaren) correct interpreteren in relatie tot het startjaar (1970) en de vraag 'voor het eerst meer dan'. Als t bijvoorbeeld 45,8 is, betekent dit dat de grens in het 46e jaar na 1970 wordt overschreden.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, exponentiële vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of intoetsfout bij het bepalen van de groeifactor per jaar (bijv. delen door 40 i.p.v. machtsverheffen tot 1/40).
- Te vroeg afronden van de groeifactor, wat leidt tot een onnauwkeurig eindantwoord.
- Incorrect interpreteren van de uitkomst t = 45,8... Het gevraagde jaartal is niet 2015 (1970+45), maar 2016, omdat de grens gedurende het 46e jaar (2015) wordt overschreden en de vraag is in welk jaar de productie voor het eerst *meer* is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (4 punten)

4p 17 Neem aan dat de toename na 2017 lineair verloopt. Bereken in welk jaar de totale cementproductie in dat geval voor het eerst meer is dan 4500 miljoen ton per jaar volgens het artikel. Voor de productie van cement is veel energie nodig en bovendien komt er bij het proces behoorlijk wat \(CO_2\) vrij. Volgens het artikel van de BBC wordt 8% van de wereldwijde \(CO_2\)-uitstoot veroorzaakt door de productie van cement. In Europa gelden strenge regels voor de productie van cement. Geschat wordt dat in Europa gemiddeld per ton\(^{1)}\) geproduceerd cement 750 kg aan \(CO_2\) uitgestoten wordt. In China, veruit de grootste producent van cement ter wereld, is deze uitstoot 220 kg per ton geproduceerd cement méér dan in Europa. Het aandeel van China en dat van Europa in de cementproductie zijn in figuur 2 weergegeven. De grafiek staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Je zult een lineaire functie moeten opstellen die de cementproductie na 2017 beschrijft. Hiervoor heb je een startpunt en een richtingscoëfficiënt (de jaarlijkse toename) nodig. Vervolgens los je een vergelijking op om het jaartal te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire functie opstelt (y = ax + b) en hoe je een procentuele toename toepast. Ook moet je weten hoe je een vergelijking oplost en een tijdstip omzet naar een specifiek jaartal.

Wat moet je kunnen: Je moet de totale cementproductie in 2017 kunnen aflezen uit figuur 2. Je moet de productie in 2030 kunnen berekenen op basis van de gegeven procentuele toename. Je moet de jaarlijkse toename kunnen berekenen en daarmee een lineaire vergelijking kunnen opstellen. Tot slot moet je deze vergelijking kunnen oplossen en het resultaat correct kunnen interpreteren als een jaartal.

Waar op letten: Je moet goed de startwaarde voor de lineaire groei bepalen uit de grafiek (de totale productie in 2017).
Je moet de procentuele toename correct toepassen om de productie in 2030 te vinden. Let op: 25% toename betekent vermenigvuldigen met 1,25.
Je moet de periode voor de lineaire groei correct bepalen (van 2017 tot 2030 zijn 13 jaar).
Je moet het resultaat van je berekening (een aantal jaar na 2017) correct omzetten naar een jaartal. Als je bijvoorbeeld 2,4 jaar vindt, betekent dit dat de grens in het derde jaar na 2017 wordt overschreden.
Rond niet te vroeg af; gebruik voldoende decimalen voor de jaarlijkse toename om afrondfouten in het eindantwoord te voorkomen.

Kernbegrippen: lineair model, procentuele toename, vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of afrondfouten
- Incorrecte periode voor lineaire groei (2030-2017=13 jaar)
- Verkeerde interpretatie van het resultaat t=2,4... naar een jaartal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (4 punten)

Voor de productie van cement is veel energie nodig en bovendien komt er bij het proces behoorlijk wat CO₂ vrij. Volgens het artikel van de BBC wordt 8% van de wereldwijde CO₂-uitstoot veroorzaakt door de productie van cement.
In Europa gelden strenge regels voor de productie van cement. Geschat wordt dat in Europa gemiddeld per ton¹⁾ geproduceerd cement 750 kg aan CO₂ uitgestoten wordt. In China, veruit de grootste producent van cement ter wereld, is deze uitstoot 220 kg per ton geproduceerd cement méér dan in Europa.
Het aandeel van China en dat van Europa in de cementproductie zijn in figuur 2 weergegeven. De grafiek staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage voor het jaar 2017 hoeveel keer zo groot de CO₂-uitstoot als gevolg van cementproductie in China was ten opzichte van die in Europa. Geef je antwoord in één decimaal.

noot 1 1 ton = 1000 kg

Wat kun je verwachten: Je zult een gestapelde vlakgrafiek moeten interpreteren om specifieke waarden voor het jaar 2017 af te lezen. Daarna combineer je deze afgelezen waarden met informatie uit de tekst om de totale CO₂-uitstoot voor twee verschillende regio's te berekenen. Uiteindelijk bereken je een verhouding en rond je deze af.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gestapelde vlakgrafiek correct afleest, vooral wanneer je de individuele waarden van de gestapelde componenten moet bepalen. Je moet ook de relatie tussen ton en kilogram kennen (1 ton = 1000 kg).

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig waarden kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet de informatie uit de tekst en de grafiek kunnen combineren in een berekening. Je moet grote getallen correct kunnen vermenigvuldigen en delen, en je moet je eindantwoord op de gevraagde precisie (één decimaal) kunnen afronden.

Waar op letten: Je moet de cementproductie voor zowel Europa als China aflezen uit de gestapelde grafiek voor het jaar 2017. Let goed op dat je de juiste waarden voor elk gebied afleest.
Je moet de CO₂-uitstoot per ton cement voor China correct berekenen door de extra uitstoot bij die van Europa op te tellen. Vergeet niet de eenheden (kg en ton) goed te gebruiken.
Je moet de totale CO₂-uitstoot voor beide regio's berekenen voordat je de verhouding bepaalt. Let op het werken met grote getallen (miljoenen, miljarden) en voorkom afrondingsfouten tussendoor.
Je moet de verhouding 'China ten opzichte van Europa' berekenen, wat betekent dat je de uitstoot van China deelt door die van Europa. Let op de juiste volgorde van de deling.
Je moet je eindantwoord afronden op één decimaal, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, rekenen met grote getallen, verhoudingen berekenen, eenheden

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de waarden uit de gestapelde grafiek.
- Vergeten de waarde voor China te berekenen als het verschil tussen de totale (China+Europa) en de waarde voor Europa.
- Reken- of intoetsfouten met de grote getallen (miljoenen, miljarden).
- Vergeten de CO2-uitstoot per ton voor China te berekenen door 220 kg bij 750 kg op te tellen.
- De verhouding verkeerd om berekenen (Europa / China in plaats van China / Europa).
- Niet afronden op één decimaal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (4 punten)

Cement wordt voornamelijk gebruikt bij het maken van beton. Het overgrote deel van de CO₂-uitstoot als gevolg van het maken van beton komt voort uit de productie van cement. Vanwege de enorme CO₂-uitstoot die gepaard gaat met de productie van cement, wordt er volop gezocht naar milieuvriendelijkere alternatieven.
Een van die alternatieven is het maken van beton zonder daarbij cement te gebruiken. Het Nederlandse bedrijf Sqape ontwikkelde een technologie waarmee dat mogelijk is. Volgens de website van Sqape wordt de CO₂-uitstoot zo per ton gemaakt beton verminderd van 750 kg tot 120 kg.
Op de foto zie je een vernieuwd fietspad in Zeewolde. Het fietspad bestaat voor 70% uit beton dat met de nieuwe technologie van Sqape is gemaakt en voor 30% uit beton waarbij cement is gebruikt.
De hoeveelheid CO₂ die vrijkomt bij het maken van het beton dat voor dit fietspad gebruikt wordt, kan als volgt berekend worden: 0,7 · 120 + 0,3 · 750 = 309 kg per ton gemaakt beton.
Een van de Europese klimaatdoelstellingen is dat de uitstoot van CO₂ als gevolg van het maken van beton wordt verminderd van 750 kg tot 450 kg per ton. Dat kan bereikt worden door een deel van het beton te gaan maken met behulp van de technologie van Sqape.
19 Onderzoek met een berekening hoeveel procent van het beton ten minste met deze technologie gemaakt moet worden om aan de genoemde klimaatdoelstelling te voldoen. Geef je antwoord in gehele procenten.

Wat kun je verwachten: Je zult een lineaire vergelijking moeten opstellen om het onbekende percentage te vinden. Je zult de gegevens over de CO₂-uitstoot per ton beton voor zowel de oude als de nieuwe technologie moeten gebruiken, samen met de klimaatdoelstelling.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gewogen gemiddelde berekent en hoe je een lineaire vergelijking opstelt en oplost. Je moet ook kunnen omgaan met percentages en decimalen.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de tekst kunnen vertalen naar een wiskundige vergelijking. Je moet deze vergelijking vervolgens algebraïsch kunnen oplossen of met behulp van je grafische rekenmachine. Tot slot moet je je antwoord correct afronden en interpreteren in de context van de vraag (ten minste).

Waar op letten: Je moet goed begrijpen dat 'een deel' van het beton met de nieuwe technologie wordt gemaakt, en het 'resterende deel' met de oude technologie. Als je het aandeel van de nieuwe technologie 'p' noemt, dan is het aandeel van de oude technologie '1-p'.
Let op de eenheden: de uitstoot is in kg per ton beton. Zorg ervoor dat je consistent blijft met deze eenheden in je berekening.
De vraag vraagt om 'ten minste' hoeveel procent. Dit betekent dat als je een decimaal getal krijgt, je moet nadenken of je naar boven of naar beneden moet afronden om aan de doelstelling te voldoen. In dit geval moet de uitstoot 'verminderd' worden tot 450 kg, dus als je net iets onder de 450 kg uitkomt, is dat goed. Als je er net boven zit, is het niet goed genoeg.
Je antwoord moet in gehele procenten zijn. Rond pas aan het einde van je berekening af.

Kernbegrippen: lineaire vergelijking opstellen, gewogen gemiddelde, procenten

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de vergelijking, bijvoorbeeld door de term (1-p) voor het traditionele beton te vergeten.
- Foutief afronden: 47% is niet voldoende, omdat de uitstoot dan nog boven de 450 kg ligt. Er moet naar boven worden afgerond naar 48%.
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (3 punten)

3p 20 Bereken hoeveel er gemiddeld per maand per filiaal aan franchise fee betaald werd in 2017. Geef je antwoord in hele euro's. Een van de voordelen van het franchisemodel is dat een ondernemer zelf beslissingen mag nemen binnen bepaalde grenzen. Zo is bijvoorbeeld de menukaart niet bij alle New York Pizza-vestigingen hetzelfde. Bij een bepaalde vestiging van New York Pizza staan er 32 verschillende pizzavarianten op het menu. Denk daarbij bijvoorbeeld aan een Pizza Hawaii en een Pizza Margherita. Veel pizza's worden gemaakt op een zogeheten New York Style-bodem, die verkrijgbaar is in vier verschillende maten (20 cm, 25 cm, 30 cm en 35 cm). Ook kan er gekozen worden uit een Italiaanse, een glutenvrije of een biologische bodem, maar van elk van deze drie bodems is er maar één maat beschikbaar (30 cm). Daarnaast bestaat er de mogelijkheid om van één pizzabodem de beide helften te beleggen met twee verschillende varianten van het menu: de zogeheten **double tasty**.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je financiële gegevens uit een tekst moet halen en deze moet verwerken met procenten en gemiddelden. Je zult stappen moeten zetten om van een totale omzet naar een gemiddelde maandelijkse kostenpost per filiaal te komen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je procenten berekent van een bedrag, hoe je een gemiddelde berekent en hoe je een jaarbedrag omrekent naar een maandbedrag. Ook moet je de context van 'miljoen euro' correct kunnen interpreteren en omzetten.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de tekst kunnen filteren en de overbodige informatie kunnen negeren. Je moet een stappenplan kunnen opstellen om de gevraagde waarde te berekenen en je berekeningen nauwkeurig kunnen uitvoeren, inclusief het correct omgaan met afrondingen en eenheden.

Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen de totale omzet en de omzet waarover de franchise fee wordt berekend. Lees de tekst zorgvuldig om te bepalen welke omzet relevant is voor de fee.
Je moet de jaarlijkse franchise fee omrekenen naar een maandelijkse fee. Vergeet niet te delen door 12.
Je moet het antwoord afronden op hele euro's, zoals gevraagd. Rond pas aan het einde af om afrondingsfouten te voorkomen.
Je moet opletten dat je de juiste eenheden gebruikt (miljoen euro vs. euro) en deze correct omzet tijdens je berekeningen.
Je moet de franchise fee als percentage (6,5%) correct omzetten naar een decimaal getal (0,065) voor je berekening.

Kernbegrippen: procenten, gemiddelde berekenen, financiële wiskunde, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Niet aftrekken van groothandelomzet van de totale omzet.
- Vergeten te delen door het aantal filialen om het gemiddelde te krijgen.
- Vergeten de jaarlijkse fee om te rekenen naar een maandelijkse fee.
- Fouten maken met de eenheid 'miljoen' bij het omrekenen naar euro's.
- Tussentijds afronden, wat kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (3 punten)

Een van de voordelen van het franchisemodel is dat een ondernemer zelf beslissingen mag nemen binnen bepaalde grenzen. Zo is bijvoorbeeld de menukaart niet bij alle New York Pizza-vestigingen hetzelfde.
Bij een bepaalde vestiging van New York Pizza staan er 32 verschillende pizzavarianten op het menu. Denk daarbij bijvoorbeeld aan een Pizza Hawaii en een Pizza Margherita.
Veel pizza's worden gemaakt op een zogeheten New York Style-bodem, die verkrijgbaar is in vier verschillende maten (20 cm, 25 cm, 30 cm en 35 cm). Ook kan er gekozen worden uit een Italiaanse, een glutenvrije of een biologische bodem, maar van elk van deze drie bodems is er maar één maat beschikbaar (30 cm).
Daarnaast bestaat er de mogelijkheid om van één pizzabodem de beide helften te beleggen met twee verschillende varianten van het menu: de zogeheten **double tasty**.

Bereken hoeveel verschillende pizza's er bij dit filiaal samengesteld kunnen worden.

Wat kun je verwachten: Je zult een vraag tegenkomen waarbij je verschillende mogelijkheden moet tellen. Dit omvat het combineren van keuzes voor bodems en toppings, en het correct toepassen van telprincipes voor verschillende scenario's, zoals de 'double tasty' pizza.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van telproblemen kennen, zoals de vermenigvuldigingsregel en het verschil tussen combinaties en permutaties. Je moet ook weten hoe je het aantal combinaties (nCr) berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de tekst kunnen structureren om de verschillende keuzemogelijkheden te identificeren. Je moet het aantal bodems correct kunnen optellen en het aantal topping-combinaties kunnen berekenen, zowel voor enkele toppings als voor de 'double tasty'. Tot slot moet je deze aantallen correct kunnen combineren om het totale aantal unieke pizza's te vinden.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen het aantal bodems dat je kunt kiezen. Sommige bodems hebben meerdere maten, andere maar één. Tel deze correct bij elkaar op.
Denk goed na over de 'double tasty' optie: maakt de volgorde van de twee gekozen pizzavarianten uit? Dit bepaalt of je combinaties of permutaties moet gebruiken.
Vergeet niet dat er ook 'gewone' pizza's zijn met slechts één variant. Deze moeten ook meegeteld worden naast de 'double tasty' opties.
Zorg ervoor dat je alle onderdelen (aantal bodems, aantal enkele toppings, aantal double tasty toppings) correct combineert met de juiste telprincipes (optellen of vermenigvuldigen).

Kernbegrippen: combinaties, vermenigvuldigingsregel

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de 'gewone' pizza's (met één topping) mee te tellen
- Aantal bodems verkeerd berekenen (vermenigvuldigen i.p.v. optellen)
- Permutaties gebruiken in plaats van combinaties voor de 'double tasty'
- Vergeten het aantal topping-combinaties te vermenigvuldigen met het aantal bodems

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 1 (5 punten)

In 2018 was een van de meest verkochte bodems de 25 cm New York Style. Volgens de website van New York Pizza is deze pizza goed voor één persoon. De grootste pizzabodem, de 35 cm New York Style, is volgens de website goed voor één à twee personen.
Als je met drie personen pizza gaat eten, dan kun je bijvoorbeeld kiezen uit óf twee pizza's met een diameter van 35 cm óf drie pizza's met een diameter van 25 cm.
Een pizza met een diameter van 25 cm kostte € 8,99 in 2018 en een pizza met een diameter van 35 cm kostte toen € 15,49.

Arie deed in 2018 twee uitspraken:

A: De totale hoeveelheid pizza bij de keuze voor twee grote pizza's is groter dan bij de keuze voor drie kleine pizza's.

B: De prijs per cm² is bij de keuze voor twee grote pizza's hoger dan bij de keuze voor drie kleine pizza's.

5p 22 Onderzoek van elk van beide uitspraken of deze waar is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je informatie uit een tekst moet halen en deze moet gebruiken om berekeningen uit te voeren. Vervolgens vergelijk je de resultaten om te bepalen of twee gegeven uitspraken waar zijn of niet.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de oppervlakte van een cirkel kennen: Oppervlakte = π * straal². Je moet ook weten hoe je een prijs per eenheid (in dit geval per cm²) berekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt diameters omzetten naar stralen. Je kunt de oppervlakte van cirkels berekenen. Je kunt totale oppervlaktes en totale prijzen voor meerdere pizza's berekenen. Je kunt de prijs per cm² berekenen en de resultaten correct interpreteren om de waarheid van de uitspraken te beoordelen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen diameter en straal. De formule voor de oppervlakte gebruikt de straal, niet de diameter.
Vergeet niet de berekende oppervlakte van één pizza te vermenigvuldigen met het aantal pizza's (2 of 3) om de totale hoeveelheid pizza te krijgen.
Rond niet te vroeg af bij het berekenen van de oppervlaktes en de prijs per cm². Gebruik voldoende decimalen om nauwkeurige vergelijkingen te kunnen maken.
Lees de uitspraken A en B zorgvuldig. Let goed op woorden als 'groter dan' en 'hoger dan' om de juiste conclusie te trekken uit je berekeningen.

Kernbegrippen: Oppervlakte cirkel, Verhoudingen, Prijs per eenheid, Logisch redeneren

Veelgemaakte fouten:
- Diameter gebruiken in plaats van straal voor oppervlakteberekening
- Vergeten de oppervlakte te vermenigvuldigen met het aantal pizza's (2 of 3)
- Reken- of afrondingsfouten bij het berekenen van de prijs per cm²
- Verkeerde conclusie trekken uit de berekende waarden (bijv. 'hoger' en 'lager' verwarren).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2023/tijdvak-1/vraag/22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2023
tijd vak 1
donderdag 11 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift zijn twee aanvullingen op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-23-1-o

### Pagina 2

Toetsrooster

Toen toetsroosters nog met de hand werden gemaakt, gebruikte de
roostermaker soms een diagram als hulpmiddel. In de figuur zie je zo'n
diagram voor 5 vwo voor de dinsdag in een toetsweek. Op die dinsdag
worden alleen toetsen gegeven voor de volgende vakken: economie (Ec),
geschiedenis (Gs), natuurkunde (Na) en Duits (Du). In het diagram zijn de
gegevens weergegeven voor de 20 leerlingen uit 5 vwo voor deze vier
vakken. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat er 5 leerlingen zijn die van
deze vier vakken alleen natuurkunde en Duits hebben: gebied R in het
diagram.

figuur

[FIGUUR: Een Venn-diagram met vier overlappende cirkels, gelabeld Ec, Gs, Na en Du. De gebieden binnen de cirkels en hun overlappen zijn aangeduid met letters (A, B, C, D, E, F, G, H, Q, R, S, T) en getallen (0, 1, 2, 3, 4, 5).]

Niemand van de 20 leerlingen uit 5 vwo hoeft op dinsdag vier toetsen te
maken.
2p 1 Leg uit hoe je dit in het diagram kunt zien.

Voor een roostermaker kan het handig zijn om meer toetsen tegelijkertijd
in te roosteren.
2p 2 Onderzoek met behulp van het diagram welke toetsen tegelijkertijd
ingeroosterd kunnen worden.

VW-1026-a-23-1-0
2 / 15
lees verder ► ► ►


### Pagina 3

We voeren voor Julia, een leerling uit deze 5 vwo-groep, de volgende notaties in:
- Ec betekent: Julia heeft economie in haar pakket;
- Na betekent: Julia heeft natuurkunde in haar pakket;
- Gs betekent: Julia heeft geschiedenis in haar pakket;
- Du betekent: Julia heeft Duits in haar pakket.
Roostermaker Hansen, die het vakkenpakket van Julia niet kent, beweert het volgende:
$$Du \implies (Na \lor Gs)$$
3 (4p) Vertaal deze bewering in een gewone zin en licht met behulp van het diagram toe dat deze bewering juist is.
In het diagram in de figuur zijn verschillende vakkencombinaties door middel van een bijbehorend gebied weergegeven. Er zijn echter meer combinaties mogelijk met twee of meer van de vier vakken economie, geschiedenis, natuurkunde en Duits dan in dit diagram weergegeven zijn. Een leerling met zo’n vakkencombinatie zou dus niet passen in dit diagram. (Gelukkig kwamen deze vakkencombinaties niet voor bij deze 20 leerlingen.)
4 (4p) Geef alle theoretisch mogelijke combinaties van twee of meer van deze vier vakken en onderzoek voor elke combinatie of deze door middel van een bijbehorend gebied in het diagram weergegeven is.
VW-1026-a-23-1-o 3 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 4

Ga verder op de volgende pagina.

VW-1026-a-23-1-o 4 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 5

Vlinders in Nederland
De Vlinderstichting in Nederland houdt jaarlijks vlindertellingen. Er wordt
geteld op ruim 800 vaste routes en met een vaste methode.
De tellingen worden gedaan door vrijwilligers, samen met iemand van de
Vlinderstichting op een route van maximaal een kilometer lang. Op de
vastgestelde route wordt in een vijf meter brede strook het aantal vlinders
geteld.

Van een van de vlindersoorten, het bruin zandoogje,
blijkt het aantal al jaren min of meer stabiel te zijn.
Een telling op een route van één kilometer leverde
200 bruin zandoogjes op.
2p 5 Bereken in dat geval het gemiddeld aantal bruin
zandoogjes per $100 \, \text{m}^2$.
bruin zandoogje
[FIGUUR: Een vlinder zit op een bloem.]
Het aantal bruin zandoogjes is dan wel min of meer stabiel gebleven maar
helaas geldt dat niet voor alle vlindersoorten. Het totaal aantal vlinders is
in de periode 1992-2017 met 40% afgenomen. Hierbij vermoedt men een
exponentiële trend.
4p 6 Bereken de jaarlijkse procentuele afname in deze periode, uitgaande van
de exponentiële trend. Geef je antwoord in één decimaal.
VW-1026-a-23-1-o
5 / 15
lees verder

### Pagina 6

De heivlinder is een van de vlindersoorten
waarvan het aantal sterk is gedaald. Zie figuur 1.
heivlinder
figuur 1 heivlinders
populatie-index
1000
100
10
1
1990
1995
2000
2005
2010
2015
jaar
In figuur 1 is op de verticale as een logaritmische schaalverdeling
gebruikt. Op deze as is niet het aantal heivlinders maar de populatie-
index weergegeven. Deze index geeft het percentage heivlinders aan ten
opzichte van het totaal aantal heivlinders in 1992. De populatie-index van
het jaar 1992 is dus 100. In 1995 is de populatie-index weer (ongeveer)
100. Met andere woorden: in 1995 waren er (ongeveer) evenveel
heivlinders als in 1992.

3p 7 Nadat het aantal heivlinders vanaf 2003 stabiel leek en zich in de periode
2011-2013 zelfs wat leek te herstellen, was 2017 weer een rampjaar voor
de heivlinder.
Bereken met behulp van de figuur het percentage heivlinders in 2017 ten
opzichte van het aantal heivlinders in 1992. Geef je antwoord in één
decimaal.

VW-1026-a-23-1-o
6 / 15
lees verder

### Pagina 7

In figuur 2 zie je dezelfde grafiek als in figuur 1 maar nu is een trendlijn
toegevoegd.
figuur 2 heivlinders met trend
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "populatieindex" met schaal 1, 10, 100, 1000. Op de x-as "jaar" met schaal 1990, 1995, 2000, 2005, 2010, 2015. Een dalende lijn die fluctueert over de jaren.]
De trendlijn in figuur 2 hoort bij een exponentieel model voor de afname
van de populatie-index. De trendlijn kan worden beschreven met de
volgende formule:
$$ \log(P) = -0,026t + 1,8 $$
Hierin is $P$ de populatie-index en is $t$ het aantal jaren na 1992.
Als de trend zich op dezelfde manier blijft doorzetten, zal het aantal
getelde heivlinders in een gegeven jaar minder dan 2% zijn van het aantal
getelde heivlinders in 1992.
2p 8
Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het
geval zal zijn.
De formule $\log(P) = -0,026t + 1,8$ kan worden herleid tot $P = 63 \cdot 0,942^t$
waarmee de populatie-index in een bepaald jaar in één keer kan worden
berekend.
3p 9
Laat zien hoe de formule $\log(P) = -0,026t + 1,8$ herleid kan worden tot
$P = 63 \cdot 0,942^t$.
VW-1026-a-23-1-o 7 / 15 lees verder

### Pagina 8

Engelendeel

Traditioneel gebrouwen whisky wordt enkele jaren in houten vaten
opgeslagen om daarin te rijpen. In het algemeen geldt: hoe langer de
whisky rijpt, hoe beter hij smaakt. Lang rijpen heeft echter een nadeel:
een deel van de whisky gaat verloren doordat deze in het houten vat trekt
of verdampt.
Het deel van de whisky dat tijdens het rijpen verloren gaat, wordt het
engelendeel genoemd. Het engelendeel wordt uitgedrukt in een
percentage per jaar.

3p 10 Van een bepaald soort whisky is het engelendeel 4,5%. Neem aan dat het
engelendeel elk jaar hetzelfde percentage is.
Bereken hoelang het duurt totdat nog maar de helft van de whisky over is.
Geef je antwoord in jaren en gehele maanden.

In werkelijkheid is bij traditioneel gebrouwen whisky het engelendeel niet
ieder jaar even groot. Zeker aan het begin van de rijpingsperiode is dit
deel een stuk groter, doordat de whisky nog in het hout moet trekken.

Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele
wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een
houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de
producent staat het volgende:

Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar
gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De
8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar.
Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het
vullen van de flessen.

4p 11 Pappy Van Winkle 23 wordt verkocht in flessen van 750 ml.
Bereken hoeveel van zulke flessen kunnen worden gevuld, uitgaande van
200 liter whisky.

De meeste whisky rijpt tegenwoordig niet meer in houten vaten. In plaats
daarvan wordt de whisky in grote metalen ketels gedaan en worden er
houtsnipers aan toegevoegd. Hierdoor wordt het engelendeel beperkt tot
zo'n 3% per jaar. Voor het vervolg van de opgave gaan we ervan uit dat
het engelendeel ieder jaar 3% is.

Bij de massaproductie van whisky wordt ervoor gezorgd dat de totale
hoeveelheid whisky gelijk blijft door jaarlijks de ketel weer bij te vullen met
nieuw geproduceerde whisky. Hierdoor ontstaat er een mengsel dat maar
voor een deel uit de oorspronkelijke whisky bestaat.

VW-1026-a-23-1-o 8 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Bijvoorbeeld: Een ketel bevat 500 liter whisky. Na een jaar is daarvan 3%, dus 15 liter, verloren gegaan. Er wordt aan het eind van dat jaar
15 liter nieuw geproduceerde whisky in de ketel gedaan, zodat er dan
485 liter whisky van 1 jaar oud en 15 liter whisky van 0 jaar oud in zit. Aan
het eind van het tweede jaar is er weer 15 liter verloren gegaan en ook dit
wordt weer aangevuld met nieuw geproduceerde whisky, enzovoorts.

In de tabel staat voor een aantal jaren de samenstelling van het mengsel
aan het eind van het jaar, in procenten.
tabel
[FIGUUR: Tabel met kolommen 'jaar (n)', 'n', 'n-1', 'n-2', 'n-3', 'n-4' en rijen voor n=0 tot 5, met de volgende waarden:
n=0: 100, 0, 0, 0, 0
n=1: 97, 3, 0, 0, 0
n=2: 94,09, 2,91, 3, 0, 0
n=3: 91,27, 2,82, 2,91, 3, 0
n=4: 88,53, 2,74, 2,82, 2,91, 3
n=5: 85,87, ..., ..., ..., ...]

In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat aan het eind van het 4e jaar
88,53% van het mengsel bestaat uit 4 jaar oude whisky, 2,74% uit 3 jaar
oude whisky, 2,82% uit 2 jaar oude whisky, 2,91% uit 1 jaar oude whisky
en 3% uit nieuw geproduceerde whisky (0 jaar oude whisky).

Aan het eind van jaar n is een deel van het mengsel dus n jaar oud. De
rest is een mengsel van whisky's van leeftijd 0 jaar tot en met n-1 jaar
oud. De percentages later toegevoegde whisky's in dat mengsel vormen
de rij: 3; 2,91; 2,82; 2,74; ....
2p 12 Stel een recursieve formule op van deze rij.

4p 13 Bereken hoeveel procent van het mengsel aan het eind van het 7e jaar
bestaat uit whisky van 5 jaar of ouder. Geef je antwoord in twee
decimalen.

VW-1026-a-23-1-o
9/15
lees verder

### Pagina 10

Tot hier

Aan de oever van de Nederrijn bij Rijswijk staat een kunstwerk van Jan
Kleingeld bestaande uit letters van staal. Zie de foto. Zoals je ziet, staat
elke letter op een voetstuk. De foto is ook vergroot afgebeeld op de
uitwerkbijlage.

foto

[FIGUUR: Een zwart-witfoto van grote metalen letters die samen het woord "TOT HIER" vormen. De letters staan op voetstukken in een buitenomgeving, met bomen en een lucht op de achtergrond.]

De tekst TOT HIER duidt aan dat hier zo'n 2000 jaar geleden de
noordgrens van het Romeinse rijk lag. De letters zijn inclusief hun
voetstuk 365 cm hoog.

4p 14 Beken met behulp van de uitwerkbijlage de hoogte waarop de foto
genomen is. Geef je antwoord in gehele cm.

Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een perspectieftekening
van het woord HIER. De letters hebben een vereenvoudigde vorm en het
voetstuk is weggelaten. De letter H ontbreekt nog. De afstand tussen de
H en de I is even groot als de afstand tussen de I en de E, en de letter H
is ook even breed als deze afstand. De horizontale middenstreep van de
letter E zit net zoals de horizontale middenstreep van de letter H, precies
halverwege de totale hoogte van die letter.

4p 15 Teken de letter H op de juiste plaats in de perspectieftekening op de
uitwerkbijlage.

VW-1026-a-23-1-o 10 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Cementproductie
Cement is een belangrijk bouwmateriaal. Het wordt voornamelijk gebruikt bij het maken van beton.
In figuur 1 staat de wereldwijde cementproductie tussen 1970 en 2010 in miljoenen tonnen per jaar.
figuur 1
[FIGUUR: Liggende staafdiagram met op de y-as de cementproductie in miljoenen tonnen per jaar, van 0 tot 4500, en op de x-as de jaren van 1970 tot 2010. Een lijn geeft de stijging van de productie weer.]
In figuur 1 is te zien dat de cementproductie (ongeveer) exponentieel toenam van 575 miljoen ton in 1970 tot 3800 miljoen ton in 2010.
In 2010 was de verwachting dat de wereldwijde cementproductie ook na 2010 exponentieel door zou blijven stijgen tot ten minste 5000 miljoen ton per jaar. Voor de volgende vraag gaan we van deze verwachting uit.
5p 16 Bereken in welk jaar de cementproductie in dat geval voor het eerst meer dan 5000 miljoen ton was.
VW-1026-a-23-1-o 11 / 15 lees verder ▶▶▶

### Pagina 12

In werkelijkheid heeft de exponentiële stijging zich niet doorgezet. In de
periode 2010-2013 was er nog wel sprake van (niet-exponentiële)
toename, maar in de periode 2013-2017 bleef de wereldwijde
cementproductie nagenoeg stabiel op 4300 miljoen ton per jaar. Dit is te
zien in figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een gestapeld staafdiagram met op de x-as de jaren 2010 tot en
met 2017 en op de y-as de cementproductie in miljoenen tonnen per jaar.
De grafiek toont twee gestapelde delen: China (diagonaal
gestreept) en Europa (verticaal gestreept). De totale hoogte van de
staven neemt toe van 2010 tot 2017, met een steilere stijging in het
deel dat China vertegenwoordigt.]

Volgens een artikel van de BBC uit 2018 zal de vraag naar beton, en dus
ook de productie van cement, na 2017 weer sterk toenemen.
Het artikel stelt dat er in 2030 wereldwijd 25% meer cement geproduceerd
zal worden dan in 2017.

4p 17 Neem aan dat de toename na 2017 lineair verloopt.
Bereken in welk jaar de totale cementproductie in dat geval voor het eerst
meer is dan 4500 miljoen ton per jaar volgens het artikel.

Voor de productie van cement is veel energie nodig en bovendien komt er
bij het proces behoorlijk wat CO$_2$ vrij. Volgens het artikel van de BBC
wordt 8% van de wereldwijde CO$_2$-uitstoot veroorzaakt door de productie
van cement.

In Europa gelden strenge regels voor de productie van cement. Geschat
wordt dat in Europa gemiddeld per ton$^1$) geproduceerd cement 750 kg aan
CO$_2$ uitgestoten wordt. In China, veruit de grootste producent van cement
ter wereld, is deze uitstoot 220 kg per ton geproduceerd cement méér dan
in Europa.

4p 18 Het aandeel van China en dat van Europa in de cementproductie zijn in
figuur 2 weergegeven. De grafiek staat ook, vergroot, op de
uitwerkbijlage.
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage voor het jaar 2017
hoeveel keer zo groot de CO$_2$-uitstoot als gevolg van cementproductie in
China was ten opzichte van die in Europa. Geef je antwoord in één
decimaal.

noot 1 1 ton = 1000 kg

VW-1026-a-23-1-o
12 / 15
lees verder ► ► ►

### Pagina 13

Cement wordt voornamelijk gebruikt bij het maken van beton. Het
overgrote deel van de CO₂-uitstoot als gevolg van het maken van beton
komt voort uit de productie van cement. Vanwege de enorme CO₂-uitstoot
die gepaard gaat met de productie van cement, wordt er volop gezocht
naar milieuvriendelijkere alternatieven.

Een van die alternatieven is het maken van beton zonder daarbij cement
te gebruiken. Het Nederlandse bedrijf Sqape ontwikkelde een technologie
waarmee dat mogelijk is. Volgens de website van Sqape wordt de
CO₂-uitstoot zo per ton gemaakt beton verminderd van 750 kg tot 120 kg.

[FIGUUR: Een foto van een fietspad, waarlangs gras en bomen staan. Een fietser rijdt op het fietspad.]

Op de foto zie je een vernieuwd fietspad
in Zeewolde. Het fietspad bestaat voor
70% uit beton dat met de nieuwe
technologie van Sqape is gemaakt en
voor 30% uit beton waarbij cement is
gebruikt.

De hoeveelheid CO₂ die vrijkomt bij
het maken van het beton dat voor dit
fietspad gebruikt wordt, kan als volgt berekend worden:
$0,7 \cdot 120 + 0,3 \cdot 750 = 309$ kg per ton gemaakt beton.

Een van de Europese klimaatdoelstellingen is dat de uitstoot van CO₂ als
gevolg van het maken van beton wordt verminderd van 750 kg tot
450 kg per ton. Dat kan bereikt worden door een deel van het beton te
gaan maken met behulp van de technologie van Sqape.
4p 19 Onderzoek met een berekening hoeveel procent van het beton ten minste
met deze technologie gemaakt moet worden om aan de genoemde
klimaatdoelstelling te voldoen. Geef je antwoord in gehele procenten.

VW-1026-a-23-1-o
13 / 15
lees verder

### Pagina 14

New York Pizza

New York Pizza is een Nederlandse pizzaketen, die in 1993 in Amsterdam
is opgericht. New York Pizza is een zogenaamde franchise. Dat wil
zeggen dat iedereen die dat wil een New York Pizza-filiaal kan openen.
Een ondernemer moet dan elk jaar 6,5% van zijn omzet betalen aan het
hoofdkantoor van New York Pizza. Door het betalen van deze
zogenaamde franchise fee krijgt de ondernemer het recht om het concept
van New York Pizza te gebruiken en profiteert hij bovendien van de
naamsbekendheid.

In 2017 was de totale omzet van New York Pizza € 99,7 miljoen. Hiervan
werd € 23 miljoen gerealiseerd door de groothandel die bij het bedrijf
hoort en de rest door de 143 filialen.

3p 20 Bereken hoeveel er gemiddeld per maand per filiaal aan franchise fee
betaald werd in 2017. Geef je antwoord in hele euro's.

Een van de voordelen van het franchisemodel is dat een ondernemer zelf
beslissingen mag nemen binnen bepaalde grenzen. Zo is bijvoorbeeld de
menukaart niet bij alle New York Pizza-vestigingen hetzelfde.

Bij een bepaalde vestiging van New York Pizza staan er 32 verschillende
pizzavarianten op het menu. Denk daarbij bijvoorbeeld aan een Pizza
Hawaii en een Pizza Margherita.
Veel pizza's worden gemaakt op een zogeheten New York Style-bodem,
die verkrijgbaar is in vier verschillende maten (20 cm, 25 cm,
30 cm en 35 cm). Ook kan er gekozen worden uit een Italiaanse, een
glutenvrije of een biologische bodem, maar van elk van deze drie bodems
is er maar één maat beschikbaar (30 cm).
Daarnaast bestaat er de mogelijkheid om van één pizzabodem de beide
helften te beleggen met twee verschillende varianten van het menu: de
zogeheten double tasty.

3p 21 Bereken hoeveel verschillende pizza's er bij dit filiaal samengesteld
kunnen worden.

VW-1026-a-23-1-o
14 / 15 lees verder ► ► ►


### Pagina 15

In 2018 was een van de meest verkochte bodems de 25 cm New York
Style. Volgens de website van New York Pizza is deze pizza goed voor
één persoon. De grootste pizzabodern, de 35 cm New York Style, is
volgens de website goed voor één à twee personen.
Als je met drie personen pizza gaat eten, dan kun je bijvoorbeeld kiezen
uit óf twee pizza's met een diameter van 35 cm óf drie pizza's met een
diameter van 25 cm.
Een pizza met een diameter van 25 cm kostte € 8,99 in 2018 en een pizza
met een diameter van 35 cm kostte toen € 15,49.
Arie deed in 2018 twee uitspraken:
A: De totale hoeveelheid pizza bij de keuze voor twee grote pizza's is
groter dan bij de keuze voor drie kleine pizza's.
B: De prijs per cm$^2$ is bij de keuze voor twee grote pizza's hoger dan
bij de keuze voor drie kleine pizza's.
5p 22 Onderzoek van elk van beide uitspraken of deze waar is.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit exarnen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit exarnen
behorende correctievoorschrift.
VW-1026-a-23-1-o
15 / 15
einde