# Eindexamen Wiskunde C VWO 2022 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

3p 1 Bereken hoeveel procent van het ballongas verloren gaat tijdens het vullen van deze 52 ballonnen met de vulmachine. Geef je antwoord in één decimaal. Als er te veel ballongas in een ballon geblazen wordt, zal deze op een bepaald moment knappen. Dat komt doordat de latex waarvan de ballon is gemaakt dan zo veel uitgerekt is, dat deze kapotgaat. Het is lastig om precies op het goede moment een foto te maken waarop een ballon knapt, zoals de foto hiernaast. Hiervoor maakt men een filmpje van het opblazen en knappen van de ballon. Dan wordt het filmbeeld gezocht waarop het knappen te zien is. Met een goede camera kunnen 250, 420 of 1000 beelden per seconde worden gemaakt. foto

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie voorgelegd waarin je een deel van een geheel moet berekenen en dit moet uitdrukken in een percentage. Je zult eenheden moeten omrekenen en vervolgens een procentuele verandering moeten bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je eenheden van volume (m³ naar dm³) omrekent. Je moet ook de formule voor het berekenen van een percentage kennen: (deel / geheel) * 100%.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante informatie uit de tekst kunnen filteren. Je moet eenheden correct kunnen omrekenen. Je moet het totale verbruik kunnen berekenen en dit kunnen vergelijken met de beginhoeveelheid om het verlies in procenten uit te drukken. Vergeet niet om je antwoord correct af te ronden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de totale hoeveelheid gas is in m³, terwijl het gas per ballon waarschijnlijk in dm³ wordt gegeven (of je moet dit zelf afleiden). Zorg dat je alles naar dezelfde eenheid omrekent voordat je gaat rekenen.
Denk goed na over wat het 'geheel' is in je percentageberekening. Is het de totale hoeveelheid gas die je had, of de hoeveelheid gas die je *had kunnen* gebruiken?
Rond pas af op één decimaal aan het einde van je berekening, om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je antwoord logisch is. Een klein percentage verlies is waarschijnlijker dan een heel groot percentage.

Kernbegrippen: omrekenen van eenheden, procentuele verandering, rekenen met verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten eenheden om te rekenen (m³ naar dm³)
- Verkeerde basis voor percentageberekening
- Afrondingsfout

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (4 punten)

Als er te veel ballongas in een ballon geblazen wordt, zal deze op een bepaald moment knappen. Dat komt doordat de latex waarvan de ballon is gemaakt dan zo veel uitgerekt is, dat deze kapotgaat.
Het is lastig om precies op het goede moment een foto te maken waarop een ballon knapt, zoals de foto hiernaast. Hiervoor maakt men een filmpje van het opblazen en knappen van de ballon. Dan wordt het filmbeeld gezocht waarop het knappen te zien is.
Met een goede camera kunnen 250, 420 of 1000 beelden per seconde worden gemaakt.

Stel dat het knappen van een ballon 3 milliseconden duurt. Onderzoek bij de drie bovengenoemde filmbeeldsnelheden of het knappen van de ballon altijd op een filmbeeld te zien is.

Wat kun je verwachten: Je zult eenheden moeten omrekenen en vervolgens de berekende tijden met elkaar vergelijken om een conclusie te trekken. Het is een redeneervraag waarbij je goed moet begrijpen wat 'beelden per seconde' betekent in relatie tot de duur van een gebeurtenis.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je milliseconden omrekent naar seconden. Ook moet je begrijpen dat 'beelden per seconde' een frequentie is en hoe je daaruit de tijd per beeld (de periode) afleidt.

Wat moet je kunnen: Je kunt milliseconden omrekenen naar seconden. Je kunt de tijd tussen twee opeenvolgende filmbeelden berekenen voor de gegeven beeldsnelheden. Je kunt deze tijden vergelijken met de duur van het knappen van de ballon en op basis hiervan een correcte conclusie trekken.

Waar op letten: Let goed op het omrekenen van milliseconden naar seconden. 1 seconde = 1000 milliseconden, dus 3 milliseconden is 0,003 seconden.
Verwar beelden per seconde (frequentie) niet met de tijd per beeld (periode). Als een camera 250 beelden per seconde maakt, betekent dit dat er 1/250 seconde zit tussen twee opeenvolgende beelden.
Denk goed na over de voorwaarde: om het knappen 'altijd' op een filmbeeld te zien, moet de tijd tussen twee beelden kleiner zijn dan de duur van het knappen. Als de tijd tussen beelden langer is, kan het knappen precies tussen twee beelden vallen en dus gemist worden.
Rond niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen in je berekeningen om nauwkeurige vergelijkingen te kunnen maken.

Kernbegrippen: eenheden omrekenen, snelheid, frequentie, redeneren met grenswaarden

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omrekenen van milliseconden naar seconden
- Verwarring tussen beelden per seconde (frequentie) en tijd per beeld (periode)
- Onjuiste conclusie trekken uit de berekening (bijv. groter dan i.p.v. kleiner dan).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (2 punten)

Latex is niet helemaal luchtdicht, waardoor ballonnen langzaam leeglopen. Hoe snel dat gaat, hangt af van veel factoren. In het vervolg van deze opgave gaan we ervan uit dat voor de hoeveelheid ballongas H in dm³ van een ballon die werd gevuld met 9 dm³ ballongas geldt:
H = 9 · 0,98ᵗ, met t de tijd in uren nadat de ballon is opgeblazen.

2p 3 Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid ballongas per dag afneemt. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële afname moeten analyseren. Je krijgt een groeifactor per uur en je moet de procentuele afname per dag berekenen. Dit betekent dat je de groeifactor moet omrekenen naar een andere tijdseenheid en vervolgens naar een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een groeifactor is en hoe je deze gebruikt in een exponentiële formule. Je moet ook weten hoe je een groeifactor omrekent van de ene tijdseenheid naar de andere (bijvoorbeeld van per uur naar per dag). Tot slot moet je weten hoe je een groeifactor omzet naar een procentuele toe- of afname.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor uit de gegeven formule aflezen. Je kunt de groeifactor per uur omrekenen naar een groeifactor per dag door de juiste macht te gebruiken. Je kunt de berekende groeifactor per dag omzetten naar een procentuele afname. Je kunt je antwoord afronden op hele procenten zoals gevraagd.

Waar op letten: Let goed op de tijdseenheden: de gegeven groeifactor is per uur, maar de vraag vraagt om de afname per dag. Je moet dus de groeifactor per uur omrekenen naar een groeifactor per dag.
Denk eraan dat je exponentieel moet rekenen. Een afname van 2% per uur betekent NIET 2% * 24 uur per dag. Je moet de groeifactor tot de macht 24 doen.
De groeifactor is 0,98. Dit betekent een afname. Zorg ervoor dat je de groeifactor correct omzet naar een procentuele afname (1 - groeifactor) * 100%.
Rond pas aan het einde af op hele procenten, zoals in de vraag gevraagd. Voorkom te vroeg afronden van de groeifactor per dag.
Controleer of je antwoord logisch is. Als de ballon leegloopt, verwacht je een afnamepercentage.

Kernbegrippen: exponentiële afname, groeifactor per tijdseenheid omrekenen, omrekenen groeifactor naar procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Lineair rekenen (2% * 24) in plaats van exponentieel (groeifactor^24)
- De berekende groeifactor (0,615...) verwarren met de procentuele afname
- Afrondingsfout of het antwoord niet in hele procenten geven zoals gevraagd

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (4 punten)

Latex is niet helemaal luchtdicht, waardoor ballonnen langzaam leeglopen. Hoe snel dat gaat, hangt af van veel factoren. In het vervolg van deze opgave gaan we ervan uit dat voor de hoeveelheid ballongas H in dm³ van een ballon die werd gevuld met 9 dm³ ballongas geldt:
H = 9 · 0,98ᵗ, met t de tijd in uren nadat de ballon is opgeblazen.

Een ballon zal niet meer zweven als 30% van het ballongas uit de ballon verdwenen is. De Zevenklapper biedt de mogelijkheid om de ballonnen te bewerken met een zogenoemde hi-floatcoating, waardoor de ballonnen langer blijven zweven. De ballonnen worden dan voorzien van een speciale laag gel, waardoor er per uur nog maar 1% lucht uit wegloopt.

Onderzoek hoeveel uur een ballon met de hi-floatcoating langer zweeft dan een ballon die niet met de hi-floatcoating bewerkt is. Geef je antwoord in hele uren.

Wat kun je verwachten: Je zult twee exponentiële vergelijkingen moeten opstellen en oplossen. Daarna vergelijk je de resultaten om het verschil in zweeftijd te vinden. Je gebruikt hierbij je kennis van procentuele veranderingen en groeifactoren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een groeifactor afleidt uit een percentage afname. Je moet ook de algemene vorm van een exponentiële functie (N = b * g^t) kennen en begrijpen hoe je deze kunt gebruiken om een onbekende tijd (t) te vinden.

Wat moet je kunnen: Je moet exponentiële vergelijkingen kunnen opstellen op basis van de gegeven informatie. Je moet deze vergelijkingen vervolgens kunnen oplossen met behulp van je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met de 'intersect'-functie of door logaritmen toe te passen). Tot slot moet je het verschil tussen de twee berekende tijden correct kunnen interpreteren en afronden.

Waar op letten: Let goed op de procentuele afname per uur. Een afname van 1% betekent dat er 99% overblijft, dus de groeifactor is 0,99. Een afname van 2% betekent dat er 98% overblijft, dus de groeifactor is 0,98.
De vraag stelt dat een ballon niet meer zweeft als 30% van het gas verdwenen is. Dit betekent dat er nog 70% van het oorspronkelijke gas over is. Je moet dus rekenen met 0,70 en niet met 0,30.
Rond de berekende tijden pas aan het einde af op hele uren, nadat je het verschil hebt berekend. Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.
Vergeet niet het verschil tussen de twee berekende tijden te nemen om te bepalen hoeveel langer de gecoate ballon zweeft. Dit is de kern van de vraag.
Controleer of je antwoord in hele uren is gegeven, zoals gevraagd in de laatste zin van de vraag.

Kernbegrippen: exponentieel verval, groeifactor per tijdseenheid, exponentiële vergelijkingen oplossen, procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte groeifactor voor de hi-floatcoating gebruiken (bijv. 0,01 i.p.v. 0,99).
- Rekenen met de verkeerde eindwaarde (bijv. 30% of 0,30 i.p.v. 70% of 0,70).
- Vergeten het verschil tussen de twee berekende tijden te nemen.
- Te vroeg afronden van tussenantwoorden, wat leidt tot een onnauwkeurig eindantwoord.
- Het antwoord niet afronden op hele uren zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (2 punten)

2p 5 Bereken met behulp van de afmetingen in figuur 2 de minimale afstand en de maximale afstand in km van het aardoppervlak tot het maanoppervlak.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je afstanden moet berekenen tussen oppervlakken van hemellichamen, gegeven de afstanden tussen hun middelpunten en hun diameters. Je moet goed kijken naar de details in de figuren.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een straal en een diameter zijn en hoe deze zich tot elkaar verhouden. Je moet ook begrijpen dat de afstand tussen oppervlakken anders is dan de afstand tussen middelpunten.

Wat moet je kunnen: Je kunt de straal van een bol berekenen als de diameter gegeven is. Je kunt logisch redeneren hoe je de afstand tussen twee oppervlakken berekent als je de afstand tussen de middelpunten en de stralen van de bollen kent. Je kunt de juiste gegevens uit figuur 2 halen en deze correct toepassen in je berekening.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'diameter' en 'straal'. De straal is de helft van de diameter.
Zorg ervoor dat je de stralen van *beide* hemellichamen (aarde én maan) aftrekt van de afstand tussen de middelpunten om de afstand tussen de oppervlakken te vinden.
Vergeet niet zowel de minimale als de maximale afstand te berekenen, zoals gevraagd in de vraag.
Controleer of je de juiste eenheden (km) gebruikt in je antwoord.

Kernbegrippen: meetkunde, afstanden berekenen, straal en diameter

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de diameters door twee te delen om de stralen te krijgen.
- De stralen optellen bij de centrumafstand in plaats van aftrekken.
- Slechts één van de twee afstanden (minimaal of maximaal) berekenen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (4 punten)

Door de tabel uit te breiden en verder in te vullen kun je onderzoeken hoeveel dagen het duurt voordat er weer een supermaan is.
Voer dit onderzoek uit.

Wat kun je verwachten: Je zult een tabel moeten invullen en uitbreiden. Je berekent de opeenvolgende dagen voor twee verschillende cycli en vergelijkt deze. Je zoekt naar het moment waarop de afgeronde waarden van deze cycli voor het eerst samenvallen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een tabel systematisch uitbreidt door een vaste waarde (de periode) steeds op te tellen of te vermenigvuldigen met het periodenummer. Je moet ook de regels voor het afronden op hele getallen kennen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de waarden in de tabel correct berekenen door de gegeven periodes (29,53 en 27,55 dagen) te vermenigvuldigen met het periodenummer. Je kunt de berekende waarden correct afronden op hele dagen. Je kunt de afgeronde waarden van de twee kolommen vergelijken en het eerste moment identificeren waarop ze gelijk zijn.

Waar op letten: Je moet de tabel systematisch uitbreiden door de periodes en de bijbehorende aantallen dagen te berekenen voor zowel 'volle maan' als 'perigeum'.
Je moet de berekende waarden afronden op hele dagen voordat je ze vergelijkt. Let goed op de afrondingsregels.
Je moet doorgaan met het uitbreiden van de tabel totdat je het eerste moment vindt waarop de afgeronde waarden voor 'volle maan' en 'perigeum' aan elkaar gelijk zijn.
Je moet nauwkeurig rekenen om te voorkomen dat je te vroeg stopt of de verkeerde waarden vergelijkt.

Kernbegrippen: periodieke verschijnselen, cycli, benaderen van kleinste gemene veelvoud

Veelgemaakte fouten:
- Te vroeg stoppen met het uitbreiden van de tabel.
- Rekenfouten bij het vermenigvuldigen.
- Niet realiseren dat de waarden niet exact gelijk hoeven te zijn, maar afgerond op hele dagen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (4 punten)

In de praktijk wordt er een ruimere definitie voor een supermaan gebruikt:

Een supermaan doet zich voor als het volle maan is en als de maan dicht bij de aarde staat. Dat is zo, als de afstand van het middelpunt van de maan tot het middelpunt van de aarde minder dan 360 000 kilometer is.

Deze ruimere definitie van een supermaan leidt ertoe dat er soms meerdere supermanen in een jaar kunnen voorkomen. In 2016 waren er zelfs drie!

De minimale afstand van het middelpunt van de aarde tot het middelpunt van de maan is in werkelijkheid erg variabel. De in figuur 2 vermelde afstand van 363 000 km is de gemiddelde afstand in het perigeum. In figuur 3 zie je in de grafiek de werkelijke afstand in km van het middelpunt van de maan tot het middelpunt van de aarde in het jaar 2016.

figuur 3 afstand middelpunt maan - middelpunt aarde in 2016 (in km)

De eerste drie volle manen van 2016 zijn in de grafiek aangegeven met een zwarte stip. We gaan er weer van uit dat er eens in de 29,53 dagen een volle maan is.

Zoals eerder vermeld waren er in 2016 precies drie supermanen. Figuur 3 is niet nauwkeurig genoeg om de data af te lezen waarop de supermanen voorkwamen. Maar met behulp van deze figuur en de ruimere definitie voor een supermaan kan wel worden beredeneerd in welke maanden van 2016 de drie supermanen zijn voorgekomen.
4p 7 Beredeneer met behulp van figuur 3 in welke drie maanden er een supermaan moet zijn voorgekomen in 2016.

Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek moeten aflezen en de informatie uit de tekst moeten combineren om een logische redenering op te bouwen. Je moet de twee voorwaarden voor een supermaan (volle maan én afstand < 360 000 km) tegelijkertijd in overweging nemen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lijngrafiek interpreteert, inclusief het aflezen van waarden op de assen en het herkennen van periodes waarin een bepaalde voorwaarde (afstand < 360 000 km) geldt. Je moet ook de informatie over de frequentie van volle manen (eens in de 29,53 dagen) kunnen gebruiken om de timing van de volle manen door het jaar heen te schatten.

Wat moet je kunnen: Je moet de grafiek van figuur 3 nauwkeurig kunnen aflezen om te bepalen in welke periodes de afstand van de maan tot de aarde minder dan 360 000 km is. Vervolgens moet je, uitgaande van de eerste drie volle manen en de periode van 29,53 dagen, de momenten van de volgende volle manen door het jaar heen kunnen inschatten. Tot slot moet je deze twee stukken informatie logisch kunnen combineren om te beredeneren in welke maanden de supermanen plaatsvonden.

Waar op letten: Let goed op de twee voorwaarden voor een supermaan: het moet én volle maan zijn én de afstand moet minder dan 360 000 km zijn. Beide moeten tegelijkertijd gelden.
Gebruik de gegeven informatie over de eerste drie volle manen (zwarte stippen) en de periode van 29,53 dagen om de timing van de volle manen door het jaar heen te volgen. Een maand is ongeveer 30-31 dagen, dus een volle maan is ongeveer eens per maand.
Lees de grafiek zorgvuldig af om de periodes te identificeren waarin de afstand onder de 360 000 km komt. Let op de horizontale lijn in de grafiek.
Je moet een beredenering geven, niet alleen een antwoord. Leg uit waarom bepaalde maanden wel of niet in aanmerking komen.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, combineren van informatie, logisch redeneren, periodieke verschijnselen

Veelgemaakte fouten:
- Alleen kijken naar de periodes waar de afstand kleiner is dan 360.000 km, zonder rekening te houden met de timing van de volle maan.
- De voorwaarde 'volle maan' vergeten en aannemen dat elke keer dat de afstand klein genoeg is, er een supermaan is.
- Onnauwkeurig schatten van de timing van de volle manen na de eerste drie gegeven stippen.
- De informatie over de eerste drie volle manen niet gebruiken om de cyclus van volle manen door het jaar heen te volgen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (3 punten)

3p 8 Onderzoek of het theoretisch mogelijk is dat elk skûtsje in de einduitslag een geheel aantal punten heeft. noot 1 SKS = Sintrale Kommisie Skûtsjesilen noot 2 IFKS = Iepen Fryske Kampioenskippen Skûtsjesilen .docx \(\blacktriangleright\)\(\blacktriangleright\)

Wat kun je verwachten: Je zult een logische redenering moeten opbouwen om te bepalen of een scenario mogelijk is. Dit vereist dat je alle relevante regels van het puntensysteem meeneemt en verschillende mogelijkheden overweegt.

Wat moet je kennen: Je moet de puntentelling uit de tabel kennen en de regel dat het slechtste resultaat van elk skûtsje wordt geschrapt. Je moet ook weten wat een geheel getal is.

Wat moet je kunnen: Je moet een scenario kunnen bedenken waarin alle skûtsjes een geheel aantal punten behalen. Dit betekent dat je moet nadenken over hoe het niet-gehele getal (0,9 voor een overwinning) kan worden gecompenseerd of vermeden in de eindscore. Je moet ook de regel van het schrappen van het slechtste resultaat correct toepassen.

Waar op letten: Let goed op het puntental voor een overwinning (0,9). Dit is het enige niet-gehele getal in de tabel.
Vergeet niet dat het slechtste resultaat van elk skûtsje wordt geschrapt. Dit kan cruciaal zijn voor de eindscore.
Overweeg extreme scenario's, bijvoorbeeld een skûtsje dat heel veel wedstrijden wint, of juist geen enkele.
Denk na over hoe je van een niet-geheel getal (0,9) toch een geheel getal kunt maken in de totale score. Dit kan door het aantal keer dat 0,9 meetelt te manipuleren.

Kernbegrippen: logisch redeneren, gehele getallen, puntensysteem, gevalsonderscheiding

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat het slechtste resultaat geschrapt wordt.
- Aannemen dat de aanwezigheid van een decimaal getal (0,9) het onmogelijk maakt om een gehele som te krijgen, zonder de frequentie te overwegen.
- Niet overwegen van extreme scenario's (één skûtsje wint alles).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 1 (2 punten)

De afmetingen van de deelnemende skûtsjes zijn niet identiek. Om er toch een eerlijke wedstrijd van te maken, wordt voor elk skûtsje het maximaal toegestane zeiloppervlak berekend.

In eerste instantie rekende de SKS met formule Amels, maar deze formule is in 2000 aangepast en opnieuw aangepast in 2016:
S = 1,90 ⋅ L ⋅ (B + 2D) (formule Amels)
S = 2,15 ⋅ L ⋅ (B + 2D) (formule 2000)
S = 2,15 ⋅ L ⋅ (⅔ B + 1,25 + 2D) (formule 2016)

Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m², L de lengte van het skûtsje, B de breedte en D de diepgang (L, B en D in meters).

De invoering van formule 2000 had tot gevolg dat elk skûtsje hetzelfde percentage extra zeil mocht hebben.

Bereken het percentage extra zeil dat elk skûtsje van formule 2000 mag hebben ten opzichte van formule Amels. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van twee formules en het berekenen van een procentuele verandering. Je moet de essentie van de formules herkennen en onnodige informatie filteren om tot de kern van de berekening te komen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele toename berekent op basis van een groeifactor. Je moet ook begrijpen hoe je formules met variabelen kunt vereenvoudigen als je een verhouding berekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor berekenen door de nieuwe waarde te delen door de oude waarde. Je kunt deze groeifactor vervolgens omzetten naar een procentuele toename. Je kunt ook de vraag goed lezen en de gevraagde afronding toepassen.

Waar op letten: Let goed op de formulering 'ten opzichte van'. Dit geeft aan welke waarde de basis (100%) is voor je berekening.
Zorg ervoor dat je het verschil tussen de groeifactor en de procentuele toename begrijpt. Een groeifactor van 1,13 betekent een toename van 13%.
Rond pas aan het einde af op hele procenten, zoals gevraagd. Te vroeg afronden kan leiden tot een onjuist eindantwoord.
Zie in dat de variabelen L, B en D in dit specifieke geval niet nodig zijn voor de berekening van het percentage, omdat ze in beide formules op dezelfde manier voorkomen en dus tegen elkaar wegvallen bij het berekenen van de verhouding.

Kernbegrippen: Procentuele verandering, Werken met formules, Groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen 'toename tot' en 'toename met'
- Het antwoord niet afronden op hele procenten zoals gevraagd
- Onnodig ingewikkeld rekenen met de variabelen L, B en D in plaats van in te zien dat deze wegvallen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 1 (4 punten)

4p 10 Bereken hoeveel \(m^2\) zeiloppervlak dit skûtsje volgens formule 2016 meer mag hebben dan volgens formule 2000. Geef je antwoord in één decimaal. Bij de invoering van formule 2016 waren er ook skûtsjes die ten opzichte van formule 2000 minder zeil mochten hebben. Dit heeft te maken met de breedte van de skûtsjes.

Wat kun je verwachten: Je zult een vergelijking moeten oplossen om een onbekende variabele (D) te vinden. Daarna gebruik je deze waarde om een nieuw zeiloppervlak te berekenen en tot slot het verschil tussen twee zeiloppervlakken te bepalen. Je moet nauwkeurig werken met de formules en de juiste waarden op de juiste plek invullen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen S, L, B en D kennen en weten welke formule bij welk jaartal hoort. Je moet ook weten hoe je een lineaire vergelijking oplost en hoe je de volgorde van bewerkingen correct toepast.

Wat moet je kunnen: Je kunt een vergelijking opstellen en oplossen om de diepgang (D) te vinden. Je kunt vervolgens de berekende waarde van D, samen met de gegeven L en B, invullen in de formule voor 2016 om het nieuwe zeiloppervlak te berekenen. Tot slot kun je het verschil tussen twee waarden berekenen en je antwoord correct afronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op welke formule je gebruikt: eerst formule 2000 om D te vinden, daarna formule 2016 om het nieuwe S te berekenen.
Rond tussentijdse berekeningen, zoals de waarde van D, niet te vroeg af. Gebruik zoveel mogelijk decimalen of sla de waarde op in je rekenmachine.
Vergeet niet het uiteindelijke verschil te berekenen tussen het zeiloppervlak volgens formule 2016 en formule 2000.
Controleer of je antwoord in de juiste eenheid (m²) en met het gevraagde aantal decimalen (één decimaal) is gegeven.

Kernbegrippen: formules toepassen, vergelijking oplossen, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- rekenfouten
- verkeerd afronden
- formules door elkaar halen
- vergeten het verschil te berekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 1 (3 punten)

3p 11 Onderzoek bij welke breedte van het skûtsje de invoering van formule 2016 betekent dat dit skûtsje minder zeil mag hebben dan bij formule 2000. Geef je antwoord in meters en in twee decimalen. Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de volgende formule: \(S = (3,2525 - 0,05L) \cdot L \cdot B\) (formule IFKS) Hierin is \(S\) het maximaal toegestane zeiloppervlak in \(m^2\), \(L\) de lengte van het skûtsje en \(B\) de breedte (\(L\) en \(B\) in meters). Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van 0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 \(m^2\) groter is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.

Wat kun je verwachten: Je zult twee gegeven formules moeten vergelijken door een ongelijkheid op te stellen. Vervolgens los je deze lineaire ongelijkheid algebraïsch op om de gevraagde breedte te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de formules voor het zeiloppervlak uit de bijlage kennen en weten hoe je deze kunt gebruiken. Je moet ook de basisregels van het oplossen van lineaire ongelijkheden beheersen.

Wat moet je kunnen: Je moet een ongelijkheid kunnen opstellen op basis van een tekstuele beschrijving ('minder zeil'). Je moet algebraïsche vaardigheden hebben om deze ongelijkheid te vereenvoudigen en op te lossen. Tot slot moet je je antwoord correct afronden en de juiste eenheid toevoegen.

Waar op letten: Let goed op de vraagstelling: 'minder zeil mag hebben dan bij formule 2000'. Dit betekent dat je een ongelijkheid moet opstellen waarbij S_2016 < S_2000.
Zorg ervoor dat je de juiste formules uit de bijlage gebruikt en deze correct invult in de ongelijkheid.
Vereenvoudig de ongelijkheid zorgvuldig. Je zult zien dat veel termen wegvallen, wat het oplossen makkelijker maakt.
Wees nauwkeurig met de algebraïsche stappen bij het oplossen van de lineaire ongelijkheid. Een kleine fout kan leiden tot een verkeerd antwoord of een verkeerde richting van de ongelijkheid.
Geef je antwoord in meters en in twee decimalen, zoals gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: formules vergelijken, ongelijkheid opstellen, lineaire ongelijkheid oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde ongelijkheid opstellen (bijvoorbeeld S_2016 > S_2000 in plaats van S_2016 < S_2000).
- Algebraïsche fout bij het oplossen van de ongelijkheid ⅔ B + 1,25 < B.
- Alleen de grenswaarde (B = 3,75) geven en niet de gevraagde ongelijkheid (B > 3,75).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (3 punten)

Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van 0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 m² groter is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.
Bereken de lengte van dit skûtsje. Geef je antwoord in meters en in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een tekst met formules krijgt. Je moet de juiste formules selecteren, de gegeven waarden invullen en vervolgens een vergelijking opstellen en oplossen. Dit soort vragen test je vermogen om informatie uit een tekst te halen, formules toe te passen en algebraïsche problemen met je grafische rekenmachine op te lossen.

Wat moet je kennen: Je moet de notatie van formules kunnen lezen en begrijpen. Je moet weten hoe je een vergelijking opstelt op basis van een tekstuele beschrijving van een relatie tussen twee grootheden. Je moet ook de basisfunctionaliteiten van je grafische rekenmachine kennen voor het oplossen van vergelijkingen (bijvoorbeeld met de 'intersect'-functie).

Wat moet je kunnen: Je moet de formules voor het zeiloppervlak correct kunnen identificeren en toepassen. Je moet de gegeven breedte en diepgang correct kunnen substitueren in de formules. Je moet een vergelijking kunnen opstellen die de relatie tussen de twee zeiloppervlakken beschrijft. Tot slot moet je deze vergelijking met behulp van je grafische rekenmachine kunnen oplossen en het antwoord correct afronden.

Waar op letten: Je moet goed opletten welke formules je precies gebruikt: formule 2016 voor SKS en formule IFKS. Er staan meerdere formules in de bijlage, dus kies de juiste.
Je moet de gegeven breedte (B = 3,52 m) en diepgang (D = 0,42 m) correct invullen in de formules. Let op dat de diepgang (D) niet voorkomt in de IFKS-formule.
Je moet de vergelijking correct opstellen: 'zeiloppervlak SKS 2016 is 25 m² groter dan zeiloppervlak IFKS' betekent S_2016 = S_IFKS + 25. Let goed op waar je de '+ 25' plaatst.
Je moet de vergelijking zorgvuldig invoeren in je grafische rekenmachine. Een kleine invoerfout kan leiden tot een verkeerd antwoord.
Je moet je eindantwoord afronden op twee decimalen, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: vergelijking opstellen, formules toepassen, algebraïsche vaardigheden, numeriek oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergelijking incorrect opstellen (bv. +25 aan de verkeerde kant)
- Reken- of overschrijffouten bij het invullen van de formules
- Moeite met het oplossen van de resulterende kwadratische vergelijking zonder GR

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (4 punten)

4p 13 Geef de minimale (binnen)afmetingen van een doos waarin deze stoel past. Gebruik hierbij de uitwerkbijlage. Geef je antwoorden in hele cm.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een bouwtekening van een stoel te zien, waarschijnlijk met verschillende aanzichten (vooraanzicht, zijaanzicht, bovenaanzicht). Je moet hieruit de maximale afmetingen in de drie dimensies aflezen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een technische tekening of bouwtekening interpreteert om de uiterste afmetingen van een object te bepalen. Ook moet je weten hoe je millimeters naar centimeters omrekent.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig de grootste hoogte, breedte en diepte van de stoel kunnen aflezen van de gegeven tekening. Vervolgens moet je deze afmetingen correct kunnen omrekenen naar centimeters en afronden op hele centimeters.

Waar op letten: Je moet goed kijken naar de bouwtekening op de uitwerkbijlage om de uiterste punten van de stoel in alle drie de richtingen (hoogte, breedte, diepte) te vinden. Soms zijn er uitstekende delen die je niet direct verwacht.
Let goed op de eenheden die op de tekening worden gebruikt (waarschijnlijk millimeters) en zorg ervoor dat je deze correct omrekent naar centimeters, zoals gevraagd in de vraag.
Rond je antwoorden af op hele centimeters, zoals de vraag expliciet aangeeft. Dit betekent dat je na het omrekenen naar centimeters, moet afronden naar het dichtstbijzijnde hele getal.
Verwar de hoogte, breedte en diepte niet met elkaar. Visualiseer de stoel in een denkbeeldige doos en bepaal welke afmeting bij welke richting hoort.

Kernbegrippen: ruimtelijk inzicht, afmetingen bepalen, bouwtekening lezen, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten om te rekenen van mm naar cm.
- Verkeerd interpreteren van de bouwtekening om de maximale afmetingen (bounding box) te vinden.
- Verwisselen van hoogte, breedte en diepte.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (4 punten)

4p 14 Op de uitwerkbijlage staat een foto van een Berlijnse stoel. Deze stoel heeft een hoogte van 106 cm. De horizon loopt op deze foto horizontaal. Onderzoek met behulp van de foto op de uitwerkbijlage op welke hoogte de foto genomen is. Geef je antwoord in hele cm.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een foto van een object en de werkelijke hoogte van dat object. Je moet de principes van perspectieftekenen toepassen om de horizon te bepalen en vervolgens met behulp van metingen op de foto de werkelijke hoogte van de camera te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een verdwijnpunt en een horizon zijn in perspectieftekenen. Je moet ook weten dat de hoogte van de horizon overeenkomt met de ooghoogte of camerahoeveelheid. Daarnaast moet je bekend zijn met het werken met verhoudingen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om op een foto parallelle, weglopende lijnen te identificeren en deze nauwkeurig door te trekken om een verdwijnpunt te vinden. Je moet een horizontale lijn door dit verdwijnpunt kunnen tekenen om de horizon te bepalen. Vervolgens moet je nauwkeurig metingen kunnen verrichten op de foto en deze metingen gebruiken om een correcte verhouding op te stellen en de gevraagde hoogte te berekenen. Tot slot rond je je antwoord af op hele centimeters.

Waar op letten: Nauwkeurigheid is cruciaal: trek de lijnen zo precies mogelijk door om het verdwijnpunt te bepalen. Kleine afwijkingen hier kunnen leiden tot een significant ander resultaat.
Let op de juiste verhouding: de verhouding van de hoogte van de horizon tot de totale hoogte van de stoel op de foto moet je correct toepassen op de werkelijke hoogte van de stoel. Denk goed na welke meting je deelt door welke.
Vergeet niet de eenheid: je antwoord moet in hele centimeters gegeven worden, dus rond je uiteindelijke berekening correct af.
Gebruik een liniaal: voor het doortrekken van lijnen en het meten op de foto is een liniaal onmisbaar voor de benodigde precisie.
De horizon is altijd horizontaal: ook al lijkt de stoel scheef te staan, de horizon zelf is een rechte, horizontale lijn door het verdwijnpunt.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, horizon, schaalrekenen, verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Onnauwkeurig meten op de foto.
- Verkeerde lijnen doortrekken om het verdwijnpunt te vinden.
- De verhouding verkeerd opstellen (bijv. 5,2/1,0 i.p.v. 1,0/5,2).
- Vergeten het antwoord af te ronden op hele centimeters.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 1 (4 punten)

4p 15 Op de uitwerkbijlage staat een perspectieftekening van de Berlijnse stoel. In deze tekening zijn er meerdere dingen die niet juist getekend zijn. Noem twee dingen in de tekening die volgens de regels van het perspectief niet juist getekend zijn. Licht je antwoord toe met behulp van de uitwerkbijlage. .docx

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekening waarbij je de principes van perspectieftekenen moet toepassen. Je moet visueel analyseren of de lijnen correct naar verdwijnpunten lopen en of deze verdwijnpunten logisch zijn geplaatst volgens de regels van éénpunts- of meerpunts-perspectief. Je moet specifiek twee fouten identificeren en uitleggen waarom ze fout zijn.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van perspectieftekenen kennen, met name hoe evenwijdige lijnen in de werkelijkheid samenkomen in een verdwijnpunt op de horizon in een perspectieftekening. Je moet weten dat alle evenwijdige lijnen die van je af lopen, naar hetzelfde verdwijnpunt convergeren.

Wat moet je kunnen: Je kunt verdwijnlijnen construeren door bestaande lijnen in de tekening door te trekken. Je kunt verdwijnpunten identificeren en controleren of gerelateerde lijnen naar hetzelfde verdwijnpunt lopen. Je kunt je bevindingen duidelijk toelichten op de uitwerkbijlage door lijnen te tekenen en punten te markeren.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je twee *verschillende* fouten benoemt, niet twee keer dezelfde fout in andere bewoordingen.
Licht je antwoord *altijd* toe met behulp van de uitwerkbijlage. Dit betekent dat je lijnen moet tekenen en/of punten moet markeren om je argument te ondersteunen.
Wees specifiek in je toelichting: welke lijnen horen bij elkaar en waarom lopen ze niet naar hetzelfde verdwijnpunt, of waarom is een verdwijnpunt verkeerd geplaatst?
Controleer of je de horizonlijn kunt identificeren of construeren, aangezien verdwijnpunten hierop liggen.
Denk eraan dat in een éénpunts-perspectief alle lijnen die loodrecht op het beeldvlak staan, naar één centraal verdwijnpunt lopen.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, verdwijnlijnen, horizon

Veelgemaakte fouten:
- Niet specifiek genoeg toelichten waarom een onderdeel fout is getekend.
- Slechts één fout benoemen in plaats van de gevraagde twee.
- Vergeten de toelichting te ondersteunen door lijnen te tekenen op de uitwerkbijlage.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 1 (3 punten)

3p 16 Bereken met behulp van de figuur zijn tijd in seconden op de eerste 300 meter. Geef je antwoord in één decimaal. In de figuur is goed te zien dat de rondetijden van Kjeld Nuis steeds toenemen. Deze toename per ronde wordt het verval genoemd. Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat het verval van Kjeld Nuis in de tweede ronde 1,6 seconden was. Amateurschaatser Piet Versnel schaatst de 3000 meter. Deze afstand bestaat uit een eerste deel van 200 meter en daarna nog zeven volledige ronden van elk 400 meter. Hij schaatst zijn eerste volledige ronde in 40,0 seconden. Het verval is iedere ronde 0,4 seconden. De rondetijden van de volledige ronden van Piet vormen een rij. De rondetijd in seconden van de \(n\)-de volledige ronde noteren we als \(R_n\).

Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek moeten aflezen en vervolgens een eenvoudige berekening moeten uitvoeren. Je moet goed letten op de eenheden en de gevraagde precisie van het antwoord.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens nauwkeurig afleest uit een lijngrafiek. Je moet ook weten hoe je met tijdseenheden rekent, met name het omzetten van minuten en seconden naar alleen seconden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de rondetijden van Kjeld Nuis aflezen uit de grafiek. Je kunt de totale tijd van 1.44,0 omzetten naar seconden. Je kunt vervolgens de tijd voor de eerste 300 meter berekenen door de afgelezen rondetijden van het totaal af te trekken. Je kunt je antwoord afronden op één decimaal.

Waar op letten: Lees de rondetijden van Kjeld Nuis zo nauwkeurig mogelijk af uit de grafiek. Gebruik de rasterlijnen als hulpmiddel.
Let goed op de eenheden. De totale tijd is gegeven in minuten en seconden (1.44,0), maar de rondetijden in de grafiek zijn in seconden. Zorg ervoor dat je alles omrekent naar seconden voordat je gaat rekenen.
Rond je antwoord pas op het allerlaatste moment af op één decimaal, zoals gevraagd in de vraagstelling. Voorkom tussentijds afronden om afrondingsfouten te minimaliseren.
Controleer of je de juiste rondetijden gebruikt voor de berekening van de eerste 300 meter. De vraag is specifiek over de eerste 300 meter, niet over een hele ronde.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, rekenen met tijdseenheden, contextopgave

Veelgemaakte fouten:
- afleesfout
- omrekenfout tijd
- rekenfout

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (3 punten)

In de figuur is goed te zien dat de rondetijden van Kjeld Nuis steeds toenemen. Deze toename per ronde wordt het verval genoemd. Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat het verval van Kjeld Nuis in de tweede ronde 1,6 seconden was.
Amateurschaatser Piet Versnel schaatst de 3000 meter. Deze afstand bestaat uit een eerste deel van 200 meter en daarna nog zeven volledige ronden van elk 400 meter. Hij schaatst zijn eerste volledige ronde in 40,0 seconden. Het verval is iedere ronde 0,4 seconden. De rondetijden van de volledige ronden van Piet vormen een rij.
De rondetijd in seconden van de n-de volledige ronde noteren we als R_n.

Stel een recursieve formule op van deze rij.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een recursieve formule moet opstellen voor een rij van rondetijden. Dit betekent dat je een verband moet vinden tussen een term en de direct voorgaande term, en een startwaarde moet geven.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een recursieve formule kennen en weten hoe je deze toepast op een situatie waarin een waarde elke stap met een vast bedrag verandert (een rekenkundige rij).

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de tekst kunnen vertalen naar de juiste symbolen en relaties. Je moet de startwaarde kunnen identificeren en de regel voor de toename per stap correct kunnen formuleren.

Waar op letten: Let goed op de notatie: R_n voor de n-de rondetijd en R_{n-1} voor de voorgaande rondetijd.
Vergeet niet de startwaarde (de eerste term van de rij) te vermelden; een recursieve formule is niet compleet zonder.
Controleer of je een recursieve formule opstelt en niet per ongeluk een directe formule (waarbij je R_n uitdrukt in n).
Let op de eenheden en de precisie: de tijden zijn in seconden en de toename is 0,4 seconden.

Kernbegrippen: recursieve formule, rekenkundige rij

Veelgemaakte fouten:
- directe formule verwarren met recursieve formule
- startterm vergeten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (4 punten)

De directe formule die bij de rondetijden van de volledige ronden van Piet hoort, is:
R_n = 40,0 + 0,4 ⋅ (n−1) (formule 1)
Uitgaande van gelijkblijvend verval per ronde, kan de eindtijd T in seconden van schaatsers worden berekend met de formule:
T = E + ½ ⋅ (R_1 + R_a) ⋅ a (formule 2)
Hierin is E de tijd in seconden over de eerste 200 meter, R_1 de rondetijd van de eerste volledige ronde, R_a de rondetijd van de laatste ronde en a het aantal volledige ronden.
De tijd over de eerste 200 meter van Piet Versnel op de 3000 meter is 24,2 seconden. Daarna verlopen zijn rondetijden volgens formule 1.

4p 18 Bereken de gemiddelde snelheid van Piet op de 3000 meter. Geef je antwoord in kilometers per uur en in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult verschillende stappen moeten doorlopen. Eerst bereken je een specifieke rondetijd met de ene formule, daarna gebruik je die uitkomst in een andere formule om de totale tijd te vinden. Tot slot bereken je de gemiddelde snelheid en zet je de eenheid om.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule (formule 1) gebruikt om een term in een rij te vinden. Je moet ook weten hoe je een gegeven formule (formule 2) correct invult met de juiste waarden. Verder moet je de basisformule voor snelheid (afstand/tijd) kennen en hoe je eenheden omrekent van meters per seconde (m/s) naar kilometers per uur (km/u).

Wat moet je kunnen: Je kunt de waarde van 'a' (aantal volledige ronden) bepalen voor een 3000 meter race. Je kunt de rondetijd van de laatste ronde (R_a) berekenen met formule 1. Je kunt alle benodigde waarden correct invullen in formule 2 om de totale tijd T te vinden. Je kunt de gemiddelde snelheid berekenen en deze omrekenen naar de gevraagde eenheid (km/u) en het antwoord in één decimaal geven.

Waar op letten: Let goed op het aantal volledige ronden (a). Een 3000 meter race heeft een start van 200 meter en daarna ronden van 400 meter. Hoeveel ronden zijn dat precies?
Zorg ervoor dat je de juiste waarden voor R_1 en R_a gebruikt in formule 2. R_1 is de eerste volledige ronde, R_a is de laatste volledige ronde.
Vergeet de starttijd E niet mee te nemen in de totale tijd T. Deze is cruciaal voor de correcte berekening.
Rond niet te vroeg af! Gebruik de onafgeronde waarden in je berekeningen en rond pas op het allerlaatste moment af naar één decimaal.
Let goed op de eenheden. De snelheid moet uiteindelijk in kilometers per uur (km/u) worden gegeven, terwijl je waarschijnlijk eerst meters per seconde (m/s) berekent. Weet hoe je deze omrekening correct uitvoert (vermenigvuldigen met 3,6).

Kernbegrippen: rekenkundige rij, directe formule, formules toepassen, snelheid berekenen, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal ronden gebruiken (het zijn 7 volledige ronden, niet 3000/400).
- Vergeten de snelheid om te rekenen van m/s naar km/h.
- Reken- of afrondingsfouten bij de tussenstappen.
- De starttijd E vergeten mee te nemen in de berekening van de totale tijd T.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (3 punten)

Door flink te trainen heeft Piet op de 3000 meter zijn tijd over de eerste 200 meter verbeterd tot 23,3 seconden. Hij schaatst zijn eerste volledige ronde nu in 38,4 seconden en zijn verval v is iedere ronde constant.
Met behulp van deze gegevens en formule 2 kan de volgende formule voor de eindtijd T in seconden worden opgesteld:
T = 292,1 + 21 · v (formule 3)
Hierin is v het verval in seconden.
3p 19 Laat zien hoe formule 3 kan worden opgesteld.

Wat kun je verwachten: Je gaat een bestaande formule aanpassen met nieuwe gegevens. Dit betekent dat je de variabelen in de formule 2 moet identificeren en de gegeven waarden en relaties (zoals het constante verval) correct moet invullen. Vervolgens herleid je de uitdrukking algebraïsch om de gevraagde formule te verkrijgen.

Wat moet je kennen: Je moet de structuur van rekenkundige rijen kennen, met name hoe een term in een rij zich verhoudt tot de eerste term en het constante verschil (verval). Je moet ook weten hoe je algebraïsche uitdrukkingen herleidt, inclusief het werken met haakjes en breuken.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste waarden en uitdrukkingen substitueren in een gegeven formule. Je kunt algebraïsche bewerkingen uitvoeren om een formule te vereenvoudigen en te herleiden naar de gewenste vorm. Je kunt logisch redeneren over het aantal keer dat het verval optreedt in de laatste ronde.

Waar op letten: Let goed op het aantal rondes en hoe het verval zich opbouwt. De eerste ronde heeft geen verval, de tweede ronde heeft 1 keer het verval, enzovoort. Hoeveel keer verval heeft dan de zevende (laatste) ronde ten opzichte van de eerste?
Zorg ervoor dat je alle onderdelen van formule 2 correct invult. Wat is de starttijd (E)? Wat is de eerste rondetijd (R1)? Wat is het aantal rondes (a)? En hoe druk je de laatste rondetijd (Ra) uit in termen van R1 en het verval (v)?
Voer de algebraïsche herleiding stap voor stap en nauwkeurig uit. Let op de volgorde van bewerkingen (haakjes eerst, dan vermenigvuldigen, dan optellen).
Controleer of je eindresultaat exact overeenkomt met de gevraagde formule 3. Een kleine rekenfout kan leiden tot een afwijkende constante of coëfficiënt.

Kernbegrippen: rekenkundige rijen, formules substitueren, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect bepalen van het aantal termijnen voor het verval; de laatste (7e) ronde heeft een toename van 6 keer het verval ten opzichte van de eerste ronde, niet 7 keer.
- Reken- of algebrafouten bij het herleiden van de formule, bijvoorbeeld bij het wegwerken van de haakjes of de breuk.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (4 punten)

4p 20 Piet wil graag het record van zijn schaatsvereniging op de 3000 meter verbeteren. Dat record staat op 4.59,5 (4 minuten en 59,5 seconden). Bereken met behulp van formule 3 hoe groot het verval van Piet maximaal mag zijn om het record te verbeteren. Geef je antwoord in seconden en in één decimaal. .docx

Wat kun je verwachten: Je zult een lineaire vergelijking moeten opstellen en oplossen. Je moet ook nauwkeurig zijn met het omrekenen van tijdseenheden en het afronden van je antwoord.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je minuten en seconden omrekent naar een totaal aantal seconden. Je moet ook de basisprincipes van het oplossen van lineaire vergelijkingen kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen toepassen, een vergelijking kunnen opstellen door de recordtijd gelijk te stellen aan de formule, en deze vergelijking vervolgens kunnen oplossen voor de onbekende variabele (v). Tot slot moet je je antwoord correct kunnen afronden.

Waar op letten: Je moet de recordtijd van 4 minuten en 59,5 seconden eerst volledig omrekenen naar seconden voordat je deze in de formule gebruikt. Let goed op de conversie van minuten naar seconden.
Je moet goed begrijpen wat 'het record verbeteren' betekent in de context van tijden. Een lagere tijd is beter, dus je zoekt naar een verval dat resulteert in een tijd die kleiner is dan het record, of hooguit gelijk aan het record als het om het 'verbeteren' gaat.
Je moet de lineaire vergelijking correct oplossen om de waarde van v te vinden.
Je moet het uiteindelijke antwoord afronden op één decimaal, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: lineaire vergelijking oplossen, formule toepassen, eenheden omrekenen (tijd), afronden

Veelgemaakte fouten:
- Tijd niet correct omrekenen naar seconden.
- Verkeerd afronden.
- Verkeerd interpreteren van 'record verbeteren' (een lagere tijd is beter, dus een kleiner verval is nodig).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (2 punten)

2p 21 Vertaal deze laatste bewering in een gewone zin. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina. .docx

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logische bewering voorgelegd die je moet omzetten naar een begrijpelijke Nederlandse zin. Dit vereist dat je de logische symbolen en de context van de schakeling correct interpreteert.

Wat moet je kennen: Je moet de basislogica kennen, specifiek de symbolen voor conjunctie (∧, 'en'), implicatie (⇒, 'als...dan...') en negatie (¬, 'niet'). Ook moet je de betekenis van de afkortingen in de context van de schakeling (zoals A2, B1, L) begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet een logische formule kunnen ontleden in zijn componenten en elk component correct kunnen vertalen naar een deel van een Nederlandse zin. Vervolgens moet je deze delen logisch en grammaticaal correct samenvoegen tot één coherente zin die de oorspronkelijke bewering nauwkeurig weergeeft.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van elk logisch symbool. Wat betekent '∧', wat betekent '⇒', en wat betekent '¬' in deze context?
Zorg ervoor dat je de implicatie ('als...dan...') correct formuleert. De volgorde van de delen is hierbij cruciaal.
Vergeet niet de context van de schakelaars en de lamp mee te nemen in je vertaling. 'A2' is niet zomaar 'A2', maar 'schakelaar A in stand 2'.
Controleer of je vertaling van '¬L' inderdaad 'de lamp is uit' betekent, en niet 'de lamp is aan' of iets anders.

Kernbegrippen: logisch redeneren, vertalen van logische symbolen, conjunctie, negatie, implicatie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten een deel van de logische formule te vertalen (bijv. alleen de conjunctie of alleen de implicatie).
- De symbolen verkeerd interpreteren, bijvoorbeeld ∧ als 'of' lezen, of ¬L als 'lamp aan' lezen.
- De context van de schakelaars niet meenemen in de vertaling.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 1 (3 punten)

In hotels wordt ook weleens gebruikgemaakt van de zogenaamde slaapkamerschakeling. Deze schakeling is bedoeld om in een hotelkamer de plafondlamp óf de lamp in de badkamer aan te doen. De twee lampen kunnen nooit gelijktijdig aan zijn.

Bij de slaapkamerschakeling wordt gebruikgemaakt van drie schakelaars. De eerste twee schakelaars (A en B) vormen samen een hotelschakeling: één bij de deur en één bij het bed. De derde schakelaar (C) wordt in de badkamer geplaatst. Deze derde schakelaar dient als keuzeschakelaar tussen de plafondlamp (lamp 1) en de lamp in de badkamer (lamp 2). In figuur 3 is dit schematisch weergegeven.
We noteren L1 voor de situatie dat lamp 1 aan is en L2 voor de situatie dat lamp 2 aan is.
In de situatie van figuur 3 geldt dan: (A1 ∧ B1 ∧ C1) ⇒ L1.

Er zijn twee verschillende standen van de drie schakelaars die ervoor zorgen dat lamp 2 aan is.
Noteer die twee manieren in logische symbolen en combineer deze vervolgens tot één formule van de vorm: ... ⇒ L2.

Wat kun je verwachten: Je zult de werking van een elektrische schakeling moeten analyseren en deze vertalen naar logische symbolen. Je moet de voorwaarden voor het aangaan van een specifieke lamp identificeren en deze combineren tot een logische implicatie.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen, inclusief de betekenis van conjunctie (∧, 'en'), disjunctie (∨, 'of') en implicatie (⇒, 'als... dan...'). Je moet ook in staat zijn om een schematische weergave van een schakeling te interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de stroomloop in figuur 3 volgen voor verschillende standen van de schakelaars A, B en C. Je kunt de combinaties van schakelaarstanden identificeren die leiden tot het aangaan van lamp 2. Je kunt deze combinaties vervolgens correct omzetten in logische expressies en deze combineren tot één implicatie.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen hoe de hotelschakeling (schakelaars A en B) werkt: de lamp gaat aan als A en B in dezelfde stand staan (beide 1 of beide 2).
Je moet de functie van schakelaar C correct interpreteren: deze kiest welke lamp aan gaat, mits de stroomkring via A en B gesloten is.
Je moet beide mogelijke combinaties van A en B vinden die de stroom doorlaten naar schakelaar C, én de juiste stand van C voor lamp 2.
Je moet de twee gevonden combinaties correct verbinden met het juiste logische symbool (en/∧ of of/∨). Denk goed na of het 'en' of 'of' is.
Je moet de uiteindelijke formule correct noteren in de gevraagde vorm: '... ⇒ L2'.

Kernbegrippen: logisch redeneren, formele logica, conjunctie, disjunctie, implicatie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van een van de twee mogelijke combinaties die lamp 2 aanzetten.
- Incorrect combineren van de twee mogelijkheden, bijvoorbeeld met een conjunctie (∧) in plaats van een disjunctie (∨).
- Foutief afleiden van de schakelaarstanden; de stroom loopt naar lamp 2 als C in stand 2 staat en A en B in dezelfde stand staan.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/22

## Vraag 23 – Opgave 1 (4 punten)

In hotels wordt ook weleens gebruikgemaakt van de zogenaamde slaapkamerschakeling. Deze schakeling is bedoeld om in een hotelkamer de plafondlamp óf de lamp in de badkamer aan te doen. De twee lampen kunnen nooit gelijktijdig aan zijn.
Bij de slaapkamerschakeling wordt gebruikgemaakt van drie schakelaars. De eerste twee schakelaars (A en B) vormen samen een hotelschakeling: één bij de deur en één bij het bed. De derde schakelaar (C) wordt in de badkamer geplaatst. Deze derde schakelaar dient als keuzeschakelaar tussen de plafondlamp (lamp 1) en de lamp in de badkamer (lamp 2). In figuur 3 is dit schematisch weergegeven.
We noteren L1 voor de situatie dat lamp 1 aan is en L2 voor de situatie dat lamp 2 aan is.
In de situatie van figuur 3 geldt dan: (A1 ∧ B1 ∧ C1) ⇒ L1.
We nemen aan dat je aan de buitenkant van een schakelaar niet kan zien of deze in stand 1 of stand 2 staat. Verder nemen we aan dat de schakelaars niet kapot zijn.
We bekijken de volgende situatie van een slaapkamerschakeling waarin ten minste één lamp kapot is.
Iemand komt een donkere hotelkamer in en zet schakelaar A om, maar beide lampen blijven uit. In dat geval is er minstens één lamp kapot. Om te achterhalen welke lamp kapot is, of dat zelfs beide lampen kapot zijn, zet zij schakelaar C om. Er zijn dan twee mogelijkheden: er is meteen duidelijk wat er aan de hand is, of er moet nog een andere schakelaar worden omgezet om te achterhalen wat er aan de hand is.
Beredeneer hoe je er na het omzetten van schakelaar C en eventueel nog een andere schakelaar achter kunt komen welke lamp kapot is of welke lampen kapot zijn.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een logische redenering moet opbouwen aan de hand van een beschreven situatie en een schematische weergave. Je moet stap voor stap de gevolgen van handelingen analyseren en daaruit conclusies trekken.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van een hotelschakeling en een keuzeschakeling kennen, zoals weergegeven in de figuren. Je moet ook weten hoe je een logische redenering opbouwt door middel van gevalsonderscheiding.

Wat moet je kunnen: Je moet een complexe tekst kunnen ontleden en de relevante informatie eruit filteren. Je moet een schematische weergave kunnen interpreteren. Je moet logisch kunnen redeneren en alle mogelijke scenario's systematisch kunnen doorlopen om tot een volledige conclusie te komen.

Waar op letten: Je moet alle mogelijke scenario's systematisch doorlopen. Begin met de eerste actie (schakelaar C omzetten) en splits de analyse op basis van de uitkomst (lamp aan of lamp uit).
Je moet goed onderscheid maken tussen de functie van schakelaars A en B (hotelschakeling) en schakelaar C (keuzeschakelaar tussen lamp 1 en lamp 2).
Je moet de aanname dat 'minstens één lamp kapot is' meenemen in je redenering. Dit betekent dat de situatie 'beide lampen heel' niet mogelijk is.
Je moet expliciet benoemen welke lamp kapot is (of welke lampen kapot zijn) bij elke conclusie die je trekt.
Je moet de initiële situatie (donkere kamer, schakelaar A omgezet, beide lampen blijven uit) als startpunt van je redenering gebruiken.

Kernbegrippen: logisch redeneren, casuïstiek, probleemanalyse, gevalsonderscheiding

Veelgemaakte fouten:
- Onvolledige analyse van alle mogelijke scenario's.
- Vergeten van de mogelijkheid dat beide lampen kapot zijn.
- Verwarring over de functie van de verschillende schakelaars (A/B vs C).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-2/vraag/23

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-22-2-o

### Pagina 2

Ballonnen

Bij feestwinkel De Zevenklapper zijn heliumballonnen te koop. De ballonnen worden in de winkel door een speciale machine gevuld met een mengsel van helium en lucht, beter bekend als ballongas.

Ballongas wordt verkocht in cilinders die op een vulmachine kunnen worden aangesloten. Het voordeel van een vulmachine is dat het opblazen van de ballonnen heel snel gaat, maar het nadeel is dat er bij het vullen nog weleens wat ballongas verloren gaat.

Een medewerker van De Zevenklapper weet uit ervaring dat de vulmachine met een cilinder, gevuld met 0,5 m³ ballongas, precies 52 ballonnen kan vullen met 9 dm³ ballongas.

3p 1 Bereken hoeveel procent van het ballongas verloren gaat tijdens het vullen van deze 52 ballonnen met de vulmachine. Geef je antwoord in één decimaal.

Als er te veel ballongas in een ballon geblazen wordt, zal deze op een bepaald moment knappen. Dat komt doordat de latex waarvan de ballon is gemaakt dan zo veel uitgerekt is, dat deze kapotgaat.

Het is lastig om precies op het goede moment een foto te maken waarop een ballon knapt, zoals de foto hiernaast. Hiervoor maakt men een filmpje van het opblazen en knappen van de ballon. Dan wordt het filmbeeld gezocht waarop het knappen te zien is.
Met een goede camera kunnen 250, 420 of 1000 beelden per seconde worden gemaakt.

4p 2 Stel dat het knappen van een ballon 3 milliseconden duurt. Onderzoek bij de drie bovengenoemde filmbeeldsnelheden of het knappen van de ballon altijd op een filmbeeld te zien is.

[FIGUUR: Een foto van een man die een ballon opblaast en deze waarschijnlijk laat knappen.]

VW-1026-a-22-2-o 2 / 14 lees verder

### Pagina 3

Latex is niet helemaal luchtdicht, waardoor ballonnen langzaam
leeglopen. Hoe snel dat gaat, hangt af van veel factoren. In het vervolg
van deze opgave gaan we ervan uit dat voor de hoeveelheid ballongas $H$
in dm$^3$ van een ballon die werd gevuld met 9 dm$^3$ ballongas geldt:
$$H = 9 \cdot 0,98^t$$ met $t$ de tijd in uren nadat de ballon is opgeblazen.
2p 3 Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid ballongas per dag afneemt.
Geef je antwoord in hele procenten.
Een ballon zal niet meer zweven als 30% van het ballongas uit de ballon
verdwenen is. De zevenklapper biedt de mogelijkheid om de ballonnen te
bewerken met een zogenoemde hi-floatcoating, waardoor de ballonnen
langer blijven zweven. De ballonnen worden dan voorzien van een
speciale laag gel, waardoor er per uur nog maar 1% lucht uit wegloopt.
Onderzoek hoeveel uur een ballon met de hi-floatcoating langer zweeft
dan een ballon die niet met de hi-floatcoating bewerkt is. Geef je
antwoord in hele uren.
4p 4
VW-1026-a-22-2-0
3/14
lees verder

### Pagina 4

Supermaan

De maan beweegt in een baan om de aarde. Deze baan is niet volmaakt cirkelvormig. Hierdoor staat de maan niet altijd even dicht bij de aarde. Het punt waar de maan het dichtst bij de aarde staat heet perigeum en het punt waar deze afstand het grootst is heet apogeum. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Schematische weergave van de aarde met de maan in een baan eromheen. De baan is elliptisch, niet perfect cirkelvormig. De posities perigeum (dichtstbij) en apogeum (verst weg) zijn aangegeven.]

figuur 2
maan
diameter = 3500 km
aarde
diameter = 12 700 km
minimale afstand
aardoppervlak-
maanoppervlak
maximale afstand
aardoppervlak-
maanoppervlak
perigeum
363 000 km
406 000 km
apogeum

2p 5 Bereken met behulp van de afmetingen in figuur 2 de minimale afstand en de maximale afstand in km van het aardoppervlak tot het maanoppervlak.

VW-1026-a-22-2-o
lees verder ►►►

### Pagina 5

Afhankelijk van de positie van de maan ten opzichte van de aarde en de
zon zien we een groter of kleiner deel van de verlichte kant van de maan.
Gemiddeld één keer per 29,53 dagen is de verlichte maan helemaal
zichtbaar. We noemen dat volle maan.

Er is een supermaan als het volle maan is op dezelfde dag dat de maan
in het perigeum staat. Doordat de maan in gemiddeld 27,55 dagen om de
aarde draait, komt dit niet vaak voor.

Je kunt berekenen hoeveel dagen er steeds tussen twee supermanen
zitten door de periode van zowel de volle maan als van het perigeum te
bekijken. In de tabel is daar een begin mee gemaakt. In de tweede en
derde kolom zie je het aantal dagen na een supermaan.

tabel
[FIGUUR: Tabel met kolommen 'periode', 'aantal dagen na een supermaan', 'volle maan', 'perigeum' en rijen met periode 1 t/m 11 met bijbehorende waarden.]

De eerste drie volle manen vallen op de 30e, 59e en 89e dag, terwijl de
maan op de 28e, 55e en 83e dag in het perigeum staat. Gedurende de
eerste 89 dagen na een supermaan vallen de twee verschijnselen dus
nooit op dezelfde dag en is er dus ook geen supermaan.

Door de tabel uit te breiden en verder in te vullen kun je onderzoeken
hoeveel dagen het duurt voordat er weer een supermaan is.
4p 6 Voer dit onderzoek uit.

VW-1026-a-22-2-o 5 / 14 lees verder

### Pagina 6

In de praktijk wordt er een ruimere definitie voor een supermaan gebruikt:

Een supermaan doet zich voor als het volle maan is en als de maan dicht bij de aarde staat. Dat is zo, als de afstand van het middelpunt van de maan tot het middelpunt van de aarde minder dan 360 000 kilometer is.

Deze ruimere definitie van een supermaan leidt ertoe dat er soms meerdere supermanen in een jaar kunnen voorkomen. In 2016 waren er zelfs drie!

De minimale afstand van het middelpunt van de aarde tot het middelpunt van de maan is in werkelijkheid erg variabel. De in figuur 2 vermelde afstand van 363 000 km is de gemiddelde afstand in het perigeum. In figuur 3 zie je in de grafiek de werkelijke afstand in km van het middelpunt van de maan tot het middelpunt van de aarde in het jaar 2016.

figuur 3 afstand middelpunt maan - middelpunt aarde in 2016 (in km)
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de afstand in kilometers (variërend van 350 000 tot 410 000) en op de x-as de maanden van het jaar 2016 (januari tot december). De grafiek toont een golvende lijn die meerdere pieken en dalen laat zien, die periodiek terugkeren.]

De eerste drie volle manen van 2016 zijn in de grafiek aangegeven met een zwarte stip. We gaan er weer van uit dat er eens in de 29,53 dagen een volle maan is.

Zoals eerder vermeld waren er in 2016 precies drie supermanen. Figuur 3 is niet nauwkeurig genoeg om de data af te lezen waarop de supermanen voorkwamen. Maar met behulp van deze figuur en de ruimere definitie voor een supermaan kan wel worden beredeneerd in welke maanden van 2016 de drie supermanen zijn voorgekomen.
4p 7 Beredeneer met behulp van figuur 3 in welke drie maanden er een supermaan moet zijn voorgekomen in 2016.

VW-1026-a-22-2-o.docx 6 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Skûtsjesilen

Elk jaar vindt in Friesland het skûtsjesilen plaats. Dit zijn zeilwedstrijden met oude vrachtschepen, skûtsjes genaamd. Er zijn twee organisaties die deze wedstrijden organiseren: de SKS¹ en de IFKS².

[FIGUUR: Een groep skûtsjes met zeilen, zeilend op het water.]

Voor het jaarlijkse SKS-kampioenschap worden 11 wedstrijden gezeild, waaraan 14 skûtsjes meedoen. Voor elke wedstrijd krijgen de skûtsjes punten in volgorde van aankomst. De winnaar krijgt 0,9 punt. Nummer twee krijgt 2 punten, nummer drie krijgt 3 punten, enzovoort. Zie de tabel.

| uitslag   | punten |
| :-------- | :----- |
| winnaar   | 0,9    |
| 2e plaats | 2      |
| 3e plaats | 3      |
| ...       | ...    |
| 14e plaats| 14     |

Na afloop van de 11 wedstrijden wordt voor elk skûtsje het slechtste resultaat geschrapt. De punten van de overige 10 wedstrijden worden per skûtsje bij elkaar opgeteld. Het skûtsje dat dan de minste punten heeft, is kampioen.

3p 8 Onderzoek of het theoretisch mogelijk is dat elk skûtsje in de einduitslag een geheel aantal punten heeft.

noot 1 SKS = Sintrale Kommisie Skûtsjesilen
noot 2 IFKS = Iepen Fryske Kampioenskippen Skûtsjesilen

VW-1026-a-22-2-o.docx 7 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

De afmetingen van de deelnemende skûtsjes zijn niet identiek. Om er toch
een eerlijke wedstrijd van te maken, wordt voor elk skûtsje het maximaal
toegestane zeiloppervlak berekend.

In eerste instantie rekende de SKS met formule Amels, maar deze
formule is in 2000 aangepast en opnieuw aangepast in 2016:
$S = 1,90 \cdot L \cdot \sqrt[2]{B+2D}$ (formule Amels)
$S = 2,15 \cdot L \cdot \sqrt[2]{B+2D}$ (formule 2000)
$S = 2,15 \cdot L \cdot \sqrt[3]{B+1,25+2D}$ (formule 2016)

Hierin is $S$ het maximaal toegestane zeiloppervlak in m², $L$ de lengte van
het skûtsje, $B$ de breedte en $D$ de diepgang ($L$, $B$ en $D$ in meters).

De invoering van formule 2000 had tot gevolg dat elk skûtsje hetzelfde
percentage extra zeil mocht hebben.
2p 9 Bereken het percentage extra zeil dat elk skûtsje van formule 2000 mag
hebben ten opzichte van formule Amels. Geef je antwoord in hele
procenten.

Een van de skûtsjes is 17,13 m lang en 3,57 m breed en mag volgens
formule 2000 een maximaal zeiloppervlak van 160,2 m² hebben.
4p 10 Bereken hoeveel m² zeiloppervlak dit skûtsje volgens formule 2016 meer
mag hebben dan volgens formule 2000. Geef je antwoord in één
decimaal.

Bij de invoering van formule 2016 waren er ook skûtsjes die ten opzichte
van formule 2000 minder zeil mochten hebben. Dit heeft te maken met de
breedte van de skûtsjes.
3p 11 Onderzoek bij welke breedte van het skûtsje de invoering van formule
2016 betekent dat dit skûtsje minder zeil mag hebben dan bij formule
2000. Geef je antwoord in meters en in twee decimalen.

Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het
maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de
volgende formule:
$$S = (3,2525 - 0,05L) \cdot L \cdot B$$ (formule IFKS)

Hierin is $S$ het maximaal toegestane zeiloppervlak in m², $L$ de lengte van
het skûtsje en $B$ de breedte ($L$ en $B$ in meters).

Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van
0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 m² groter
is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.
3p 12 Bereken de lengte van dit skûtsje. Geef je antwoord in meters en in twee
decimalen.

VW-1026-a-22-2-o.docx 8 / 14 lees verder

### Pagina 9

Berlijnse stoel
Gerrit Rietveld (1888-1964) was een belangrijke kunstenaar van de kunststroming De Stijl. In 1923 ontwierp hij de Berlijnse stoel. Zie de foto.
De Berlijnse stoel bestaat uit acht houten planken. De stoel wordt nog steeds door meerdere fabrikanten gemaakt, niet altijd met dezelfde afmetingen.

foto
[FIGUUR: Een foto van de Berlijnse stoel, een stoel met een geometrische vorm, bestaande uit rechte, gekleurde houten planken, met een zwarte rugleuning en zitting, en rode, blauwe en gele armleuningen en poten.]

Op de uitwerkbijlage zie je een bouwtekening, met alle afmetingen in mm.
4p 13 Geef de minimale (binnen)afmetingen van een doos waarin deze stoel past. Gebruik hierbij de uitwerkbijlage. Geef je antwoorden in hele cm.

Op de uitwerkbijlage staat een foto van een Berlijnse stoel. Deze stoel heeft een hoogte van 106 cm. De horizon loopt op deze foto horizontaal.
4p 14 Onderzoek met behulp van de foto op de uitwerkbijlage op welke hoogte de foto genomen is. Geef je antwoord in hele cm.

Op de uitwerkbijlage staat een perspectieftekening van de Berlijnse stoel.
In deze tekening zijn er meerdere dingen die niet juist getekend zijn.
4p 15 Noem twee dingen in de tekening die volgens de regels van het perspectief niet juist getekend zijn. Licht je antwoord toe met behulp van de uitwerkbijlage.

VW-1026-a-22-2-o.docx 9 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 10

Rondetijden
Bij het
langebaanschaatsen spelen rondetijden een belangrijke rol. Bij
korte afstanden, zoals de 500 meter, gaat het erom zo snel mogelijk na de
start een zo hoog mogelijke snelheid te krijgen en daarna die snelheid zo
lang mogelijk vast te houden. Op middellange afstanden zoals de 1500 en
de 3000 meter werkt dat echter niet, omdat de schaatser dan ruim voor de
finish al zo vermoeid raakt dat hij haast niet meer vooruitkomt.

[FIGUUR: Een zwart-witfoto van een schaatshal met schaatsers op de baan en publiek op de tribunes.]

De meeste schaatsers rijden daarom op de middellange afstanden
volgens een schema waarbij de rondetijden steeds iets toenemen.

In de figuur zie je het verloop van de rondetijden van Kjeld Nuis op de
1500 meter tijdens de Olympische Winterspelen van 2018.
De 1500 meter bestaat uit een eerste deel van 300 meter en daarna nog
drie volledige ronden van elk 400 meter. In de figuur staan alleen de
rondetijden van de drie volledige ronden.

figuur
rondetijd $R_n$
(seconden)
$\uparrow$
30,0
29,0
28,0
27,0
26,0
25,0
1 2 3
$\rightarrow$ ronde n

VW-1026-a-22-2-o.docx
10 / 14
lees verder ▶▶▶


### Pagina 11

16 Kjeld Nuis werd in 2018 olympisch kampioen op de 1500 meter met een winnende eindtijd van 1.44,0 (1 minuut en 44,0 seconden).
Bereken met behulp van de figuur zijn tijd in seconden op de eerste 300 meter. Geef je antwoord in één decimaal.
In de figuur is goed te zien dat de rondetijden van Kjeld Nuis steeds toenemen. Deze toename per ronde wordt het verval genoemd. Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat het verval van Kjeld Nuis in de tweede ronde 1,6 seconden was.
Amateurschaatser Piet Versnel schaatst de 3000 meter. Deze afstand bestaat uit een eerste deel van 200 meter en daarna nog zeven volledige ronden van elk 400 meter. Hij schaatst zijn eerste volledige ronde in 40,0 seconden. Het verval is iedere ronde 0,4 seconden. De rondetijden van de volledige ronden van Piet vormen een rij. De rondetijd in seconden van de $n$-de volledige ronde noteren we als $R_n$.
17 Stel een recursieve formule op van deze rij.

### Pagina 12

De directe formule die bij de rondetijden van de volledige ronden van Piet
hoort, is:
$$R_n = 40,0 + 0,4 \cdot (n - 1)$$ (formule 1)
Uitgaande van gelijkblijvend verval per ronde, kan de eindtijd $T$ in
seconden van schaatsers worden berekend met de formule:
$$T = E + \frac{1}{2} \cdot (R_1 + R_n) \cdot a$$ (formule 2)
Hierin is $E$ de tijd in seconden over de eerste 200 meter, $R_1$ de rondetijd
van de eerste volledige ronde, $R_n$ de rondetijd van de laatste ronde en $a$
het aantal volledige ronden.
De tijd over de eerste 200 meter van Piet Versnel op de 3000 meter
is 24,2 seconden. Daarna verlopen zijn rondetijden volgens formule 1.
4p 18 Bereken de gemiddelde snelheid van Piet op de 3000 meter. Geef je
antwoord in kilometers per uur en in één decimaal.
Door flink te trainen heeft Piet op de 3000 meter zijn tijd over de eerste
200 meter verbeterd tot 23,3 seconden. Hij schaatst zijn eerste volledige
ronde nu in 38,4 seconden en zijn verval $\nu$ is iedere ronde constant.
Met behulp van deze gegevens en formule 2 kan de volgende formule
voor de eindtijd $T$ in seconden worden opgesteld:
$$T = 292,1 + 21 \cdot \nu$$ (formule 3)
Hierin is $\nu$ het verval in seconden.
3p 19 Laat zien hoe formule 3 kan worden opgesteld.
Piet wil graag het record van zijn schaatsvereniging op de 3000 meter
verbeteren. Dat record staat op 4.59,5 (4 minuten en 59,5 seconden).
4p 20 Bereken met behulp van formule 3 hoe groot het verval van Piet maximaal
mag zijn om het record te verbeteren. Geef je antwoord in seconden en in
één decimaal.
VW-1026-a-22-2-o.docx
12 / 14
lees verder ► ► ►

### Pagina 13

Hotelschakeling

De lamp bij een trap kan vaak met twee verschillende schakelaars aan-
en uitgedaan worden. In dat geval spreekt men van een hotelschakeling.
Bij een trap zit de ene schakelaar beneden en de andere boven.

In de figuren 1 en 2 zijn twee mogelijke situaties weergegeven. De twee
schakelaars A en B kunnen onafhankelijk van elkaar in twee standen
staan: stand 1 en stand 2. De stand van de schakelaars bepaalt of er wel
of geen stroom naar de lamp kan lopen en dus of de lamp wel of niet aan
is.

figuur 1 lamp aan
[FIGUUR: Een lamp aan een plafond boven een trap, met op de voorgrond een persoon die naar een schakelaar kijkt. Naast de tekening een schakelschema met twee schakelaars A en B, verbonden met een lamp.]

figuur 2 lamp uit
[FIGUUR: Een lamp aan een plafond boven een trap, met op de voorgrond een persoon die naar een schakelaar kijkt. Naast de tekening een schakelschema met twee schakelaars A en B, verbonden met een lamp.]

In de situatie van figuur 1 staan beide schakelaars in stand 1 en is de
lamp aan, omdat de stroom via schakelaar A naar schakelaar B loopt en
vanaf daar verder naar de lamp. Als de verbinding is onderbroken, is de
lamp uit. Dit zie je in figuur 2, waar schakelaar A is omgezet naar stand 2.

Als schakelaar A in stand 1 staat, noteren we dit als $A1$. Verder noteren
we $L$ voor de situatie dat de lamp aan is.

In de situatie van figuur 1 geldt dan: $(A1 \wedge B1) \Rightarrow L$.

Een andere ware bewering is: $(A2 \wedge B1) \Rightarrow \neg L$.

21 2p Vertel deze laatste bewering in een gewone zin.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1026-a-22-2-o.docx
13 / 14
lees verder ►►►

### Pagina 14

In hotels wordt ook weleens gebruikgemaakt van de zogenaamde
slaapkamerschakeling. Deze schakeling is bedoeld om in een
hotelkamer de plafondlamp of de lamp in de badkamer aan te doen. De
twee lampen kunnen nooit gelijktijdig aan zijn.
[FIGUUR: Schematische weergave van een slaapkamerschakeling met drie schakelaars A, B en C, die twee lampen (lamp 1 en lamp 2) aansturen.]
Bij de slaapkamerschakeling wordt gebruikgemaakt
van drie schakelaars. De eerste twee schakelaars
(A en B) vormen samen een hotelschakeling: één bij
de deur en één bij het bed. De derde schakelaar (C)
wordt in de badkamer geplaatst. Deze derde
schakelaar dient als keuzeschakelaar tussen de
plafondlamp (lamp 1) en de lamp in de badkamer
(lamp 2). In figuur 3 is dit schematisch weergegeven.
We noteren $L1$ voor de situatie dat lamp 1 aan is en
$L2$ voor de situatie dat lamp 2 aan is.
In de situatie van figuur 3 geldt dan: $(A1 \land B1 \land C1) \Rightarrow L1$.
3p 22 Er zijn twee verschillende standen van de drie schakelaars die ervoor
zorgen dat lamp 2 aan is.
Noteer die twee manieren in logische symbolen en combineer deze
vervolgens tot één formule van de vorm: ... $\Rightarrow L2$.
We nemen aan dat je aan de buitenkant van een schakelaar niet kan zien
of deze in stand 1 of stand 2 staat. Verder nemen we aan dat de
schakelaars niet kapot zijn.
We bekijken de volgende situatie van een slaapkamerschakeling waarin
ten minste één lamp kapot is.
Iemand komt een donkere hotelkamer in en zet schakelaar A om, maar
beide lampen blijven uit. In dat geval is er minstens één lamp kapot. Om
te achterhalen welke lamp kapot is, of dat zelfs beide lampen kapot zijn,
zet zij schakelaar C om. Er zijn dan twee mogelijkheden: er is meteen
duidelijk wat er aan de hand is, of er moet nog een andere schakelaar
worden omgezet om te achterhalen wat er aan de hand is.
4p 23 Berene de hoe je er na het omzetten van schakelaar C en eventueel nog
een andere schakelaar achter kunt komen welke lamp kapot is of welke
lampen kapot zijn.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
VW-1026-a-22-2-o.docx
14 / 14
einde