# Eindexamen Wiskunde C VWO 2022 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (2 punten)

Bereken hoeveel punten de zesde plaats oplevert.

Wat kun je verwachten: Je zult een patroon of regel moeten ontdekken of toepassen die in de vraagtekst is beschreven. Vaak gaat het hierbij om het berekenen van een term in een rij op basis van de voorgaande termen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een recursieve regel toepast. Dit betekent dat je de punten van eerdere plaatsen nodig hebt om de punten van de huidige plaats te berekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de vraagtekst nauwkeurig kunnen lezen en interpreteren. Vervolgens pas je de gegeven regel stap voor stap toe om de gevraagde waarde te vinden. Je berekent de punten voor de vijfde plaats en daarna de punten voor de zesde plaats.

Waar op letten: Lees de regel voor de puntentelling heel precies. Welke plaatsen worden gebruikt om de punten voor de volgende plaats te bepalen?
Voer de aftrekkingen zorgvuldig uit om rekenfouten te voorkomen.
Zorg ervoor dat je de juiste termen van de rij gebruikt voor elke stap van de berekening. Begin bij de bekende waarden en werk systematisch naar de gevraagde plaats toe.
Controleer of je antwoord logisch is binnen de context van de opgave.

Kernbegrippen: rijen en reeksen, Fibonacci-rij, recursie

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of aftrekfout
- Verkeerde termen van de rij gebruiken voor de aftrekking

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (3 punten)

Een deelnemer staat na drie van de vier afstanden op de derde plaats met 6 punten voorsprong op degene die op de vierde plaats staat, nummer vier dus. Nummer twee is niet meer in te halen. Nummer drie overweegt daarom als tactiek voor de vierde afstand om precies achter de nummer vier te blijven en te finishen.
Is dit een veilige tactiek om de derde plaats te behouden? Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie voorgelegd waarin je een tactische beslissing moet evalueren. Je moet de gevolgen van die beslissing analyseren, rekening houdend met de gegeven informatie over puntentellingen en posities.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen. Je moet in staat zijn om verschillende scenario's te overwegen en de impact daarvan op de uitkomst te bepalen. Je moet ook begrijpen hoe een voorsprong werkt in relatie tot puntentellingen.

Wat moet je kunnen: Je moet de vraag goed lezen en de relevante informatie eruit filteren. Je moet de huidige situatie (voorsprong, posities) correct interpreteren. Je moet vervolgens de voorgestelde tactiek analyseren door mogelijke uitkomsten van de laatste afstand te bedenken en te berekenen wat de gevolgen zijn voor de puntentelling en de rangschikking. Je moet je antwoord helder en logisch toelichten.

Waar op letten: Let goed op de exacte voorsprong van 6 punten. Dit is cruciaal voor je berekeningen.
Overweeg niet alleen het scenario waarin de tactiek werkt, maar juist ook scenario's waarin de tactiek zou kunnen falen. Dit wordt vaak 'worst-case scenario' analyse genoemd.
Denk na over de puntentelling voor de verschillende plaatsen in de laatste afstand. De vraag geeft geen specifieke puntentelling, dus je moet aannemen dat hogere plaatsen meer punten opleveren en dat er voldoende verschil is om een voorsprong in te halen.
Vergeet niet dat de nummer twee niet meer in te halen is. Dit betekent dat je je alleen hoeft te focussen op de strijd om de derde plaats.
Je moet je antwoord toelichten met een duidelijke redenering, niet alleen 'ja' of 'nee' zeggen.

Kernbegrippen: logisch redeneren, scenario-analyse, rijen

Veelgemaakte fouten:
- Niet alle mogelijke uitslagen van de laatste race overwegen.
- De grote puntverschillen tussen de topposities (1e en 2e plaats) onderschatten.
- Aannemen dat direct achter de concurrent finishen altijd veilig is zonder de puntentelling te controleren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (3 punten)

De organisatie overweegt om in een andere shorttrackwedstrijd dezelfde structuur in de puntentelling toe te passen. Nu wil men echter aan de eerste twaalf plaatsen per afstand punten toekennen, waarbij plaats twaalf 1 punt krijgt en plaats elf 2 punten en elke volgende plaats de som van de vorige twee puntenaantallen.
Dit is weergegeven in de volgende recursieve formule, die geldt voor n ≤ 10:
u_n = u_{n+1} + u_{n+2} met u_{12} = 1 en u_{11} = 2
Hierin is u_n het aantal punten dat plaats n krijgt.
Bereken hoeveel punten de eerste plaats in deze puntentelling krijgt.

Wat kun je verwachten: Je zult een recursieve formule moeten toepassen om de punten voor de eerste plaats te berekenen. Dit betekent dat je stapsgewijs terugrekent vanaf de gegeven startwaarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een recursieve formule is en hoe je deze toepast. Specifiek moet je de relatie u_n = u_{n+1} + u_{n+2} kunnen gebruiken, samen met de startwaarden u_{12} = 1 en u_{11} = 2.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven recursieve formule correct kunnen interpreteren en stapsgewijs de punten voor elke plaats kunnen berekenen, beginnend bij plaats 12 en terugwerkend naar plaats 1. Je moet zorgvuldig kunnen rekenen en de resultaten bijhouden.

Waar op letten: Let goed op de richting van de recursieve formule: u_n wordt berekend met u_{n+1} en u_{n+2}. Dit betekent dat je terugrekent van hogere plaatsen (lagere n) naar lagere plaatsen (hogere n).
Begin met de gegeven waarden voor u_{12} en u_{11} en werk systematisch terug naar u_1. Maak eventueel een tabel om je berekeningen overzichtelijk te houden.
Voorkom rekenfouten. Elke kleine fout in een stap zal doorwerken in de volgende stappen en leiden tot een verkeerd eindantwoord.
Controleer of je de juiste plaatsen bij de juiste puntenaantallen hebt genoteerd. Een verwisseling kan leiden tot een incorrecte uitkomst.

Kernbegrippen: recursieve formule, rij van Fibonacci

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of overschrijffout bij het stapsgewijs berekenen van de punten.
- Verkeerde interpretatie van de recursieve formule, bijvoorbeeld door vooruit te rekenen in plaats van terug te rekenen vanaf de gegeven startwaarden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (4 punten)

Sjinkie Knegt won de 1500 m tijdens het toernooi in Dordrecht in een tijd van 2 minuten en 14,065 seconden. Een jaar later reed Sjinkie een wereldrecord op deze afstand, met een tijd van 2 minuten en 7,943 seconden.
Bereken hoeveel procent zijn gemiddelde snelheid groter was toen hij het wereldrecord reed dan toen hij in Dordrecht reed. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je gegevens uit een tekst moet halen, eenheden moet omrekenen en vervolgens een procentuele verandering moet berekenen. Het gaat hierbij om het concept van snelheid (afstand/tijd) en procentuele toename.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je minuten en seconden omrekent naar alleen seconden. Je moet de formule voor gemiddelde snelheid (snelheid = afstand / tijd) kennen. Ook moet je de formule voor procentuele verandering kennen: ((nieuw - oud) / oud) * 100%.

Wat moet je kunnen: Je kunt de tijden correct omrekenen naar seconden. Je kunt de gemiddelde snelheden berekenen voor beide situaties. Je kunt de procentuele toename van de snelheid berekenen en je antwoord afronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op het omrekenen van de tijdseenheden: 2 minuten en X seconden is 2 * 60 + X seconden. Een veelvoorkomende fout is om alleen de seconden te gebruiken of verkeerd om te rekenen.
Zorg ervoor dat je de procentuele verandering berekent op basis van de snelheden, niet op basis van de tijden. De vraag vraagt specifiek naar de procentuele toename van de 'gemiddelde snelheid'.
Bij het berekenen van de procentuele verandering is het cruciaal dat je de 'oude' waarde (de snelheid in Dordrecht) in de noemer plaatst. De vraag is 'hoeveel procent groter ... dan toen hij in Dordrecht reed', dus de referentie is de snelheid in Dordrecht.
Rond de tussenresultaten van de snelheden niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen (of sla ze op in je rekenmachine) om afrondingsfouten in het uiteindelijke percentage te voorkomen. Het eindantwoord moet wel op één decimaal nauwkeurig zijn.

Kernbegrippen: procentuele verandering, snelheid, afstand, tijd, omrekenen van eenheden

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect omrekenen van minuten naar seconden.
- Percentage berekenen over de tijden in plaats van de snelheden.
- Verkeerde waarde (de nieuwe) in de noemer bij de procentuele verandering.
- Te vroeg afronden van tussenantwoorden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (3 punten)

3p 5 Bereken hoeveel liter water maximaal in de sous-vide gedaan mag worden. Geef je antwoord in één decimaal. Hoelang vlees in een sous-vide gegaard moet worden, hangt af van het soort vlees en van de dikte. Hoe dikker een stuk vlees, hoe langer dit gegaard zal moeten worden. In de rest van de opgave bekijken we de **gaartijd** van een entrecote. Dat is de minimale tijd die nodig is om een entrecote in een sous-vide te garen. Deze is gaar als de kern ervan een temperatuur van 56 \(^\circ\)C bereikt heeft. De Engelse fabrikant van een bepaald merk sous-vide heeft een tabel gemaakt voor het verband tussen de gaartijd van een entrecote en de dikte in inches (1 inch = 2,54 cm). In de volgende tabel is een deel hiervan weergegeven. VW-1026-a-o

Wat kun je verwachten: Je zult de afmetingen van de sous-vide bak en de entrecote uit de tekst moeten halen. Daarna bereken je de volumes en voer je een aftrekking uit. Tot slot zet je de eenheid om en rond je correct af.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je het volume van een balk berekent (lengte × breedte × hoogte). Je moet ook weten dat 1 liter gelijk is aan 1000 cm³.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante informatie uit een langere tekst filteren. Je kunt volumes berekenen en eenheden omrekenen. Je kunt correct afronden op één decimaal.

Waar op letten: Lees goed de tekst om de juiste afmetingen te vinden. Let op de maximale vulhoogte van het water (2 cm onder de rand).
Vergeet niet het volume van de entrecote af te trekken van het maximale watervolume.
Zorg ervoor dat je alle volumes in dezelfde eenheid berekent (bijvoorbeeld cm³) voordat je gaat aftrekken.
Rond pas aan het einde van je berekening af op één decimaal, zoals gevraagd. Te vroeg afronden kan leiden tot een onnauwkeurig antwoord.
Controleer je eenheden: het antwoord moet in liters worden gegeven.

Kernbegrippen: Volume berekenen (balk), Volume berekenen (prisma), Eenheden omrekenen (cm³ naar liter), Waterverplaatsing

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde hoogte voor waterniveau gebruiken (12 cm i.p.v. 10 cm)
- Volume van het vlees niet aftrekken
- Fout bij omrekenen van cm³ naar liter
- Afronding niet correct toepassen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (3 punten)

3p 6 Uit de waarden in de tabel volgt echter dat dit geen exponentieel verband is. Toon dit met een berekening aan. De fabrikant geeft naast de tabel ook een grafiek voor het verband tussen de dikte en de gaartijd. Zie de figuur. figuur gaartijd (in uren) → dikte (in inches) Bij het maken van de tabel en de figuur blijkt de fabrikant uit te zijn gegaan van een kwadratisch verband tussen de dikte en de gaartijd. Dit verband wordt gegeven door de formule: \[ T = 0,5916d^2 + 0,0689d + 0,3329 \text{ met } d \ge 0,5 \] Hierin is \(d\) de dikte van de entrecote in inches. \(T\) is de gaartijd in uren. Er zijn koks die als vuistregel hanteren dat een entrecote met een dikte van een inch een gaartijd van een uur heeft en dat de gaartijd recht evenredig is met de dikte. Een entrecote met een dikte van, bijvoorbeeld, 1,5 inch heeft dan dus een gaartijd van 1,5 uur. Voor een entrecote van 1,3 inch is de gaartijd volgens de vuistregel van de kok korter dan de gaartijd volgens de formule. VW-1026-a-o

Wat kun je verwachten: Je zult de waarden uit de tabel moeten gebruiken om groeifactoren te berekenen. Je moet deze groeifactoren vervolgens vergelijken om te zien of ze constant zijn over gelijke intervallen.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een exponentieel verband inhoudt en hoe je een groeifactor berekent. Je moet ook weten dat een exponentieel verband een constante groeifactor heeft over gelijke intervallen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gaartijden uit de tabel correct omzetten naar een consistente eenheid (bijvoorbeeld minuten of uren in decimalen). Je moet groeifactoren kunnen berekenen tussen opeenvolgende meetpunten en deze vervolgens kunnen vergelijken, eventueel door ze aan te passen voor ongelijke intervallen.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de gaartijden correct omzet naar één eenheid (bijvoorbeeld minuten). 0:23 is 23 minuten, 0:31 is 31 minuten en 1:00 is 60 minuten.
Een exponentieel verband heeft een constante groeifactor over *gelijke* intervallen. De dikte-intervallen in de tabel zijn niet allemaal gelijk (0,25 naar 0,5 is 0,25 inch; 0,5 naar 1 is 0,5 inch). Je moet hier rekening mee houden bij het vergelijken van de groeifactoren.
Om aan te tonen dat het *geen* exponentieel verband is, is het voldoende om aan te tonen dat de groeifactoren over gelijke intervallen *niet* gelijk zijn. Je hebt hiervoor minimaal twee vergelijkbare groeifactoren nodig.
Rond niet te vroeg af. Gebruik breuken of voldoende decimalen tijdens je berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: exponentieel verband, groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Groeifactoren over ongelijke intervallen vergelijken zonder correctie.
- Rekenfouten bij het omzetten van uren:minuten naar alleen minuten (23, 31, 60).
- Een conclusie trekken op basis van slechts één berekende groeifactor, wat volgens de opmerking in het CV niet de volle score oplevert.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (3 punten)

3p 7 Bereken hoeveel minuten korter die gaartijd volgens de vuistregel is. Geef je antwoord in gehele minuten. Nadat een entrecote in een sous-vide gegaard is, wordt die ook nog kort op een grill of in een pan aangebakken. Hierdoor zal de entrecote nog iets verder garen. Daarom is het bij het bereiden van niet al te dikke entrecotes geen probleem dat de benadering van de gaartijd volgens de vuistregel meestal iets te laag uitvalt. Bij het bereiden van dikkere entrecotes is dat wel een probleem, omdat de kern dan nog te rauw kan blijven. Het verschil tussen de gaartijd volgens de formule en de gaartijd volgens de vuistregel loopt namelijk snel op.

Wat kun je verwachten: Je zult twee verschillende gaartijden moeten berekenen voor een entrecote van 1,3 inch dik. Eén gaartijd bereken je met een eenvoudige vuistregel en de andere met een gegeven kwadratische formule. Daarna bereken je het verschil tussen deze twee tijden en rond je dit af op hele minuten.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire relatie (vuistregel) en een kwadratische formule correct toepast. Ook moet je weten hoe je uren omrekent naar minuten.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven dikte invullen in zowel de vuistregel als de formule. Je kunt de uitkomsten van deze berekeningen correct interpreteren en het verschil ertussen bepalen. Tot slot kun je dit verschil omrekenen naar de juiste eenheid (minuten) en afronden zoals gevraagd.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de dikte is in inches, de gaartijd volgens de vuistregel is direct in uren (maar de vraag vraagt om minuten), en de formule geeft de gaartijd ook in uren. Je moet alle tijden naar minuten omrekenen voordat je het verschil berekent, of het verschil in uren berekenen en dán omrekenen naar minuten.
Voer de kwadratische formule nauwkeurig in je rekenmachine in om afrondingsfouten te voorkomen. Gebruik voldoende decimalen tijdens de tussenstappen.
Vergeet niet de laatste stap: het berekenen van het *verschil* tussen de twee gaartijden en dit verschil af te ronden op een *geheel aantal minuten*.

Kernbegrippen: formules toepassen, lineair model, kwadratisch model, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omrekenen van uren naar minuten
- Reken- of invoerfout bij de kwadratische formule
- Vergeten het verschil te berekenen tussen de twee gaartijden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (4 punten)

4p 8 Bereken vanaf welke dikte het verschil in gaartijd minstens een kwartier is. Geef je antwoord in inches in één decimaal. VW-1026-a-o

Wat kun je verwachten: Je zult een verschilfunctie moeten opstellen door de formule voor de gaartijd en de vuistregel voor de gaartijd van elkaar af te trekken. Vervolgens stel je een vergelijking op waarbij dit verschil gelijk is aan een specifieke tijd. Deze vergelijking los je op met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formule voor de gaartijd kennen (T = 0,5916d² + 0,0689d + 0,3329) en de vuistregel kunnen vertalen naar een formule (T = d). Ook moet je weten hoe je eenheden omrekent (minuten naar uren).

Wat moet je kunnen: Je moet een verschilfunctie kunnen opstellen. Je moet een kwadratische vergelijking kunnen opstellen en deze vervolgens kunnen oplossen met de 'intersect'-functie van je grafische rekenmachine. Tot slot moet je je antwoord correct afronden en de juiste eenheid toevoegen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de gaartijd T is in uren, maar het gevraagde verschil is een kwartier. Je moet dit kwartier omrekenen naar uren (0,25 uur) voordat je gaat rekenen.
Je moet een verschilfunctie opstellen. Dit is het verschil tussen de gaartijd volgens de formule en de gaartijd volgens de vuistregel. Zorg ervoor dat je de juiste volgorde aanhoudt, zodat het verschil positief is wanneer de formule een hogere gaartijd geeft.
Bij het oplossen van de vergelijking met je grafische rekenmachine, zorg je ervoor dat je de juiste functies invoert en dat je het snijpunt zoekt dat relevant is voor de context van de vraag (dikte d ≥ 0,5).
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op één decimaal, zoals gevraagd. Voorkom tussentijds afronden om nauwkeurigheid te bewaren.

Kernbegrippen: Kwadratische vergelijking oplossen, Model opstellen, Grafische rekenmachine gebruiken, Eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Eenheid van tijd niet omrekenen (kwartier naar 0,25 uur)
- Fout bij het opstellen van de verschilfunctie
- Vuistregel verkeerd interpreteren (T=d)
- Onjuist gebruik van de grafische rekenmachine

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 10 – Opgave 1 (3 punten)

Uit de figuur blijkt dat na twee jaar meer dan de helft van de tijd aan support wordt besteed en dat er na vijf jaar nog maar (ongeveer) 16% van de beschikbare werktijd aan nieuwe software besteed wordt.
Bereken met behulp van de formule de procentuele toename van het percentage werktijd dat aan support wordt besteed tussen twee en vijf jaar na de start van het bedrijf. Geef je antwoord in gehele procenten.

Wat kun je verwachten: Je zult eerst de percentages werktijd voor support op twee verschillende momenten (t=2 en t=5 jaar) moeten berekenen met de gegeven formule. Daarna pas je de formule voor procentuele toename toe op deze twee berekende percentages.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor procentuele verandering kennen en weten hoe je een exponentiële formule correct invult en berekent. Ook moet je weten hoe je correct afrondt op gehele procenten.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule P = 100 ⋅ (1 - 0,694^t) kunnen gebruiken om P te berekenen voor specifieke waarden van t. Je moet de procentuele toename kunnen berekenen tussen twee waarden en het resultaat correct kunnen afronden op een geheel percentage.

Waar op letten: Je moet de formule P = 100 ⋅ (1 - 0,694^t) correct invullen voor t=2 en t=5. Let goed op de haakjes en de volgorde van bewerkingen.
Je berekent een procentuele toename. De formule hiervoor is: ((Nieuwe waarde - Oude waarde) / Oude waarde) * 100%. Zorg dat je de juiste waarden als 'oud' en 'nieuw' gebruikt.
Rond de tussenresultaten (de percentages op t=2 en t=5) niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
Het eindantwoord moet in gehele procenten worden gegeven. Rond pas op het allerlaatste moment af.

Kernbegrippen: procentuele verandering, exponentiële functies, formules invullen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van absolute toename met procentuele toename.
- Verkeerd afronden.
- De formule voor procentuele toename (nieuw-oud)/oud * 100% verkeerd toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 1 (4 punten)

4p 11 Beredeneer aan de hand van de formule \(P = 100 \cdot (1-0,694^t)\), zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat het percentage werktijd dat aan support wordt besteed inderdaad afnemend stijgt. Je kunt het verband \(P = 100 \cdot (1-0,694^t)\) ook zó herschrijven, dat je bij een gegeven percentage dat aan support wordt besteed, kunt berekenen na hoeveel jaren dat percentage wordt bereikt. Dat verband is van de vorm \(t = {}^a\log(b+c \cdot P)\).

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en je moet het gedrag van deze functie beredeneren. Dit betekent dat je de verschillende onderdelen van de formule analyseert en hun invloed op het geheel beschrijft. Je zult je kennis van exponentiële functies en functietransformaties moeten toepassen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies kennen, met name hoe de groeifactor (tussen 0 en 1, of groter dan 1) het gedrag van de functie beïnvloedt. Je moet ook weten hoe transformaties zoals vermenigvuldigen met een negatief getal, optellen of aftrekken van een constante, en vermenigvuldigen met een positief getal de grafiek en het gedrag van een functie beïnvloeden (stijgend/dalend, toenemend/afnemend).

Wat moet je kunnen: Je moet een logische redenering kunnen opbouwen en deze helder formuleren. Je analyseert de formule stap voor stap, beginnend bij de kern (de exponentiële term) en werkt naar buiten toe. Je legt uit hoe elke bewerking in de formule het gedrag van de functie verandert, totdat je de conclusie over 'afnemend stijgend' kunt trekken.

Waar op letten: Je moet de redenering stapsgewijs opbouwen, beginnend bij de meest elementaire component van de formule: \(0,694^t\).
Je moet duidelijk onderscheid maken tussen 'stijgend/dalend' en 'toenemend/afnemend'. Een functie kan bijvoorbeeld stijgend zijn, maar wel afnemend stijgend.
Je moet de invloed van de groeifactor (0,694) op het gedrag van de exponentiële term \(0,694^t\) correct benoemen.
Je moet uitleggen waarom de 'afnemende' component ontstaat. Denk hierbij aan de grenswaarde of asymptoot die de functie nadert.
Je moet de transformaties (vermenigvuldigen met -1, optellen van 1, vermenigvuldigen met 100) correct interpreteren en hun effect op het stijgen/dalen en toenemen/afnemen van de functie beschrijven.

Kernbegrippen: exponentiële functies, groeifactor, afnemende stijging, transformaties van functies, redeneren met functies

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen 'stijgend/dalend' en 'toenemend/afnemend'.
- Niet stapsgewijs redeneren vanuit de basisfunctie 0,694^t.
- De redenering voor 'afnemend' vergeten, die samenhangt met de grenswaarde/asymptoot.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (3 punten)

Je kunt het verband P = 100 ⋅ (1−0,694ᵗ) ook zó herschrijven, dat je bij een gegeven percentage dat aan support wordt besteed, kunt berekenen na hoeveel jaren dat percentage wordt bereikt. Dat verband is van de vorm t = ᵃlog(b+c ⋅ P).
Bereken a, b en c.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële formule moeten herschrijven naar een logaritmische formule. Dit vereist dat je de stappen van algebraïsche herleiding correct toepast en de definitie van een logaritme goed kent.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies en logaritmen kennen. Specifiek moet je weten hoe je een vergelijking van de vorm g^x = y kunt omzetten naar x = glog(y). Ook moet je de volgorde van bewerkingen en het isoleren van variabelen beheersen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule P = 100 ⋅ (1−0,694ᵗ) stap voor stap algebraïsch omvormen. Je isoleert eerst de term met de exponent (0,694ᵗ) en past daarna de definitie van de logaritme toe om t vrij te maken. Tot slot vergelijk je jouw resultaat met de gewenste vorm t = ᵃlog(b+c ⋅ P) om de waarden van a, b en c te bepalen.

Waar op letten: Deel P eerst door 100 om de haakjes met de exponentiële term vrij te maken. Dit is een cruciale eerste stap.
Let goed op de tekens bij het verplaatsen van termen naar de andere kant van het is-gelijk-teken. Een minteken kan gemakkelijk over het hoofd worden gezien.
Pas de definitie van de logaritme correct toe: als g^r = x, dan is r = glog(x). Zorg ervoor dat je de juiste grondtallen en argumenten gebruikt.
Vergelijk je uiteindelijke formule zorgvuldig met de gevraagde vorm t = ᵃlog(b+c ⋅ P) om de waarden van a, b en c exact te identificeren. Let op de volgorde van de termen binnen de logaritme.

Kernbegrippen: formules herschrijven, logaritmen, exponentiële functies, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten P door 100 te delen aan het begin van de herleiding.
- Foutieve toepassing van de definitie van logaritme (gʳ = x <=> r = ᵍlog(x)).
- Teken- of rekenfouten bij het isoleren van de exponentiële term.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (5 punten)

5p 13 Op de uitwerkbijlage zie je een perspectieftekening van de tweede laag van de piramide. Teken boven op deze tweede laag op de uitwerkbijlage de krat van de eerste laag. Voor het totale aantal kratten T_n van een dergelijke piramide geldt de volgende formule: T_n = (n(n+1)(2n+1))/(6) Hierbij is n het aantal lagen.

Wat kun je verwachten: Je zult een perspectieftekening moeten maken. Dit betekent dat je de regels van perspectieftekenen moet toepassen om een driedimensionaal object (een krat) op een tweedimensionaal vlak (de uitwerkbijlage) weer te geven. Je zult constructielijnen moeten gebruiken om de juiste plaatsing en afmetingen te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van perspectieftekenen kennen, inclusief het concept van een verdwijnpunt en hoe je evenwijdige lijnen in perspectief tekent. Je moet ook weten hoe je het midden van een vierkant in perspectief bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een verdwijnpunt te identificeren of te construeren. Je moet diagonalen kunnen tekenen om middens te vinden. Je moet lijnen naar het verdwijnpunt kunnen trekken om diepte te creëren. Tot slot moet je de hoogte van een object in perspectief kunnen construeren en de tekening netjes afmaken.

Waar op letten: Je moet nauwkeurig werken met je potlood en liniaal. Kleine afwijkingen kunnen leiden tot een onjuiste tekening.
Je moet het verdwijnpunt correct bepalen. Alle evenwijdige lijnen die de diepte in gaan, moeten naar dit punt convergeren.
Je moet de middens van het bovenvlak van de tweede laag bepalen met behulp van diagonalen. Dit is cruciaal voor de plaatsing van de bovenste krat.
Je moet de hoogte van de bovenste krat correct construeren. Dit kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van diagonalen in een zijvlak of door de middens in het voorvlak te gebruiken in combinatie met het verdwijnpunt.
Je moet alle hulplijnen lichtjes tekenen en de definitieve lijnen van de krat duidelijker maken.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, constructielijnen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte toepassing van perspectiefregels
- Verkeerd bepalen van het midden van het bovenvlak
- Onjuiste constructie van de hoogte van de krat

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (5 punten)

5p 14 Zoals je op de foto kunt zien, worden de lagen vanaf de onderkant opgebouwd. Bereken met welke laag, vanaf de onderkant geteld, men bezig was toen men 20% van de 63 365 kratten geplaatst had. De formule T_n = (n(n+1)(2n+1))/(6) kan herleid worden tot de vorm T_n = an^3 + bn^2 + cn.

Wat kun je verwachten: Je zult eerst het totale aantal lagen van de piramide moeten bepalen door de gegeven formule gelijk te stellen aan het totale aantal kratten. Daarna bereken je hoeveel kratten 20% van het totaal is. Vervolgens moet je uitzoeken met welke laag men bezig was toen dit aantal kratten bereikt werd, rekening houdend met het feit dat de piramide van onderaf wordt opgebouwd.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule met n kunt gebruiken om een vergelijking op te lossen met je grafische rekenmachine. Je moet ook begrijpen hoe je percentages berekent en hoe je de structuur van een piramide van kratten interpreteert, waarbij elke laag een vierkant aantal kratten heeft (k^2 voor laag k).

Wat moet je kunnen: Je kunt een vergelijking van de vorm T_n = C oplossen met je GR (bijvoorbeeld met 'intersect' of door een tabel te bekijken). Je kunt 20% van een getal berekenen. Je kunt logisch redeneren over de opbouw van de piramide van onderaf en de bijbehorende aantallen kratten per laag optellen om te bepalen bij welke laag het berekende aantal kratten wordt overschreden.

Waar op letten: Let goed op de richting van tellen: de formule T_n telt lagen vanaf de bovenkant, maar de vraag stelt 'vanaf de onderkant geteld'. Dit is cruciaal voor je interpretatie.
Zorg ervoor dat je 20% van het *totale aantal kratten* berekent, niet 20% van het aantal lagen. Dit is een veelvoorkomende valkuil.
Wees nauwkeurig met je berekeningen, vooral bij het optellen van de kwadraten. Te vroeg afronden kan leiden tot een verkeerde conclusie.
De formule T_n geeft het *cumulatieve* aantal kratten tot en met laag n (vanaf de top). Een individuele laag k (vanaf de top) heeft k^2 kratten. Als je van onderaf telt, is de onderste laag de grootste en heeft de bovenste laag 1^2 kratten.

Kernbegrippen: formule toepassen, vergelijking oplossen met GR, som van kwadraten, laagnummering interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen bouwen van bovenaf (formule T_n) en bouwen van onderaf (vraagstelling).
- Rekenfout bij het optellen van de kwadraten.
- Verkeerd interpreteren van 'laag vanaf de onderkant'.
- 20% van het aantal lagen nemen in plaats van 20% van het aantal kratten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 1 (3 punten)

De formule T_n = (n(n+1)(2n+1))/(6) kan herleid worden tot de vorm T_n = an^3 + bn^2 + cn.
Laat deze herleiding zien en laat a, b en c als breuk staan.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met haakjes en een noemer. Je moet deze formule herleiden naar een andere, gespecificeerde vorm. Dit betekent dat je algebraïsche vaardigheden moet toepassen om de uitdrukking te vereenvoudigen en te herschrijven.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor het wegwerken van haakjes kennen, inclusief het vermenigvuldigen van meerdere factoren. Ook moet je weten hoe je een breuk met een polynoom in de teller kunt splitsen in afzonderlijke termen.

Wat moet je kunnen: Je kunt haakjes wegwerken door termen met elkaar te vermenigvuldigen. Je kunt een polynoom delen door een constante en de coëfficiënten als breuken noteren. Je kunt de stappen van je herleiding duidelijk opschrijven.

Waar op letten: Werk de haakjes stap voor stap uit. Begin bijvoorbeeld met n(n+1) en vermenigvuldig het resultaat daarna met (2n+1).
Let goed op de volgorde van bewerkingen en de tekens bij het vermenigvuldigen van de termen.
Zorg ervoor dat je na het wegwerken van de haakjes elke term in de teller deelt door de noemer 6.
Laat de coëfficiënten a, b en c als breuken staan, zoals gevraagd in de opgave. Vereenvoudig de breuken indien mogelijk, maar houd ze als breuk.

Kernbegrippen: Algebraïsche vaardigheden, Herleiden van formules, Haakjes wegwerken

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het uitvermenigvuldigen van de haakjes
- Vergeten alle termen door de noemer (6) te delen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 1 (4 punten)

In 2011 moest Nederland het wereldrecord afstaan aan Duitsland, waar men met 105 995 kratten een piramide heeft gebouwd.
Elin beweert dat de Duitse piramide niet op dezelfde manier kan zijn opgebouwd als de Nederlandse piramide.
Onderzoek of Elin gelijk heeft.

Wat kun je verwachten: Je zult een formule moeten gebruiken die het aantal kratten in een piramide beschrijft. Je moet deze formule toepassen en de uitkomst interpreteren in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het aantal kratten in een piramide met 'n' lagen kennen of kunnen vinden op de formulekaart. Je moet ook weten dat het aantal lagen (n) altijd een geheel getal moet zijn.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule correct kunnen invullen en berekeningen kunnen uitvoeren. Je moet ook in staat zijn om de resultaten van je berekeningen te vergelijken met het gegeven aantal kratten en een logische conclusie te trekken over de bewering van Elin.

Waar op letten: Controleer of je de formule correct hebt overgenomen en ingevuld. Een kleine rekenfout kan leiden tot een verkeerde conclusie.
Denk goed na over de betekenis van 'n' in de formule. Het aantal lagen moet altijd een heel getal zijn, omdat je geen halve lagen kunt bouwen.
Vergelijk je berekende waarden zorgvuldig met het aantal kratten dat in de vraag wordt genoemd. Ligt het aantal kratten precies op een berekende waarde, of ertussen?
Formuleer een duidelijke conclusie die direct antwoord geeft op de bewering van Elin, gebaseerd op je berekeningen.

Kernbegrippen: formules toepassen, modelleren, interpretatie van resultaten, discreet model

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of invoerfouten bij het gebruik van de formule.
- Vergeten dat het aantal lagen 'n' een geheel getal moet zijn.
- Geen duidelijke conclusie trekken over de bewering van Elin.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (3 punten)

De bedenkers van het spel hebben op vijf van de negen vakjes van veld D een dier geplaatst. Deze dieren zijn allemaal verschillend. Vijf verschillende dieren kun je op heel veel manieren over de negen vakjes van veld D verdelen.
Bereken op hoeveel manieren dat kan.

Wat kun je verwachten: Je zult een situatie tegenkomen waarin je het aantal mogelijke rangschikkingen van verschillende objecten op een beperkt aantal plaatsen moet berekenen. Dit is een klassiek combinatoriekprobleem.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen permutaties (waarbij de volgorde van belang is) en combinaties (waarbij de volgorde niet van belang is). Je moet ook weten hoe je faculteiten en de notaties nPr en nCr interpreteert.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste methode kiezen om het aantal manieren te berekenen. Je kunt dit doen door stap voor stap het aantal keuzes te vermenigvuldigen, of door de permutatieformule (nPr) te gebruiken. Een alternatieve aanpak is om eerst het aantal manieren te kiezen om de vakjes te selecteren (nCr) en dit vervolgens te vermenigvuldigen met het aantal manieren om de dieren over die gekozen vakjes te verdelen (faculteit).

Waar op letten: Let goed op of de volgorde van de dieren van belang is. Omdat de dieren 'allemaal verschillend' zijn, maakt het uit welk dier op welk vakje komt. Dit duidt op een permutatie.
Verwar dit niet met een combinatie. Als de dieren identiek waren geweest, of als alleen het aantal bezette vakjes telde zonder onderscheid tussen de dieren, dan was het een combinatie geweest.
Zorg ervoor dat je niet per ongeluk 9 tot de macht 5 (9^5) berekent. Dat zou betekenen dat elk dier onafhankelijk van de andere op elk van de 9 vakjes geplaatst kon worden, en dat vakjes meerdere dieren konden bevatten, wat hier niet het geval is.
Controleer of je alle stappen van de berekening correct uitvoert, of je nu de directe vermenigvuldiging of de nPr-functie gebruikt.

Kernbegrippen: permutaties, combinatoriek, faculteit

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen permutaties en combinaties: alleen het aantal manieren berekenen om 5 vakjes te kiezen (9 nCr 5) zonder rekening te houden met de volgorde van de verschillende dieren.
- Berekenen van 9^5, wat zou gelden als elk dier op elk van de 9 vakjes geplaatst kon worden, onafhankelijk van de andere (met teruglegging).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (4 punten)

Doel van het spel is om de speelstukken zó op de vier velden te plaatsen dat een vooraf bepaald aantal olifanten, zebra's, antilopen, leeuwen en/of neushoorns zichtbaar is. Hierbij mogen de speelstukken ook gedraaid worden. Zie foto's 3 en 4 voor twee voorbeelden. In de foto's zijn de nummers van de speelstukken ook aangegeven.
foto 3
foto 4
Op foto 3 zijn de speelstukken zó neergelegd dat alle zes antilopen zichtbaar zijn. Door de speelstukken 2 en 4 te verwisselen en speelstuk 1 een kwartslag te draaien, ontstaat de situatie op foto 4 waarop één olifant, twee antilopen, twee neushoorns en twee leeuwen zichtbaar zijn.
De afbeeldingen van het water en de planten op de speelstukken doen er voor het spel niet toe. Deze afbeeldingen laten we in deze opgave dan ook buiten beschouwing.
Speelstuk 3 in de vorm van de letter 'H' kan maar op twee manieren neergelegd worden: staand of liggend.
Ga ervan uit dat alle speelstukken gebruikt worden.
18 Bereken op hoeveel verschillende manieren de vier speelstukken op het bord geplaatst kunnen worden.

Wat kun je verwachten: Je zult een combinatie van permutaties en de vermenigvuldigingsregel moeten toepassen. Je moet eerst bepalen op hoeveel manieren de speelstukken over de velden verdeeld kunnen worden, en daarna voor elk speelstuk het aantal mogelijke oriëntaties meenemen in je berekening.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van permutaties kennen (het aantal manieren om n verschillende items in een bepaalde volgorde te plaatsen) en de vermenigvuldigingsregel (als er meerdere onafhankelijke keuzes zijn, vermenigvuldig je het aantal mogelijkheden per keuze).

Wat moet je kunnen: Je moet kunnen bepalen hoeveel manieren er zijn om de vier speelstukken over de vier velden te verdelen. Vervolgens moet je voor elk speelstuk afzonderlijk het aantal mogelijke draaiingen kunnen vaststellen, rekening houdend met de vorm van het speelstuk. Ten slotte combineer je al deze mogelijkheden met de vermenigvuldigingsregel om tot het totale aantal manieren te komen.

Waar op letten: Vergeet niet dat de speelstukken op verschillende velden geplaatst worden, wat neerkomt op een volgorde (permutatie).
Lees goed dat speelstuk 3 een afwijkend aantal draaimogelijkheden heeft (slechts 2), terwijl de andere speelstukken 4 draaimogelijkheden hebben.
Gebruik de vermenigvuldigingsregel om alle onafhankelijke keuzes (plaatsing én oriëntatie) correct te combineren.
Het antwoord moet een exact getal zijn, geen benadering.

Kernbegrippen: permutaties, vermenigvuldigingsregel

Veelgemaakte fouten:
- Rotaties van speelstukken vergeten.
- Aannemen dat alle speelstukken 4 rotaties hebben, terwijl speelstuk 3 er maar 2 heeft.
- De volgorde van het plaatsen van de stukken op de velden negeren (de 4! factor vergeten).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (3 punten)

Bij het spel zit ook een boekje waarin verschillende 'spelopdrachten' staan. Het is bij het spelen van het spel de bedoeling deze spelopdrachten te maken.

In het vervolg van deze opgave gaan we een van deze spelopdrachten oplossen met behulp van logisch redeneren.
Daarvoor spreken we eerst een notatie af:
B₂ betekent "speelstuk 2 moet op veld B worden geplaatst".
Voor de overige speelstukken en velden gelden vergelijkbare notaties.

Spelopdracht 19 uit het boekje is het plaatsen van de speelstukken zodanig dat er vijf zebra's en twee olifanten zichtbaar zijn en verder geen enkel ander dier.

Volgens spelopdracht 19 moeten er dus vijf zebra's zichtbaar zijn. Daaruit volgt de conclusie dat speelstuk 3 op veld A moet liggen, dus gebruikmakend van bovenstaande notatie moet gelden: A₃.

3p 19 Leg uit hoe je tot deze conclusie kunt komen.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een logische redenering moet opbouwen. Je moet de gegeven informatie (spelregels, eigenschappen van de speelstukken) combineren om tot een sluitende conclusie te komen. Dit vereist nauwkeurigheid in je analyse en een heldere presentatie van je stappen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen, zoals het gebruik van eliminatie en het trekken van conclusies uit premissen. Je moet ook de notatie A₃ begrijpen en hoe deze zich verhoudt tot de spelopdracht. Het is cruciaal dat je de informatie uit de bijlagen (de afbeeldingen van de speelstukken en het bord) kunt interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de vormen van de speelstukken te visualiseren en te bedenken hoe ze op het spelbord passen. Je moet kunnen analyseren welke delen van het bord elk speelstuk bedekt en welke dieren daardoor wel of niet zichtbaar zijn. Vervolgens moet je een duidelijke, stapsgewijze uitleg kunnen geven die leidt tot de conclusie dat speelstuk 3 op veld A moet liggen.

Waar op letten: Let goed op de exacte formulering: 'vijf zebra's zichtbaar' betekent dat *alle* zebra's die op het bord staan, zichtbaar moeten zijn. Geen enkele mag bedekt worden door een speelstuk.
Analyseer de vormen van de speelstukken (1, 2, 3 en 4) en de dieren die erop staan. Hoe bedekken ze de velden van het bord?
Gebruik een proces van eliminatie: welke speelstukken *kunnen niet* op veld A liggen als alle zebra's zichtbaar moeten blijven? Waarom niet?
Vergeet niet dat speelstukken gedraaid mogen worden. Dit kan invloed hebben op welke dieren ze bedekken.
De notatie A₃ betekent specifiek dat speelstuk 3 op veld A wordt geplaatst. Zorg dat je deze notatie correct interpreteert in je redenering.

Kernbegrippen: logisch redeneren, casusanalyse, uitsluitingsmethode

Veelgemaakte fouten:
- Aannames maken over de layout van het spelbord zonder deze systematisch af te leiden.
- De notatie A₃ verkeerd interpreteren.
- Niet realiseren dat 'vijf zebra's zichtbaar' betekent dat *alle* zebra's op het bord zichtbaar moeten zijn.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (4 punten)

Op veld C staat de zebra in een hoek, dus speelstuk 4 kan daar niet liggen.
De volgende stappen in de redenering zijn:
(A₃ ∧ ¬C₄) ⇒ (C₁ ∨ C₂)
¬C₁ ⇒ C₂
Vertaal deze logische redenering in gewone Nederlandse zinnen en leg uit hoe ¬C₁ ⇒ C₂ uit spelopdracht 19 volgt.

Wat kun je verwachten: Je zult logische symbolen moeten omzetten naar duidelijke Nederlandse zinnen die de spelcontext weerspiegelen. Daarnaast moet je een logische implicatie verklaren door deze te koppelen aan de specifieke regels van spelopdracht 19.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen, inclusief de betekenis van de symbolen voor conjunctie (en), negatie (niet), disjunctie (of) en implicatie (als...dan...). Je moet ook de afgesproken notatie voor de speelstukken en velden begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet formele logische uitdrukkingen kunnen vertalen naar natuurlijke taal. Je moet ook in staat zijn om een logische stap te rechtvaardigen door deze te verbinden met gegeven informatie of regels (in dit geval spelopdracht 19).

Waar op letten: Let goed op de betekenis van de logische symbolen (∧ voor 'en', ¬ voor 'niet', ⇒ voor 'als...dan...', ∨ voor 'of'). Een kleine fout hierin kan de hele vertaling onjuist maken.
Zorg ervoor dat je de vertaling van de logische zinnen volledig in de context van het spel plaatst. Gebruik de afgesproken notatie (bijv. A₃ betekent 'speelstuk 3 op veld A').
Bij de uitleg van ¬C₁ ⇒ C₂ moet je expliciet verwijzen naar spelopdracht 19 en de specifieke regel over welke dieren wel en niet zichtbaar mogen zijn. Dit is cruciaal voor een volledige verklaring.
Controleer of je beide delen van de vraag beantwoordt: zowel de vertaling als de uitleg van de tweede implicatie.

Kernbegrippen: logisch redeneren, implicatie, vertalen van formele taal naar natuurlijke taal

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de tweede deelvraag te beantwoorden (de uitleg)
- Onvoldoende precies zijn in de vertaling van de logische symbolen
- De redenering voor de tweede implicatie niet koppelen aan de spelregels van spelopdracht 19 (geen andere dieren zichtbaar).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (6 punten)

6p 21 Beredeneer wat de oplossing van spelopdracht 19 moet zijn en geef op de uitwerkbijlage door middel van arcering aan hoe de andere speelstukken geplaatst moeten worden voor de oplossing van de spelopdracht. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd. VW-1026-a-o einde

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een puzzel moet oplossen waarbij je logisch moet nadenken over de plaatsing van verschillende speelstukken. Je moet je redenering duidelijk opschrijven en de uiteindelijke oplossing visueel weergeven.

Wat moet je kennen: Je moet de spelregels en de notatie die in de opgave zijn gegeven, kennen. Je moet ook de vormen van de speelstukken en de dieren die ze tonen, kennen (uit de bijlagen die bij de opgave horen).

Wat moet je kunnen: Je moet logisch kunnen redeneren en systematisch mogelijkheden kunnen uitsluiten. Je moet je redenering helder en gestructureerd kunnen opschrijven. Daarnaast moet je de oplossing correct kunnen arceringen op de uitwerkbijlage.

Waar op letten: Je moet zowel de redenering als de uiteindelijke plaatsing (arcering) geven. Alleen de arcering is niet voldoende voor de volle punten.
Let goed op de voorwaarden van spelopdracht 19: vijf zebra's en twee olifanten, en GEEN ENKEL ANDER dier.
Gebruik de afgesproken notatie (bijv. B₂ voor 'speelstuk 2 op veld B') in je redenering.
Denk stap voor stap en elimineer onmogelijke opties. Begin met de meest beperkende voorwaarden.
Controleer na elke stap of de voorwaarden van de spelopdracht nog steeds kunnen worden voldaan.

Kernbegrippen: Logisch redeneren, Systematisch elimineren, Puzzel oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Onvolledige redenering
- Alleen de eindoplossing geven zonder de stappen te beschrijven, wat leidt tot puntenverlies.
- Randvoorwaarden van de puzzel negeren, zoals het aantal zichtbare dieren of de vorm van de stukken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2022/tijdvak-1/vraag/21

## Vragen in dit examen

### Vraag 9 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie waarin een hoeveelheid elke maand met een vast percentage afneemt. Je berekent het resterende percentage na een periode van meerdere jaren.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat een procentuele afname per periode hoort bij een exponentieel model met groeifactor g = 1 - (p / 100). Ook moet je weten dat de groeifactor over meerdere perioden n gelijk is aan g^n.

Wat moet je kunnen: Je kunt een maandelijks groeipercentage omzetten naar een maandelijkse groeifactor, het aantal maanden in 3 jaar bepalen, de totale groeifactor berekenen met de machtsfunctie en deze omzetten naar een afgerond geheel percentage.

Waar op letten: Let op de tijdseenheid: de afname geldt per maand, dus je moet de totale tijdsduur van 3 jaar eerst omrekenen naar 36 maanden.
Reken een procentuele afname van 2% correct om naar een groeifactor: 100% - 2% = 98%, wat overeenkomt met de groeifactor 0,98 (dus niet 0,02 of 1,02).
Rond tussenantwoorden niet tussentijds af; bereken de totale factor in één keer en rond pas aan het einde af op een geheel percentage.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijd vak 1
vrijdag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uit werkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraag nummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-22-1-o

### Pagina 2

Sjinkie

Begin 2015 werd Sjinkie Knegt
in Dordrecht voor de tweede
maals in zijn carrière Europees
kampioen shorttrack. Zo'n
kampioenschap bestaat uit het
schaatsen van de vier
afstanden 500 m, 1000 m,
1500 m en 3000 m. Per afstand
kun je punten verdienen.
Degenen met de meeste punten
na vier afstanden is de winnaar.
De beste acht deelnemers per afstand krijgen de volgende aantallen
punten:
- de eerste plaats krijgt 34 punten;
- de tweede plaats krijgt 21 punten;
- de derde plaats krijgt het aantal punten van de eerste plaats
vermindert met het aantal punten van de tweede plaats, dus
$34 - 21 = 13$ punten;
- de vierde plaats krijgt het aantal punten van de tweede plaats
vermindert met het aantal punten van de derde plaats, dus
$21 - 13 = 8$ punten;
- zo gaat het verder, tot 1 punt voor de achtste plaats.
Op die manier ontstaat een deel van de rij van Fibonacci.

Deelnemers die op plaats 9 of lager eindigen, krijgen voor die afstand
geen punten.
In werkelijkheid kunnen er op sommige afstanden extra punten worden
behaald in tussensprints. Deze laten we voor deze opgave buiten
beschouwing.

[FIGUUR: Twee schaatsers in een bocht op een ijsbaan, met op de achtergrond reclame met de tekst "DORDRECHT SPORT"]

2p 1 Bereken hoeveel punten de zesde plaats oplevert.

Een deelnemer staat na drie van de vier afstanden op de derde plaats met
6 punten voorsprong op degene die op de vierde plaats staat, nummer
vier dus. Nummer twee is niet meer in te halen. Nummer drie overweegt
daarom als tactiek voor de vierde afstand om precies achter de nummer
vier te blijven en te finishen.

3p 2 Is dit een veilige tactiek om de derde plaats te behouden? Licht je
antwoord toe.

VW-1026-a-o 2 / 14 lees verder ➢➢➢

### Pagina 3

De organisatie overweegt om in een andere shorttrackwedstrijd dezelfde structuur in de puntentelling toe te passen. Nu wil men echter aan de eerste twaalf plaatsen per afstand punten toekennen, waarbij plaats twaalf 1 punt krijgt en plaats elf 2 punten en elke volgende plaats de som van de vorige twee puntentallen.

Dit is weergegeven in de volgende recursieve formule, die geldt voor $n \le 10$:
$u_n = u_{n+1} + u_{n+2}$ met $u_{12} = 1$ en $u_{11} = 2$
Hierin is $u_n$ het aantal punten dat plaats $n$ krijgt.

3a (3p) Bereken hoeveel punten de eerste plaats in deze puntentelling krijgt.

Sjinkie Knegt won de 1500 m tijdens het toernooi in Dordrecht in een tijd van 2 minuten en 14,065 seconden. Een jaar later reed Sjinkie een wereldrecord op deze afstand, met een tijd van 2 minuten en 7,943 seconden.

4 (4p) Bereken hoeveel procent zijn gemiddelde snelheid groter was toen hij het wereldrecord reed dan toen hij in Dordrecht reed. Geef je antwoord in één decimaal.

VW-1026-a-o 3 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 4

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1026-a-o 4 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 5

Vacuümgaren

In restaurants en bij hobbykoks is het zogeheten vacuümgaren, een methode voor het gaar laten worden van voedsel, steeds meer in opmars. Bij vacuümgaren wordt, bijvoorbeeld, vlees in een vacuümzak gegaard in een warmwaterbak, ook wel sous-vide genoemd.

foto 1: sous-vide
[FIGUUR: Een sous-vide apparaat in een waterbak.]
foto 2: vlees in vacuümzak
[FIGUUR: Een stuk vlees in een vacuümzak, met kruiden.]

De bak waarin het water zit, heeft bij benadering de vorm van een balk met binnenafmetingen van 27,5 bij 19,5 bij 12,0 cm (respectievelijk lengte, breedte en hoogte). In de bak zit 2,0 cm onder de rand een maatstreepje. Als het vlees in de vacuümzak in de waterbak ligt, mag de waterspiegel niet boven dit maatstreepje uitkomen.

Op foto 2 is een entrecote in een vacuümzak afgebeeld die in de sous-vide van foto 1 gegaard wordt. Foto’s 1 en 2 zijn niet op dezelfde schaal afgebeeld.

3p 5
De entrecote op foto 2 is 3,5 cm dik. Het boven- en onderoppervlak van de entrecote zijn gelijk, met elk een oppervlakte van ongeveer $120 \text{ cm}^2$. Het volume van de vacuümzak mag worden verwaarloosd. Bereken hoeveel liter water maximaal in de sous-vide gedaan mag worden. Geef je antwoord in één decimaal.

Hoelang vlees in een sous-vide gegaard moet worden, hangt af van het soort vlees en van de dikte. Hoe dikker een stuk vlees, hoe langer dit gegaard zal moeten worden.

In de rest van de opgave bekijken we de gaartijd van een entrecote. Dat is de minimale tijd die nodig is om een entrecote in een sous-vide te garen. Deze is gaar als de kern ervan een temperatuur van $56 \text{ °C}$ bereikt heeft. De Engelse fabrikant van een bepaald merk sous-vide heeft een tabel gemaakt voor het verband tussen de gaartijd van een entrecote en de dikte in inches ($1 \text{ inch} = 2,54 \text{ cm}$). In de volgende tabel is een deel hiervan weergegeven.

VW-1026-a-o
5 / 14
lees verder ►►►


### Pagina 6

tabel
dikte (inches) | gaartijd (uren:minuten)
---|---
0,25 | 0:23
0,5 | 0:31
1 | 1:00
... | ...
De fabrikant heeft daarbij de volgende opmerking geplaatst:

Als de dikte van het vlees toeneemt, neemt de gaartijd exponentieel toe.

3p 6 Uit de waarden in de tabel volgt echter dat dit geen exponentieel verband is.
Toon dit met een berekening aan.

De fabrikant geeft naast de tabel ook een grafiek voor het verband tussen de dikte en de gaartijd. Zie de figuur.

figuur
gaartijd 6,5
(in uren) 6,0
40 [FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'gaartijd (in uren)' van 0,5 tot 6,5, en op de x-as 'dikte (in inches)' van 0 tot 3,0. Een curve loopt van links onder naar rechts boven, beginnend bij dikte 0,5 en gaartijd ongeveer 0,3, oplopend naar dikte 3,0 en gaartijd 6,0.]
5,5
5,0
4,5
4,0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
dik te (in inches)

Bij het maken van de tabel en de figuur blijkt de fabrikant uit te zijn gegaan van een kwadratisch verband tussen de dikte en de gaartijd. Dit verband wordt gegeven door de formule:

$$T = 0,5916d^2 + 0,0689d + 0,3329$$ met $d \ge 0,5$

Hierin is $d$ de dikte van de entrecote in inches. $T$ is de gaartijd in uren. Er zijn koks die als vuistregel hanteren dat een entrecote met een dikte van een inch een gaartijd van een uur heeft en dat de gaartijd recht evenredig is met de dikte. Een entrecote met een dikte van, bijvoorbeeld, 1,5 inch heeft dan dus een gaartijd van 1,5 uur. Voor een entrecote van 1,3 inch is de gaartijd volgens de vuistregel van de kok korter dan de gaartijd volgens de formule.

VW-1026-a-o 6 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 7

3p 7 Bereken hoeveel minuten korter die gaartijd volgens de vuistregel is. Geef je antwoord in gehele minuten.
Nadat een entrecote in een sous-vide gaard is, wordt die ook nog kort op een grill of in een pan aangebakken. Hierdoor zal de entrecote nog iets verder garen.
Daarom is het bij het bereiden van niet al te dikke entrecotes geen probleem dat de benadering van de gaartijd volgens de vuistregel meestal iets te laag uitvalt. Bij het bereiden van dikkere entrecotes is dat wel een probleem, omdat de kern dan nog te rauw kan blijven. Het verschil tussen de gaartijd volgens de formule en de gaartijd volgens de vuistregel loopt namelijk snel op.
4p 8 Bereken vanaf welke dikte het verschil in gaartijd minstens een kwartier is. Geef je antwoord in inches in één decimaal.
VW-1026-a-o 7 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Support

Softwarebedrijven maken nieuwe software maar moeten ook aandacht besteden aan het geven van support aan hun klanten. Het geven van deze support kost bij veel softwarebedrijven steeds meer tijd. Als een softwarebedrijf vervolgens geen nieuw personeel wil aannemen, gaat de toenemende tijd die besteed wordt aan support ten koste van de tijd voor het ontwikkelen van nieuwe software.

Bij softwarebedrijf X-tent-O is geconstateerd dat men, als gevolg van deze toenemende vraag naar support, elke maand minder tijd dan in de maand daarvoor besteedt aan het ontwikkelen van nieuwe software.

Alleen voor de volgende vraag gaan we ervan uit dat er door de toenemende vraag naar support elke maand 2% minder tijd aan ontwikkelen besteed wordt dan in de maand daarvoor. Ga er ook van uit dat er in de beginsituatie geen tijd besteed wordt aan support.

9 4p Bereken hoeveel procent van de tijd er dan na drie jaar nog aan het ontwikkelen van nieuwe software wordt besteed. Geef je antwoord in gehele procenten.

Vanaf nu veronderstellen we echter dat er door de toenemende vraag naar support elke maand 3% minder tijd aan het ontwikkelen van nieuwe software wordt besteed dan in de maand daarvoor. Zie de figuur.

figuur

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "% beschikbare werktijd dat besteed wordt aan support" en op de x-as "tijd (in jaren)". De grafiek begint bij (0,0) en loopt oplopend met een afnemende stijging. Er is een stip geplaatst bij x=2 met de tekst "na 2 jaar wordt al meer dan de helft van de tijd besteed aan support". De grafiek loopt door tot ongeveer x=6.5, waar de y-waarde nog steeds onder de 100% is.]

Als er elke maand 3% van de beschikbare werktijd afgaat voor support, dan kun je het percentage werktijd $P$ dat aan support wordt besteed, met de volgende formule berekenen:
$$P = 100 \cdot (1 - 0,694^t)$$
Hierin is $t$ de tijd in jaren vanaf de start van het bedrijf.

VW-1026-a-o 8 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 9

Uit de figuur blijkt dat na twee jaar meer dan de helft van de tijd aan support wordt besteed en dat er na vijf jaar nog maar (ongeveer) 16% van de beschikbare werktijd aan nieuwe software besteed wordt.
3a (10p) Bereken met behulp van de formule de procentuele toename van het percentage werktijd dat aan support wordt besteed tussen twee en vijf jaar na de start van het bedrijf. Geef je antwoord in gehele procenten.
Het percentage werktijd dat aan support wordt besteed heeft, zoals ook in de figuur te zien is, een grenswaarde (van 100%). Dat percentage stijgt afnemend naar die grenswaarde.
4p (11p) Beredeneer aan de hand van de formule $P = 100 \cdot (1 - 0,694^t)$, zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat het percentage werktijd dat aan support wordt besteed inderdaad afnemend stijgt.
Je kunt het verband $P = 100 \cdot (1 - 0,694^t)$ ook zó herschrijven, dat je bij een gegeven percentage dat aan support wordt besteed, kunt berekenen na hoeveel jaren dat percentage wordt bereikt. Dat verband is van de vorm $t = ^a\log(b + c \cdot P)$.
3p (12p) Bereken a, b en c.
VW-1026-a-o 9 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 10

Wereldrecord kratten stapelen
foto
Het wereldrecord kratten stapelen
stond in 2005 op naam van het
dorpje Limmen in Noord-
Holland. De inwoners van
Limmen stapelden een piramide
van 63 365 kratten.
De piramide was als volgt
opgebouwd: de bovenste laag
noemen we de eerste laag en
bevat één krat. De laag
daaronder is de tweede laag en
bevat twee bij twee, dus vier kratten.
De hoekpunten van de bovenste krat
liggen steeds op de middens van de
kratten eronder. De derde laag heeft
drie bij drie, dus negen kratten,
enzovoort. Zie de foto
en de schematische figuur.
figuur
5p 13 Op de uitwerkbijlage zie je een perspectieftekening van de tweede laag
van de piramide.
Teken boven op deze tweede laag op de uitwerkbijlage de krat van de
eerste laag.
Voor het totale aantal kratten $T_n$ van een dergelijke piramide geldt de
volgende formule:
$$T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Hierbij is $n$ het aantal lagen.
Zoals je op de foto kunt zien, worden de lagen vanaf de onderkant
opgebouwd.
5p 14 Bereken met welke laag, vanaf de onderkant geteld, men bezig was toen
men 20% van de 63 365 kratten geplaatst had.
De formule $T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ kan herleid worden tot de vorm
$$T_n = an^3 + bn^2 + cn$$
3p 15 Laat deze herleiding zien en laat $a, b$ en $c$ als breuk staan.
VW-1026-a-o
10 / 14
lees verder

### Pagina 11

16 (4p) In 2011 moest Nederland het wereldrecord afstaan aan Duitsland, waar men met 105 995 krachten een piramide heeft gebouwd.
Elin beweert dat de Duitse piramide niet op dezelfde manier kan zijn opgebouwd als de Nederlandse piramide.
Onderzoek of Elin gelijk heeft.
VW-1026-a-o 11 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 12

Safari Hide & Seek
Het spel Safari Hide & Seek wordt gespeeld op een bord met vier velden
en vier aparte speelstukken.
Het bord en de speelstukken staan afgebeeld op foto 1 en foto 2.
foto 1: bord
[FIGUUR: Foto van een spelbord met 4 velden, elk met 3 rijen van 3 vakjes. Elk vakje bevat een dier (olifant, zebra, leeuw, neushoorn, antilope) of is leeg. Het bord heeft het logo van Smart Games.]
foto 2: de vier speelstukken
[FIGUUR: Foto van vier speelstukken met plantaardige elementen en dierenfiguren. De speelstukken zijn L-vormig en bestaan uit verschillende aantallen vakjes.]
Op de uitwerkbijlage zie je dezelfde foto's nog eens, maar dan voorzien
van rasters en van letters bij de velden en nummers bij de speelstukken.
- Elk van de vier velden A, B, C en D op het bord bestaat uit negen
vakjes. Op elk van die vakjes kan een olifant, zebra, antilope, leeuw of
neushoorn staan. Een vakje kan ook leeg zijn.
- Van de speelstukken is er één dat zes vakjes van een veld op het
speelbord bedekt (speelstuk 1) en zijn er drie die elk zeven vakjes
bedekken (speelstukken 2, 3 en 4).
De bedenkers van het spel hebben op vijf van de negen vakjes van veld D
een dier geplaatst. Deze dieren zijn allemaal verschillend. Vijf
verschillende dieren kun je op heel veel manieren over de negen vakjes
van veld D verdelen.
3p 17 Bereken op hoeveel manieren dat kan.
VW-1026-a-o
12 / 14
lees verder

### Pagina 13

Doel van het spel is om de speelstukken zó op de vier velden te plaatsen dat een vooraf bepaald aantal olifanten, zebra's, antilopen, leeuwen en/of neushoorns zichtbaar is. Hierbij mogen de speelstukken ook gedraaid worden. Zie foto's 3 en 4 voor twee voorbeelden. In de foto's zijn de nummers van de speelstukken ook aangegeven.

foto 3
[FIGUUR: Foto van een spelbord met speelstukken. De stukken zijn genummerd 4, 1, 3 en 2.]

foto 4
[FIGUUR: Foto van een spelbord met speelstukken. De stukken zijn genummerd 2, 1, 3 en 4.]

Op foto 3 zijn de speelstukken zó neergelegd dat alle zes antilopen zichtbaar zijn. Door de speelstukken 2 en 4 te verwisselen en speelstuk 1 een kwartslag te draaien, ontstaat de situatie op foto 4 waarop een olifant, twee antilopen, twee neushoorns en twee leeuwen zichtbaar zijn.

De afbeeldingen van het water en de planten op de speelstukken doen er voor het spel niet toe. Deze afbeeldingen laten we in deze opgave dan ook buiten beschouwing. Speelstuk 3 in de vorm van de letter 'H' kan maar op twee manieren neergelegd worden: staand of liggend.

4p 18 Ga ervan uit dat alle speelstukken gebruikt worden.
Bereken op hoeveel verschillende manieren de vier speelstukken op het bord geplaatst kunnen worden.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1026-a-o 13 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 14

Bij het spel zit ook een boekje waarin verschillende 'spelopdrachten' staan. Het is bij het spelen van het spel de bedoeling deze spelopdrachten te maken.

In het vervolg van deze opgave gaan we een van deze spelopdrachten oplossen met behulp van logisch redeneren. Daarvoor spreken we eerst een notatie af:
$B_2$ betekent "speelstuk 2 moet op veld B worden geplaatst".
Voor de overige speelstukken en velden gelden vergelijkbare notaties.

Spelopdracht 19 uit het boekje is het plaatsen van de speelstukken zodanig dat er vijf zebra's en twee olifanten zichtbaar zijn en verder geen enkel ander dier.

Volgens spelopdracht 19 moeten er dus vijf zebra's zichtbaar zijn. Daaruit volgt de conclusie dat speelstuk 3 op veld A moet liggen, dus gebruikmakend van bovenstaande notatie moet gelden: $A_3$.

3p 19 Leg uit hoe je tot deze conclusie kunt komen.

Op veld C staat de zebra in een hoek, dus speelstuk 4 kan daar niet liggen.
De volgende stappen in de redenering zijn:
$$(A_3 \land \neg C_4) \Rightarrow (C_1 \lor C_2)$$
$$\neg C_1 \Rightarrow C_2$$

4p 20 Vertaal deze logische redenering in gewone Nederlandse zinnen en leg uit hoe $\neg C_1 \Rightarrow C_2$ uit spelopdracht 19 volgt.

6p 21 Op de uitwerkbijlage is in foto 5 al gearceerd hoe speelstuk 3 op veld A moet liggen voor de juiste oplossing van spelopdracht 19. Beredeneer wat de oplossing van spelopdracht 19 moet zijn en geef op de uitwerkbijlage door middel van arcering aan hoe de andere speelstukken geplaatst moeten worden voor de oplossing van de spelopdracht.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.

VW-1026-a-o 14 / 14 einde ■