# Eindexamen Wiskunde C VWO 2021 tijdvak 3

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-3

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

### Vraag 23 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2021
tijdvak 3
woensdag 7 juli
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een
uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-21-3-o

### Pagina 2

Wie is de Mol?

‘Wie is de Mol?’ is een tv-programma waarin tien bekende Nederlanders opdrachten uitvoeren. Een van hen is de Mol, die het spel probeert te saboteren.

Het tv-programma wordt goed bekeken. De kijkcijfers van de afleveringen van 2016 zijn in de figuur weergegeven.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as kijkcijfers (oplopend van 1 500 000 tot 3 500 000) en op de x-as de afleveringen (oplopend van 1 tot 10). Twee lijnen, een doorgetrokken en een gestippeld, geven de kijkcijfers weer met en zonder uitgestelde kijkers. De doorgetrokken lijn (inclusief uitgesteld kijken) kent pieken en dalen, eindigend op 3 500 000 bij aflevering 10. De gestippelde lijn (exclusief uitgesteld kijken) volgt grotendeels de doorgetrokken lijn, maar eindigt lager.]

Legenda:
— inclusief uitgesteld kijken
- - - exclusief uitgesteld kijken
→ aflevering

Als het uitgesteld kijken ook meegeteld wordt, zie je zowel van aflevering 5 naar 6 als van aflevering 7 naar 8 een toename van de kijkcijfers. Bereken of de procentuele toename van de kijkcijfers van aflevering 5 naar 6 groter is dan de procentuele toename van aflevering 7 naar 8.

Per aflevering krijgen de kandidaten een aantal vragen. Om de vragen goed te kunnen beantwoorden, moeten de kandidaten elkaar voortdurend in de gaten houden.

Bij een diner in een van de afleveringen kunnen de kandidaten kiezen uit kipchotel, paddenstoelenrisotto of maaltijdsalade. De volgende twee uitspraken over de voorkeur van de Mol zijn allebei waar:
A De Mol houdt of van kipchotel of van paddenstoelenrisotto.
B De Mol houdt of van maaltijdsalade of niet van kipchotel.

Stel dat de Mol niet van maaltijdsalade houdt.
Bereken aan de hand van bovenstaande uitspraken of de Mol dan van paddenstoelenrisotto houdt.

3p 1

2p 2

VW-1026-a-o 2 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 3

Tijdens een opdracht werd de vraag gesteld of hun gezamenlijke huisdier, de hond Evert, mocht blijven of weg moest. Als Evert meer ‘wegstemmen’ kreeg dan ‘blijf-stemmen’, moest hij weg. Vervolgens werden de drie kandidaten die nog in het spel waren ondervraagd: Manu, Harco en Irene. Hieronder zie je de beweringen van deze drie:

– Harco: “Irene vindt Evert heel stom en Manu knuffelt heel vaak met Evert.”
– Manu: “Ik ben allergisch voor Evert en kan daarom nooit met hem ravotten of knuffelen. En ik vind het wel vervelend dat ik Evert soms moet uitlaten, maar ik heb Evert geen ‘weg-stem’ gegeven.”
– Irene: “Ik heb zowel Harco als Manu samen met Evert zien ravotten en bovendien weet ik zeker dat een van beiden Evert heeft weggestemd.”

Slechts een van de drie is de Mol en mag liegen; we nemen aan dat de twee anderen de waarheid spreken.

Om uit te zoeken wie de Mol is, bekijken we de volgende twee beweringen:
$M$: Manu spreekt de waarheid
$I$: Irene spreekt de waarheid

Uit bovenstaande beweringen volgt dat geldt: $M \Rightarrow \neg I$

3p 3 Toon aan dat $M \Rightarrow \neg I$ inderdaad uit bovenstaande beweringen volgt.
3p 4 Leg uit wie de Mol is.

### Pagina 4

Plastic
In de zomer van 1907 slaagde de Belgisch-Amerikaanse scheikundige
Leo Baekeland er als eerste in om plastic te maken. De jaren erna
ontwikkelden scheikundigen verschillende soorten plastic. Vanaf 1950
startte de massaproductie van plastic, waardoor de jaarlijkse
plasticproductie wereldwijd flink begon toe te nemen. Zie de figuur.

figuur
[FIGUUR: Lijn grafiek die de wereldwijde plasticproductie (in miljoen ton) weergeeft van 1950 tot 2015.]
hoeveelheid
(in miljoenen tonnen)
350
2015: 322
300
2011: 280
2009: 250
250
2002: 200
200
150
1989: 100
100
1977: 50
50
1950: 1,5
0
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

4p 5 In de periode 1977 - 2002 is de jaarlijkse plasticproductie bij benadering
exponentieel toegenomen.
Bereken de jaarlijkse procentuele toename in de periode 1977 - 2002.
Geef je antwoord in één decimaal.

3p 6 In 2002 was de jaarlijkse plasticproductie 200 miljoen ton. Daarna nam de
jaarlijkse plasticproductie tot 2015 jaarlijks met een groeifactor van
ongeveer 1,037 toe.
Wanneer de groei op deze manier doorgaat, zal de jaarlijkse
plasticproductie in een zeker jaar meer dan één miljard ton zijn.
Bereken in welk jaar dat voor het eerst is.

VW-1026-a-o 4 / 15 lees verder ► ►►

### Pagina 5

De toenemende plasticproductie zorgt voor een toenemende hoeveelheid plastic afval. In 2015 kwam er 250 miljoen ton plastic afval vrij en men gaat ervan uit dat de hoeveelheid plastic afval die jaarlijks vrijkomt met 4,1% per jaar zal toenemen. Tegelijkertijd wordt er een steeds groter percentage plastic afval gerecycled. In 1990 werd 2% van de vrijgekomen hoeveelheid plastic gerecycled. De jaren erna nam dit percentage lineair toe met 0,7% per jaar tot 11,8% in 2004.

Wanneer deze trend in recycling ook na 2004 doorzet, zal in 2050 een substantieel deel van het plastic afval dat in dat jaar vrijkomt gerecycled worden.
3p 7 Bereken hoeveel miljoen ton plastic afval in 2050 in dat geval gerecycled zal worden. Geef je antwoord in gehele miljoenen tonnen.

Voor de voorspelling voor de jaren na 2015 van de totale hoeveelheid vrijgekomen plastic afval had men de volgende uitgangspunten:
- Tot en met 2014 was er in totaal 6050 miljoen ton plastic afval vrijgekomen.
- In 2015 kwam daar 250 miljoen ton bij.
- Na 2015 nam de hoeveelheid jaarlijks vrijgekomen plastic afval met 4,1% per jaar toe.

Op basis hiervan voorspelde men dat er tot en met 2018 in totaal (op honderden miljoen ton afgerond) 7100 miljoen ton plastic afval vrij zou komen.
3p 8 Geef uitsluitend met behulp van bovenstaande uitgangspunten deze voorspelde hoeveelheid in gehele miljoenen tonnen nauwkeurig.

VW-1026-a-o 5 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

The Mastaba

De in 2020 overleden Bulgaarse kunstenaar Christo werkte sinds 1977 aan — nooit afgerond — project genaamd The Mastaba. Met dit project wilde hij uiteindelijk in Abu Dhabi de grootste sculptuur ter wereld realiseren. De naam Mastaba verwijst naar de zogeheten mastabagraven van de Egyptenaren, nog voor de tijd dat ze piramides gebruikten.

The Mastaba moest 150 meter hoog worden met een grondvlak van 300 meter breed en 225 meter lang. Het horizontale bovenvlak is evenwijdig met het grondvlak en moest 126,8 meter breed worden. In figuur 1 zie je een schets uit 1977 van The Mastaba.

figuur 1
[FIGUUR: Schets van een Mastaba, een groot object met schuine zijden.]

figuur 2
[FIGUUR: Trapeziumvorm met afmetingen. De hoogte is 150, de bovenzijde 126,8 en de onderzijde 300.]

Het voor- en achtervlak van The Mastaba zijn verticaal en zijn symmetrisch. Zie figuur 2.

3p 9 Teken het bovenaanzicht van The Mastaba op schaal 1:2500.

Christo heeft vele perspectivische schetsen van The Mastaba gemaakt. In figuur 1 is een van die schetsen te zien.

In de figuur op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een perspectieftekening zoals geschetst in figuur 1. Een deel van de schuin opstaande ribbe rechts is al getekend. De horizon is scheef en deze is ook getekend.

4p 10 Maak de perspectieftekening op de uitwerkbijlage af.

VW-1026-a-o 6 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 7

Het was Christo's bedoeling dat alle zijvlakken van The Mastaba uit
olie vaten opgebouwd zouden worden.

Ondanks dat The Mastaba niet gerealiseerd is, heeft Christo wel al
verschillende - weliswaar kleinere – indrukwekkende varianten van The
Mastaba gebouwd.
Zo heeft hij in 2018 in Hyde Park in Londen een mastaba van 20 meter
hoog met een grondvlak van 40 meter breed en 30 meter lang
gerealiseerd. Ook van deze mastaba waren alle zes de zijvlakken uit
olie vaten opgebouwd. Hiervoor waren 7506 olie vaten nodig. Zie foto 1 en
figuur 3.

foto 1
[FIGUUR: Foto van een gigantische piramide die op het water ligt in een stedelijke omgeving met hoge gebouwen op de achtergrond.]

figuur 3
[FIGUUR: Een isometrische weergave van een achthoekig prismatisch object dat bedekt is met een rasterpatroon, dat de olie vaten symboliseert. De afmetingen 20 m en 30 m worden getoond. Er is ook een ingezoomd detail dat een cilinder met banden toont.]

De mastaba in Londen is een verkleining van wat uiteindelijk The Mastaba
had moeten worden.
3p 11 Geef een schatting van het aantal olie vaten dat Christo nodig zou hebben
gehad voor The Mastaba. Licht je antwoord toe met een berekening. Geef
je antwoord in tienduizenden nauwkeurig.

VW-1026-a-o
7 / 15
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Christo's fascinatie voor mastaba's
van olievaten bestond al voordat hij het
idee kreeg voor The Mastaba. Zo heeft hij
al in 1968, dus nog voor de start van het
project The Mastaba, in Philadelphia het
kunstwerk 1240 Oil Barrels Mastaba
gebouwd. Op foto 2 zie je dit kunstwerk
gedeeltelijk afgebeeld.

foto 2

[FIGUUR: Stapel olievaten.]

Dit kunstwerk is kleiner dan Christo
eigenlijk had bedacht, omdat zijn
oorspronkelijke idee niet in de ruimte zou
passen waar het kunstwerk tentoongesteld
moest worden.

In zijn oorspronkelijke idee zou dit kunstwerk volledig – dus niet alleen de
buitenzijden – uit lagen met olievaten zijn opgebouwd en wel als volgt:
– Elke laag is negen olievaten lang.
– De onderste laag is twintig olievaten breed.
– Elke laag is één olievat minder breed dan de laag eronder.
– Het kunstwerk bestaat uit twaalf lagen.

In de titel 1240 Oil Barrels Mastaba slaat 1240 op het aantal olievaten dat
uiteindelijk echt gebruikt is voor het kunstwerk. Met Christo's
oorspronkelijke idee zouden er meer olievaten zijn gebruikt en zou de titel
dus ook anders zijn geweest.

4p 12 Bereken welk getal op de plaats van 1240 in de titel zou hebben gestaan
als Christo zijn oorspronkelijke idee uit had kunnen voeren.

VW-1026-a-o 8 / 15 lees verder ► ► ►


### Pagina 9

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1026-a-o 9 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 10

Temperatuurverwachting

Tegenwoordig kun je op veel plaatsen de verwachte temperatuur vinden. Zo ook op de website van het KNMI. Het KNMI kan aan de hand van weerkaarten de temperatuur voor een aantal dagen voorspellen.

Op 21 januari 2018 heeft het KNMI een grafiek gemaakt van de verwachte temperatuur van 22 januari tot en met 5 februari van dat jaar. In figuur 1 zie je een stukje van deze grafiek. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 1
[FIGUUR: Een lijn grafiek met op de y-as temperatuur in graden Celsius van -25 tot 20, en op de x-as de dagen van de week van ma 22-01 tot zo 28-01. Er zijn twee gestippelde lijnen op de grafiek.]

Ook zie je in deze figuur twee stippellijnen. Deze lijnen geven het gemiddelde van de minimumtemperatuur en het gemiddelde van de maximumtemperatuur voor de periode 1981 – 2010 weer. Als de temperatuur tussen deze twee stippellijnen in zit, noemen we de temperatuur normaal voor de tijd van het jaar.

In figuur 1 is te zien dat het volgens de verwachting in de week van 22 januari 2018 behoorlijk warm zou worden voor de tijd van het jaar.

3p 13 Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel procent van de tijd het volgens de verwachting in de week van 22 januari 2018 warmer zou zijn dan normaal. Geef je antwoord in hele procenten.

VW-1026-a-o 10 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

In figuur 1 is de gemiddelde minimumtemperatuur $0.4$ °C en de gemiddelde maximumtemperatuur $6.0$ °C. Als de verwachte temperatuur netjes zou schommelen tussen de twee horizontale stippellijnen, dan krijg je een grafiek zoals in figuur 2 te zien is. In de rest van de opgave noemen we dit de 'normale' temperatuur.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as temperatuur in °C van 0 tot 6, en op de x-as tijd in dagen van 0 tot 7. De grafiek toont een sinusvormige curve die schommelt tussen 0.4 en 6.0.]

Bij deze 'normale' temperatuur past een periodiek verband.

3p 14 Geef de evenwichtsstand, de amplitude en de periode van dit verband.

De grafiek van de normale temperatuur gedurende een aantal dagen noemen we de modellijn. In de figuur op de uitwerkbijlage staat de modellijn getekend voor de periode vanaf 29 april tot en met 4 mei. Deze modellijn geeft een wiskundig model van de temperatuur gedurende deze periode. Elke nacht bereikt de temperatuur in het wiskundige model de stippellijn die hoort bij de gemiddelde minimumtemperatuur en gedurende de dag bereikt de temperatuur de stippellijn die hoort bij de gemiddelde maximumtemperatuur. Deze beide stippellijnen zijn evenwijdig.

Omdat de gemiddelde minimum- en maximumtemperatuur hier niet constant zijn, schommelt de modellijn om een lineaire trendlijn.
4p 15 Stel met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage een formule op van deze trendlijn. Gebruik hierbij $t$ in dagen met $t=0$ op 29 april om 00.00 uur.

VW-1026-a-o 11 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 12

Boundaries of Infinity
De gulden rechthoek wordt in de architectuur en de kunst veel gebruikt.
Ook het betonnen kunstwerk Boundaries of Infinity van kunstenaar
Norbert Francis Attard is gebaseerd op de gulden rechthoek. Zie foto 1.

foto 1
[FIGUUR: Een architectonisch kunstwerk met een golvend, betonnen structuur met erachter gebouwen en bomen.]

figuur 1
[FIGUUR: Een rechthoek, opgedeeld in een vierkant en een kleinere rechthoek. De afmetingen zijn aangegeven met '1', 'x' en 'x-1'.]

Gegeven is een rechthoek van 1 bij x,
zie figuur 1. De rechthoek is verdeeld in een vierkant en een kleinere
rechthoek. Voor gulden rechthoeken geldt dat de grote en de kleine
rechthoek gelijkvormig moeten zijn. Er geldt dan de volgende vergelijking:
$$x^2 - x = 1$$

3p 16 Toon aan dat deze vergelijking inderdaad geldt.

4p 17 De hoogte van het kunstwerk is in werkelijkheid 460 cm. Je kunt de
bovengenoemde vergelijking gebruiken om de breedte te berekenen.
Bereken de breedte van het kunstwerk. Geef je antwoord in hele
centimeters.

figuur 2
[FIGUUR: Een opbouw van rechthoeken en vierkanten die samen een spiraal vormen. Verschillende vlakken zijn grijs gekleurd.]

Figuur 2 is een redelijke benadering
van het vooraanzicht van het
kunstwerk. Deze figuur bestaat uit zes
vierkanten en een rechthoek. Deze
rechthoek laten we verder buiten
beschouwing. In elk vierkant is een
kwart cirkelschiif weggelaten. In de
oorspronkelijke rechthoek zijn er dus
open ruimten ontstaan. Het kunstwerk
bestaat dus voor een deel uit open ruimte.

Je kunt met behulp van figuur 2 een schatting maken welk deel van het
kunstwerk uit open ruimte bestaat. We gaan er daarbij van uit dat de
diepte van het kunstwerk geen rol speelt.

4p 18 Geef met een berekening een schatting welk deel van het kunstwerk uit
open ruimte bestaat. Geef je antwoord in hele procenten.

VW-1026-a-o
12 / 15
lees verder ►►►

Beschikbaar gesteld door Stichting Studieveiding Leiden (SSL).

### Pagina 13

Hieronder zie je een foto van het zijaanzicht van het kunstwerk.
Naast de foto zijn de getallen die op de zijkant van het kunstwerk staan,
weergegeven.

foto 2

[FIGUUR: Een zwart-witfoto van een gebouw met scherpe lijnen, gefotografeerd vanuit een lage hoek. Op de zijkant van het gebouw staan grote, donkere cijfers geschilderd, gerangschikt in kolommen en rijen. Naast de foto staat een tabel met getallen, beginnend met 1, 1 bovenaan en oplopend naar beneden.]

1 1
2 3 5
8 13
21 34
55 89
144 233
377 610
987 1597
2584 4541
7125 11666
18791 30457
49248 79705
128953 208658

Op de zijkant van het kunstwerk is de rij van Fibonacci te zien:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...
Elk getal in deze rij is te berekenen door de twee getallen ervoor bij elkaar
op te tellen. De kunstenaar heeft echter een fout gemaakt. Hij zegt
daarover: “Het is een kunstwerk over perfectie en oneindigheid. Maar het
is door een mens gemaakt, dus kan er een foutje in staan.”

3p 19 Onderzoek welke fout hij heeft gemaakt. Licht je werkwijze toe.

VW-1026-a-o 13 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 14

Jongleren
Bij jongleren gaat het om het in de lucht gooien, in de lucht houden en
opvangen van voorwerpen. Deze voorwerpen blijven tijdens het jongleren
van hand naar hand en in de lucht rondgaan. Zie de foto.
foto
figuur
[FIGUUR: Een jongleur houdt een bal vast, een kegel en ringen liggen ernaast.]
Op de foto zie je de Amerikaanse jongleur James Reid jongleren met drie
verschillende, nogal vreemde voorwerpen: een bowlingbal, een mes en
een speelgoedkip. Meestal wordt er echter met ballen, kegels en ringen
gejongleerd. In de figuur zie je een typisch pakket voor jongleurs,
bestaande uit drie identieke ringen, drie identieke ballen en drie identieke
kegels.
Een jongleur kiest uit het pakket drie voorwerpen om mee te jongleren. Hij
zou bijvoorbeeld een bal (B), een kegel (K) en een ring (R) kunnen
kiezen. Dit noteren we met BKR.
3p 20
Noteer op dezelfde manier alle overige mogelijkheden om drie
voorwerpen uit het pakket te kiezen.

VW-1026-a-o
14 / 15
lees verder ►►►

### Pagina 15

De rest van deze opgave gaat over jongleren met minimaal drie ballen, door één jongleur, waarbij de jongleur altijd twee handen gebruikt. Hiervoor bestaat een verband tussen een aantal variabelen, gegeven door de formule van Shannon:
$2 \cdot (V + H) = B \cdot (L + H)$

Hierin is:
- $V$ de vluchttijd, dat is de tijd die een bal in de lucht is tussen het gegooid en weer opgevangen worden (in seconden);
- $H$ de handtijd, dat is de tijd die een bal in één van de handen is tussen het vangen en het gooien van de bal (in seconden);
- $L$ de leegtijd, dat is de tijd dat een hand leeg is tussen het gooien van een bal en het vangen van de volgende bal (in seconden);
- $B$ het aantal ballen dat je gebruikt.

De formule van Shannon geldt alleen als alle ballen op dezelfde manier van de ene naar de andere hand worden gegooid, dus even snel en even hoog.

Door ballen hoger of lager te gooien, kunnen jongleurs de vluchttijd variëren. De maximale hoogte $h_{max}$ in meters die de ballen bereiken, kan worden benaderd met de volgende formule:
$h_{max} = 1,225 V^2 + 1,5$

Een jongleur jongleert met vijf ballen. Hij jongleert met een handtijd van $0,25$ seconden en een leegtijd van $0,35$ seconden.

4p 21 Bereken de maximale hoogte die de ballen zullen bereiken. Geef je antwoord in een geheel aantal decimeters.

De formule van Shannon kan worden herleid tot:
$$H = \frac{2V - BL}{B - 2}$$

4p 22 Geef deze herleiding.

Als je met steeds meer ballen wilt jongleren, waarbij je die ballen telkens even lang in de lucht wilt houden en je handen steeds even lang leeg wilt houden, moet je de ballen steeds sneller door je handen laten gaan.

3p 23 Beredeneer aan de hand van de formule
$$H = \frac{2V - BL}{B - 2}$$
dat de handtijd dan steeds korter moet worden.

VW-1026-a-o 15 / 15 einde ■