# Eindexamen Wiskunde C VWO 2021 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

3p 1 Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats aan waar het huis zich op diezelfde maandag om 20.30 uur bevindt. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een positie op een cirkel moet bepalen na een bepaalde tijd. Je moet de totale duur van de beweging berekenen en dit omzetten naar een deel van de cirkel.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je tijdsverschillen berekent en hoe je een deel van een geheel (in dit geval een cirkel) uitdrukt als een breuk of percentage. Je moet ook de windrichtingen en de draairichting kunnen interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de verstreken tijd nauwkeurig berekenen. Je kunt deze tijd omzetten naar een fractie van de totale omlooptijd. Je kunt vervolgens deze fractie correct plaatsen op de cirkel, rekening houdend met de startpositie en de draairichting.

Waar op letten: Let goed op de starttijd en de eindtijd om de totale verstreken tijd correct te berekenen. Een fout van een half uur kan al leiden tot een verkeerde positie.
Controleer de totale omlooptijd van de cirkelbeweging. Dit is cruciaal voor het bepalen van de juiste fractie.
Zorg ervoor dat je de draairichting (met de klok mee of tegen de klok in) correct toepast vanaf de startpositie.
Druk de verstreken tijd uit als een breuk van de totale omlooptijd. Dit helpt je om de positie nauwkeurig te bepalen zonder te vroeg af te ronden.
Plaats het punt nauwkeurig op de uitwerkbijlage. Een kleine afwijking kan al leiden tot een verkeerde interpretatie van de windrichting.

Kernbegrippen: cirkelbeweging, tijdrekenen, verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect omrekenen van tijd (bijv. 12.30 uur i.p.v. 12,5 uur)
- Verkeerde draairichting aannemen
- Reken- of afrondfout bij het bepalen van de fractie van de cirkel

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (3 punten)

3p 2 Bereken hoeveel hele weken na tijdstip \(t = 0\) het huis zich voor het eerst weer om 08.00 uur op maandag in punt O bevindt. De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter. De afstand tussen het huis en de weg is 2,5 meter. Het oorspronkelijke idee van kunstenaar John Körmeling was om het huis in dezelfde tijd rond te laten draaien als de tijd die het de auto's kost om de rotonde rond te rijden. Omdat de auto's op de rotonde een grotere afstand moeten afleggen dan de afstand die het huis aflegt, hebben de auto's dan dus een hogere snelheid. In figuur 2 is het draaiende huis met \(H\) aangegeven en een auto op de rotonde met \(A\). figuur 2 N 2,5 m A H west 30 m oost W O Z De kunstenaar ging ervan uit dat de auto's met een gemiddelde snelheid van 25 km/uur op de rotonde zouden rijden. De omtrek van een cirkel bereken je met de formule: \(\text{omtrek} = 2\pi \cdot \text{straal}\)

Wat kun je verwachten: Je zult moeten werken met tijdseenheden (uren, dagen, weken) en de periodiciteit van de beweging van het huis. Je moet de informatie uit de tekst goed combineren om tot de juiste conclusie te komen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je omtrekken berekent en hoe je snelheden omrekent. Ook moet je bekend zijn met het concept van periodiciteit en het vinden van een moment waarop meerdere cycli samenvallen.

Wat moet je kunnen: Je moet de omlooptijd van het huis kunnen berekenen. Vervolgens moet je bepalen wanneer het huis weer op hetzelfde punt én op dezelfde dag van de week én op hetzelfde tijdstip is. Dit betekent dat je moet zoeken naar een moment waarop de draaitijd van het huis, de dagcyclus en de weekcyclus allemaal samenvallen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de snelheid is in km/uur, de straal in meters. Zorg dat je consistent bent in je eenheden (bijvoorbeeld alles omrekenen naar meters en uren).
De vraag vraagt om 'hele weken'. Dit betekent dat je antwoord een geheel aantal weken moet zijn.
Vergeet niet dat het huis niet alleen op dezelfde plaats moet zijn, maar ook op dezelfde dag van de week (maandag) en op hetzelfde tijdstip (08.00 uur). Dit zijn cruciale voorwaarden.
Rond niet te vroeg af. Werk zo lang mogelijk met exacte waarden of voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: periodieke verschijnselen, tijdrekenen, kleinste gemene veelvoud

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de dag van de week (maandag) ook een voorwaarde is, en dus alleen het KGV van 20 en 24 uur berekenen.
- Reken- of redeneerfout bij het omzetten van uren naar dagen en weken.
- Onjuiste aanname over de cyclus, zoals beschreven in de opmerking van het correctievoorschrift (de '4 uur vroeger' redenering).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (4 punten)

De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter. De afstand tussen het huis en de weg is 2,5 meter. Het oorspronkelijke idee van kunstenaar John Körmeling was om het huis in dezelfde tijd rond te laten draaien als de tijd die het de auto's kost om de rotonde rond te rijden. Omdat de auto's op de rotonde een grotere afstand moeten afleggen dan de afstand die het huis aflegt, hebben de auto's dan dus een hogere snelheid. In figuur 2 is het draaiende huis met H aangegeven en een auto op de rotonde met A.

figuur 2

De kunstenaar ging ervan uit dat de auto's met een gemiddelde snelheid van 25 km/uur op de rotonde zouden rijden.
De omtrek van een cirkel bereken je met de formule: omtrek = 2π ⋅ straal

Bereken met welke snelheid in km/uur het huis dan had moeten ronddraaien. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult de omtrek van twee verschillende cirkels moeten berekenen, één voor het huis en één voor de auto's. Vervolgens zul je de relatie tussen afstand, snelheid en tijd moeten gebruiken om de gevraagde snelheid te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de omtrek van een cirkel kennen (omtrek = 2π ⋅ straal) en de relatie tussen afstand, snelheid en tijd (afstand = snelheid ⋅ tijd, of snelheid = afstand / tijd, of tijd = afstand / snelheid). Ook moet je weten hoe je eenheden omrekent, met name meters naar kilometers.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante gegevens uit de tekst en figuur halen, de juiste formules toepassen, eenheden correct omrekenen en nauwkeurig rekenen om tot het gevraagde antwoord te komen. Je moet ook in staat zijn om een logische redenering op te zetten om de snelheid van het huis te bepalen, gegeven de snelheid van de auto en de gelijke rondetijd.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de snelheid is in km/uur, maar de straal is in meters. Je zult eenheden moeten omrekenen om consistent te blijven.
Identificeer de juiste straal voor zowel het huis als de auto's. De straal van het huis is 30 meter, maar de auto's rijden op de rotonde, wat betekent dat je de afstand tussen het huis en de weg moet optellen bij de straal van het huis.
Rond je tussenantwoorden niet te vroeg af. Gebruik de volledige getallen uit je rekenmachine voor verdere berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen.
De vraag vraagt om de snelheid in km/uur en het antwoord in één decimaal. Zorg dat je aan deze eisen voldoet bij je eindantwoord.

Kernbegrippen: omtrek cirkel, snelheid, afstand en tijd, verhoudingen, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde straal gebruiken voor de auto's (30m of 2.5m ipv 32.5m)
- Eenheden door elkaar halen (meters en kilometers)
- Voortijdig afronden van tussenantwoorden
- Verkeerde verhouding opstellen in de alternatieve methode (32.5/30 ipv 30/32.5)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (4 punten)

Op de uitwerkbijlage is het begin van een bovenaanzicht van figuur 1 getekend.
Maak dit bovenaanzicht op de uitwerkbijlage af.

Wat kun je verwachten: Je zult een bovenaanzicht moeten tekenen van een complexere 3D-figuur. Dit betekent dat je de figuur van bovenaf moet bekijken en alle zichtbare lijnen correct moet projecteren op een plat vlak. Je moet goed letten op de onderlinge positie en overlap van de verschillende delen.

Wat moet je kennen: Je moet de principes van een bovenaanzicht (orthografische projectie) kennen. Dit houdt in dat je weet hoe je 3D-objecten, zoals vierkanten en piramides, correct in 2D projecteert. Je moet ook begrijpen hoe overlappende objecten in een bovenaanzicht worden weergegeven.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een perspectivische tekening (figuur 1) te interpreteren en deze om te zetten naar een bovenaanzicht. Je moet nauwkeurig kunnen tekenen en de juiste verhoudingen en posities van de verschillende onderdelen van het dak kunnen weergeven, inclusief de diagonalen die de nokken van de piramides voorstellen.

Waar op letten: Let goed op de overlap van de twee piramides. Welke delen zijn van bovenaf zichtbaar en welke niet? Teken alleen de zichtbare lijnen.
De diagonalen in de vierkanten representeren de nokken van de piramides. Zorg dat je deze correct tekent, vanuit de hoekpunten naar het midden van het grondvlak van elke piramide.
Gebruik de reeds getekende lijnen op de uitwerkbijlage als basis en zorg dat je tekening consistent is met dit begin.
Controleer of je alle relevante hoekpunten en lijnen van de figuur 1 hebt meegenomen in je bovenaanzicht, zonder onnodige of onzichtbare lijnen toe te voegen.
De vraag vraagt om het afmaken van de tekening. Dit betekent dat je de bestaande lijnen niet moet negeren, maar juist moet aanvullen tot een compleet bovenaanzicht.

Kernbegrippen: ruimtemeetkunde, projectie, bovenaanzicht

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen perspectieftekening en bovenaanzicht.
- Incorrect interpreteren van de overlap van de twee piramides.
- Mogelijke inconsistentie tussen de labels in de opgavetekst (ABCD) en de verwachte tekening (ABCP).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (5 punten)

5p 5 Teken het grondvlak \(EFGH\) van de achterste piramide in deze perspectieftekening op de uitwerkbijlage. Om in te schatten hoeveel dakpannen er nodig zijn voor het dak, is het nodig om de totale oppervlakte te berekenen van alle schuine bovenvlakken van het model van het tweepiramidendak. De volgende afmetingen zijn bekend: \(AB = 7\) m, \(AP = 3,5\) m, \(AT = 6,49\) m en de afstand van \(T\) tot \(AB\) is (afgerond op twee decimalen) \(5,47\) m.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een geometrische figuur (een vierkant) moet construeren in een perspectieftekening. Je zult lijnen moeten verlengen, verdwijnpunten moeten bepalen en snijpunten moeten vinden om de hoekpunten van het grondvlak EFGH te plaatsen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van perspectieftekenen kennen, waaronder het concept van verdwijnpunten, de horizon en hoe parallelle lijnen in de ruimte worden weergegeven in een perspectieftekening. Je moet ook weten hoe je een middenpunt van een vierkant in perspectief kunt vinden.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen tekenen met een liniaal en potlood. Je moet in staat zijn om lijnen te verlengen, verdwijnpunten te identificeren en te gebruiken, en punten te construeren op basis van de geometrische eigenschappen van de figuur en de regels van perspectief.

Waar op letten: Je moet de regels van perspectieftekenen correct toepassen, met name hoe parallelle lijnen in de ruimte samenkomen in een verdwijnpunt op de horizon.
Je moet nauwkeurig werken bij het verlengen van lijnen en het bepalen van snijpunten om de punten E, F, G en H correct te construeren.
Je moet goed begrijpen dat het grondvlak EFGH een vierkant is en hoe de punten E, F, G en H zich verhouden tot de reeds getekende punten A, B, C en D in perspectief.
Je moet controleren of je tekening logisch is en overeenkomt met de visuele informatie van een vierkant in perspectief, waarbij de lijnen die verder weg liggen korter lijken en naar het verdwijnpunt convergeren.

Kernbegrippen: perspectieftekenen, verdwijnpunt, horizon, constructie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd bepalen van het verdwijnpunt
- Aannemen dat lijnen die in 3D parallel zijn, ook in de perspectieftekening parallel moeten zijn (bijv. AD en EH)
- Onjuist construeren van het middenpunt F of het projecteren van punten zoals E en H.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (4 punten)

Om in te schatten hoeveel dakpannen er nodig zijn voor het dak, is het nodig om de totale oppervlakte te berekenen van alle schuine bovenvlakken van het model van het tweepiramidendak. De volgende afmetingen zijn bekend: AB = 7 m, AP = 3,5 m, AT = 6,49 m en de afstand van T tot AB is (afgerond op twee decimalen) 5,47 m.
Bereken de totale oppervlakte van alle schuine bovenvlakken van het model van het tweepiramidendak.
Geef je antwoord in een geheel aantal m².

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van een oppervlakte in een ruimtelijke context. Je moet de gegeven afmetingen gebruiken om de oppervlakte van verschillende driehoekige vlakken te bepalen en deze vervolgens op de juiste manier te combineren om de totale oppervlakte te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de oppervlakte van een driehoek kennen. Je moet ook inzicht hebben in hoe je een complexere vorm, zoals dit dakmodel, kunt opdelen in eenvoudigere geometrische figuren waarvan je de oppervlakte kunt berekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet de afmetingen uit de vraag kunnen koppelen aan de juiste zijden en hoogtes in de figuren. Je moet de oppervlakte van individuele driehoeken kunnen berekenen en vervolgens deze oppervlaktes correct kunnen optellen of aftrekken om de totale gevraagde oppervlakte te bepalen. Je moet ook nauwkeurig kunnen afronden zoals de vraag dat van je vraagt.

Waar op letten: Je moet goed kijken naar de constructie van het tweepiramidendak in de figuren. Hoeveel vlakken zijn er precies en hoe verhouden ze zich tot elkaar?
Je moet de juiste formule voor de oppervlakte van een driehoek gebruiken: 0,5 * basis * hoogte. Let goed op welke afmetingen de basis en de hoogte zijn in de context van de gegeven driehoeken.
Je moet nauwkeurig rekenen met de gegeven afmetingen. Rond niet te vroeg af, bewaar zoveel mogelijk decimalen tijdens je berekeningen en rond pas op het allerlaatste moment af naar een geheel aantal m² zoals gevraagd.
Je moet controleren of je alle relevante vlakken hebt meegenomen in je totale oppervlakteberekening en of je geen vlakken dubbel hebt geteld of juist bent vergeten.

Kernbegrippen: oppervlakte driehoek, ruimtemeetkunde, piramide, oppervlakte berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal vlakken tellen
- Overlappende delen niet correct verwerken
- Afrondingsfouten
- Verkeerde formule voor oppervlakte driehoek gebruiken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (3 punten)

3p 7 Door de $ 125 uit 1970 om te rekenen naar dollars uit 2013 kan je de reële gemiddelde huurstijging berekenen. De reële gemiddelde huurstijging is de procentuele stijging van de gemiddelde huurprijzen boven op de stijging als gevolg van de inflatie. Bereken de reële gemiddelde huurstijging. Geef je antwoord in één decimaal. In het vervolg van deze opgave zijn alle genoemde bedragen, getallen en percentages berekend met de naar 2013-dollars omgerekende bedragen. Je hoeft dus zelf geen rekening te houden met inflatie. Verder spreken we in het vervolg van deze opgave over inkomen, huurprijs en huurlast, terwijl daar gemiddeld inkomen, gemiddelde huurprijs en gemiddelde huurlast bedoeld wordt. Een belangrijke maatstaf om de betaalbaarheid van huurwoningen te onderzoeken is het percentage van het inkomen dat besteed wordt aan het betalen van de huur: de **huurlast**. In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $561 en was de huurlast 15%. In de periode tussen 1960 en 2013 stegen de huurprijzen met 63,5%, terwijl het maandinkomen in dezelfde periode met slechts 17% steeg. Uit deze gegevens volgt dat de huurlast in 2013 ongeveer gelijk was aan 21%.

Wat kun je verwachten: Je zult een bedrag uit het verleden moeten omrekenen naar een bedrag in het heden, rekening houdend met inflatie. Daarna bereken je een procentuele stijging. Je moet goed opletten op de periode waarover de inflatie berekend moet worden en de basis waarover je de procentuele stijging berekent.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor procentuele verandering kennen: (nieuw - oud) / oud * 100%. Ook moet je weten hoe je een bedrag omrekent met een groeifactor over meerdere jaren: bedrag * (groeifactor)^aantal_jaren. Je moet ook weten dat de groeifactor voor een jaarlijkse inflatie van 3,95% gelijk is aan 1 + 0,0395 = 1,0395.

Wat moet je kunnen: Je kunt het aantal jaren tussen twee data bepalen. Je kunt een bedrag uit het verleden omrekenen naar een bedrag in het heden met behulp van een groeifactor. Je kunt de procentuele verandering berekenen tussen twee bedragen en je antwoord correct afronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op het aantal jaren waarover je de inflatie moet berekenen. Het is 2013 - 1970.
Zorg ervoor dat je de groeifactor correct gebruikt. Een inflatie van 3,95% betekent een groeifactor van 1,0395 (niet 0,0395).
De reële stijging bereken je door de huurprijs van 2013 te vergelijken met de 'geïnflateerde' huurprijs van 1970. Dit geïnflateerde bedrag is je 'oude' waarde voor de procentuele verandering.
Rond pas af op één decimaal bij het allerlaatste antwoord. Gebruik tussendoor voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.
De eenheid van je antwoord is een percentage (%).

Kernbegrippen: inflatie, groeifactor, procentuele verandering, reële stijging

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal jaren gebruiken voor de exponent (2013 - 1970 = 43).
- De procentuele stijging berekenen ten opzichte van het oorspronkelijke bedrag ($125) in plaats van het voor inflatie gecorrigeerde bedrag.
- Verkeerd afronden op één decimaal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (3 punten)

In het vervolg van deze opgave zijn alle genoemde bedragen, getallen en percentages berekend met de naar 2013-dollars omgerekende bedragen. Je hoeft dus zelf geen rekening te houden met inflatie.
Verder spreken we in het vervolg van deze opgave over inkomen, huurprijs en huurlast, terwijl daar gemiddeld inkomen, gemiddelde huurprijs en gemiddelde huurlast bedoeld wordt.

Een belangrijke maatstaf om de betaalbaarheid van huurwoningen te onderzoeken is het percentage van het inkomen dat besteed wordt aan het betalen van de huur: de **huurlast**.

In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $561 en was de huurlast 15%. In de periode tussen 1960 en 2013 stegen de huurprijzen met 63,5%, terwijl het maandinkomen in dezelfde periode met slechts 17% steeg.
Uit deze gegevens volgt dat de huurlast in 2013 ongeveer gelijk was aan 21%.
Laat een berekening zien waaruit dit blijkt.

Wat kun je verwachten: Je zult een berekening moeten opzetten om de huurlast in 2013 te bepalen. Dit betekent dat je eerst de huurprijs en het inkomen in 2013 moet berekenen, gebaseerd op de gegevens uit 1960 en de gegeven stijgingspercentages.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met percentages en procentuele stijgingen rekent. Je moet ook het concept van een groeifactor kennen en hoe je deze toepast op een oorspronkelijk bedrag om een nieuw bedrag na een stijging te vinden.

Wat moet je kunnen: Je moet de oorspronkelijke huurprijs en huurlast gebruiken om het inkomen in 1960 te berekenen. Vervolgens moet je de groeifactoren voor de huurprijs en het inkomen correct toepassen om de waarden in 2013 te vinden. Tot slot bereken je de huurlast in 2013 door de nieuwe huurprijs te delen door het nieuwe inkomen en dit om te zetten naar een percentage.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage (zoals 15% huurlast) en een procentuele stijging (zoals 63,5% stijging van de huurprijs). Je moet deze correct omzetten naar decimalen of groeifactoren.
Zorg ervoor dat je niet te vroeg afrondt. Gebruik de volledige getallen in je tussenberekeningen en rond pas op het einde af naar het gevraagde percentage.
Houd de eenheden goed in de gaten. Je werkt met dollars voor huurprijs en inkomen, en percentages voor de huurlast. De huurlast is een verhouding en dus een percentage.
De 'huurlast' is gedefinieerd als het percentage van het inkomen dat aan huur wordt besteed. Dit betekent: (huurprijs / inkomen) * 100%. Zorg dat je deze verhouding correct toepast.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, verhoudingen, huurlast

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de verschillende percentages (huurprijsstijging, inkomensstijging, huurlast).
- Incorrect toepassen van groeifactoren.
- Verkeerd berekenen van het startinkomen in 1960.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 11 – Opgave 1 (5 punten)

In figuur 2 is te zien dat de huurprijs schommelt om een trendlijn. De huurprijs kan dus worden benaderd met behulp van deze trendlijn.
In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $561 en was de huurlast 15%.
Het gemiddelde maandinkomen van de inwoners van New York was op zijn hoogst in het jaar 2000 en was toen $4832.
In een rapport van de Bank of America uit 2013 stond dat het gemiddelde maandinkomen pas in 2023 weer op het niveau van het jaar 2000 zou zijn.
Je kunt nu, uitgaande van de getekende trendlijn voor de huurprijs en de veronderstelling uit het rapport van de Bank of America, berekenen wat in 2023 de huurlast in New York zal zijn.
Bereken met behulp van deze trendlijn en de genoemde veronderstelling de huurlast in New York in 2023. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult een lineair model moeten opstellen op basis van een trendlijn in een grafiek. Je gebruikt dit model om een waarde te extrapoleren en vervolgens een verhouding te berekenen. Dit vereist nauwkeurig aflezen en rekenen met percentages.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire functie opstelt aan de hand van twee punten. Je moet ook weten hoe je percentages omzet naar groeifactoren en hoe je een huurlast (percentage) berekent uit een huurprijs en een inkomen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet de helling van een lijn kunnen berekenen en een lineaire vergelijking kunnen opstellen. Vervolgens moet je deze vergelijking kunnen gebruiken om een waarde voor een toekomstig jaar te voorspellen en daarmee de huurlast te berekenen.

Waar op letten: Let goed op het aflezen van de punten op de trendlijn in figuur 2. Een kleine afwijking kan al leiden tot een ander eindantwoord. Kies bij voorkeur twee punten die ver uit elkaar liggen op de trendlijn om de helling zo nauwkeurig mogelijk te bepalen.
Denk eraan dat de trendlijn percentages weergeeft. Wanneer je de absolute huurprijs in dollars berekent, moet je deze percentages omzetten naar decimalen (bijvoorbeeld 179,38% wordt 1,7938).
Voorkom vroegtijdig afronden. Gebruik onafgeronde waarden in je berekeningen en rond pas het eindantwoord af op één decimaal, zoals gevraagd.
Controleer of je het juiste inkomen voor 2023 gebruikt. Volgens de tekst is dit gelijk aan het inkomen van 2000.
Vergeet niet het eindantwoord als percentage te noteren, afgerond op één decimaal.

Kernbegrippen: lineair model, trendlijn, helling berekenen, extrapoleren, procentuele verandering, indexcijfers, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de punten op de trendlijn.
- Vergeten het percentage om te zetten naar een groeifactor (bijv. 179,38% naar 1,7938) bij het berekenen van de absolute huurprijs.
- Reken- of afrondingsfouten, vooral bij het niet doorrekenen met onafgeronde tussenantwoorden.
- Het inkomen van 2023 is gelijk aan dat van 2000 ($4832), niet het inkomen van 1960 of 2013.
- Vergeten het eindantwoord in één decimaal te geven zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (3 punten)

3p 12 Bereken hoeveel verschillende top 3's er mogelijk zijn in een wedstrijd met 22 deelnemers. De race duurde 75 ronden van 3328 meter en werd gewonnen door de Fransman Olivier Panis. Panis deed in totaal 2 uur en 45 seconden over de race.

Wat kun je verwachten: Je zult een vraag krijgen over het tellen van mogelijkheden, specifiek over het rangschikken van een aantal elementen uit een grotere groep. Je moet bepalen of de volgorde van de elementen belangrijk is.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen permutaties en combinaties. Je moet weten wanneer je welke methode toepast. Je moet ook de notatie en de berekeningswijze van permutaties kennen (nPr of n * (n-1) * (n-2) ...).

Wat moet je kunnen: Je moet de vraagtekst goed kunnen analyseren om te bepalen of de volgorde van de gekozen elementen van belang is. Je moet vervolgens de juiste combinatorische techniek (permutatie) kunnen toepassen en de berekening correct kunnen uitvoeren, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine.

Waar op letten: Let goed op de formulering 'top 3'. Dit betekent dat er een 1e, 2e en 3e plaats is, en de volgorde dus belangrijk is. Dit is cruciaal voor de keuze van de juiste combinatorische methode.
Verwar permutaties (volgorde belangrijk) niet met combinaties (volgorde niet belangrijk). Als de volgorde niet belangrijk was geweest, zou de vraag bijvoorbeeld zijn 'hoeveel verschillende groepen van 3 deelnemers kunnen er gevormd worden'.
Controleer of je de juiste functie op je rekenmachine gebruikt: 'nPr' voor permutaties, niet 'nCr' voor combinaties.
Zorg ervoor dat je het antwoord als een geheel getal geeft, aangezien het gaat om aantallen 'top 3's'.

Kernbegrippen: permutaties, combinatoriek

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen permutaties (volgorde belangrijk) en combinaties (volgorde niet belangrijk). De term 'top 3' impliceert een rangorde (1e, 2e, 3e), dus is het een permutatie. Een veelgemaakte fout is het berekenen van het aantal combinaties (22 nCr 3).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 14 – Opgave 14 (2 punten)

Bij iedere race in een Formule 1-seizoen kunnen de coureurs punten verdienen voor het kampioenschap. Bij de race in 1996 gold de regel dat de eerste 6 coureurs punten kregen, de overige 16 coureurs niet. Het was dus mogelijk dat een uitgevallen coureur toch punten behaalde.

In het diagram in de figuur zijn alle mogelijkheden voor de coureurs schematisch weergegeven.

figuur

In dit diagram geldt:
– A zijn de coureurs die punten hebben behaald.
– B zijn de coureurs die zijn uitgevallen.
– C zijn de coureurs die zijn uitgevallen door een ongeluk.
– D zijn de coureurs die zijn uitgevallen door technische problemen.

Het ingekleurde deel van het diagram kan maar één coureur bevatten.
14 Leg uit welke coureur dat is.

Wat kun je verwachten: Je zult een Venn-diagram en een tabel met data moeten analyseren. Je moet logisch redeneren om de juiste coureur te identificeren die voldoet aan de criteria van het ingekleurde gebied.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van Venn-diagrammen en verzamelingenleer kennen, zoals wat een doorsnede van verzamelingen betekent. Ook moet je weten hoe je informatie uit een tabel en een beschrijvende tekst combineert.

Wat moet je kunnen: Je moet een Venn-diagram kunnen interpreteren en de betekenis van de verschillende gebieden kunnen benoemen. Je moet ook een tabel met gegevens kunnen aflezen en de relevante informatie eruit kunnen filteren om een specifieke vraag te beantwoorden.

Waar op letten: Je moet heel precies de definitie van elke verzameling (A, B, C, D) in het Venn-diagram lezen en begrijpen.
Je moet goed interpreteren welk specifiek gebied het ingekleurde deel van het Venn-diagram representeert. Dit is een doorsnede van twee verzamelingen.
Je moet de regel over het behalen van punten (top 6) correct toepassen op de gegevens in de tabel.
Je moet de afkortingen in de tabel (zoals 'T' voor technische problemen) correct koppelen aan de definities in de vraag.
Je moet alle coureurs in de tabel systematisch controleren tegen de voorwaarden die je uit het ingekleurde deel hebt afgeleid.

Kernbegrippen: Venn-diagram, Verzamelingenleer, Logisch redeneren, Data interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde interpretatie van het Venn-diagram (doorsnede)
- Onjuist aflezen van de tabel
- Vergeten welke coureurs punten krijgen (top 6)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (2 punten)

2p 15 Geef op de uitwerkbijlage aan welk gebied dat is. We kunnen de positie van een coureur in het diagram ook beschrijven met behulp van logische symbolen. Er geldt: - \(a\): 'de coureur' bevindt zich in gebied A. - \(b\): 'de coureur' bevindt zich in gebied B. - \(c\): 'de coureur' bevindt zich in gebied C. - \(d\): 'de coureur' bevindt zich in gebied D. Als bijvoorbeeld 'de coureur' zou verwijzen naar een coureur in het ingekleurde gebied, dan geldt \(a \wedge d\).

Wat kun je verwachten: Je krijgt een Venn-diagram met vier gebieden (A, B, C, D) en definities van wat elk gebied representeert. Je moet een specifiek gebied in dit diagram identificeren en markeren op basis van een logische beschrijving. Dit vereist dat je de logische symbolen en de betekenis van de gebieden correct interpreteert.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren en Venn-diagrammen kennen. Je moet weten wat de symbolen voor 'en' (\(\wedge\)), 'of' (\(\vee\)), en 'niet' (\(\neg\) of een streep boven de letter) betekenen in de context van verzamelingen. Ook moet je de definities van de gebieden A, B, C en D uit de bijlage goed begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de logische beschrijving van een gebied vertalen naar de visuele representatie in het Venn-diagram. Je kunt de informatie uit de tabel en de beschrijving van de gebieden combineren om te bepalen welke coureurs aan welke voorwaarden voldoen, en zo het juiste gebied aanwijzen. Je kunt nauwkeurig een gebied afbakenen op een diagram.

Waar op letten: Let goed op de definities van de gebieden A, B, C en D. Wat betekent 'punten behaald', 'uitgevallen', 'uitgevallen door ongeluk' en 'uitgevallen door technische problemen' precies?
Verwar de logische operatoren niet. \(\wedge\) betekent 'en' (intersectie), \(\vee\) betekent 'of' (unie), en een ontkenning (bijvoorbeeld 'niet C') betekent alles buiten gebied C.
Lees de vraag zorgvuldig: 'Geef op de uitwerkbijlage aan welk gebied dat is.' Je moet het gebied markeren, niet alleen beschrijven.
Gebruik de tabel met race-uitslagen om te controleren of je interpretatie van de gebieden overeenkomt met de werkelijkheid van de coureurs. Dit kan je helpen bij het uitsluiten van verkeerde gebieden.

Kernbegrippen: Venn-diagram, logisch redeneren, settheorie, data-interpretatie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de definities van de sets A, B, C en D.
- Het niet correct combineren van de informatie uit de tabel met de definities van de sets in het Venn-diagram.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (2 punten)

We kunnen de positie van een coureur in het diagram ook beschrijven met behulp van logische symbolen. Er geldt:
- a: 'de coureur' bevindt zich in gebied A.
- b: 'de coureur' bevindt zich in gebied B.
- c: 'de coureur' bevindt zich in gebied C.
- d: 'de coureur' bevindt zich in gebied D.
Als bijvoorbeeld 'de coureur' zou verwijzen naar een coureur in het ingekleurde gebied, dan geldt a ∧ d.

Beredeneer naar welke coureurs 'de coureur' allemaal zou kunnen verwijzen als geldt b ∧ ¬(c ∨ d).

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logische uitdrukking met symbolen en moet deze vertalen naar een beschrijving van een groep coureurs. Vervolgens identificeer je deze coureurs aan de hand van de gegeven tabel en het diagram.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen, inclusief de betekenis van conjunctie (∧), disjunctie (∨) en negatie (¬). Ook moet je weten hoe je De Morgan's wetten toepast, met name voor de negatie van een disjunctie.

Wat moet je kunnen: Je moet een logische uitdrukking kunnen ontleden en de betekenis ervan kunnen vertalen naar de context van het probleem. Je moet ook informatie uit een tabel en een diagram kunnen combineren om tot de juiste conclusie te komen.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van de logische symbolen: '∧' (en), '∨' (of) en '¬' (niet).
Pas de negatie (¬) correct toe op de uitdrukking tussen haakjes. Onthoud dat ¬(c ∨ d) betekent 'niet c EN niet d'.
Verwar de gebieden A, B, C en D niet met de oorzaken van uitval (O, T, S) in de tabel. De definities van A, B, C, D staan bij de figuur.
Lees de tabel nauwkeurig om de coureurs te vinden die voldoen aan de geformuleerde voorwaarden.

Kernbegrippen: logisch redeneren, Venn-diagrammen, logische operatoren, conjunctie, disjunctie, negatie

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van 'of' (∨) en 'en' (∧)
- Incorrect toepassen van de negatie op een disjunctie (De Morgan's wetten)
- Niet correct interpreteren van de verzamelingen A, B, C, D in de context van de race-uitslag.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (2 punten)

2p 17 Geef in logische symbolen de situatie weer dat 'de coureur' verwijst naar M. Schumacher.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je informatie uit een tabel en een beschrijving van logische symbolen moet combineren om een logische uitdrukking te vormen. Je zult de status van een specifieke coureur moeten identificeren en deze status moeten vertalen naar de gegeven logische symbolen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen, inclusief de betekenis van conjunctie (∧ voor 'en') en negatie (¬ voor 'niet'). Je moet ook in staat zijn om informatie uit een tabel en een tekst te halen en deze te interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante informatie over M. Schumacher uit de tabel halen. Je kunt de definities van de logische symbolen (a, b, c, d) correct toepassen op de situatie van M. Schumacher. Je kunt een logische uitdrukking opstellen die de situatie van M. Schumacher nauwkeurig weergeeft, inclusief het gebruik van negatie indien nodig.

Waar op letten: Lees de tabel zorgvuldig af om de status van M. Schumacher te bepalen (uitgevallen, oorzaak, punten behaald of niet).
Interpreteer de logische symbolen (a, b, c, d) en hun betekenis correct. Let goed op wat 'in gebied A' of 'in gebied C' betekent.
Denk na over de negatie (¬) als iets NIET van toepassing is. Als een coureur geen punten heeft behaald, hoe vertaal je dat dan naar een logisch symbool?
Gebruik de juiste logische operator. 'En' duidt op een conjunctie (∧), wat betekent dat beide voorwaarden waar moeten zijn.

Kernbegrippen: logisch redeneren, formele logica, conjunctie, negatie, vertalen naar logische symbolen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de negatie (¬a) omdat hij geen punten heeft.
- Onjuist interpreteren van de gegevens uit de tabel.
- Verwarring tussen de verschillende logische operatoren (∧, ∨).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (3 punten)

3p 18 Bereken de afmetingen van het rechthoekige gat. Je mag hierbij de randen om de vierkanten buiten beschouwing laten. Geef je antwoord in een geheel aantal cm. Behalve de rij van Fibonacci bestaan er ook andere rijen, bijvoorbeeld de rij van Padovan. In figuur 1 zie je het ontwerp voor een Padovantafel. Het tafelblad bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van 2, 2, 3, 4, 5 en 7 dm. In het tafelblad zit een gat. Hier zijn drie gelijkzijdige driehoekjes met een zijde van 1 dm weggelaten. figuur 1 5 7 1 2 1 1 2 4 3 Het patroon van het tafelblad is geïnspireerd op de rij van Padovan, een rij getallen die op de volgende manier beschreven kan worden: P_1 = 1, P_2 = 1, P_3 = 1
P_n = P_n-2 + P_n-3 De tweede regel zegt dat P_4 = P_2 + P_1, P_5 = P_3 + P_2, enzovoort. Zo ontstaat dus de rij getallen: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7,... Deze rij kan nog verder voortgezet worden.

Wat kun je verwachten: Je zult de afmetingen van de verschillende onderdelen van de tafel moeten analyseren. Je moet de gegeven zijden van de gelijkzijdige driehoeken gebruiken om de totale afmetingen van het tafelblad en vervolgens de afmetingen van het rechthoekige gat te bepalen. Je moet goed kijken naar de visuele representatie in de figuur om de relaties tussen de verschillende delen te begrijpen.

Wat moet je kennen: Je moet basiskennis hebben van meetkunde, specifiek over rechthoeken en hoe je afmetingen kunt afleiden uit een figuur. Je moet ook weten hoe je met eenheden omgaat (decimeter naar centimeter).

Wat moet je kunnen: Je moet de figuur nauwkeurig kunnen interpreteren om de lengtes en breedtes van de verschillende onderdelen te bepalen. Je moet logisch kunnen redeneren om de afmetingen van het gat af te leiden uit de totale afmetingen en de afmetingen van de omliggende driehoeken. Je moet ook correct kunnen afronden naar een geheel aantal centimeters.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de zijden van de driehoeken zijn in decimeters (dm), maar het antwoord moet in centimeters (cm) gegeven worden. Vergeet niet om te zetten (1 dm = 10 cm).
Bestudeer de figuur zorgvuldig om te zien hoe de verschillende driehoeken en het gat zich tot elkaar verhouden. Welke zijden liggen tegen elkaar aan en welke vormen de totale lengte of breedte?
De vraag vermeldt 'gelijkzijdige driehoeken'. Dit betekent dat alle zijden van zo'n driehoek even lang zijn. Gebruik dit gegeven bij het bepalen van de afmetingen.
Rond pas aan het einde af naar een geheel aantal centimeters, om afrondingsfouten te minimaliseren. Te vroeg afronden kan leiden tot een incorrect antwoord.
De informatie over de rij van Padovan en de formule is interessant, maar is niet direct nodig voor het berekenen van de afmetingen van het gat. Laat je hierdoor niet afleiden.

Kernbegrippen: verhoudingen, meetkunde, ruimtelijk inzicht

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de verhoudingen.
- Aannemen dat de verhoudingen consistent zijn voor zowel lengte als breedte, wat leidt tot twee verschillende waarden voor een schaalfactor 'x'.
- Rondingsfouten of vergeten af te ronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (2 punten)

In figuur 2 zie je nogmaals het ontwerp voor de Padovantafel, waarvan p_n de lengte van de zijde van de n-de driehoek is. Bij een zijde van elke driehoek is de bijbehorende term p_n uit de rij van Padovan gezet.
In figuur 2 is te zien dat vanaf p_6 het volgende geldt:
p_6 = p_5 + p_1 (1)
p_7 = p_6 + p_2 (2)
p_8 = p_7 + p_3 (3)
enzovoort.
Blijkbaar kunnen de Padovan-getallen vanaf p_6 ook op deze manier berekend worden.
Geef een recursieve formule (inclusief startwaarden) die bij deze manier hoort.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een reeks voorbeelden van een recursieve relatie en je moet deze generaliseren naar een algemene formule. Ook moet je de benodigde startwaarden bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van een recursieve formule kennen, waarbij een term wordt gedefinieerd aan de hand van voorgaande termen. Je moet ook weten dat bij een recursieve formule altijd startwaarden horen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de patronen in de gegeven voorbeelden herkennen en vertalen naar een algemene formule. Je kunt ook bepalen hoeveel en welke startwaarden nodig zijn om de formule te laten werken.

Waar op letten: Let goed op de indices in de gegeven voorbeelden: p_6 = p_5 + p_1, p_7 = p_6 + p_2, p_8 = p_7 + p_3. Welke term wordt opgeteld bij de direct voorgaande term?
Zorg ervoor dat de recursieve formule die je opstelt, consistent is met alle gegeven voorbeelden. Test je formule met n=6, n=7 en n=8 om te controleren of deze klopt.
Denk goed na over het aantal startwaarden dat je nodig hebt. Als je formule bijvoorbeeld p_n uitdrukt in p_{n-1} en p_{n-5}, dan heb je de eerste vijf termen nodig om te kunnen beginnen met berekenen.
Controleer of je alle benodigde startwaarden expliciet vermeldt. Zonder de juiste startwaarden is de recursieve formule niet volledig.

Kernbegrippen: recursieve formule, rijen en reeksen

Veelgemaakte fouten:
- Onvoldoende startwaarden opgeven. De formule P_n = P_{n-1} + P_{n-5} heeft de 5 voorgaande termen nodig om te starten, dus P_1 t/m P_5 zijn vereist.
- Verkeerde indices in de recursieve formule, bijvoorbeeld P_n = P_{n-1} + P_{n-k} met een verkeerde k.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (2 punten)

Op grond van de formule Pₙ = Pₙ₋₂ + Pₙ₋₃ aan het begin van deze opgave geldt dus:
P₄ = P₂ + P₁ (4)
P₅ = P₃ + P₂ (5)
P₆ = P₄ + P₃ (6)
Toon aan, door uit te gaan van de formules 4, 5 en 6, dat geldt: P₆ = P₅ + P₁. Doe dit zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een bewijsvraag waarbij je algebraïsch moet aantonen dat een bepaalde gelijkheid klopt. Je start met de gegeven formules en manipuleert deze om de gewenste uitkomst te bereiken.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van algebraïsche substitutie en manipulatie kennen. Je moet begrijpen hoe je met recursieve formules werkt en hoe je termen kunt vervangen door andere uitdrukkingen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formules (4), (5) en (6) correct interpreteren. Je kunt de uitdrukking voor P₄ uit formule (4) substitueren in formule (6). Je kunt vervolgens de combinatie P₃ + P₂ herkennen als P₅ uit formule (5) en dit ook substitueren om de uiteindelijke gelijkheid P₆ = P₅ + P₁ aan te tonen.

Waar op letten: Gebruik absoluut GEEN getallenvoorbeelden. De vraag vraagt expliciet om een algebraïsche afleiding.
Begin met de meest complexe formule (P₆ = P₄ + P₃) en probeer stapsgewijs te vereenvoudigen of te substitueren.
Let goed op welke termen je kunt vervangen door andere uitdrukkingen. De relatie P₅ = P₃ + P₂ is hierbij cruciaal.
Zorg ervoor dat elke stap logisch volgt uit de voorgaande stappen of de gegeven formules.
Controleer of je aan het einde precies de gevraagde uitdrukking (P₆ = P₅ + P₁) hebt afgeleid.

Kernbegrippen: recursieve formules, algebraïsche manipulatie, substitutie

Veelgemaakte fouten:
- Een getallenvoorbeeld gebruiken in plaats van een algebraïsche afleiding.
- Verkeerde substitutie of algebraïsche fouten.
- De relatie P₅ = P₃ + P₂ over het hoofd zien.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (4 punten)

4p 21 Het wedstrijdbad van De Wisselslag wordt gevuld met behulp van een pomp van type SB15 op 8 meter afstand. Als de medewerkers op diezelfde afstand een pomp van type SB20 zouden gebruiken, zou er minder tijd nodig zijn om het zwembad te vullen. Bereken met behulp van de figuur hoeveel tijd er dan minder nodig zou zijn om het zwembad te vullen. Geef je antwoord in een geheel aantal minuten. De grafiek die hoort bij een pomp van type SB10 staat vergroot in de figuur op de uitwerkbijlage. Ook hierin is \(A\) de afstand van de pomp tot het zwembad in meters en \(Q\) het aantal m³ per uur waarmee het zwembad gevuld kan worden.

Wat kun je verwachten: Je zult de grafiek moeten interpreteren om de juiste waarden af te lezen. Daarna voer je berekeningen uit met deze waarden en zet je eenheden om.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een waarde afleest op de verticale as bij een gegeven waarde op de horizontale as in een grafiek. Ook moet je weten hoe je uren omrekent naar minuten.

Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig waarden aflezen uit een grafiek. Je kunt de benodigde tijd berekenen als je de totale inhoud en de vulcapaciteit per tijdseenheid weet. Je kunt eenheden correct omrekenen.

Waar op letten: Lees de juiste lijn af voor elke pomp (SB15 en SB20). Verwissel ze niet.
Lees de Q-waarden zo nauwkeurig mogelijk af bij A = 8 meter. Gebruik eventueel een liniaal om preciezer te zijn.
Vergeet niet het volume van het zwembad te gebruiken in je berekening (deze staat niet expliciet in de vraag, maar is nodig om de vultijd te berekenen. Zoek deze in de algemene context van de opgave, vaak in een eerdere deelvraag).
Rond niet te vroeg af tijdens je berekeningen. Gebruik de onafgeronde waarden voor de vultijden.
Zet het uiteindelijke tijdsverschil om van uren naar een geheel aantal minuten, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: aflezen van grafieken, rekenen met eenheden, debiet, omrekenen van tijdseenheden

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde lijn aflezen in de grafiek (SB15 en SB20 verwisselen).
- Onnauwkeurig aflezen van de Q-waarden.
- Vergeten het tijdsverschil om te rekenen van uren naar minuten.
- Reken- of afrondingsfouten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 1 (4 punten)

4p 22 Schat met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de waarde van de helling van de grafiek bij \(A=10\) en leg uit wat de betekenis is van deze waarde. Geef de waarde van de helling in één decimaal. De bezoekersaantallen van het buitenbad van zwembad De Wisselslag lopen terug. Daardoor dreigt het buitenbad gesloten te worden. Dit teruglopen van bezoekersaantallen van zwembaden is een landelijk probleem, met name in buitenbaden. Zie onderstaande tabel. tabel jaartal 1988 1991 1994 1997 2000 2003 2006 2009 2012 aantal buitenzwembaden 334 290 260 245 265 250 225 225 200 aantal bezoekers per buitenzwembad 37 44 52 49 39 52 49 43 33 x 1000 Je ziet in de tabel dat in de periode tussen 2003 en 2012 zowel het aantal buitenzwembaden als het aantal bezoekers per buitenzwembad afneemt. Ook het totale aantal bezoekers zal dus vanaf 2003 afnemen.

Wat kun je verwachten: Je zult een raaklijn moeten tekenen aan een kromme grafiek in een specifiek punt. Vervolgens bereken je de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn en leg je de betekenis ervan uit in de context van het probleem.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een raaklijn tekent aan een kromme in een gegeven punt. Ook moet je de formule voor de richtingscoëfficiënt van een lijn kennen: \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) of in dit geval \(\frac{\Delta Q}{\Delta A}\).

Wat moet je kunnen: Je kunt een raaklijn nauwkeurig tekenen op een grafiek. Je kunt twee punten op deze raaklijn aflezen en daarmee de richtingscoëfficiënt berekenen. Tot slot kun je de berekende helling correct interpreteren in de context van de vraag, inclusief de juiste eenheden.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de raaklijn zo nauwkeurig mogelijk tekent bij A=10. Een kleine afwijking kan al leiden tot een andere helling.
Let goed op het teken van de helling. Als de grafiek daalt, is de helling negatief. Vergeet dit minteken niet.
Rond de helling pas op het allerlaatste moment af op één decimaal. Gebruik voor het berekenen van de helling twee duidelijk afleesbare punten op je getekende raaklijn.
Bij de interpretatie is het cruciaal dat je de eenheden correct vermeldt (m³/uur per meter) en de context ('per elke meter die de pomp verder van het zwembad af staat') expliciet benoemt.

Kernbegrippen: helling van een grafiek, raaklijn tekenen, richtingscoëfficiënt berekenen, interpretatie van de afgeleide, momentane verandering

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect tekenen van de raaklijn (niet steil/vlak genoeg).
- Vergeten het minteken bij de helling, terwijl de grafiek daalt.
- Onnauwkeurig aflezen van punten op de getekende raaklijn om de helling te berekenen.
- Onvolledige of onjuiste interpretatie van de betekenis van de helling, bijvoorbeeld het weglaten van de eenheden (m³/uur per meter) of de context ('per meter verder weg').

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/22

## Vraag 23 – Opgave 1 (3 punten)

De bezoekersaantallen van het buitenbad van zwembad De Wisselslag lopen terug. Daardoor dreigt het buitenbad gesloten te worden. Dit teruglopen van bezoekersaantallen van zwembaden is een landelijk probleem, met name in buitenbaden. Zie onderstaande tabel.

Je ziet in de tabel dat in de periode tussen 2003 en 2012 zowel het aantal buitenzwembaden als het aantal bezoekers per buitenzwembad afneemt. Ook het totale aantal bezoekers zal dus vanaf 2003 afnemen.

3p 23 Onderzoek of het totale aantal bezoekers van buitenzwembaden in de periode tussen 2003 en 2012 exponentieel afneemt.

Wat kun je verwachten: Je zult de gegevens uit de tabel moeten combineren om nieuwe waarden te berekenen. Daarna ga je deze waarden gebruiken om groeifactoren te bepalen en te vergelijken. Je sluit af met een conclusie over het type afname.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een exponentiële afname inhoudt: een constante groeifactor per gelijk tijdsinterval. Je moet ook weten hoe je een groeifactor berekent (nieuwe waarde / oude waarde).

Wat moet je kunnen: Je moet gegevens uit een tabel kunnen interpreteren en gebruiken voor berekeningen. Je moet het totale aantal bezoekers per jaar kunnen berekenen en vervolgens de groeifactoren tussen verschillende jaren kunnen bepalen. Tot slot moet je een onderbouwde conclusie kunnen formuleren.

Waar op letten: Je moet eerst het totale aantal bezoekers per jaar berekenen. Let op de 'x 1000' in de tabel voor het aantal bezoekers per buitenzwembad.
Je moet de groeifactor berekenen voor *meerdere* opeenvolgende periodes (bijvoorbeeld 2003-2006, 2006-2009 en 2009-2012).
Je moet de berekende groeifactoren met elkaar vergelijken. Alleen als ze (nagenoeg) gelijk zijn, is er sprake van exponentiële afname.
Je moet een duidelijke conclusie trekken op basis van je berekeningen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het totale aantal bezoekers te berekenen (aantal baden * bezoekers per bad).
- Vergeten de 'x 1000' factor mee te nemen in de berekening van de totalen.
- Slechts één groeifactor berekenen en op basis daarvan een conclusie trekken.
- Rekenfouten bij het vermenigvuldigen of delen van de grote getallen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/23

## Vraag 24 – Opgave 1 (3 punten)

Een deskundige beweerde in 2012 dat het zeer waarschijnlijk was dat het aantal buitenzwembaden in de jaren na 2012 zou blijven dalen tot één buitenzwembad per twee gemeenten. In 2019 telde Nederland 355 gemeenten.
Onderzoek met behulp van lineair extrapoleren of de deskundige in 2019 al gelijk heeft gekregen.

Wat kun je verwachten: Je zult een lineaire trend moeten afleiden uit de gegeven tabeldata. Vervolgens gebruik je deze trend om een voorspelling te doen voor een toekomstig jaartal (2019). Tot slot vergelijk je jouw voorspelling met een gegeven criterium om een conclusie te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat lineaire extrapolatie inhoudt en hoe je een jaarlijkse verandering berekent op basis van twee datapunten. Ook moet je de tekst van de vraag goed begrijpen om de juiste drempelwaarde te bepalen.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante gegevens uit de tabel kunnen selecteren. Je moet de jaarlijkse daling van het aantal buitenzwembaden kunnen berekenen. Je moet deze daling kunnen gebruiken om het aantal zwembaden in 2019 te voorspellen. Tot slot moet je jouw voorspelling kunnen vergelijken met de gestelde norm en een heldere conclusie kunnen trekken.

Waar op letten: Je moet goed de juiste periode kiezen voor het bepalen van de lineaire trend. De vraag spreekt over 'de jaren na 2012', dus het is logisch om de meest recente daling vóór 2012 te gebruiken.
Je moet de jaarlijkse daling nauwkeurig berekenen. Rond niet te vroeg af om afrondingsfouten in de uiteindelijke extrapolatie te voorkomen.
Je moet de bewering van de deskundige correct interpreteren: 'één buitenzwembad per twee gemeenten'. Dit betekent dat je het aantal gemeenten moet delen door twee om de drempelwaarde te vinden.
Je moet een duidelijke conclusie formuleren die direct antwoord geeft op de vraag of de deskundige in 2019 al gelijk heeft gekregen, gebaseerd op jouw berekeningen.

Kernbegrippen: lineair extrapoleren, trendanalyse

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde periode kiezen voor de berekening van de lineaire trend.
- Reken- of afrondingsfouten bij het berekenen van de jaarlijkse daling of de extrapolatie.
- Het verkeerd interpreteren van de bewering 'één buitenzwembad per twee gemeenten', wat leidt tot een foute drempelwaarde.
- Vergeten een expliciete conclusie te trekken die de onderzoeksvraag beantwoordt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2021/tijdvak-1/vraag/24

## Vragen in dit examen

### Vraag 9 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je berekent eerst de groeifactor over de totale meetperiode en rekent deze om naar een groeifactor per jaar. Daarna stel je een exponentiële vergelijking of ongelijkheid op en los je deze op met je grafische rekenmachine om het gevraagde jaartal te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat je een groeifactor per jaar berekent met behulp van de macht (totale groeifactor)^(1 / aantal jaren). Ook moet je weten hoe een standaardformule voor exponentiële groei eruitziet: N = beginwaarde · g^t.

Wat moet je kunnen: Je moet de begin- en eindwaarde correct uit de gegevens halen, de groeifactor per jaar exact of met voldoende decimalen opslaan, en een exponentiële vergelijking oplossen met de GR (via Intersect of een tabel). Ten slotte tel je de gevonden tijd t op bij het basisjaar om het juiste jaartal te formuleren.

Waar op letten: Deel de totale groeifactor NOOIT door het aantal jaren; bij exponentiële groei gebruik je de machtswortel of de exponent (1)/(aantal jaren).
Verwar exponentiële groei niet met lineaire groei; reken niet met het absolute verschil tussen de percentages.
Rond de groeifactor per jaar niet tussentijds af (bijvoorbeeld niet afronden op 1,01), want dat leidt tot een afwijking in het uiteindelijke jaartal.
Let goed op de interpretatie van t: tel de berekende tijd op bij het beginjaar (1960) en controleer of je 'in de loop van' of 'aan het begin van' het jaar zit.

### Vraag 10 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met twee ontwikkelingen over de tijd en twee inhoudelijke uitspraken. Je legt voor beide beweringen stap voor stap uit waarom ze wel of niet kloppen op basis van steilheid en verhoudingen in de grafiek.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een constante stijging betekent voor de vorm van een grafiek (een rechte lijn heeft een constante stijgsnelheid). Daarnaast moet je weten dat 'huurlast' gedefinieerd is als de verhouding tussen huur en inkomen, oftewel de breuk (huur)/(inkomen).

Wat moet je kunnen: Je vergelijkt de helling (stijgsnelheid) van een grafiek tussen twee opeenvolgende perioden van gelijke lengte. Je beredeneert hoe een breukwaarde verandert wanneer teller en noemer met verschillende snelheden stijgen of stagneren.

Waar op letten: Kijk bij uitspraak 1 naar de punten in 1960, 1980 en 2000: controleer of de toename in beide intervallen van 20 jaar even groot is (liggen de punten op één rechte lijn?).
Definieer 'huurlast' wiskundig als een breuk: (huur)/(inkomen). Bedenk wat er gebeurt met de uitkomst van een breuk als de noemer (het inkomen) harder stijgt dan de teller (de huur).
Vergeet niet om bij beide uitspraken een expliciete conclusie te trekken ('dus de uitspraak is waar' of 'dus de uitspraak is niet waar') én deze met een duidelijke waarneming uit de grafiek te onderbouwen.
Trap niet in de valkuil om alleen naar absolute waarden te raden; baseer je redenering zuiver op de helling van de lijnen in de gevraagde perioden.

### Vraag 13 – Opgave 1

Waar op letten: Reken de tijd zorgvuldig om: seconden zijn geen honderdsten van een uur of minuut, dus deel het aantal seconden door 3600 om naar uren om te rekenen (of reken eerst alles om naar seconden).
Let goed op de eenheden van afstand en snelheid: meters moet je omrekenen naar kilometers als je naar km/u toewerkt, of reken van m/s om naar km/u met een factor 3,6.
Rond tussentijdse uitkomsten niet af om afrondfouten in de eindsnelheid te voorkomen.
Lees de afrondingseis goed: geef het eindantwoord afgerond op een geheel getal (hele km/u).

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2021
tijdvak 1
maandag 17 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 24 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1026-a-21-1-o

### Pagina 2

Draaiend huis
Op de Hasseltrotonde in Tilburg staat een huis. Eigenlijk is 'staat' niet het
goede woord, want het huis beweegt: het draait in het rond. Het gevolg is
dat elke keer dat je langs de rotonde rijdt, het huis op een andere plaats
kan staan. Het is een kunstproject, ontworpen door John Kormeling.
Zie foto 1 en foto 2 hieronder.

foto 1
[FIGUUR: Foto van een modern wit huisje op een rond punt, omringd door een weg en groen.]

foto 2
[FIGUUR: Luchtbeeld van een rotonde met verkeer, waarbij een klein wit huisje zichtbaar is op de rotonde.]

Het huis legt in 20 uur één ronde af, zodat je, als je de rotonde elke dag
op hetzelfde tijdstip passeert, het huis geen twee opeenvolgende dagen
op dezelfde plaats ziet.

Op een maandag staat het huis om acht uur 's morgens (08.00 uur)
precies aan de oostkant van de rotonde. Voor het vervolg van de opgave
is dit $t = 0$. In figuur 1 is een overzicht van de situatie te zien. Het huis is
in figuur 1 weergegeven als vierkantje en bevindt zich in punt O.

figuur 1
[FIGUUR: Cirkel die een rotonde voorstelt met de windrichtingen N, O, Z, W aangegeven. Een stip bij N, een vierkantje bij O, en een stip bij W. Een pijl geeft een draairichting aan, met de klok mee.]

Het huis draait met de rijrichting van het verkeer mee.

3p 1 Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats aan waar het huis zich op
diezelfde maandag om 20.30 uur bevindt. Licht je antwoord toe.

VW-1026-a-21-1-o
2 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 3

3p 2 Bereken hoeveel hele weken na tijdstip $t=0$ het huis zich voor het eerst weer om 08.00 uur op maandag in punt O bevindt.

De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter. De afstand tussen het huis en de weg is 2,5 meter. Het oorspronkelijke idee van kunstenaar John Kormeling was om het huis in dezelfde tijd rond te laten draaien als de tijd die het de auto's kost om de rotonde rond te rijden. Omdat de auto's op de rotonde een grotere afstand moeten afleggen dan de afstand die het huis aflegt, hebben de auto's dan dus een hogere snelheid. In figuur 2 is het draaiende huis met $H$ aangegeven en een auto op de rotonde met $A$.

figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O. Op de cirkel bevinden zich de punten N, W, Z en H. De afstand van O tot W is 30m. Punt A ligt buiten de cirkel, 2,5m van H af. Er is een as getekend die door W, O en het punt aan de rechterkant gaat, met de labels 'west' aan de linkerkant en 'oost' aan de rechterkant.]

4p 3 De kunstenaar ging ervan uit dat de auto's met een gemiddelde snelheid van 25 km/uur op de rotonde zouden rijden. De omtrek van een cirkel bereken je met de formule: $omtrek = 2\pi \cdot straal$. Bereken met welke snelheid in km/uur het huis dan had moeten ronddraaien. Geef je antwoord in één decimaal.

VW-1026-a-21-1-o 3 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Tweepiramidendak

Op de foto zie je een bijzonder huis: foto
als basis voor het grondvlak zijn twee even grote
overlappende vierkanten gebruikt. Het dak
bestaat uit twee piramidevormige delen die aan
elkaar vastzitten.
In figuur 1 zie je een model van het dak van dit
huis. In het vervolg van deze opgave kijken we
naar dit model, waarbij de verbinding tussen de
toppen van beide dakdelen buiten beschouwing
is gelaten.

[FIGUUR: Een schematische tekening van een piramide met grondvlak EFGH en top S.]
figuur 1

[FIGUUR: Een schematische tekening van twee samengevoegde piramides met grondvlakken ABCD en EFGH en toppen S en T.]
figuur 2

Figuur 2 laat zien hoe figuur 1 is ontstaan: $ABCD.T$ en $EFGH.S$ zijn twee
even grote symmetrische vierzijdige piramiden. De top $T$ ligt precies
boven punt $F$. Verder is $\angle APE = 90^\circ$.

4p 4 Op de uitwerkbijlage is het begin van een bovenaanzicht van figuur 1
getekend.
Maak dit bovenaanzicht op de uitwerkbijlage af.

5p 5 Op de uitwerkbijlage is een perspectieftekening van grondvlak $ABCD$ van
de voorste piramide te zien.
Teken het grondvlak $EFGH$ van de achterste piramide in deze
perspectieftekening op de uitwerkbijlage.

4p 6 Om in te schatten hoeveel dakpannen er nodig zijn voor het dak, is het
nodig om de totale oppervlakte te berekenen van alle schuine
bovenvlakken van het model van het tweepiramidendak. De volgende
afmetingen zijn bekend: $AB = 7$ m, $AP = 3,5$ m, $AT = 6,49$ m en de
afstand van $T$ tot $AB$ is (afgerond op twee decimalen) $5,47$ m.
Bereken de totale oppervlakte van alle schuine bovenvlakken van het
model van het tweepiramidendak.
Geef je antwoord in een geheel aantal m$^2$.

VW-1026-a-21-1-o 4 / 13 lees verder ►►►


### Pagina 5

Huurprijzen in New York

New York is al decennialang een van de populairste steden ter wereld om te wonen met als gevolg dat de gemiddelde prijs van huurwoningen er explosief gestegen is. In 1970 bedroeg de gemiddelde huur van een woning in New York $ 125 per maand. In 2013 was dat gestegen tot $ 917 per maand. Dat is een toename van ruim 600%.

Zo'n vergelijking is echter niet helemaal eerlijk, want de waarde van geld verandert ook. Dat heet inflatie. Sinds 1970 bedroeg de gemiddelde inflatie per jaar 3,95%. We gaan ervan uit dat sinds 1970 de huurprijzen, onafhankelijk van andere factoren, jaarlijks door de inflatie 3,95% gestegen zijn.
Door de $ 125 uit 1970 om te rekenen naar dollars uit 2013 kan je de reële gemiddelde huurstijging berekenen. De reële gemiddelde huurstijging is de procentuele stijging van de gemiddelde huurprijzen boven op de stijging als gevolg van de inflatie.
3p 7 Bereken de reële gemiddelde huurstijging. Geef je antwoord in één decimaal.

In het vervolg van deze opgave zijn alle genoemde bedragen, getallen en percentages berekend met de naar 2013-dollars omgerekende bedragen. Je hoeft dus zelf geen rekening te houden met inflatie.
Verder spreken we in het vervolg van deze opgave over inkomen, huurprijs en huurlast, terwijl daar gemiddeld inkomen, gemiddelde huurprijs en gemiddelde huurlast bedoeld wordt.

Een belangrijke maatstaf om de betaalbaarheid van huurwoningen te onderzoeken is het percentage van het inkomen dat besteed wordt aan het betalen van de huur: de huurlast.
1960 In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $ 561 en was de huurlast 15%.
In de periode tussen 1960 en 2013 stegen de huurprijzen met 63,5%, terwijl het maandinkomen in dezelfde periode met slechts 17% steeg.
Uit deze gegevens volgt dat de huurlast in 2013 ongeveer gelijk was aan 21%.
3p 8 Laat een berekening zien waaruit dit blijkt.

VW-1026-a-21-1-o 5 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Doordat de huurprijzen sneller stijgen dan de inkomens, neemt de huurlast steeds verder toe: van 15% in 1960 tot 21% in 2013. Een
econoom beweert dat er zich grote problemen zullen gaan voordoen als
de huurlast boven de 25% uitkomt. De econoom gaat ervan uit dat de
huurlast exponentieel is toegenomen sinds 1960 en dat die exponentiële
stijging zich ook na 2013 voortzet.
9
Bereken in welk jaar de huurlast volgens deze veronderstelling voor het
eerst groter is dan 25%.

In figuur 1 is het werkelijke verloop van de huurprijs in New York en van
het inkomen van zijn inwoners als percentage van de bedragen in 1960
uitgezet tegen de tijd.

figuur 1
[FIGUUR: Een lijngrafiek met op de y-as "huurprijs/inkomen (%)" en op de x-as de jaren 1960, 1970, 1980, 1990, 2000, 2010. Twee lijnen worden getoond: een stippellijn met bolletjes die "huurprijs" aangeeft, en een gestippelde lijn met bolletjes die "inkomen" aangeeft. De huurprijslijn stijgt van ongeveer 100% in 1960 naar ongeveer 170% in 2010. De inkomenslijn stijgt van ongeveer 100% in 1960 naar ongeveer 115% in 1980, daalt licht tot ongeveer 112% in 1990, stijgt dan naar ongeveer 115% in 2000 en daalt weer naar ongeveer 112% in 2010.]

Hieronder staan twee uitspraken die gaan over de gegevens in figuur 1:
1
In de periode 1960–1980 steeg de huurprijs sneller dan in de periode
1980–2000.
2
In de periode 1990–2000 daalde de huurlast.
4p
10
Leg voor elk van deze uitspraken uit of deze waar is of niet.
VW-1026-a-21-1-o
6 / 13
leest verder

### Pagina 7

figuur 2
170
%
160
huurprijs
150
140
130
120
inkomen
110
100
1960
1970
1980
1990
2000
2010
In figuur 2 is te zien dat de huurprijs schommelt om een trendlijn. De
huurprijs kan dus worden benaderd met behulp van deze trendlijn.
In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $561 en was de huurlast 15%.
Het gemiddelde maandinkomen van de inwoners van New York was op
zijn hoogst in het jaar 2000 en was toen $4832. In een rapport van de
Bank of America uit 2013 stond dat het gemiddelde maandinkomen pas in
2023 weer op het niveau van het jaar 2000 zou zijn.
Je kunt nu, uitgaande van de getekende trendlijn voor de huurprijs en de
veronderstelling uit het rapport van de Bank of America, berekenen wat in
2023 de huurlast in New York zal zijn.
5p 11 Bereken met behulp van deze trendlijn en de genoemde veronderstelling
de huurlast in New York in 2023. Geef je antwoord in één decimaal.
VW-1026-a-21-1-o
7/13
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

De Grand Prix van Monaco

Op 19 mei 1996 werd in Monaco de Grand Prix Formule 1 de Monaco
gehouden. Deze race staat in de autosport bekend als de race met de
meeste uitvallers ooit. Aan deze race namen 22 coureurs deel, van wie er
uiteindelijk slechts drie de finish haalden.

3p 12 Bereken hoeveel verschillende top 3's er mogelijk zijn in een wedstrijd
met 22 deelnemers.

De race duurde 75 ronden van 3328 meter en werd gewonnen door de
Fransman Olivier Panis.

3p 13 Panis deed in totaal 2 uur en 45 seconden over de race.
Bereken zijn gemiddelde snelheid. Geef je antwoord in hele kilometers
per uur.

De uitslag van de race staat in de tabel. Bij de uitgevallen coureurs staat
aangegeven of ze uitvielen door een ongeluk (O), door technische
problemen (T) of door een stuurfout (S).

tabel
positie naam positie naam
1 O. Panis - - M. Brundle S
2 D. Coulthard - - G. Berger T
3 J. Herbert - - P. Diniz T
4 H. Frentzen T - R. Rosset S
5 M. Salo O - U. Katayama S
6 M. Häkkinen O - R. Barrichello S
7 E. Irvine O - M. Schumacher O
- J. Villeneuve O - P. Lamy O
- J. Alesi O - G. Fisichella O
- L. Badoer O - J. Verstappen O
- D. Hill T - A. Montermini T

Ondanks dat Frentzen, Salo, Häkkinen en Irvine uitgevallen zijn, hebben
ze toch een positie in de eindstand toebedeeld gekregen, omdat ze
tenminste 90% van de te racen afstand hebben afgelegd. Deze posities
zijn op volgorde van het aantal afgelegde ronden. Als dat aantal gelijk is,
wordt gekeken naar wie als eerste over de finish kwam aan het einde van
die ronde.

VW-1026-a-21-1-o 8 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Bij iedere race in een Formule 1-seizoen kunnen de coureurs punten
verdienen voor het kampioenschap. Bij de race in 1996 gold de regel dat
de eerste 6 coureurs punten kregen, de overige 16 coureurs niet. Het was
dus mogelijk dat een uitgevallen coureur toch punten behaalde.
In het diagram in de figuur zijn alle mogelijkheden voor de coureurs
schematisch weergegeven.
figuur
[FIGUUR: Een Venn-diagram met drie overlappende cirkels A, B en C, en een cirkel D die gedeeltelijk overlapt met B en C. Een deel van de overlap tussen B en C is gearceerd.]
In dit diagram geldt:
– A zijn de coureurs die punten hebben behaald.
– B zijn de coureurs die zijn uitgevallen.
– C zijn de coureurs die zijn uitgevallen door een ongeluk.
– D zijn de coureurs die zijn uitgevallen door technische problemen.
2p 14 Het ingekleurde deel van het diagram kan maar één coureur bevatten.
Leg uit welke coureur dat is.
2p 15 Er is ook één gebied in het diagram dat helemaal leeg blijft bij de race in
Monaco.
Geef op de uitwerkbijlage aan welk gebied dat is.
We kunnen de positie van een coureur in het diagram ook beschrijven met
behulp van logische symbolen. Er geldt:
– a: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied A.
– b: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied B.
– c: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied C.
– d: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied D.
Als bijvoorbeeld ‘de coureur’ zou verwijzen naar een coureur in het
ingekleurde gebied, dan geldt $a \land d$.
2p 16 Beredeneer naar welke coureurs ‘de coureur’ allemaal zou kunnen
verwijzen als geldt $b \land \neg(c \lor d)$.
2p 17 Geef in logische symbolen de situatie weer dat ‘de coureur’ verwijst naar
M. Schumacher.
VW-1026-a-21-1-o
9 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 10

Padovantafels
Op de foto zie je een zogenoemde
Fibonaccitafel van de firma NautaBene
Design. Het patroon van het tafelblad is
geïnspireerd op de rij van Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,....
Het tafelblad bestaat uit vier vierkanten en
een rechthoekig gat.
De zijden van de vierkanten verhouden
zich als 5 : 8 : 13 : 21.
De tafel is 120 cm lang en 74 cm breed.
3p 18 Bereken de afmetingen van het rechthoekige gat. Je mag hierbij de
randen om de vierkanten buiten beschouwing laten. Geef je antwoord in
een geheel aantal cm.

Behalve de rij van Fibonacci bestaan er ook andere rijen, bijvoorbeeld de
rij van Padovan. In figuur 1 zie je het ontwerp voor een Padovantafel.
Het tafelblad bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van 2, 2,
3, 4, 5 en 7 dm. In het tafelblad zit een gat. Hier zijn drie gelijkzijdige
driehoekjes met een zijde van 1 dm weggelaten.
foto
[FIGUUR: Een isometrische weergave van een tafelblad, bestaande uit vier rechthoekige secties die schijnbaar zijn gerangschikt volgens een Fibonacci-spiraal.]
figuur 1
[FIGUUR: Een geometrische tekening die is opgebouwd uit een reeks gelijkzijdige driehoeken van verschillende groottes, gerangschikt in een spiraalvorm, met zijde-lengtes aangegeven bij sommige driehoeken.]
Het patroon van het tafelblad is geïnspireerd op de rij van Padovan, een
rij getallen die op de volgende manier beschreven kan worden:
$$
\left{
\begin{array}{l}
p_{1}=1, p_{2}=1, p_{3}=1 \\
p_{n}=p_{n-2}+p_{n-3}
\end{array}
\right.
$$
De tweede regel zegt dat $p_{4}=p_{2}+p_{1}$, $p_{5}=p_{3}+p_{2}$, enzovoort.
Zo ontstaat dus de rij getallen: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7,....
Deze rij kan nog verder voortgezet worden.

VW-1026-a-21-1-o
10 / 13
lees verder

### Pagina 11

In figuur 2 zie je nogmaals het ontwerp voor de Padovantafel, waarvan
$p_n$ de lengte van de zijde van de $n$-de driehoek is. Bij een zijde van elke
driehoek is de bijbehorende term $p_n$ uit de rij van Padovan gezet.

figuur 2
[FIGUUR: Een spiraal van opeenvolgende driehoeken, waarbij de zijden gelabeld zijn met $p_1$ tot en met $p_9$.]

In figuur 2 is te zien dat vanaf $p_6$ het volgende geldt:

$p_6 = p_5 + p_1$ (1)
$p_7 = p_6 + p_2$ (2)
$p_8 = p_7 + p_3$ (3)

enzovoort.
Blijkbaar kunnen de Padovan-getallen vanaf $p_6$ ook op deze manier
berekend worden.
2p 19 Geef een recursieve formule (inclusief startwaarden) die bij deze manier
hoort.

Op grond van de formule $p_n = p_{n-2} + p_{n-3}$ aan het begin van deze
opgave geldt dus:

$p_4 = p_2 + p_1$ (4)
$p_5 = p_3 + p_2$ (5)
$p_6 = p_4 + p_3$ (6)

2p 20 Toon aan, door uit te gaan van de formules 4, 5 en 6, dat geldt:
$p_6 = p_5 + p_1$. Doe dit zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken.

VW-1026-a-21-1-o
11 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 12

De Wisselslag
Zwembad De Wisselslag in Blerick (Limburg) heeft drie binnenbaden, waaronder een wedstrijdbad met een inhoud van $647$ m³, en een buitenbad.
Om een zwembad te vullen kunnen er verschillende types pompen gebruikt worden. Hoe verder een pomp van het zwembad af staat, hoe meer tijd het kost om het zwembad te vullen.
In onderstaande figuur is voor vier verschillende pompen de hoeveelheid water die een pomp per uur kan vullen ($Q$) in m³ per uur uitgezet tegen de afstand van de pomp tot het zwembad ($A$) in meters.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de hoeveelheid water $Q$ in m³/uur, van 20 tot 34. Op de x-as de afstand $A$ in meters, van 0 tot 20. Er zijn vier lijnen getekend, elk met een eigen lijnsoort, en een legenda met de pompnamen SB30, SB20, SB15, SB10.]
Legenda:
----- SB30
-.-.- SB20
..... SB15
— SB10
VW-1026-a-21-1-o 12 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 13

4p 21 Het wedstrijdbad van De Wisselslag wordt gevuld met behulp van een pomp van type SB15 op 8 meter afstand. Als de medewerkers op diezelfde afstand een pomp van type SB20 zouden gebruiken, zou er minder tijd nodig zijn om het zwembad te vullen.
Bereken met behulp van de figuur hoeveel tijd er dan minder nodig zou zijn om het zwembad te vullen. Geef je antwoord in een geheel aantal minuten.

De grafiek die hoort bij een pomp van type SB10 staat vergroot in de figuur op de uitwerkbijlage. Ook hierin is $A$ de afstand van de pomp tot het zwembad in meters en $Q$ het aantal m³ per uur waarmee het zwembad gevuld kan worden.

4p 22 Schat met behulp van de grafiek de waarde van de helling van de grafiek bij $A=10$ en leg uit wat de betekenis is van deze waarde. Geef de waarde van de helling in één decimaal.

De bezoekersaantallen van het buitenbad van zwembad De Wisselslag lopen terug. Daardoor dreigt het buitenbad gesloten te worden. Dit teruglopen van bezoekersaantallen van zwembaden is een landelijk probleem, met name in buitenbaden. Zie onderstaande tabel.

[FIGUUR: Tabel met jaartallen 1988, 1991, 1994, 1997, 2000, 2003, 2006, 2009, 2012. Eerste rij: aantal buitenzwembaden met waarden 334, 290, 260, 245, 265, 250, 225, 225, 200. Tweede rij: aantal bezoekers per buitenzwembad x 1000 met waarden 37, 44, 52, 49, 39, 52, 49, 43, 33.]

Je ziet in de tabel dat in de periode tussen 2003 en 2012 zowel het aantal buitenzwembaden als het aantal bezoekers per buitenzwembad afneemt. Ook het totale aantal bezoekers zal dus vanaf 2003 afnemen.

3p 23 Onderzoek of het totale aantal bezoekers van buitenzwembaden in de periode tussen 2003 en 2012 exponentieel afneemt.

Een deskundige beweerde in 2012 dat het zeer waarschijnlijk was dat het aantal buitenzwembaden in de jaren na 2012 zou blijven dalen tot één buitenzwembad per twee gemeenten. In 2019 telde Nederland 355 gemeenten.

3p 24 Onderzoek met behulp van lineair extrapoleren of de deskundige in 2019 al gelijk heeft gekregen.