# Eindexamen Wiskunde C VWO 2019 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2019/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2019
tijd vak 2
dinsdag 18 juni
13:30 - 16:30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-19-2-o

### Pagina 2

De piano

figuur 1

[FIGUUR: Een deel van een pianotoetsenbord met de witte toetsen C, D, E, F, G, A, B en C en zwarte toetsen genummerd 1 t/m 5.]

In figuur 1 staat een gedeelte van het toetsenbord van een piano
afgebeeld. De witte en de zwarte toetsen stellen allemaal verschillende
tonen voor. Op de witte toetsen staat ook de naam van de bijbehorende
toon. Voor tonen die bij de zwarte toetsen horen, bestaan meerdere
namen. In figuur 1 zijn ze daarom genummerd.

Als je een toets aanslaat op de piano, dan zorgt dat ervoor dat er een
snaar gaat trillen. De snelheid van die trilling bepaalt de toon die je hoort.
De snelheid waarmee een snaar trilt, noemen we de frequentie. De
frequentie is het aantal trillingen per seconde en heeft Hertz (Hz) als
eenheid.

Bijvoorbeeld: de linker toon F in figuur 1 heeft een frequentie van 352 Hz.
Dat betekent dus dat de snaar die deze toon F voortbrengt 352 keer per
seconde trilt.

3p 1 Bij de linker toon A in figuur 1 hoort een frequentie van 440 Hz.
Bereken hoeveel seconden één trilling die bij deze toon A hoort, duurt.
Geef je antwoord in vier decimalen.

Als de frequentie van een toon twee keer zo groot is als die van een
andere toon, dan vormen deze twee tonen samen een octaaf. Dus: de
toon A met een frequentie van 440 Hz en een toon met een frequentie van
880 Hz vormen samen een octaaf van A. Deze tonen krijgen dezelfde
naam, dus ook de toon met een frequentie van 880 Hz noemen we A: dat
is de rechter A in figuur 1.

4p 2 Op de meeste moderne piano's is de laagste toon een A met een
frequentie van 27,5 Hz. De hoogste A heeft een frequentie van 3520 Hz.
Bereken hoeveel octaven van A zo'n piano omvat.

Twee opeenvolgende C's in figuur 1 vormen samen een octaaf van C.
Voor twee opeenvolgende C's geldt dat de frequentie van de rechter C
twee keer zo groot is als die van de linker C, oftewel: de verhouding van
hun frequenties is 2 : 1.

VW-1026-a-19-2-0 2 / 12 lees verder

### Pagina 3

Bij het stemmen van een piano wordt ervoor gezorgd dat de verhouding
van de frequenties van twee opeenvolgende tonen in een serie als
C-1-D-2-E-F-3-G-4-A-5-B-C precies gelijk is. Zie figuur 1.
Zo geldt bijvoorbeeld:
$$ \frac{\text{frequentie toon F}}{\text{frequentie toon E}} = \frac{\text{frequentie toon 2}}{\text{frequentie toon 1}} $$
3a (3p) 3 Elk van deze verhoudingen is (ongeveer) 1,0595 : 1.
Laat met een berekening zien dat deze verhouding juist is.

In de praktijk is het werken met deze frequentieverhoudingen niet zo
handig. Daarom wordt meestal de zogenaamde toonafstand ($TA$)
gebruikt. De eenheid van de toonafstand is cent.
Er geldt: $TA = a \cdot \log(\frac{f_2}{f_1})$
In deze formule is $\frac{f_2}{f_1}$ de frequentieverhouding van twee tonen.

De waarde van $a$ in de formule is zó gekozen dat de toonafstand tussen
twee opeenvolgende tonen precies gelijk is aan 100 cent.

Als je uitgaat van het hierboven genoemde getal 1,0595 en daarmee $a$
berekent, dan moet, afgerond op één decimaal, gelden: $a = 3983,9$.
4p 4 Bereken op deze wijze de waarde van $a$ in drie decimalen.

De toonafstand tussen twee tonen waar één toon tussen zit, is bij een
gestemde piano 200 cent. Zitten er twee tonen tussen, dan is de
toonafstand 300 cent, enzovoort.
Als je op een piano meer
toetsen tegelijk aanslaat, krijg
je een samengestelde klank.
Zo kun je een F en de rechts
ervan gelegen A tegelijk
aanslaan: zie figuur 2. De
frequentieverhouding van de
tonen in deze samengestelde
klank is volgens de
muziektheorie gelijk aan 5 : 4. Met deze verhouding kun je een
toonafstand berekenen volgens de muziektheorie. Je kunt de toonafstand
ook berekenen door uit te gaan van het idee dat bij een gestemde piano
tussen elke twee opeenvolgende tonen 100 cent zit.
Op een gestemde piano wijkt de toonafstand ($TA$) van de bovenvermelde
(uit F en A) samengestelde klank iets af van de toonafstand die volgens
de muziektheorie moet gelden.
4p 5 Bereken hoeveel cent deze afwijking bedraagt. Geef je antwoord als een
geheel getal.

[FIGUUR: Piano toetsen met cijfers 1 t/m 5 en letters C t/m C.]
VW-1026-a-19-2-0 3 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 4

Dakopbouw
Een architectenbureau heeft voor volle steden een mogelijkheid bedacht
om huizen met een plat dak uit te breiden: een dakopbouw die relatief
weinig kost, snel te plaatsen is en gemakkelijk is aan te passen aan de
individuele wensen van een klant. Aan de hand van deze wensen wordt
door middel van een computerprogramma voor elke klant een ontwerp
gemaakt, uitgaande van een aantal basismodellen.

Bij een van de modellen kan een klant kiezen voor een kleine dakopbouw
die, als er nog ruimte is op het platte dak, later eventueel uit te breiden is.
In figuur 1 zie je de plattegrond van deze dakopbouw met een
buitenterras vóór de uitbreiding. In figuur 2 zie je de plattegrond met een
buitenterras ná de uitbreiding. In deze figuren staan ook oppervlaktes
vermeld. De dakopbouw heeft overal een binnenhoogte van 2,60 meter,
zowel voor als na de uitbreiding.

figuur 1
[FIGUUR: Plattegrond van een dakopbouw met een slaapkamer van 11 m², een terras van 16 m², een tuinkamer van 8,5 m² en een douche van 1,3 m².]

figuur 2
[FIGUUR: Plattegrond van een dakopbouw met een slaapkamer van 9 m², een slaapkamer van 8,5 m², een terras van 14,5 m², een tuinkamer van 17 m² en een douche van 1,3 m².]

Door de uitbreiding veranderen de oppervlaktes van douche en trapgat
niet.
3p 6 Bereken met hoeveel m³ de inhoud van het binnengedeelte van de
dakopbouw toeneemt bij de uitbreiding.

VW-1026-a-19-2-o
4/12
lees verder ►►►

### Pagina 5

In figuur 3 zie je een perspectieftekening van een basismodel. In
figuur 3 zie je dat de lengte van de staande balk van dit basismodel
2,90 meter is.

figuur 3
[FIGUUR: Een perspectieftekening van een basismodel met een dakconstructie. Er is een verticale pijl getekend die de hoogte van een staande balk aangeeft, met de tekst '2,90 meter' ernaast.]

4p 7
Voor het in figuur 3 gekozen perspectief – waarbij de horizon horizontaal
loopt – heeft men in het computerprogramma een denkbeeldig punt aan
moeten geven van waaruit het perspectief getekend moest worden.
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage op welke hoogte
dit denkbeeldige punt gekozen is. Geef je antwoord in gehele meters.

De dakopbouw is dus naar wens aan te passen. Een potentiële klant wil
een beeld krijgen hoe de dakopbouw eruit zou zien als het basismodel
van figuur 3 wordt uitgebreid met een piramidevormig dak. Dit
piramidevormige dak wordt op de donkergrijze dakrand bovenop de kamer
geplaatst waardoor de hele dakopbouw anderhalf keer zo hoog wordt. De
top T van het piramidevormige dak komt precies boven het midden van
het huidige dak van de opbouw. Figuur 3 staat nogmaals op de
uitwerkbijlage.

5p 8
Teken de top $T$ en daarna de rest van het piramidevormige dak in de
figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe.

VW-1026-a-19-2-o 5 / 12 lees verder ▶▶▶

### Pagina 6

Boom van Pythagoras

Veel mensen hebben weleens de boom van Pythagoras gezien. Deze
boom bestaat uit vierkanten en gelijkbenige rechthoekige driehoeken. In
figuur 1 staat het begin van zo’n boom en in figuur 2 een door (twee)
leerlingen verder uitgewerkte tekening van die boom.

figuur 1

[FIGUUR: Schematische tekening van twee stappen van een boom van Pythagoras. Stap 0 toont een vierkant met een gelijkbenige rechthoekige driehoek erboven. Stap 1 toont twee van dergelijke constructies naast elkaar.]

stap 0
stap 1

figuur 2

[FIGUUR: Gedetailleerde potloodtekening van een boom van Pythagoras die zich uitbreidt met vierkanten en gelijkbenige rechthoekige driehoeken, tegen een achtergrond van wolken en een landschap met jonge plantjes.]

De boom in figuur 2 begint onderaan in het midden van de lange zijde van
het papier met een vierkant en daarop een passende gelijkbenige
rechthoekige driehoek. Het vierkant en de driehoek samen noemen we
stap 0. Bij iedere volgende stap komt er op elke rechthoekszijde van de
driehoek steeds een vierkant met daarop weer een passende driehoek bij.
Het vierkant past steeds precies op de rechthoekszijde. Zie ook figuur 1.

VW-1026-a-19-2-o
6 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 7

Je kunt aantonen dat de oppervlaktes van de vierkanten in elke volgende stap half zo groot worden. Anders gezegd: je kunt aantonen dat, als we de oppervlakte van een vierkant $a^2$ noemen, de oppervlakte in de volgende stap $\frac{1}{2}a^2$ is.

3p 9 Toon dit aan.

Een gevolg hiervan is dat de lengte $d$ van de diagonaal in het vierkant in de volgende stap precies gelijk is aan de hoogte $a$ van het vierkant in de vorige stap. Zie figuur 3.
[FIGUUR: Een diagram dat een reeks vierkanten toont, waarbij de diagonaal van een vierkant gelijk is aan de hoogte van het volgende vierkant.]

Hans wil ook een boom van Pythagoras tekenen en begint in het midden van de onderkant van zijn papier met een onderste vierkant van 10 cm bij 10 cm. Hij heeft een vel papier met afmetingen 420 mm bij 594 mm tot zijn beschikking. Hij vraagt zich af of hij wel tot en met stap 5 kan komen met zijn boom. Hij zorgt ervoor dat de zijde van 594 mm de onderkant van zijn tekenpapier is.

4p 10 Onderzoek met een berekening of de hoogte van deze boom van Pythagoras tot en met stap 5 op dit vel past.

De lengtes van de zijden van de opeenvolgende vierkanten vormen een rij waarin elk volgend getal met een vaste factor vermenigvuldigd wordt. Fleur gaat een boom van Pythagoras tekenen. Haar tekenpapier is groot genoeg voor heel veel stappen. Ze begint met een vierkant van 13 cm bij 13 cm. Ze kan geen vierkantje tekenen met een zijde die kleiner dan 1 mm is.

4p 11 Bereken na welke stap Fleur stopt met tekenen.

Bij het tekenen van een boom van Pythagoras wordt het aantal nieuwe vierkantjes $A_n$ bij elke volgende stap verdubbeld. Vandaar dat geldt:
$A_n = 2^n$ met $A_0 = 1$ waarbij $n$ het stapnummer is.

Om te bepalen wat het totale aantal getekende vierkantjes tot en met een bepaalde stap $n$ is, kun je een somformule $S_n$ gebruiken.

Als je de getallen uit de rij $b, br, br^2, br^3, \dots, br^n$ of de somformule die hoort bij een exponentieel verband:
$$S_n = \frac{b(1-r^{n+1})}{1-r}$$
gebruiken.

4p 12 Bereken bij welke stap het totale aantal vierkantjes voor het eerst meer dan 2000 is.

VW-1026-a-19-2-o 7 / 12 lees verder

### Pagina 8

Welke van de tien?

In april 2015 zette een tv-presentator uit Singapore een puzzel op het
internet die afkomstig was uit een toets voor basisschoolkinderen van een
school voor hoogbegaafde kinderen. De puzzel ging vervolgens de hele
wereld over, want iedereen vroeg zich af hoe je hem eigenlijk op moest
lossen.

Een variant van de puzzel is de volgende:

Amir en Bob hebben net Carina leren kennen en ze willen graag weten
wanneer ze jarig is. Carina geeft ze een lijst met 10 mogelijke data:

[FIGUUR: Tabel met maanden september, oktober, november, december en kolommen met data 20, 21, 24 en 22, 23, 19, 21, 19, 20, 22]

Daarna vertelt ze aan Amir in welke maand ze jarig is en aan Bob op
welke dag van de maand ze jarig is. Amir zegt vervolgens: "Ik weet niet
wanneer Carina jarig is, maar ik weet zeker dat Bob het op dit moment
ook niet weet."

Bob reageert hierop: "Eerst wist ik inderdaad niet wanneer Carina jarig is,
maar dankzij Amirs opmerking weet ik het nu wel", waarop Amir
concludeert: "Oh, maar dan weet ik het nu ook!"

Deze lastige puzzel is op te lossen met behulp van logisch redeneren. We
spreken daarvoor de volgende notaties af:
- A(oktober) betekent 'Carina heeft tegen Amir gezegd dat ze in de
maand oktober jarig is'.
- B(22) betekent 'Carina heeft tegen Bob gezegd dat ze op de 22e
jarig is'.
- C(20 december) betekent 'Carina is jarig op 20 december'.

Voor andere dagen en maanden gelden dan vergelijkbare notaties.

In deze notatie kun je bijvoorbeeld schrijven:
$C(20 \text{ september}) \Rightarrow (A(\text{september}) \wedge B(20))$

2p 13 Vertaal bovenstaande logische uitdrukking in een gewone zin.

VW-1026-a-19-2-o 8 / 12 lees verder >>>>

### Pagina 9

Vanzelfsprekend kan Amir nooit weten wanneer Carina jarig is. Voor iederer, maar toch zegt Amir zeker te weten dat Bob ook niet weet wanneer Carina jarig is.

3p 14 Hieruit kun je concluderen dat Carina in november of december jarig is. Leg uit hoe je tot deze conclusie komt.

Bob weet dus in eerste instantie niet wanneer Carina jarig is. Je kunt alle mogelijkheden die er voor hem zijn, weergeven in de afgesproken notatie. Omdat inmiddels bekend is dat Carina in november of december jarig is, kunnen we ons beperken tot de dagen die in november en december voorkomen. Het lijstje met data ziet er nu dus als volgt uit:

[FIGUUR: Tabel met twee rijen, 'november' en 'december', en drie kolommen met getallen. De getallen in de kolommen zijn 19, 21 en een lege cel voor november, en 19, 20 en 22 voor december.]

Voor elk van de dagen 19, 20, 21 en 22 kan, uitgaande van wat Carina tegen Bob gezegd kan hebben, een logische uitdrukking gemaakt worden.

Door deze vier logische uitdrukkingen te combineren met het gegeven dat Carina in november of december jarig is én het feit dat Bob haar verjaardag weet dankzij dit gegeven, kun je concluderen dat Carina niet op de 19e jarig is.

Eén van die logische uitdrukkingen is: $B(20) \Rightarrow C(20)$

4p 15 Schrijf voor de andere drie dagen die vóórkomen in de maanden november en december ook zo'n logische uitdrukking op en leg uit hoe je aan de conclusie komt dat Carina niet op de 19e jarig is.

We weten dus nu twee dingen:
1 Carina is in november of in december jarig;
2 Carina is niet op de 19e jarig.

Blijkbaar is dit genoeg informatie voor Amir om erachter te komen wanneer Carina jarig is.
3p 16 Wanneer is Carina jarig? Licht je antwoord toe met een redenering.

VW-1026-a-19-2-o
9 / 12
lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Bodemdaling

Bodemdaling kan ontstaan door natuurlijke processen maar ook door menselijke handelen. Bij de gaswinning uit het Groningen-gasveld is er sprake van bodemdaling veroorzaakt door menselijk handelen. In deze opgave gaan we uit van de gegevens zoals die tot en met 2017 bekend waren. We nemen verder aan dat ontwikkelingen die tot op dat moment geconstateerd zijn, zich in de periode daarna op dezelfde wijze voortzetten.

Metingen van deze bodemdaling worden onder andere gedaan door zogeheten GPS-monitoring-stations, die zeer nauwkeurig posities bepalen. Een van deze stations staat boven op een gebouw bij het Eemskanaal. Elk uur wordt de hoogte van de GPS-antenne (ten opzichte van zeeniveau) van dit station gemeten.
In figuur 1 zijn alle metingen vanaf 1 januari 2015 om 0:00 uur tot en met 31 mei 2017 om 23:00 uur weergegeven. Deze figuur is vergroot op de uitwerkbijlage afgebeeld.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van hoogte (m) op de y-as tegen datum op de x-as, lopend van 01-01-15 tot 18-05-17. De y-as loopt van 47,079 tot 47,093. De grafiek toont een dalende trend met fluctuaties.]

Het jaar 2016 was een schrikkeljaar.
2p 17 Bereken om hoeveel metingen het in figuur 1 gaat.

In figuur 1 is ook de trendlijn van de hoogte van de GPS-antenne weergegeven. Zoals je kunt zien, is de eenheid op de horizontale as vier weken.
Als de bodemdaling onveranderd doorgaat, zal de hoogte van de GPS-antenne in de toekomst lager dan 47 meter zijn.
5p 18 Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven trendlijn voor het eerst zal zijn. Gebruik daarbij de figuur op de uitwerkbijlage.

VW-1026-a-19-2-o
10/12
lees verder

### Pagina 11

Het gebied waar sprake is van bodemdaling wordt het daling sgebied
genoemd. In het midden van het dalingsgebied, nabij Ten Post, is de
bodemdaling het grootst. Tot 2013 was de bodem daar al 32 centimeter
gedaald. De bodemdaling is niet overal even groot. Het gebied waar de
bodem ten minste 30 centimeter is gedaald, is bij benadering cirkelvormig.
Zie figuur 2. In figuur 2 is bovendien de dwarsdoorsnede van de bodem
door het laagste punt geschetst. Rondom het laagste punt heeft deze
dwarsdoorsnede bij benadering de vorm van een grafiek van een
kwadratisch verband, met andere woorden de vorm van een parabool.

figuur 2 bodemdaling in cm figuur 3 dwarsdoorsnede bodem

[FIGUUR: Een kaart met de locaties Ten Boer, Ten Post en Loppersum, en met een cirkelvormige lijn die het dalingsgebied aanduidt. Binnen deze cirkel staan stippen met de waarden 30 en 32.]

[FIGUUR: Een grafiek van een parabool die naar beneden opent, met een minimum.]

We nemen nu aan dat het gebied waar de bodem ten minste
30 centimeter is gedaald cirkelvormig is. Verder nemen we aan dat de
dwarsdoorsnede van de bodem rondom het midden van het dalingsgebied
de vorm van een parabool heeft. De top van deze parabool komt overeen
met het laagste punt van het dalingsgebied.

In 2013 was de straal van het cirkelvormige figuur 4
gebied gelijk aan 4 km en in het laagste
punt was de bodem dus 32 centimeter
gedaald. In figuur 4 is de parabool
geschetst bij het model van de
dwarsdoorsnede dat bij deze gegevens
hoort.

De parabool bij het model voor 2013 kan
beschreven worden met een formule van de
vorm $h = ax^2 + b$. Hierin is $x$ de afstand tot
het midden van het dalingsgebied in
kilometers en $h$ is de daling van de bodem
in centimeters.
4p 19 Bepaal de niet-afgeronde waarden van $a$ en $b$.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1026-a-19-2-o 11 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 12

Rondom Ten Post blijft de bodem dalen. Daardoor wordt het
dalingsgebied ook groter. Men voorspelt dat het gebied rondom Ten Post
tot 2080 flink zal blijven dalen. Ook voor 2080 nemen we aan dat het
gebied waar de bodem ten minste 30 centimeter is gedaald bij benadering
cirkelvormig is. We nemen ook weer aan dat de dwarsdoorsnede van de
bodem rondom het midden van het dalingsgebied de vorm van een
parabool heeft waarvan de top overeenkomt met het laagste punt van het
dalingsgebied.
Voor 2080 wordt de parabool beschreven door de formule
$h = 0,084x^2 - 47$. Hierin is $x$ weer de afstand tot het midden van het
dalingsgebied in kilometers en $h$ is weer de daling van de bodem in
centimeters.

5p 20 Volgens de voorspellingen zal de oppervlakte van het gebied met een
daling van ten minste 30 cm in 2080 een stuk groter zijn dan in 2013.
Bereken hoeveel keer zo groot. Geef je antwoord als geheel getal.

Als gevolg van de bodemdaling vinden er in Groningen en omgeving
aardbevingen plaats. In de tabel zie je hoe snel de aardbevingen elkaar in
het jaar 1993 opvolgden.

tabel
aardbevingen in 1993 (chronologisch)
aantal dagen sinds
de vorige beving
63 21 7 14 40 9 44 0 13 17 12 18 3 59 29

Voorbeeld: de 0 in de tabel geeft aan dat de 7e en 8e aardbeving in 1993
op dezelfde dag plaatsvonden.

Op basis van de tabel en de afzonderlijke lengtes van de
kalendermaanden kunnen de volgende conclusies worden getrokken:
– De tweede en vierde aardbeving in 1993 kunnen in één
kalendermaand plaatsgevonden hebben.
– De eerste aardbeving in 1993 werd voorafgegaan door minstens één
aardbevingvrije kalendermaand.

4p 21 Geef voor beide conclusies een sluitende redenering.

VW-1026-a-19-2-o 12 / 12 einde