# Eindexamen Wiskunde C VWO 2019 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2019/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2019
tijdvak 1
maandag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-19-1-o

### Pagina 2

Mondriaan

Piet Mondriaan (1872-1944) was een Nederlandse kunstschilder die algemeen wordt gezien als één van de grondleggers van de abstracte kunst.
Vooral zijn latere werk, schilderijen bestaand uit zwarte lijnen en rode, gele, blauwe en witte vlakken, is wereldberoemd.

[FIGUUR: Een schilderij in de stijl van Mondriaan, opgedeeld in zwarte lijnen met daartussen diverse rechthoekige vlakken in grijs- en zwarttinten en wit.]

Een kunstenaar wil een schilderij maken dat lijkt op een schilderij van Piet Mondriaan. Hij wil daarbij voor de vlakken de drie kleuren rood, blauw en wit gebruiken. De kunstenaar vindt het niet erg als twee naast elkaar liggende vlakken dezelfde kleur hebben.

Het aantal manieren waarop hij zijn schilderij in kan kleuren, het aantal mogelijke kleuringen dus, hangt af van het aantal vlakken waaruit het schilderij bestaat. Het verband tussen het aantal mogelijke kleuringen $M$ en het aantal vlakken $V$ is: $M=3^V$.

3p 1 De kunstenaar wil minimaal vijf miljoen mogelijkheden hebben om het schilderij in te kleuren.
Bereken hoeveel vlakken het schilderij dan minstens moet hebben.

Een vriend van de kunstenaar beweert dat, als je in het algemeen het aantal mogelijke kleuringen wilt verdubbelen, je gewoon het aantal vlakken moet verdubbelen.
3p 2 Onderzoek of dat het geval is.

Uiteindelijk kiest de kunstenaar voor een schilderij met 17 vlakken, zoals weergegeven in de figuur. De figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
[FIGUUR: Een schematische weergave van een schilderij, opgedeeld in 17 genummerde vlakken.]
De kunstenaar wil het schilderij van de figuur inkleuren met de drie eerder genoemde kleuren: rood, blauw en wit. Daarnaast besluit hij, bij nader inzien, toch dat twee aan elkaar grenzende vlakken niet dezelfde kleur mogen hebben.

VW-1026-a-19-1-o 2 / 13

### Pagina 3

We kunnen de kleuring van de verschillende vlakken weergeven met de
volgende notatie: $W_5$ betekent “vlak nummer 5 is wit gekleurd” en $B_{12}$
betekent “vlak nummer 12 is blauw gekleurd”.

De kunstenaar begint met vlak nummer 1 rood te kleuren. Tegen zijn
vriend zegt hij “Vlak nummer 1 is rood, dus vlak nummer 4 is blauw of
wit”.

2p 3 Vertaal de uitspraak van de kunstenaar in logische symbolen, gebruik
makend van bovenstaande notatie.

De kunstenaar kiest ervoor om vlak nummer 4 wit te kleuren. Het gevolg
daarvan voor een deel van de rest van het schilderij kan worden
weergegeven met de volgende logische redenering, bestaande uit vier
redenerstappen:
* $(R_1 \wedge W_4) \Rightarrow B_3$
* $B_3 \Rightarrow (\neg B_5 \wedge \neg B_7)$
* $(R_1 \wedge \neg B_2) \Rightarrow W_6$
* $(W_2 \wedge B_7) \Rightarrow R_6$

4p 4 Geef de vier stappen van deze redenering in gewone zinnen.

Voor de rest van de opgave gaan we ervan uit dat kunstenar blijft bij
bovenstaande keuze.

3p 5 Geef een redenering, weergegeven met de hierboven beschreven notatie
en logische symbolen, bestaande uit een aantal redenerstappen, voor
vlak nummer 5 en leg daarmee uit waarom de kunstenaar er niet in zal
slagen vlak nummer 5 een kleur te geven.

4p 6 De kunstenaar heeft dus een vierde kleur nodig en kiest ervoor om vlak
nummer 5 geel te kleuren. Het is mogelijk om de rest van het kunstwerk in
te kleuren zonder een tweede keer de kleur geel in te hoeven zetten. De
figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
Geef op de uitwerkbijlage aan hoe het kunstwerk ingekleurd moet worden,
uitgaande van het bovenstaande.

VW-1026-a-19-1-o 3 / 13 lees verder ➢➢➢

### Pagina 4

Groningse aardbevingen

In de provincie Groningen vinden, als gevolg van gasproductie, regelmatig
aardbevingen plaats. In 2013 is daar grootschalig onderzoek naar
gedaan. Zo werd er gekeken naar het verband tussen de gasproductie en
aardbevingen. Enkele resultaten daarvan staan in figuur 1. Deze figuur
staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage. Hier zie je bijvoorbeeld dat er in
1993 zeven aardbevingen zijn geweest en er in datzelfde jaar 42 miljard
kubieke meter gas is geproduceerd.

figuur 1

[FIGUUR: Een lijngrafiek met op de y-as het aantal aardbevingen en de gasproductie, en op de x-as de jaren van 1989 tot 2011. Er zijn twee lijnen: een gestippelde lijn die het jaarlijkse aantal aardbevingen weergeeft, en een doorgetrokken lijn die de jaarlijkse gasproductie weergeeft.]

Legenda:
--- jaarlijks aantal aardbevingen
--- -- jaarlijkse gasproductie

We bekijken de volgende drie beweringen:
1 De gasproductie en het aantal aardbevingen zijn over de gehele
periode 2000-2011 procentueel evenveel gestegen.
2 Als na 2000 de gasproductie daalt, dan heeft dat altijd een jaar later
ook een daling van het aantal aardbevingen tot gevolg.
3 In de periode 1995-2004 is de gemiddelde stijging per jaar van het
aantal aardbevingen groter dan in de periode 1998-2004.
5p 7 Geef van elke bewering aan of deze waar is of niet. Gebruik in je
toelichting gegevens uit figuur 1 en gebruik daarbij eventueel de figuur op
de uitwerkbijlage.

De magnitude, de kracht van een aardbeving, wordt uitgedrukt in een
getal op de schaal van Richter.
In figuur 2 zijn de Groningse aardbevingen vanaf 1994 verzameld en
ingedeeld naar sterkte. Dat geeft bij een logaritmische schaalverdeling
langs de verticale as een opvallend patroon: alle grafieken zijn bij
benadering evenwijdige rechte lijnen.

VW-1026-a-19-1-o 4/13 lees verder ►►►


### Pagina 5

Elke stip in deze figuur stelt een aardbeving van een zekere magnitude
voor: zo kun je zien dat er vlak voor juli 2009 een aardbeving van
magnitude $\geq 3,0$ heeft plaatsgevonden: die aardbeving zie je dus ook
terug bij de aardbevingen van de klassen $\geq 2,5$; $\geq 2,0$ en $\geq 1,5$.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as het totaal aantal aardbevingen $\geq$ magnitude en op de x-as de tijd in maanden. Er zijn vier lijnen getekend die elk een magnitude klasse vertegenwoordigen: $\geq 1,5$, $\geq 2,0$, $\geq 2,5$ en $\geq 3,0$. Onder de grafiek staan drie tekstvakken met de aantallen aardbevingen en de bijbehorende data: $n=0$ (april 1994), $n=117$ (januari 2004), $n=220$ (augustus 2012). Er is ook een lijn getekend voor $\geq 3,5$, maar zonder data.]

In het onderzoek werden alleen aardbevingen bekeken die schade
zouden kunnen veroorzaken. Omdat aardbevingen met een magnitude
van minder dan 1,5 geen schade aanrichten, zijn deze niet in figuur 2
opgenomen.

3p 8 Bereken voor augustus 2012 hoeveel procent van het aantal
aardbevingen van magnitude $\geq 2,0$ een magnitude van 2,5 of hoger heeft.
Geef je antwoord in gehele procenten.

Het feit dat de grafieken in figuur 2 evenwijdige rechte lijnen zijn, betekent
dat het aantal aardbevingen van elke klasse exponentieel toeneemt met
dezelfde groeifactor. Het totaal aantal aardbevingen $A_n$ voor
magnitudes $\geq 1,5$ tot en met maand $n$ is daardoor te beschrijven als een
meetkundige rij. Uit figuur 2 kunnen we dan aflezen: $A_0 = 12$ en
$A_{220} = 200$.

4p 9 Stel de recursieve formule voor $A_n$ op.

VW-1026-a-19-1-o 5 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 6

In een rapport van het Staatstoezicht op de Mijnen wordt geconstateerd
dat er een duidelijk verband is tussen de magnitude en het percentage
aardbevingen boven die magnitude. In figuur 3 is dat verband
weergegeven.

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as de percentage aardbevingen boven bepaalde magnitude (N) van 0 tot 100, en op de x-as de magnitude aardbeving op de schaal van Richter (M) van 0 tot 2,5. Er is een dalende curve getekend.]
Zo is bijvoorbeeld af te lezen dat 10% van de aardbevingen een
magnitude boven de 1,0 heeft.
Bij deze grafiek hoort de volgende formule:
$$ N = 10^{a-M} $$
Hierbij is $M$ de magnitude en $N$ het percentage van de aardbevingen
boven magnitude $M$.
3p 10 Laat met een berekening zien dat geldt: $a=2$.

VW-1026-a-19-1-o 6 / 13 lees verder ▶ ▶ ▶

### Pagina 7

Goudplevieren

Een goudplevier (zie foto) is een vogel die niet in
Nederland broedt, maar tijdens zijn trektochten wel in
Nederland te vinden is. Er zijn grote verschillen in
aantallen goudplevieren tussen de verschillende jaren.
In figuur 1 zijn de aantallen goudplevieren in
Nederland in de jaren 1975 tot en met 2012
weergegeven als zwarte stippen.

foto
[FIGUUR: foto van een goudplevier op het strand]

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as het aantal vogels (van 0 tot 50000) en op de x-as de jaren (van '75 tot '10). Er zijn zwarte stippen getekend die de aantallen per jaar weergeven, en een gekromde lijn die de trend aangeeft.]

In figuur 1 is ook een kromme getekend die de trend aangeeft. We nemen
aan dat vanaf 2003 deze trend een rechte lijn is en dat dit ook na 2012 zo
blijft.

4p 11 Bereken hoeveel goudplevieren er volgens de trendlijn zijn in 2020. Geef
je antwoord in gehele duizendtallen.

VW-1026-a-19-1-o 7 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Tijdens hun verblijf in Nederland bouwen de goudplevieren een reserve
op voor de komende trektochten. Hierdoor nemen ze toe in gewicht.

In figuur 2 zie je het resultaat van een onderzoek naar deze
gewichtstoename: van een aantal op verschillende tijdstippen gevangen
goudplevieren is het gewicht en/of de hoeveelheid vet bepaald. De open
stippen horen bij waarnemingen in het najaar en de dichte stippen bij
waarnemingen in het voorjaar. Ook zijn de trendlijnen getekend.

figuur 2

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "lichaamsgewicht (g)" en op de x-as "dagen na het begin van gewichtstoename". Er zijn twee datasets weergegeven, één met open cirkels en een trendlijn genaamd "trend najaar", en één met dichte cirkels en een trendlijn genaamd "trend voorjaar". De trendlijn voor het najaar loopt ongeveer horizontaal, terwijl de trendlijn voor het voorjaar een stijgende lijn is. Beide trendlijnen hebben ook de aanduiding "0,6 g/dag". Onder deze grafiek bevindt zich een tweede grafiek met op de y-as "hoeveelheid vet (g)" en op de x-as "dagen na het begin van gewichtstoename". Ook hier zijn twee datasets weergegeven met open en dichte cirkels, met bijbehorende trendlijnen. De trendlijn voor het najaar is hier ook weer een stijgende lijn, met de aanduiding "0,6 g/dag". De trendlijn voor het voorjaar is een rechte horizontale lijn met de aanduiding "trend voorjaar".]

Op grond van specifieke biologische kenmerken kunnen de onderzoekers
bepalen wanneer de gewichtstoename van een goudplevier begint.
Aan de hand van de trendlijnen in figuur 2 kun je onderzoeken of de
volgende stellingen zijn waar.
I In het voorjaar is de gemiddelde gewichtstoename per dag van een
goudplevier ongeveer 2 keer zo groot als in het najaar.
II De gewichtstoename in het voorjaar bestaat niet uit vet.

4p 12 Onderzoek voor elk van beide stellingen of deze waar is.

VW-1026-a-19-1-o 8 / 13 lees verder

### Pagina 9

Het vetpercentage van een vogel is de hoeveelheid lichaamsvet als percentage van het totale gewicht van de vogel. Er geldt dus:
vetpercentage = $\frac{hoeveelheid~vet~(in~gram)}{totale~gewicht~(in~gram)} \times 100$

Met behulp van de trendlijnen (in figuur 2) is een formule op te stellen voor $P_{voorjaar}$, het vetpercentage in het voorjaar. Als je dat doet met de punten (0, 198) en (20, 244) uit de grafiek voor het totale lichaamsgewicht, dan ontstaat de formule $P_{voorjaar} = \frac{1600}{2,3 \cdot t + 198}$ met $t$ de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename.

5p 13 Laat zien, gebruikmakend van de grafieken in figuur 2 en de punten (0, 198) en (20, 244), dat deze formule inderdaad uit de gegevens volgt.

3p 14 Beredeneer uitsluitend met behulp van de formule voor $P_{voorjaar}$, zonder getallen in te vullen of een schets te maken, of het vetpercentage in het voorjaar toeneemt of juist afneemt.

Voor het vetpercentage in het najaar gaan we uit van de volgende formule:
$P_{najaar} = \frac{2300 + 60t}{207 + 0,6t}$
Hierin is $P_{najaar}$ het vetpercentage van de vogel in het najaar en $t$ de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename.

Als je de grafiek van $P_{najaar}$ zou tekenen, zou je zien dat deze stijgt. Het is echter vrij moeilijk te zien of dit een toenemende of afnemende stijging is. Met berekeningen is dit wel te onderzoeken. Je mag er hierbij van uitgaan dat de grafiek of voortdurend toenemend stijgend is of voortdurend afnemend stijgend.

4p 15 Onderzoek of de grafiek van $P_{najaar}$ toenemend stijgend of afnemend stijgend is.

### Pagina 10

Gangnam Style

Het nummer Gangnam Style van de Zuid-Koreaanse zanger Psy is de eerste YouTube-video die vaker dan 1 miljard keer bekeken is; die grens werd bereikt op 21 december 2012.

Op de foto staat rechts onderaan de teller van 12 januari 2015, rond vier uur 's middags: toen was de video ruim 2,2 miljard maal bekeken.

foto

[FIGUUR: Screenshot van een YouTube-video met de titel "PSY - GANGNAM STYLE (강남스타일) M/V". De video toont dansende mensen. Onder de video staan de officiële kanaalnaam, het aantal abonnees en het aantal weergaven van 2.205.961.750.]

Er wordt veel tijd besteed aan het kijken naar de 4 minuten en 12 seconden durende video. Ga er bij de volgende vraag van uit dat iedereen de video van begin tot einde bekeek.

3p 16 Beken hoeveel tijd in jaren er in totaal tot 12 januari 2015, vier uur 's middags, al was besteed aan het kijken naar de video. Geef je antwoord in gehele honderdtallen.

Je kunt op YouTube statistieken opvragen over de video. Zie figuur 1.

figuur 1

15.000.000
10.000.000
5.000.000
0
Jan 2013
Jul 2013
Jan 2014
Jul 2014
Jan 2015

VW-1026-a-19-1-o
10 / 13
lees verder

### Pagina 11

De grafiek in figuur 1 geeft het aantal views per dag weer. Dat aantal is
dus ook de dagelijkse verandering van het totale aantal views van
Gangnam Style.
Met behulp van de gegevens uit figuur 1 zou je ook een totaalgrafiek, een
grafiek van het totale aantal views, kunnen maken. De pieken laten we
dan voor het gemak buiten beschouwing. Over het stijgen en dalen van de
totaalgrafiek worden de volgende beweringen gedaan:
I de totaalgrafiek is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend
dalend;
II de totaalgrafiek is eerst afnemend stijgend en daarna toenemend
stijgend;
III de totaalgrafiek is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend
stijgend.
3p 17 Leg uit welke van de drie beweringen de juiste is.
In figuur 2 staat de grafiek van het dagelijkse aantal views opnieuw. Er is
nu ook een trendkromme getekend.
figuur 2
[FIGUUR: Een lijngrafiek met op de y-as het aantal views (lopend van 0 tot 15.000.000) en op de x-as de tijd (lopend van medio 2012 tot medio 2015). Er zijn twee datums gemarkeerd: 10 oktober 2012 en 1 januari 2014. Twee waarden zijn expliciet aangegeven: 10,4 miljoen en 770.000.]
Aan de trendkromme in figuur 2 is te zien dat op 10 oktober 2012 een
dalende trend werd ingezet. Op die datum was het aantal views nog groot,
met 10,4 miljoen views per dag. Op 1 januari 2014, 64 weken later, was
het dagelijkse aantal views nog maar 770.000.
Als we aannemen dat deze afname exponentieel is, dan geldt:
$V = 10,4 \cdot 0,96^t$
In deze formule is $V$ het dagelijkse aantal views in miljoenen en $t$ het
aantal weken sinds 10 oktober 2012. De groeifactor is hierbij afgerond op
twee decimalen.
3p 18 Bereken de groeifactor per week in drie decimalen.
4p 19 Bereken met de formule in welke maand van welk jaar het aantal views
per dag onder de 100.000 zakte.
VW-1026-a-19-1-o 11 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 12

Triangular Lodge
Nabij Rushton in Engeland staat een bijzonder gebouw: Triangular Lodge.
Voor de ontwerper van het gebouw had het getal 3 zoveel betekenis dat
alles van dit gebouw in het teken staat van 3.

foto
[FIGUUR: Een foto van een imposant, stenen gebouw met veel puntige torens en versieringen.]

Het grondvlak van het gebouw is een gelijkzijdige driehoek waarvan de
zijden 33 feet lang zijn. Eén foot is gelijk aan 30,48 cm.
De oppervlakte van dat grondvlak is 471,55 square feet. Dat is ongeveer
44 m².

4p 20
Bereken, uitgaande van een oppervlakte van 471,55 square feet, de
oppervlakte in m². Geef je antwoord in één decimaal.

Bovenstaande foto staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. De hoogte aan
de buitenkant tot aan de dakrand is 8,22 meter.
4p 21
Bereken met behulp van de foto op de uitwerkbijlage op welke hoogte de
fotograaf de foto heeft genomen. Geef je antwoord in gehele cm.

De buitenmuren zijn erg dik. Daardoor is de binnenruimte een gelijkzijdige
driehoek met zijden van 8,22 m. Deze ruimte wordt door drie dunnere
muren verdeeld in een regelmatige zeshoek en drie gelijkzijdige
driehoeken. Zie de figuur.

figuur
[FIGUUR: Een plattegrond van een gelijkzijdige driehoek met daarin een zeshoek en drie kleinere driehoeken.]

VW-1026-a-19-1-o
12 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 13

Op de uitwerkbijlage is het grondvlak van het gebouw, de gelijkzijdige
driehoek dus, in perspectief getekend. Je ziet ook de horizon in de
tekening.
Een van de zijden is, zoals je ziet, evenwijdig met de horizon getekend.
Wat nog niet getekend is, is de regelmatige zeshoek (de zeshoekige
kamer waarvan hierboven sprake was).
22 Teken de regelmatige zeshoek in de driehoek. Je mag daarbij de dikte
van de muren verwaarlozen. Licht je werkwijze toe.
VW-1026-a-19-1-o
13 / 13
einde