# Eindexamen Wiskunde C VWO 2018 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2018/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2018

tijdvak 1
maandag 14 mei
13.30 - 16.30 uur

wiskunde C

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1026-a-18-1-o

### Pagina 2

Windenergie

In een krant stond eind 2013 bij een artikel over de toekomst van
windenergie de onderstaande figuur. In de figuur wordt de kostprijs voor
het produceren van windenergie vergeleken met de kosten voor het
produceren van energie in een traditionele kolencentrale (de marktprijs).

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'kostprijs windenergie en marktprijs in cent per kwh' (lopend van 0 tot 20) en op de x-as de tijd (lopend van 1-1-'09 tot 1-1-'21). Er zijn drie lijnen getekend: een stippellijn met een puntje voor 'wind op zee' ($k_z$), een gestippelde lijn voor 'wind op land' ($k_l$), en een doorlopende lijn voor 'marktprijs' ($k_m$).]

De grafieken zijn gebaseerd op een model van de werkelijkheid. Met
behulp van dit model is het mogelijk om op ieder willekeurig tijdstip de
kostprijs van energie uit te rekenen.

De formule voor de marktprijs $k_m$ luidt:
$$k_m = 0,28 \cdot t + 4,3$$
De formule voor de kostprijs van windenergie $k_l$ van windmolens op land
luidt:
$$k_l = -0,31 \cdot t + 10,0$$
Voor beide formules geldt: $k$ is de prijs in cent per kWh (kilowattuur) en $t$
is de tijd in jaren met $t=0$ op 1 januari 2009.

We nemen in deze opgave aan dat de prijzen zich ook na 2020 volgens
deze lineaire verbanden blijven ontwikkelen.

Door de duurdere windmolens op zee is de kostprijs van windenergie van
die windmolens op dit moment nog steeds hoger dan die van windmolens
op land. Maar door de voortdurende innovaties gaat dat veranderen.

VW-1026-a-18-1-o
2 / 11
lees verder ►►►


### Pagina 3

5p 1 Stel met behulp van de figuur een formule op voor de kostprijs $k_z$ van
windenergie van windmolens op zee en bereken daarmee in welk jaar de
windenergie van land en die van zee evenveel kostten.

4p 2 Rond 2011 was de kostprijs van windenergie van windmolens op land nog
tweemaal zo hoog als de marktprijs.
Bereken in welk jaar de marktprijs tweemaal zo hoog zal zijn als de
kostprijs van windenergie van windmolens op land.

In de provincie Flevoland staan veel windmolens en er zijn daar veel
huishoudens die voorzien worden van windenergie van windmolens op
land. Er wordt in deze provincie daarom vaak gebruikgemaakt van de
gemiddelde prijs van windenergie en 'traditionele' energie, dus het
gemiddelde van $k_l$ en $k_m$. Voor deze gemiddelde prijs $k_g$ kan een formule
worden opgesteld van de vorm $k_g = at + b$.
3p 3 Bereken de waarden van $a$ en $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

In 2013 werd door alle windmolens op zee in totaal gemiddeld
228 000 kWh per uur opgewekt. De windmolens zijn per dag maar
gemiddeld 5 uur in bedrijf.

Neem aan dat een huishouden in Nederland jaarlijks ongeveer 3500 kWh
verbruikt.
3p 4 Bereken hoeveel huishoudens in Nederland er geheel 2013 van energie
konden worden voorzien met energie van windmolens op zee. Rond je
antwoord af op honderdtallen.

In 2013 was de totale productie van energie door alle windmolens (op
land en op zee) in Nederland gelijk aan 5,95 miljard kWh. Hiermee kon in
5% van de landelijke energiebehoefte worden voorzien. Er werd toen
voorspeld dat tien jaar later windmolens, met een totale energieproductie
van 23 miljard kWh, in 15% van de landelijke energiebehoefte zouden
voorzien.
4p 5 Bereken met hoeveel procent de totale landelijke energiebehoefte volgens
deze voorspelling tussen 2013 en 2023 zou toenemen. Rond je antwoord
af op gehele procenten.

VW-1026-a-18-1-o 3 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 4

Francis Bacon

Op de foto zie je een schilderij van Francis Bacon. Deze foto staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. Een man bevindt zich voor een ruimte met donkere wanden. Het plafond en de vloer zijn in iets lichtere kleuren afgebeeld. Als je aanneemt dat deze ruimte balkvormig is, kun je zien dat de kunstenaar deze ruimte niet precies volgens de regels van het perspectief heeft getekend.

foto

[FIGUUR: Een schilderij van een man in een balkvormige ruimte.]

3p 6 Leg met behulp van de foto op de uitwerkbijlage uit hoe je dit kunt zien.

Op de uitwerkbijlage zie je het begin van een juiste perspectieftekening van een model van de balkvormige ruimte op het schilderij. Alleen de achterwand en de vloer zijn aangegeven.

3p 7 Maak deze perspectieftekening correct af.

figuur

bovenaanzicht

De man op het schilderij staat voor de balkvormige ruimte. Stel dat het
Bacons bedoeling was om de man
midden voor de balkvormige ruimte te plaatsen op een afstand die de helft is van de diepte van de ruimte. In de figuur zie je een bovenaanzicht van de balkvormige ruimte waarin een punt $P$ is getekend. De afstand van $P$ tot de voorkant van de ruimte is de helft van de diepte van deze ruimte, dus $MP = 0,5 \cdot AC$.

[FIGUUR: Een bovenaanzicht van een rechthoek met hoekpunten A, B, C, D, en een lijnstuk CD. Er is een punt M op CD getekend en een punt P los van de figuur.]

4p 8 Teken dit punt $P$ in de perspectieftekening op de uitwerkbijlage.

VW-1026-a-18-1-o 4/11 lees verder ►►►


### Pagina 5

Vermenigvuldigen op de handen
In Rusland en Polen gebruikten boeren vroeger soms hun handen om
twee getallen tussen 5 en 10 met elkaar te vermenigvuldigen.
De methode werkt als volgt:
Je wilt bijvoorbeeld 8 maal 9 uitrekenen.
Steek aan beide handen vijf vingers
op;
$8-5=3$, buig aan de ene hand
drie vingers om: zie de figuur;
$9-5=4$, buig aan de andere hand
vier vingers om.
tel de omgebogen vingers op en
vermenigvuldig het antwoord met 10, dus $(3+4) \cdot 10=70$;
vermenigvuldig de opgestoken vingers, 2 op de ene hand en 1 op de
andere hand, met elkaar: $2 \cdot 1 = 2$;
tel nu de antwoorden van de vorige twee stappen bij elkaar op:
$70 + 2 = 72$.
Bij deze methode hoef je alleen maar de tafels van vermenigvuldiging van
de getallen van 1 tot en met 5 en van 10 uit het hoofd te kennen.
3p 9
Ga na of deze methode ook het goede antwoord oplevert bij de
vermenigvuldiging 5 maal 5.
De methode is geldig voor alle gehele getallen tussen 5 en 10. Om dit aan
te tonen noemen we de getallen die we met elkaar willen
vermenigvuldigen $x$ en $y$. Het aantal omgebogen vingers op de linkerhand
is nu $x-5$. In het voorbeeld van de figuur: $8-5=3$. Omdat het aantal
omgebogen en opgestoken vingers op één hand samen 5 is, is het aantal
opgestoken vingers op de linkerhand in het voorbeeld
$5-(8-5) = 5-3 = 2$.
3p 10
Leg, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, uit waarom als er $x-5$
vingers aan de linkerhand omgebogen zijn het aantal opgestoken vingers
op deze hand gelijk is aan $10-x$.
Op dezelfde manier is het aantal opgestoken vingers op de rechterhand
gelijk aan $10-y$.
Uit deze methode van vermenigvuldigen op de handen volgt dat een
uitkomst op de volgende manier berekend kan worden:
omgebogen vingers $\times 10$ + opgestoken vingers ene hand $\times$ opgestoken
vingers andere hand
Oftewel: $(x-5+y-5)\cdot 10 + (10-x)(10-y)$.
4p 11
Werk de haakjes weg en laat door verder herleiden zien dat dit gelijk is
aan $x \cdot y$.
VW-1026-a-18-1-o
5/11
lees verder ►►►

### Pagina 6

Grauwe ganzen

Grauwe ganzen eten gras en kunnen daardoor schade aan weilanden veroorzaken. Om die reden wordt er veel onderzoek gedaan naar de toename van het aantal grauwe ganzen in Nederland en de mogelijkheden om die toename te beperken.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "aantal broedparen" met logaritmische schaal (10, 100, 1000, 10000) en op de x-as "jaar" met schaalverdeling 1970, 1980, 1990, 2000. De grafiek toont een stijgende lijn die tussen 1970 en ongeveer 1978 stijgt van ongeveer 10 naar 100, dan horizontaal loopt tot ongeveer 1983, daarna weer stijgt tot ongeveer 1000 in 1990, en vervolgens weer stijgt tot ongeveer 10000 in 2000, met een langzamer tempo na 1998.]

In de figuur, die ook op de uitwerkbijlage staat, is het aantal broedparen van de grauwe gans in Nederland weergegeven voor de jaren 1971 tot en met 1998. Je ziet dat het aantal broedparen snel gegroeid is in deze periode. De verticale as in de figuur heeft een logaritmische schaalverdeling. Het derde punt van de grafiek, horend bij het jaar 1973, ligt tussen 10 en 100.

3p 12 Bereken met behulp van de figuur het aantal broedparen in 1973.

Voor de periode 1983-1998 kan de grafiek benaderd worden met een rechte lijn. Omdat de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft, betekent dit dat het aantal broedparen in die periode in werkelijkheid bij benadering exponentieel groeide. Het aantal broedparen van de grauwe gans nam toe van 220 broedparen in 1983 tot 5000 in 1998. Na 1998 nam het aantal verder toe: in 2012 waren er 83000 broedparen. We vragen ons af of de exponentiële groei in de periode 1983-1998 zich na 1998 op dezelfde wijze voortgezet heeft.

4p 13 Onderzoek of het aantal van 83000 in 2012 past bij een gelijkblijvende exponentiële groei.

VW-1026-a-18-1-o 6 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 7

In het vervolg van de opgave gaat het niet meer over alleen de
broedparen van de grauwe gans, maar over alle grauwe ganzen.

Onderzoekers hebben een aantal jaren geleden een model gemaakt om
de kosten van de schade te berekenen die door grauwe ganzen wordt
veroorzaakt. Ze zijn hierbij uitgegaan van het aantal van 190 000 grauwe
ganzen **in de zomer** van 2009: de zomergansen.
**In de winter** zijn er in Nederland twee soorten grauwe ganzen. Van de
zomergansen blijft 85% ook in de winter erna. Daar komen de grauwe
ganzen bij die alleen in de winter in Nederland verblijven: de
winterganzen.
Het aantal zomergansen groeit volgens dit model met 19% per jaar en het
aantal winterganzen met 4% per jaar. In de winter van 2009/2010 waren
er 301 800 winterganzen.

De totale schade in de winter van 2009/2010 bedroeg € 2 690 000. We
nemen aan dat de schade in een winter recht evenredig is met het totale
aantal grauwe ganzen in die winter.

5p 14 Bereken het totale schadebedrag in de winter van 2017/2018 volgens dit
model. Rond je antwoord af op duizenden euro's.

In verband met de hoge kosten van de schade werden met ingang van het
jaar 2013 maatregelen getroffen om het aantal grauwe ganzen te
beperken, vooral de zomergansen. Door deze maatregelen nam ná 2013
het aantal zomergansen met 14% per jaar af. Het streven was om het
aantal zomergansen terug te brengen tot 100 000.

4p 15 Bereken in de zomer van welk jaar er voor het eerst minder dan 100 000
zomergansen zullen zijn.

VW-1026-a-18-1-o 7 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Het Cyrillische alfabet

Het Cyrillische alfabet is het alfabet van diverse Oost-Europese landen.
Het wordt onder andere gebruikt in Servië, Bulgarije en Rusland.

Hoewel er officieel maar één Cyrillisch alfabet is, hebben deze drie landen
elk hun eigen variant. Er geldt:
- In deze drie landen samen worden 39 verschillende letters gebruikt.
- Van deze 39 letters komen er 24 voor in alle drie de landen.
- Er zijn 3 letters die alleen in Rusland voorkomen.
- Het Bulgaarse alfabet heeft 30 letters.
- Alle letters in het Bulgaarse alfabet komen ook voor in het Russische
alfabet.
- Het Servische alfabet heeft 6 unieke letters, die dus niet in het
Russische of Bulgaarse alfabet voorkomen.

4p 16 Onderzoek hoeveel letters het Servische alfabet heeft.

Net als ons eigen alfabet (het Latijnse alfabet) is ook het Russische
alfabet afgeleid van het Griekse alfabet. Het is dan ook niet verwonderlijk
dat er veel letters zijn die in meerdere alfabetten voorkomen. In
onderstaande figuur zijn alle letters uit het Latijnse, Griekse en Russische
alfabet weergegeven in een Venn-diagram.

figuur
[FIGUUR: Een Venn-diagram met drie overlappende cirkels. De cirkels zijn gelabeld met "Griekse alfabet", "Russische alfabet" en "Latijnse alfabet". In de cirkels staan letters uit de verschillende alfabetten.]
Griekse
alfabet
Russische
alfabet
Latijnse
alfabet

VW-1026-a-18-1-o 8 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 9

Met behulp van logische symbolen kunnen we beschrijven in welke
alfabetten de letters voorkomen. We gebruiken daarvoor de volgende
afkortingen:
- G: de letter komt voor in het Griekse alfabet.
- R: de letter komt voor in het Russische alfabet.
- L: de letter komt voor in het Latijnse alfabet.
- A: de letter komt voor in alle drie de alfabetten.
De letter $\Pi$ behoort tot de letters waarvoor geldt: $R \land G$

Voor een aantal letters geldt: $G \land L \land \neg A$
2p 17 Geef aan voor welke letters dit geldt. Licht je antwoord toe.

iemand schrijft de volgende bewering op: ($R \land G \land \neg A) \implies L$
3p 18 Vertaal deze logische symbolen naar een Nederlandse zin en onderzoek
of de bewering waar is.
VW-1026-a-18-1-o 9 / 11 lees verder

### Pagina 10

Toren van achtvlakken
Op de afbeelding zie je een kunstwerk van
Elt de Boer: een toren van regelmatige
achtvlakken op een voet. Het bovenste deel
van de voet is de helft van een regelmatig
achtvlak met daaronder een kubus waarvan de
ribbe dezelfde lengte heeft als die van het
halve acht v lak. Daarboven zie je negen hele
achtvlakken die naar boven toe steeds kleiner
worden.
afbeelding
[FIGUUR: Toren van achtvlakken opgebouwd uit kubus en meerdere achtvlakken.]
Een regelmatig achtvlak, zie de figuur, heeft
12 ribben die allemaal even lang zijn. De ribbe
van de voet is 20 cm en die van het bovenste
achtvlak is 4 cm.
figuur
ribbe
hoogte
[FIGUUR: Een achtvlak met de ribbe en hoogte aangeduid.]
De achtvlakken worden naar boven toe steeds
kleiner. De kunstenaar kan ervoor kiezen de
ribbe van de achtvlakken steeds met een vaste
factor r te vermenigvuldigen. Afgerond op twee
decimalen geldt dan:
$r = 0,84$
3p 19 Bereken de waarde van r in drie decimalen nauwkeurig.

VW-1026-a-18-1-o
10 / 11
lees verder

### Pagina 11

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Foto**: Een zwart-wit foto van een kunstobject, waarschijnlijk de "voet" van het kunstwerk, geplaatst in een grasrijke omgeving. Het object heeft de vorm van een afgeknotte piramide of een soort omgekeerde, stompe obelisk met acht zijden aan de bovenzijde, en een vierkante basis. Er is een pijl getekend vanaf de onderkant van de foto, wijzend naar de rechteronderhoek van het object, die waarschijnlijk de kijkrichting aangeeft voor een tekenopdracht.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Lineair verband / Lineaire reeksen**: De lengten van de ribben van opeenvolgende achtvlakken worden beschreven door een lineaire formule ($u_n = 20 - 1,78n$).
    *   **Afgeleide formule**: Inzicht in hoe zo'n lineaire formule (reeks) kan worden afgeleid uit gegeven informatie.
    *   **Optimalisatie / Verschilanalyse**: Het vinden van het maximale verschil tussen twee reeksen (hier "twee methoden").
    *   **Meetkunde / Ruimtemeetkunde**: De hoogte van een achtvlak in relatie tot zijn ribbe (evenredigheidsfactor van 1,4142), en het tekenen van een aanzicht van een 3D-object (de "voet van het kunstwerk") op schaal.
    *   **Schaalberekeningen**: Het omzetten van een werkelijke afmeting naar een schaaltekening (schaal 1:4).
    *   **Perspectief / Aanzichten**: Het definiëren van een aanzicht op basis van een kijkrichting (aangeduid door een pijl).

4.  **Context**: De opgaven zijn gerelateerd aan een kunstwerk dat blijkbaar bestaat uit een reeks achtvlakken ("ribben van de opeenvolgende achtvlakken"). De student moet:
    *   **Opgave 20 (3p