# Eindexamen Wiskunde C VWO 2017 tijdvak 1 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2017/tijdvak-1 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opbrengst ### Vraag 2 – Opbrengst ### Vraag 3 – Vermogen ### Vraag 4 – Opbrengst ### Vraag 5 – Opbrengst ### Vraag 6 – Vermogen ### Vraag 7 – Opbrengst ### Vraag 8 – Vermogen ### Vraag 9 – Vermogen ### Vraag 10 – Vermogen ### Vraag 11 – Vraag ### Vraag 12 – Opbrengst ### Vraag 13 – Opbrengst ### Vraag 14 – Opbrengst ### Vraag 15 – Vraag ### Vraag 16 – Vermogen ### Vraag 17 – Vermogen ### Vraag 18 – Opbrengst ### Vraag 19 – Opbrengst ### Vraag 20 – Vermogen ### Vraag 21 – Opbrengst ### Vraag 22 – Opbrengst ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30 - 16:30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1026-a-17-1-o ### Pagina 2 OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevals variabelen $X$ en $Y$ geldt: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ Voor onafhankelijke toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt: $\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma^2(X) + \sigma^2(Y)}$ $\sqrt{n}$-wet: bij een serie van $n$ onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som $S$ en het gemiddelde $\overline{X}$ van de uitkomsten $X$: $E(S) = n \cdot E(X)$ $E(\overline{X}) = E(X)$ $\sigma(S) = \sqrt{n} \cdot \sigma(X)$ $\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$ Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele $X$, waarbij $n$ het aantal experimenten is en $p$ de kans op succes per keer, geldt: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ met $k = 0, 1, 2, 3, \dots, n$ Verwachting: $E(X) = n \cdot p$ Standaardafwijking: $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ Normale verdeling Voor een toevalsvariabele $X$ die normaal verdeeld is met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt: $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \text{ is standaard-normaal verdeeld en } P(X < g) = P(Z < \frac{g - \mu}{\sigma}) $$ Logaritmen regel | voorwaarde ------- | -------- $^g \log a + ^g \log b = ^g \log ab$ | $g>0, g \ne 1, a>0, b>0$ $^g \log a - ^g \log b = ^g \log \frac{a}{b}$ | $g>0, g \ne 1, a>0, b>0$ $^g \log a^p = p \cdot ^g \log a$ | $g>0, g \ne 1, a>0$ $^g \log a = \frac{^p \log a}{^p \log g}$ | $g>0, g \ne 1, a>0, p>0, p \ne 1$ VW-1026-a-17-1-o 2 / 13 lees verder ►►► ### Pagina 3 VW-1026-a-17-1-o 3 / 13 lees verder ►►► ### Pagina 4 De formule van Riegel en kilometertijden De marathonloper Pete Riegel ontwikkelde een eenvoudige formule om te voorspellen welke tijd een hardloper nodig zou hebben om een bepaalde afstand af te leggen, op basis van zijn tijden op eerder gelopen afstanden. Die formule luidt als volgt: $$T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^{1.07}$$ $T_2$ is de tijd, uitgedrukt in seconden, die gelopen is op de afstand $d_2$ en $T_1$ is de voorspelde tijd in seconden op de afstand $d_1$. De formule is geldig voor afstanden vanaf 1500 meter tot en met 42 195 meter, de marathon. De formule is onafhankelijk van de gebruikte eenheden, dus $d_1$ en $d_2$ mogen bijvoorbeeld allebei in km worden ingevuld of allebei in m. 3p 1 Harald loopt de 1500 meter in 4 minuten en 52 seconden. Bereken in minuten en seconden Haralds te verwachten tijd op de 10 000 meter. 5p 2 Het ligt voor de hand dat de gemiddelde snelheid lager wordt als de te lopen afstand groter wordt. Olaf loopt de 3000 meter in 8 minuten en 29 seconden. Dat is 509 seconden. Bereken met behulp van het bovenstaande en de formule van Riegel met hoeveel procent de gemiddelde snelheid van Olaf afneemt als de te lopen afstand verdubbelt. VW-1026-a-17-1-o 4 / 13 lees verder ►►► ### Pagina 5 Een andere maat voor de snelheid is de kilometer/tijd $K$, het aantal seconden dat een loper gemiddeld per kilometer nodig heeft. In formulevorm: $$K = \frac{T}{d}$$ Hierbij is $T$ de totale tijd in seconden en $d$ de afstand in kilometers. In de figuur hieronder zijn de kilometertijden weergegeven van de wereldrecords hardlopen zoals ze waren in november 2013. [FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'km-tijd in sec' oplopend van 130 tot 190, en op de x-as 'afstand in km' oplopend van 0 tot 50. Er zijn 8 datapunten weergegeven die een afnemende curve volgen, en een curve is getekend die door de punten gaat.] De formule van de hier getekende grafiek die zo goed mogelijk bij de verschillende punten past, is van de vorm $K = a \cdot d^{0,07}$. Hierbij is $K$ de kilometertijd in seconden en $d$ de afstand in kilometers. Het wereldrecord op de 1,5 km (1500 meter) is precies 3 minuten en 26 seconden¹). Het bijbehorende punt ligt op de grafiek. Op basis hiervan kan berekend worden dat $a$ ongeveer 133 is. 4p 3 Bereken de waarde van $a$ in twee decimalen nauwkeurig. 4p 4 De kilometertijd van het wereldrecord op de 30 km ligt boven de kromme. Bereken hoeveel procent de kilometertijd op deze afstand hoger is dan de formule voorspelt. noot 1 Dit record geldt sinds 1998. In deze opgave gaan we ervan uit dat dit record nog steeds geldt. VW-1026-a-17-1-o 5 / 13 lees verder ►►► ### Pagina 6 Hier is een analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave 2. **Visuele elementen**: * **Titel**: "De sociale ladder" * **Tekst**: Inleidende tekst die de context en het doel van de figuur beschrijft, en later een voorbeeld en een bewering introduceert. * **Figuur**: Dit is de kern van de pagina. Het is een groep van vijf gestapelde staafdiagrammen (of 100% gestapelde diagrammen). * Boven elke staafdiagram staat de tekst "20%". Boven de meest linkse staat "laagste" en boven de meest rechtse "hoogste". Dit duidt waarschijnlijk op de inkomensklasse van de ouders. * Tussen de bovenste rij en de gestapelde staven staat als label "kansen van kinderen". * Elke gestapelde staafdiagram is onderverdeeld in vijf segmenten, elk met een percentage. De segmenten zijn in verschillende grijstinten weergegeven voor onderscheid. De som van de percentages in elke staaf is 100%. Deze percentages geven de kansen weer dat kinderen in een bepaalde inkomensklasse terechtkomen, afhankelijk van de inkomensklasse van hun ouders. 3. **Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **Statistiek/Kansrekening**: De figuur visualiseert kansen en percentages. * **Data-interpretatie en -analyse**: Het vermogen om informatie uit een gestapeld staafdiagram af te lezen en te interpreteren. * **Sociale mobiliteit/Economie**: Het onderwerp betreft inkomensverdeling en sociale mobiliteit ("sociale ladder") tussen generaties, specifiek in de Verenigde Staten. Dit valt onder socio-economische analyse. 4. **Context**: Van de student wordt verwacht dat hij/zij: * De inleidende tekst leest en begrijpt om de context van het probleem te schetsen (inkomensverdeling in de VS, model over kansen). * De gepresenteerde figuur (gestapelde staafdiagrammen) correct kan aflezen en ### Pagina 7 Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina: **1. Type pagina**: Opgave (Examenopgaven) **2. Visuele elementen**: * De pagina bevat geen grafieken, tabellen, diagrammen of figuren. De tekst verwijst echter wel naar een "figuur" en een "krantenartikel" die kennelijk op een eerdere of latere pagina van het examen te vinden zijn. Deze ontbrekende visuele elementen zijn essentieel voor het oplossen van de opgaven. * De tekst is helder en overzichtelijk opgemaakt, met duidelijk genummerde opgaven (5 t/m 8) en puntenwaardering (3p, 4p, 3p). **3. Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * Waarschijnlijkheidsrekening (kansrekening). * Concepten zoals kansverdeling, binomiale verdeling (gezien de vraag over "meer dan de helft" en het aantal personen in vraag 6), en voorwaardelijke kans (impliciet in de beschrijving van inkomensklassen en overgangen). * Interpretatie van statistische gegevens (percentage, kansen). * De context van inkomensmobiliteit (van de ene inkomensklasse naar de andere). **4. Context**: De student wordt gevraagd om diverse kansberekeningen uit te voeren met betrekking tot inkomensmobiliteit in de Verenigde Staten, gebaseerd op informatie die vermoedelijk uit een eerder gepresenteerde "figuur" en een "krantenartikel" komt. Specifieke vragen: * **Vraag 5 (3p)**: Bereken het percentage mensen dat blijkens de figuur in dezelfde inkomensklasse als hun ouders blijft. * **Vraag 6 (4p)**: Een groep ### Pagina 8 Hierbij een gedetailleerde analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave 2. **Visuele elementen**: * **Afbeelding**: Een zwart-wit foto van een huis waarvan het dak, aan de linkerzijde, bijna volledig is bedekt met zonnepanelen. De schoorsteen is rechts te zien, en aan de onderzijde van de foto zijn twee ramen van het huis zichtbaar. De afbeelding illustreert het onderwerp van de opgave: zonnepanelen. * **Tekstblokken**: Er zijn drie duidelijk afgebakende tekstblokken die context en gegevens verschaffen voor de opgave. * **Formule**: Een wiskundige formule die de jaarlijkse opbrengst van zonnepanelen in euro's beschrijft: Z = 393,75 * 1,05^(t-1). 3. **Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **Groeifactoren en exponentiële groei**: De formule Z = 393,75 * 1,05^(t-1) en de vermelding van een jaarlijkse toename van de elektriciteitsprijs van 5% wijzen op het gebruik van groeifactoren en exponentiële groei. * **Financiële rekenkunde**: Het berekenen van opbrengsten, aanschafprijzen en de financiële impact van zonnepanelen. * **Eenheden**: Gebruik van kWh (kilowattuur) voor energie, euro's voor prijs, en jaren voor tijd. 4. **Context**: De opgave gaat over de financiële aspecten van zonnepanelen. De student wordt geconfronteerd met een scenario waarin een elektriciteitsprijs jaarlijks met 5% stijgt en een zonnepanelen-installatie een vaste hoeveelheid elektriciteit produceert. Er wordt een formule gegeven die de jaarlijkse opbrengst in euro's berekent. * **Vraag 9**: De student wordt gevraagd om uit te leggen hoe de gegeven formule (Z = 393,75 * 1,05^(t ### Pagina 9 3a (4p) Om de jaarlijkse stijging van de elektriciteitsprijs van 5% te onderbouwen geeft de website elektriciteitsprijzen uit het verleden. Zo was in 1999 de prijs € 0,11 per kWh en in 2011 al € 0,22 per kWh. Als je aanneemt dat de elektriciteitsprijs in deze periode exponentieel gegroeid is, kom je echter niet op een (afgerond) jaarlijks groeipercentage van 5. Bereken het jaarlijks groeipercentage voor de periode 1999-2011. Rond je antwoord af op één decimaal. Omdat het percentage waarmee de elektriciteitsprijs verandert, niet steeds hetzelfde is, staat er op de website een tool waarmee je dit percentage kunt wijzigen. Bij een lagere stijging van de elektriciteitsprijs zal de opbrengst in euro's per jaar van de zonnepanelen-installatie ook lager zijn. 4p 11 Bereken met welk percentage per jaar de elektriciteitsprijs minstens moet toenemen om in jaar 20 een opbrengst van de zonnepanelen-installatie van € 500 of meer te krijgen. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig. Voor het vervolg van deze opgave gaan we niet meer uit van een jaarlijkse stijging van de elektriciteitsprijs maar van een vaste prijs van € 0,225 per kWh. In onderstaande tabel zie je een overzicht van de prijs en opbrengst van verschillende zonnepaneelsystemen van een ander bedrijf. [FIGUUR: Tabel met "aantal panelen", "aanschafprijs van het systeem", "verwachte elektriciteitsopbrengst (kWh per jaar)" en kolommen voor 8, 12, en 18 panelen. De prijzen zijn €4699, €6299, €8599 en de opbrengsten 1667, 2500, 3750.] De overheidssubsidie$^{2)}$ van 15% van de aanschafprijs is nog niet verwerkt in de prijzen in de tabel. De overheidssubsidie bedraagt maximaal € 650. De terugverdientijd is de periode die het duurt tot het aankoopbedrag van het systeem is terugverdiend via besparing op de elektriciteitskosten. In het begin van 2013 schafte iemand het systeem van 12 zonnepanelen aan met overheidssubsidie. 4p 12 Bereken, uitgaande van de verwachte elektriciteitsopbrengst, in welk jaar het aankoopbedrag volledig is terugverdiend. noot 2 In 2013 werd er door de overheid subsidie verstrekt bij het aanschaffen van zonnepanelen. VW-1026-a-17-1-0 9 / 13 lees verder ### Pagina 10 Seine In figuur 1 zie je het kunstwerk 'Seine' van Ellsworth Kelly, waarin de schittering op het water van de rivier de Seine verbeeld is door middel van zwarte en witte vakjes die allemaal even groot zijn. figuur 1 [FIGUUR: Een zwart-wit pixelpatroon dat de reflectie van een object op water nabootst.] Het paneel is ingedeeld in 83 (verticale) kolommen en 41 (horizontale) rijen. De meest linkse kolom is helemaal wit. In de kolom direct rechts daarvan bevindt zich 1 zwart vakje, de kolom daarnaast bevat één zwart vakje meer, enzovoort, totdat in de middelste kolom alle 41 vakjes zwart zijn. Er is maar één kolom met allemaal zwarte vakjes. Daarna bevat elke volgende kolom steeds één zwart vakje minder. Om te berekenen hoeveel zwarte vakjes er in totaal zijn, kun je in gedachten alle zwarte vakjes in de kolommen naar beneden schuiven. Zie figuur 2. In een dergelijke figuur kun je het totale aantal zwarte vakjes bijvoorbeeld berekenen door de figuur op te delen in rechthoeken. In figuur 3 is in een figuur van slechts 9 vakjes breed en 4 vakjes hoog een rechthoek van 5 bij 4 getekend waarvan precies de helft van de vakjes donker is. figuur 2 [FIGUUR: Een zwart-wit driehoek opgebouwd uit kleine vierkante vakjes.] figuur 3 [FIGUUR: Een raster van 9 vakjes breed en 4 vakjes hoog, met sommige vakjes grijs gekleurd.] 4p 13 Bereken het totale aantal zwarte vakjes in het kunstwerk 'Seine'. VW-1026-a-17-1-o 10 / 13 lees verder ► ► ► ### Pagina 11 Hieronder volgt een gestructureerde analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave 2. **Visuele elementen**: * **Figuur 4**: Dit is een eenvoudig diagram dat een rechthoek weergeeft. De korte zijde is gelabeld met 'k' en de lange zijde met 'l'. Deze figuur illustreert de rechthoek waarover in de tekst gesproken wordt met betrekking tot de gulden snede. 3. **Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **Kansrekening/Combinatoriek**: Vragen 14 en 15 behandelen de kans op specifieke uitkomsten bij willekeurige plaatsing van "zwarte vakjes" en het aantal mogelijke "kunstwerken". Dit omvat waarschijnlijk combinaties, permutaties of andere kansberekeningen. * **Gulden snede (Fibonacci-reeks/gulden ratio)**: Vraag 16 introduceert het concept van de gulden snede. Er wordt een formule gegeven voor de verhouding van de zijden van een rechthoek die voldoet aan de gulden snede: `k:l = l:(k+l)`. Dit impliceert het berekenen van de gulden ratio (phi) en toepassing ervan op de afmetingen van een object. 4. **Context**: Van de student wordt gevraagd om: * **Vraag 14**: Het aantal verschillende "kunstwerken" te berekenen, gebaseerd op een proces waarbij per kolom geloot wordt uit 41 vakjes voor 9 kolommen en 4 rijen. Dit vereist kennis van combinatorische principes. * **Vraag 15**: De kans te berekenen dat precies één van de 5 willekeurig geplaatste zwarte vakjes in een kolom tegen een zwart vakje van de vorige kolom aan komt te liggen. Dit test de vaardigheid in kansberekening binnen een specifieke scenario. * **Vraag 16**: Te onderzoeken of de afmetingen van een "vakje" uit het kunstwerk 'Seine' (met gegeven totale afmetingen van het kunstwerk) voldoen aan ### Pagina 12 Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave 2. **Visuele elementen**: * De pagina bevat voornamelijk tekst. * Er zijn geen grafieken, tabellen, figuren of diagrammen aanwezig op deze pagina. * Bovenaan de pagina staat de titel "Internationaal rekenonderzoek". * Onder aan de pagina staat paginanummering, documentcode, de tekst "lees verder" met drie pijltjes, en een copyright/bronvermelding. * Elke opgave heeft een nummer (17, 18, 19) en de bijbehorende puntentelling (4p, 3p, 4p). 3. **Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **Lineaire regressie/modellering**: Bij opgave 17 wordt gevraagd naar het voortzetten van een lineaire daling in scores over tijd. Dit impliceert het opstellen van een lineair model op basis van gegeven punten en het extrapoleren daarvan. * **Normale verdeling (Gauss-verdeling)**: Opgave 18 en 19 behandelen concepten van de normale verdeling. * **Kansberekening met normale verdeling**: Opgave 18 vraagt naar het percentage leerlingen boven een bepaalde score, gegeven een gemiddelde en standaardafwijking. * **Terugrekenen van normale verdeling (standaardafwijking bepalen)**: Opgave 19 vraagt om de standaardafwijking te bepalen, gegeven een gemiddelde en een percentage leerlingen onder/boven een bepaalde score. 4. **Context**: * De student wordt gevraagd om berekeningen uit te voeren met betrekking tot de resultaten van het "TIMSS" internationaal reken- en wiskundeonderzoek, specifiek voor Nederland, de VS en België. * **Opgave 17**: De student moet het jaar bepalen waarin de Nederlandse score, bij een lineaire daling, voor het eerst onder een bepaalde waarde (500) komt. * ### Pagina 13 Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave 2. **Visuele elementen**: * **Tabel**: Een tabel met de titel "percentielscores". * De eerste kolom heeft de kop "land" en bevat de rijen "Nederland", "Engeland", en "Duitsland". * De bovenste rij heeft de kop "percentielscores" en daaronder zeven subkolommen met opschriften zoals "5e percentiel", "10e percentiel", "25e percentiel", "50e percentiel", "75e percentiel", "90e percentiel", en "95e percentiel". * De cellen van de tabel bevatten numerieke waarden die de percentielscores voor elk land en elk percentiel aangeven. 3. **Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **Percentielscores**: Dit concept wordt centraal behandeld en uitgelegd. Het verwijst naar een score waaronder een bepaald percentage van de waarnemingen valt. * **Normale verdeling**: Het concept van een normale verdeling wordt genoemd als een benadering voor de scoreverdeling, en de opgave vereist het gebruik van "normaal waarschijnlijkheidspapier" (ook bekend als normaal verdelingspapier of Gaussisch papier). * **Statistiek en gegevensanalyse**: De opgave gaat over het interpreteren van statistische gegevens en het maken van schattingen op basis van percentielen en de aanname van een normale verdeling. 4. **Context**: De pagina presenteert data over percentielscores van het TIMSS-onderzoek in 2011 voor Nederland, Engeland en Duitsland. De student wordt gevraagd om: * Uit te leggen wat een percentielscore inhoudt aan de hand van een voorbeeld (dit wordt al in de inleiding gegeven, maar vormt de basis voor begrip). * Aan te tonen, met behulp van normaal waarschijnlijkheidspapier (dat op een bijlage zou moeten staan), dat de scores in Nederland bij benadering normaal verdeeld zijn. * Een schatting te maken