# Eindexamen Wiskunde C VWO 2013 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2013/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2013
tijdvak 2
woensdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-13-2-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Kansrekening
Voor toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt:
$\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma^2(X) + \sigma^2(Y)}$
$\sqrt{n}$-wet: bij een serie van $n$ onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som $S$ en het gemiddelde $\overline{X}$ van de uitkomsten $X$:
$E(S) = n \cdot E(X)$
$\sigma(S) = \sqrt{n} \cdot \sigma(X)$
$E(\overline{X}) = E(X)$
$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$

Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele $X$, waarbij $n$ het aantal experimenten is en $p$ de kans op succes per keer, geldt:
$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ met $k = 0, 1, 2, 3, ..., n$
Verwachting: $E(X) = n \cdot p$
Standaardafwijking: $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele $X$ die normaal verdeeld is met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt:
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ is standaard-normaal verdeeld en $P(X < g) = P(Z < \frac{g-\mu}{\sigma})$

Logaritmen
regel | voorwaarde
------- | --------
$ {}^{g} \log a + {}^{g} \log b = {}^{g} \log ab $ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$ {}^{g} \log a - {}^{g} \log b = {}^{g} \log \frac{a}{b} $ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$ {}^{g} \log a^p = p \cdot {}^{g} \log a $ | $g>0, g \neq 1, a>0$
$ {}^{g} \log a = \frac{{}^{p} \log a}{{}^{p} \log g} $ | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1$

VW-1026-a-13-2-o
2 / 14
lees verder ▶▶▶

### Pagina 3

VW-1026-a-13-2-0
3 / 14
lees verder

### Pagina 4

Oplopende korting

Grote winkelketens organiseren soms spectaculaire acties met flinke kortingen. Hiermee hoopt men onder andere klanten te winnen en een grotere naamsbekendheid te krijgen.

Maffe marathon
Een warenhuisketen organiseerde in het voorjaar van 2009 een kortingsactie. Door aankopen van minstens € 25 te doen op meerdere dagen konden klanten een behoorlijke korting krijgen. In de folder stond hierover:

[FIGUUR: Tabel met de volgende kolommen: aankoopbedrag per dag, korting eerste dag, korting tweede dag, korting derde dag. Rijen met bedragen: € 25 tot € 75 met kortingen € 2,50, € 5,00, € 7,50. € 75 tot € 150 met kortingen € 7,50, € 15,00, € 22,50. € 150 tot € 300 met kortingen € 15,00, € 30,00, € 45,00. € 300 of meer met kortingen € 30,00, € 60,00, € 90,00.]

Een voorbeeld: een klant koopt tijdens de actieperiode bij deze keten op drie dagen artikelen voor de volgende bedragen.

[FIGUUR: Tabel met de volgende kolommen: aankoopbedrag, korting. Rijen: eerste dag met € 80,00 en € 7,50. tweede dag met € 36,00 en € 5,00. derde dag met € 319,00 en € 90,00.]

In het voorbeeld bedraagt de uiteindelijke korting 23,6% van het totale aankoopbedrag.

Als deze klant de aankopen van de eerste twee dagen verwisselt, krijgt de klant meer korting.
Bereken hoeveel procent korting de klant in dat geval krijgt. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Door de aankoopbedragen slim te kiezen, kan een klant het uiteindelijke percentage van de korting groter maken. Zo kan de klant uit het voorbeeld dit percentage bijvoorbeeld groter maken door de aankoopbedragen van de eerste en tweede dag te verwisselen, maar ook door op de derde dag niet voor € 319 aan te kopen, maar voor € 300.

Het is met deze actie mogelijk om een kortingspercentage op het totale aankoopbedrag te halen van meer dan 27%.
4p 2 Geef voor de eerste, tweede en derde dag een aankoopbedrag waarbij een korting op het totale aankoopbedrag van meer dan 27% behaald wordt. Licht je antwoord met een berekening toe.

VW-1026-a-13-2-o 4 / 14 lees verder ► ►►
Beschikbaar gesteld door Stichting Studieveileding Leiden (SSL).

### Pagina 5

Stapelweken
Een grote boekhandeiketen organiseerde in het voorjaar van 2010 een
andere kortingsactie. Klanten kregen een korting op de gekochte boeken
die opliep naarmate ze meer boeken kochten. Bij 2 of 3 boeken was de
korting 20%, bij 4 of 5 boeken 40% en bij 6 of meer boeken 60%.

Van een detectiveserie, waarvan de prijs € 5,50 per boek is, wil Fred
1 deel kopen, Floortje 2 delen en Ruud 4 delen.
4p 3 Bereken hoeveel geld zij besparen als ze deze boeken niet afzonderlijk
maar samen kopen.

Jitske wil meerdere exemplaren van een kleurboek kopen voor een
verjaardagsfeestje van haar buurmeisje. Zonder korting kost zo'n
kleurboek € 3,00.
De regelmaat in de aanbieding brengt Jitske op het idee om hierbij een
wiskundig model te ontwerpen. In dit model verandert zij iets aan de
stapelkorting: zij gaat ervan uit dat er bij $n$ boek(en) een korting geldt van
$n \cdot 10%$. De korting geldt voor maximaal 9 boeken.

Als Jitske 6 boeken zou kopen, zou ze zonder korting € 18,00 moeten
betalen. De prijs met korting kan ze berekenen door 60% van de € 18,00
af te halen.
Jitske wil een formule opstellen waarmee ze de totale prijs $P$ van
$n$ exemplaren van het kleurboek kan berekenen.
4p 4 Stel een dergelijke formule op. Licht je antwoord toe.

VW-1026-a-13-2-o 5 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Kaartspel

Kakerlakkensalade is een kaartspel uit
Duitsland. Een variant van het spel wordt
gespeeld met 112 groentekaarten met
daarop de groenten paprika, bloemkool, sla
en tomaat. Van elk van deze vier soorten
groente zijn er evenveel kaarten.
Aan het begin van het spel worden de
kaarten geschud en krijgen alle spelers evenveel kaarten.
[FIGUUR: Vier kaarten met afbeeldingen van bloemkool, tomaat, paprika en een roos.]

Annet, Beyza, Carin en Dick spelen dit spel.

Dick schudt de kaarten en geeft als eerste Annet vier kaarten uit het
volledige spel kaarten.
5 3p
Bereken de kans dat Annet bij haar eerste vier kaarten precies twee
bloemkoolkaarten krijgt.

Tijdens een vakantie gaan deze vier vrienden het spel 150 keer spelen.

Annet is benieuwd hoe vaak de eerste kaart die uit een volledig spel
gedeeld wordt een tomaatkaart zal zijn.
6 3p
Bereken de kans dat dit precies 37 keer gebeurt.

Op de doos waar het spel in is verpakt, staat vermeld dat de gemiddelde
speelduur van een spelletje 20 minuten is. Tijdens de vakantie houden ze
bij hoelang elk spel duurt.
In de tabel staan hun gegevens.

tabel
speelduur
(in minuten)
frequentie
0-<5
3
5-<10
13
10-<15
39
15-<20
44
20-<25
32
25-<30
11
30-<35
8

7 6p
Ze willen onderzoeken of de speelduur van een spelletje normaal
verdeeld is.
Laat met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de
uitwerkbijlage zien dat de gegevens in de tabel bij benadering normaal
verdeeld zijn en bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van de
speelduur.

VW-1026-a-13-2-o
6 / 14
lees verder

### Pagina 7

Bij een andere variant van kakkerlakkensalade wordt met meer kaarten gespeeld. Dit heeft invloed op de speelduur van het spel. De speelduur is dan bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 25 minuten en een standaardafwijking van 9 minuten.
8 De vier spelers spelen op deze manier 2 spellen.
Bereken de kans dat één spel langer dan 20 minuten en één spel korter dan 20 minuten duurt.
VW-1026-a-13-2-o 7 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Octopus Paul

In 2010 werd octopus Paul wereldberoemd omdat zijn ‘voorspellingen’
over de afloop van de wedstrijden van Duitsland tijdens het
wereldkampioenschap voetbal in dat jaar allemaal bleken uit te komen.
Bij deze voorspellingen moest Paul telkens kiezen uit twee bakken met
een mossel.
Op de ene bak stond de vlag van Duitsland, op de andere bak de vlag van
de tegenstander. Het land van de bak waaruit Paul de mossel opat, zou
de wedstrijd gaan winnen. We gaan ervan uit dat er geen wedstrijden in
een gelijkspel eindigen.
Later heeft Paul ook een correcte voorspelling gedaan voor de finale,
waarin Spanje Nederland versloeg.

We gaan ervan uit dat Paul willekeurig een bak kiest. Daarmee is de kans
dat hij een uitslag correct voorspelt natuurlijk 0,5.

Bij het Europees Kampioenschap van 2008 heeft Paul ook al de uitslagen
van verschillende wedstrijden voorspeld. In 2008 wist hij vier van de zes
keer een correcte voorspelling te geven.
4p 9 Bereken de kans dat Paul bij zes willekeurige voorspellingen minstens
vier keer een correcte voorspelling geeft.

Naast Paul waren er in 2010 nog meer dieren die voorspellingen deden,
zoals de parkiet Mani uit Singapore. Als er maar genoeg dieren
voorspellingen doen, dan is de kans dat er één tussen zit die alles goed
voorspelt helemaal niet zo klein.
Stel dat 20 dieren een voorspelling doen voor 8 wedstrijden waarbij ze per
wedstrijd allemaal een kans van 0,5 hebben dat hun voorspelling juist
blijkt te zijn.
6p 10 Bereken de kans dat ten minste één dier alle wedstrijden juist voorspelt.

VW-1026-a-13-2-o 8 / 14 lees verder ➢➢➢

### Pagina 9

Engelse statistici hebben zich voor het toernooi van 2010 ook aan voorspellingen gewaagd. Zij keken voor de deelnemende landen naar het bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking ($ bbp $), de bevolkingsomvang ($ pop $) en de wedstrijderervaring ($ erv $). Dat leverde de volgende formule op:
$$ GD(A,B)=0,316\cdot\log\left(\frac{pop(A)}{pop(B)}\right)+0,334\cdot\log\left(\frac{bbp(A)}{bbp(B)}\right)+1,702\cdot\log\left(\frac{erv(A)}{erv(B)}\right) $$
Hierbij is $ GD(A,B) $ het aantal doelpunten dat land $ A $ naar verwachting meer zal scoren dan land $ B $ als zij tegen elkaar spelen. Dat aantal hoeft geen geheel getal te zijn en kan ook negatief zijn. Voor wedstrijderervaring koos men het aantal deelnames aan wereldkampioenschappen vóór dat van 2010.

Voor Italië en Engeland zijn $ bbp $ en $ pop $ nagenoeg even groot, zodat alleen de wedstrijderervaring het verschil bepaalt. Vóór 2010 deed Italië 16 keer mee aan een wereldkampioenschap, Engeland 12 keer.
4p 11 Bereken met behulp van de formule het voorspelde aantal doelpunten dat Italië méér maakt als het tegen Engeland zou spelen. Rond het antwoord af op twee decimalen.

Volgens de formule wint Nederland niet van Brazilië omdat $ GD(Ned,Bra)=-0,67 $.
De waarde -0,67 valt eigenlijk nog wel mee. Brazilië heeft veel meer inwoners dan Nederland: 185,7 miljoen tegenover 16,6 miljoen. Ook nam Brazilië vóór 2010 vaker deel: 18 keer en Nederland maar 8 keer.
5p 12 Blijkbaar is het $ bbp $ van Nederland veel groter dan dat van Brazilië. Bereken hoeveel keer zo groot het $ bbp $ van Nederland is als het $ bbp $ van Brazilië.

VW-1026-a-13-2-o 9 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 10

Archeologie

In de archeologie gebruikt men de C14-methode bij het vaststellen van de historische leeftijd (ouderdom) van bepaalde vondsten. Deze methode werd in 1949 ontwikkeld door de Amerikaanse scheikundige Libby, die hiervoor de Nobelprijs gekregen heeft. Volgens de theorie neemt de radioactiviteit van dood organisch materiaal exponentieel af en daarom kun je door de radioactiviteit te meten bepalen hoe oud een voorwerp is. De figuur hieronder komt uit een artikel van Libby uit 1949. Libby testte de C14-methode door deze te gebruiken op zes verschillende voorwerpen waarvan de historische leeftijd op een andere manier bekend was.

figuur

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "gemeten radioactiviteit (cpm per gram)" van 5 tot 13 en op de x-as "historische leeftijd (jaren)" van 0 tot 7000. De grafiek toont een dalende lijn die door de punten (0; 12,5), (Ptolemy; ~11,5), (Redwood; ~10,5), (Tayinat; ~9,5), (Sesostris; ~8,5), (Zoser; Sneferu; ~6,5) en (Tree Ring; ~12,5) gaat. De x-as is gemarkeerd met 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000. De y-as is gemarkeerd met 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.]

Langs de verticale as staat de gemeten radioactiviteit in cpm (counts per minute) per gram materiaal. Dit is een maat voor de hoeveelheid C14.
Langs de horizontale as staat de historische leeftijd van het voorwerp in jaren.
Volgens de theorie neemt de gemeten radioactiviteit exponentieel af. De grafiek gaat door de punten (0; 12,5) en (6000; 6). Hiermee kan men de groeifactor berekenen.

3p 13 Bereken met deze punten de groeifactor per jaar in 7 decimalen nauwkeurig.

VW-1026-a-13-2-o 10 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 11

Voor het vervolg van de opgave gaan we uit van de formule:
$N = 12,5 \cdot 0,99878^t$
Hierin is $N$ de gemeten radioactiviteit van het voorwerp in cpm per gram
en $t$ is de historische leeftijd volgens de C14-methode van het voorwerp in
jaren.

De punten in de figuur stellen de metingen aan de voorwerpen voor. Het
punt ‘Ptolemy’ hoort bij een stuk hout van een doodskist van een
Egyptische mummie. Deskundigen schatten dat deze doodskist uit
ongeveer 200 voor Chr. dateert. Voor dit hout werd in 1949 een
radioactiviteit van 9,5 cpm per gram gemeten.
4p 14 Bereken het verschil tussen de historische leeftijd volgens de
C14-methode en de schatting van de deskundigen.

Het punt ‘Sesostris’ in de figuur betreft een meting aan een plank van een
begrafenisboot uit het oude Egypte, daterend uit 1843 voor Chr. Toen de
meting werd gedaan was de plank dus 3792 jaar oud.

De metingen van Libby waren niet nauwkeurig, daarom deed hij meerdere
metingen aan de plank. Hierdoor kreeg Libby verschillende bijbehorende
historische leeftijden van de plank.
We nemen aan dat historische leeftijden onafhankelijk zijn en normaal
verdeeld zijn met een gemiddelde van 3792 jaar en een
standaardafwijking van 310 jaar.

Als er meerdere metingen worden gedaan en van de bijbehorende
historische leeftijden het gemiddelde wordt genomen, zal de kans dat het
gemiddelde van deze historische leeftijden minder dan 100 jaar van de
werkelijke historische leeftijd afwijkt, groter worden.
Aan de begrafenisboot werden vijf metingen gedaan en van de
4p 15 bijbehorende historische leeftijden wordt het gemiddelde berekend.
Bereken de kans dat deze berekende historische leeftijd minder dan
100 jaar afwijkt van de werkelijke historische leeftijd.

VW-1026-a-13-2-o 11 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 12

Luchtverversing in klaslokalen
Uit CO$_{2}$-metingen blijkt dat in 80% van de klaslokalen
van basisscholen de CO$_{2}$-concentratie te hoog is. De
CO$_{2}$-concentratie wordt gemeten met een CO$_{2}$-meter (zie
foto). Als de CO$_{2}$-concentratie te hoog is, kunnen
gezondheidsklachten als hoofdpijn, vermoeidheid en
concentratieproblemen ontstaan. Het Ministerie van OCW
heeft 'Het Frisse Scholenproject' in het leven geroepen met
als doel scholen te stimuleren minder energie te verbruiken
en het binnenmilieu te verbeteren.
[FIGUUR: Een foto van een CO2-meter met de waarden 588 en 28.1.]
foto
figuur 1
Concentratie CO$_{2}$ (ppm) in klaslokaal
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
8:00
9:30
11:00
12:30
14:00
15:30
17:00
tijdstip
De CO$_{2}$-concentratie wordt
gemeten in ppm. De afkorting ppm
staat voor parts per million,
oftewel het aantal deeltjes per
miljoen. Zodra de leerkracht en
leerlingen van een basisschool
binnenkomen, gaat de
CO$_{2}$-concentratie omhoog. Iedere
15 minuten meet de CO$_{2}$-meter de
concentratie. In figuur 1 zie je hoe
de CO$_{2}$-concentratie gedurende de
dag verloopt. Deze figuur staat
ook vergroot afgedrukt op de uitwerkbijlage.

Afhankelijk van de CO$_{2}$-waarde brandt op de CO$_{2}$-meter een groen, oranje
of rood lampje. Dit betekent het volgende:
Groen: CO$_{2}$-waarde < 1000. Er is voldoende ventilatie. Als het haalbaar
is, streef je naar een waarde van 800 ppm. Lager hoeft niet, want dan kan
er onnodig energieverlies zijn.
Oranje: 1000 $\le$ CO$_{2}$-waarde < 1400. Er wordt matig geventileerd. Het is
nu wel aan te raden om op zoek te gaan naar een manier om de klas
beter te ventileren.
Rood: CO$_{2}$-waarde $\ge$ 1400. Er is onvoldoende ventilatie. Er is een reële
kans op gezondheidsklachten en negatieve effecten op leerprestaties zijn
te verwachten.

Voor het klaslokaal van de basisschool van figuur 1 is te berekenen hoe
lang daar de verschillende lampjes hebben gebrand vanaf binnenkomst
van de leerlingen om 8:00 uur tot 15:15 uur als de schooldag voor de
leerlingen ten einde is.
4p 16 Bereken hoeveel procent van de schooldag er geen groen lampje brandt.
Gebruik de figuur op de uitwerkbijlage.

VW-1026-a-13-2-o
12 / 14
lees verder

### Pagina 13

Volgens figuur 1 neemt de CO$_2$-concentratie vrijwel constant toe als er leerlingen in een lokaal zitten, immers de stijgende delen van de grafiek kun je benaderen met rechte lijnen.

Als een leerkracht de klas na 15:15 uur langer in het lokaal houdt, zal de CO$_2$-concentratie steeds verder oplopen. Hoewel het rode lampje al enige tijd brandt, wil de leerkracht weten hoe lang hij de klas nog in het lokaal kan houden zonder dat de CO$_2$-concentratie boven de 3000 ppm komt.
4p 17 Bepaal tot hoe laat de leerkracht de klas na 15:15 uur in het lokaal kan houden. Gebruik de figuur op de uitwerkbijlage.

Het oplopen van de CO$_2$-concentratie kan worden beperkt door de lucht in een lokaal te verversen. In een bepaald klaslokaal is het mogelijk om tot 1000 m$^3$ lucht per uur te verversen. Een leerkracht heeft gemiddeld 51 m$^3$ verse lucht per uur nodig en een basisschoolleerling gemiddeld 32 m$^3$. Om de gewenste luchtkwaliteit te behouden is er naast de leerkracht een maximum aantal leerlingen in dit klaslokaal toegestaan.
4p 18 Bereken dit maximale aantal.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1026-a-13-2-o 13 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 14

Uit verschillende onderzoeken is duidelijk geworden dat een verhoogde CO$_{2}$-concentratie de leerprestatie van leerlingen negatief beïnvloedt. In figuur 2 zijn de gegevens uit een aantal onderzoeken weergegeven. De gemiddelde CO$_{2}$-concentratie in deze onderzoeken is 1500 ppm. Hoewel dit boven de norm is, stellen de onderzoekers bij deze waarde de prestatie-index op 100%. Dit betekent dat in klaslokalen waarbij wel aan de norm is voldaan, de relatieve prestatie groter is dan 100%. In figuur 2 is te zien dat bij een hogere CO$_{2}$-concentratie de relatieve prestatie afneemt.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "relatieve prestatie (%)" (van 70 tot 130) en op de x-as "CO$_{2}$-concentratie (ppm)" (van 0 tot 4000). De grafiek toont een dalende curve met datapunten.]

In figuur 2 is de grafiek van $y = c \cdot x^{-0,159}$ getekend, waarbij $c$ een constante is. Deze grafiek past redelijk bij de meetgegevens van de verschillende onderzoeken.
Door de waarde van $c$ te bepalen is het mogelijk om met behulp van de formule te onderzoeken vanaf welke CO$_{2}$-concentratie de relatieve prestatie onder de 80% uitkomt.

5p 19 Toon aan dat $c$ ongeveer gelijk is aan 320 en bereken vanaf welke CO$_{2}$-concentratie de relatieve prestatie onder de 80% uitkomt.

VW-1026-a-13-2-o 14 / 14 einde ■