# Eindexamen Wiskunde C VWO 2012 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2012/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2012
tijdvak 2
woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redeneren worden gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1026-a-12-2-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Kansrekening
Voor toevals variabelen $X$ en $Y$ geldt: $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt: $\sigma(X+Y)=\sqrt{\sigma^2(X)+\sigma^2(Y)}$
$\sqrt{n}$-wet: bij een serie van $n$ onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som $S$ en het gemiddelde $\overline{X}$ van de uitkomsten $X$:
$E(S) = n \cdot E(X)$
$E(\overline{X}) = E(X)$
$\sigma(S) = \sqrt{n} \cdot \sigma(X)$
$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$

Binomiale verdeling
Voor de binomiale verdeelde toevals variabele $X$, waarbij $n$ het aantal experimenten is en $p$ de kans op succes per keer, geldt:
$$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \quad \text{met } k=0, 1, 2, 3, \dots, n$$
Verwachting: $E(X) = n \cdot p$
Standaardafwijking: $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Normale verdeling
Voor een toevals variabele $X$ die normaal verdeeld is met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \quad \text{is standaard-normaal verdeeld en } P(X<g) = P\left(Z < \frac{g-\mu}{\sigma}\right)$$

Logaritmen
| regel | voorwaarde |
|---|---|
| ${^g \log a + {^g \log b} = {^g \log ab}$ | $g>0, g\neq1, a>0, b>0$ |
| ${^g \log a - {^g \log b} = {^g \log \frac{a}{b}}}$ | $g>0, g\neq1, a>0, b>0$ |
| ${^g \log a^p} = p \cdot {^g \log a}$ | $g>0, g\neq1, a>0$ |
| ${^g \log a} = \frac{{^p \log a}}{{^p \log g}}}$ | $g>0, g\neq1, a>0, p>0, p\neq1$ |

VW-1026-a-12-1-o
2
lees verder ‣‣‣

### Pagina 3

VW-1026-a-12-1-o
3
lees verder ►►►

### Pagina 4

Straffen

Voor veel gevallen van ‘veelvoorkomende criminaliteit’ gebruikt het Openbaar
Ministerie (OM) zogenaamde Polaris-richtlijnen om te berekenen welke strafeis
passend is. Op de website van het OM staat hierover onder andere het
volgende:

De Polaris-richtlijnen werken volgens een vast stramien. Het systeem waardeert
misdrijven via een rekensom. Aan ieder delict is in de richtlijnen van Polaris een
aantal strafpunten toegekend. Polaris werkt daarvoor met het begrip
‘basisdelict’: een strafbaar feit in de kale vorm. Ieder basisdelict heeft een vast
aantal strafpunten. Fietsendiefstal levert bijvoorbeeld 10 punten op,
woninginbraak 60 punten en een autokraak 20 punten. Bijzondere
omstandigheden kunnen maken dat een delict voor lichtere of zwaardere
bestraffing in aanmerking komt dan door dit aantal punten wordt aangegeven.
Gebruik van een wapen bij mishandeling of letsel van een slachtoffer leveren
bijvoorbeeld extra strafpunten op.

Voor vraag 1 kijken we naar de strafeis bij bedreiging. Hiervoor geldt het
volgende:
- Basisstrafpunten: 8
- Percentuele verhoging van het aantal basisstrafpunten:
  - Slachtoffer is ambtenaar in functie: +150%
  - Er is sprake van discriminatie: +25%
- Extra strafpunten:
  - Met steekwapen (mes): +17
  - Met (vuur)wapen: +52
Mede op grond van enquêtes onder de bevolking is onlangs het percentage voor
discriminatie verhoogd: in de nieuwe situatie wordt het 50% in plaats van de
hierboven genoemde 25%.
Tot en met 30 strafpunten krijg je per strafpunt 25 euro boete.

Iemand bedreigt op een feest een andere feestganger met een mes en er is
daarbij sprake van discriminatie.
Bereken hoeveel euro boete hij in de nieuwe situatie mee moet betalen dan in
de oude situatie.

Als iemand 31 tot 120 strafpunten heeft, wordt meestal een taakstraf opgelegd.
Vanaf 121 strafpunten volgt een gevangenisstraf. De strafpunten worden
hiervoor als volgt omgerekend:
- tot en met 180 strafpunten komt één strafpunt overeen met één dag
  gevangenisstraf.
- van 181 tot en met 540 strafpunten komt een strafpunt overeen met een
  halve dag gevangenisstraf.
- vanaf 541 strafpunten komt een strafpunt overeen met een kwart dag
  gevangenisstraf.
Bijvoorbeeld: 240 strafpunten leveren $180 \times 1 + 60 \times 0,5 = 210$ dagen
gevangenisstraf op.

VW-1026-a-12-2-o
4
lees verder ►►►

### Pagina 5

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Tekst**: Een instructietekst voor opgave 2 en 3, inclusief contextinformatie.
    *   **Nummering van opgaven**: Duidelijk gemarkeerde opgave 2 (4 punten) en opgave 3 (3 punten).
    *   **Gedeeld horizontaal staafdiagram (Figuur 1)**:
        *   **Verticale as (Y-as)**: "jaartal" met jaartallen lopend van 1970 tot en met 2006 (met intervallen van 5 jaar, behalve de laatste twee: 2000, 2002, 2004, 2006).
        *   **Horizontale as (X-as)**: "percentage" met schaalverdeling van 0 tot 100 in stappen van 20.
        *   **Balken**: Voor elk jaartal is er een horizontale balk die in vier verschillende grijstinten (met stippelpatronen voor de twee middelste) is verdeeld. Elk segment representeert een percentage van het totaal.
        *   **Legenda**: Rechtsonder het diagram, verklaart de vier verschillende grijstinten/patronen:
            *   Lichtgrijs: "minder dan 1 maand"
            *   Donkergrijs: "1 maand tot 1 jaar"
            *   Lichtgrijs met stippels: "1-3 jaar"
            *   Donkergrijs met stippels: "3 jaar en langer"

### Pagina 6

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Tekst**: Een inleiding over onderzoek van het Sociaal en Cultureel Planbureau naar publieke mening over straffen van criminelen, gevolgd door een vraag en instructies.
    *   **Grafiek (lijn diagram)**:
        *   **Titel**: "figuur 2"
        *   **Verticale as (Y-as)**: Gelabeld als "percentage" en varieert van 0 tot 80 in stappen van 10. De pijl geeft aan dat de schaal omhoog loopt.
        *   **Horizontale as (X-as)**: Gelabeld als "jaartal" en toont onregelmatige intervallen: 1970, 1975, 1980, 1987, 1991, 1994, 1996, 2000, 2002, 2004, 2006. De pijl geeft aan dat de tijd vooruit gaat.
        *   **Lijnplot**: Een zwarte lijn verbindt de percentage-waarden voor de verschillende jaren. De lijn toont over het algemeen een dalende trend, met enkele fluctuaties (bijvoorbeeld een lichte stijging rond 1980-1987 en 2000-2002).

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Procentuele berekeningen**: Het interpreteren en berekenen van percentages.
    *   **Analyse van data/grafieken**: Het aflezen en vergelijken van gegevenspunten uit een lijn grafiek.
    *   **Gemiddelde verandering/daling per tijdseenheid**: Het berekenen van de gemiddelde daling per jaar over verschillende periodes, rekening houdend met ongelijke tijdintervallen. Dit omvat differentiële analyse van discrete punten.
    *   **Interpretatie van sociale enquêtes**: De grafiek visualiseert de mening van de bevolking over een maatschappelijk vraagstuk.

4.  **

### Pagina 7

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina**: Opgave

**2. Visuele elementen**:
*   De pagina bevat geen grafieken, tabellen, figuren of complexe diagrammen.
*   De inhoud bestaat voornamelijk uit tekst, wiskundige formules en vraagnummers met bijbehorende puntentelling.

**3. Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
*   **Gevoelstemperatuur (windchill)**: Het centrale concept is de berekening van de gevoelstemperatuur op basis van de werkelijke temperatuur en windsnelheid, met behulp van de JAG/TI-methode.
*   **Wiskundige formules**:
    *   `G = 13,12 + 0,6215 · T - 11,37 · W^(0,16) + 0,3965 · T · W^(0,16)`: Deze formule relateert gevoelstemperatuur (G), werkelijke temperatuur (T) en windsnelheid (W). Het is een polynomiale formule met exponentiële termen.
    *   `G · d^(0,48) = -113,07`: Deze formule relateert gevoelstemperatuur (G) aan de maximale blootstellingsduur (d) voor blote vingers. Het is een machtsformule of een variant hiervan.
*   **Machten en wortels**: Het gebruik van `W^(0,16)` en `d^(0,48)` impliceert berekeningen met machten.
*   **Variabelen en constanten**: De betekenis van de variabelen (G, T, W, d) wordt expliciet gedefinieerd.

**4. Context**:
De opgave presenteert een real-world scenario over gevoelstemperatuur en de invloed van wind op de waargenomen kou. De studenten worden gevraagd om:

*   **Vraag 5 (3p)**: De gemiddelde windsnelheid (factor W) te berekenen, gegeven de gevoelstemperatuur (G) en de werkelijke temperatuur (T), door de eerste formule om te vormen of op te lossen

### Pagina 8

Scores
Op een internetsite kunnen liefhebbers Stepbridge spelen. Elke keer dat je
Stepbridge speelt, wordt je prestatie uitgedrukt in een aantal punten.
Om prestaties van spelers met elkaar te kunnen vergelijken, laat men hen
allemaal onder dezelfde condities dezelfde versie van dit spelletje spelen. Dat
noemt men een spel.
Daarna worden hun voorlopige scores berekend volgens een methode die
hieronder beschreven staat. De laagst mogelijke score is 0, de hoogst mogelijke
score is 100 en de gemiddelde score is altijd 50. Zo nodig worden scores
afgerond op twee decimalen.

We geven een voorbeeld. Op een bepaald moment hebben acht spelers
hetzelfde spel een keer gespeeld. De spelers worden geordend naar hun
puntentotalen. In tabel 1 zie je een overzicht van hun rangnummers en hun
voorlopige scores.

[FIGUUR: Tabel 1 met de kolommen Speler, Karin, Mike, Marian, Reza, Loes, William, Ria, Ton en de rijen Rangnummer met getallen 1 t/m 8, en Voorlopige score met getallen 100, 85,71, 71,43, 57,14, 42,86, 28,57, 14,29, 0.]

Je ziet in tabel 1 bijvoorbeeld dat Marian, met rangnummer 3, hoger is geëindigd
dan vijf van haar zeven concurrenten. Haar voorlopige score wordt daarom
$\frac{5}{7} \cdot 100 \approx 71,43$. Voor de anderen zijn de voorlopige scores volgens hetzelfde
principe bepaald.

Ditzelfde spel wordt ook gespeeld door een nieuwe speler, Jeanette. Zij is dus
de 9e speler, en zij haalt meer punten dan Mike, maar minder dan Karin.
Bereken de voorlopige score van Jeanette.

3p 8
Als spelers evenveel punten behalen, krijgen ze dezelfde voorlopige score: het
gemiddelde van de scores die ze zouden krijgen als ze na elkaar geëindigd
waren. Dus als Mike en Marian in de situatie van tabel 1 evenveel punten
behaald zouden hebben, zouden zij allebei een voorlopige score van
$$ \left( \frac{85,71 + 71,43}{2} \right) = 78,57 $$
gehad hebben.

Een ander spel is door negen spelers gespeeld. Zie tabel 2.

[FIGUUR: Tabel 2 met de kolommen Speler, Ali, Ben, Chris, Dirk, Eva, Fred, Ger, Hans, Isa en de rijen Rangnummer met getallen 1 t/m 9, Punten met getallen 300, 300, 200, 180, 180, 180, 70, 50, 0, en Voorlopige score met getallen (leeg), (leeg), 75,00, (leeg), (leeg), (leeg), (leeg), 12,50, 0.]

5p 9
Bereken de ontbrekende voorlopige scores.

VW-1026-a-12-2-o
8
lees verder

### Pagina 9

Nadat 21 spelers hetzelfde spel hebben gespeeld, veranderen de voorlopige
scores voor dat spel niet meer en deze worden dan definitieve scores.

10 Leg uit dat het niet mogelijk is dat een speler een definitieve score van precies
52 haalt.

Als de voorlopige scores van een serie van 30 spellen van een speler definitief
zijn geworden, wordt het gemiddelde van die 30 scores voor de speler
genoteerd als eindscore voor die serie.

Johan is een fanatieke Stepbridger. Hij heeft zijn prestaties enkele jaren
bijgehouden. In die tijd speelde hij 719 series van 30 spellen.
Johan scoorde 360 keer een eindscore tussen 46,00 en 54,00 en 173 keer een
eindscore boven de 54,00. Hij heeft dus 186 keer onder de 46,00 gescoord.
Zijn eindscores voor deze 719 series zijn bij benadering normaal verdeeld.

11 Johan schat het gemiddelde van zijn 719 eindscores op 50,00.
Hij gebruikt het feit dat hij 360 keer een eindscore tussen de 46,00 en 54,00
gehaald heeft, om de daarbij horende standaardafwijking te berekenen.
Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

In werkelijkheid was het gemiddelde van de 719 eindscores 49,73 en de
standaardafwijking 5,91.
Als de eindscores precies zouden voldoen aan de normale verdeling, zou Johan
niet 173 keer hoger dan 54,00 gescoord hebben, maar een kleiner aantal.
12 Bereken dit aantal.

VW-1026-a-12-2-o 9 lees verder

### Pagina 10

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina**:
Examen/Opgavenpagina – dit is duidelijk een deel van een examen, te herkennen aan de puntentelling (4p) en het opgavenummer (13). Het bevat achtergrondinformatie, een grafiek en een vraag die beantwoord moet worden.

**2. Visuele elementen**:
*   **Titel**: "Woordenschat" bovenaan de pagina.
*   **Grafiek (lijn diagram)**:
    *   **Titel van de grafiek**: "gemiddelde woordenschat van Nederlandstalige kinderen in Nederland".
    *   **Y-as (verticaal)**: Gelabeld als "aantal woorden" met een pijl omhoog. De schaal loopt van 0 tot 18000, met stappen van 2000.
    *   **X-as (horizontaal)**: Gelabeld als "→ leeftijd" (in jaren) met een pijl naar rechts. De schaal loopt van 0 tot 12, met stappen van 1 jaar.
    *   **Dataweergave**: Een zwarte lijn die de toename van de gemiddelde woordenschat over de leeftijd weergeeft. De lijn laat een niet-lineaire groei zien, met een steilere helling na het 8e levensjaar. Specifieke punten op de grafiek kunnen afgelezen worden voor de woordenschat op verschillende leeftijden.
    *   **Rasterlijnen**: Zowel horizontaal als verticaal raster om het aflezen van waarden te vergemakkelijken.

**3. Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
*   **Grafieken lezen en interpreteren**: De student moet data kunnen aflezen van een lijn grafiek (aantal woorden bij specifieke leeft

### Pagina 11

We gaan uit van een woordenschat van gemiddeld 17 000 op de 12e verjaardag.
Na de 12e verjaardag gaat de woordenschat onder jongeren behoorlijk variëren:
Bij het bereiken van de leeftijd van 21 jaar varieert deze van 45 000 tot 150 000.

Bij sommige jongeren spreken we van een hoge woordenschat. Bij hen groeit de
woordenschat exponentieel tot gemiddeld 150 000 wanneer de leeftijd van
21 jaar bereikt wordt. Hiervoor is de volgende formule opgesteld:
$W_h = 17000 \cdot 1,27^t$
Hierbij is $t$ de tijd in jaren met $t=0$ op de 12e verjaardag.
In deze formule is de jaarlijkse groeifactor afgerond op twee decimalen.
Bereken deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig.

3p 14

Bij andere jongeren spreken we van een lage woordenschat. Bij deze jongeren
groeit de woordenschat lineair tot gemiddeld 45 000 op hun 21e verjaardag.
Hiervoor geldt de volgende formule:
$W_l = at + b$
Hierbij is $t$ de tijd in jaren met $t=0$ op de 12e verjaardag.
Ga ook hierbij uit van een woordenschat van 17 000 op de 12e verjaardag.

Met behulp van bovenstaande formules kan het verschil berekend worden tussen jongeren met een hoge en
18e verjaardag worden berekend tussen jongeren met een hoge woordenschat
en jongeren met een lage woordenschat.
Bereken dit verschil. Rond je antwoord af op duizendtallen.

4p 15

In de praktijk gebruikt men graag formules waar de werkelijke leeftijd in
voorkomt. Voor jongeren met een hoge woordenschat geldt de formule
$W_h = 17000 \cdot 1,27^t$ (met $t=0$ op de 12e verjaardag).
Schrijf deze in de vorm $W_h = b \cdot g^L$, waarbij $L$ de werkelijke leeftijd is. Rond $b$ af
op tientallen.

3p 16

VW-1026-a-12-2-o 11 lees verder

### Pagina 12

De loting voor de Vietnamoorlog

In de vorige eeuw voerden de Verenigde Staten van Amerika een oorlog in Vietnam.
De militairen die men in 1970 voor deze oorlog nodig had, werden in december 1969 door loting aangewezen. Alle mannen die geboren waren in de jaren 1944 tot en met 1950 lootten mee.
Vanwege het grote belang voor de gehele Amerikaanse bevolking werd de loting rechtstreeks op televisie uitgezonden.

Drie vrienden, alle drie geboren in de jaren 1944 tot en met 1950, gaan de uitzending op televisie bekijken om te zien hoe de loterij voor hen uitpakt.
Stel dat in een aselecte trekking $\frac{1}{3}$ deel van de mannen geboren in de jaren 1944 tot en met 1950 wordt opgeroepen en de rest niet.
Bereken de kans dat precies één van de drie vrienden wordt opgeroepen.

3p 17

Bij de loting van 1969 werden kaartjes met daarop de dagen van het jaar (inclusief 29 februari) als loten in een vaas gedaan, en daar één voor één weer uit getrokken.
De als eerste getrokken dag was 14 september: die kreeg nummer 1. De als tweede getrokken dag was 24 april, die kreeg nummer 2, enzovoort. De laatst getrokken dag, 8 juni, kreeg nummer 366.
De mannen die jarig waren op dag nummer 1 werden als eersten opgeroepen, vervolgens degenen die jarig waren op de dag met nummer 2, enzovoort.

Niet veel later schreef de krant de New York Times dat de loting niet eerlijk kon zijn geweest: de dagen in de laatste zes maanden van het jaar hadden vaker lage nummers dan die in de eerste zes maanden van het jaar.
Dit wordt geillustreerd door het staafdiagram in de figuur hiernaast.
In dit staafdiagram is bijvoorbeeld te zien dat het gemiddelde van de nummers die de dagen van de maand januari bij de loting kregen, 200 is.

[FIGUUR: Staafdiagram met op de x-as de maanden (jan, feb, mrt, apr, mei, jun, jul, aug, sep, okt, nov, dec) en op de y-as aantallen (0, 50, 100, 150, 200, 250). De staven tonen de aantallen per maand.]

3p 18 December is de maand met het laagste gemiddelde, namelijk 120. Zie de figuur. Laat zien of het in theorie mogelijk is om voor een maand op een lager gemiddelde dan 25 uit te komen.

VW-1026-a-12-2-o 12 lees verder ►►►

### Pagina 13

In de figuur is te zien dat de zes laagste gemiddelden in de laatste zes maanden van het jaar vallen.
Als de loting eerlijk was, dan zou de kans klein zijn dat de zes laagste
gemiddelden in de laatste zes maanden van het jaar vallen. Deze kans kun je
als volgt berekenen: stel je een vaas voor met twaalf ballen, waarop de
maanden van het jaar vermeld staan. Uit deze vaas trek je zes ballen. De
gevraagde kans is dan de kans dat je de zes ballen trekt waarop de laatste zes
maanden van het jaar vermeld staan.
Bereken deze kans.
19 4p
Voor de loting van het jaar 1970 werd een andere procedure bedacht. Bij deze
loting werden de nummers 1 tot en met 365 gebruikt, omdat hier geloot werd uit
de mannen die geboren zijn in 1951.
Het verwachte gemiddelde van de lotnummers in een maand is 183. Neem aan
dat bij een eerlijke loting voor elke dag geldt dat de kans op een lotnummer
onder 183 gelijk is aan
$\frac{182}{365}$.
Bij de loting van januari 1970 werden er 31 lotnummers getrokken, voor elke dag
van de maand een.
Onderzoek of de kans op 22 of meer lotnummers onder 183 kleiner is dan 0,01.
20 4p
VW-1026-a-12-2-o
13
einde