# Eindexamen Wiskunde C VWO 2012 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-c/2012/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 2

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 2

### Vraag 22 – Opgave 2

### Vraag 23 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2012
tijdvak 1
dinsdag 22 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-12-1-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Kansrekening
Voor toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt: $\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma^2(X) + \sigma^2(Y)}$
$\sqrt{n}$-wet: bij een serie van $n$ onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som $S$ en het gemiddelde $\overline{X}$ van de uitkomsten $X$:
$E(S) = n \cdot E(X)$
$\sigma(S) = \sqrt{n} \cdot \sigma(X)$
$E(\overline{X}) = E(X)$
$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$

Binomiale verdeling
Voor de binomiale verdeelde toevalsvariabele $X$, waarbij $n$ het aantal experimenten is en $p$ de kans op succes per keer, geldt:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ met $k = 0, 1, 2, 3, ..., n$
Verwachting: $E(X) = n \cdot p$
Standaardafwijking: $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele $X$ die normaal verdeeld is met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt:
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ is standaard-normaal verdeeld en $P(X < g) = P(Z < \frac{g - \mu}{\sigma})$

Logaritmen
regel | voorwaarde
------- | --------
${^g \log a} + {^g \log b} = {^g \log ab}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
${^g \log a} - {^g \log b} = {^g \log \frac{a}{b}}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
${^g \log a^p} = p \cdot {^g \log a}$ | $g>0, g \neq 1, a>0$
${^g \log a} = \frac{{^p \log a}}{{^p \log g}}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1$

VW-1026-a-12-1-o 2 lees verder ►►►

### Pagina 3

VW-1026-a-12-1-o
3
lees verder

### Pagina 4

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Figuur**: Er is een zwart-wit illustratie met de titel "figuur het hexagram 'Jeugddwaasheid'". Dit figuur bestaat uit zes horizontale lijnen boven elkaar. De onderste lijn is één ononderbroken lijnstuk, de tweede lijn van onder is een onderbroken lijnstuk, de derde is ononderbroken, de vierde is onderbroken, de vijfde is ononderbroken, en de bovenste is eveneens ononderbroken. Visueel lijkt dit op een karakter of symbool.
    *   **Lijnrepresentaties**: Verderop in de tekst worden vier verschillende symbolen gebruikt om de vier mogelijke uitkomsten van het gooien met drie geldstukken weer te geven. Deze symbolen zijn eenvoudige combinaties van rechte lijnen en/of een cirkel of kruis in het midden:
        *   Een ononderbroken dikke zwarte lijn: genoteerd bij 2 keer Yin en 1 keer Yang (vaste mannelijke lijn).
        *   Een onderbroken dikke zwarte lijn: genoteerd bij 2 keer Yang en 1 keer Yin (vaste vrouwelijke lijn).
        *   Een dikke zwarte lijn met een cirkel in het midden: genoteerd bij 3 keer Yang (beweeglijke mannelijke lijn).
        *   Een dikke zwarte lijn met een kruis in het midden: genoteerd bij 3 keer Yin (beweeglijke vrouwelijke lijn).

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Combinatoriek**: De vraag over het aantal hoofdstukken ("alle mogelijke hexagrammen") verwijst naar het aantal mogelijke combinaties van 6 lijnen, waarbij elke lijn 2 toestanden kan hebben (doorgetrokken of onderbroken).
    *   **Kansrekening**:
        *   De tekst beschrijft het gooien met 3 geldstukken en de 4 mogelijke uitkomsten (vaste mannelijke lijn, vaste vrouwelijke lijn, beweeglijke mannelijke lijn, beweeglijke vrouwelijke lijn).
        *

### Pagina 5

Als er in een voorlopig hexagram één of meer beweeglijke lijnen voorkomen, wil dit zeggen dat dit hexagram een mate van instabiliteit vertoont.
Als er geen beweeglijke lijnen in het voorlopige hexagram voorkomen, is dit hexagram meteen stabiel en definitief.

4p 3 Bereken de kans dat een voorlopig hexagram niet meteen stabiel is.

Als er in een voorlopig hexagram drie of meer beweeglijke lijnen voorkomen, dan is dat volgens de I Tjing een aanwijzing dat de situatie ingewikkeld is.
4p 4 Bereken de kans dat er in een voorlopig hexagram drie of meer beweeglijke lijnen voorkomen.

VW-1026-a-12-1-o 5 lees verder ►►►

### Pagina 6

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Titel**: "Wild" bovenaan de pagina.
    *   **Afbeelding**: Een zwart-witfoto van een groep wilde zwijnen (een volwassen dier en meerdere biggen) die een verharde weg oversteken. Op de achtergrond zijn twee auto's te zien die naderen. Dit illustreert de context van wilde zwijnen en verkeer.
    *   **Tabel**: Een tabel met de volgende structuur:
        *   Rij 1: "jaar" met kolommen "2005", "2006", "2007".
        *   Rij 2: "aangereden wilde zwijnen" met corresponderende waarden "131", "275", "578".

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Procentuele berekening**: Vraag 5 vraagt om het berekenen van een percentage.
    *   **Exponentiële groei**: In de tekst wordt expliciet vermeld dat het aantal aangereden zwijnen exponentieel groeit. Dit is het centrale concept voor vraag 6.
    *   **Formule opstellen**: Het opstellen van een wiskundige formule (exponentiële functie) op basis van gegeven data.
    *   **Vergelijking oplossen**: Het berekenen van een tijdstip (jaar) wanneer een bepaalde drempelwaarde (1700 aangereden zwijnen) wordt overschreden, waarvoor een exponentiële vergelijking moet worden opgelost.

4.  **Context**:
    De pagina behandelt het thema "Wilde zwijnen" op de Veluwe in Nederland.
    *   **Algemene informatie over wilde zwijnen**: Discussie over overlast, schade aan gewassen, behoud van de diersoort en beleid (streefgetal, afschieten).
    *   **Vraag 5**: Gaat over het beheerd afschieten van wilde zwijnen. Studenten moeten berekenen hoeveel procent wilde zwijnen er te veel waren in

### Pagina 7

Hieronder volgt een analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   Er is geen afbeelding of grafiek aanwezig, alleen tekst en wiskundige formules.
    *   De vragen zijn genummerd (7 en 8) en het aantal punten per vraag is aangegeven (4p en 3p).

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Formules en variabelen**: Het concept van een wiskundige formule die een relatie beschrijft tussen variabelen ($S$ en $G$).
    *   **Machtsfuncties**: De formule bevat een kwadratische term ($G^2$).
    *   **Algebraïsche manipulatie**: Het herschrijven van een formule naar een specifieke vorm ($S = a + b \cdot G^2$).
    *   **Gemiddelden en weging**: Het berekenen van een gemiddelde waarde van schade waarbij rekening wordt gehouden met verschillende gewichten (mannetjes versus vrouwtjes wilde zwijnen) en de frequentie waarmee ze worden aangereden.
    *   **Statistiek (impliciet)**: Het concept van "gemiddelde materiële schade" suggereert een statistische benadering in een realistische context.
    *   **Financiële calculatie**: Berekening van materiële schade in euro's.

4.  **Context**:
    De context is de materiële schade bij aanrijdingen met wilde dieren, specifiek wilde zwijnen.
    *   **Vraag 7 (4p)**: De student wordt gevraagd de gemiddelde materiële schade te berekenen van een aanrijding met een volwassen wild zwijn, rekening houdend met de verschillende gewichten van mannelijke en vrouwelijke zw

### Pagina 8

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave. Dit is duidelijk te zien aan de genummerde vragen met puntenaanduidingen (4p) en de instructies aan studenten om berekeningen te maken en formules af te leiden.

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Tekst**: De pagina bevat voornamelijk tekst. De titel "Waardepunten" staat bovenaan. Er is een inleidende tekst over het spaarsysteem van Douwe Egberts, gevolgd door voorbeelden en twee specifieke opgaven (nummer 9 en 10).
    *   **Foto**: Er is een kleine afbeelding van een `<foto>` van een kop en schotel, waarnaar in de tekst verwezen wordt in het voorbeeld.
    *   **Formule**: Er is één wiskundige formule weergegeven: `W = 1 + 0,005p`.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Lineaire relaties/functies**: De kern van de opgaven draait om het interpreteren en toepassen van lineaire verbanden, met name de relatie tussen gespaarde punten en de waarde in euro's.
    *   **Procentrekenen/waardebepaling**: De conversie van punten naar een geldwaarde, waarbij verschillende tarieven gelden voor verschillende delen van de gespaarde punten, is een belangrijk concept.
    *   **Optimalisatie (minimale bijbetaling)**: Opgave 9 vraagt impliciet om een optimalisatiestrategie (zo min mogelijk bijbetalen) door de puntwaarde slim in te zetten.

4.  **Context**: Van de student wordt gevraagd om:
    *   **Informatie te interpreteren**: De student moet

### Pagina 9

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Tabel**: Er is één tabel met twee rijen en acht kolommen.
        *   Rij 1: "aantal punten" met waarden 100, 1100, 2100, 3100, 5100, 7100, 9100.
        *   Rij 2: "waarde in euro's" met waarden 1,50, 2,14, 3,06, 4,37, 8,90, 18,15, 37,01.
    *   **Formule**: Een wiskundige formule in de tekst: `W = 1,5 * 1,00035626^(p-100)`.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Exponentiële verbanden**: De kern van de opgave draait om het herkennen, analyseren en toepassen van exponentiële verbanden, inclusief het berekenen van groeifactoren.
    *   **Lineaire verbanden**: Er wordt verwezen naar een lineaire formule als vergelijking en als een overgangspunt in een hybride systeem.
    *   **Praktische toepassing**: Het contextueel toepassen van wiskundige modellen (spaarsystemen met punten en waarde in euro's).
    *   **Wiskundig redeneren**: Het bewijzen van een exponentieel verband en het vergelijken van verschillende 'scenario's' gebaseerd op wiskundige modellen.

4.  **Context**:
    De opgave introduceert een spaarsysteem bedacht door "Alwin", een leerling, waarbij de waarde van gespaarde punten in euro's volgens een (bij benadering) exponentieel verband toeneemt.
    *   **Vraag 11**: De student wordt gevraagd om aan te tonen dat het getoonde verband in de tabel inderdaad (bij benadering) exponentieel is en

### Pagina 10

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Titel**: "Selectief cijferen" bovenaan de pagina.
    *   **Tekst**: Een inleidende paragraaf over een artikel in de NRC over de becijfering van een tentamen Recht.
    *   **Staafdiagram (figuur 1)**: Dit diagram toont de frequentieverdeling van cijfers van 1 tot en met 10.
        *   **X-as**: Gelabeld als "cijfer", loopt van 1 tot en met 10.
        *   **Y-as**: Gelabeld als "frequentie", loopt van 0 tot 200, met schalen van 100.
        *   **Staven**:
            *   Cijfer 1: Frequentie 18
            *   Cijfer 2: Frequentie 39
            *   Cijfer 3: Frequentie 73
            *   Cijfer 4: Frequentie 173
            *   Cijfer 5: Frequentie 48
            *   Cijfer 6: Frequentie 162
            *   Cijfer 7: Frequentie 145
            *   Cijfer 8: Frequentie 86
            *   Cijfer 9: Frequentie 18
            *   Cijfer 10: Frequentie 2
        *   **Label boven de grafiek**: "totaal aantal cijfers: 764".

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Descriptieve statistiek**: Berekening van gemiddelde en standaardafwijking uit een frequentieverdeling.
    *   **Kansverdelingen**: Specifiek de **normale verdeling**. Het concept van een verwachte frequentieverdeling (normale verdeling) wordt vergeleken met een waargenomen frequentieverdeling.
    *   **Interpretatie van data**: Analyse van afwijkingen van een verwachte verdeling en mogelijke verklaringen hiervoor.

4.

### Pagina 11

6p 15 Onderzoek dit met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de uitwerkbijlage.
In het artikel werd ook nog een tweede verklaring genoemd voor de vreemde verdeling van de cijfers. De groep studenten die dit tentamen had gemaakt, zou niet homogeen zijn maar bestaan uit twee homogene en ongeveer even grote subgroepen, namelijk de werkers en de niet-werkers. Daar gaan we in de rest van deze opgave naar kijken.
Neem aan dat de cijfers van de werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 6,7 en standaardafwijking 1,5 en de cijfers van de niet-werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 3,4 en standaardafwijking 1,2. In figuur 2 zie je vier grafieken getekend die horen bij vier verschillende normale verdelingen. Grafiek A hoort bij de cijfers van de werkers.
figuur 2
[FIGUUR: Vier overlappende normaalverdelingscurves. Curve A is de laagste en breedste curve. Curve B is de hoogste curve. Curve C ligt tussen A en B in. Curve D ligt boven B.]
Eén van de overige drie grafieken B, C en D hoort bij de cijfers van de niet-werkers. Dat is grafiek D.
3p 16 Leg uit waarom grafieken B en C niet kunnen horen bij de cijfers van de niet-werkers.
VW-1026-a-12-1-o 11 lees verder ►►►

### Pagina 12

Behendigheid
In Nederland wordt er verschil gemaakt tussen kansspelen en
behendigheidsspelen. Een spel als roulette, waarbij de speler geen enkele
invloed kan uitoefenen op het verloop van het spel (en dus ook niet op zijn
winst-/verlieskansen) is duidelijk een kansspel. Een spel als schaken echter
waarbij een speler zijn winst-/verlieskansen zelf kan beïnvloeden door oefening
is natuurlijk een behendigheidsspel. Er zijn echter ook verschillende spellen
waarbij niet meteen vast te stellen is om welke categorie het gaat.
Zo kun je je bij zekere-s afvragen of dit een kansspel of een behendigheidsspel
is. De onderzoekers Borm en Van der Genugten hebben een methode
ontwikkeld om bij elk spel dit onderscheid te maken. Daartoe hebben ze enkele
begrippen gedefinieerd:
het toevalseffect $TE$
het leereffect $LE$
Het toevalseffect is een getal dat uitdrukt in welke mate het toeval een rol speelt
bij het spel: het toevalseffect is groot als het toeval een grote rol speelt. Het
leereffect is een getal dat aangeeft in hoeverre een grotere ervaring helpt bij het
spelen van het spel: het leereffect is groter naarmate de ervaring een grotere
bijdrage levert aan de uitkomst van het spel.
Beide getallen, toevalseffect $TE$ en leereffect $LE$, zijn (natuurlijk) nooit negatief.
Ze zijn ook nooit beide tegelijkertijd 0.
Hoe die getallen $TE$ en $LE$ bepaald worden, komt verderop in deze opgave aan
de orde. Eerst kijken we naar een formule die Borm en Van der Genugten
gemaakt hebben met die twee begrippen. Deze formule ziet er als volgt uit:
$$ B = \frac{LE}{LE+TE} $$
Het getal $B$ dat met deze formule wordt berekend, noemt men het onderzoeker's
behendigheidsniveau. Ook al weten we nu nog niet hoe $TE$ en $LE$ bepaald
worden, toch kunnen we wel iets zeggen over de mogelijke waarde van het
getal $B$.
1. $B$ is nooit negatief;
2. $B$ is ten hoogste 1;
3. Als twee spelen hetzelfde positieve leereffect hebben, is $B$ groter bij
het spel met het kleinere toevalseffect.
3p 17 Laat met behulp van de formule en de omschrijvingen van $TE$ en $LE$ zien dat de
bovenstaande beweringen 1, 2 en 3 juist zijn.

Om het behendigheidsniveau van een spel te bepalen moet je dus een methode
vaststellen om $TE$ en $LE$ van dat spel te berekenen. Borm en Van der Genugten
hebben dat bij verschillende spellen gedaan en hebben daarna ook een grens
vastgesteld waarmee ze een onderscheid konden maken tussen een kansspel
en een behendigheidsspel. Die grens ligt volgens de onderzoekers bij $B=0,20$.
Als $B$ groter is dan 0,20 heb je te maken met een behendigheidsspel.
Deze grens van 0,20 betekent dat in een kansspel het leereffect wel een rol mag
spelen, maar niet te veel. Het leereffect moet beduidend kleiner zijn dan het
toevalseffect.

VW-1026-a-12-1-o
12
lees verder
Voor alle eindexamens, zie ook www.ssl.nl. Pagina: 1173

### Pagina 13

4p 18 Laat zien dat bij elk spel met een behendigheidsniveau van 0,20 de verhouding
tussen het leereffect en het toevalseffect gelijk is aan 1:4.
Op 3 maart 1998 concludeerde de Hoge Raad dat poker een kansspel is (en
daarom alleen mag worden gespeeld in door de overheid gecontroleerde
casino's).
foto
pokeren een kansspel?
[FIGUUR: Een foto van pokertafel met kaarten en fiches.]
De onderzoekers hebben in samenwerking met het televisieprogramma
Nieuwslicht een experiment uitgevoerd om na te gaan of deze beslissing van de
Hoge Raad wel terecht was. In het verslag van dit experiment schrijven zij op
welke manier zij het behendigheidsniveau van het pokerspel 'Texas Hold'Em'
hebben bepaald. Zij deelden de spelers in drie typen in:
– de beginner, die alleen de regels van het spel kent (zijn winst in het spel
wordt alleen door geluk bepaald);
– de ervaren speler, die veel ervaring heeft met het spel (zijn winst wordt
bepaald door geluk en kunde);
– de fictieve speler¹), een ervaren speler die ook informatie heeft over
toevalselementen in het spel, bijvoorbeeld welke kaarten de andere spelers
hebben en welke kaarten er op tafel zullen komen te liggen (zijn winst wordt
door geluk, kunde en informatie bepaald).
Met behulp hiervan definieerden Borm en Van der Genugten $TE$ en $LE$:
$TE$ = winst van de fictieve speler – winst van de ervaren speler
$LE$ = winst van de ervaren speler – winst van de beginner
7p 19Leg uit dat $TE$ groter is naarmate het toeval een grotere rol speelt bij de
uitkomst van het spel.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
noot 1 Die fictieve speler bestond alleen in dit experiment: hij verkreeg zijn extra informatie door het
gebruik van een 'oortje' waarmee hem informatie doorgegeven werd die in een normaal spel
onbekend is voor een speler.
VW-1026-a-12-1-o 13

### Pagina 14

In een ander experiment, vergelijkbaar met dat van Nieuwslicht, speelden een
beginner, een ervaren speler en een fictieve speler aan aparte tafels onder
dezelfde omstandigheden elk drie rondes. Allen kregen bij het begin van iedere
ronde evenveel geld om in te kunnen zetten. Na die drie rondes werd de stand
opgemaakt van de winst per ronde. Zie de tabel.
tabel
winst per ronde in euro's
ronde 1 -28 -11 10
ronde 2 30 90 161
ronde 3 -32 1 219
5p 20 De winsten verschillen nogal per ronde. Als gevolg daarvan verschilt het
behendigheidsniveau ook sterk per ronde: een van de drie rondes levert een
heel ander behendigheidsniveau $B$ op dan de andere twee.
Welke ronde is dat? Licht je antwoord toe door berekeningen.
3p 21 Om na te gaan of poker wel of niet als kansspel gezien moet worden, kun je de
totale winst van ieder van de drie spelers in de tabel berekenen en daarmee het
behendigheidsniveau $B$ bepalen van het pokerspel 'Texas Hold'Em'.
Is het pokerspel 'Texas Hold'Em' volgens de methode van Borm en Van der
Genugten een kansspel als je uitgaat van de tabel? Licht je antwoord toe.
VW-1026-a-12-1-0 14 einde