# Eindexamen Wiskunde B VWO 2025 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2

## Vraag 1 – Beweging over twee lijnen (3 punten)

Beweging over twee lijnen

Voor t ≥ 0 beweegt het punt P volgens de bewegingsvergelijkingen:
{ x_P(t) = 8t²
{ y_P(t) = 4 - 4t²

Voor t ≥ 0 beweegt tegelijkertijd het punt Q volgens de bewegingsvergelijkingen:
{ x_Q(t) = 1 + 3t
{ y_Q(t) = 4t

Hierbij is t de tijd.

Zowel de baan van P als de baan van Q is een deel van een lijn.
In figuur 1 zijn deze banen weergegeven.

In figuur 1 is de positie van P en van Q voor een waarde van t weergegeven. Er geldt:
− P ligt onder de x-as en Q ligt boven de x-as én
− P en Q hebben gelijke afstand tot de x-as.
Bereken exact de y-coördinaat van P in dit geval.

Wat kun je verwachten: Je moet de positie van twee bewegende punten, P en Q, analyseren. Het gaat erom dat je de t-waarde vindt wanneer P en Q aan specifieke voorwaarden voldoen met betrekking tot hun afstand tot de x-as.

Wat moet je kennen: Je moet goed kunnen werken met parametrische vergelijkingen en de betekenis van coördinaten en afstanden tot de x-as snappen. Ook is het oplossen van een kwadratische vergelijking essentieel.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'onder de x-as' en 'boven de x-as', dit vertaal je naar het teken van de y-coördinaat, en vergeet niet dat t groter of gelijk aan nul moet zijn.

Kernbegrippen: parametrische vergelijkingen, bewegingsvergelijkingen, afstand tot een coördinaatas, kwadratische vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de afstandsvergelijking, bijvoorbeeld y_P = y_Q of y_P = -y_Q zonder de voorwaarden 'onder/boven de x-as' correct te vertalen.
- De negatieve oplossing voor t (t = 1/2 - 1/2√5) niet verwerpen, terwijl gegeven is dat t ≥ 0.
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de kwadratische vergelijking of het invullen van t.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Snelheden vergelijken param. vergelijkingen (4 punten)

Punt Q beweegt met constante snelheid over zijn baan. De snelheid v(t) waarmee P over zijn baan beweegt, is niet constant. Er geldt: op t = √5 is de snelheid van P acht keer zo groot als de snelheid van Q.
Bewijs dat op t = √5 de snelheid van P inderdaad acht keer zo groot is als de snelheid van Q.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je de snelheden van twee bewegende punten vergelijken die worden beschreven met (soms parametrische) vergelijkingen. Je moet bewijzen dat op een bepaald tijdstip de ene snelheid een veelvoud is van de andere.

Wat moet je kennen: Je moet goed bekend zijn met het berekenen van de afgeleide van vectorfuncties om de snelheidsvector te vinden, en vervolgens met de stelling van Pythagoras om de grootte (scalar) van deze vector (de snelheid) te bepalen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een snelheidsvector (richting en grootte) en de snelheid (alleen grootte), en pas de stelling van Pythagoras correct toe.

Kernbegrippen: parametrische kromme, snelheidsvector, snelheid berekenen, afgeleide van een vectorfunctie, stelling van Pythagoras

Veelgemaakte fouten:
- Snelheid (scalar) en snelheidsvector (vector) verwarren.
- Fout bij het toepassen van de stelling van Pythagoras voor de lengte van de snelheidsvector, bijvoorbeeld de componenten niet kwadrateren.
- Reken- of notatiefout in het correctievoorschrift: de notatie √320⋅(√5)² is ongebruikelijk en kan verkeerd geïnterpreteerd worden als (√320)⋅5, terwijl √(320⋅(√5)²) bedoeld is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Helling van lijnstuk met parameterkromme (4 punten)

Op een tijdstip *t* is de helling van lijnstuk *PQ* gelijk aan 4/3.
Bereken exact de coördinaten van *P* in dit geval.

Wat kun je verwachten: Je moet de helling van een lijnstuk kunnen berekenen als je de coördinaten van de eindpunten in een parameterkromme hebt. Daarna los je een vergelijking op om specifieke coördinaten te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de helling van een lijn kennen (Δy/Δx) en algebraïsch vergelijkingen met breuken kunnen oplossen.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste formules gebruikt voor de helling en maak geen rekenfouten bij het oplossen van de vergelijking.

Kernbegrippen: parameterkromme, helling van een lijnstuk, algebraïsch oplossen, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking na kruislings vermenigvuldigen.
- Vergeten de berekende waarde van t² terug te substitueren in de coördinatenformules van P.
- De coördinaten in de hellingformule verwisselen (Δx/Δy in plaats van Δy/Δx).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – b berekenen met goniometrie (5 punten)

Bereken algebraïsch de waarde van b die de leverancier heeft berekend. Geef je eindantwoord in gehele centimeters. Je mag hierbij gebruikmaken van de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om een onbekende zijde (b) te berekenen met goniometrische formules, gebaseerd op een gegeven figuur en lengte.

Wat moet je kennen: Je moet goed de sinusregel en/of de cosinusfunctie kennen, en hoe je een vergelijking opstelt om tot de onbekende b te komen.

Waar op letten: Let goed op welke hoeken en zijden bij elkaar horen en of je rekenmachine op graden staat ingesteld.

Kernbegrippen: goniometrie, sinusregel, cosinus, meetkunde in driehoeken, vergelijking opstellen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde hoeken gebruiken in de sinusregel, bijvoorbeeld door de geometrie van de figuur verkeerd te interpreteren.
- Rekenmachine instellen op radialen in plaats van graden.
- Sinus en cosinus verwisselen bij het berekenen van de horizontale projectie.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Parameters bepalen uit goniometrische functie (4 punten)

De formule bij deze kromme is van de vorm:
P_A = pcos(qt)+sin(2qt) met 0 < q < 0,4

Hierbij is t de tijd in uren met t = 7 om 7.00 uur.

De kromme gaat onder andere door de punten (9 ; 1,0) en (18 ; 2,9).
Bereken met behulp van deze punten de waarde van p en van q. Geef je eindantwoorden in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt de formule van een kromme en twee punten die op die kromme liggen. Het is de bedoeling dat je met deze informatie de onbekende parameters in de formule berekent.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een stelsel van vergelijkingen opstelt en oplost. Basiskennis van goniometrische functies en het gebruik van je grafische rekenmachine zijn essentieel.

Waar op letten: Let goed op de instellingen van je rekenmachine (radialen in plaats van graden) en vergeet niet om je gevonden waarde voor 'q' te checken met het gegeven domein.

Kernbegrippen: stelsel van vergelijkingen oplossen, goniometrische functies, parameters bepalen, grafisch-numeriek oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Rekenmachine verkeerd ingesteld (graden in plaats van radialen)
- Algebraïsche fouten bij het omschrijven en isoleren van parameter p
- De gevonden waarde voor q niet controleren met het gegeven domein 0 < q < 0,4

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Integreren: Hoe lang laadt de accu op? (5 punten)

Om 11.00 uur wordt de elektrische auto aan de laadpaal gekoppeld. De accu, met opslagcapaciteit 72 kWh, is op dat tijdstip voor de helft opgeladen.

Met behulp van de integraal ∫ₜ₁ᵗ² P_B dt kan worden berekend hoe lang het duurt tot de accu voor driekwart is opgeladen met de elektriciteit die door de panelen is opgewekt.

Bereken met behulp van primitiveren hoeveel minuten dat duurt. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je moet berekenen hoe lang het duurt voordat een autoaccu tot driekwart is opgeladen, gegeven de startlading en de laadsnelheid via een functie. Je gebruikt hierbij integreren om de totale energie te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van een bepaalde integraal begrijpen, weten hoe je een cosinusfunctie primitiveert en hoe je een vergelijking oplost die hieruit voortkomt.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste energiehoeveelheid berekent die nog moet worden opgeladen en vergeet niet om de eenheden (uren naar minuten) aan het einde van de berekening correct om te zetten.

Kernbegrippen: bepaalde integraal, primitiveren, cosinusfunctie, vergelijking oplossen, toepassing van integreren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd berekenen van de benodigde energie (bijvoorbeeld 3/4 van 72 kWh gebruiken in plaats van het verschil).
- Fout bij het primitiveren van de cosinusfunctie, met name het vergeten van de ketenregel (delen door 0,23).
- Vergeten het eindantwoord om te rekenen van uren naar minuten, of een rekenfout hierbij.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Coördinaten van hoekpunten in logaritmische functie (4 punten)

De functie f wordt gegeven door f(x) = ln(3x).
In figuur 1 zijn de grafiek van f en het vierkant PQRS weergegeven.

Voor vierkant PQRS geldt:
– elke zijde is evenwijdig met de x-as of de y-as;
– de hoekpunten P en R liggen op de grafiek van f;
– de x-coördinaat van R is drie keer zo groot als de x-coördinaat p van P.

Bereken algebraïsch de coördinaten van P. Geef je eindantwoorden in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je inzicht in logaritmische functies en hoe je de eigenschappen van een vierkant hierop toepast. Je moet de coördinaten van een punt op een logaritmische grafiek berekenen.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van logaritmische functies en hun rekenregels, de basisprincipes van coördinaatmeetkunde en hoe je algebraïsch vergelijkingen oplost.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de rekenregels voor logaritmen, vooral bij het vereenvoudigen van verschillen tussen logaritmes.

Kernbegrippen: logaritmische functies, rekenregels voor logaritmen, coördinaatmeetkunde, algebraïsch oplossen van vergelijkingen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde toepassing van logaritmeregels, bijvoorbeeld ln(A) - ln(B) = ln(A-B).
- Vergeten dat de zijden van een vierkant gelijk zijn, dus de vergelijking niet correct opstellen.
- Afrondingsfouten bij het berekenen van de eindwaarden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Bewijs met ln-functie en raaklijn (4 punten)

De lijn met vergelijking y = a snijdt de y-as in punt A en de grafiek van f in punt B. De raaklijn in het punt B aan de grafiek van f snijdt de y-as in punt C. Zie figuur 2.
Er geldt: voor elke waarde van a heeft lijnstuk AC lengte 1.
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat de lengte van een lijnstuk AC altijd 1 is, ongeacht de waarde van 'a'. Dit doe je door de coördinaten van de punten te bepalen en de vergelijking van de raaklijn op te stellen.

Wat moet je kennen: Je moet goed kunnen differentiëren, vooral logaritmische functies. Ook moet je een raaklijnvergelijking kunnen opstellen en daarmee snijpunten met de assen kunnen berekenen.

Waar op letten: Let goed op met het oplossen van de logaritmische vergelijking en zorg dat je geen algebraïsche fouten maakt bij het opstellen van de raaklijn.

Kernbegrippen: differentiëren van logaritmische functies, opstellen van een raaklijn, analytische meetkunde, algebraïsch bewijs

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het oplossen van de logaritmische vergelijking ln(3x) = a.
- Vergeten van de ketenregel bij het differentiëren van ln(3x), hoewel het eindresultaat 1/x hetzelfde is.
- Algebraïsche fouten bij het opstellen van de raaklijnvergelijking en het bepalen van het snijpunt met de y-as.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Bewijs oppervlakte met Pythagoras (3 punten)

Als a varieert, varieert de lengte van zijde CD.
Als L de lengte van zijde CD is, dan geldt voor de oppervlakte van de driehoek:
Opp(ACD) = ½√L²−L⁴

9 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je een gegeven formule voor de oppervlakte van een driehoek bewijzen. Je gebruikt hiervoor de bekende meetkundige stellingen.

Wat moet je kennen: Je moet de stelling van Pythagoras en de formule voor de oppervlakte van een driehoek (½ × basis × hoogte) kennen en kunnen toepassen. Ook is handig om te weten hoe je algebraïsch wortels kunt manipuleren.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste zijde als basis en hoogte gebruikt en vergeet niet dat AC=1, wat vaak uit een eerdere vraag komt.

Kernbegrippen: stelling van Pythagoras, oppervlakte van een driehoek, algebraïsch manipuleren met wortels, meetkunde

Veelgemaakte fouten:
- De benodigde informatie dat AC=1 uit de vorige vraag wordt over het hoofd gezien.
- Foutieve toepassing van de stelling van Pythagoras, bijvoorbeeld door zijden te verwisselen.
- Algebraïsche fout bij het samenvoegen van de wortels, bijvoorbeeld L onder de wortel brengen als L in plaats van L².

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Maximale oppervlakte berekenen (5 punten)

Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ACD.

Wat kun je verwachten: Je moet de maximale oppervlakte van een driehoek bepalen door middel van wiskundige optimalisatie. Dit type vraag test je algebraïsche en differentieervaardigheden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van differentiëren kennen, inclusief de ketenregel, om het maximum van een functie te kunnen vinden.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de afgeleide correct gelijkstelt aan nul en daarna de gevraagde waarde (niet alleen de L²) berekent.

Kernbegrippen: optimaliseren, differentiëren, ketenregel, extremum bepalen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de ketenregel toe te passen bij het differentiëren van de wortelfunctie.
- Stoppen na het vinden van de waarde van L² en niet de maximale oppervlakte berekenen.
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking die volgt uit het nulstellen van de afgeleide.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Coördinaten en afstanden op de x-as (3 punten)

Gegeven zijn de punten A(5,4) en B(8,5). Verder is een punt P(p,q) gegeven dat niet samenvalt met A of B.
In figuur 1 en 2 zijn voor twee posities van P de lijnstukken AP en BP getekend.

figuur 1
[afbeelding van een assenstelsel met punten A, B, P en lijnstukken AP, BP]

figuur 2
[afbeelding van een assenstelsel met punten A, B, P en lijnstukken AP, BP]

Punt P kan zo worden gekozen, dat P op de x-as ligt en AP en BP even lang zijn.
Bereken exact de x-coördinaat van P waarbij dit het geval is.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je de x-coördinaat vinden van een punt P op de x-as, zodat de afstand van P tot punt A gelijk is aan de afstand van P tot punt B.

Wat moet je kennen: Je gebruikt de afstandsformule (die voortkomt uit de stelling van Pythagoras) en je moet lineaire vergelijkingen kunnen oplossen. Een alternatieve methode is het bepalen van de middelloodlijn.

Waar op letten: Voor P op de x-as geldt altijd dat de y-coördinaat 0 is (P(p,0)). Veelgemaakte fouten zijn rekenfouten bij het kwadrateren of herleiden van de vergelijking.

Kernbegrippen: coördinatenmeetkunde, afstandsformule, stelling van Pythagoras, lineaire vergelijking oplossen, middelloodlijn

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfouten bij het uitwerken van de kwadraten, bijvoorbeeld (p-5)² = p² - 25.
- Vergeten dat P op de x-as ligt en daardoor q=0 niet substitueren.
- Fouten bij het herleiden van de uiteindelijke lineaire vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Bewijs met vectoren: onafhankelijke coördinaten (6 punten)

Vector $\vec{AP}$ wordt 90º tegen de klok in om A gedraaid. Het resultaat is vector $\vec{AC}$.
Vector $\vec{BP}$ wordt 90º met de klok mee om B gedraaid. Het resultaat is vector $\vec{BD}$.
Punt M is het midden van lijnstuk CD.
In figuur 3 en 4 zijn voor twee posities van P de vectoren $\vec{AP}$, $\vec{AC}$, $\vec{BP}$ en $\vec{BD}$ weergegeven. Ook zijn het lijnstuk CD en punt M weergegeven.

De coördinaten van M zijn onafhankelijk van de positie van punt P.
12 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je te bewijzen dat de coördinaten van een punt M (het midden van een lijnstuk) onafhankelijk zijn van de positie van een ander punt P, door gebruik te maken van vectorrekening.

Wat moet je kennen: Je moet goed kunnen werken met vectoren, in het bijzonder hoe je een vector roteert en hoe je de positievector van het midden van een lijnstuk bepaalt.

Waar op letten: Let goed op de rotatierichtingen (met of tegen de klok in) en de bijbehorende aanpassingen aan de vectorcoördinaten om tekenfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: vectorrekening, coördinatenmeetkunde, rotatie van vectoren, midden van een lijnstuk

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve toepassing van de rotatieregels voor vectoren (verkeerd teken of verwisseling van componenten).
- Algebraïsche fouten bij het optellen van de vectoren.
- Vergeten de factor 1/2 toe te passen bij het bepalen van het midden M.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Bewijs: helling van g twee keer helling van f (7 punten)

Als n een even getal is, geldt:
In de snijpunten S*n* is de helling van de grafiek van *g* twee keer zo groot als de helling van de grafiek van *f*.
Bewijs deze eigenschap.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat op bepaalde snijpunten de helling van de ene grafiek twee keer zo groot is als de helling van de andere grafiek. Dit betekent dat je hellingen moet vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet goed kunnen differentiëren, inclusief de ketenregel. Ook is kennis van goniometrische functies en het oplossen van goniometrische vergelijkingen belangrijk.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de ketenregel bij het differentiëren en wees precies bij het invullen van de cosinuswaarden voor de even k-waarden.

Kernbegrippen: differentiëren, ketenregel, nulpunten van goniometrische functies, helling van een grafiek, algebraïsch bewijzen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de ketenregel bij het differentiëren van g(x).
- Foutief evalueren van cos(kπ) voor even waarden van k.
- Onjuist oplossen van sin(x) = 0.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Knik, top en absolute waarde (5 punten)

Voor x ≥ 0 en a > 1½ wordt de functie fₐ gegeven door:
fₐ(x) = |a - x²| ∙ x + 3x

De grafiek van fₐ heeft een knik met x-coördinaat √a. Deze knik verdeelt de grafiek van fₐ in twee delen. Links van deze knik bevindt zich een top van de grafiek van fₐ.
De y-coördinaat van deze top is te schrijven als:
y_top = 2(⅓a + 1)√⅓a + 1

Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je bewijzen dat de y-coördinaat van een top in een functie met een absolute waarde overeenkomt met een gegeven uitdrukking.

Wat moet je kennen: Je moet goed kunnen differentiëren om extrema te vinden, en handig zijn met algebra om functies met absolute waarden te splitsen en te vereenvoudigen.

Waar op letten: Een veelgemaakte fout is het verkeerd oplossen van de absolute waarde, met name bij het bepalen van het juiste interval voor de functie. Let ook goed op je algebra bij het vereenvoudigen van de uitdrukking.

Kernbegrippen: differentiëren, extremum bepalen, functies met absolute waarden, algebraïsche manipulatie, functies met parameters, Differentiëren, Extremum bepalen, Absolute waarden in functies, Algebraïsche manipulatie, Functies met parameters

Veelgemaakte fouten:
- verkeerd oplossen van de absolute waarde voor het gegeven interval
- rekenfouten bij het differentiëren van de veeltermfunctie
- algebraïsche fouten bij het vereenvoudigen van de uitdrukking voor de y-coördinaat

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Snijpunten grafiek en lijn met parameters (5 punten)

Als a toeneemt, neemt de y-coördinaat 2(⅓a + 1)√⅓a + 1 van de top toe.
Ook de y-coördinaat f_a(√a) van de knik neemt dan toe.
Het aantal gemeenschappelijke punten van de grafiek van f_a en lijn l hangt af van deze y-coördinaten. Zo snijden de grafiek van f_a en lijn l elkaar in één punt. De grafiek van f_20 snijdt lijn l in drie punten en de grafiek van f_32 snijdt lijn l in één punt.
De waarden van a waarvoor de grafiek van f_a en lijn l drie snijpunten hebben, vormen een interval.
Bereken exact dit interval.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om een exact interval te berekenen waarbinnen een grafiek en een lijn elkaar in drie punten snijden. Je moet hierbij de gegeven y-coördinaten van de top en de knik gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet goed zijn in het oplossen van vergelijkingen met machten en wortels, en je kennis van extreme waarden en intervalnotatie kunnen toepassen.

Waar op letten: Let goed op met algebraïsche stappen bij het oplossen van de vergelijkingen en zorg dat je de juiste ongelijkheidstekens gebruikt voor het interval, zonder de grenzen om te draaien.

Kernbegrippen: functies met parameters, snijpunten van grafieken, oplossen van vergelijkingen met machten en wortels, extreme waarden, intervalnotatie

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking 2(⅓a + 1)^(3/2) = 16.
- De grenzen van het interval omdraaien, bijvoorbeeld 256/9 < a < 9.
- Verkeerde ongelijkheidstekens gebruiken (≤ in plaats van <), wat zou impliceren dat de grensgevallen ook drie snijpunten hebben.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Inhoud omwentelingslichaam berekenen (3 punten)

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V' om de x-as wordt gewenteld. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je de inhoud van een 3D-figuur berekenen die ontstaat door een vlak om de x-as te wentelen. Je moet hiervoor de juiste wiskundige methode toepassen.

Wat moet je kennen: Je moet de formule kennen voor de inhoud van een omwentelingslichaam. Ook is het belangrijk dat je integralen kunt toepassen en de snijpunten van functies kunt bepalen.

Waar op letten: Een veelvoorkomende fout is het verkeerd toepassen van de integraalformule voor een omwentelingslichaam of het vergeten van de factor pi.

Kernbegrippen: inhoud omwentelingslichaam, bepaalde integraal, snijpunten met de assen, numeriek integreren, snijpunten

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde formule voor inhoud omwentelingslichaam gebruiken: $\int (g(x)-f(x))^2 dx$ in plaats van $\int ((g(x))^2 - (f(x))^2) dx$.
- De factor $\pi$ vergeten in de inhoudsformule.
- Incorrecte integratiegrenzen gebruiken, bijvoorbeeld door het snijpunt E met de x-as niet correct te bepalen.
- Het eindantwoord niet afronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Scheve asymptoten bewijzen (3 punten)

Vergelijkingen van de scheve asymptoten zijn y = -x - 1 en y = -x + 9.
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om te bewijzen dat de gegeven vergelijkingen kloppen voor de scheve asymptoten van een functie. Je moet aantonen waarom deze specifieke lijnen de asymptoten zijn.

Wat moet je kennen: Je moet goed begrijpen wat scheve asymptoten zijn en hoe je limieten berekent, vooral bij exponentiële functies, om het gedrag voor x naar oneindig te bepalen.

Waar op letten: Let goed op het correct berekenen van de limieten voor zowel positief als negatief oneindig en zorg dat je deze juist koppelt aan de constante in de asymptootvergelijking.

Kernbegrippen: scheve asymptoten, limieten, gedrag van exponentiële functies, bewijsvoering, exponentiële functies

Veelgemaakte fouten:
- De berekende limieten (0 en 10) niet correct koppelen aan de constante term in de asymptootvergelijking.
- Verkeerd berekenen van de limiet voor x naar min-oneindig, bijvoorbeeld door e^x niet naar 0 te laten gaan.
- De constante term uit het lineaire deel van de functie vergeten bij het opstellen van de uiteindelijke asymptootvergelijkingen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Cirkel met raaklijnen en asymptoten (4 punten)

In figuur 3 zijn de twee scheve asymptoten van de grafiek van f weergegeven. Ook is de cirkel met middelpunt M onder de x-as weergegeven. Deze cirkel raakt aan beide scheve asymptoten en aan de x-as.

4p 18 Bereken exact de coördinaten van M.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je de coördinaten van het middelpunt van een cirkel bepalen, die raakt aan de x-as en aan de scheve asymptoten van een gegeven functie. Dit is een analytische meetkunde vraag waarbij je meetkundige eigenschappen combineert met algebra.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van raaklijnen aan een cirkel kennen, kunnen werken met de afstand tussen lijnen en de bissectrice van twee snijdende lijnen kunnen bepalen, of slim het middelpunt kunnen afleiden.

Waar op letten: Let goed op het kwadrant waarin de cirkel zich bevindt; de y-coördinaat van M is negatief omdat de cirkel onder de x-as ligt.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, afstand tussen parallelle lijnen, bissectrice, eigenschappen van raaklijnen aan een cirkel

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de y-coördinaat van M negatief is.
- De afstand tussen de asymptoten verwarren met de straal van de cirkel (factor 2 verschil).
- Een rekenfout maken bij het bepalen van de afstand of de coördinaten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2025
tijdvak 2
donderdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-25-2-o

### Pagina 2

Formules
Goniometrie
$\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$
$\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$
$\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$
$\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$
$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$
$\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$
VW-1025-a-25-2-o 2 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1025-a-25-2-o 3 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 4

Beweging over twee lijnen

Voor $t \ge 0$ beweegt het punt $P$ volgens de bewegingsvergelijkingen:
$$
\left{
\begin{array}{l}
x_P(t) = 8t^2 \\
y_P(t) = 4 - 4t^2
\end{array}
\right.
$$
Voor $t \ge 0$ beweegt tegelijkertijd het punt $Q$ volgens de bewegingsvergelijkingen:
$$
\left{
\begin{array}{l}
x_Q(t) = 1 + 3t \\
y_Q(t) = 4t
\end{array}
\right.
$$
Hierbij is $t$ de tijd.

Zowel de baan van $P$ als de baan van $Q$ is een deel van een lijn. In figuur 1 zijn deze banen weergegeven.

figuur 1
[FIGUUR: Een coördinatenstelsel met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Een lijn start in het positieve y-gebied en loopt schuin naar beneden naar het positieve x-gebied. Op deze lijn bevindt zich een punt gemarkeerd als P. Een tweede lijn start bij de oorsprong en loopt schuin naar boven en naar rechts, door het positieve kwadrant. Op deze lijn bevindt zich een punt gemarkeerd als Q. De oorsprong is gemarkeerd als O. De twee lijnen snijden elkaar.]

In figuur 1 is de positie van $P$ en van $Q$ voor een waarde van $t$ weergegeven. Er geldt:
- $P$ ligt onder de y-as en $Q$ ligt boven de x-as én
- $P$ en $Q$ hebben gelijke afstand tot de x-as.

3p 1 Bereken exact de y-coördinaat van $P$ in dit geval.

VW-1025-a-25-2-o 4 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 5

Punt Q beweegt met constante snelheid over zijn baan. De snelheid $v(t)$ waarmee $P$ over zijn baan beweegt, is niet constant. Er geldt: op $t = \sqrt{5}$ is de snelheid van $P$ acht keer zo groot als de snelheid van $Q$.
2 4p Bewijs dat op $t = \sqrt{5}$ de snelheid van $P$ inderdaad acht keer zo groot is als de snelheid van $Q$.
In figuur 2 zijn opnieuw de banen van $P$ en $Q$ weergegeven. Ook is voor $t = \frac{1}{2}$ en voor $t = 1\frac{1}{2}$ het lijnstuk $PQ$ weergegeven. De helling van lijnstuk $PQ$ is afhankelijk van $t$.
[FIGUUR: Een xy-assenstelsel met de oorsprong O. Twee punten P en Q zijn getekend, met de bijbehorende tijdstippen P_{1/2}, Q_{1/2} en Q_{1 1/2}. Lijnstukken van O naar Q, van Q naar P en van O naar P zijn getekend.]
figuur 2
Op een tijdstip $t$ is de helling van lijnstuk $PQ$ gelijk aan $\frac{4}{3}$.
3 4p Bereken exact de coördinaten van $P$ in dit geval.
VW-1025-a-25-2-o 5 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 6

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1025-a-25-2-o 6 / 17 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Opbrengst van zonnepanelen
Op het platte dak van de uitbouw van
een huis aan de Parallelweg 10A
worden tien even grote
zonnepanelen geinstalleerd.
De panelen worden op een stalen
frame gemonteerd dat gekanteld is
in de richting van het zuiden. Op
het horizontale platte dak worden
ze in twee rijen achter elkaar
geplaatst. Zie de foto.
Voorafgaand aan de installatie heeft de leverancier een tekening gemaakt
van een zijaanzicht van de opstelling van de panelen. Zie figuur 1, die ook
vergroot op de uitwerkbijlage staat. In die situatie verwacht de leverancier
maximale energieopbrengst.
[FIGUUR: Diagram van zonnepanelen op een dak, met hoeken en afmetingen aangegeven.]
figuur 1

Met behulp van deze tekening berekent de leverancier de lengte $b$ (in cm)
van de te gebruiken panelen. In de tekening geldt:
– de punten $P, Q, R$ en $S$ zijn de hoekpunten van twee panelen; punt $P$
ligt recht boven de linker dakrand en punt $S$ recht boven de rechter
dakrand;
– de panelen maken een hoek van $30^\circ$ met het dakkoppervlak;
– de lengte van de dakrand is $172$ cm;
– de lengte van $PQ$ en van $RS$ is $b$ cm;
– $b$ is zo gekozen dat een zonnestraal door $Q$, die een hoek van $28^\circ$
met de dakrand maakt, in $R$ terecht komt; in dat geval ligt de achterste
rij panelen niet in de schaduw van de voorste rij panelen.
De rand en de dikte van de zonnepanelen worden in deze opgave buiten
beschouwing gelaten.

5p 4 Bereken algebraïsch de waarde van $b$ die de leverancier heeft berekend.
Geef je eindantwoord in gehele centimeters. Je mag hierbij gebruikmaken
van de uitwerkbijlage.

VW-1025-a-25-2-o 7 / 17 lees verder ➢➢➢

### Pagina 8

In figuur 2 is het door de zonnepanelen geleverde vermogen $P_A$ in kW op een zonnige 31 augustus uitgezet tegen de tijd $t$ in uren. Uitgaande van de meetwaarden tussen zonsopkomst en zonsondergang is de zwarte vloeiende kromme getekend.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek van het vermogen $P_A$ (in kW) tegen de tijd $t$ (in uren). De x-as loopt van 0 tot 18. De y-as loopt van 0 tot 2,9. Een vloeiende kromme stijgt vanaf links, bereikt een maximum rond $t=9$ en daalt dan weer naar rechts, eindigend bij $t=18$. Er zijn markeringen bij $t=9$ en $t=18$. Er is een horizontale stippellijn bij $y=1,0$.]

De formule bij deze kromme is van de vorm:
$P_A = p \cos(qt) + \sin(2qt)$ met $0 < q < 0,4$
Hierbij is $t$ de tijd in uren met $t = 7$ om 7.00 uur.

4p 5 Bereken met behulp van deze punten de waarde van $p$ en van $q$. Geef je eindantwoorden in drie decimalen.

De buren op huisnummer 10B hebben ook zonnepanelen. De energieopbrengst van deze panelen wordt direct gebruikt of direct teruggeleverd aan de energiemaatschappij. Eventueel energieverlies wordt in deze opgave buiten beschouwing gelaten.

De energieopbrengst wordt onder andere gebruikt voor het opladen van een elektrische auto. Alle elektriciteit die tijdens het opladen wordt opgewekt, wordt direct in de accu van de auto opgeslagen. Zo wordt de accu met enkel zonne-energie opgeladen.

VW-1025-a-25-2-o 8 / 17
lees verder

### Pagina 9

Op 31 augustus wordt het geleverde vermogen $P_{\text{B}}$ in kW tussen
zonsopkomst en zonsondergang van de zonnepanelen op dit adres in een
model benaderd met de formule:
$P_{\text{B}} = -4.8 \cos(0.23t)$
Hierbij is $t$ de tijd in uren met $t = 7$ om 7.00 uur.
De grafiek van $P_{\text{B}}$ is in figuur 3 weergegeven.

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as $P_{\text{B}}$ in kW en op de x-as $t$ in uren. De grafiek begint bij $t=0$ met een waarde van 0, stijgt naar een maximum rond $t=9$ en daalt weer naar 0 rond $t=18$.]

De energieopbrengst $E$ in kWh tussen twee tijdstippen $t_1$ en $t_2$ is te
berekenen met de integraal:
$$ E = \int_{t_1}^{t_2} P_{\text{B}} \, \mathrm{d}t \quad \text{met } t_1 < t_2 $$
Om 11.00 uur wordt de elektrische auto aan de laadpaal gekoppeld.
De accu, met opslagcapaciteit 72 kWh, is op dat tijdstip voor de helft
opgeladen.
Met behulp van de integraal $\int_{11}^{t_2} P_{\text{B}} \, \mathrm{d}t$ kan worden berekend hoe lang
het duurt tot de accu voor driekwart is opgeladen met de elektriciteit die
door de panelen is opgewekt.
5p 6 Bereken met behulp van primitiveren hoeveel minuten dat duurt. Geef je
eindantwoord als geheel getal.
VW-1025-a-25-2-o
9 / 17
lees verder ►►►

### Pagina 10

Vierkant en driehoek
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = \ln(3x)$.
In figuur 1 zijn de grafiek van $f$ en het vierkant $PQRS$ weergegeven.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt van O omhoog, de x-as loopt van O naar rechts. Er is een curve getekend die stijgt vanaf de x-as en de y-as nadert. Er is een vierkant PQRS getekend met P op de curve, Q op de x-as, R op de y-as en S ergens erboven op de y-as. De punten P en R liggen op de curve.]

Voor vierkant $PQRS$ geldt:
- elke zijde is evenwijdig met de x-as of de y-as;
- de hoekpunten $P$ en $R$ liggen op de grafiek van $f$;
- de x-coördinaat van $R$ is drie keer zo groot als de x-coördinaat $p$ van $P$.

4p 7 Bereken algebraïsch de coördinaten van $P$. Geef je eindantwoorden in twee decimalen.

De lijn met vergelijking $y = a$ snijdt de y-as in punt $A$ en de grafiek van $f$ in punt $B$. De raaklijn in het punt $B$ aan de grafiek van $f$ snijdt de y-as in punt $C$. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt van O omhoog, de x-as loopt van O naar rechts. Er is een curve getekend die stijgt vanaf de x-as en de y-as nadert. Er is een horizontale lijn getekend die de y-as snijdt in punt A. Er is een punt B op de curve getekend. Er is een raaklijn getekend aan de curve in punt B, die de y-as snijdt in punt C. Punt A ligt tussen O en C.]

Er geldt: voor elke waarde van $a$ heeft lijnstuk $AC$ lengte 1.

4p 8 Bewijs dit.

VW-1025-a-25-2-o
lees verder

### Pagina 11

De lijn door $A$ loodrecht op de raaklijn $BC$ snijdt deze raaklijn in punt $D$.
In figuur 3 is voor een waarde van $a$ de rechthoekige driehoek $ACD$ grijs
weergegeven.

figuur 3

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. De y-as heeft een markering bij 1. De x-as heeft een markering bij O. Er is een curve getekend. Een punt A is op de y-as getekend. Een lijn y = a snijdt de y-as en de curve, de snijpunten zijn A en B. Er is een lijn getekend die door A gaat en loodrecht op de lijn BC staat. Het snijpunt met BC is D. De lijn BC is een raaklijn aan de curve in het punt dat een y-coördinaat heeft dat gelijk is aan a. Het punt C ligt op de y-as, onder A. Er is een grijze driehoek getekend met hoekpunten A, C en D. Er staat ook een lijn getekend met het label f.]

Als $a$ varieert, varieert de lengte van zijde $CD$.
Als $L$ de lengte van zijde $CD$ is, dan geldt voor de oppervlakte van de
driehoek:

$Opp(ACD) = \frac{1}{2} \sqrt{L^2 - L^4}$

3p 9 Bewijs dit.

5p 10 Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek $ACD$.

VW-1025-a-25-2-o 11 / 17 lees verder ► ► ►

### Pagina 12

Twee lijnstukken met eindpunt P
Gegeven zijn de punten $A(5,4)$ en $B(8,5)$. Verder is een punt $P(p,q)$ gegeven dat niet samenvalt met $A$ of $B$.
In figuur 1 en 2 zijn voor twee posities van P de lijnstukken $AP$ en $BP$ getekend.

figuur 1
[FIGUUR: Een assenstelsel met de oorsprong O. De x-as en y-as zijn getekend. Punt A ligt in het eerste kwadrant. Punt B ligt in het eerste kwadrant. Punt P ligt in het eerste kwadrant, verder weg van de oorsprong dan A en B. Lijnstuk AP en lijnstuk BP zijn getekend.]

figuur 2
[FIGUUR: Een assenstelsel met de oorsprong O. De x-as en y-as zijn getekend. Punt A ligt in het eerste kwadrant. Punt B ligt in het eerste kwadrant. Punt P ligt in het eerste kwadrant, dichter bij de oorsprong dan A en B. Lijnstuk AP en lijnstuk BP zijn getekend.]

Punt $P$ kan zo worden gekozen, dat $P$ op de $x$-as ligt en $AP$ en $BP$ even lang zijn.
3p 11 Bereken exact de $x$-coördinaat van $P$ waarbij dit het geval is.

VW-1025-a-25-2-o 12 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 13

Vector $\vec{AP}$ wordt $90^\circ$ tegen de klok in om $A$ gedraaid. Het resultaat is
vector $\vec{AC}$.
Vector $\vec{BP}$ wordt $90^\circ$ met de klok mee om $B$ gedraaid. Het resultaat is
vector $\vec{BD}$.
Punt $M$ is het midden van lijnstuk $CD$.
In figuur 3 en 4 zijn voor twee posities van $P$ de vectoren $\vec{AP}$, $\vec{AC}$, $\vec{BP}$
en $\vec{BD}$ weergegeven. Ook zijn het lijnstuk $CD$ en punt $M$ weergegeven.

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met een y-as en een x-as. Op de grafiek zijn de punten C, A, M en P weergegeven, verbonden door lijnstukken die een driehoek CA P vormen. Het punt B ligt op het lijnstuk A M en er is een loodrechte hoek aangegeven bij B, wat aangeeft dat AB loodrecht staat op BP. Er is ook een lijnstuk C D weergegeven, en M is het midden van C D.]

figuur 4
[FIGUUR: Een grafiek met een y-as en een x-as. Op de grafiek zijn de punten C, A, M, B en P weergegeven, verbonden door lijnstukken die een driehoek CA P vormen. Het punt B ligt buiten de driehoek CAP. Er is een loodrechte hoek aangegeven bij B, wat aangeeft dat AB loodrecht staat op BP. Er is ook een lijnstuk C D weergegeven, en M is het midden van C D.]

De coördinaten van $M$ zijn onafhankelijk van de positie van punt $P$.
6p 12 Bewijs dit.

### Pagina 14

Wortel en sinus
De functies f en g worden gegeven door $f(x) = \sqrt{x}$ en $g(x) = \sqrt{x+\sin(x)}$.
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegegeven.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met y-as en x-as. De grafiek van f begint in de oorsprong en stijgt. De grafiek van g start ook in de oorsprong, stijgt iets sneller dan f en heeft meer golvingen. Snijpunten S1, S2, S3, S4 zijn aangegeven op de grafieken.]

De oorsprong O is een gemeenschappelijk punt van de twee grafieken.
Verder snijden de grafieken elkaar achtereenvolgens in de punten $S_1, S_2, S_3, \ldots$.

In figuur 2 is een deel van
figuur 1 rondom S2
vergroot weergegeven.
In deze figuur zijn de raaklijnen
in $S_2$ aan de grafiek van f en de
grafiek van g gestippeld weergegeven.

figuur 2
[FIGUUR: Een uitvergroting van een deel van de grafieken uit figuur 1 rondom snijpunt S2. De grafiek van f en g zijn zichtbaar, samen met gestippelde lijnen die de raaklijnen voorstellen.]

De helling van de grafiek van f in $S_2$ is gelijk aan $\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}$. De helling van
de grafiek van g in $S_2$ is $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, dus twee keer zo groot.

Als n een even getal is, geldt:
In de snijpunten $S_n$ is de helling van de grafiek van g twee keer zo groot
als de helling van de grafiek van f.
7p 13 Bewijs deze eigenschap.

VW-1025-a-25-2-o 14 / 17 lees verder

### Pagina 15

Drie keer over de lijn

Voor $x \ge 0$ en $a > 1\frac{1}{2}$ wordt de functie $f_a$ gegeven door:
$$f_a(x) = |a - x^2| \cdot x + 3x$$
De grafiek van $f_a$ heeft een knik met x-coördinaat $\sqrt{a}$. Deze knik verdeelt de grafiek van $f_a$ in twee delen. Links van deze knik bevindt zich een top van de grafiek van $f_a$.
De y-coördinaat van deze top is te schrijven als:
$$y_{top} = 2(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$$
5p 14 Bewijs dit.

In de figuur zijn de grafieken van $f_8$, $f_{20}$ en $f_{32}$ en de lijn $l$ met vergelijking $y = 16$ weergegeven.

[FIGUUR: Drie grafieken van functies $f_a$ voor verschillende waarden van $a$. De x-as loopt van 0 tot ongeveer 18, de y-as van 0 tot ongeveer 20. De eerste grafiek is voor $f_8$, begint bij de oorsprong, stijgt en heeft een knik bij x=ongeveer 2.8. De lijn $l$ snijdt deze grafiek bij y=16. De tweede grafiek is voor $f_{20}$, begint bij de oorsprong, stijgt en heeft een top. De lijn $l$ snijdt deze grafiek bij y=16. De derde grafiek is voor $f_{32}$, begint bij de oorsprong, stijgt en heeft een top. De lijn $l$ snijdt deze grafiek bij y=16.]

Als $a$ toeneemt, neemt de y-coördinaat $2(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$ van de top toe.
Ook de y-coördinaat $f_a(\sqrt{a})$ van de knik neemt dan toe.
Het aantal gemeenschappelijke punten van de grafiek van $f_a$ en lijn $l$ hangt af van deze y-coördinaten. Zo snijden de grafiek van $f_a$ en lijn $l$ elkaar in één punt. De grafiek van $f_{20}$ snijdt lijn $l$ in drie punten en de grafiek van $f_{32}$ snijdt lijn $l$ in één punt.
De waarden van $a$ waarvoor de grafiek van $f_a$ en lijn $l$ drie snijpunten hebben, vormen een interval.
5p 15 Bereken exact dit interval.

VW-1025-a-25-2-o 15 / 17 lees verder ► ► ►

### Pagina 16

Vlakdeel en rakende cirkel
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = \frac{10e^x}{e^x+1} - x - 1$.
In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. Een curve $f$ loopt van linksboven, maakt een buiging naar beneden en dan weer omhoog. Een lijn $k$ snijdt de y-as op punt $D$ en raakt de curve $f$. Er wordt een ingekleurd vlak $V$ gevormd tussen de lijn $k$ en de curve $f$, begrensd door de y-as en de lijn $x=E$, waarbij $E$ de snijpunt van de lijn $k$ met de x-as is. De curve $f$ snijdt de y-as op $D$ en de x-as op $E$.]
3p 16 De grafiek van $f$ snijdt de y-as in het punt $D$.
De lijn $k$ met vergelijking $y = 1\frac{1}{2}x + 4$ raakt de grafiek van $f$ in $D$. $D$ is het
enige punt van de grafiek van $f$ dat op $k$ ligt.
De grafiek van $f$ snijdt de x-as in het punt $E$.
$V$ is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$, lijn $k$ en de
verticale lijn door $E$. $V$ wordt om de x-as gewenteld.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als $V$ om de
x-as wordt gewenteld. Geef je eindantwoord als geheel getal.
VW-1025-a-25-2-o
16 / 17
lees verder

### Pagina 17

De grafiek van $f$ heeft twee scheve asymptoten met richtingscoëfficiënt -1.
In figuur 2 is de grafiek van $f$ met deze asymptoten weergegeven.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De grafiek van f is een curve die nadert tot twee stippellijnen die schuine asymptoten voorstellen. Een schuine asymptoot loopt van linksboven naar rechtsonder met een negatieve helling. De andere schuine asymptoot loopt van linksboven naar rechtsonder met een negatieve helling, en lijkt de andere asymptoot te kruisen. De curve f nadert deze twee lijnen.]

Vergelijkingen van de scheve asymptoten zijn $y = -x - 1$ en $y = -x + 9$.

3p 17 Bewijs dit.

In figuur 3 zijn de twee scheve asymptoten van de grafiek van $f$
weergegeven. Ook is de cirkel met middelpunt $M$ onder de x-as
weergegeven. Deze cirkel raakt aan beide scheve asymptoten en
aan de x-as.

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Twee stippellijnen die schuine asymptoten voorstellen met negatieve helling. Een cirkel is getekend die de twee stippellijnen en de x-as raakt. Het middelpunt van de cirkel is gemarkeerd met een stip en de letter M.]

4p 18 Bereken exact de coördinaten van $M$.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.

VW-1025-a-25-2-o

17 / 17

einde