# Eindexamen Wiskunde B VWO 2025 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1

## Vraag 1 – Bewijs y-coördinaat buigpunten (4 punten)

De vierdegraadsfunctie f wordt gegeven door f(x) = x⁴ – 30x². 
De grafiek van f heeft twee buigpunten met dezelfde y-coördinaat. 
De y-coördinaat van de buigpunten is –125.

Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten –125 is.

Wat kun je verwachten: Je moet hier algebraïsch bewijzen dat de y-coördinaat van de buigpunten van een gegeven functie gelijk is aan -125. Dit doe je door de tweede afgeleide te bepalen en gelijk te stellen aan nul.

Wat moet je kennen: Om buigpunten te vinden, moet je de functie twee keer differentiëren. De buigpunten zijn de x-waarden waar de tweede afgeleide nul is (en van teken wisselt).

Waar op letten: Let goed op dat je de x-waarde uit de tweede afgeleide invult in de ÓRIGINELE functie om de y-coördinaat van het buigpunt te vinden.

Kernbegrippen: differentiëren, tweede afgeleide, buigpunten, algebraïsch bewijzen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de eerste afgeleide (voor extrema) met de tweede afgeleide (voor buigpunten).
- Reken- of tekenfout bij het differentiëren.
- Fout bij het substitueren van x²=5 in de functie f(x)=x⁴-30x².

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Afstand tussen twee snijpunten berekenen (4 punten)

Bereken exact de lengte van AD.

Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaten van specifieke snijpunten van een functie met een lijn bepalen en vervolgens de afstand tussen deze punten berekenen.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van het oplossen van bikwadratische vergelijkingen en hoe je de afstand tussen twee punten op een lijn berekent.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste x-waarden kiest voor de punten A en D en dat je geen mogelijke oplossingen overslaat bij het worteltrekken.

Kernbegrippen: vierdegraadsfunctie, snijpunten van een functie met een lijn, bikwadratische vergelijking oplossen, afstand tussen punten

Veelgemaakte fouten:
- Bij het oplossen van x² = c de negatieve oplossing x = -√c vergeten.
- De verkeerde x-waarden kiezen voor de punten A en D (bijvoorbeeld de binnenste in plaats van de buitenste).
- Een rekenfout maken bij het oplossen van de vierdegraadsvergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Coördinaten verticale raaklijn parametrische kromme (6 punten)

In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal. Bereken exact de coördinaten van deze drie punten.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je de punten van een parametrische kromme vinden waar de raaklijn verticaal loopt. Dit betekent dat de x-component van de raaklijn (de afgeleide van x(t)) nul moet zijn, terwijl de y-component (de afgeleide van y(t)) niet nul is.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van differentiëren van goniometrische functies (productregel!) en het oplossen van goniometrische vergelijkingen.

Waar op letten: Let goed op dat je de x-afgeleide (x'(t)) gelijkstelt aan nul en niet de y-afgeleide (y'(t)), en zorg dat je alle oplossingen van de goniometrische vergelijking vindt.

Kernbegrippen: parametrische kromme, differentiëren met de productregel, verticale raaklijn, goniometrische vergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij toepassen van de productregel op x(t).
- De voorwaarde voor een verticale raaklijn verwarren met die voor een horizontale raaklijn (x'(t)=0 vs y'(t)=0).
- Onvolledig oplossen van de goniometrische vergelijking, bijvoorbeeld de oplossing 2t = -t + k*2π vergeten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Bewijs met parametrische en cartesische vergelijking (4 punten)

Voor de punten op kromme K geldt:
x² = -y⁴ + 2y³ - 2y + 1
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat een gegeven verband tussen x en y klopt, door gebruik te maken van de parametervoorstelling en goniometrische identiteiten.

Wat moet je kennen: Het omzetten van parametervoorstellingen naar een cartesische vergelijking en het correct toepassen van de goniometrische identiteit sin²(t) + cos²(t) = 1.

Waar op letten: Let goed op met het uitwerken van de haakjes en de mintekens; dit is een veelvoorkomende foutbron.

Kernbegrippen: parametrische vergelijkingen, cartesische vergelijking, goniometrische identiteiten, algebraïsch bewijs

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het uitwerken van de haakjes, met name van (y-1)².
- Vergeten van de goniometrische identiteit sin²(t) + cos²(t) = 1.
- Teken- of algebrafouten bij het herleiden van de uitdrukking (1-y²)(y-1)².

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Inhoud van druppelvormig omwentelingslichaam (4 punten)

Kromme K sluit een vlakdeel in dat symmetrisch is in de y-as. Door dit vlakdeel te wentelen om de y-as ontstaat een omwentelingslichaam in de vorm van een druppel.
Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je kennis van integreren om de inhoud van een omwentelingslichaam te berekenen, specifiek bij een omwenteling om de y-as.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de inhoud van een omwentelingslichaam om de y-as kennen en goed kunnen primitiveren.

Waar op letten: Let er goed op dat je de juiste integratiegrenzen gebruikt en geen fouten maakt bij het primitiveren.

Kernbegrippen: inhoud omwentelingslichaam, omwenteling om de y-as, integreren, primitiveren van een polynoom

Veelgemaakte fouten:
- De formule voor omwenteling om de x-as gebruiken in plaats van de y-as.
- Onjuiste integratiegrenzen bepalen.
- Fouten maken bij het primitiveren van de polynoom.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Bewijs MS = √9−6r (3 punten)

Er geldt: MS = √9−6r.
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om een gegeven formule (MS = √9−6r) te bewijzen door gebruik te maken van de informatie uit een figuur, meestal een geometrische constructie.

Wat moet je kennen: Je moet goed zijn in cirkelmeetkunde, waaronder cirkels en raaklijnen, en de Stelling van Pythagoras kunnen toepassen. Ook is algebraïsch herleiden belangrijk.

Waar op letten: Let goed op de correcte bepaling van de lengte van de verschillende zijden, vooral bij het verschil tussen 3 en r, en wees nauwkeurig met het kwadrateren (denk aan (a-b)² = a²-2ab+b²).

Kernbegrippen: cirkelmeetkunde, stelling van Pythagoras, afstanden in het vlak, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect bepalen van de lengte van de hypotenusa MP (bijvoorbeeld 3+r in plaats van 3-r).
- Fout bij het uitwerken van de haakjes van (3-r)², bijvoorbeeld 9-r².
- De rechthoekige driehoek MSP niet herkennen in de figuur.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Coördinaten en de Stelling van Pythagoras (6 punten)

Bereken exact de waarde van r. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Je moet de waarde van 'r' berekenen door afstanden tussen punten van cirkels te vinden en deze te gebruiken in de Stelling van Pythagoras.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van de Stelling van Pythagoras, coördinatenstelsels en hoe je wortelvergelijkingen oplost.

Waar op letten: Let goed op het correct uitwerken van de kwadraten, vooral als er wortels en plussommen in voorkomen, en controleer altijd je oplossingen bij wortelvergelijkingen.

Kernbegrippen: Stelling van Pythagoras, Eigenschappen van rakende cirkels, Wortelvergelijking oplossen, Afstanden in het vlak

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het algebraïsch uitwerken van de haakjes, met name (√9−6r + 1)².
- Vergeten de oplossingen van de wortelvergelijking te controleren, waardoor r=0 ten onrechte als geldige oplossing wordt gezien.
- Incorrect afleiden van de lengtes van de zijden van driehoek NSP uit de figuur en de gegevens.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Bewijs van inverse functies (3 punten)

Voor x ≥ 0 worden de functies f en g gegeven door f(x) = √½x²−1 en g(x) = √2x²+2. De functies f en g zijn elkaars inverse.

Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je begrip van inverse functies en hoe je dit algebraïsch bewijst. Je moet laten zien dat de ene functie de inverse is van de andere.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van inverse functies kennen: f(g(x)) = x of g(f(x)) = x, OF dat je x en y verwisselt en naar y herleidt. Ook is kennis van het herleiden van wortelfuncties belangrijk.

Waar op letten: Let goed op het weglaten van ongeldige oplossingen (zoals negatieve wortels) en vermeld dit expliciet in je bewijs.

Kernbegrippen: inverse functies, bewijsvoering, algebraïsch herleiden, wortelfuncties

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de negatieve oplossing van de wortel te verwerpen op basis van het domein of bereik.
- Een rekenfout maken bij het kwadrateren of isoleren van y.
- De conclusie niet expliciet vermelden na het herleiden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Minimale lengte van een lijnstuk berekenen (5 punten)

De lengte van lijnstuk PQ is afhankelijk van a.
Er geldt: PQ = 3a√2 - 4√a² - 1.
Er is een waarde van a waarvoor de lengte van lijnstuk PQ minimaal is.
Bereken exact deze waarde van a.

Wat kun je verwachten: Je moet de waarde van een variabele berekenen waarbij een bepaalde grootheid (hier: de lengte van een lijnstuk) minimaal is.

Wat moet je kennen: Je gebruikt differentiatie om de minimale waarde te vinden, inclusief de ketenregel voor wortelfuncties, en daarna algebra om de vergelijking op te lossen.

Waar op letten: Let goed op de ketenregel bij het differentiëren en controleer altijd of je oplossingen voldoen aan een eventueel gegeven domein.

Kernbegrippen: differentiëren, ketenregel, extremum bepalen, algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout in de ketenregel bij het differentiëren van de wortelfunctie.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking met wortels.
- De negatieve oplossing voor a niet uitsluiten op basis van het gegeven domein a ≥ √2.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Oppervlakte van vlakdeel met integralen (6 punten)

In figuur 2 zijn opnieuw de grafieken van f, g en k weergegeven, nu voor a = 17. Lijn k snijdt de grafiek van f in het punt (10, 7).
Vlakdeel V is het gebied dat begrensd wordt door de grafieken van f en g, de x-as, de y-as en lijn k. In figuur 2 is V grijs gemaakt.

10 Bereken de oppervlakte van V. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je vermogen om de oppervlakte van een complex vlakdeel te berekenen. Je moet hiervoor integralen op de juiste manier toepassen en rekening houden met verschillende functies die het vlakdeel begrenzen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van integreren kennen om de oppervlakte tussen grafieken te bepalen, inclusief het vinden van snijpunten en de grenzen van je integralen.

Waar op letten: Let goed op welke functie 'boven' en welke 'onder' ligt, en op de precieze grenzen van de verschillende vlakdelen. Een rekenfout of verkeerde invoer in je GR is snel gemaakt.

Kernbegrippen: oppervlakte tussen krommen, bepaalde integraal, snijpunten van grafieken, numeriek integreren

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte grenzen voor de integralen kiezen.
- De 'boven'- en 'onder'-functie verkeerd identificeren in de verschillende intervallen.
- Fouten bij het invoeren van de functies of integralen in de grafische rekenmachine.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op twee decimalen zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Amplitude en evenwichtsstand bepalen (3 punten)

Laat met behulp van het gegeven model van het blokje en figuur 1 zien dat voor de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm geldt: de amplitude is 50 en de evenwichtsstand is 250.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je aantonen dat de amplitude 50 is en de evenwichtsstand 250 voor de veer, gebaseerd op het model van een blokje.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je amplitude en evenwichtsstand afleidt uit maximale en minimale waardes van een harmonische trilling, of hoe een sinusfunctie in elkaar zit.

Waar op letten: Let goed op dat je het verschil ziet tussen de hoogte van het blokje en de hoogte van het zwaartepunt van de veer.

Kernbegrippen: harmonische trilling, amplitude, evenwichtsstand, sinusfunctie, extreme waarden

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen de hoogte van het blokje (Z_blokje) en de hoogte van het zwaartepunt van de veer (Z_veer).
- Foutieve berekening van de extreme waarden van Z_blokje.
- Onjuiste toepassing van de formules voor evenwichtsstand en amplitude uit de maximale en minimale waarde.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Snelheid en hoogte van een blokje (3 punten)

Tijdens de opgaande beweging zijn er twee hoogtes waarop de snelheid van het blokje gelijk is aan 255 cm/seconde.

Bereken deze twee hoogtes. Geef je eindantwoord in centimeters nauwkeurig.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je begrip van beweging. Je moet bepalen op welke hoogtes een bewegend blokje een bepaalde snelheid heeft.

Wat moet je kennen: Je moet kunnen differentiëren om de snelheid te bepalen en goniometrische vergelijkingen kunnen oplossen.

Waar op letten: Let goed op dat je de ketenregel toepast bij het differentiëren en dat je alle oplossingen van de goniometrische vergelijking vindt.

Kernbegrippen: differentiëren met de ketenregel, goniometrische vergelijking oplossen, verband tussen positie en snelheid, Differentiëren met de ketenregel, Goniometrische vergelijking oplossen, Verband tussen positie en snelheid

Veelgemaakte fouten:
- De ketenregel vergeten bij het differentiëren van cos(4t).
- Rekenmachine in graden-modus gebruiken in plaats van radialen.
- Slechts één oplossing voor de goniometrische vergelijking vinden (bijv. de oplossing π - a vergeten).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Gewogen gemiddelde zwaartepunt met goniometrie (3 punten)

Stel een formule op van Z_totaal in de vorm Z_totaal(t) = a + b cos(4t). Licht je werkwijze toe.

Wat kun je verwachten: Je moet een formule opstellen voor het zwaartepunt van een combinatie van objecten, waarbij de formules van de individuele objecten goniometrische functies zijn. Het komt neer op het maken van een gewogen gemiddelde.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gewogen gemiddelde berekent en hoe je goniometrische functies algebraïsch herleidt.

Waar op letten: Let goed op dat je een gewogen gemiddelde berekent en niet zomaar de functies bij elkaar optelt. Verwar de gewichten (massa's) niet.

Kernbegrippen: zwaartepunt, gewogen gemiddelde, goniometrische functies, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten een gewogen gemiddelde te gebruiken en de functies ongewogen optellen.
- De gewichten (massa's) verwisselen.
- Een rekenfout maken bij het algebraïsch herleiden van de samengestelde functie.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Loodrechte projectie bewijzen (4 punten)

Voor een willekeurig punt P op de middelloodlijn van AB geldt: P(p, 3p+32).
De loodrechte projectie van punt P op lijn k is P'. Zie de figuur.
De coördinaten van P' zijn (-p-6, p+26).

14 Bewijs dat de coördinaten van P' juist zijn.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat de gegeven coördinaten van P' kloppen door de loodrechte projectie van P op lijn k te berekenen. Het idee is om de coördinaten die jij berekent, te vergelijken met de voorgestelde coördinaten.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking opstelt van een lijn loodrecht op een andere lijn, door een gegeven punt, en hoe je het snijpunt van twee lijnen bepaalt.

Waar op letten: Let goed op algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijkingen en het omschrijven van de richtingscoëfficiënten.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, vectorvoorstelling van een lijn, loodrechte lijnen, snijpunt van lijnen, bewijsvoering

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het bepalen van de loodrechte richtingsvector of richtingscoëfficiënt.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van het stelsel van vergelijkingen.
- Verkeerd omzetten van een vectorvoorstelling naar een vergelijking van een lijn.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Coördinaten middelpunt cirkel (5 punten)

Bereken exact de coördinaten van M₁ en M₂.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je inzicht in coördinaten en de afstandsformule. Je moet de stappen volgen van het opstellen van vergelijkingen tot het berekenen van de uiteindelijke coördinaten.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van de afstandsformule (om afstanden tussen punten te berekenen) en hoe je kwadratische vergelijkingen oplost.

Waar op letten: Let goed op je algebraïsche herleidingen en vergeet niet om de berekende p-waarden terug te substitueren om de uiteindelijke coördinaten van de punten te vinden.

Kernbegrippen: afstandsformule, coördinatenmeetkunde, kwadratische vergelijkingen oplossen, eigenschappen van cirkels en raaklijnen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfouten bij het toepassen van de afstandsformule.
- Algebraïsche fouten bij het herleiden van de vergelijking PP'² = PB².
- Vergeten de gevonden p-waarden terug te substitueren om de coördinaten te berekenen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Coördinaten en afstanden berekenen (4 punten)

Voor p = 1 is er een waarde van a waarvoor geldt: OB = OA + 2.
Bereken deze waarde van a. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je de afstand van twee punten tot de oorsprong berekenen en vervolgens een specifieke vergelijking oplossen met je grafische rekenmachine (GR).

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van de afstandsformule (Stelling van Pythagoras) en hoe je numeriek vergelijkingen oplost met je GR, inclusief de omgang met logaritmische functies.

Waar op letten: Let er goed op dat je de afstanden van de punten A en B niet verwisselt en dat je de correcte invoer gebruikt voor je GR.

Kernbegrippen: afstandsformule, logaritmische functies, vergelijking numeriek oplossen, stelling van Pythagoras

Veelgemaakte fouten:
- Verwisselen van de afstanden OA en OB in de vergelijking.
- Foutief toepassen van de afstandsformule, bijvoorbeeld de coördinaten niet kwadrateren.
- Invoerfout bij het numeriek oplossen met de grafische rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Limiet van logaritmische afstand (4 punten)

Voor een bepaalde waarde van p geldt:
als a onbegrensd toeneemt, nadert de afstand AB tot 1.
Bereken exact deze waarde van p.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je begrip van logaritmes en hoe je limieten toepast op functies die naar oneindig gaan. Je moet een onbekende variabele (p) exact berekenen.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van logaritmische rekenregels, het berekenen van limieten (vooral als 'a' naar oneindig gaat) en hoe je logaritmische vergelijkingen oplost.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de logaritmeregels; een veelgemaakte fout is het verkeerd omzetten van een verschil van logaritmes naar een quotiënt.

Kernbegrippen: logaritmische functies, rekenregels voor logaritmen, limieten, algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve toepassing van logaritmeregels, bijvoorbeeld ln(x) - ln(y) = ln(x-y).
- Moeite met het bepalen van de limiet van een gebroken functie.
- Verkeerd oplossen van de logaritmische vergelijking ln(x) = 1.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Raaklijn en logaritmische functies (6 punten)

De functie h_q wordt gegeven door h_q(x) = 1/2 ln(-x) + q.
In figuur 2 is voor een bepaalde waarde van q de grafiek van h_q weergegeven. Voor deze waarde van q raakt de grafiek van h_q de grafiek van f links van de y-as.
Bereken algebraïsch deze waarde van q. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je moet hier een waarde berekenen zodat twee logaritmische functies elkaar raken. Dit doe je door de afgeleiden aan elkaar gelijk te stellen.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van differentiëren van logaritmische functies en hoe je raakpunten van grafieken berekent. Let goed op het domein van de functies.

Waar op letten: Een veelgemaakte fout is het verkeerd omgaan met de absolute waarde bij de functie f(x), vooral het bepalen van de juiste afgeleide als x negatief is.

Kernbegrippen: differentiëren van logaritmische functies, raakpunt van twee grafieken, absolute waarde functie, algebraïsch oplossen van vergelijkingen, Differentiëren van logaritmische functies, Raakpunt van grafieken, Absolute waarde, Algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- De absolute waarde bij f(x) verkeerd interpreteren voor x < 0, en daardoor met de verkeerde afgeleide rekenen.
- Een fout maken bij het toepassen van de ketenregel op ln(-x).
- Een rekenfout maken bij het oplossen van de vergelijking met breuken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2025
tijdvak 1
woensdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-25-1-o

### Pagina 2

Formules
Goniometrie
$\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$
$\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$
$\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$
$\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$
$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$
$\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$
VW-1025-a-25-1-o
2 / 11
lees verder ►►►

### Pagina 3

Vierdegraadsfunctie
De vierdegraadsfunctie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x^4 - 30x^2$.
De grafiek van $f$ heeft twee buigpunten met dezelfde $y$-coördinaat.
De $y$-coördinaat van de buigpunten is $-125$.

4p 1 Bewijs dat de $y$-coördinaat van de buigpunten $-125$ is.
De lijn door de buigpunten $B$ en $C$ snijdt de grafiek van $f$ in twee andere
punten, $A$ en $D$. Zie de figuur.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek van een vierdegraadsfunctie, symmetrisch ten opzichte van de y-as. De grafiek heeft twee lokale minima en één lokaal maximum bij de oorsprong. De x-as en y-as zijn getekend, evenals een horizontale lijn die twee lokale minima snijdt. De snijpunten met de grafiek zijn gelabeld als A, B, C en D, waarbij B en C de lokale minima zijn.]

4p 2 Bereken exact de lengte van $AD$.
VW-1025-a-25-1-o 3 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Druppel

De kromme $K$ wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = \sin(t) \cdot (\cos(t) - 1) \\
y(t) = \cos(t)
\end{cases}
\quad \text{met } 0 \le t \le 2\pi
$$
Deze kromme is weergegeven in de figuur.

[FIGUUR: Een curve in een xy-assenstelsel die lijkt op een druppelvorm. De curve begint bovenaan de y-as, buigt naar links, dan naar beneden en weer naar rechts, om de x-as te kruisen, en eindigt weer bovenaan de y-as.]

figuur

6p 3 In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal.
Bereken exact de coördinaten van deze drie punten.

Voor de punten op kromme $K$ geldt:
$$x^2 = -y^4 + 2y^3 - 2y + 1$$

4p 4 Bewijs dit.

Kromme $K$ sluit een vlakdeel in dat symmetrisch is in de $y$-as. Door dit
vlakdeel te wentelen om de $y$-as ontstaat een omwentelingslichaam in de
vorm van een druppel.

4p 5 Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.

VW-1025-a-25-1-o 4 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Cirkels in een cirkel

Gegeven is de cirkel $c_1$ met middelpunt $M$ en straal 3.
Verder zijn gegeven de cirkels $c_2$, $c_3$ en $c_4$, zó dat geldt:
- Cirkels $c_2$, $c_3$ en $c_4$ raken cirkel $c_1$.
- Cirkel $c_2$ heeft middelpunt $N$ en straal 2.
- Cirkel $c_3$ heeft middelpunt $P$ en straal $r$.
- Cirkel $c_4$ heeft middelpunt $Q$ en straal $r$.
- Cirkels $c_3$ en $c_4$ raken elkaar in punt $S$.
- Cirkels $c_3$ en $c_4$ raken $c_2$.

Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
[FIGUUR: Een diagram met vier cirkels, genummerd $c_1, c_2, c_3, c_4$. Cirkel $c_1$ is de grootste en bevat de andere cirkels. $M$ is het middelpunt van $c_1$. $N$ is het middelpunt van $c_2$. $P$ is het middelpunt van $c_3$. $Q$ is het middelpunt van $c_4$. $S$ is het snijpunt van $c_3$ en $c_4$, en ligt ook op de lijn $PQ$. De cirkels $c_2, c_3, c_4$ raken elkaar en $c_1$.]

Er geldt: $MS = \sqrt{9-6r}$

6 (3p) Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Er geldt verder dat $MN = 1$.

7 (6p) Bereken exact de waarde van $r$. Je kunt hierbij gebruikmaken van de
figuur op de uitwerkbijlage.

VW-1025-a-25-1-o 5 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Een wortelfunctie en haar inverse
Voor $x \ge 0$ worden de functies $f$ en $g$ gegeven door $f(x) = \sqrt{\frac{1}{2}x^2-1}$ en $g(x) = \sqrt{2x^2+2}$. De functies $f$ en $g$ zijn elkaars inverse.

3p 8 Bewijs dat $f$ en $g$ elkaars inverse zijn.
Lijn $k$ met vergelijking $y = -x + a$, met $a \ge \sqrt{2}$, snijdt de grafiek van $f$ in punt $P$ en de grafiek van $g$ in punt $Q$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onderaan. De grafiek toont twee krommen, aangeduid als f en g, en een gestippelde rechte lijn k. Op de grafiek zijn de punten P en Q aangegeven op de lijnen f en g, waar lijn k ze snijdt. De oorsprong is aangegeven met O.]

De lengte van lijnstuk $PQ$ is afhankelijk van $a$.
Er geldt: $PQ = \sqrt{3a - \sqrt{2 - 4a^2 - 1}}$
Er is een waarde van $a$ waarvoor de lengte van lijnstuk $PQ$ minimaal is.
5p 9 Bereken exact deze waarde van $a$.
VW-1025-a-25-1-o 6 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 7

In figuur 2 zijn opnieuw de grafieken van $f$, $g$ en $k$ weergegeven, nu voor $a = 17$. Lijn $k$ snijdt de grafiek van $f$ in het punt $(10, 7)$.
Vlakdeel $V$ is het gebied dat begrensd wordt door de grafieken van $f$ en $g$, de x-as, de y-as en lijn $k$. In figuur 2 is $V$ grijs gemaakt.

figuur 2
[FIGUUR: Een assenstelsel met de x- en y-as. De oorsprong is aangeduid met O. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal. Er zijn drie grafieken getekend: f, g en k. Grafiek f begint in de buurt van de y-as bij een positieve y-waarde en stijgt langzaam. Grafiek g stijgt sneller dan f en begint bij de oorsprong. Grafiek k is een rechte lijn die de grafieken f en g snijdt. Het gebied V is gearceerd en ligt tussen de grafieken f en g, en wordt begrensd door de x-as, de y-as en de lijn k. De lijn k snijdt de grafiek van f in het punt (10, 7).]

6p 10 Bereken de oppervlakte van $V$. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

VW-1025-a-25-1-o 7 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Op en neer
Twee leerlingen doen als volgt een onderzoek voor hun profielwerkstuk:
Een metalen blokje hangt
aan een lange veer die is
bevestigd aan een plafond
op een hoogte van 350 cm.
Het blokje wordt recht naar
beneden getrokken en op
$t=0$ losgelaten. Het blokje
beweegt vervolgens op en
neer. Zie figuur 1.
De afmetingen van het
blokje en de wrijvingskracht
worden verwaarloosd.

Zowel het blokje als de veer heeft een zwaartepunt. In deze opgave
bekijken we eerst de zwaartepunten van het blokje en de veer apart.

De hoogte van het zwaartepunt van het blokje wordt benaderd door het
volgende model: $Z_{\text{blokje}}(t) = 150 - 100 \cos(4t)$
Hierbij is $Z_{\text{blokje}}$ de hoogte van het zwaartepunt van het blokje in cm en
$t$ de tijd in seconden.

Het zwaartepunt van de veer bevindt zich op elk moment in het midden
van de veer.

3p 11 Laat met behulp van het gegeven model van het blokje en figuur 1 zien
dat voor de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm geldt: de
amplitude is 50 en de evenwichtsstand is 250.

[FIGUUR: Twee schema's van een veer die aan een plafond hangt. In het linker schema hangt het blokje aan de veer en staat de tijd $t=0$ aangegeven. De hoogte van het plafond is 350 cm. De zwaartepunten van de veer en het blokje zijn met pijlen aangegeven. In het rechter schema is de veer uitgerekt en de tijd $t=\frac{1}{4}\pi$ aangegeven.]

VW-1025-a-25-1-o
8 / 11
lees verder ►►►

### Pagina 9

Op het moment dat het blokje in het laagste punt wordt losgelaten, is zijn
snelheid 0. Daarna neemt de snelheid toe tot de maximale snelheid, om
vervolgens weer af te nemen, totdat in het hoogste punt de snelheid weer 0
is. In figuur 2 is de grafiek van de snelheid v tijdens de opgaande beweging
weergegeven.

figuur 2

[FIGUUR: Grafiek van snelheid v tegen tijd t, met een curve die begint bij (0,0), stijgt tot een maximum en vervolgens daalt naar een punt op de t-as.]

Tijdens de opgaande beweging zijn er twee hoogtes waarop de snelheid
van het blokje gelijk is aan 255 cm/seconde.
3p 12 Bereken deze twee hoogtes. Geef je eindantwoord in centimeters
nauwkeurig.

De hoogte van het zwaartepunt van de veer wordt benaderd door het
volgende model: $Z_{\text{veer}}(t) = 250 - 50 \cos(4t)$
Hierbij is $Z_{\text{veer}}$ de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm en $t$ de tijd
in seconden.

Er kan ook gekeken worden naar het zwaartepunt van het blokje en de veer
samen. De massa van de veer is 600 gram en de massa van het blokje is
1000 gram. $Z_{\text{totaal}}$ is de hoogte van het zwaartepunt van blokje en veer
samen.
3p 13 Stel een formule op van $Z_{\text{totaal}}$ in de vorm $Z_{\text{totaal}}(t) = a + b \cos(4t)$. Licht je
werkwijze toe.

VW-1025-a-25-1-o 9 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 10

Een raaklijn met twee cirkels
Gegeven zijn de punten $A(-6,-6)$ en $B(-18,-2)$.
Lijn $k$ is de lijn met vectorvoorstelling $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.
Er bestaan twee cirkels $c_1$ en $c_2$ die voldoen aan de volgende eisen:
- Punt $A$ en punt $B$ liggen op de cirkel.
- De cirkel raakt aan lijn $k$.
Cirkel $c_1$ heeft middelpunt $M_1$ en raakt aan lijn $k$ in het punt $R_1$.
Cirkel $c_2$ heeft middelpunt $M_2$ en raakt aan lijn $k$ in het punt $R_2$.
Zie de figuur. In de figuur is $c_2$ vanwege de grootte slechts gedeeltelijk weergegeven. Middelpunt $M_2$ valt buiten de figuur.
[FIGUUR: Een coördinatenstelsel met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Twee cirkels, $c_1$ en een deel van $c_2$, zijn getekend. Cirkel $c_1$ heeft middelpunt $M_1$ en gaat door punten $A$ en $B$. Lijn $k$ is een rechte lijn die raakt aan cirkel $c_1$ in punt $R_1$ en aan cirkel $c_2$ in punt $R_2$. Punt $P$ ligt op de middelloodlijn van $AB$ en $P'$ is de projectie van $P$ op lijn $k$. Er zijn lijnen getekend van $M_1$ naar $A$ en $B$, en van $M_2$ naar $R_2$.]
Voor een willekeurig punt $P$ op de middelloodlijn van $AB$ geldt:
$P(p, 3p + 32)$.
De loodrechte projectie van punt $P$ op lijn $k$ is $P'$. Zie de figuur.
De coördinaten van $P'$ zijn $(-p-6, p+26)$.
4p 14 Bewijs dat de coördinaten van $P'$ juist zijn.
$M_1$ en $M_2$ liggen, net als $P$, op de middelloodlijn van $AB$. Als $P$ samenvalt met $M_1$, dan geldt dat $PP'$ gelijk is aan de straal van de bijbehorende cirkel en dus ook gelijk aan $PB$ en $PA$. Met behulp hiervan kunnen de coördinaten van $M_1$ en $M_2$ worden berekend.
5p 15 Bereken exact de coördinaten van $M_1$ en $M_2$.
VW-1025-a-25-1-o 10 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 11

Logaritmische functies

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = |\ln(x+1)|$.
De functie $g_p$ wordt gegeven door $g_p(x) = \ln(px)$ voor $0 < p \le 1$.
De grafiek van $g_p$ ligt geheel onder de grafiek van $f$.

In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven. figuur 1
Ook is voor een waarde van $p$ de grafiek
van $g_p$ weergegeven.

De lijn met vergelijking $x=a$ (met $a > 0$)
snijdt de grafieken van $f$ en $g_p$ in de
punten $A$ en $B$.

Voor $p=1$ is er een waarde van $a$
waarvoor geldt: $OB = OA + 2$.
4p 16 Bereken deze waarde van $a$. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.

Voor een bepaalde waarde van $p$ geldt:
als $a$ onbegrensd toeneemt, nadert de afstand $AB$ tot $1$.
4p 17 Bereken exact deze waarde van $p$.

De functie $h_q$ wordt gegeven door figuur 2
$h_q(x) = \frac{1}{2} \ln(-x) + q$.
In figuur 2 is voor een bepaalde waarde van
$q$ de grafiek van $h_q$ weergegeven. Voor
deze waarde van $q$ raakt de grafiek van $h_q$
de grafiek van $f$ links van de $y$-as.
6p 18 Bereken algebraïsch deze waarde van $q$.
Geef je eindantwoord in twee decimalen.

[FIGUUR: Grafiek van twee logaritmische functies $f$ en $g_p$ en een verticale lijn $x=a$.]
[FIGUUR: Grafiek van twee logaritmische functies $f$ en $h_q$ in een assenstelsel.]

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1025-a-25-1-o
11 / 11