# Eindexamen Wiskunde B VWO 2024 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2

## Vraag 1 – Snijpunt van twee functies berekenen (4 punten)

De functies f en g worden gegeven door f(x) = 72 − x³ en g(x) = x√x. Het snijpunt van de grafieken van f en g is het punt S. Zie figuur 1.

4p 1 Bereken exact de coördinaten van S.

Wat kun je verwachten: Je moet het snijpunt van twee functies algebraïsch berekenen. Dit betekent dat je de functies aan elkaar gelijkstelt en de vergelijking oplost.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van het algebraïsch oplossen van vergelijkingen met machten en wortels, inclusief mogelijke substituties om het jezelf makkelijker te maken.

Waar op letten: Let goed op het domein van de functies, want niet elke wiskundige oplossing is ook een geldige oplossing in de context van de grafiek.

Kernbegrippen: snijpunt van twee functies, algebraïsch oplossen van vergelijkingen, substitutie, vergelijkingen met machten en wortels

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de negatieve oplossing voor p (of x√x) te verwerpen, die niet mogelijk is in het domein van g(x).
- Een rekenfout maken bij het oplossen van de kwadratische vergelijking.
- Moeite hebben met het oplossen van de vergelijking x√x = 8, bijvoorbeeld door x√x niet te herkennen als x^(3/2).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Oppervlakte tussen raaklijn, grafiek en y-as (5 punten)

De lijn k heeft vergelijking y = -12x + 88.
Lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt P rechts van de y-as.
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, lijn k en de y-as.
In figuur 2 is dit vlakdeel grijs weergegeven.

Bereken exact de oppervlakte van V.

Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte berekenen van een vlakdeel dat wordt ingesloten door een gegeven lijn (raaklijn), een grafiek van een functie en de y-as. Dit vereist het vinden van een raakpunt, het opstellen van een integraal en het primitiveren van een functie.

Wat moet je kennen: De afgeleide van f(x) = c*x^n is f'(x) = n*c*x^(n-1).
De helling van de raaklijn aan een grafiek in een punt is gelijk aan de waarde van de afgeleide van de functie in dat punt.
De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door twee functies f(x) en g(x) en de lijnen x=a en x=b, waarbij f(x) >= g(x) op [a,b], is integraal van a tot b van (f(x) - g(x)) dx.
De primitieve van x^n is (1/(n+1))*x^(n+1) + C (voor n is niet -1).

Wat moet je kunnen: Bepaal de afgeleide van de gegeven functie f(x).
Stel de afgeleide gelijk aan de helling van de raaklijn om het x-coördinaat van het raakpunt te vinden.
Identificeer de bovenfunctie en de onderfunctie in het integratie-interval.
Stel de integraal op voor de oppervlakte en bereken deze door te primitiveren en de grenzen in te vullen.

Waar op letten: Let op het domein van het raakpunt (rechts van de y-as betekent x > 0).
Zorg ervoor dat je de bovenfunctie min de onderfunctie doet in de integraal om een positieve oppervlakte te krijgen.
Controleer je rekenwerk bij het primitiveren en het invullen van de grenzen om teken- en rekenfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn aan een grafiek, oppervlakte berekenen met een integraal, primitiveren

Veelgemaakte fouten:
- De negatieve oplossing x=-2 niet verwerpen, terwijl P rechts van de y-as ligt.
- De boven- en onderfunctie verwisselen in de integraal, wat leidt tot een negatief antwoord.
- Reken- of tekenfouten bij het primitiveren of het invullen van de grenzen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Aantonen productiefunctie (2 punten)

Toon aan dat Y = 40 ⋅ L⁰,⁷ ⋅ (50 − 2,5L)⁰,³.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een algemene productiefunctie en een budgetvergelijking. De vraag is om aan te tonen dat de productiefunctie, na substitutie van de budgetvergelijking, een specifieke vorm aanneemt. Dit is een vraag over het herleiden van vergelijkingen en substitutie.

Wat moet je kennen: Algemene productiefunctie: Y = A * L^α * K^β
Gegeven budgetvergelijking: 50 000L + 20 000K = 1 000 000

Wat moet je kunnen: Herleid de budgetvergelijking om K uit te drukken in L.
Vul de gegeven waarden voor A, α en β in de algemene productiefunctie in.
Substitueer de uitdrukking voor K (in termen van L) in de productiefunctie.

Waar op letten: Let goed op rekenfouten bij het herleiden van de budgetvergelijking, vooral bij het delen en aftrekken. Controleer of je alle gegeven constanten (A, α, β) correct invult. Zorg voor een nauwkeurige substitutie van de uitdrukking voor K.

Kernbegrippen: substitutie, herleiden van vergelijkingen, modelleren met functies

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of slordigheidsfout bij het herleiden van de budgetvergelijking.
- Vergeten de gegeven waarden voor A, α en β in te vullen in de algemene productiefunctie.
- Foutieve substitutie van de uitdrukking voor K.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Maximaal aantal voltijdbanen berekenen (5 punten)

Bereken algebraïsch hoeveel voltijdbanen de investeerder moet inzetten om de productie Y maximaal te krijgen.

Wat kun je verwachten: Je moet het maximum van een functie bepalen. Dit doe je door de afgeleide te berekenen en deze gelijk te stellen aan nul. De functie die je krijgt, is een product van twee functies, waarbij beide functies ook weer samengesteld zijn.

Wat moet je kennen: Productregel: (f*g)' = f'*g + f*g'
Kettingregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
Afgeleide van x^n: d/dx (x^n) = n*x^(n-1)

Wat moet je kunnen: De functie differentiëren met behulp van de productregel en de kettingregel.
De afgeleide gelijkstellen aan nul en de vergelijking algebraïsch oplossen.
Negatieve en gebroken exponenten correct verwerken bij het herleiden van de vergelijking.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van zowel de productregel als de kettingregel. Vergeet geen mintekens bij het differentiëren van termen met negatieve exponenten. Wees zorgvuldig bij het algebraïsch herleiden van de vergelijking om rekenfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: differentiëren, productregel, ketenregel, maximum van een functie bepalen

Veelgemaakte fouten:
- Productregel of ketenregel vergeten/foutief toepassen bij het differentiëren.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking dY/dL = 0.
- De negatieve exponenten onjuist verwerken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Bewijs constant schaalvoordeel (4 punten)

Als β = 1 − α dan spreken economen van een constant schaalvoordeel. Dat wil zeggen dat de inzet van arbeid en kapitaal evenredig is met de productie. Ofwel: als zowel L als K met dezelfde factor g groeit, dan groeit ook de productie Y = A ⋅ L^α ⋅ K^β met diezelfde factor g.

Bewijs dat bij β = 1 − α geldt: als zowel L als K met dezelfde factor g groeit, dan groeit ook de productie Y met diezelfde factor g.

Wat kun je verwachten: Je moet een algebraïsch bewijs leveren voor een eigenschap van de Cobb-Douglas-productiefunctie. Je krijgt een formule (Y = A * L^α * K^β) en een voorwaarde (β = 1 - α). Je moet aantonen dat als L en K met een factor g toenemen, Y ook met die factor g toeneemt.

Wat moet je kennen: Machtsregels:
(a*b)^p = a^p * b^p
a^p * a^q = a^(p+q)
a^1 = a

Wat moet je kunnen: Substitueer de nieuwe waarden van L en K (gL en gK) in de productiefunctie.
Pas de machtsregels correct toe om de factoren g te isoleren en te combineren.
Gebruik de gegeven voorwaarde (β = 1 - α) om de exponenten van g te vereenvoudigen.
Laat zien dat de nieuwe productie gelijk is aan g keer de oorspronkelijke productie Y.

Waar op letten: Let goed op de haakjes bij het toepassen van de machtsregels: (gL)^α is niet hetzelfde als gL^α.
Vergeet niet de voorwaarde β = 1 - α (of α + β = 1) op het juiste moment in het bewijs te gebruiken.
Zorg ervoor dat je alle stappen van het bewijs duidelijk en logisch opschrijft.

Kernbegrippen: rekenregels voor machten, algebraïsch bewijs, substitutie, functies met meerdere variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van machtsregels, zoals (gL)^α schrijven als gL^α.
- De gegeven voorwaarde β = 1 - α (of α + β = 1) niet of incorrect gebruiken.
- Fouten bij het combineren van exponenten, zoals g^α ⋅ g^β niet correct als g^(α+β) schrijven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Maximale afstand op parametrische baan (3 punten)

Punt A(0, ½√2) is het snijpunt van de baan van P met de positieve y-as. Er is een positie van punt P waarvoor de afstand tussen de punten A en P maximaal is.
Bereken deze maximale afstand. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het berekenen van de maximale afstand tussen een vast punt en een punt dat beweegt langs een parametrische kromme. Je krijgt de coördinaten van het vaste punt en de parametervoorstelling van de baan van het bewegende punt.

Wat moet je kennen: Afstandsformule in 2D: afstand = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
De parametervoorstelling van punt P: P(x(t), y(t))
Het concept van een maximum van een functie

Wat moet je kunnen: De afstandsformule toepassen met de gegeven coördinaten van punt A en de parametervoorstelling van punt P.
De resulterende afstandsfunctie (afhankelijk van t) invoeren in je grafische rekenmachine.
Het maximum van deze functie bepalen met behulp van de grafische rekenmachine.
Het eindantwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Controleer zorgvuldig de invoer van de afstandsfunctie in je grafische rekenmachine, vooral bij complexe uitdrukkingen.
Let op de afrondingseisen: het antwoord moet in twee decimalen worden gegeven.
Zorg dat je de juiste variabele (t) gebruikt bij het bepalen van het maximum.

Kernbegrippen: afstandsformule in 2D, parametrische krommen, maximum van een functie bepalen, grafische rekenmachine

Veelgemaakte fouten:
- Fout in de afstandsformule, bijvoorbeeld een tekenfout bij het kwadrateren van de verschillen.
- De complexe functie voor de afstand verkeerd invoeren in de grafische rekenmachine.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op twee decimalen zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Bewijs loodrechte vectoren met goniometrie (4 punten)

In figuur 2 is een situatie weergegeven waarbij de vector \vecOP loodrecht staat op de snelheidsvector in punt P.
Hieruit volgt: \sin(2t) = \sin(2t - (1)/(2)π)

Bewijs dat uit het feit dat de vector \vecOP loodrecht staat op de snelheidsvector in punt P inderdaad volgt: \sin(2t) = \sin(2t - (1)/(2)π)

Wat kun je verwachten: Je moet een bewijs leveren dat een goniometrische identiteit volgt uit de voorwaarde dat twee vectoren loodrecht op elkaar staan. Dit omvat het differentiëren van parametrische vergelijkingen, het toepassen van het inwendig product en het herleiden met goniometrische formules.

Wat moet je kennen: Positievector $\vec{OP} = (x(t), y(t))$
Snelheidsvector $\vec{v} = (x'(t), y'(t))$
Voor loodrechte vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ geldt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
Inwendig product: $(a_x, a_y) \cdot (b_x, b_y) = a_x b_x + a_y b_y$
Afgeleide van $\sin(ax+b)$ is $a\cos(ax+b)$
Afgeleide van $\cos(ax+b)$ is $-a\sin(ax+b)$
Dubbele-hoekformule voor sinus: $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$
Som- en verschilformules voor sinus: $\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$

Wat moet je kunnen: Bepaal de afgeleiden $x'(t)$ en $y'(t)$ van de gegeven parametrische vergelijkingen.
Stel de positievector $\vec{OP}$ en de snelheidsvector $\vec{v}$ op.
Pas de voorwaarde voor loodrechte vectoren toe door het inwendig product gelijk te stellen aan nul.
Herleid de resulterende vergelijking stap voor stap met behulp van goniometrische identiteiten om de gevraagde uitdrukking te verkrijgen.

Waar op letten: Let goed op mintekens bij het differentiëren van goniometrische functies.
Zorg dat je de juiste componenten van de vectoren gebruikt bij het inwendig product.
Wees nauwkeurig bij het toepassen van de dubbele-hoekformule en andere goniometrische identiteiten.

Kernbegrippen: parametrische kromme, snelheidsvector, inwendig product, loodrechte vectoren, goniometrische identiteiten

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van goniometrische functies, met name het minteken bij de afgeleide van cosinus.
- Verkeerde formule voor het inwendig product van twee vectoren.
- Foutieve toepassing van de dubbele-hoekformule voor sinus.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Exacte waarden van t bij loodrechte vectoren (3 punten)

Er zijn vier posities van P waarbij een situatie zoals in figuur 2 voorkomt.
Bereken exact de vier waarden van t die horen bij deze posities.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het oplossen van een goniometrische vergelijking die voortkomt uit de voorwaarde dat twee vectoren loodrecht op elkaar staan. Je krijgt een figuur met een positievector en een snelheidsvector, en de informatie dat deze loodrecht op elkaar staan. Je moet de exacte waarden van de parameter t berekenen.

Wat moet je kennen: Twee vectoren **a** en **b** staan loodrecht op elkaar als hun inproduct 0 is: **a** ⋅ **b** = 0.
De afgeleide van sin(ax) is a*cos(ax).
De afgeleide van cos(ax) is -a*sin(ax).
Oplossingen van sin(A) = sin(B) zijn A = B + k*2π of A = π - B + k*2π, waarbij k een geheel getal is.

Wat moet je kunnen: De positievector OP(t) bepalen uit de gegeven parametervoorstelling.
De snelheidsvector v(t) bepalen door de positievector te differentiëren naar t.
Het inproduct van de positievector en de snelheidsvector opstellen en gelijkstellen aan 0.
De resulterende goniometrische vergelijking exact oplossen voor t.
Alle oplossingen binnen het relevante domein (meestal [0, 2π]) vinden door verschillende waarden van k te proberen.

Waar op letten: Vergeet niet beide oplossingsmogelijkheden voor sin(A) = sin(B) te onderzoeken.
Controleer of je alle oplossingen binnen het gevraagde interval hebt gevonden.
Zorg ervoor dat je exact rekent en geen afgeronde waarden gebruikt.

Kernbegrippen: goniometrische vergelijkingen oplossen, parametrische krommen, snelheidsvector, periodieke functies

Veelgemaakte fouten:
- Bij het oplossen van sin(A) = sin(B) de mogelijkheid A = π - B + k⋅2π vergeten.
- Niet alle oplossingen binnen het gegeven domein [0, 2π] vinden.
- Reken- of algebrafouten bij het isoleren van t.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Parameters van een passende parabool (6 punten)

Passende parabool

De kwadratische functie f wordt gegeven door f(x) = ax² + bx + c
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S(0, 2).

De raaklijn aan de grafiek van f in punt S snijdt de x-as in het punt (2/3√3, 0).

Verder is gegeven dat de grafiek van f een dalparabool is die de positieve x-as raakt.
Zie de figuur.

9 Bereken exact de waarden van a, b en c.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c en informatie over de snijpunten met de assen en een raaklijn. Je moet de exacte waarden van a, b en c berekenen door gebruik te maken van differentiëren en eigenschappen van parabolen.

Wat moet je kennen: Algemene vorm kwadratische functie: f(x) = ax² + bx + c
Afgeleide van f(x): f'(x) = 2ax + b
Vergelijking van een lijn door twee punten (x1, y1) en (x2, y2): richtingscoëfficiënt m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Discriminant van een kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0: D = b² - 4ac
Voor een parabool die de x-as raakt, geldt D = 0.

Wat moet je kunnen: De coördinaten van een punt invullen in de functie om een vergelijking op te stellen.
De afgeleide van een functie bepalen.
De richtingscoëfficiënt van een raaklijn berekenen met behulp van de afgeleide of twee punten op de raaklijn.
De discriminant van een kwadratische vergelijking bepalen en gelijkstellen aan nul als de grafiek de x-as raakt.
Een stelsel van vergelijkingen oplossen om de onbekende parameters (a, b, c) te vinden.

Waar op letten: Let goed op de exacte notatie; geen afgeronde waarden gebruiken tenzij expliciet gevraagd.
Controleer of je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn correct berekent, inclusief het teken.
Vergeet niet dat 'raken aan de x-as' betekent dat de discriminant nul is, of dat de top op de x-as ligt.

Kernbegrippen: kwadratische functies, differentiëren, raaklijn, richtingscoëfficiënt, discriminant

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn uit de twee gegeven punten.
- Vergeten dat 'raken aan de x-as' impliceert dat de discriminant D=0 is.
- Teken- of rekenfouten bij het oplossen van het stelsel van vergelijkingen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Bewijs dat punt S op grafiek f ligt (4 punten)

Bewijs dat voor elke positieve waarde van a punt S op de grafiek van f ligt.

Wat kun je verwachten: Je moet hier bewijzen dat een gegeven punt (S) altijd op de grafiek van een functie (f) ligt, ongeacht de waarde van een parameter (a). Dit doe je door analytische meetkunde te combineren met algebra.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis van lijnvergelijkingen, richtingscoëfficiënten en het oplossen en herleiden van algebraïsche vergelijkingen nodig.

Waar op letten: Let goed op met het correct herleiden van de vergelijkingen en zorg dat je alle stappen duidelijk en logisch zijn opgebouwd. En vergeet niet het bewijs expliciet af te ronden.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, vergelijking van een lijn, richtingscoëfficiënt, snijpunt van twee lijnen, algebraïsch bewijs

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het opstellen van de richtingscoëfficiënt van lijn m met de coördinaten van P en S.
- Algebraïsche fouten bij het herleiden van de vergelijking met de parameter a.
- De conclusie van het bewijs niet expliciet trekken nadat de algebraïsche afleiding is voltooid.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Dalende grafiek bewijzen met afgeleide (3 punten)

Bewijs dat de grafiek van f voor elke waarde van x > 5 daalt.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat een functie daalt voor een bepaald bereik. Dit doe je door de afgeleide te berekenen en het teken daarvan te analyseren.

Wat moet je kennen: Je moet de quotiëntregel voor differentiëren kennen en weten dat een negatieve afgeleide betekent dat de functie daalt.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de quotiëntregel en beargumenteer duidelijk waarom de afgeleide negatief is binnen het gegeven domein.

Kernbegrippen: differentiëren met de quotiëntregel, afgeleide en stijgen/dalen, teken van de afgeleide

Veelgemaakte fouten:
- fout in de quotiëntregel, bijvoorbeeld een minteken vergeten
- onvolledige conclusie: alleen de afgeleide berekenen zonder te beargumenteren waarom deze negatief is
- het domein x > 5 niet gebruiken in de argumentatie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Cirkel raakt y-as, middelpunt op x-as (6 punten)

Het is voor iedere waarde van a mogelijk om een cirkel c door de punten O, S en P te tekenen. Hierbij wordt de situatie dat S en P samenvallen buiten beschouwing gelaten.
De coördinaten van S zijn (x, 2x/(x-5)).
Er is één waarde van a waarvoor deze cirkel raakt aan de y-as. Het middelpunt M(r, 0) van deze cirkel ligt op de x-as.
Deze situatie is in figuur 2 weergegeven.
Bereken de waarde van a waarvoor de cirkel raakt aan de y-as. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je kennis over de vergelijking van een cirkel en de afstandsformule. Je moet de waarde van 'a' berekenen wanneer een cirkel door drie specifieke punten gaat en de y-as raakt.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen, hoe je de afstand tussen twee punten berekent, en hoe je algebraïsche vergelijkingen oplost.

Waar op letten: Let goed op dat als de cirkel de y-as raakt en het middelpunt op de x-as ligt, de straal gelijk is aan de x-coördinaat van het middelpunt.

Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, afstand tussen twee punten, raaklijn aan een cirkel, coördinatenmeetkunde, algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking voor de straal r of de x-coördinaat van S.
- Vergeten dat omdat de cirkel de y-as raakt in de oorsprong en het middelpunt op de x-as ligt, de straal r gelijk is aan de x-coördinaat van het middelpunt.
- De relatie tussen de waarde van a en de x-coördinaat van S (uit de context van de voorgaande vragen) niet correct toepassen voor de laatste stap.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Logaritme en absolute waarde exact berekenen (4 punten)

De functie f₁₈ wordt gegeven door f₁₈(x) = |²log(x² − 18x + 69)|.
De grafiek van f₁₈ snijdt de lijn met vergelijking y = 2 in vier punten.
Bereken exact de x-coördinaten van deze vier punten.

Wat kun je verwachten: Je moet een vergelijking oplossen met zowel een absolute waarde als een logaritme, om zo de snijpunten met een horizontale lijn te vinden.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van het oplossen van absolute waarde-vergelijkingen, logaritmische vergelijkingen omzetten naar exponentiële, en kwadratische vergelijkingen oplossen.

Waar op letten: Let goed op dat je zowel de positieve als de negatieve mogelijkheid van de absolute waarde meeneemt in je berekening.

Kernbegrippen: absolute waarde vergelijking oplossen, logaritmische vergelijking oplossen, kwadratische vergelijking oplossen, exact berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de negatieve mogelijkheid bij het oplossen van de absolute waarde (²log(...) = -2).
- Reken- of typefout bij het omschrijven van de logaritmische vergelijking naar een exponentiële vorm, bijvoorbeeld 2⁻² = -4.
- Het domein van de logaritme niet controleren (hoewel de oplossingen hier voldoen).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Verticale asymptoten en afstand bij logaritmische functie (4 punten)

De functie fₐ wordt gegeven door fₐ(x) = |²log(x² − ax + 69)| met a > 0.
Voor een bepaalde waarde van a heeft de grafiek van fₐ twee verticale asymptoten met een onderlinge afstand van 20.
Bereken exact deze waarde van a.

Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je de waarde van een parameter berekenen aan de hand van eigenschappen van een logaritmische functie, namelijk de verticale asymptoten en de afstand ertussen.

Wat moet je kennen: Je moet weten wanneer een logaritmische functie verticale asymptoten heeft en hoe je kwadratische vergelijkingen oplost, bijvoorbeeld met de abc-formule.

Waar op letten: Let goed op de voorwaarde 'a > 0' en controleer je berekende waarde hiervan achteraf, de discriminant moet ook positief zijn voor reële oplossingen.

Kernbegrippen: logaritmische functies, verticale asymptoten, abc-formule, discriminant

Veelgemaakte fouten:
- De voorwaarde a > 0 vergeten en a = -26 als oplossing geven.
- Reken- of tekenfout bij het oplossen van de kwadratische vergelijking voor a.
- Incorrect opstellen van de vergelijking voor de afstand tussen de wortels.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Raaklijn aan exponentiële functie door de oorsprong (5 punten)

De functie fₐ wordt gegeven door fₐ(x) = eᵃˣ met a > 0.
De lijn k met vergelijking y = e snijdt de grafiek van fₐ in S.
In figuur 1 zijn voor een waarde van a de grafiek van fₐ en lijn k weergegeven.
Ook is de raaklijn aan de grafiek van fₐ door S weergegeven.
15 Bewijs dat deze raaklijn voor elke waarde van a door de oorsprong gaat.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat de raaklijn in een specifiek snijpunt van een exponentiële functie en een horizontale lijn altijd door de oorsprong gaat, ongeacht een bepaalde parameter. Dit vraagt om precieze algebraïsche stappen en het opstellen van vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van differentiëren (met name de ketenregel bij exponentiële functies), het vinden van snijpunten, en het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een functie.

Waar op letten: Let goed op de toepassing van de ketenregel bij het differentiëren van e^(ax) en de correcte invulling van de coördinaten in de raaklijnvergelijking.

Kernbegrippen: differentiëren van exponentiële functies, ketenregel, opstellen van een raaklijn, snijpunt van twee functies, algebraïsch bewijs

Veelgemaakte fouten:
- De ketenregel vergeten bij het differentiëren van eᵃˣ, wat leidt tot een foute afgeleide eᵃˣ.
- Een rekenfout maken bij het invullen van x = 1/a in de afgeleide.
- De coördinaten van het raakpunt S niet correct bepalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Afstanden en inverse functies (7 punten)

In figuur 2 is opnieuw voor een waarde van a de grafiek van f_a weergegeven.
Op deze grafiek liggen de punten A(0, 1), B(1, e^a) en C(2, e^(2a)).
Ook is de grafiek van de inverse van f_a (gestippeld) weergegeven.
De punten D, E en F zijn de beeldpunten van respectievelijk A, B en C bij spiegeling in de lijn y = x.

Er is een waarde van a waarvoor geldt:
AD + BE = CF

16 Bereken exact deze waarde van a.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over een exponentiële functie en zijn inverse. Je moet de afstand tussen punten berekenen, waarbij de punten op de grafiek en de inverse grafiek liggen. Uiteindelijk los je een exponentiële vergelijking op om een exacte waarde te vinden.

Wat moet je kennen: Coördinaten van een spiegelbeeld van een punt (x, y) in de lijn y=x is (y, x).
Afstandsformule tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2): sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).
Eigenschappen van exponentiële functies: e^x > 0 voor alle x.
Regels voor machten en logaritmen: e^(p+q) = e^p * e^q, ln(e^x) = x.

Wat moet je kunnen: De coördinaten van de gespiegelde punten D, E en F bepalen.
De afstanden AD, BE en CF berekenen met de afstandsformule.
De gegeven vergelijking AD + BE = CF opstellen en algebraïsch herleiden tot een kwadratische vergelijking in e^a.
De kwadratische vergelijking oplossen (bijvoorbeeld met de abc-formule of door te ontbinden in factoren).
De gevonden waarde(n) voor e^a omzetten naar a met behulp van de natuurlijke logaritme (ln).

Waar op letten: Verwissel de x- en y-coördinaten correct bij het spiegelen in y=x.
Let op de absolute waarde bij het vereenvoudigen van wortels, bijvoorbeeld sqrt(x^2) = |x|.
Vergeet niet dat e^a altijd positief moet zijn; een negatieve oplossing voor e^a is geen geldige oplossing voor a.
Geef de waarde van a exact, dus in de vorm ln(getal).

Kernbegrippen: exponentiële functies, inverse functie, spiegelen in de lijn y=x, afstand tussen twee punten, exponentiële vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het bepalen van de coördinaten van de gespiegelde punten (x en y verwisselen).
- Algebraïsche fouten bij het herleiden van de vergelijking met e-machten.
- De oplossing e^a = -1 niet verwerpen, omdat een e-macht niet negatief kan zijn.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Coördinaten bepalen met hoek en lengte (6 punten)

Gegeven zijn het punt P met coördinaten (9, 27) en de vector \overrightarrowOP.
Ook zijn gegeven het punt Q(a, b) en de vector \overrightarrowOQ.
Voor \overrightarrowOQ geldt: |\overrightarrowOQ| = 5√(5).
Er zijn twee mogelijke posities van Q, zodat geldt: \angle(\overrightarrowOP, \overrightarrowOQ) = 45^°.
Bereken algebraïsch de mogelijke coördinaten van beide posities.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert vectorrekening met algebra. Je krijgt twee vectoren vanuit de oorsprong, de coördinaten van één punt, de lengte van de andere vector en de hoek tussen beide vectoren. Je moet de onbekende coördinaten van het tweede punt algebraïsch berekenen.

Wat moet je kennen: Inproduct van twee vectoren: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$
Lengte van een vector: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
Formule voor de hoek tussen twee vectoren: $\cos(\alpha) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) / (|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|)$
Exacte waarde van $\cos(45^\circ) = (1/2)\sqrt{2}$

Wat moet je kunnen: De lengte van een gegeven vector berekenen.
De inproductformule opstellen met de bekende en onbekende waarden.
Een stelsel van vergelijkingen oplossen, bestaande uit een kwadratische vergelijking (vanwege de lengte) en een lineaire vergelijking (uit de inproductformule).
Algebraïsch herleiden van vergelijkingen tot een oplosbare vorm (bijvoorbeeld een kwadratische vergelijking).

Waar op letten: Controleer of je de lengte van de vectoren correct berekent.
Let op algebraïsche fouten bij het herleiden van de vergelijkingen.
Vergeet niet dat er vaak twee oplossingen zijn bij kwadratische vergelijkingen, en controleer of beide oplossingen logisch zijn in de context van de vraag.

Kernbegrippen: inproduct van vectoren, hoek tussen vectoren, lengte van een vector, stelsel van vergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout bij het bepalen van de lengte van vector OP
- verkeerde toepassing van de inproductformule voor de hoek tussen vectoren
- algebraïsche fouten bij het oplossen van het stelsel van een lineaire en een kwadratische vergelijking
- slechts één van de twee mogelijke oplossingen vinden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/17

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2024
tijdvak 2
maandag 24 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-24-2-o

### Pagina 2

Formules
Goniometrie
$\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$
$\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$
$\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$
$\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$
$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$
$\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$
VW-1025-a-24-2-0 2 / 10 lees verder ▶▶▶

### Pagina 3

Twee functies
De functies $f$ en $g$ worden gegeven door $f(x) = 72-x^3$ en $g(x) = x\sqrt{x}$. Het snijpunt van de grafieken van $f$ en $g$ is het punt $S$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is aangeduid met O. Er zijn twee grafieken getekend: de grafiek van functie f is een dalende kromme die in het eerste kwadrant begint en daalt. De grafiek van functie g is een stijgende kromme die in de oorsprong begint en stijgt. De grafieken snijden elkaar in het eerste kwadrant, het snijpunt is aangeduid met S.]
4p 1 Bereken exact de coördinaten van $S$.
De lijn $k$ heeft vergelijking $y = -12x + 88$.
Lijn $k$ raakt aan de grafiek van $f$ in het punt $P$ rechts van de $y$-as.
Het vlakdeel $V$ wordt ingesloten door de grafiek van $f$, lijn $k$ en de $y$-as.
In figuur 2 is dit vlakdeel grijs weergegeven.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is aangeduid met O. Er zijn twee grafieken getekend: een dalende kromme die aan de linkerkant hoog begint en daalt, en een dalende rechte lijn die de kromme raakt. Het snijpunt van de rechte lijn en de kromme is aangeduid met P. Het grijze vlakdeel ligt tussen de y-as, de kromme van f en de rechte lijn k, en bevindt zich in het eerste kwadrant.]
5p 2 Bereken exact de oppervlakte van $V$.
VW-1025-a-24-2-o
3 / 10
lees verder

### Pagina 4

Cobb-Douglas-productiefunctie

De Cobb-Douglas-productiefunctie is een wiskundig model dat economen gebruiken om de productie Y te voorspellen. In dit model hangt de productie af van twee factoren: arbeid en kapitaal. Met arbeid L wordt het aantal voltijdbanen van werknemers bedoeld. Met kapitaal K wordt in deze opgave het aantal machines bedoeld dat beschikbaar is voor de productie.

De formule bij dit model luidt:
$$Y = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta}$$
Hierbij zijn $A$, $\alpha$ en $\beta$ constanten die afhangen van het soort bedrijf.

Iemand wil € 1 000 000 per jaar investeren in een nieuw bedrijf.
Voor een bedrijf in deze sector geldt $A = 40$, $\alpha = 0,7$ en $\beta = 0,3$.
De kosten per voltijdbaan per jaar bedragen € 50 000 en de kosten per machine per jaar bedragen € 20 000.
Er geldt dus: $50 000L + 20 000K = 1 000 000$.
Uit deze gegevens is af te leiden dat: $Y = 40 \cdot L^{0,7} \cdot (50 - 2,5L)^{0,3}$.

2p 3 Toon aan dat $Y = 40 \cdot L^{0,7} \cdot (50 - 2,5L)^{0,3}$.

De investeerder wil het volledige bedrag van € 1 000 000 investeren in arbeid en kapitaal, en wel in zo'n verhouding dat de productie Y maximaal is.

5p 4 Bereken algebraïsch hoeveel voltijdbanen de investeerder moet inzetten om de productie Y maximaal te krijgen.

Als $\beta = 1 - \alpha$ dan spreken economen van een constant schaalvoordeel. Dat wil zeggen dat de inzet van arbeid en kapitaal evenredig is met de productie. Ofwel: als zowel $L$ als $K$ met dezelfde factor $g$ groeit, dan groeit ook de productie $Y = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta}$ met dezelfde factor $g$.

4p 5 Bewijs dat bij $\beta = 1 - \alpha$ geldt: als zowel $L$ als $K$ met dezelfde factor $g$ groeit, dan groeit ook de productie $Y$ met dezelfde factor $g$.

VW-1025-a-24-2-o 4 / 10 lees verder

### Pagina 5

Loodrecht op de snelheidsvector

De beweging van een punt $P$ wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = \sin(t) \\
y(t) = \cos(t-\frac{1}{4}\pi)
\end{cases} \quad \text{met } 0 \le t \le 2\pi
$$
In figuur 1 is de baan van $P$ weergegeven.
[FIGUUR: Een ellips met de assen van het coördinatenstelsel. Een punt A ligt op de positieve y-as, en een punt P ligt op de ellips, onder de x-as. Een lijnstuk verbindt A en P.]
3p 6
Punt $A(0, \frac{1}{2}\sqrt{2})$ is het snijpunt van de baan van $P$ met de positieve $y$-as. Er is een positie van punt $P$ waarvoor de afstand tussen de punten $A$ en $P$ maximaal is. Bereken deze maximale afstand. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

figuur 1

In figuur 2 is een situatie weergegeven waarbij de vector $\vec{OP}$ loodrecht staat op de snelheidsvector in punt $P$.
Hieruit volgt: $\sin(2t) = \sin(2t - \frac{1}{2}\pi)$
[FIGUUR: Een ellips met de assen van het coördinatenstelsel. Een punt P ligt op de ellips, in het vierde kwadrant. De oorsprong O is het middelpunt van de ellips. Er is een lijnstuk vanuit O naar P. Vanuit P gaat een lijn met een rechte hoek symbool naar de raaklijn van de ellips op punt P.]
figuur 2

4p 7
Bewijs dat uit het feit dat de vector $\vec{OP}$ loodrecht staat op de snelheidsvector in punt $P$ inderdaad volgt: $\sin(2t) = \sin(2t - \frac{1}{2}\pi)$.

Er zijn vier posities van $P$ waarbij een situatie zoals in figuur 2 voorkomt.
3p 8
Bereken exact de vier waarden van $t$ die horen bij deze posities.

VW-1025-a-24-2-o
5 / 10
lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Passende parabool
De kwadratische functie f
wordt gegeven door
$f(x) = ax^2 + bx + c$.
De grafiek van f snijdt de
y-as in het punt S(0, 2).

De raaklijn aan de grafiek van
f in punt S snijdt de x-as in het
punt $(\frac{2}{3}\sqrt{3}, 0)$.
Verder is gegeven dat de grafiek
van f een dalparabool is die de
positieve x-as raakt.
Zie de figuur.

[FIGUUR: Een coördinatenstelsel met een parabool die de positieve x-as raakt. De y-as wordt gesneden in het punt S(0,2). Een raaklijn aan de parabool in S snijdt de x-as in het punt (2/3 * wortel(3), 0).]

6p 9 Bereken exact de waarden van a, b en c.
VW-1025-a-24-2-o 6 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 7

Lijnenparen
De lijn $k$ heeft vergelijking $y = ax$ met $a > 0$.
De lijn $m$ heeft ricoëfficiënt $-a$ en gaat door het punt $P(10, 4)$.
Het punt $S$ is het snijpunt van de lijnen $k$ en $m$. Punt $S$ ligt op de grafiek van de functie $f$ die wordt gegeven door $y = \frac{2x}{x-5}$ waarbij geldt: $x > 5$.
In figuur 1 is voor drie waarden van $a$ de situatie weergegeven. De grafiek van $f$ is gestippeld weergegeven.
[FIGUUR: Drie grafieken met de lijnen k en m en de grafiek van f. In de eerste grafiek snijden k en m elkaar boven de x-as, de grafiek van f ligt onder de snijpunten. In de tweede grafiek snijden k en m elkaar op de grafiek van f. In de derde grafiek snijden k en m elkaar onder de grafiek van f. De parameter a is respectievelijk 3,7, 1,55 en 0,2.]
figuur 1

4p 10 Bewijs dat voor elke positieve waarde van $a$ punt $S$ op de grafiek van $f$ ligt.
3p 11 Bewijs dat de grafiek van $f$ voor elke waarde van $x > 5$ daalt.

Het is voor iedere waarde van $a$ mogelijk om een cirkel $c$ door de punten $O$, $S$ en $P$ te tekenen. Hierbij wordt de situatie dat $S$ en $P$ samenvallen buiten beschouwing gelaten.
De coördinaten van $S$ zijn $(x, \frac{2x}{x-5})$.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as, de x-as, de lijnen k en m die elkaar snijden in S. Een cirkel c raakt de y-as in O en gaat door S en P(10,4). Het middelpunt van de cirkel ligt op de x-as.]
figuur 2
Er is één waarde van $a$ waarvoor deze cirkel raakt aan de $y$-as. Het middelpunt $M(r, 0)$ van deze cirkel ligt op de $x$-as.
Deze situatie is in figuur 2 weergegeven.
6p 12 Bereken de waarde van $a$ waarvoor de cirkel raakt aan de $y$-as. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.

VW-1025-a-24-2-o
leest verder ▶ ► ►

### Pagina 8

Absolute logaritme

De functie $f_{18}$ wordt gegeven door $f_{18}(x) = |^2\log(x^2 - 18x + 69)|$.

De grafiek van $f_{18}$ snijdt de lijn met vergelijking $y = 2$ in vier punten.
13 Bereken exact de x-coördinaten van deze vier punten.

De functie $f_a$ wordt gegeven door $f_a(x) = |^2\log(x^2 - ax + 69)|$ met $a > 0$.
Voor een bepaalde waarde van $a$ heeft de grafiek van $f_a$ twee verticale
14 asymptoten met een onderlinge afstand van 20.
Bereken exact deze waarde van $a$.

VW-1025-a-24-2-o 8 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 9

Lijnstukken bij een exponentiële functie

De functie $f_a$ wordt gegeven door
$f_a(x) = e^{ax}$ met $a > 0$.
De lijn $k$ met vergelijking $y = e$ snijdt de grafiek van $f_a$ in $S$.
In figuur 1 zijn voor een waarde van $a$ de grafiek van $f_a$ en lijn $k$ weergegeven.
Ook is de raaklijn aan de grafiek van $f_a$ door $S$ weergegeven.
5p 15 Bewijs dat deze raaklijn voor elke waarde van $a$ door de oorsprong gaat.

[FIGUUR: figuur 1 met y-as, x-as, een exponentiële curve met label $f_a$, een horizontale stippellijn met label $e$ en een rechte lijn die de curve snijdt op punt S en door de oorsprong O gaat.]

In figuur 2 is opnieuw voor een waarde van $a$ de grafiek van $f_a$ weergegeven.
Op deze grafiek liggen de punten $A(0, 1)$, $B(1, e^a)$ en $C(2, e^{2a})$.
Ook is de grafiek van de inverse van $f_a$ (gestippeld) weergegeven.
De punten $D, E$ en $F$ zijn de beeldpunten van respectievelijk $A, B$ en $C$ bij spiegeling in de lijn $y = x$.

[FIGUUR: figuur 2 met y-as, x-as, een exponentiële curve met label $f_a$, een gestippelde curve, een lijn y=x, en punten A, B, C op $f_a$ en D, E, F op de gespiegelde curve.]

Er is een waarde van $a$ waarvoor geldt:
$$AD + BE = CF$$

7p 16 Bereken exact deze waarde van $a$.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1025-a-24-2-o 9 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 10

Een hoek van 45 graden
Gegeven zijn het punt $P$ met coördinaten $(9, 27)$ en de vector $\vec{OP}$.
Ook zijn gegeven het punt $Q(a,b)$ en de vector $\vec{OQ}$.
Voor $\vec{OQ}$ geldt: $|\vec{OQ}| = 5\sqrt{5}$.
Er zijn twee mogelijke posities van $Q$, zodat geldt: $\angle(\vec{OP}, \vec{OQ}) = 45^\circ$.
6p 17 Bereken algebraïsch de mogelijke coördinaten van beide posities.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift.
VW-1025-a-24-2-o 10 / 10 einde