# Eindexamen Wiskunde B VWO 2024 tijdvak 1 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1 ## Vraag 1 – Stijgen of dalen met afgeleiden (3 punten) De functie f wordt gegeven door f(x) = x⁵ - 3x√x. In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven. Op de grafiek ligt het punt A(1, -2). Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt. Wat kun je verwachten: Deze vraag test of je kunt bewijzen of een grafiek stijgt of daalt in een bepaald punt. Wat moet je kennen: Je moet goed kunnen differentiëren, vooral met wortels en machten, en weten dat een positieve afgeleide betekent dat de grafiek stijgt. Waar op letten: Let goed op het correct omzetten van de wortel naar een gebroken exponent en pas de machtsregel zorgvuldig toe tijdens het differentiëren. Kernbegrippen: differentiëren, machtsregel, verband tussen afgeleide en stijgen/dalen, werken met gebroken exponenten Veelgemaakte fouten: - Fout bij het omschrijven van x√x naar x^(3/2). - Verkeerde toepassing van de machtsregel bij het differentiëren van x^(3/2). - De conclusie baseren op de y-waarde van het punt in plaats van op het teken van de afgeleide. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/1 ## Vraag 2 – Horizontaal lijnstuk op grafiek (4 punten) Bereken de x-coördinaat van P. Geef je eindantwoord in drie decimalen. Wat kun je verwachten: Een vraag over het bepalen van een x-coördinaat van een punt op een gegeven grafiek, waarbij een horizontaal lijnstuk van een vaste lengte is gegeven. Je moet een vergelijking opstellen en deze grafisch-numeriek oplossen. Wat moet je kennen: Definitie van een horizontaal lijnstuk: de y-coördinaten van de eindpunten zijn gelijk. De functie f(x) = x^5 - 3x*sqrt(x). Wat moet je kunnen: De x-coördinaat van het tweede punt uitdrukken in de x-coördinaat van het eerste punt. Een vergelijking opstellen door de functiewaarden van de twee punten aan elkaar gelijk te stellen. De vergelijking oplossen met behulp van de grafische rekenmachine (GR). Het oplossen met de GR beschrijven (bijvoorbeeld 'intersect' of 'zero' functie). Waar op letten: Controleer of je de x-coördinaten correct relateert (p en p + 1/2). Zorg dat je de vergelijking correct invoert in de GR. Vergeet niet te beschrijven hoe je de GR gebruikt hebt om de oplossing te vinden. Rond het eindantwoord correct af op het gevraagde aantal decimalen (drie decimalen). Kernbegrippen: vergelijking opstellen, grafisch-numeriek oplossen, horizontale lijnstukken, functiewaarden Veelgemaakte fouten: - Verkeerd opstellen van de vergelijking, bijvoorbeeld f(p) = f(p) + 1/2. - Vergeten te beschrijven hoe de vergelijking met de grafische rekenmachine wordt opgelost. - Foutief afronden van het eindantwoord. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/2 ## Vraag 3 – Wachttijd berekenen met integraal (3 punten) Bereken algebraïsch in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 0 en 3 minuten ligt. Geef je eindantwoord in één decimaal. Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van een percentage met behulp van een bepaalde integraal. Je krijgt een functie die de verdeling van wachttijden beschrijft en moet het oppervlak onder de grafiek tussen twee grenzen bepalen. Dit vereist het primitiveren van een exponentiële functie en het correct toepassen van de hoofdstelling van de integraalrekening. Wat moet je kennen: Primitieve van e^(ax) is (1/a) * e^(ax) + C. Hoofdstelling van de integraalrekening: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), waarbij F(x) een primitieve is van f(x). De betekenis van een integraal als oppervlakte onder een grafiek, wat in dit geval een percentage representeert. Wat moet je kunnen: De juiste functie opstellen voor de integraal, inclusief de correcte integratiegrenzen. Een exponentiële functie correct primitiveren, inclusief de constante factor. De primitieve evalueren bij de boven- en ondergrens en het verschil berekenen. Het eindantwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen. Waar op letten: Let goed op de constante factor in de exponent bij het primitiveren van de e-macht. Vergeet niet dat e^0 = 1, niet 0, bij het invullen van de ondergrens. Zorg ervoor dat je het eindantwoord correct afrondt op één decimaal, zoals gevraagd. Kernbegrippen: integreren, primitiveren van een exponentiële functie, bepaalde integraal, oppervlakte onder een grafiek Veelgemaakte fouten: - Fout bij het primitiveren van de e-macht, bijvoorbeeld vergeten te delen door de afgeleide van de exponent (-1/2). - Verkeerd invullen van de grenzen, met name de ondergrens t=0 (e⁰ = 1, niet 0). - Onjuist afronden op één decimaal. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/3 ## Vraag 4 – Bewijs primitieve met differentiëren (3 punten) Bewijs dat y = (1/a t - 1/a²)e^(at) inderdaad een juiste primitieve is van y = te^(at) voor elke waarde van a (met a ≠ 0). Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat een gegeven functie een primitieve is van een andere functie. Dit doe je door de gegeven primitieve te differentiëren en te controleren of de uitkomst gelijk is aan de oorspronkelijke functie. Je zult hierbij de productregel en ketenregel moeten toepassen. Wat moet je kennen: Productregel: (f*g)' = f'*g + f*g' Ketenregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) Afgeleide van e^(kx): (e^(kx))' = k*e^(kx) Definitie primitieve: F(x) is een primitieve van f(x) als F'(x) = f(x) Wat moet je kunnen: De productregel correct toepassen op een product van twee functies. De ketenregel toepassen bij het differentiëren van e^(at). Algebraïsch uitwerken en herleiden van de afgeleide tot de oorspronkelijke functie. Factoren met 'a' correct meenemen in de differentiatie en herleiding. Waar op letten: Vergeet de productregel niet, de functie is een product van twee factoren. Pas de ketenregel correct toe bij het differentiëren van e^(at), de factor 'a' is cruciaal. Let goed op de algebraïsche herleiding; tekenfouten of fouten met de factor 'a' zijn snel gemaakt. Kernbegrippen: differentiëren, productregel, ketenregel, primitieve functie Veelgemaakte fouten: - productregel vergeten of incorrect toepassen - ketenregel bij e-macht vergeten (factor a) - algebraïsche fouten bij het uitwerken van de haakjes Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/4 ## Vraag 5 – Gemiddelde wachttijd met exponentiële functie (4 punten) Bereken algebraïsch de gemiddelde wachttijd in minuten voor de situatie met f(t) = 50e⁻¹/²ᵗ. Geef je eindantwoord als geheel getal. Wat kun je verwachten: Je moet de gemiddelde waarde van een functie berekenen met behulp van een integraal. De functie is een exponentiële functie, wat betekent dat je integratie door delen moet toepassen. Het eindantwoord moet een geheel getal zijn. Wat moet je kennen: Formule voor de gemiddelde waarde van een functie f(x) op interval [a,b]: (1/(b-a)) * integraal(f(x) dx) van a tot b. Integratie door delen: integraal(f(x) * g'(x) dx) = f(x) * g(x) - integraal(f'(x) * g(x) dx). Afgeleide van e^(ax) is a * e^(ax). Primitieve van e^(ax) is (1/a) * e^(ax). Wat moet je kunnen: De formule voor de gemiddelde waarde correct opstellen, inclusief de grenzen en de functie die je moet integreren. De juiste functies f(x) en g'(x) kiezen voor integratie door delen. De primitieve van de functie bepalen met behulp van integratie door delen. De grenzen van de integraal correct invullen in de primitieve en de waarde berekenen. Het eindantwoord afronden op een geheel getal zoals gevraagd. Waar op letten: Let goed op de constante factor voor de integraal (1/(b-a)) en eventuele andere constanten in de functie. Voer de integratie door delen zorgvuldig uit om teken- en rekenfouten te voorkomen. Vergeet niet het eindantwoord af te ronden op een geheel getal, zoals de vraag expliciet vraagt. Kernbegrippen: integreren door delen, definitiete integraal, gemiddelde waarde van een functie, exponentiële functies, definite integraal Veelgemaakte fouten: - Fouten bij het toepassen van integratie door delen. - De constante factor (50/100) vergeten in de berekening. - Reken- of tekenfouten bij het invullen van de integratiegrenzen. - Vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/5 ## Vraag 6 – Functie verschuiven en raaklijn (6 punten) Verschuiven De functie f wordt gegeven door f(x) = (3x−7)². De grafiek van f wordt naar rechts en omhoog verschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie g. De grafiek van g gaat door het punt A (5, 40). De helling van de raaklijn in A aan de grafiek van g is −6. 6p 6 Stel op exacte wijze een functievoorschrift van g op. Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert differentiëren met het transformeren van grafieken. Je krijgt een functie f, informatie over de verschuiving naar g, en een punt met de helling van de raaklijn aan g. Je moet het functievoorschrift van g opstellen. Wat moet je kennen: Kettingregel: als h(x) = f(g(x)), dan is h'(x) = f'(g(x)) * g'(x). Translatie van een grafiek: een verschuiving van a eenheden naar rechts en b eenheden omhoog van f(x) geeft g(x) = f(x-a) + b. De helling van de raaklijn in een punt is gelijk aan de waarde van de afgeleide van de functie in dat punt. Wat moet je kunnen: Differentiëren van een samengestelde functie met behulp van de kettingregel. De afgeleide gelijkstellen aan de gegeven helling en de bijbehorende x-waarde (of parameter) exact oplossen. De oorspronkelijke coördinaten van het punt op f bepalen, of de parameters van de verschuiving bepalen. Het functievoorschrift van de verschoven functie g(x) opstellen door de correcte translaties toe te passen. Waar op letten: Vergeet de kettingregel niet bij het differentiëren van f(x) = (3x-7)^2; de afgeleide is niet 2*(3x-7). Let goed op de richting van de verschuiving: 'naar rechts' betekent x-a, 'omhoog' betekent +b. Werk exact; rond getallen pas af als dat expliciet gevraagd wordt. Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, translaties van grafieken, functie voorschrift opstellen, helling van een raaklijn Veelgemaakte fouten: - De kettingregel vergeten bij het differentiëren van f(x) = (3x-7)², wat leidt tot een foute afgeleide. - Een fout maken in de richting van de translatie, bijvoorbeeld g(x) = f(x+3) + 39 in plaats van g(x) = f(x-3) + 39. - Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijkingen voor de parameters a en b in de alternatieve uitwerkingen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/6 ## Vraag 7 – Lengte kortste verticale lijnstuk tussen f en inverse (5 punten) De functie f wordt gegeven door f(x) = ²log(√1+8ˣ). De functie g is de inverse functie van f. In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven. Het gestippelde lijnstuk in de figuur is het kortst mogelijke verticale lijnstuk dat de grafieken van f en g met elkaar verbindt. 7 Bereken de lengte van dit lijnstuk. Geef je eindantwoord in twee decimalen. Wat kun je verwachten: Een vraag over het bepalen van de lengte van het kortste verticale lijnstuk tussen de grafiek van een logaritmische functie en zijn inverse functie. Je moet de inverse functie bepalen en vervolgens de minimale verticale afstand tussen de twee functies berekenen. Wat moet je kennen: Definitie inverse functie: als y = f(x), dan is x = f⁻¹(y). Rekenregels logaritmen: a log(b) = c <=> b = a^c log(A^p) = p * log(A) log(sqrt(A)) = log(A^(1/2)) = (1/2) * log(A) Rekenregels exponenten: (a^b)^c = a^(b*c) a^b * a^c = a^(b+c) De afstand tussen twee functies f(x) en g(x) is |f(x) - g(x)|. Wat moet je kunnen: De inverse functie bepalen door x en y te verwisselen en de vergelijking op te lossen naar y. Logaritmische en exponentiële vergelijkingen algebraïsch herleiden. Een functie opstellen die de verticale afstand tussen twee grafieken beschrijft. Het minimum van een functie bepalen met behulp van differentiëren (afgeleide gelijkstellen aan nul) of met de grafische rekenmachine. Waar op letten: Let goed op de rekenregels voor logaritmen en exponenten bij het herleiden van de inverse functie. Zorg dat je de juiste functie opstelt voor de verticale afstand (f(x) - g(x) of g(x) - f(x), afhankelijk van welke grafiek boven ligt). Geef het eindantwoord in twee decimalen, zoals gevraagd. Kernbegrippen: inverse functie, logaritmische functies, exponentiële functies, verticale afstand tussen grafieken, minimum van een functie bepalen Veelgemaakte fouten: - Algebraïsche fouten bij het bepalen van de inverse functie. - Verkeerd toepassen van rekenregels voor logaritmen en exponenten. - De minimale afstand bepalen in plaats van de minimale *verticale* afstand. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/7 ## Vraag 8 – Verschil logaritmische functiewaarden (6 punten) Onderzoek op exacte wijze of er een waarde van p is waarvoor dit verschil gelijk is aan 3. Wat kun je verwachten: Je onderzoekt of het verschil tussen twee functiewaarden van een logaritmische functie gelijk kan zijn aan een specifieke waarde. Dit vereist het opstellen en exact oplossen van een logaritmische vergelijking, die overgaat in een exponentiële vergelijking. Wat moet je kennen: Definitie van logaritme: g^x = y <-> x = ^g log(y) Rekenregel logaritmen: ^g log(A) - ^g log(B) = ^g log(A/B) Rekenregel machten: a^(p+q) = a^p * a^q Eigenschap wortels: sqrt(A)/sqrt(B) = sqrt(A/B) Wat moet je kunnen: Stel de vergelijking op door het verschil van de functiewaarden gelijk te stellen aan de gegeven waarde. Pas de rekenregels voor logaritmen toe om de vergelijking te vereenvoudigen. Zet de logaritmische vergelijking om naar een exponentiële vergelijking. Los de exponentiële vergelijking algebraïsch op door gelijke machten te isoleren en te controleren op geldigheid van de oplossing. Waar op letten: Let goed op de juiste toepassing van de rekenregels voor logaritmen, vooral bij het samenvoegen van termen. Voorkom fouten bij het omzetten van de logaritmische vorm naar de exponentiële vorm (basis en exponent). Wees nauwkeurig bij het herleiden van de exponentiële vergelijking, met name bij termen als 8^(p+1). Kernbegrippen: logaritmische functies, exponentiële vergelijkingen, rekenregels voor logaritmen, algebraïsch oplossen Veelgemaakte fouten: - Foutieve toepassing van rekenregels voor logaritmen, zoals log(a-b) i.p.v. log(a/b). - Fout bij het omschrijven van de logaritmische vorm naar de exponentiële vorm (bv. 2³ verwarren met 3²). - Algebraïsche fouten bij het isoleren van de machtsfunctie, met name bij het omgaan met 8ᵖ⁺¹. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/8 ## Vraag 9 – Afstand tussen punten op parametrische kromme (5 punten) Bereken exact de afstand tussen P en Q in deze situaties. Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over parametrische krommen en bewegingsvergelijkingen. Je moet de afstand tussen twee punten berekenen op momenten dat hun x-coördinaten gelijk zijn. Dit vereist het oplossen van goniometrische vergelijkingen en het toepassen van goniometrische identiteiten. Wat moet je kennen: Goniometrische identiteiten: cos(t + π) = -cos(t) en sin(t + π) = -sin(t). Eigenschappen van cosinus: cos(x) = cos(y) als x = y + k*2π of x = -y + k*2π. Oplossen van cos(x) = 0: x = 1/2π + k*π. Afstandsformule tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2): sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Wat moet je kunnen: Goniometrische identiteiten toepassen om bewegingsvergelijkingen te vereenvoudigen. Een goniometrische vergelijking opstellen en oplossen om de waarden van t te vinden waarvoor x_P = x_Q. De gevonden t-waarden invullen in de y-coördinaten van P en Q. De afstand tussen de punten P en Q berekenen met de afstandsformule. Waar op letten: Let goed op de goniometrische identiteiten, vooral cos(t+π) en sin(t+π). Vergeet niet alle oplossingen voor t binnen het gegeven domein [0, 2π] te vinden. Zorg ervoor dat je de afstand exact berekent en niet afrondt. Kernbegrippen: parametrische krommen, bewegingsvergelijkingen, goniometrische vergelijkingen oplossen, eigenschappen van sinus en cosinus, afstand tussen punten Veelgemaakte fouten: - Fouten in goniometrische identiteiten, zoals cos(t+π) = cos(t) in plaats van -cos(t). - Vergeten van de tweede oplossing voor cos(t) = 0 binnen het domein [0, 2π]. - Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking x_P = x_Q. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/9 ## Vraag 10 – Hoek tussen raaklijn en x-as (6 punten) Op tijdstip t = 2/3 π bevindt het punt P zich in (-2 1/2, 2 1/2√3). Bereken exact de scherpe hoek in graden tussen de raaklijn aan de baan in punt P en de x-as. Wat kun je verwachten: Je moet de helling van de raaklijn aan een parametrische kromme berekenen en vervolgens de hoek bepalen die deze raaklijn maakt met de x-as. Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van het differentiëren van goniometrische functies met de ketenregel en hoe je met de afgeleide de helling en de hoek van de raaklijn vindt. Waar op letten: Let goed op het toepassen van de ketenregel bij het differentiëren en reken de goniometrische waarden exact uit om afrondingsfouten te voorkomen. Kernbegrippen: parametrische kromme, afgeleide van een vectorfunctie, raaklijn, helling, differentiëren van goniometrische functies, ketenregel Veelgemaakte fouten: - ketenregel vergeten bij differentiëren van cos(4t) en sin(4t) - rekenfouten met goniometrische waarden op de eenheidscirkel - verkeerd bepalen van de scherpe hoek uit de helling Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/10 ## Vraag 11 – Cirkel en lijn: x-coördinaat P berekenen (4 punten) Gegeven zijn de punten A(−1, 0) en B(3, 0). Verder is gegeven de cirkel c met middellijn AB. De lijn k gaat door de oorsprong O en snijdt cirkel c in punt P. De afstand tussen O en P is gelijk aan 2½. In figuur 1 zijn lijn k en de bovenste helft van cirkel c getekend. figuur 1 [figuur 1] 11. Bereken exact de x-coördinaat van P. Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaat van een snijpunt van een lijn en een cirkel berekenen, waarbij je gegevens krijgt over het middelpunt en de straal van de cirkel, en de afstand tussen de oorsprong en het snijpunt. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen, weten hoe je een stelsel van vergelijkingen oplost, of de cosinusregel kunnen toepassen in een driehoek. Waar op letten: Let goed op het correct bepalen van het middelpunt en de straal van de cirkel, meestal gaat het daar mis bij de start. Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, stelsel van vergelijkingen oplossen, analytische meetkunde, cosinusregel, coördinaten Veelgemaakte fouten: - Fout bij het bepalen van het middelpunt of de straal van cirkel c. - Algebraïsche fouten bij het oplossen van het stelsel van kwadratische vergelijkingen. - Onjuiste toepassing van de cosinusregel in driehoek OMP. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/11 ## Vraag 12 – Oppervlakte van een vierhoek berekenen (5 punten) In figuur 2 is de driehoek BRO getekend met ∠BRO = 90°. punt R boven de x-as en OR = 1. De lijn door B en R snijdt c in het punt S. Driehoek BSA is dan een driehoek met ∠ASB = 90°. Vierhoek AORS is grijs weergegeven. 12 Bereken exact de oppervlakte van vierhoek AORS. Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte van een gegeven vierhoek berekenen door slim gebruik te maken van de eigenschappen van de getekende figuren. Dit vereist vaak het ontbinden van de figuur in eenvoudigere vormen of het toepassen van gelijkvormigheid. Wat moet je kennen: Om deze vraag goed te beantwoorden, moet je gelijkvormigheid van driehoeken herkennen en correct toepassen, de stelling van Pythagoras beheersen en weten hoe je de oppervlakte van driehoeken en (soms) trapezium berekent. Waar op letten: Een veelvoorkomende valkuil is het vergeten dat de vergrotingsfactor voor oppervlaktes het kwadraat is van de lineaire vergrotingsfactor, of het niet herkennen van de gelijkvormige driehoeken. Kernbegrippen: gelijkvormigheid, stelling van Pythagoras, oppervlakte van vlakke figuren, coördinatenmeetkunde, oppervlakteberekening Veelgemaakte fouten: - Vergrotingsfactor voor oppervlakte (kwadraat) vergeten en de lineaire factor gebruiken. - Gelijkvormigheid tussen de driehoeken BRO en BSA niet herkennen. - Rekenfouten bij het werken met breuken en wortels. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/12 ## Vraag 13 – Bewijs van geen perforatie (4 punten) Voor elke waarde van *a* wordt de functie *f**a* gegeven door: *f**a*(*x*) = (ax² – 2) / (x² + a) Er bestaat geen waarde van *a* waarvoor de grafiek van *f**a* een perforatie heeft. Bewijs dit. Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om te bewijzen dat er geen perforatie van de grafiek kan optreden. Je moet hierbij de definitie van een perforatie toepassen op een gegeven functie. Wat moet je kennen: Je moet weten dat een perforatie ontstaat als de teller én de noemer van een rationale functie voor dezelfde x-waarde nul zijn. Ook heb je basis algebraïsche vaardigheden nodig voor het oplossen van vergelijkingen. Waar op letten: Let goed op dat je bewijst dat de vergelijkingen geen oplossing hebben en niet per ongeluk een perforatie construeert. Kernbegrippen: perforatie, rationale functies, bewijsvoering, stelsel van vergelijkingen Veelgemaakte fouten: - De voorwaarde voor een perforatie onvolledig toepassen (bijvoorbeeld alleen noemer=0 controleren). - Een algebraïsche fout maken bij het substitueren van de ene vergelijking in de andere. - Een onjuiste conclusie trekken uit de vergelijking a² = -2. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/13 ## Vraag 14 – Minimale lengte van een lijnstuk (6 punten) De lengte van lijnstuk ST is afhankelijk van a. Deze lengte heeft een minimum. Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is. Wat kun je verwachten: Deze vraag test je begrip van functies, limieten, asymptoten en differentiëren om een minimum te vinden. Je moet de lengte van een lijnstuk bepalen en vervolgens de kleinste waarde daarvan vinden. Wat moet je kennen: Je hebt kennis nodig van het bepalen van verticale én horizontale asymptoten met limietrekening, en hoe je een extremum (minimum of maximum) vindt door de afgeleide nul te stellen. Waar op letten: Let goed op de tekens bij het berekenen van de afstand; een fout hier kan leiden tot een verkeerde uitkomst die je in de rest van de opgave meeneemt. Kernbegrippen: functies met parameters, horizontale asymptoot, limietrekening, differentiëren, extremum bepalen Veelgemaakte fouten: - Teken-fout bij het berekenen van de afstand ST: a - (2/a) in plaats van a - (-2/a). - Fout bij het differentiëren van 2/a (een term van de vorm 1/x). - De negatieve oplossing a = -√2 niet verwerpen, terwijl gegeven is dat a > 0. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/14 ## Vraag 15 – Rangnummer Saturnus bij Wet van Titius-Bode (2 punten) Saturnus heeft volgens de Wet van Titius-Bode een afstand van 10 AE tot de zon. Bereken exact welk rangnummer Saturnus dan zou hebben. Wat kun je verwachten: Bij deze vraag moet je een exponentiële vergelijking oplossen. Je krijgt een formule en de uitkomst, en jij moet de onbekende in de exponent vinden. Wat moet je kennen: Je moet goed zijn in het algebraïsch oplossen van vergelijkingen en weten hoe je met machten (vooral machten van 2) omgaat. Waar op letten: Let goed op de rekenvolgorde: isoleer eerst de term met de macht voordat je verder rekent, en niet alles door elkaar gooien! Kernbegrippen: exponentiële vergelijkingen, algebraïsch oplossen, machten van 2 Veelgemaakte fouten: - Rekenvolgorde niet correct toepassen (bijvoorbeeld eerst 0,4 en 0,3 optellen). - Fout bij het isoleren van de machtsterm 2^(n-2). - Niet herkennen dat 32 gelijk is aan 2^5. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/15 ## Vraag 16 – Bewijs met de cosinusregel (3 punten) Bewijs dat dit verband juist is. Wat kun je verwachten: Je moet een gegeven verband bewijzen door de cosinusregel toe te passen in twee verschillende driehoeken. De vraag vraagt om een algebraïsche afleiding waarbij je de resultaten van de cosinusregel combineert en herleidt. Wat moet je kennen: Cosinusregel: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(gamma), waarbij gamma de hoek is tegenover zijde c. Goniometrische identiteit: cos(180° - alpha) = -cos(alpha). Wat moet je kunnen: De cosinusregel correct toepassen in twee verschillende driehoeken. De resulterende vergelijkingen algebraïsch herleiden om een uitdrukking voor cos(alpha) of 2ab*cos(alpha) te isoleren. De twee herleide vergelijkingen aan elkaar gelijkstellen of combineren om het gevraagde verband te bewijzen. Waar op letten: Zorg dat je de juiste zijden en de tegenoverliggende hoek gebruikt bij het toepassen van de cosinusregel. Voer de algebraïsche herleidingen nauwkeurig uit om rekenfouten te voorkomen. Let op de goniometrische relatie tussen supplementaire hoeken (hoeken die samen 180° zijn) en hun cosinussen. Kernbegrippen: cosinusregel, goniometrie, algebraïsch herleiden Veelgemaakte fouten: - De cosinusregel verkeerd toepassen door zijden en de tegenoverliggende hoek te verwarren. - Reken- of algebrafouten bij het omschrijven van de vergelijkingen. - De goniometrische relatie cos(180° - α) = -cos(α) niet herkennen of gebruiken, hoewel dit voor de eindstap niet strikt nodig is. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/16 ## Vraag 17 – Afstand Aarde-Venus met cosinusregel (3 punten) Bereken algebraïsch de afstand in AE van de aarde tot Venus in de gegeven situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen. Wat kun je verwachten: Een meetkundige vraag waarbij je de afstand tussen twee hemellichamen moet berekenen. Je krijgt een figuur met bekende afstanden en hoeken, en je moet de cosinusregel en goniometrische identiteiten toepassen om een onbekende afstand algebraïsch te vinden. Wat moet je kennen: Cosinusregel: c² = a² + b² - 2ab * cos(gamma) Goniometrische identiteit: cos(180° - alpha) = -cos(alpha) Definitie van een parallellogram (overstaande zijden zijn gelijk en evenwijdig, overstaande hoeken zijn gelijk, aangrenzende hoeken zijn samen 180°) Wat moet je kunnen: De cosinusregel correct toepassen in verschillende driehoeken. Een goniometrische identiteit gebruiken om een vergelijking te vereenvoudigen. Een kwadratische vergelijking algebraïsch oplossen. Het eindantwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen en de juiste eenheid vermelden. Waar op letten: Let goed op de hoeken die je gebruikt in de cosinusregel en of deze correct zijn afgeleid uit de figuur. Controleer of je de goniometrische identiteit cos(180° - alpha) = -cos(alpha) correct toepast (let op het minteken). Vergeet niet de wortel te trekken uit d² om de uiteindelijke afstand d te vinden. Rond pas af aan het einde van de berekening, op twee decimalen zoals gevraagd. Kernbegrippen: goniometrische identiteiten, algebraïsch oplossen van vergelijkingen, cosinusregel, parallellogram Veelgemaakte fouten: - Verkeerd toepassen van de goniometrische identiteit, bijvoorbeeld cos(180° - α) = cos(α). - Reken- of afrondingsfout bij het oplossen van de vergelijking. - Vergeten de wortel te trekken uit d² om d te vinden. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/17 ## Vraag 18 – Straal van baan om zwaartepunt (4 punten) De kleine cirkel in figuur 2 is de baan van de zon om het zwaartepunt. Bereken de straal van deze baan in km. Geef je eindantwoord in honderdduizendtallen. Wat kun je verwachten: Dit is een vraag over het zwaartepunt van twee massa's (zon en Jupiter) en de baan die één van de objecten (de zon) om dit zwaartepunt beschrijft. Je krijgt de massa's en de afstand tussen de objecten, en moet de straal van de baan van de zon berekenen. Wat moet je kennen: Formule voor het zwaartepunt (massamiddelpunt) van twee puntmassa's m1 en m2 op posities r1 en r2: vector(r_zwaartepunt) = (m1*vector(r1) + m2*vector(r2)) / (m1 + m2) Alternatieve formule voor de afstand van het zwaartepunt tot m1 (d1) en m2 (d2): m1 * d1 = m2 * d2 Wat moet je kunnen: 1. Kies een geschikt coördinatenstelsel, bijvoorbeeld met de zon in de oorsprong (0,0) en Jupiter op de x-as. 2. Vul de gegeven massa's en posities in de zwaartepuntformule in om de positie van het zwaartepunt te bepalen. 3. Bereken de afstand van de zon tot het zwaartepunt; dit is de straal van de baan van de zon. 4. Zorg dat je antwoord in de gevraagde eenheid (km) en afronding (honderdduizendtallen) is. Waar op letten: Let goed op het correct invullen van de massa's en afstanden in de zwaartepuntformule, vooral bij het werken met machten van 10. Vergeet niet het antwoord in de gevraagde afronding (honderdduizendtallen) te geven. Controleer of je de straal van de juiste baan berekent (die van de zon, niet van Jupiter of de afstand tussen de objecten). Kernbegrippen: zwaartepunt, massamiddelpunt, vectorrekening, gewogen gemiddelde, werken met machten van 10 Veelgemaakte fouten: - De massa's in de zwaartepuntformule verwisselen. - Reken- of intoetsfouten bij het werken met grote getallen en machten van 10. - Het antwoord niet in de gevraagde eenheid of afronding (honderdduizendtallen) geven. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/18 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2024 tijdvak 1 donderdag 23 mei 13.30 - 16.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1025-a-24-1-o ### Pagina 2 Formules Goniometrie $\sin(t + u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$ $\sin(t - u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$ $\cos(t + u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$ $\cos(t - u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$ $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$ $\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$ VW-1025-a-24-1-o 2 / 11 lees verder ►►► ### Pagina 3 Stijgend en horizontaal De functie f wordt gegeven door $f(x) = x^5 - 3x\sqrt{x}$. In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven. figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek van de functie f met de x- en y-as. De grafiek begint linksboven, daalt en snijdt de y-as bij O, bereikt een minimum en stijgt daarna.] Op de grafiek ligt het punt $A(1, -2)$. 3p 1 Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt. Het lijnstuk PQ is horizontaal en heeft lengte $\frac{1}{2}$. De eindpunten P en Q van dit lijnstuk liggen op de grafiek van f. Zie figuur 2. figuur 2 [FIGUUR: Een deel van de grafiek van functie f, met een horizontaal lijnstuk PQ. De coördinaten van P en Q zijn niet expliciet aangegeven, maar er is een markering $\frac{1}{2}$ op het lijnstuk.] 4p 2 Bereken de x-coördinaat van P. Geef je eindantwoord in drie decimalen. VW-1025-a-24-1-o 3 / 11 lees verder ►►► ### Pagina 4 Wachttijden Een wachttijd is de tijd die je op een dienst moet wachten. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de tijd die nodig is om een medewerker van een klantenservice aan de telefoon te krijgen of de tijd die nodig is voordat je wordt geholpen bij de bakker. In 1909 ontwikkelde de Deense wiskundige Agner Erlang een wiskundig model om te berekenen in hoeveel procent van de gevallen bepaalde wachttijden voorkomen. Dit percentage komt overeen met de oppervlakte onder een grafiek. In deze opgave gaan we uit van een dienst waarbij het volgende model van Erlang hoort: $f(t) = 50e^{-\frac{1}{2}t}$ met $t \geq 0$ Hierbij is $t$ de tijd in minuten. Stel dat je wilt weten in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Je bepaalt dan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$, de $t$ as en de lijnen met vergelijking $t=3$ en $t=4$. Deze oppervlakte blijkt (afgerond) 8,8 te zijn. Dit wil zeggen dat in 8,8% van alle gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Zie de figuur. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as genummerd tot 50 en de x-as genummerd met 0, 3, 4. De grafiek zelf is een dalende curve die begint bij 50 op de y-as en langzaam daalt naar de x-as. Een deel van het gebied onder de curve tussen t=3 en t=4 is gearceerd.] 3p 3 Bereken algebraïsch in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 0 en 3 minuten ligt. Geef je eindantwoord in één decimaal. VW-1025-a-24-1-o 4 / 11 lees verder ► ► ► ### Pagina 5 Een wachttijd van meer dan twintig minuten komt in dit voorbeeld zelden voor. Daarom wordt de gemiddelde wachttijd berekend met: $$ \frac{1}{100} \cdot \int_0^{20} t \cdot f(t) dt $$ Om de gemiddelde wachttijd te kunnen berekenen, maakt iemand gebruik van het gegeven dat $y = (\frac{1}{a}t - \frac{1}{a^2})e^{at}$ een primitieve is van $y = te^{at}$ (met $a \neq 0$). 3p 4 Bewijs dat $y = (\frac{1}{a}t - \frac{1}{a^2})e^{at}$ inderdaad een juiste primitieve is van $y = te^{at}$ voor elke waarde van $a$ (met $a \neq 0$). 4p 5 Bereken algebraïsch de gemiddelde wachttijd in minuten voor de situatie met $f(t) = 50e^{-\frac{1}{2}t}$. Geef je eindantwoord als geheel getal. Verschuiven De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = (3x-7)^2$. De grafiek van $f$ wordt naar rechts en omhoog verschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie $g$. De grafiek van $g$ gaat door het punt $A(5,40)$. De helling van de raaklijn in $A$ aan de grafiek van $g$ is $-6$. 6p 6 Stel op exacte wijze een functievoorschrift van $g$ op. VW-1025-a-24-1-o 5/11 lees verder ► ► ► ### Pagina 6 Logaritme, wortel en exponent De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = ^2\log(\sqrt{1+8^x})$. De functie $g$ is de inverse functie van $f$. In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as, en twee krommen genaamd f en g. Kromme f start boven de x-as en stijgt snel. Kromme g start onder de x-as en stijgt langzamer. Er is een gestippelde verticale lijn getekend tussen de twee grafieken.] figuur Het gestippelde lijnstuk in de figuur is het kortst mogelijke verticale lijnstuk dat de grafieken van $f$ en $g$ met elkaar verbindt. 5p 7 Bereken de lengte van dit lijnstuk. Geef je eindantwoord in twee decimalen. Op de grafiek van $f$ ligt punt $P$ met $x$-coördinaat $p$ en op punt $Q$ met $x$-coördinaat $p+1$. Voor elke waarde van $p$ kan het verschil $y_Q - y_P$ worden bepaald. 6p 8 Onderzoek op exacte wijze of er een waarde van $p$ is waarvoor dit verschil gelijk is aan 3. VW-1025-a-24-1-o 6 / 11 lees verder ### Pagina 7 Klavertje drie Het punt $P$ beweegt over een baan gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: $$ \begin{cases} x_P(t) = 4\cos(t) + \cos(4t) \\ y_P(t) = 4\sin(t) + \sin(4t) \end{cases} $$ met $t$ in seconden en $0 \le t \le 2\pi$. De baan waarover punt $P$ beweegt, is weergegeven in de figuur. Het punt $Q$ beweegt ook over deze baan. Punt $Q$ loopt $\pi$ seconden voor op punt $P$. De bewegingsvergelijkingen van $Q$ zijn dus: $$ \begin{cases} x_Q(t) = 4\cos(t+\pi) + \cos(4(t+\pi)) \\ y_Q(t) = 4\sin(t+\pi) + \sin(4(t+\pi)) \end{cases} $$ met $t$ in seconden en $0 \le t \le 2\pi$. Er zijn twee momenten waarop $P$ en $Q$ recht boven elkaar liggen, dus dan geldt $x_P = x_Q$. In de figuur is zo'n situatie weergegeven. figuur [FIGUUR: Een grafiek met de x- en y-as. De x-as loopt horizontaal door de oorsprong O, de y-as loopt verticaal door de oorsprong O. Er is een kromme getekend die aan beide zijden van de y-as symmetrisch is en eruitziet als een klaverblad met de steel naar links. Op de kromme zijn twee punten P en Q aangegeven. Punt P ligt op het rechter deel van de kromme, in het eerste kwadrant. Punt Q ligt op het linker deel van de kromme, in het derde kwadrant, aan de linkerkant van de y-as, en iets lager dan punt P.] 5p 9 Bereken exact de afstand tussen $P$ en $Q$ in deze situaties. Op tijdstip $t = \frac{2}{3}\pi$ bevindt het punt $P$ zich in $(-2\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2}\sqrt{3})$. 6p 10 Bereken exact de scherpe hoek in graden tussen de raaklijn aan de baan in punt $P$ en de $x$ as. VW-1025-a-24-1-o 7 / 11 lees verder ### Pagina 8 Halve cirkel Gegeven zijn de punten $A(-1, 0)$ en $B(3, 0)$. Verder is gegeven de cirkel $c$ met middellijn $AB$. De lijn $k$ gaat door de oorsprong $O$ en snijdt cirkel $c$ in punt $P$. De afstand tussen $O$ en $P$ is gelijk is aan $2\frac{1}{2}$. In figuur 1 zijn lijn $k$ en de bovenste helft van cirkel $c$ getekend. figuur 1 [FIGUUR: Een halve cirkel met middellijn AB op de x-as. De oorsprong O is het midden van AB. Een lijn k gaat door O en snijdt de cirkel in punt P. De y-as is getekend.] 4p 11 Bereken exact de x-coördinaat van $P$. In figuur 2 is de driehoek $BRO$ getekend met $\angle BRO = 90^{\circ}$, punt $R$ boven de x-as en $OR = 1$. In figuur 2 is de lijn door $B$ en $R$ snijdt $c$ in het punt $S$. Driehoek $BSA$ is dan een driehoek met $\angle ASB = 90^{\circ}$. Vierhoek $AORS$ is grijs weergegeven. figuur 2 [FIGUUR: Een halve cirkel met middellijn AB op de x-as. De oorsprong O is het midden van AB. Een punt R is getekend boven de x-as. Lijn BR snijdt de cirkel in S. Vierhoek AORS is grijs. Een haakse hoek is getekend bij R en bij S.] 5p 12 Bereken exact de oppervlakte van vierhoek $AORS$. VW-1025-a-24-1-o 8 / 11 lees verder ►►► ### Pagina 9 Top, asymptoot en geen perforatie Voor elke waarde van $a$ wordt de functie $f_a$ gegeven door: $$ f_a(x) = \frac{ax^2 - 2}{x^2 + a} $$ Er bestaat geen waarde van $a$ waarvoor de grafiek van $f_a$ een perforatie heeft. 4p 13 Bewijs dit. In het volgende onderdeel zijn de mogelijke waarden van $a$ de positieve getallen, dus $a > 0$. De grafiek van $f_a$ heeft één top $T$ en deze ligt op de $y$-as. Verder heeft de grafiek van $f_a$ een horizontale asymptoot. Punt $S$ is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de $y$-as. Als voorbeeld is in de figuur de grafiek van $f_3$ weergegeven. [FIGUUR: Een assenstelsel met een grafiek. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal. Op de y-as staat 'y' en op de x-as staat 'x'. Er is een horizontale stippellijn getekend die de horizontale asymptoot voorstelt, met een punt 'S' op de y-as. De grafiek start vanaf de rechterkant hoog boven de asymptoot en buigt naar beneden, met de pijl wijzend naar rechts en omhoog. Twee verticale lijnen zijn getekend: een op de y-as, en een bij de top van de curve waar deze de y-as snijdt. Er is een punt 'T' op de y-as getekend, onder de asymptoot. De functie is gelabeld als 'f3'.] figuur De lengte van lijnstuk $ST$ is afhankelijk van $a$. Deze lengte heeft een minimum. 6p 14 Bereken exact voor welke positieve waarde van $a$ de lengte van lijnstuk $ST$ minimaal is. VW-1025-a-24-1-o 9 / 11 lees verder ►►► ### Pagina 10 Vereenvoudigde sterrenkunde De Wet van Titius-Bode¹) is een wet uit de astronomie die door Johann Titius werd opgesteld in de achttiende eeuw. Deze wet legt een verband tussen het rangnummer van een planeet en de afstand van die planeet tot de zon. Met het rangnummer van een planeet wordt bedoeld: 'de zoveelste planeet geteld vanaf de zon'. De planeet die het dichtst bij de zon staat krijgt nummer 1, de volgende 2 enzovoorts. De wet luidt: $a = 0,4 + 0,3 \cdot 2^{n-2}$ Hierin is $a$ de afstand van de planeet tot de zon uitgedrukt in AE (Astronomische Eenheid, 1 AE = afstand van de aarde tot de zon) en is $n$ het rangnummer van de planeet. Saturnus heeft volgens de Wet van Titius-Bode een afstand van 10 AE tot de zon. 2p 15 Bereken exact welk rangnummer Saturnus dan zou hebben. We bekijken de planeten Mars, Venus en de aarde. We gaan uit van het volgende eenvoudige model: De drie planeten draaien ieder in een cirkelvormige baan met de zon als middelpunt. De cir- banen liggen in één plat vlak. De afstand van Venus tot de zon is 0,7 AE, de afstand van de aarde tot de zon is 1,0 AE en de afstand van Mars tot de zon is 1,6 AE. figuur 1 (afstanden in AE) [FIGUUR: Schematische weergave van planetenbanen rond de zon. De zon is aangeduid met Z. Banen zijn cirkelvormig. Afstanden tot de zon van Venus (V), Aarde (A) en Mars (M) zijn aangegeven. Verschillende hoeken en afstanden zijn gelabeld met d, alpha, 0,7, 1,0, 1,6.] Het is mogelijk dat de drie planeten op één lijn liggen waarbij Venus precies midden tussen Mars en de aarde in ligt. Deze situatie is weergegeven in figuur 1. noot 1 Er is geen wetenschappelijke onderbouwing voor deze wet en er wordt tegenwoordig aangenomen dat de wet alleen berust op een toevallige overeenkomst met de werkelijke afstanden. VW-1025-a-24-1-o 10 / 11 lees verder ▶▶▶ ### Pagina 11 De afstand in AE van de aarde tot Venus is $d$ en hoek $AVZ$ in graden is $\alpha$. Met behulp van figuur 1 kan het volgende verband tussen $d$ en $\alpha$ worden gevonden: $$ \frac{d^2 - 0,51}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2 - 2,07}{\cos(180^{\circ} - \alpha)} $$ 3p 16 Bewijs dat dit verband juist is. 3p 17 Bereken algebraïsch de afstand in AE van de aarde tot Venus in de gegeven situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen. Meestal wordt gezegd dat de planeten in ons zonnestelsel om de zon draaien. Dat klopt echter niet helemaal: de zon en de planeten draaien allemaal om hun gemeenschappelijke zwaartepunt. Stel dat het zonnestelsel alleen zou bestaan uit Jupiter en de zon. We beschouwen deze twee hemellichamen als twee puntmassa's. Jupiter is verreweg de zwaarste planeet in ons zonnestelsel met een massa van $2 \cdot 10^{27}$ kg en een afstand tot de zon van $8 \cdot 10^{8}$ km. De zon heeft een massa van $2 \cdot 10^{30}$ kg. Zie figuur 2 (niet op schaal). figuur 2 [FIGUUR: Schema van de zon en Jupiter en hun zwaartepunt, met pijlen die de richting van hun banen aangeven.] zon massa $= 2 \cdot 10^{30}$ kg zwaartepunt van zon en Jupiter Jupiter massa $= 2 \cdot 10^{27}$ kg afstand zon-Jupiter $= 8 \cdot 10^{8}$ km 4p 18 De kleine cirkel in figuur 2 is de baan van de zon om het zwaartepunt. Bereken de straal van deze baan in km. Geef je eindantwoord in honderdduizendtallen. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. VW-1025-a-24-1-o 11 / 11 einde ■