# Eindexamen Wiskunde B VWO 2023 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2

## Vraag 1 – Richtingscoëfficiënt raaklijn met quotiëntregel (3 punten)

De functie f wordt gegeven door:
f(x) = (x^2 - 2x)/(x - 3)
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in O.
Zie de figuur.

1 Bereken exact de richtingscoëfficiënt van l.

Wat kun je verwachten: Dit is een differentieervraag waarbij je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn moet bepalen. Je krijgt een functie f(x) in de vorm van een breuk en de informatie dat de raaklijn door de oorsprong gaat.

Wat moet je kennen: De afgeleide f'(x) geeft de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in punt x.
Quotiëntregel: Als h(x) = f(x)/g(x), dan is h'(x) = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x))^2.
De afgeleide van x^n is n*x^(n-1).

Wat moet je kunnen: Bepaal de afgeleide van de functie f(x) met behulp van de quotiëntregel.
Substitueer de x-coördinaat van het raakpunt in de afgeleide om de richtingscoëfficiënt te vinden.
Vereenvoudig de uitdrukking van de afgeleide en de uiteindelijke richtingscoëfficiënt tot een exacte waarde.

Waar op letten: Let goed op de correcte toepassing van de quotiëntregel, inclusief de min-tekens en de kwadratering in de noemer.
Verwar de functiewaarde f(0) niet met de afgeleide f'(0).
Zorg ervoor dat je een exact antwoord geeft, geen afgeronde decimale waarde.

Kernbegrippen: differentiëren, quotiëntregel, raaklijn, richtingscoëfficiënt

Veelgemaakte fouten:
- foutieve toepassing van de quotiëntregel
- rekenfout bij het invullen van x=0
- verwarring tussen de functiewaarde f(0) en de afgeleide f'(0)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Asymptoten en translatie (6 punten)

De grafiek van f heeft een scheve asymptoot en een verticale asymptoot. Deze twee asymptoten snijden elkaar in het punt S.
De grafiek van f ondergaat een translatie van 2 naar rechts en h omhoog. De grafiek die zo ontstaat, hoort bij de functie g. De waarde van h is zó gekozen dat S op de grafiek van g ligt.
Bereken exact de waarde van h.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert kennis over asymptoten van rationale functies met het toepassen van translaties op grafieken. Je moet de coördinaten van het snijpunt van asymptoten bepalen en vervolgens een translatie correct toepassen om een onbekende parameter te vinden.

Wat moet je kennen: Verticale asymptoot: bij een gebroken functie f(x) = T(x)/N(x) is er een verticale asymptoot als N(x)=0 en T(x) ongelijk 0.
Scheve asymptoot: bij een gebroken functie f(x) = T(x)/N(x) met graad(T) = graad(N)+1, vind je de scheve asymptoot door polynoomdeling.
Translatie: een translatie van 'a' naar rechts en 'b' omhoog verandert f(x) in f(x-a)+b.

Wat moet je kunnen: Voer een staartdeling uit om de scheve asymptoot van een rationale functie te bepalen.
Bepaal de vergelijking van de verticale asymptoot door de noemer gelijk te stellen aan nul.
Bereken het snijpunt van twee lijnen door hun vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen.
Pas de translatie correct toe op de functie f(x) om g(x) te vinden.
Stel een vergelijking op en los deze exact op om de waarde van h te vinden.

Waar op letten: Controleer of je de staartdeling correct hebt uitgevoerd om de scheve asymptoot te vinden.
Let goed op de richting van de translatie: '2 naar rechts' betekent x-2 in de functie.
Zorg ervoor dat je de coördinaten van het snijpunt S correct invult in de getransleerde functie g(x).

Kernbegrippen: asymptoten van rationale functies, scheve asymptoot, verticale asymptoot, polynoomdeling, translatie van grafieken

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij de staartdeling om de scheve asymptoot te vinden.
- Verkeerd toepassen van de translatie, bijvoorbeeld f(x+2) in plaats van f(x-2).
- Rekenfout bij het oplossen van de vergelijking voor h.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Snijpunten sinusfunctie met horizontale lijn (4 punten)

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2sin(x - 1/3π).
Het lijnstuk AB verbindt de punten A(12π, 1) en B(16π, 1).
De grafiek van f snijdt dit lijnstuk in meerdere punten.
Bereken exact de x-coördinaten van deze snijpunten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een goniometrische functie (sinus) en een lijnstuk. Je moet de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek met dit lijnstuk exact berekenen. Dit komt neer op het oplossen van een goniometrische vergelijking binnen een specifiek interval.

Wat moet je kennen: Algemene oplossing sin(A) = c:
1. A = arcsin(c) + k * 2π
2. A = π - arcsin(c) + k * 2π
Exacte waarden van sinus voor standaardhoeken (bijv. sin(1/6π) = 1/2, sin(1/2π) = 1).

Wat moet je kunnen: 1. Stel de vergelijking op door de functie gelijk te stellen aan de y-coördinaat van het lijnstuk.
2. Los de goniometrische vergelijking op naar de variabele binnen de sinus (bijv. x - 1/3π).
3. Isoleer x in beide algemene oplossingen.
4. Bepaal welke oplossingen binnen het gegeven interval (12π <= x <= 16π) vallen door verschillende gehele waarden voor k te proberen.

Waar op letten: Vergeet niet de tweede oplossing van de sinusvergelijking (π - arcsin(c)).
Werk nauwkeurig met breuken en veelvouden van π.
Controleer of alle gevonden oplossingen binnen het opgegeven interval liggen.

Kernbegrippen: goniometrische vergelijking oplossen, sinusfunctie, oplossingen in een interval, exacte waarden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de tweede oplossing sin(A) = sin(π-A)
- Reken- of notatiefouten met breuken en π
- Incorrect bepalen van de oplossingen binnen het gegeven domein

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Midden van snijpunten op de x-as (3 punten)

De functie g wordt gegeven door g(x) = 2cos(x − 3/4π) + 2.
Voor elke waarde van a snijdt de verticale lijn met vergelijking x = a de grafieken van f en g elk in één punt. Het midden van deze twee punten ligt voor sommige waarden van a op de x-as. Op het domein [0, 2π] is dat voor twee waarden van a het geval. Zie figuur 1.

Bereken voor welke twee waarden van a dit het geval is. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee goniometrische functies (sinus en cosinus) en moet bepalen voor welke waarden van 'a' het midden van de snijpunten van de verticale lijn x=a met de grafieken op de x-as ligt. Dit komt neer op het opstellen en oplossen van een goniometrische vergelijking, waarbij je de grafische rekenmachine mag gebruiken.

Wat moet je kennen: Coördinaten van het midden M van een lijnstuk AB met A(x_A, y_A) en B(x_B, y_B): M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2).
Een punt ligt op de x-as als de y-coördinaat 0 is.
Definitie van een verticale lijn x = a.

Wat moet je kunnen: De y-coördinaten van de snijpunten van de lijn x=a met de grafieken van f en g bepalen (dit zijn f(a) en g(a)).
De y-coördinaat van het midden van deze twee punten uitdrukken in f(a) en g(a).
Een vergelijking opstellen door de y-coördinaat van het midden gelijk te stellen aan 0.
De opgestelde goniometrische vergelijking oplossen met behulp van de grafische rekenmachine (intersect-functie).
De oplossingen binnen het gegeven domein [0, 2π] bepalen en afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Let goed op het correct opstellen van de vergelijking: het gaat om het midden van de y-waarden, niet om het snijpunt van de functies zelf.
Zorg dat je grafische rekenmachine in radialen staat ingesteld.
Controleer of de gevonden oplossingen binnen het opgegeven domein [0, 2π] vallen en rond correct af op twee decimalen.

Kernbegrippen: goniometrische functies, grafisch oplossen van vergelijkingen, coördinaten van het midden van een lijnstuk, sinusoïden

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de vergelijking, bijvoorbeeld f(a) = g(a) in plaats van f(a) + g(a) = 0.
- De grafische rekenmachine in graden-modus gebruiken in plaats van radialen.
- Het domein [0, 2π] niet correct toepassen bij het vinden van de oplossingen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Amplitude na transformaties (4 punten)

De functie h wordt gegeven door h(x) = f(x) + 3·g(x). In figuur 2 zijn de grafieken van f en h weergegeven.

figuur 2
[afbeelding van een assenstelsel met twee grafieken]

Je kunt de grafiek van h laten ontstaan uit de grafiek van f door middel van meerdere translaties en één vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as. Neem aan dat dit een vermenigvuldiging is met factor p. Daarbij geldt dat p > 0.
Bereken deze waarde van p. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het bepalen van een vermenigvuldigingsfactor (p) van een sinusoïde ten opzichte van de x-as. Je krijgt de grafieken van twee functies, f en h, en de relatie h(x) = f(x) + 3*g(x). Je moet de factor p berekenen op basis van de amplitudes van de grafieken.

Wat moet je kennen: De amplitude van een sinusoïde is de helft van het verschil tussen de maximale en minimale functiewaarde.
Een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor p verandert de amplitude van een functie met diezelfde factor p.

Wat moet je kunnen: Lees de amplitude van de grafiek van f af uit figuur 2.
Bepaal de extreme waarden (minimum en maximum) van de grafiek van h uit figuur 2.
Bereken de amplitude van de grafiek van h met behulp van deze extreme waarden.
Bereken de factor p door de amplitudes van h en f met elkaar te vergelijken.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de amplitude en de evenwichtsstand bij het aflezen van de grafieken.
Zorg ervoor dat je het eindantwoord afrondt op twee decimalen, zoals gevraagd.
Verwar de verticale verschuiving (translatie) niet met de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as; de factor p beïnvloedt alleen de amplitude.

Kernbegrippen: transformaties van grafieken, amplitude van een sinusoïde, extreme waarden, aflezen van een grafiek

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de amplitude van f uit de grafiek.
- Verwarren van de verticale verschuiving met de vermenigvuldiging.
- Niet realiseren dat de factor p de verhouding van de amplitudes is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Lengteverhouding lijnstukken met projecties (7 punten)

Gegeven zijn de punten A(-2, -2), B(2, 2) en C(1 3/5, 8 4/5).
Lijn l is de lijn met de vectorvoorstelling:
(x y) = (1 9) + t * (3 -1)
Het punt C is de loodrechte projectie van A op lijn l en het punt D is de loodrechte projectie van B op lijn l.
Zie de figuur.

figuur
[figuur]

Lijnstuk AB is √k keer zo lang als lijnstuk CD. Hierin is k een geheel getal.
Bereken exact de waarde van k.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert vectorrekening met meetkunde. Je moet de coördinaten van een projectiepunt bepalen, afstanden tussen punten berekenen en een verhouding van lijnstuklengtes exact uitdrukken. Er is een vectorvoorstelling van een lijn gegeven en coördinaten van punten.

Wat moet je kennen: Vectorvoorstelling van een lijn: (x y) = p + t * r (steunvector p, richtingsvector r)
Loodrechte stand van vectoren: het inproduct van twee loodrechte vectoren is 0
Afstand tussen twee punten P(x1, y1) en Q(x2, y2): PQ = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
Vergelijking van een lijn: ax + by = c of y = mx + b
Richtingscoëfficiënt van een lijn loodrecht op een andere lijn: m1 * m2 = -1

Wat moet je kunnen: Een vectorvoorstelling van een lijn opstellen die loodrecht staat op een gegeven lijn en door een gegeven punt gaat.
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden oplossen om snijpunten te vinden.
De coördinaten van een punt D bepalen door de gevonden parameterwaarde in de vectorvoorstelling in te vullen.
De lengte van lijnstukken AB en CD exact berekenen met de afstandsformule.
De verhouding van de lengtes van de lijnstukken exact bepalen en hieruit de waarde van k afleiden.

Waar op letten: Let op het exact rekenen; laat wortels en breuken staan. Controleer of je de juiste richtingsvector gebruikt voor de loodrechte lijn. Zorg dat je de relatie tussen AB, CD en k correct toepast (AB = sqrt(k) * CD).

Kernbegrippen: vectorrekening, loodrechte projectie, afstand tussen twee punten, vergelijking van een lijn, richtingsvector

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfouten bij het oplossen van het stelsel van vergelijkingen.
- Verwarren van de relatie AB = √k * CD met AB² = √k * CD².
- Foutief bepalen van de loodrechte richtingsvector.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Snijpunten exponentiële functies exact oplossen (4 punten)

De functies f en g worden gegeven door f(x) = e^x - 1 en g(x) = 3(1 - e^{-x}).
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.

De x-coördinaten van de enige twee snijpunten van de grafieken van f en g zijn x = 0 en x = ln(3).

7 Bewijs dat dit juist is door de vergelijking f(x) = g(x) exact op te lossen.

Wat kun je verwachten: Je moet de snijpunten van twee exponentiële functies vinden door de functies aan elkaar gelijk te stellen. Dit leidt tot een vergelijking die je met behulp van substitutie en de abc-formule (of ontbinden in factoren) exact moet oplossen.

Wat moet je kennen: Rekenregels voor machten: a^p * a^q = a^(p+q), a^p / a^q = a^(p-q), (a^p)^q = a^(p*q), a^0 = 1.
Definitie van de natuurlijke logaritme: e^x = y <=> x = ln(y) voor y > 0.
Oplossen van kwadratische vergelijkingen: ax^2 + bx + c = 0 met de abc-formule of door ontbinden in factoren.

Wat moet je kunnen: Stel de twee functievoorschriften aan elkaar gelijk: f(x) = g(x).
Herleid de vergelijking tot een vorm die lijkt op een kwadratische vergelijking, bijvoorbeeld door alle termen naar één kant te brengen en te vermenigvuldigen met e^x.
Pas de substitutiemethode toe (bijvoorbeeld p = e^x) om een kwadratische vergelijking op te lossen.
Draai de substitutie terug om de waarden voor x te vinden met behulp van de natuurlijke logaritme.

Waar op letten: Let goed op tekenfouten bij het herleiden van de vergelijking.
Zorg ervoor dat je alle termen correct vermenigvuldigt met e^x.
Vergeet niet de substitutie terug te draaien om de uiteindelijke x-waarden te vinden.

Kernbegrippen: exponentiële functies, exponentiële vergelijkingen oplossen, substitutiemethode, kwadratische vergelijkingen, natuurlijke logaritme

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het vermenigvuldigen van e^{-x} met e^x.
- Vergeten de substitutie p = e^x terug te draaien naar oplossingen voor x.
- Reken- of tekenfouten bij het herleiden van de vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Oppervlakte tussen grafieken met e-machten (4 punten)

De grafieken van deze functies sluiten een vlakdeel in. In de figuur is dit vlakdeel grijs gemaakt.

Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van de exacte oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door twee grafieken. Je krijgt de functievoorschriften en een figuur die het vlakdeel visualiseert. Je moet de snijpunten bepalen en vervolgens een bepaalde integraal berekenen.

Wat moet je kennen: Oppervlakte tussen twee krommen: A = ∫ (g(x) - f(x)) dx, waarbij g(x) de 'bovenste' functie is en f(x) de 'onderste' functie.
Primitieve van e^x is e^x.
Primitieve van e^(-x) is -e^(-x) (denk aan de kettingregel).
Eigenschappen van logaritmen: ln(e^a) = a en e^(ln(a)) = a.

Wat moet je kunnen: Bepaal de snijpunten van de twee functies door f(x) = g(x) op te lossen om de integratiegrenzen te vinden.
Stel de verschilfunctie op: (bovenste functie) - (onderste functie). Gebruik de figuur om te zien welke functie boven ligt.
Bereken de primitieve van de verschilfunctie.
Vul de bovengrens en ondergrens in de primitieve in en trek de resultaten van elkaar af (F(b) - F(a)).

Waar op letten: Controleer goed welke functie de 'bovenste' is in het betreffende interval om een positieve oppervlakte te krijgen.
Wees nauwkeurig bij het primitiveren van e-machten, vooral bij e^(-x).
Voer de berekeningen met ln en e exact uit, vermijd afrondingen tot de laatste stap.

Kernbegrippen: oppervlakte tussen twee krommen, bepaalde integraal, primitiveren van e-machten, exact berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde volgorde van functies (f-g in plaats van g-f), wat leidt tot een negatief antwoord.
- Fout bij het primitiveren van e⁻ˣ (vergeten van de minteken-correctie uit de ketenregel).
- Reken- of tekenfouten bij het invullen van de grenzen, met name met ln(3) en e-machten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Coördinaten van een perforatie berekenen (3 punten)

De grafiek van h heeft één perforatie.
Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.

Wat kun je verwachten: Dit is een analysevraag over het vinden van een perforatie in een rationale functie met exponentiële termen. Je krijgt de functie h(x) en moet de exacte coördinaten van de perforatie bepalen.

Wat moet je kennen: Definitie van een perforatie: een punt waar teller en noemer van een rationale functie beide nul zijn, maar de limiet van de functie in dat punt wel bestaat.
Eigenschappen van exponentiële functies: e^0 = 1, e^(-x) = 1/e^x.
Limietregels voor rationale functies na vereenvoudiging.

Wat moet je kunnen: De x-coördinaat van de perforatie vinden door de noemer (en teller) gelijk te stellen aan nul.
De functie algebraïsch vereenvoudigen door gemeenschappelijke factoren weg te delen.
De limiet van de vereenvoudigde functie bepalen voor de gevonden x-waarde om de y-coördinaat te vinden.
De coördinaten exact noteren als (x, y).

Waar op letten: Controleer altijd of zowel de teller als de noemer nul zijn bij de gevonden x-waarde.
Wees zorgvuldig met het algebraïsch vereenvoudigen van de exponentiële termen.
Vergeet niet de y-coördinaat te berekenen; een perforatie is een punt en heeft dus twee coördinaten.

Kernbegrippen: perforatie, limieten, algebraïsch vereenvoudigen, exponentiële functies

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de limiet te nemen en concluderen dat de functie niet bestaat bij x=0.
- Fout bij het algebraïsch omschrijven van de breuk, bijvoorbeeld door de e-machten verkeerd te manipuleren.
- Alleen de x-coördinaat van de perforatie berekenen en de y-coördinaat vergeten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Snelheid berekenen bij een worp (5 punten)

De basketballer gooit de bal met een bepaalde snelheid onder een hoek α van 60°. In deze situatie geldt:

{ x(t) = v·cos(60°)·t
{ y(t) = v·sin(60°)·t − 4,9t² + 2,55

Als de bal op een horizontale afstand van 6 meter vanaf de speler een hoogte van 3,05 meter heeft, scoort hij.

10 Bereken in deze situatie algebraïsch de snelheid v van de bal op het moment van loslaten. Geef je eindantwoord in meters per seconde in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt parametrische vergelijkingen voor de horizontale (x) en verticale (y) positie van een bal als functie van de tijd (t) en beginsnelheid (v). Je moet de beginsnelheid (v) berekenen door een stelsel van vergelijkingen op te lossen, waarbij je gegeven posities (x, y) gebruikt.

Wat moet je kennen: Goniometrische waarden voor standaardhoeken (bijv. cos(60°), sin(60°)).
De algemene vorm van bewegingsvergelijkingen onder invloed van zwaartekracht.

Wat moet je kunnen: Een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden (v en t) algebraïsch oplossen.
Substitutie toepassen om één variabele te elimineren.
Een kwadratische vergelijking oplossen (bijv. met de abc-formule of door worteltrekken).
De juiste oplossing kiezen uit meerdere wiskundige oplossingen (bijv. tijd t > 0).

Waar op letten: Voer de berekeningen algebraïsch uit en rond pas aan het einde af tot één decimaal.
Controleer of de berekende tijd (t) positief is; een negatieve tijd heeft in deze context geen fysische betekenis.
Vermijd het te vroeg afronden van goniometrische waarden zoals sin(60°) en cos(60°).

Kernbegrippen: parametrische vergelijkingen, stelsel vergelijkingen oplossen, bewegingsvergelijkingen, goniometrie

Veelgemaakte fouten:
- Algebraïsche fouten bij het substitueren en oplossen van het stelsel.
- De negatieve oplossing voor de tijd t niet verwerpen.
- Tussenresultaten te vroeg afronden, wat leidt tot een onnauwkeurig eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Hoek van basketbalworp met parametrische vergelijkingen (5 punten)

Op een ander moment staat de basketballer opnieuw op een horizontale afstand van 6 meter van het midden van de basket. Hij gooit de bal onder een hoek α van 50°, nu met een snelheid van 8 meters per seconde.
In deze situatie geldt:
{ x(t) = 8cos(50°)·t
{ y(t) = 8sin(50°)·t - 4,9t² + 2,55
De bal gaat dan onder een bepaalde hoek β door de basket. Deze hoek is in figuur 2 aangegeven.

Bereken algebraïsch de grootte van hoek β in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt de parametrische vergelijkingen van een beweging (x(t) en y(t)) en moet de hoek van de baan met de horizontaal berekenen op een specifiek punt. Dit vereist differentiëren en goniometrie.

Wat moet je kennen: Snelheidsvector: v(t) = (x'(t), y'(t))
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan een kromme is dy/dx = y'(t) / x'(t)
Verband tussen richtingscoëfficiënt (m) en hoek (β) met de positieve x-as: m = tan(β)
Afgeleide van machtsfunctie: d/dx (x^n) = n*x^(n-1)

Wat moet je kunnen: Bepaal het tijdstip (t) waarop de bal door de basket gaat, gebruikmakend van de gegeven horizontale afstand.
Differentieer x(t) en y(t) naar t om x'(t) en y'(t) te vinden.
Bereken de waarden van x'(t) en y'(t) op het gevonden tijdstip t.
Gebruik de verhouding y'(t) / x'(t) om de tangens van de hoek β te vinden.
Bereken hoek β met behulp van de inverse tangensfunctie (arctan of tan^-1).

Waar op letten: Zorg ervoor dat je rekenmachine in de juiste hoekmodus staat (graden).
Voorkom afrondingsfouten door tussenresultaten met voldoende decimalen te bewaren.
Let op de juiste volgorde bij het bepalen van de tangens: y'(t) / x'(t).
Controleer of de berekende hoek logisch is in de context van de figuur (positief/negatief).

Kernbegrippen: parametrische kromme, afgeleide van een vectorfunctie, snelheidsvector, raaklijn aan een kromme, goniometrie

Veelgemaakte fouten:
- Rekenmachine in radialen in plaats van graden voor de goniometrische functies.
- De verhouding voor de tangens omdraaien (x'/y' in plaats van y'/x').
- Te vroeg afronden van tussenresultaten, wat leidt tot een onnauwkeurig eindantwoord.
- Een rekenfout bij het oplossen van de kwadratische vergelijking in de alternatieve uitwerking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Extreme waarde met absolute waarde (5 punten)

Bereken exact de x-coördinaat van punt T.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het berekenen van een extreme waarde (top) van een functie. De functie bevat een absolute waarde en een wortelfunctie, wat differentiëren complexer maakt. Je moet de x-coördinaat exact berekenen.

Wat moet je kennen: Definitie van absolute waarde: |x| = x voor x >= 0 en |x| = -x voor x < 0.
Productregel voor differentiëren: (f*g)' = f'*g + f*g'.
Kettingregel voor differentiëren: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).
Afgeleide van een machtsfunctie: (x^n)' = n*x^(n-1).
Afgeleide van een wortelfunctie: (sqrt(x))' = 1 / (2*sqrt(x)).

Wat moet je kunnen: De functie herschrijven zonder absolute waarde voor het relevante domein (x < 0).
De afgeleide van de herschreven functie bepalen met de productregel en kettingregel.
De afgeleide gelijkstellen aan nul om de x-coördinaat van de extreme waarde te vinden.
De resulterende vergelijking exact oplossen voor x.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de definitie van de absolute waarde voor x < 0.
Voorkom fouten bij het differentiëren van de wortelfunctie en het combineren van termen na de productregel.
Zorg dat je de vergelijking exact oplost en geen decimale benaderingen gebruikt.

Kernbegrippen: differentiëren, productregel, ketenregel, extreme waarden vinden, absolute waarde functie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omgaan met de absolute waarde |x| voor x < 0 (vergeten dat |x| = -x).
- Fout bij het toepassen van de productregel.
- Fout bij het differentiëren van de wortelfunctie.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Snijpunt lijn en wortelfunctie (5 punten)

Lijn k is de lijn door het randpunt P(-3, -3) van de grafiek van f en de oorsprong O. Lijn k snijdt de grafiek van f rechts van de y-as in het punt S. Zie figuur 2.

13 Bereken exact de x-coördinaat van punt S.

Wat kun je verwachten: Je moet het snijpunt berekenen van een lineaire functie (lijn k) en een wortelfunctie f. De lijn gaat door de oorsprong en een gegeven punt. Je moet een wortelvergelijking oplossen en de juiste oplossing kiezen op basis van de context (ligging van het punt S).

Wat moet je kennen: Vergelijking van een lijn door twee punten: y - y_1 = m(x - x_1) of y = ax + b
De abc-formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen: x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)
Definitie van een randpunt van een functie (waar de functie begint of eindigt)

Wat moet je kunnen: De vergelijking van een lijn opstellen aan de hand van twee gegeven punten.
Een wortelvergelijking oplossen door te kwadrateren (let op: kwadrateren kan extra oplossingen introduceren).
Een kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule of door ontbinden in factoren.
De gevonden oplossingen controleren in de oorspronkelijke vergelijking en/of aan de hand van de context van de vraag (bijvoorbeeld x > 0).

Waar op letten: Let op het correct kwadrateren van beide zijden van de vergelijking; (A+B)^2 is niet A^2+B^2.
Controleer altijd de oplossingen van een wortelvergelijking in de oorspronkelijke vergelijking, omdat kwadrateren 'valse' oplossingen kan introduceren.
Verwerp oplossingen die niet voldoen aan de voorwaarden in de vraag, zoals 'rechts van de y-as' (wat betekent x > 0).

Kernbegrippen: snijpunt van een lijn en een grafiek, wortelvergelijking oplossen, kwadratische vergelijking oplossen, abc-formule

Veelgemaakte fouten:
- De absolute waarde |x| niet correct vervangen door x voor de situatie x > 0.
- De negatieve oplossing van de abc-formule niet verwerpen, terwijl de vraag specificeert dat S rechts van de y-as ligt.
- Een fout maken bij het kwadrateren van de vergelijking, bijvoorbeeld (x+3)² verkeerd uitwerken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Inhoud omwentelingslichaam om horizontale lijn (5 punten)

De horizontale lijn l heeft vergelijking y = −3. Deze lijn heeft twee punten gemeenschappelijk met de grafiek van f, namelijk P(−3,−3) en (0,−3). Het gebied V wordt ingesloten door de grafiek van f en lijn l. In figuur 3 is dit gebied grijs gemaakt.

Gebied V wordt gewenteld om lijn l.
Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van de inhoud van een omwentelingslichaam. Je krijgt een functie f(x) en een horizontale lijn l (y = c) die een gebied V insluiten. Dit gebied wordt om lijn l gewenteld. Je moet de inhoud exact berekenen.

Wat moet je kennen: Formule voor de inhoud van een omwentelingslichaam om de x-as: I = pi * integraal(f(x)^2) dx
Regels voor primitiveren van machtsfuncties: integraal(x^n) dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C
Eigenschappen van absolute waarde: |x|^2 = x^2

Wat moet je kunnen: De functie verticaal verschuiven zodat de rotatie-as samenvalt met de x-as.
De nieuwe functie (na verschuiving) kwadrateren.
De grenzen van de integraal bepalen.
De resulterende functie primitiveren.
De grenzen invullen in de primitieve en de exacte waarde berekenen.

Waar op letten: Vergeet niet de functie te verschuiven zodat de rotatie-as de x-as wordt. Dit betekent dat je f(x) - c moet gebruiken als je wentelt om y=c.
Let goed op het kwadrateren van de integrand, vooral als er een absolute waarde in de functie zit.
Voer de primitivering en het invullen van de grenzen nauwkeurig uit om teken- en rekenfouten te voorkomen. Geef een exact antwoord.

Kernbegrippen: inhoud omwentelingslichaam, integreren, primitiveren, verticale verschuiving van een grafiek

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de functie verticaal te verschuiven om de rotatie-as naar de x-as te verplaatsen.
- Fout bij het kwadrateren van de integrand, met name de absolute waarde.
- Teken- of rekenfout bij het invullen van de grenzen van de integraal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Maximale helling wegdek controleren (5 punten)

De ontwerper heeft als eis gesteld dat het hellingspercentage van het wegdek maximaal 12% mag zijn. Dit wil zeggen dat de absolute waarde van de helling van f overal kleiner dan of gelijk aan 0,12 moet zijn. Dit kun je controleren door te bepalen hoe groot het maximum van de absolute waarde van de helling is.
Onderzoek op algebraïsche wijze of het model aan deze eis voldoet.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functievoorschrift van een wegdek en de eis dat het hellingspercentage maximaal 12% mag zijn. Je moet algebraïsch onderzoeken of het model aan deze eis voldoet door de extreme waarden van de helling te bepalen.

Wat moet je kennen: Definitie van helling: de helling van een functie f(x) wordt gegeven door de eerste afgeleide f'(x).
Definitie van extreme waarden van een functie: deze vind je door de afgeleide van die functie gelijk te stellen aan nul.
Absolute waarde: |a| betekent de afstand van a tot nul, dus |a| = a als a >= 0 en |a| = -a als a < 0.

Wat moet je kunnen: Bepaal de eerste afgeleide f'(x) van de gegeven functie f(x).
Bepaal de tweede afgeleide f''(x) van de functie f(x).
Los de vergelijking f''(x) = 0 op om de x-waarden te vinden waar de helling van f(x) extreem is (buigpunten van f(x)).
Substitueer de gevonden x-waarden in f'(x) om de extreme hellingswaarden te berekenen en vergelijk de absolute waarde hiervan met de gegeven eis.

Waar op letten: Let op dat je de extreme waarden van de *helling* zoekt, niet de extreme waarden van de functie zelf. Dit betekent dat je f''(x) = 0 moet oplossen, niet f'(x) = 0.
Vergeet niet de absolute waarde van de berekende helling te nemen voordat je deze vergelijkt met de eis.
Controleer of de gevonden x-waarden binnen het relevante domein vallen (indien gegeven).

Kernbegrippen: differentiëren, afgeleide functie, tweede afgeleide, extreme waarden, buigpunten

Veelgemaakte fouten:
- De toppen van de functie f(x) berekenen (met f'(x)=0) in plaats van de extreme waarden van de helling (met f''(x)=0).
- Vergeten de absolute waarde van de helling te beschouwen.
- De randen van het domein (x=±10) niet controleren, hoewel de extrema hier binnen het domein vallen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Straal cirkelvormige doorgang berekenen (6 punten)

Onder het wegdek wil de ontwerper drie doorgangen maken. In het midden komt een brede doorgang. Daarnaast komt aan beide kanten een doorgang in de vorm van een halve cirkel. We bekijken in de rest van deze opgave alleen de rechter doorgang.

Het middelpunt M van de doorgang ligt 5 meter rechts van de oorsprong. Het punt P(p, f(p)) is een punt op het wegdek. Om de straal van de doorgang te berekenen houdt de ontwerper rekening met de eis dat het punt op het wegdek met de kleinste afstand tot de doorgang zich op 0,30 meter van de doorgang moet bevinden.

In figuur 2 is de doorgang weergegeven die aan deze eis voldoet. In deze situatie geldt:
– de lengte van lijnstuk PM is minimaal én
– de lengte van lijnstuk PR is 0,30 meter, waarbij R het snijpunt is van PM en de halve cirkel.

16 Bereken de straal MR van de cirkelvormige doorgang in meters. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van een straal van een halve cirkel, waarbij je de minimale afstand tussen een punt op een functie en een vast punt moet bepalen. Je krijgt een functievoorschrift van het wegdek en de coördinaten van het middelpunt van de halve cirkel. Het is een optimaliseringsvraagstuk waarbij je de grafische rekenmachine (GR) nodig hebt.

Wat moet je kennen: Afstandsformule tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2): afstand = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).
Definitie van een minimum van een functie.
De eis dat de raaklijn aan de grafiek in P loodrecht staat op lijnstuk PM, wat betekent dat het product van hun richtingscoëfficiënten -1 is.

Wat moet je kunnen: De afstandsformule opstellen voor de afstand tussen een variabel punt P(p, f(p)) en een vast punt M(5,0).
De afstandsfunctie invoeren in de GR en het minimum bepalen.
De x-coördinaat van het minimum vinden met de GR (bijvoorbeeld met 'minimum' of 'intersect' na afleiden).
De minimale afstand MP berekenen en vervolgens de straal MR bepalen door de gegeven afstand PR af te trekken.

Waar op letten: Vergeet niet de afstand PR (0,30 meter) af te trekken van de berekende minimale afstand MP om de straal MR te vinden.
Let goed op de notatie van de functie f(p) en de coördinaten van M bij het opstellen van de afstandsformule.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op twee decimalen, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: afstand tussen twee punten, optimalisering, minimum bepalen met GR, analytische meetkunde

Veelgemaakte fouten:
- De afstand PR (0,30 m) vergeten af te trekken van de minimale afstand MP.
- De minimale afstand MP verwarren met de gevraagde straal MR.
- Een rekenfout bij het invoeren van de complexe afstandsformule in de grafische rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Oppervlakte vierhoek en cirkel vergelijken (5 punten)

In de figuur is een rechthoek ABCD getekend met daarin drie cirkels. Ook is de diagonaal BD getekend. Hierdoor ontstaan de driehoeken ABD en BCD. Gegeven is verder:
– de drie cirkels hebben dezelfde straal r;
– de onderste cirkel heeft middelpunt M en raakt aan elke zijde van driehoek ABD. Deze cirkel raakt zijde BD in het punt F. Er geldt dus dat MF loodrecht op zijde BD staat;
– de bovenste cirkel heeft middelpunt N en raakt aan elke zijde van driehoek BCD. Deze cirkel raakt zijde BD in het punt G. Er geldt dus dat NG loodrecht op zijde BD staat;
– het middelpunt S van de middelste cirkel is het snijpunt van FG en MN;
– de middelste cirkel raakt aan de bovenste en aan de onderste cirkel.

In de figuur is vierhoek MFNG aangegeven. Deze vierhoek is te verdelen in twee rechthoekige driehoeken MFG en FNG.

17 Onderzoek of de oppervlakte van vierhoek MFNG groter dan, kleiner dan of gelijk aan de oppervlakte van een van de cirkels is.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je kennis van meetkunde, specifiek eigenschappen van cirkels en driehoeken, en het berekenen van oppervlaktes. Je moet de stelling van Pythagoras toepassen en algebraïsch twee oppervlaktes vergelijken om te bepalen welke groter is.

Wat moet je kennen: Stelling van Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2 (in een rechthoekige driehoek)
Oppervlakte van een driehoek: (1/2) * basis * hoogte
Oppervlakte van een cirkel: pi * r^2
Eigenschap van rakende cirkels: de afstand tussen de middelpunten van twee rakende cirkels is de som van hun stralen.

Wat moet je kunnen: Bepaal de lengtes van relevante lijnstukken in de vierhoek MFNG, zoals MF, MS en FS, met behulp van de gegeven straal r en eigenschappen van rakende cirkels.
Gebruik de stelling van Pythagoras om onbekende zijden in rechthoekige driehoeken te berekenen.
Bereken de oppervlakte van vierhoek MFNG door deze te verdelen in twee driehoeken.
Bereken de oppervlakte van één cirkel.
Vergelijk de berekende oppervlaktes exact om te bepalen welke groter is.

Waar op letten: Let goed op de afstanden tussen de middelpunten van de rakende cirkels; de afstand tussen M en S is niet r, maar 2r.
Zorg ervoor dat je de stelling van Pythagoras correct toepast, met de schuine zijde op de juiste plaats.
Vergelijk de oppervlaktes exact (bijvoorbeeld 2*sqrt(3) en pi) en vermijd tussentijds afronden om een correcte conclusie te trekken.

Kernbegrippen: stelling van Pythagoras, eigenschappen van rakende cirkels, oppervlakte van meetkundige figuren, algebraïsch vergelijken

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve aanname over de afstand tussen de middelpunten, bijvoorbeeld MS = r in plaats van MS = 2r.
- Verkeerd toepassen van de stelling van Pythagoras, bijvoorbeeld de schuine zijde en een rechthoekszijde verwisselen.
- Reken- of afrondfout bij het vergelijken van 2√3 en π.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/17

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2023

tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur

wiskunde B

Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-23-2-o

### Pagina 2

Formules
Goniometrie
$ \sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u) $
$ \sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u) $
$ \cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u) $
$ \cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u) $
$ \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) $
$ \cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t) $
VW-1025-a-23-2-o 2 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 3

Gebroken functie
De functie $f$ wordt gegeven door:
$$f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 3}$$
De lijn $l$ is de raaklijn aan de grafiek van $f$ in $O$.
Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de x- en y-as. De oorsprong is gemarkeerd met O. Een functiecurve heeft een verticale asymptoot bij x=3 en een schuine asymptoot. De lijn l snijdt de grafiek bij O en is de raaklijn.]
3p 1 Bereken exact de richtingcoëfficiënt van $l$.
De grafiek van $f$ heeft een scheve asymptoot en een verticale asymptoot.
Deze twee asymptoten snijden elkaar in het punt $S$.
De grafiek van $f$ ondergaat een translatie van 2 naar rechts en $b$ omhoog.
De grafiek die $g$ ontstaat, hoort bij de functie $g$. De waarde van $b$ is zó
6p 2 gekozen dat $S$ op de grafiek van $g$ ligt.
Bereken exact de waarde van $b$.
VW-1025-a-23-2-o
3 / 14
lees verder

### Pagina 4

Sinus en cosinus getransformeerd

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = 2 \sin(x - \frac{1}{3}\pi)$.
Het lijnstuk $AB$ verbindt de punten $A(12\pi, 1)$ en $B(16\pi, 1)$.
De grafiek van $f$ snijdt dit lijnstuk in meerdere punten.
Bereken exact de $x$-coördinaten van deze snijpunten.

De functie $g$ wordt gegeven door $g(x) = 2 \cos(x - \frac{3}{4}\pi) + 2$.
Voor elke waarde van $a$ snijdt de verticale lijn met vergelijking $x = a$ de grafieken van $f$ en $g$ elk in één punt. Het midden van deze twee punten ligt voor sommige waarden van $a$ op de $x$-as. Op het domein $[0, 2\pi]$ is dat voor twee waarden van $a$ het geval. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een assenstelsel met de $y$-as naar links en de $x$-as naar rechts. De oorsprong is aangeduid met $O$. Twee horizontale verticale lijnen zijn getekend. Twee gebogen lijnen, genaamd $g$ en $f$, zijn getekend. De lijn $g$ is de bovenste curve en de lijn $f$ is de onderste curve. Beide curves zijn getekend in het interval $[0, 2\pi]$ op de $x$-as. Op de verticale lijn zijn twee snijpunten getekend, één met curve $g$ en één met curve $f$. Het middenpunt tussen deze twee snijpunten wordt op de $x$-as geplot. De $x$-as is gemarkeerd met $0$ en $2\pi$.]

3a (4p)
3p 4
Bereken voor welke twee waarden van $a$ dit het geval is. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

VW-1025-a-23-2-o
lees verder ►►►

### Pagina 5

De functie $h$ wordt gegeven door $h(x) = f(x) + 3 \cdot g(x)$. In figuur 2 zijn de grafieken van $f$ en $h$ weergegeven.

[FIGUUR: Een grafiek met twee functies, $f$ en $h$. De y-as is gelabeld met $y$ en de x-as is gelabeld met $x$. De oorsprong is gelabeld met $O$. Functie $f$ is een golvende lijn die begint boven de x-as, zakt tot onder de x-as, stijgt tot boven de x-as en zakt dan weer onder de x-as. Functie $h$ is een paraboolvormige curve die begint boven de x-as, daalt tot een minimum onder de x-as en daarna weer stijgt.]

Je kunt de grafiek van $h$ laten ontstaan uit de grafiek van $f$ door middel van meerdere translaties en één vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as. Neem aan dat dit een vermenigvuldiging is met factor $p$. Daarbij geldt dat $p > 0$.

4p 5 Bereken deze waarde van $p$. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

VW-1025-a-23-2-o 5 / 14 lees verder

### Pagina 6

Projectie op een lijn
Gegeven zijn de punten $A(-2, -2)$, $B(2, 2)$ en $C(1\frac{3}{5}, 8\frac{4}{5})$.
Lijn $l$ is de lijn met de vectorvoorstelling:
$$
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}
$$
Het punt $C$ is de loodrechte projectie van $A$ op lijn $l$ en het punt $D$ is de loodrechte projectie van $B$ op lijn $l$.
Zie de figuur.
[FIGUUR: Een tweedimensionaal assenstelsel met een lijn $l$ en een punt $A$. De lijn $l$ wordt weergegeven met de richting van een vector. Vanuit punt $A$ wordt een loodrechte lijn getrokken naar lijn $l$, met het snijpunt benoemd als $C$. Vanuit punt $B$ wordt eveneens een loodrechte lijn getrokken naar lijn $l$, met het snijpunt benoemd als $D$.]
Lijnstuk $AB$ is $\sqrt{k}$ keer zo lang als lijnstuk $CD$. Hierin is $k$ een geheel
7p 6 getal.
Bereken exact de waarde van $k$.
VW-1025-a-23-2-o 6 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 7

Twee e-machten
De functies $f$ en $g$ worden gegeven door $f(x) = \mathrm{e}^x - 1$ en $g(x) = 3(1 - \mathrm{e}^{-x})$.
In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. Twee krommen, aangeduid met f en g, snijden elkaar bij de oorsprong. De kromme f stijgt exponentieel en ligt boven de x-as. De kromme g stijgt eerst langzaam en dan sneller, en ligt ook boven de x-as. Het gebied tussen de krommen f en g, vanaf de oorsprong tot het tweede snijpunt, is grijs ingekleurd.]
De x-coördinaten van de enige twee snijpunten van de grafieken van $f$ en $g$ zijn $x=0$ en $x=\ln(3)$.
4p 7 Bewijs dat dit juist is door de vergelijking $f(x)=g(x)$ exact op te lossen.
De grafieken van deze functies sluiten een vlakdeel in. In de figuur is dit vlakdeel grijs gemaakt.
4p 8 Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
De functie $h$ wordt gegeven door:
$$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$
De grafiek van $h$ heeft één perforatie.
3p 9 Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.
VW-1025-a-23-2-o
7 / 14
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Basketbal

In deze opgave kijken we naar de baan van
een basketbal, wanneer een speler deze mikt
op de basket, het cirkelvormige doel. We
gebruiken hiervoor een wiskundig model,
waarbij we de bal als een punt beschouwen.
We nemen aan dat de bal vanaf 2,55 meter
hoogte wordt losgelaten.

Voor de baan van de bal geldt:
$${
\begin{cases}
x(t) = v \cdot \cos(\alpha) \cdot t \\
y(t) = v \cdot \sin(\alpha) \cdot t - 4,9t^2 + 2,55
\end{cases}
}$$
Hierbij geldt:
– $t$ is de tijd in seconden vanaf het moment van loslaten;
– $x$ is de horizontale afstand van de bal tot de speler in meters;
– $y$ is de hoogte van de bal in meters;
– $v$ is de snelheid in meters per seconde van de bal op het moment van
loslaten;
– $\alpha$ is de grootte van de hoek in graden tussen de werprichting en een
horizontale lijn op het moment van loslaten.
De vorm van de baan is afhankelijk van de parameters $v$ en $\alpha$.

Zie figuur 1, waarin een deel van de baan is getekend.
figuur 1
[FIGUUR: Een basketbalspeler werpt een basketbal in de richting van een basket. De baan van de bal wordt weergegeven als een kromme. De verticale as is de y-as, de horizontale as is de x-as. De startpositie van de bal is 2,55 meter hoog. De basket hangt op een hoogte van 3,05 meter. De horizontale afstand van de speler tot de basket is 6 meter. De snelheid waarmee de bal wordt geworpen is v, onder een hoek $\alpha$ met de horizontale lijn.]

Een basketballer staat op een horizontale afstand van 6 meter van het
midden van de basket. De basket hangt op een hoogte van 3,05 meter.

VW-1025-a-23-2-o 8 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 9

De basketballer gooit de bal met een bepaalde snelheid onder een hoek $\alpha$
van $60^\circ$. In deze situatie geldt:
$$
\begin{cases}
x(t) = v \cdot \cos(60^\circ) \cdot t \\
y(t) = v \cdot \sin(60^\circ) \cdot t - 4,9t^2 + 2,55
\end{cases}
$$
Als de bal op een horizontale afstand van 6 meter vanaf de speler een
hoogte van 3,05 meter heeft, scoort hij.
10 Bereken in deze situatie algebraïsch de snelheid $v$ van de bal op het
moment van loslaten. Geef je eindantwoord in meters per seconde in één
decimaal.

Op een ander moment staat de basketballer opnieuw op een horizontale
afstand van 6 meter van het midden van de basket. Hij gooit de bal onder
een hoek $\alpha$ van $50^\circ$, nu met een snelheid van 8 meters per seconde.
In deze situatie geldt:
$$
\begin{cases}
x(t) = 8 \cos(50^\circ) \cdot t \\
y(t) = 8 \sin(50^\circ) \cdot t - 4,9t^2 + 2,55
\end{cases}
$$
De bal gaat dan onder een bepaalde hoek $\beta$ door de basket. Deze hoek is
in figuur 2 aangegeven.

figuur 2
[FIGUUR: Een diagram dat de baan van een basketbal weergeeft. De x-as staat horizontaal en de y-as verticaal. De oorsprong O is aan de linkerkant op de grond. Een basketbal wordt gegooid door een speler die op de grond staat. De baan van de bal is een parabool. De bal wordt gegooid vanaf een hoogte van 2,55 m. De basket bevindt zich op een horizontale afstand van 6 m en op een hoogte van 3,05 m. De beginsnelheid van de bal wordt aangegeven als 8 m/s onder een hoek van 50° met de horizontale. De hoek waarmee de bal de basket verlaat wordt aangegeven als $\beta$.]
5p 11 Bereken algebraïsch de grootte van hoek $\beta$ in graden. Geef je
eindantwoord als geheel getal.

VW-1025-a-23-2-o 9 / 14 lees verder

### Pagina 10

Absolute waarde en wortelfunctie
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = -3 + |x| \cdot \sqrt{x+3}$ met $x \ge -3$.
De grafiek van $f$ heeft links van de $y$-as een top $T$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een functie $f$ met de x- en y-as. De grafiek heeft een top $T$ links van de y-as en snijdt de y-as bij de oorsprong. De grafiek stijgt vanaf de top naar rechts.]

5p 12 Bereken exact de $x$-coördinaat van punt $T$.
Lijn $k$ is de lijn door het randpunt $P(-3, -3)$ van de grafiek van $f$ en de
oorsprong $O$. Lijn $k$ snijdt de grafiek van $f$ rechts van de $y$-as in het punt $S$. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek van een functie $f$ en een lijn $k$. De lijn $k$ gaat door het punt $P(-3, -3)$ en de oorsprong $O$. De grafiek van $f$ heeft een top $T$ en snijdt de y-as bij de oorsprong. De lijn $k$ snijdt de grafiek van $f$ rechts van de y-as in punt $S$.]

5p 13 Bereken exact de $x$-coördinaat van punt $S$.

VW-1025-a-23-2-o 10 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

De horizontale lijn l heeft vergelijking $y = -3$. Deze lijn heeft twee punten
gemeenschappelijk met de grafiek van f, namelijk P$(-3,-3)$ en $(0,-3)$.
Het gebied $V$ wordt ingesloten door de grafiek van f en lijn l. In figuur 3 is
dit gebied grijs gemaakt.
figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Een horizontale lijn l ligt onder de x-as. Boven lijn l ligt een gebied V, dat ingesloten is door lijn l aan de onderkant en de grafiek van f aan de bovenkant. De grafiek van f snijdt de x-as bij O en heeft een stijgende lijn die de horizontale lijn l snijdt bij het punt P en een ander punt met y-coördinaat -3.]
Gebied V wordt gewenteld om lijn l.
5p 14 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
VW-1025-a-23-2-o 11 / 14 lees verder

### Pagina 12

Boogbrug
In Amsterdam komen boogbruggen voor. Zie de foto.
foto
[FIGUUR: Zwart-wit foto van een gracht in Amsterdam met bogenbruggen en grachtenpanden.]
In een andere stad moet een soortgelijke brug worden gemaakt.
Het aanzicht van het wegdek, gezien vanaf het water, wordt door het
volgende model beschreven:
$f(x) = 0,00004x^4 - 0,012x^2 + 2,3$ met $-10 \leq x \leq 10$
Hierin is $x$ in meters en $f(x)$ de hoogte van het wegdek in meters ten
opzichte van het water. In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van een functie $f(x)$ met op de x-as waarden van -10 tot 10 en op de y-as een piek in het midden van de grafiek.]
5p 15 De ontwerper heeft als eis gesteld dat het hellingspercentage van het
wegdek maximaal 12% mag zijn. Dit wil zeggen dat de absolute waarde
van de helling van $f$ overal kleiner dan of gelijk aan 0,12 moet zijn. Dit kun
je controleren door te bepalen hoe groot het maximum van de absolute
waarde van de helling is.
Onderzoek op algebraïsche wijze of het model aan deze eis voldoet.
VW-1025-a-23-2-o
12 / 14
lees verder

### Pagina 13

Onder het wegdek wil de ontwerper drie doorgangen maken. In het
midden komt een brede doorgang. Daarnaast komt aan beide kanten een
doorgang in de vorm van een halve cirkel. We bekijken in de rest van
deze opgave alleen de rechter doorgang.

Het middelpunt $M$ van de doorgang ligt 5 meter rechts van de oorsprong.
Het punt $P(p, f(p))$ is een punt op het wegdek. Om de straal van de
doorgang te berekenen houdt de ontwerper rekening met de eis dat het
punt op het wegdek met de kleinste afstand tot de doorgang zich op
0,30 meter van de doorgang moet bevinden.

In figuur 2 is de doorgang weergegeven die aan deze eis voldoet. In deze
situatie geldt:
- de lengte van lijnstuk $PM$ is minimaal én
- de lengte van lijnstuk $PR$ is 0,30 meter, waarbij $R$ het snijpunt is van
$PM$ en de halve cirkel.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De oorsprong is gemarkeerd met O. Op de x-as staat M(5,0). Een horizontale lijn (het wegdek) loopt vanaf links boven naar rechts over het punt P. Een halve cirkel met middelpunt M en straal R is getekend. Het punt R ligt op de halve cirkel en op het lijnstuk PM. P ligt op het wegdek.]

figuur 2

$y$
$f$
$P$
$R$
$O$
$M(5,0)$
10
$x$

6p 16 Bereken de straal $MR$ van de cirkelvormige doorgang in meters. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.

VW-1025-a-23-2-o
13 / 14
lees verder

### Pagina 14

Rechthoek met drie cirkels

In de figuur is een rechthoek $ABCD$ getekend met daarin drie cirkels. Ook is de diagonaal $BD$ getekend. Hierdoor ontstaan de driehoeken $ABD$ en $BCD$. Gegeven is verder:
- de drie cirkels hebben dezelfde straal $r$;
- de onderste cirkel heeft middelpunt $M$ en raakt aan elke zijde van driehoek $ABD$. Deze cirkel raakt zijde $BD$ in het punt $F$. Er geldt dus dat $MF$ loodrecht op zijde $BD$ staat;
- de bovenste cirkel heeft middelpunt $N$ en raakt aan elke zijde van driehoek $BCD$. Deze cirkel raakt zijde $BD$ in het punt $G$. Er geldt dus dat $NG$ loodrecht op zijde $BD$ staat;
- het middelpunt $S$ van de middelste cirkel is het snijpunt van $FG$ en $MN$;
- de middelste cirkel raakt aan de bovenste en aan de onderste cirkel.

In de figuur is vierhoek $MFNG$ aangegeven. Deze vierhoek is te verdelen in twee rechthoekige driehoeken $MFG$ en $FNG$.

[FIGUUR: Een rechthoek $ABCD$ met daarin drie cirkels. De diagonaal $BD$ is getekend. De onderste cirkel raakt de zijden $AB$, $AD$ en $BD$. De bovenste cirkel raakt de zijden $BC$, $CD$ en $BD$. De middelste cirkel raakt de bovenste en onderste cirkel. Vierhoek $MFNG$ is getekend binnen de middelste cirkel, met $M$ en $N$ als middelpunten van de onderste en bovenste cirkels.]

5p 17 Onderzoek of de oppervlakte van vierhoek $MFNG$ groter dan, kleiner dan of gelijk aan de oppervlakte van een van de cirkels is.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift.

VW-1025-a-23-2-0