# Eindexamen Wiskunde B VWO 2023 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1

## Vraag 1 – Exact minimum van een functie (3 punten)

De functie f heeft een minimum.
Bereken exact dit minimum.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het bepalen van een exact minimum van een functie. Je krijgt een functievoorschrift en moet met behulp van differentiëren de coördinaten van het minimum vinden.

Wat moet je kennen: Machtsregel voor differentiëren: d/dx (x^n) = n*x^(n-1)
Afgeleide van een constante: d/dx (c) = 0
Definitie van een extremum (minimum of maximum): de afgeleide is nul (f'(x) = 0)

Wat moet je kunnen: De afgeleide van een functie bepalen.
De afgeleide gelijkstellen aan nul en de vergelijking oplossen voor x.
De gevonden x-waarde(n) controleren op geldigheid binnen het domein.
De gevonden x-waarde(n) invullen in de oorspronkelijke functie om de y-waarde van het minimum te vinden.

Waar op letten: Let goed op de differentiatieregels, vooral bij termen als 1/x (schrijf dit als x^-1).
Vergeet niet de gevonden x-waarde(n) te controleren met het gegeven domein (hier: x > 0).
Geef de y-waarde van het minimum als antwoord, niet de x-waarde.

Kernbegrippen: differentiëren, afgeleide bepalen, minimum bepalen, extreemwaarden

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van 1/x.
- De negatieve oplossing voor x niet verwerpen, ondanks het gegeven domein x > 0.
- De gevonden x-waarde als het minimum opgeven in plaats van de berekende y-waarde f(x).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Oppervlakte onafhankelijk van parameter a (5 punten)

De oppervlakte van dit vlakdeel is onafhankelijk van de waarde van a.
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag over de oppervlakte van een vlakdeel, ingesloten door een functie, zijn scheve asymptoot en twee verticale lijnen. Je moet integralen gebruiken en rekenregels voor logaritmen toepassen om aan te tonen dat de oppervlakte onafhankelijk is van de parameter 'a'.

Wat moet je kennen: Definitie van een scheve asymptoot: lim (x->∞) (f(x) - (ax+b)) = 0
Oppervlakte tussen twee functies f(x) en g(x) op [a,b]: integraal van |f(x) - g(x)| dx van a tot b
Primitieve van 1/x is ln(|x|)
Rekenregels voor logaritmen: ln(b) - ln(a) = ln(b/a)

Wat moet je kunnen: De vergelijking van de scheve asymptoot bepalen door de limiet van f(x) - (ax+b) te berekenen.
De juiste integraal opstellen voor de oppervlakte tussen de functie en de asymptoot.
De primitieve van de integrand correct bepalen.
De grenzen van de integraal correct invullen en de uitkomst herleiden met logaritme-regels.

Waar op letten: Zorg dat je de scheve asymptoot correct bepaalt.
Let goed op de volgorde van aftrekken in de integraal om een positieve oppervlakte te krijgen, of gebruik absolute waarden.
Pas de rekenregels voor logaritmen nauwkeurig toe om de onafhankelijkheid van 'a' aan te tonen.

Kernbegrippen: oppervlakteberekening met integralen, scheve asymptoot, primitiveren, rekenregels voor logaritmen, bewijsvoering

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de integraal, bijvoorbeeld door de asymptoot niet af te trekken.
- Foutief toepassen van de rekenregel ln(b) - ln(a) = ln(b/a).
- De scheve asymptoot verkeerd bepalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Inhoud omwentelingslichaam om horizontale lijn (4 punten)

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je moet de inhoud berekenen van een omwentelingslichaam dat ontstaat door een vlakdeel te wentelen om een horizontale lijn (niet de x-as). Dit vereist het vinden van snijpunten, het correct opstellen van een integraal en het berekenen van de waarde daarvan.

Wat moet je kennen: Formule voor de inhoud van een omwentelingslichaam om de x-as: I = π * ∫(a tot b) (f(x))^2 dx
Definitie van een translatie van een functie: g(x) = f(x) - c verschuift de grafiek van f(x) c eenheden omlaag.
De fundamentele stelling van de integraalrekening voor het berekenen van bepaalde integralen.

Wat moet je kunnen: Snijpunten van twee functies berekenen door de functievoorschriften aan elkaar gelijk te stellen.
Een functie transleren zodat het wentelen om een lijn y=c gelijkwaardig wordt aan wentelen om de x-as.
De correcte integraal opstellen met de juiste grenzen en de getransleerde functie gekwadrateerd.
De bepaalde integraal berekenen en het antwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Vergeet de factor π niet bij het berekenen van de inhoud.
Zorg ervoor dat je de functie die je wentelt kwadrateert binnen de integraal.
Pas de translatie correct toe: als je wentelt om y=c, gebruik dan (f(x)-c)^2 in de integraal.
Controleer of de berekende snijpunten correct zijn en gebruik deze als integraalgrenzen.

Kernbegrippen: inhoud omwentelingslichaam, integreren, snijpunten van functies, translatie van grafieken

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de factor π bij de inhoudsberekening.
- Vergeten de functie te kwadrateren in de integraal.
- De translatie voor het wentelen om de lijn y=3 niet correct toepassen.
- Onjuiste integraalgrenzen gebruiken door de snijpunten niet of verkeerd te berekenen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Oppervlaktevergelijking van gebogen metaal (5 punten)

Bereken algebraïsch hoeveel procent de oppervlakte van vlakdeel A'B'C'D' groter is dan de oppervlakte van vlakdeel ABCD. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van oppervlaktes van een rechthoek en een ringsector, en vervolgens het bepalen van de procentuele toename. Je krijgt een figuur met afmetingen en hoeken, en moet algebraïsch werken met variabelen.

Wat moet je kennen: Lengte van een cirkelboog: L = (hoek/360) * 2 * pi * r
Oppervlakte van een rechthoek: Opp = lengte * breedte
Oppervlakte van een cirkelsector: Opp = (hoek/360) * pi * r^2
Oppervlakte van een ringsector: Opp_ringsector = Opp_grote_sector - Opp_kleine_sector

Wat moet je kunnen: Bereken de lengte van de neutrale lijn P'Q' met de gegeven straal en hoek.
Bereken de oppervlakte van vlakdeel ABCD met de lengte van PQ en de dikte d.
Bereken de oppervlakte van vlakdeel A'B'C'D' door de oppervlakte van twee cirkelsectoren van elkaar af te trekken.
Bereken de procentuele toename door de verhouding van de oppervlaktes te bepalen en dit om te zetten naar een percentage.

Waar op letten: Gebruik de juiste straal voor de neutrale lijn (2,4d). Let op het verschil tussen de straal van de binnenboog (2d) en de buitenboog (3d) voor de ringsector. Rapporteer de procentuele toename als een geheel getal, niet de groeifactor. Werk exact met breuken en pi tot het eindresultaat.

Kernbegrippen: lengte van een cirkelboog, oppervlakte van een rechthoek, oppervlakte van een ringsector, procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde straal voor neutrale lijn gebruiken, bijvoorbeeld 2d in plaats van 2,4d.
- Fout bij berekenen procentuele toename uit de groeifactor, bijvoorbeeld 104% rapporteren in plaats van 4%.
- Reken- of afrondingsfout bij het delen van de breuken voor de oppervlaktes.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Kracht berekenen bij buigen metalen plaat (3 punten)

Bereken algebraïsch hoeveel kracht er nodig is om deze metalen plaat te buigen op een matrijs met een opening van 100 mm breed. Geef je eindantwoord als een geheel getal.

Wat kun je verwachten: Dit is een toepassingsvraag waarbij je een gegeven formule met meerdere variabelen gebruikt. Je moet eerst een onbekende constante bepalen met de gegeven informatie, en daarna met die constante een nieuwe kracht berekenen voor een andere situatie.

Wat moet je kennen: Formule voor de benodigde kracht: F = (R * d^2 / V) * (1 + 4d/V)
Variabelen: F (kracht in kN/m), R (constante), d (dikte in mm), V (breedte opening in mm)

Wat moet je kunnen: 1. Gegeven waarden substitueren in een formule.
2. Een vergelijking algebraïsch oplossen naar een onbekende variabele.
3. De berekende constante gebruiken om een nieuwe waarde te berekenen door substitutie.

Waar op letten: Let goed op de juiste eenheden en het correct invullen van de waarden in de formule. Voer de algebraïsche stappen nauwkeurig uit om rekenfouten te voorkomen. Vergeet niet de laatste stap: het berekenen van de uiteindelijke kracht F.

Kernbegrippen: formules met meerdere variabelen, algebraïsch oplossen, substitutie

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout bij het oplossen van R
- verkeerde waarden voor V invullen
- stoppen na het berekenen van de constante R

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Minimale kracht bij plaatdikte (4 punten)

Er is een plaatdikte d waarbij de benodigde kracht F minimaal is.
Bereken exact deze waarde van d.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het optimaliseren van een functie. Je krijgt twee formules, waarbij je de ene in de andere moet substitueren om een nieuwe functie te krijgen. Vervolgens moet je deze functie differentiëren en de afgeleide gelijkstellen aan nul om de minimale waarde te vinden.

Wat moet je kennen: Differentiëren van machtsfuncties: (x^n)' = n*x^(n-1).
Regels voor het werken met exponenten: x^a * x^b = x^(a+b) en 1/x^n = x^(-n).
Het principe van optimaliseren: een minimum of maximum van een functie f(x) vind je door f'(x) = 0 op te lossen.

Wat moet je kunnen: Substitueren van een variabele (V) in een andere formule om een functie van één variabele (F(d)) te verkrijgen.
Algebraïsch vereenvoudigen van de resulterende functie, inclusief het omzetten van breuken naar negatieve exponenten.
De afgeleide van de functie bepalen met betrekking tot de variabele d.
De afgeleide gelijkstellen aan nul en de vergelijking exact oplossen voor d.

Waar op letten: Let goed op de rekenregels voor exponenten, vooral bij negatieve en gebroken exponenten tijdens het differentiëren.
Zorg ervoor dat je de formule voor F volledig vereenvoudigt voordat je gaat differentiëren.
Vergeet niet exact te rekenen en geen tussentijdse afrondingen te doen.

Kernbegrippen: differentiëren, optimaliseren, machtsfuncties, substitutie

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het substitueren en algebraïsch vereenvoudigen van de formule voor F.
- Reken- of notatiefouten bij het differentiëren van termen met negatieve en/of gebroken exponenten.
- Fout bij het oplossen van de vergelijking $\frac{dF}{dd} = 0$.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Bewijs bewegingsvergelijkingen met vectoren (3 punten)

Bewijs dat dit inderdaad de bewegingsvergelijkingen van Q zijn.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat gegeven bewegingsvergelijkingen kloppen. Dit doe je door de positievector van een punt (Q) af te leiden uit de positie van andere punten (O, P, M) en de geometrische relaties daartussen, zoals rotatie en middelpuntbepaling. Je gebruikt hierbij vectorrekening en coördinaten.

Wat moet je kennen: Positievector van een punt P(x,y): vector OP = (x, y)
Vectoroptelling: vector A + vector B = vector C
Midden van een lijnstuk AB: M = (1/2)*(vector A + vector B)
Rotatie van een vector (x, y) over 90 graden rechtsom: (y, -x)

Wat moet je kunnen: Bepaal de positievector van punt P.
Bereken de positievector van het midden M van lijnstuk OP.
Leid de vector MQ af door de vector MP 90 graden rechtsom te roteren.
Tel de vectoren OM en MQ bij elkaar op om de positievector OQ te vinden en controleer of dit overeenkomt met de gegeven bewegingsvergelijkingen.

Waar op letten: Let goed op de richting van de rotatie (rechtsom of linksom) en de bijbehorende tekenwisselingen in de coördinaten.
Zorg dat je de juiste vectoren optelt om de positie van Q te bepalen.
Controleer of je de coördinaten van het midden M correct berekent.

Kernbegrippen: vectorrekening, parametrische krommen, rotatie van vectoren, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Fout in de rotatie van de vector (bijvoorbeeld linksom in plaats van rechtsom).
- Verkeerd bepalen van het midden M van lijnstuk OP.
- Fout in de vectoroptelling.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Snelheid parametrische kromme (3 punten)

De snelheid waarmee P beweegt, is gegeven door √4+16t². Voor elke waarde van t is deze snelheid een factor c keer zo groot als de snelheid van Q. Bereken exact de waarde van c.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van de snelheid van een punt dat beweegt langs een parametrische kromme. Je krijgt de snelheid van punt P gegeven en moet de snelheid van punt Q bepalen om de verhouding (factor c) te vinden. Dit vereist differentiëren van vectorfuncties en het manipuleren van wortelvormen.

Wat moet je kennen: Snelheidsvector van een parametrische kromme: v(t) = (x'(t), y'(t))
Snelheid (magnitude van de snelheidsvector): |v(t)| = sqrt( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )
Algebraïsche regels voor wortels: sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b) en sqrt(a^2) = |a|
Kwadraat van een tweeterm: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 en (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Wat moet je kunnen: Bepaal de afgeleiden van de x- en y-coördinaten van de parametrische kromme van Q om de snelheidsvector te vinden.
Bereken de magnitude van de snelheidsvector van Q om de snelheid van Q te vinden.
Vergelijk de uitdrukking voor de snelheid van P met die van Q door de wortelvormen algebraïsch te manipuleren om de factor c te isoleren.
Werk kwadraten van tweetermen correct uit en combineer gelijksoortige termen onder de wortel.

Waar op letten: Verwar de snelheidsvector niet met de snelheid (een scalair). De snelheid is de lengte van de snelheidsvector.
Wees nauwkeurig bij het uitwerken van de kwadraten (1+2t)^2 en (2t-1)^2; let op de tekens.
Haal factoren correct onder of buiten de wortel. Bijvoorbeeld, sqrt(4+16t^2) is NIET gelijk aan 2+4t.

Kernbegrippen: parametrische kromme, snelheidsvector, afgeleide van een vectorfunctie, snelheid (norm van de snelheidsvector), algebraïsch manipuleren van wortelvormen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het uitwerken van de kwadraten (1+2t)² en (2t-1)².
- De snelheid (een scalair) verwarren met de snelheidsvector.
- Wortels verkeerd buiten haakjes halen, bijvoorbeeld √4+16t² schrijven als 2+4t.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Bewijs lengte lijnstuk met absolute waarde (3 punten)

Voor elke waarde van t wordt de lengte L van lijnstuk PQ bepaald.
Er geldt:
L = |t|·√2t² + 2

9 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet een algebraïsch bewijs leveren voor de lengte van een lijnstuk PQ. Hierbij krijg je een formule voor de lengte L en moet je aantonen dat deze formule klopt, uitgaande van de coördinaten van de punten en meetkundige eigenschappen.

Wat moet je kennen: Afstandsformule in 2D: de afstand tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2) is sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).
Eigenschap van wortels: sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b).
Eigenschap van wortels: sqrt(t^2) = |t|.

Wat moet je kunnen: Bepaal de coördinaten van de relevante punten (O, P, Q, M) op basis van de gegeven informatie.
Gebruik de afstandsformule om een uitdrukking voor de lengte L van PQ op te stellen.
Vereenvoudig de uitdrukking stap voor stap door kwadraten uit te werken en termen samen te voegen.
Pas de eigenschap sqrt(t^2) = |t| toe om de uiteindelijke vorm te verkrijgen.

Waar op letten: Let goed op haakjes bij het kwadrateren van uitdrukkingen met meerdere termen.
Vergeet niet de absolute waarde toe te passen wanneer je sqrt(t^2) vereenvoudigt naar |t|.
Controleer of je alle termen correct hebt meegenomen en geen rekenfouten maakt bij het uitwerken.

Kernbegrippen: Afstandsformule in 2D, Algebraïsch bewijs, Wortelfuncties, Absolute waarde

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de absolute waarde bij het vereenvoudigen van √t² naar |t|.
- Reken- of haakjesfouten bij het uitwerken van de kwadraten onder de wortel.
- Verkeerde coördinaten gebruiken voor de punten P of Q.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Helling bij knik met limiet (4 punten)

In figuur 2 is de grafiek van L weergegeven.
In de oorsprong, bij t = 0, zien we een knik.
Als t vanaf links of vanaf rechts tot 0 nadert, nadert de waarde van L in beide situaties ook tot 0. De helling van de grafiek van L nadert echter niet in beide situaties tot dezelfde waarde.

Bereken exact tot welke waarde de helling van de grafiek van L nadert als t vanaf links tot 0 nadert.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van de helling van een functie die een knik heeft in de oorsprong. Je moet differentiëren met de productregel en ketenregel, en vervolgens een limiet bepalen als t nadert tot 0 vanaf de linkerkant.

Wat moet je kennen: Productregel: (f*g)' = f'*g + f*g'
Ketenregel: f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)
Afgeleide van sqrt(x) is 1/(2*sqrt(x))
Definitie van absolute waarde: |t| = t voor t >= 0 en |t| = -t voor t < 0

Wat moet je kunnen: De functie L(t) correct herschrijven voor t < 0, rekening houdend met de absolute waarde.
De productregel correct toepassen bij het differentiëren van L(t).
De ketenregel correct toepassen bij het differentiëren van de wortelfunctie.
De limiet van de afgeleide bepalen als t nadert tot 0 vanaf de linkerkant (t↑0).

Waar op letten: Let goed op het correct omgaan met de absolute waarde |t| voor t < 0; dit is cruciaal voor de juiste functie.
Vergeet niet de productregel toe te passen, aangezien L(t) een product van twee functies is.
Wees nauwkeurig bij het toepassen van de ketenregel op de wortelfunctie.
Zorg dat je exact rekent en geen tussentijdse afrondingen doet.

Kernbegrippen: differentiëren, productregel, ketenregel, limieten, absolute waarde

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de productregel toe te passen.
- Fout bij het toepassen van de ketenregel op de wortelfunctie.
- Verkeerd omgaan met de absolute waarde |t| voor t < 0, bijvoorbeeld door deze als 't' te behandelen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Sinusoïde met absolute waarde (3 punten)

De functie f wordt gegeven door f(x) = |sin(x) + ½√3|.
In de figuur is de grafiek van f als doorgetrokken lijn weergegeven.

figuur

In de figuur zijn de toppen A en B van de grafiek van f aangegeven. A en B zijn de toppen die horen bij de eerste twee maxima van f rechts van de y-as.

Er bestaat een sinusoïde die gegeven wordt door g(x) = a + b sin(x), waarvan twee opeenvolgende toppen samenvallen met de punten A en B. De grafiek van g is in de figuur gestippeld weergegeven.
Bereken exact de waarde van a en b.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert kennis over sinusoïden en de absolute waarde functie. Je moet de grafiek van f(x) = |sin(x) + ½√3| interpreteren om de y-coördinaten van de toppen A en B te bepalen, en vervolgens deze gebruiken om de parameters a en b van de sinusoïde g(x) = a + b sin(x) te berekenen.

Wat moet je kennen: Definitie van een sinusoïde: y = a + b sin(c(x-d)) of y = a + b cos(c(x-d)), waarbij 'a' de evenwichtsstand is en '|b|' de amplitude.
De absolute waarde functie: |x| = x als x >= 0 en |x| = -x als x < 0.
Bereik van de sinusfunctie: -1 <= sin(x) <= 1.

Wat moet je kunnen: De maximale en minimale waarden van de functie sin(x) + ½√3 bepalen.
De invloed van de absolute waarde functie op de grafiek en de y-coördinaten van de toppen correct toepassen.
De evenwichtsstand 'a' berekenen als het gemiddelde van de maximale en minimale y-waarden van de sinusoïde.
De amplitude 'b' berekenen als de helft van het verschil tussen de maximale en minimale y-waarden van de sinusoïde.

Waar op letten: Let goed op de invloed van de absolute waarde op de negatieve delen van de functie sin(x) + ½√3; deze worden positief.
Verwar de functie f(x) niet met de sinusoïde g(x); de toppen van f vallen samen met de toppen van g, maar de functies zijn niet identiek.
Zorg dat je de waarden van a en b exact berekent, dus laat wortels staan.

Kernbegrippen: sinusoïde, amplitude, evenwichtsstand, absolute waarde functie, grafiek interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de absolute waarde, waardoor de y-coördinaat van top B foutief wordt bepaald (bijvoorbeeld als negatief of gelijk aan die van A).
- Verwarring tussen de functie f(x) en de onderliggende functie sin(x) + ½√3.
- Foutieve berekening van de evenwichtsstand a of amplitude b uit de gevonden y-waarden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Oppervlakte klein vlakdeel met absolute waarde (5 punten)

De grafiek van f en de x-as sluiten twee soorten vlakdelen in: kleine vlakdelen en grote vlakdelen. In de figuur is een van de kleine vlakdelen grijsgemaakt.
5p 12 Bereken exact de oppervlakte van een klein vlakdeel.

Wat kun je verwachten: Dit is een vraag over het berekenen van een oppervlakte ingesloten door een grafiek en de x-as. De functie bevat een absolute waarde en goniometrische termen. Je moet de snijpunten met de x-as vinden en vervolgens een integraal berekenen.

Wat moet je kennen: Definitie van absolute waarde: |a| = a als a >= 0, en |a| = -a als a < 0.
Standaardprimitieven: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C, ∫c dx = c*x + C.
Oplossen van goniometrische vergelijkingen van het type sin(x) = c.
De oppervlakte A van een vlakdeel tussen f(x) en de x-as op interval [a,b] is A = ∫(van a tot b) f(x) dx, mits f(x) >= 0 op [a,b].

Wat moet je kunnen: De snijpunten van de functie met de x-as bepalen door de vergelijking f(x) = 0 op te lossen.
De goniometrische vergelijking sin(x) = c exact oplossen met behulp van de eenheidscirkel of standaardwaarden.
De juiste grenzen voor de integraal bepalen die het 'kleine vlakdeel' omsluiten.
Een primitieve bepalen van de functie die je moet integreren.
De Hoofdstelling van de integraalrekening toepassen om de bepaalde integraal exact te berekenen.

Waar op letten: Let goed op het effect van de absolute waarde functie op de grafiek en de functie-uitdrukking.
Zorg ervoor dat je de goniometrische vergelijking exact oplost en de juiste oplossingen kiest binnen het relevante interval.
Controleer je primitieve, met name de tekens bij goniometrische functies.
Vergeet niet dat een oppervlakte altijd positief is; als je een negatief antwoord krijgt, heb je waarschijnlijk de verkeerde functie geïntegreerd of de grenzen omgedraaid.

Kernbegrippen: oppervlakteberekening met integraal, goniometrische vergelijking oplossen, primitiveren, absolute waarde functie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de oppervlakte positief moet zijn, en daardoor een negatief antwoord geven.
- Fouten maken bij het exact oplossen van de goniometrische vergelijking sin(x) = -1/2 * sqrt(3).
- Een verkeerd teken gebruiken bij het primitiveren van sin(x).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Loodrechte raaklijnen bij logaritmische functies (6 punten)

De functie f wordt gegeven door:
f(x) = ln(x)
De functie g wordt gegeven door:
g(x) = 1 + e² ⋅ (1 − ln(x))

In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven. De raaklijnen aan de grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht in het snijpunt.
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je moet aantonen dat de raaklijnen aan twee gegeven functies elkaar loodrecht snijden in hun snijpunt. Je krijgt twee functies, f(x) = ln(x) en g(x) = 1 + e² * (1 - ln(x)), en moet differentiëren en algebraïsch vergelijkingen oplossen.

Wat moet je kennen: Afgeleide van ln(x): (ln(x))' = 1/x
Afgeleide van een constante: (c)' = 0
Afgeleide van c*f(x): (c*f(x))' = c*f'(x)
Voorwaarde voor loodrechte lijnen: het product van de richtingscoëfficiënten is -1 (m1 * m2 = -1)

Wat moet je kunnen: Bepaal het snijpunt van de twee functies door f(x) = g(x) op te lossen.
Differentieer beide functies f(x) en g(x) om de afgeleiden f'(x) en g'(x) te vinden.
Bereken de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen in het snijpunt door de x-coördinaat van het snijpunt in f'(x) en g'(x) in te vullen.
Controleer of het product van deze twee richtingscoëfficiënten gelijk is aan -1.

Waar op letten: Let goed op de constante factor e² bij het differentiëren van g(x).
Vergeet niet dat de afgeleide van een constante term 0 is.
Zorg ervoor dat je de voorwaarde voor loodrechte lijnen correct toepast (product is -1, niet 1).
Wees nauwkeurig met de algebra bij het oplossen van de vergelijking f(x) = g(x).

Kernbegrippen: logaritmische functies, differentiëren, snijpunt van functies, loodrechte raaklijnen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van g(x), met name de constante en de factor -e².
- De voorwaarde voor loodrechte lijnen (product van richtingscoëfficiënten is -1) niet correct toepassen.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking f(x) = g(x).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Afstand tussen snijpunten logaritmische functies (4 punten)

Er geldt dat AB = 3.
Bereken de bijbehorende waarde van q. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het opstellen en numeriek oplossen van een vergelijking met logaritmische en/of exponentiële functies. Je krijgt twee functies en een horizontale lijn y=q die deze functies snijdt in punten A en B. De afstand tussen de x-coördinaten van A en B is gegeven.

Wat moet je kennen: Definitie van logaritme: y = log_b(x) <=> b^y = x
Eigenschappen van logaritmen: ln(e^x) = x en e^(ln(x)) = x
De relatie tussen een functie en zijn inverse functie (als y = f(x), dan x = f^-1(y))

Wat moet je kunnen: De x-coördinaten van de snijpunten A en B uitdrukken in q door de inverse functies te bepalen (of de vergelijkingen f(x)=q en g(x)=q op te lossen naar x).
Een vergelijking opstellen met de gegeven afstand tussen de x-coördinaten: x_B - x_A = 3.
De opgestelde vergelijking numeriek oplossen met behulp van je grafische rekenmachine (GR).

Waar op letten: Controleer goed welke functie bij punt A hoort en welke bij punt B. Dit is cruciaal voor het correct opstellen van de vergelijking.
Let op de algebraïsche stappen bij het omschrijven van logaritmische of exponentiële uitdrukkingen.
Rond je eindantwoord af op het gevraagde aantal decimalen (één decimaal in dit geval).

Kernbegrippen: logaritmische functies, vergelijking opstellen, numeriek oplossen, grafieken van functies, exponentiële functies, inverse functie

Veelgemaakte fouten:
- Functies f en g verwisselen bij het opstellen van de vergelijking.
- Een algebraïsche fout maken bij het omschrijven van de logaritmische of exponentiële uitdrukkingen.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op de gevraagde één decimaal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Bissectrice bewijzen met analytische meetkunde (5 punten)

De lijn door E en F is de bissectrice van hoek PED.

Bewijs dit voor het geval p = -2.

Wat kun je verwachten: Dit is een bewijsvraag binnen de analytische meetkunde. Je moet aantonen dat een lijn de bissectrice is van een hoek. Hiervoor moet je lijnvergelijkingen opstellen, snijpunten berekenen en hoeken tussen vectoren bepalen.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een lijn door twee punten: y - y1 = m(x - x1) of ax + by = c
Formule voor de richtingscoëfficiënt: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Coördinaten van het midden van een lijnstuk: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
Formule voor de hoek θ tussen twee vectoren **a** en **b**: cos(θ) = (**a** ⋅ **b**) / (|**a**| * |**b**|)
Definitie van een bissectrice: een lijn die een hoek in twee gelijke delen verdeelt.

Wat moet je kunnen: Bepaal de coördinaten van alle relevante punten (E, F, P, D) met p = -2.
Stel de vergelijkingen op van de lijnen AC en PF.
Bereken het snijpunt D van de lijnen AC en PF door een stelsel vergelijkingen op te lossen.
Stel de richtingsvectoren op van de lijnen EP, ED en EF.
Bereken de hoek tussen de lijn EF en de lijn EP, en de hoek tussen de lijn EF en de lijn ED, met behulp van het inproduct van vectoren. Toon aan dat deze hoeken gelijk zijn.

Waar op letten: Controleer of je de juiste coördinaten gebruikt voor elk punt, vooral bij E en F.
Wees nauwkeurig bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen om de coördinaten van D te vinden.
Let op de correcte toepassing van de inproductformule en de lengte van vectoren om de cosinus van de hoek te berekenen. Werk exact.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, vergelijking van een lijn, snijpunt van lijnen, vectoren, inproduct, bissectrice

Veelgemaakte fouten:
- Verwisselen van de coördinaten van E en F.
- Reken- of tekenfout bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen voor snijpunt D.
- Fout in de formule voor het inproduct of de hoek tussen vectoren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Cirkel raakt lijnen, bereken p (6 punten)

M(4, 2) is het snijpunt van AC en EF. Cirkel c heeft middelpunt M en gaat door D. Afhankelijk van de positie van punt P (en dus van de waarde van p) is de cirkel groter of kleiner. Er is precies één waarde van p waarvoor cirkel c raakt aan OA en BC. In figuur 2 is deze situatie weergegeven.

Bereken exact deze waarde van p.

Wat kun je verwachten: Een analytische meetkunde vraag waarbij je de vergelijking van een cirkel en lijnen moet gebruiken. Je moet snijpunten berekenen en eigenschappen van de cirkel (raken aan lijnen) toepassen om een onbekende parameter (p) exact te bepalen. Er zijn meerdere oplossingsstrategieën mogelijk, waaronder gelijkvormigheid of het werken met afstanden en vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een cirkel met middelpunt (a,b) en straal r: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Vergelijking van een lijn: y = mx + b of ax + by = c
Afstand van een punt tot een lijn
Stelling van Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2
Eigenschap van een raaklijn aan een cirkel: de straal naar het raakpunt staat loodrecht op de raaklijn
Gelijkvormigheid van driehoeken: overeenkomstige zijden hebben dezelfde verhouding

Wat moet je kunnen: De straal van de cirkel bepalen uit de gegeven raaklijnen
De coördinaten van snijpunten van lijnen en/of cirkels berekenen door stelsels van vergelijkingen op te lossen
Lijnvergelijkingen opstellen aan de hand van twee punten of een punt en een richtingscoëfficiënt
Algebraïsche vergelijkingen (lineair, kwadratisch) exact oplossen
Verhoudingen opstellen en oplossen bij gelijkvormige driehoeken

Waar op letten: Let goed op de exactheid van je antwoord; wortels en breuken moeten behouden blijven. Controleer of de berekende waarde van p voldoet aan de context van de figuur (bijvoorbeeld p<0). Voorkom algebraïsche fouten bij het herleiden van vergelijkingen.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, cirkelvergelijking, lijnvergelijking, snijpunten berekenen, gelijkvormigheid, raaklijn

Veelgemaakte fouten:
- algebraïsche fouten bij het oplossen van het stelsel van vergelijkingen
- de verkeerde oplossing voor p kiezen (de positieve wortel), terwijl p<0 gegeven is
- fouten in de verhoudingen bij het toepassen van gelijkvormigheid

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Afstand tussen horizontale asymptoten (3 punten)

De grafiek van f heeft twee horizontale asymptoten. Bereken exact de afstand tussen deze twee horizontale asymptoten.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je kennis van horizontale asymptoten en limieten van exponentiële functies. Je moet de limieten van een functie bepalen voor x naar positief en negatief oneindig om de vergelijkingen van de asymptoten te vinden, en vervolgens de afstand ertussen berekenen.

Wat moet je kennen: Definitie horizontale asymptoot: y = L als lim(x->+/-oneindig) f(x) = L.
Limiet van e^x: lim(x->-oneindig) e^x = 0 en lim(x->oneindig) e^x = oneindig.
Eigenschappen van limieten: lim(x->a) (f(x)/g(x)) = (lim(x->a) f(x)) / (lim(x->a) g(x)) mits lim(x->a) g(x) != 0.

Wat moet je kunnen: Bepaal de limiet van de functie voor x naar -oneindig.
Bepaal de limiet van de functie voor x naar oneindig.
Stel de vergelijkingen van de horizontale asymptoten op.
Bereken de absolute afstand tussen de gevonden y-waarden van de asymptoten.

Waar op letten: Verwar de limieten voor x naar positief en negatief oneindig niet.
Vergeet niet de uiteindelijke afstand tussen de asymptoten te berekenen, niet alleen de asymptoten zelf.
Wees nauwkeurig bij het bepalen van de limiet van de breuk, vooral als de noemer naar 0 nadert of oneindig wordt.

Kernbegrippen: limieten, horizontale asymptoot, exponentiële functies, gedrag van functies naar oneindig

Veelgemaakte fouten:
- Limieten voor x naar oneindig en min oneindig verwarren
- Vergeten de afstand te berekenen na het vinden van de asymptoten
- Reken- of denkfout bij het bepalen van de limiet van de breuk

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Bewijs van primitieve functie (3 punten)

Een primitieve van f is F(x) = x − ln(eˣ + 1).
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat een gegeven functie F(x) een primitieve is van een andere functie f(x). Dit betekent dat je F(x) moet differentiëren en laten zien dat de afgeleide gelijk is aan f(x). De vraag bevat logaritmische en exponentiële functies.

Wat moet je kennen: Definitie van een primitieve: F(x) is een primitieve van f(x) als F'(x) = f(x).
Afgeleide van ln(g(x)): (ln(g(x)))' = g'(x) / g(x).
Afgeleide van e^x: (e^x)' = e^x.
Afgeleide van een constante: (c)' = 0.

Wat moet je kunnen: De kettingregel correct toepassen bij het differentiëren van samengestelde functies, zoals ln(e^x + 1).
Algebraïsche breuken herleiden door ze op één noemer te brengen.
De afgeleide van F(x) stap voor stap berekenen.
Het resultaat van de differentiatie vergelijken met de gegeven functie f(x).

Waar op letten: Vergeet de kettingregel niet bij het differentiëren van ln(e^x + 1).
Let goed op de algebraïsche stappen bij het herleiden van de breuken.
Zorg ervoor dat je differentieert en niet primitiveren, want je moet F'(x) = f(x) bewijzen.

Kernbegrippen: differentiëren, ketenregel, primitieve functie, logaritmische functies, exponentiële functies

Veelgemaakte fouten:
- De ketenregel vergeten toe te passen bij het differentiëren van ln(eˣ + 1).
- Een algebraïsche fout maken bij het op één noemer brengen van de termen.
- Primitiveren in plaats van differentiëren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Oppervlakte en integraal bewijs (4 punten)

Lijn k heeft vergelijking x = a, met a > 0.
De grafiek van f, de x-as, de y-as en lijn k sluiten een vlakdeel in. De oppervlakte van dit vlakdeel is voor elke waarde van a kleiner dan ln(2).
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de oppervlakte van een vlakdeel moet berekenen met behulp van een bepaalde integraal. Je moet de primitieve functie bepalen en vervolgens een ongelijkheid bewijzen met logaritmen.

Wat moet je kennen: Definitie van een bepaalde integraal voor oppervlakte: Oppervlakte = integraal van a tot b van f(x) dx
Eigenschappen van logaritmen: ln(x) > ln(y) als x > y
De primitieve van 1/(e^x + 1) is x - ln(e^x + 1)

Wat moet je kunnen: De grenzen van de integraal correct bepalen op basis van de gegeven lijnen en assen.
De primitieve functie correct toepassen voor het berekenen van F(a) - F(0).
Een ongelijkheid opstellen en bewijzen door gebruik te maken van eigenschappen van logaritmen en de relatie tussen e^a en e^a + 1.

Waar op letten: Let goed op de tekens bij het uitwerken van F(a) - F(0).
Zorg ervoor dat je F(0) correct berekent, met name ln(e^0 + 1) = ln(2).
De cruciale stap is het bewijzen van de ongelijkheid ln(e^a + 1) > a, wat je kunt doen door ln(e^a) = a te gebruiken.

Kernbegrippen: bepaalde integraal, oppervlakte berekenen met integreren, primitieve functie, eigenschappen van logaritmen, ongelijkheden bewijzen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het berekenen van F(0), met name het correct evalueren van ln(e^0 + 1) tot ln(2).
- Moeite met het opstellen van de cruciale ongelijkheid ln(e^a+1) > a.
- Een rekenfout in de tekens bij het uitwerken van F(a) - F(0).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2023
tijdvak 1
donderdag 11 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-23-1-0

### Pagina 2

Formules

Goniometrie

$\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$
$\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$
$\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$
$\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$

$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$
$\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$

VW-1025-a-23-1-o 2 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 3

Een gebroken functie
De functie f wordt voor $x > 0$ gegeven door $f(x) = 2x + \frac{1}{x}$.
3p 1 De functie f heeft een minimum.
Bereken exact dit minimum.
Lijn k is de scheve asymptoot van de grafiek van f.
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, lijn k en de lijnen
met vergelijking $x=a$ en $x=2a$ met $a>0$. In de figuur is dit vlakdeel
voor een zekere waarde van a grijs gemaakt.
figuur
[FIGUUR: Grafiek van een functie met een schuine asymptoot. De x-as loopt van 0 tot 2a, de y-as loopt van 0 omhoog. De grafiek van de functie f is een kromme die van linksboven naar rechtsboven loopt met een minimum. Lijn k is een rechte lijn die door de oorsprong gaat en de kromme snijdt. Het grijze vlakdeel is begrensd door de kromme f, de lijn k en de verticale lijnen x=a en x=2a.]
5p 2 De oppervlakte van dit vlakdeel is onafhankelijk van de waarde van a.
Bewijs dit.
Verder is gegeven dat de lijn met vergelijking $y=3$. Deze lijn en de grafiek
van f sluiten een vlakdeel W in dat wordt gewenteld om de lijn met
vergelijking $y=3$.
4p 3 Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.
VW-1025-a-23-1-o 3 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Buigen van metalen platen
In de werktuigtouwen moeten vaak metalen platen in een bepaalde hoek worden gebogen. Een van de technieken die daarbij worden gebruikt is vrijbuigen. Daarbij ligt de metalen plaat op een matrijs met een bepaalde vorm. Hierna wordt een stempel met kracht op de plaat gedrukt, zodat deze de gewenste vorm krijgt. In figuur 1 is dit in een voor aanzicht weergegeven. In figuur 2 zie je een voorbeeld van een metalen plaat na het buigen.

figuur 1
[FIGUUR: Diagram dat het vrijbuigen van een metalen plaat toont. Een stempel drukt op een metalen plaat die in een matrijs ligt.]

figuur 2
[FIGUUR: Illustratie van een gebogen metalen plaat, met een hoek van 90 graden.]

Tijdens het vrijbuigen treedt vervorming op: aan de buitenkant rekt het metaal iets op en aan de binnenkant wordt het samengedrukt. In het inwendige van de metalen plaat bevindt zich de neutrale lijn: de lengte hiervan blijft gelijk na vervorming. In deze opgave nemen we aan dat de dikte van de plaat bij het buigen gelijk blijft.
In figuur 3 is het voor aanzicht van een metalen plaat met een dikte van $d$ mm zowel vóór als na het buigen weergegeven. Wanneer de plaat wordt gebogen over een hoek van $45^{\circ}$, verandert rechthoek $ABCD$ in de vorm $A'B'C'D'$. Hierbij is boog $C'D'$ de boog van een cirkel met middelpunt $M$ en straal $2d$ en $A'B'$ de boog van een cirkel met middelpunt $M$ en straal $3d$. De neutrale lijn $P'Q'$ is een cirkelboog op een afstand van $0,4d$ van boog $C'D'$. Verder geldt dat de lengte van de neutrale lijn gelijk blijft, dus de lengte van boog $P'Q'$ is gelijk aan de lengte van $PQ$.

figuur 3
[FIGUUR: Schematische weergave van een metalen plaat voor en na het buigen. De plaat wordt getoond als een rechthoekige sectie die in een gebogen vorm verandert. Afmetingen en labels zoals $d$, $0,4d$, $M$, $A$, $B$, $C$, $D$, $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $P$, $Q$, $P'$, $Q'$ en een hoek van $45^{\circ}$ worden weergegeven.]

5p 4 Bereken algebraïsch hoeveel procent de oppervlakte van vlakdeel $A'B'C'D'$ groter is dan de oppervlakte van vlakdeel $ABCD$. Geef je eindantwoord als geheel getal.
VW-1025-a-23-1-o 4/10 lees verder

### Pagina 5

De kracht die uitgeoefend moet worden op een metalen plaat om deze te buigen, hangt af van het soort metaal, de dikte van het metaal en de breedte van de opening van de matrijs. De formule om deze kracht uit te rekenen luidt:
$$F = R \cdot \frac{d^2}{V} \left(1 + \frac{4d}{V}\right) \quad \text{(formule 1)}$$
Hierbij is:
— F de benodigde kracht (in kN/m);
— R een constante die afhangt van het soort metaal;
— d de dikte van het metaal (in mm);
— V de breedte van de opening van de matrijs (in mm).

Voor het buigen van een metalen plaat met een dikte van 10 mm op een matrijs met een opening van 200 mm is een kracht van 420 kN/m nodig. Als je deze metalen plaat zou buigen op een matrijs met een opening van 100 mm is meer kracht nodig.
3p 5 Bereken algebraïsch hoeveel kracht er nodig is om deze metalen plaat te buigen op een matrijs met een opening van 100 mm breed. Geef je eindantwoord als een geheel getal.

Om bij een gegeven plaatikte de breedte van de opening van de matrijs te berekenen, wordt de volgende formule gebruikt:
$$V = d^{1,75} \quad \text{(formule 2)}$$
Door formule 1 en formule 2 te combineren krijg je een formule die de benodigde kracht $F$ uitdrukt in $R$ en $d$.
4p 6 Er is een plaatikte $d$ waarbij de benodigde kracht $F$ minimaal is. Bereken exact deze waarde van $d$.

### Pagina 6

Gedraaide parabool
De bewegingsvergelijkingen van een punt $P$ worden gegeven door:
$$
\left{
\begin{array}{l}
x_P(t) = 2t \\
y_P(t) = 2t^2
\end{array}
\right.
$$
Punt $M$ is het midden van lijnstuk $OP$. Vector $\vec{MP}$ wordt rechtsom geroteerd om $M$ over $90^\circ$. Zo ontstaat de beeldvector $\vec{MQ}$. In figuur 1 is voor een waarde van $t$ de situatie weergegeven.
[FIGUUR: Een parabool in het xy-vlak, met de top in de oorsprong. Punt P ligt op de parabool. Punt M is het midden van OP. Een vector MP is getekend, en een vector MQ die 90 graden rechtsom is geroteerd ten opzichte van MP. De baan van punt Q is ook weergegeven als een gestippelde lijn.]

Tijdens de beweging van $P$ beschrijft ook het punt $Q$ een baan. In figuur 1 is deze baan gestippeld weergegeven.
De bewegingsvergelijkingen van $Q$ worden gegeven door:
$$
\left{
\begin{array}{l}
x_Q(t) = t + t^2 \\
y_Q(t) = t^2 - t
\end{array}
\right.
$$
3p 7 Bewijs dat dit inderdaad de bewegingsvergelijkingen van $Q$ zijn.
De snelheid waarmee $P$ beweegt, is gegeven door $\sqrt{4+16t^2}$.
Voor elke waarde van $t$ is deze snelheid een factor $c$ keer zo groot als de snelheid van $Q$.
3p 8 Bereken exact de waarde van $c$.
Voor elke waarde van $t$ wordt de lengte $L$ van lijnstuk $PQ$ bepaald. Er geldt:
$$L = |t|\cdot\sqrt{2t^2+2}$$
3p 9 Bewijs dit.
In figuur 2 is de grafiek van $L$ weergegeven.
[FIGUUR: Een grafiek met de t-as en de L-as. De grafiek begint bij de oorsprong en heeft een knik. De grafiek stijgt daarna naar rechts.]
In de oorsprong, bij $t = 0$, zien we een knik.
Als $t$ vanaf links of vanaf rechts tot $0$ nadert, de waarde van $L$ in beide situaties ook van de grafiek van $L$ nadert tot $0$. De helling van de grafiek van $L$ nadert echter niet in beide situaties tot dezelfde waarde.
4p 10 Bereken exact tot welke waarde de helling van de grafiek van $L$ nadert als $t$ vanaf links tot $0$ nadert.
VW-1025-a-23-1-o 6 / 10 lees verder

### Pagina 7

Absolute sinus

De functie f wordt gegeven door $f(x) = \left| \sin(x) + \frac{1}{2}\sqrt{3} \right|$.
In de figuur is de grafiek van f als doorgetrokken lijn weergegeven.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Twee functies zijn weergegeven, een doorgetrokken lijn (f) en een gestippelde lijn (g). De grafiek van f is de absolute waarde van een sinusfunctie. Punten A en B zijn gemarkeerd op de grafiek van f.]

In de figuur zijn de toppen A en B van de grafiek van f aangegeven.
A en B zijn de toppen die horen bij de eerste twee maxima van f rechts van de y-as.

Er bestaat een sinusoïde die gegeven wordt door $g(x) = a + b\sin(x)$, waarvan twee opeenvolgende toppen samenvallen met de punten A en B.
De grafiek van g is in de figuur gestippeld weergegeven.

3p 11 Bereken exact de waarde van a en b.

De grafiek van f en de x-as sluiten twee soorten vlakdelen in: kleine
vlakdelen en grote vlakdelen. In de figuur is een van de kleine vlakdelen
grijsgemaakt.

5p 12 Bereken exact de oppervlakte van een klein vlakdeel.

VW-1025-a-23-1-o 7 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 8

Logaritmische functies
De functie $f$ wordt gegeven door:
$f(x) = \ln(x)$
De functie $g$ wordt gegeven door:
$g(x) = 1 + e^2 \cdot (1 - \ln(x))$
In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven. De raaklijnen aan de grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar loodrecht in het snijpunt.
6p 13 Bewijs dit.

In figuur 2 zijn de grafieken van $f$ en $g$ opnieuw weergegeven.
Ook is voor een waarde van $q$ de lijn
$y = q$ weergegeven.
Deze lijn snijdt de grafiek van $g$ in
punt $A$ en de grafiek van $f$ in punt $B$,
waarbij punt $A$ links van punt $B$ ligt.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as, x-as en de oorsprong O. Twee functies, f en g, zijn getekend. Functie f is een stijgende curve. Functie g is een dalende curve. De twee curves snijden elkaar.]

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as, x-as en de oorsprong O. Een horizontale lijn y=q is getekend. De grafieken van f en g zijn getekend. Functie f is een stijgende curve, die de lijn y=q snijdt in punt B. Functie g is een dalende curve, die de lijn y=q snijdt in punt A. Punt A ligt links van punt B.]

4p 14 Er geldt dat $AB = 3$. Bereken de bijbehorende waarde van $q$. Geef je eindantwoord in een decimaal.

VW-1025-a-23-1-o
8 / 10
lees verder ►►►

### Pagina 9

Bisse ctric e in een rechthoek

Gegeven is rechthoek $OABC$ met $O(0, 0)$, $A(8, 0)$ en $C(0, 4)$.
De punten $E$ en $F$ zijn de middens van respectievelijk $OA$ en $BC$. Op de
negatieve $y$-as ligt punt $P(0, p)$. Punt $D$ is het snijpunt van
het verlengde
van lijnstuk $PF$ en lijnstuk $AC$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een rechthoek OABC getekend in een cartesisch assenstelsel. O is de oorsprong. A ligt op de positieve x-as, C ligt op de positieve y-as. E is het midden van OA, F is het midden van BC. P ligt op de negatieve y-as. Lijnstukken AC, PF, EF en PD zijn getekend. D is het snijpunt van AC en PF.]

De lijn door $E$ en $F$ is de bissectrice van hoek $PED$.
5p 15 Bewijs dit voor het geval $p = -2$.

$M(4, 2)$ is het snijpunt van $AC$ en $EF$. Cirkel $c$ heeft middelpunt $M$ en gaat
door $D$. Afhankelijk van de positie van punt $P$ (en dus van de waarde van
$p$) is de cirkel groter of kleiner. Er is precies één waarde van $p$ waarvoor
cirkel $c$ raakt aan $OA$ en $BC$. In figuur 2 is deze situatie weergegeven.
figuur 2
[FIGUUR: Een rechthoek OABC getekend in een cartesisch assenstelsel. O is de oorsprong. A ligt op de positieve x-as, C ligt op de positieve y-as. E is het midden van OA, F is het midden van BC. P ligt op de negatieve y-as, onder O. Lijnstukken AC, EF, PD en een cirkel c zijn getekend. M is het middelpunt van de cirkel, dat ook op EF ligt. De cirkel raakt de x-as (OA) en de lijn BC.]

6p 16 Bereken exact de waarde van $p$.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1025-a-23-1-o 9 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Exponentiële breuk

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = \frac{1}{e^x + 1}$.

17 De grafiek van $f$ heeft twee horizontale asymptoten.
Bereken exact de afstand tussen deze twee horizontale asymptoten.

Een primitieve van $f$ is $F(x) = x - \ln(e^x + 1)$.

18 Bewijs dit.

Lijn $k$ heeft vergelijking $x = a$, met $a > 0$.
De grafiek van $f$, de $x$-as, de $y$-as en lijn $k$ sluiten een vlakdeel in. De
oppervlakte van dit vlakdeel is voor elke waarde van $a$ kleiner dan $\ln(2)$.

19 Bewijs dit.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1025-a-23-1-o
10 / 10
einde