# Eindexamen Wiskunde B VWO 2022 tijdvak 3

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3

## Vraag 1 – Bewijs primitieve van logaritmische functie (3 punten)

De functie f is gegeven door f(x) = 1/(x−5) + 1/(x−6).
De functie F gegeven door F(x) = ln(x²−11x+30) is dan een primitieve van f.
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat een gegeven functie F(x) een primitieve is van een andere functie f(x). Dit kan op twee manieren: door f(x) te primitiveren en te laten zien dat dit F(x) oplevert, of door F(x) te differentiëren en te laten zien dat dit f(x) oplevert. De vraag omvat differentiëren, primitiveren en rekenregels voor logaritmen.

Wat moet je kennen: Definitie primitieve: F(x) is een primitieve van f(x) als F'(x) = f(x).
Primitieve van 1/x is ln|x| + C.
Kettingregel: als h(x) = f(g(x)), dan h'(x) = f'(g(x)) * g'(x).
Afgeleide van ln(g(x)) is g'(x)/g(x).
Rekenregel logaritmen: ln(a) + ln(b) = ln(a*b).

Wat moet je kunnen: Optie 1 (primitiveren van f(x) naar F(x)):
Splits f(x) in afzonderlijke termen en primitiveer elke term afzonderlijk.
Pas de rekenregel voor logaritmen toe om de geprimitiveerde termen samen te voegen tot één logaritme.
Controleer of het resultaat overeenkomt met F(x).
Optie 2 (differentiëren van F(x) naar f(x)):
Differentieer F(x) met behulp van de kettingregel en de afgeleide van ln(x).
Breng de termen van f(x) onder één noemer door gelijknamig te maken.
Controleer of de afgeleide van F(x) gelijk is aan f(x).

Waar op letten: Vergeet de kettingregel niet bij het differentiëren van F(x) = ln(x^2 - 11x + 30).
Pas de rekenregels voor logaritmen correct toe: ln(a) + ln(b) = ln(a*b), niet ln(a+b).
Zorg ervoor dat je de juiste afgeleide of primitieve van 1/x gebruikt.

Kernbegrippen: primitiveren, differentiëren, logaritmische functies, rekenregels voor logaritmen, ketenregel

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de ketenregel bij het differentiëren van F(x).
- Foutieve toepassing van rekenregels voor logaritmen, zoals ln(a) + ln(b) verwarren met ln(a+b).
- Het primitiveren van 1/(x-a) verwarren met differentiëren en schrijven als -1/(x-a)².

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/1

## Vraag 2 – Oppervlaktes gelijkstellen met logaritmen (5 punten)

Er is een waarde van p waarvoor de oppervlaktes van V en W gelijk zijn. Bereken exact deze waarde van p.

Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte van twee gebieden onder een grafiek berekenen met behulp van integralen. Vervolgens stel je deze oppervlaktes aan elkaar gelijk en los je de resulterende logaritmische vergelijking exact op om de waarde van p te vinden.

Wat moet je kennen: Hoofdstelling van de integraalrekening: integraal van a tot b van f(x) dx = F(b) - F(a), waarbij F(x) een primitieve is van f(x).
Rekenregels voor logaritmen: ln(a) - ln(b) = ln(a/b) en ln(a) + ln(b) = ln(a*b).
Definitie van logaritme: als ln(A) = ln(B), dan A = B.

Wat moet je kunnen: De oppervlakte van een gebied onder een grafiek berekenen door de primitieve te evalueren op de grenzen.
Logaritmische uitdrukkingen vereenvoudigen met behulp van de rekenregels.
Een logaritmische vergelijking omzetten naar een kwadratische vergelijking.
Een kwadratische vergelijking oplossen (bijvoorbeeld met de abc-formule of ontbinden in factoren).
Oplossingen controleren aan de hand van het domein of de context van de vraag (bijvoorbeeld p>9).

Waar op letten: Controleer altijd of de gevonden oplossingen voldoen aan de voorwaarden van de logaritme (argument > 0) en de context van de vraag (bijvoorbeeld p>9).
Pas de rekenregels voor logaritmen correct toe, vooral bij optellen en aftrekken.
Werk exact; rond niet tussentijds af.

Kernbegrippen: oppervlakte berekenen met integralen, hoofdstelling van de integraalrekening, logaritmische vergelijkingen oplossen, kwadratische vergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Rekenregels voor logaritmen verkeerd toepassen, bijvoorbeeld ln(a) + ln(b) = ln(a+b) in plaats van ln(ab).
- Vergeten de oplossing p=-3 te verwerpen op basis van de voorwaarde p>9.
- Een rekenfout maken bij het oplossen van de kwadratische vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/2

## Vraag 3 – Hoek tussen raaklijnen bij absolute waarde functie (5 punten)

De functie g is gegeven door g(x) = |(1/(x-5)) + (1/(x-6))|.
In figuur 2 is de grafiek van g getekend.
Deze grafiek is symmetrisch in de lijn x = 5 1/2.

De grafiek van g heeft in punt A(5 1/2, 0) een knik.
Zowel aan het deel van de grafiek links van A als aan het deel van de grafiek rechts van A is er een raaklijn in A. Deze twee raaklijnen zijn verschillend.

3 Bereken algebraïsch de hoek tussen deze raaklijnen. Geef je eindantwoord in gehele graden nauwkeurig.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het differentiëren van een functie met een absolute waarde en het berekenen van de hoek tussen twee raaklijnen. Je krijgt een functievoorschrift en een figuur met de grafiek. Je moet algebraïsch de hoek berekenen.

Wat moet je kennen: Afgeleide van 1/x is -1/x^2.
Kettingregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).
Definitie van absolute waarde: |f(x)| = f(x) als f(x) >= 0 en |f(x)| = -f(x) als f(x) < 0.
De richtingscoëfficiënt van een raaklijn is de waarde van de afgeleide in dat punt.
De hoek alpha die een lijn met richtingscoëfficiënt m maakt met de positieve x-as is te berekenen met tan(alpha) = m.

Wat moet je kunnen: De functie binnen de absolute waarde herleiden tot één breuk.
De afgeleide bepalen van de functie zonder absolute waarde.
De functie g(x) opsplitsen in twee delen (met en zonder minteken) rondom het knikpunt.
De richtingscoëfficiënten van de twee raaklijnen in het knikpunt berekenen door de x-waarde in te vullen in de juiste afgeleide.
De hoeken die de raaklijnen maken met de x-as berekenen met behulp van de arctan-functie.
De hoek tussen de twee raaklijnen bepalen, rekening houdend met de symmetrie.

Waar op letten: Let goed op de absolute waarde: de functie g(x) heeft twee 'takken' met verschillende afgeleiden rondom het knikpunt.
Vergeet niet dat de hoek tussen twee lijnen altijd positief is en vaak kleiner dan 90 graden.
Zorg dat je de hoek in graden nauwkeurig afrondt, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: differentiëren, absolute waarde functie, raaklijn en richtingscoëfficiënt, hoek tussen lijnen berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect omgaan met de absolute waarde bij het differentiëren, wat leidt tot een verkeerde afgeleide of maar één raaklijn.
- Vergeten dat de hoek met de x-as wordt berekend met de arctangens van de richtingscoëfficiënt.
- Een rekenfout bij het invullen van x = 5,5 in de afgeleide.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/3

## Vraag 4 – Bewijs snijpunt met vectoren of coördinaten (3 punten)

Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om een bewijs te leveren voor de positie van een snijpunt van twee lijnen in een meetkundige figuur. Je kunt dit aanpakken met vectorrekening, coördinatenmeetkunde of gelijkvormigheid van driehoeken, waarbij je de gegeven figuur met vierkanten gebruikt.

Wat moet je kennen: Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken (hh, zhz, zzz).
Vectorvoorstelling van een lijn: r = p + lambda*v.
Vergelijking van een lijn: y = ax + b.
Coördinaten van punten bepalen in een zelfgekozen assenstelsel.

Wat moet je kunnen: De coördinaten van relevante punten (A, D, F, H) bepalen op basis van de figuur.
Vergelijkingen of vectorvoorstellingen van de lijnen AF en HD opstellen.
Het snijpunt van twee lijnen berekenen door de vergelijkingen of vectorvoorstellingen aan elkaar gelijk te stellen.
De verhouding van zijden in gelijkvormige driehoeken correct toepassen om een vector uit te drukken.

Waar op letten: Kies een handig assenstelsel, vaak met A als oorsprong, om coördinaten eenvoudig te houden.
Controleer of je de juiste verhoudingen gebruikt bij gelijkvormigheid, bijvoorbeeld 3:2 of 2:3.
Wees nauwkeurig met algebraïsche berekeningen bij het oplossen van stelsels vergelijkingen.

Kernbegrippen: vectorrekening, gelijkvormigheid van driehoeken, snijpunt van lijnen, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve verhouding bij gelijkvormigheid gebruiken, bijvoorbeeld 2:3 in plaats van 3:2.
- Verkeerd opstellen van de coördinaten van de punten F, H of D in het zelfgekozen assenstelsel.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen voor het snijpunt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/4

## Vraag 5 – Loodrechte vectoren onderzoeken (3 punten)

Onderzoek of de vectoren $\overline{BS}$ en $\overline{HD}$ loodrecht op elkaar staan.

Wat kun je verwachten: Je moet onderzoeken of twee vectoren loodrecht op elkaar staan. Dit doe je door gebruik te maken van vectorrekening en coördinatenmeetkunde. Je krijgt een figuur met daarin de punten en hun onderlinge relaties.

Wat moet je kennen: Definitie van een vector: een vector van punt P naar punt Q is Q - P.
Inwendig product (dot product) van twee vectoren: voor vectoren v = (v1, v2) en w = (w1, w2) geldt v * w = v1*w1 + v2*w2.
Voorwaarde voor loodrechte stand van vectoren: twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inwendig product gelijk is aan 0.

Wat moet je kunnen: Bepaal de coördinaten van alle relevante punten in een geschikt assenstelsel.
Stel de coördinaten van de gevraagde vectoren op door de coördinaten van het beginpunt van het eindpunt af te trekken.
Bereken het inwendig product van de twee vectoren.
Trek een conclusie over de loodrechte stand van de vectoren op basis van het berekende inwendig product.

Waar op letten: Controleer of je de coördinaten van de punten correct hebt afgelezen of berekend.
Let op tekenfouten bij het bepalen van de vectoren of bij het berekenen van het inwendig product.
Vergeet niet expliciet de conclusie te formuleren over de loodrechte stand van de vectoren.

Kernbegrippen: vectorrekening, inwendig product, loodrechte stand van vectoren, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfout bij het bepalen van de coördinaten van de punten.
- Fout in de formule voor het inwendig product.
- Vergeten de conclusie te trekken nadat het inwendig product is berekend.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/5

## Vraag 6 – Inhoud modeltube berekenen met integraal (6 punten)

In figuur 1 is een cilindervormige koker getekend met diameter 4 cm.
Als de cirkel aan de onderkant wordt samengeknepen tot een lijnstuk, ontstaat een model voor een tube zonder dop. Op de foto zie je zo'n tube maar dan met dop.
Deze tube, die bijvoorbeeld shampoo kan bevatten, heeft, zonder dop, een hoogte van 10 cm en aan de bovenkant een diameter van 4 cm.

In het vervolg van de opgave worden horizontale doorsneden van de rechtopstaande modeltube bekeken.

Het model heeft drie uitgangspunten:
- De doorsnede op hoogte h, gemeten vanaf de onderkant, bestaat voor 0 < h < 10 uit twee halve cirkels en twee evenwijdige lijnstukken van gelijke lengte.
- De omtrek van elke doorsnede is gelijk aan de omtrek van de cilinder.
- De afstand tussen de twee lijnstukken in de doorsnede is gelijk aan de diameter van de halve cirkels. Deze afstand neemt voor 0 < h < 10 lineair toe van 0 tot 4.

In figuur 2 is op vier hoogtes de doorsnede getekend.
De oppervlakte A van een doorsnede hangt af van de hoogte h.
Met behulp van bovenstaande drie uitgangspunten kan een formule worden opgesteld voor A(h).
De inhoud I van de modeltube kan met behulp van deze formule voor A(h) worden berekend.

Er geldt: I = ∫₀¹⁰ A(h) dh

6p 6 Onderzoek of de modeltube 80 cm³ shampoo kan bevatten.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert meetkunde en analyse. Je moet eerst een formule opstellen voor de oppervlakte van een doorsnede op basis van gegeven eigenschappen van de tube. Vervolgens gebruik je deze oppervlakteformule om de totale inhoud van de tube te berekenen met behulp van een integraal.

Wat moet je kennen: Omtrek van een cirkel: C = pi * d
Oppervlakte van een cirkel: A = pi * r^2
Oppervlakte van een rechthoek: A = lengte * breedte
Definitie van een integraal als de oppervlakte onder een kromme of inhoud van een lichaam

Wat moet je kunnen: Een lineair verband opstellen voor de diameter van de halve cirkels als functie van de hoogte h.
De omtrek van de doorsnede uitdrukken in de diameter van de halve cirkels en de lengte van de lijnstukken.
De lengte van de lijnstukken uitdrukken in h door gebruik te maken van de constante omtrek.
De formule voor de oppervlakte A(h) van de doorsnede opstellen, bestaande uit twee halve cirkels en een rechthoekig deel.
De inhoud I berekenen door de functie A(h) te integreren over het gegeven interval [0, 10], eventueel met de grafische rekenmachine.

Waar op letten: Let goed op de eenheden (cm, cm², cm³) en vermeld deze in je antwoord.
Zorg dat je de formule voor A(h) correct opstelt, inclusief de twee halve cirkels en het rechthoekige deel.
Controleer of je de lineaire toename van de afstand tussen de lijnstukken correct vertaalt naar een formule voor de diameter d(h).
Wees nauwkeurig bij het invoeren van de functie en de grenzen in je grafische rekenmachine voor de integraal.

Kernbegrippen: integreren, inhoud van een lichaam, opstellen van een formule, lineaire verbanden, omtrek en oppervlakte van samengestelde figuren

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het opstellen van de formule voor de oppervlakte A(h), bijvoorbeeld door de rechthoekige en cirkelvormige delen te verwarren.
- Verkeerd opstellen van het lineaire verband voor de diameter d(h).
- Reken- of invoerfout bij het berekenen van de integraal op de grafische rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/6

## Vraag 7 – Maximale verhouding van vierkanten bij e^x (8 punten)

De functie f is gegeven door f(x) = eˣ.
Op de grafiek van f ligt een punt P(p, eᵖ) met p > 0.
Zie de figuur.

figuur

In de figuur zijn ook de vierkanten V en W getekend.
Van vierkant V is P een hoekpunt en ligt een zijde op de y-as.
Van vierkant W is P een hoekpunt en ligt een zijde op de x-as.

Voor elke waarde van p bekijken we de verhouding:
R = (oppervlakte van vierkant V)/(oppervlakte van vierkant W)

Er is een waarde van p waarvoor R maximaal is.
Bereken exact de maximale waarde van R.

Wat kun je verwachten: Dit is een optimalisatievraag waarbij je een functie moet opstellen voor de verhouding van twee oppervlaktes. Je krijgt een functie f(x) = e^x en een punt P(p, e^p) op de grafiek. Vervolgens moet je de afgeleide bepalen en de maximale waarde exact berekenen.

Wat moet je kennen: Afgeleide van e^x: d/dx(e^x) = e^x
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'*g - f*g')/g^2
Productregel: (f*g)' = f'*g + f*g'
Kettingregel: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)
Definitie van een vierkant: alle zijden zijn gelijk en alle hoeken zijn 90 graden.

Wat moet je kunnen: Formules voor de zijden en oppervlaktes van de vierkanten opstellen in termen van p.
Een functie R(p) opstellen voor de verhouding van de oppervlaktes.
De afgeleide van R(p) bepalen met behulp van de product- of quotiëntregel.
De afgeleide gelijkstellen aan nul en de resulterende vergelijking algebraïsch oplossen voor p.
De gevonden waarde van p substitueren in R(p) om de maximale waarde van R exact te berekenen.

Waar op letten: Let goed op de zijdelengtes van de vierkanten; de zijde van vierkant V is p en de zijde van vierkant W is e^p. De oppervlakte is het kwadraat van de zijde.
Pas de product- of quotiëntregel correct toe bij het differentiëren, inclusief de kettingregel voor e^(2p).
Vergeet niet de voorwaarde p > 0 te gebruiken bij het oplossen van dR/dp = 0.

Kernbegrippen: differentiëren met de quotiëntregel, differentiëren met de productregel, exponentiële functies, extreemwaarden bepalen, algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het toepassen van de quotiëntregel of productregel.
- Oppervlakte van vierkant W verkeerd berekend als eᵖ in plaats van (eᵖ)².
- Vergeten de voorwaarde p > 0 toe te passen, waardoor p=0 als mogelijke oplossing wordt meegenomen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/7

## Vraag 8 – Bewijs bissectrice met richtingsvectoren (4 punten)

Gegeven is de lijn k met vectorvoorstelling \binomxy = \binom294 + s \binom512 en de lijn l met vectorvoorstelling \binomxy = \binom024 + t \binom34.
De lijnen k en l snijden elkaar in een punt S.
Lijn m is een lijn met vectorvoorstelling \binomxy = \binom0b + u \binom1a.
De waarden van a en b kunnen zo worden gekozen dat m de scherpe hoek die de lijnen k en l met elkaar maken, in twee gelijke hoeken verdeelt.
In de figuur is deze situatie getekend.

figuur

In deze situatie geldt a = 1(3)/(4).

8 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag over de richtingscoëfficiënt van een lijn die de hoek tussen twee andere lijnen middendoor deelt (een bissectrice). Je krijgt de vectorvoorstellingen van drie lijnen en moet aantonen dat een specifieke waarde voor de richtingscoëfficiënt van de bissectrice klopt.

Wat moet je kennen: Vectorvoorstelling van een lijn: (x,y) = (x_0,y_0) + t * (r_x,r_y)
Richtingsvector van een lijn: (r_x,r_y)
Lengte van een vector: |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2)
Inproduct van twee vectoren: (a,b) * (c,d) = a*c + b*d
Formule voor de hoek alpha tussen twee vectoren v en w: cos(alpha) = (v * w) / (|v| * |w|)
Een bissectrice deelt een hoek in twee gelijke delen.

Wat moet je kunnen: De richtingsvectoren van de gegeven lijnen bepalen uit hun vectorvoorstellingen.
De lengte van een richtingsvector berekenen.
De hoek tussen twee lijnen uitdrukken met behulp van het inproduct en de lengtes van de richtingsvectoren.
Een vergelijking opstellen die uitdrukt dat de hoek tussen lijn k en lijn m gelijk is aan de hoek tussen lijn l en lijn m.
De vergelijking algebraïsch oplossen om de waarde van 'a' te vinden.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de richtingsvectoren normaliseert (deelt door hun lengte) wanneer je de hoekformule gebruikt, anders klopt de vergelijking niet.
Let op het verschil tussen de scherpe en stompe hoek; de cosinus van de scherpe hoek is positief.
Voorkom rekenfouten bij het oplossen van de vergelijking met breuken.

Kernbegrippen: vectorrekening, richtingsvectoren, inproduct, hoek tussen lijnen, bissectrice

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de richtingsvectoren te normaliseren (delen door hun lengte) bij het opstellen van de hoekvergelijking.
- Een rekenfout maken bij het oplossen van de lineaire vergelijking met breuken.
- De formule voor de richtingsvector van een bissectrice verkeerd toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/8

## Vraag 9 – Snijpunt en bissectrice (5 punten)

Bereken exact de waarde van b.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het vinden van het snijpunt van twee lijnen, gegeven als vectorvoorstellingen of vergelijkingen. Vervolgens moet je de vergelijking van een derde lijn (de bissectrice) gebruiken om een onbekende parameter te berekenen. Je werkt met coördinaten en lineaire vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Vectorvoorstelling van een lijn: r = p + t*v (steunvector + t * richtingsvector)
Vergelijking van een lijn: y = ax + b of Ax + By = C
Definitie van een bissectrice: een lijn die een hoek in twee gelijke delen verdeelt.

Wat moet je kunnen: Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden oplossen (substitutie of eliminatie).
Het snijpunt van twee lijnen berekenen door hun vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen.
Coördinaten van een punt invullen in een lijnvergelijking om een onbekende parameter te vinden.
Omgaan met breuken en gemengde getallen in berekeningen.

Waar op letten: Controleer je rekenwerk zorgvuldig bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen.
Zorg dat je de juiste coördinaten van het snijpunt invult in de vergelijking van lijn m.
Let op het exact berekenen van de waarde van b, dus geen afgeronde getallen gebruiken.

Kernbegrippen: vectorvoorstelling van een lijn, snijpunt van lijnen, stelsel vergelijkingen oplossen, bissectrice, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of overschrijffouten bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen.
- Niet realiseren dat het snijpunt S op lijn m moet liggen.
- Foutief omgaan met de gemengde breuk 1 3/4 in de berekening.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/9

## Vraag 10 – Conditiescore en levensduur (3 punten)

Bereken voor een bouwdeel met een theoretische levensduur van 25 jaar gedurende hoeveel jaar dat bouwdeel conditiescore 2 krijgt. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het modelleren van een conditiescore met een formule. Je moet een vergelijking oplossen waarbij de onbekende in een macht staat, en vervolgens een tijdsinterval bepalen. De vraag vereist het exact oplossen van de vergelijking en het correct interpreteren van een conditiescore.

Wat moet je kennen: Definitie van een interval: a <= x < b betekent dat x groter dan of gelijk is aan a en kleiner dan b.
Regels voor machten: x^(1/n) = n-de_machtswortel(x).
Algebraïsche regels voor het isoleren van een variabele in een vergelijking.

Wat moet je kunnen: De gegeven formule correct gebruiken om de conditiescore C te berekenen.
Een ongelijkheid (of twee vergelijkingen) opstellen op basis van de conditiescore.
Een vergelijking met een machtsterm algebraïsch oplossen door de machtsterm te isoleren en vervolgens de inverse bewerking (macht verheffen) toe te passen.
Het verschil tussen twee berekende tijdstippen bepalen om de duur te vinden.
Je antwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let goed op de interpretatie van 'conditiescore 2': dit betekent 2 <= C < 3, niet alleen C=2.
Voer de algebraïsche stappen nauwkeurig uit om rekenfouten te voorkomen, vooral bij het omzetten van machten.
Vergeet niet om na het oplossen van de vergelijkingen het verschil tussen de twee tijdstippen te berekenen voor de uiteindelijke tijdsduur.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen met machten, machtsfuncties, interval bepalen, modelleren met formules

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van 'conditiescore 2', bijvoorbeeld alleen C=2 gebruiken in plaats van het interval 2 ≤ C < 3.
- Reken- of afrondingsfouten bij het algebraïsch oplossen van de vergelijkingen.
- Vergeten het verschil tussen de twee tijdstippen te berekenen voor de tijdsduur.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/10

## Vraag 11 – Formule herleiden en constanten bepalen (4 punten)

De Rijksgebouwendienst hanteerde ook een formule waarin t is uitgedrukt in L en C. Deze formule ontstaat door formule (1) te herleiden tot een formule van de volgende vorm:
t = L - L ⋅ a(6 - C)ᵇ      (2)
Bepaal de waarden van a en b door formule 1 te herleiden tot formule 2. Rond je berekende waarden zo nodig af op drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met meerdere variabelen en moet deze algebraïsch herleiden naar een specifieke vorm. Vervolgens moet je de waarden van de constanten (a en b) in de herleide formule bepalen door deze te vergelijken met de gegeven vorm.

Wat moet je kennen: Machtsregel: (x^p)^q = x^(p*q)
Machtsregel: (x*y)^p = x^p * y^p
Basale algebraïsche bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, haakjes wegwerken

Wat moet je kunnen: Variabelen stap voor stap isoleren door inverse bewerkingen toe te passen.
Een term met een macht isoleren en vervolgens beide zijden tot de inverse macht verheffen.
De herleide formule vergelijken met de doelformule om de waarden van de constanten te identificeren.
Correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen bij het isoleren van de variabele t.
Pas de machtsregels correct toe, vooral bij het uitwerken van een macht van een product.
Vergeet niet de waarde van a af te ronden op drie decimalen zoals gevraagd.

Kernbegrippen: algebraïsch herleiden, rekenregels voor machten, variabelen isoleren, formules omschrijven

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve toepassing van machtsregels, met name bij het uitwerken van $(xy)^n$.
- Onjuist afronden van de berekende waarde voor a.
- Algebraïsche fouten bij het stapsgewijs isoleren van de variabele t.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/11

## Vraag 12 – Logaritmische vergelijking met conditiescore (3 punten)

Bereken exact na hoeveel procent van de theoretische levensduur het bouwdeel conditiescore 3 bereikt volgens formule 3.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een logaritme en moet een specifieke waarde van de afhankelijke variabele (conditiescore C) gebruiken om de bijbehorende waarde van de onafhankelijke variabele (t/L) te berekenen. Het is een algebraïsche vraag waarbij je een logaritmische vergelijking exact moet oplossen en het resultaat als percentage moet geven.

Wat moet je kennen: Definitie van logaritme: als g^x = y, dan is x = ^g log(y).
Eigenschappen van logaritmen: a * ^g log(x) = ^g log(x^a).
De standaard logaritme (log) is de logaritme met grondtal 10, dus log(x) = ^10 log(x).

Wat moet je kunnen: De gegeven waarde van C invullen in de formule.
De term met de logaritme isoleren aan één kant van de vergelijking.
De logaritme omzetten naar een exponentiële vorm (gebruikmakend van de definitie van logaritme).
De variabele t/L oplossen.
De gevonden breuk omzetten naar een percentage.

Waar op letten: Let goed op het grondtal van de logaritme; als er geen grondtal staat, is het grondtal 10.
Voer de algebraïsche stappen zorgvuldig uit om rekenfouten te voorkomen, vooral bij het isoleren van de logaritme.
Vergeet niet het uiteindelijke antwoord als percentage te geven, zoals gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijking oplossen, algebraïsche vaardigheden, formules met parameters, grondtal van logaritme

Veelgemaakte fouten:
- De stap van `½ log(1 - t/L) = 2` naar `1 - t/L = 1/4` in het correctievoorschrift is mathematisch onjuist voor standaard logaritmen en kan verwarrend zijn.
- Rekenfout bij het isoleren van de logaritme-term.
- Vergeten om de breuk (3/4) om te rekenen naar een percentage.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/12

## Vraag 13 – Snijpunt goniometrische functie met x-as (4 punten)

De grafiek van f₃ heeft behalve de oorsprong een tweede gemeenschappelijk punt met de x-as.

13 Bereken exact de x-coördinaat van dat tweede gemeenschappelijke punt.

Wat kun je verwachten: Je moet een goniometrische vergelijking oplossen om de snijpunten met de x-as te vinden. Dit type vraag combineert kennis over goniometrie met het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Definitie snijpunt met de x-as: y = 0
Kwadratische vergelijking: ax^2 + bx + c = 0, op te lossen met ontbinden in factoren of de abc-formule
Exacte waarden van goniometrische functies, zoals cos(x) = 1/2 voor x = 1/3π
Algemene oplossing van cos(x) = c: x = arccos(c) + k * 2π of x = -arccos(c) + k * 2π

Wat moet je kunnen: De functie f_p(x) gelijkstellen aan 0 om de snijpunten met de x-as te vinden.
Een goniometrische vergelijking omzetten naar een kwadratische vergelijking door substitutie (bijvoorbeeld u = cos(x)).
De kwadratische vergelijking oplossen voor de gesubstitueerde variabele.
De gevonden oplossingen terug substitueren in de goniometrische vergelijking en deze oplossen.
De juiste oplossing kiezen op basis van de vraagstelling (hier: het 'tweede' gemeenschappelijke punt, niet de oorsprong).

Waar op letten: Let goed op de formulering 'tweede gemeenschappelijke punt' om de juiste oplossing te selecteren.
Controleer je berekeningen bij het oplossen van de kwadratische vergelijking.
Zorg dat je de exacte waarde van de hoek correct bepaalt en niet afrondt.

Kernbegrippen: goniometrische functies, kwadratische vergelijkingen oplossen, snijpunten met de x-as, exacte waarden

Veelgemaakte fouten:
- De verkeerde oplossing kiezen; de vraag vraagt om het 'tweede' punt, niet de oorsprong (waar x=0 en cos(x)=1).
- Fouten maken bij het oplossen van de kwadratische vergelijking, bijvoorbeeld met de abc-formule.
- De exacte waarde van arccos(1/2) niet kennen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/13

## Vraag 14 – Bewijs cos(a) = 1/4 p voor hoogste punt (4 punten)

Voor de x-coördinaat a van het hoogste punt van de grafiek van f_p geldt dat cos(a) = 1/4 p.

Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de x-coördinaat van een hoogste punt van een functie f_p moet relateren aan de parameter p. Je moet differentiëren, een goniometrische vergelijking oplossen en de context van 'hoogste punt' gebruiken.

Wat moet je kennen: Afgeleide van cos(x): d/dx(cos(x)) = -sin(x)
Afgeleide van cos²(x) met kettingregel: d/dx(cos²(x)) = 2*cos(x)*(-sin(x)) = -2*sin(x)*cos(x)
Voor een extremum geldt dat de afgeleide gelijk is aan nul: f'(x) = 0

Wat moet je kunnen: Differentiëren van een functie met goniometrische termen, inclusief het correct toepassen van de kettingregel.
De afgeleide gelijkstellen aan nul en de resulterende goniometrische vergelijking oplossen door te ontbinden in factoren.
De verschillende oplossingen van de goniometrische vergelijking interpreteren in de context van de vraag (hoogste punt versus andere extremen).

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de kettingregel bij het differentiëren van cos²(x).
Zorg ervoor dat je de afgeleide vergelijking volledig ontbindt in factoren om alle mogelijke oplossingen te vinden.
Wees nauwkeurig in het onderscheiden van de oplossingen die horen bij de 'hoogste punten' en andere extremen (zoals de punten op de x-as in figuur 2).

Kernbegrippen: differentiëren, ketenregel, extremum bepalen, goniometrische vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het toepassen van de ketenregel bij het differentiëren van een term met cos²(x).
- De vergelijking f'(x)=0 niet correct ontbinden in factoren.
- De oplossing sin(a)=0 niet correct interpreteren in de context van de 'hoogste punten' die de kromme g vormen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/14

## Vraag 15 – Bewijs van omhullende kromme (4 punten)

De kromme die de hoogste punten van de grafieken van f_p verbindt, is de grafiek van de functie g gegeven door g(x) = cos(2x), met 0 ≤ x ≤ ½π.
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de x- en y-coördinaten van de hoogste punten van een familie van functies f_p moet uitdrukken in een parameter, en vervolgens moet aantonen dat deze punten op de grafiek van een gegeven functie g liggen. Dit vereist het gebruik van goniometrische identiteiten en substitutie.

Wat moet je kennen: Verdubbelingsformule voor cosinus: cos(2x) = 2cos²(x) - 1
Definitie van een maximum: de afgeleide is nul (f'(x) = 0)
De afgeleide van cos(x) is -sin(x)

Wat moet je kunnen: De afgeleide van f_p(x) bepalen en gelijkstellen aan nul om de x-coördinaat van het maximum te vinden.
De gevonden x-coördinaat (of een uitdrukking daarvan) substitueren in de oorspronkelijke functie f_p(x) om de y-coördinaat van het maximum te bepalen.
De resulterende uitdrukking voor de y-coördinaat vereenvoudigen met behulp van goniometrische identiteiten om aan te tonen dat deze gelijk is aan g(x).

Waar op letten: Let goed op de algebraïsche stappen bij het substitueren en vereenvoudigen; tekenfouten liggen op de loer.
Zorg ervoor dat je de juiste verdubbelingsformule voor cosinus toepast.
Maak geen verwarring tussen de variabele 'x' in de functie g(x) en de specifieke x-coördinaat 'a' van het maximum van f_p(x).

Kernbegrippen: bewijsvoering, goniometrische functies, parameters in functies, substitutie, goniometrische identiteiten

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de verdubbelingsformule voor cosinus.
- Algebraïsche fouten bij het substitueren en vereenvoudigen.
- Verwarring tussen de variabelen a (de x-coördinaat van het maximum) en de algemene variabele x.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/15

## Vraag 16 – Bewijs loodrechte snijding parabool (6 punten)

Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen:

{ x(t) = t²
{ y(t) = t

De bijbehorende baan is een parabool. Punt M(r, 0) is een punt op de positieve x-as met r > 1/2.

We kiezen punt A(a, √a) op de parabool zodanig dat de halve lijn vanuit M door A de parabool loodrecht snijdt in punt A. Zie figuur 1.

Er geldt:

a = r - 1/2

16 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Deze vraag is een bewijsvraag waarbij je de relatie tussen twee punten en een parabool moet aantonen. Je gebruikt hierbij differentiëren van parametrische vergelijkingen of een functievoorschrift, en de eigenschappen van loodrechte lijnen. Een figuur illustreert de situatie.

Wat moet je kennen: 1. Parametrisch differentiëren: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
2. Richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten (x1, y1) en (x2, y2): m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
3. Voor loodrechte lijnen geldt dat het product van hun richtingscoëfficiënten -1 is: m1 * m2 = -1
4. Het inproduct van twee loodrechte vectoren is 0: vector_a * vector_b = 0

Wat moet je kunnen: 1. Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de parabool in punt A door middel van differentiëren.
2. Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten M en A.
3. Gebruik de voorwaarde voor loodrechte lijnen (product van richtingscoëfficiënten is -1 of inproduct van richtingsvectoren is 0) om een vergelijking op te stellen.
4. Los de vergelijking algebraïsch op om de gevraagde relatie a = r - 1/2 te bewijzen.

Waar op letten: Let goed op de algebraïsche stappen bij het oplossen van de vergelijking. Zorg dat je de juiste coördinaten gebruikt voor de punten A en M. Controleer of je de regel voor loodrechte lijnen correct toepast (m1 * m2 = -1, niet m1 = -m2).

Kernbegrippen: parametrisch differentiëren, raaklijn aan een kromme, richtingscoëfficiënt, loodrechte lijnen, vectorrekening

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de regel voor loodrechte lijnen (product van hellingen is -1).
- Fout bij het bepalen van de richtingscoëfficiënt van de lijn AM.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/16

## Vraag 17 – Cirkel, parabool en middelpunt (6 punten)

We voegen de cirkel toe met middelpunt M(r, 0) en straal r. Het punt O(0, 0) ligt op deze cirkel en op de gegeven parabool.
De halve lijn vanuit M door A snijdt de cirkel in punt B. Zie figuur 2.
Voor een bepaalde waarde van r is A het midden van lijnstuk MB.
Bereken exact deze waarde van r.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert analytische meetkunde met algebra. Je krijgt een parabool en een cirkel, en een relatie tussen punten op deze figuren. Je moet een exacte waarde van een parameter (r) berekenen door gebruik te maken van afstanden en coördinaten.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een cirkel met middelpunt (a,b) en straal R: (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2
Stelling van Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2 in een rechthoekige driehoek
Afstandsformule tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2): sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
Coördinaten van het midden van een lijnstuk met eindpunten (x1, y1) en (x2, y2): ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)

Wat moet je kunnen: De coördinaten van de punten O, M, A en B bepalen, eventueel in termen van r.
De relatie 'A is het midden van MB' vertalen naar een vergelijking tussen coördinaten of afstanden.
Een vergelijking opstellen door de coördinaten van een punt in de cirkelvergelijking in te vullen, of door de stelling van Pythagoras toe te passen.
Een kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule en de geldige oplossing kiezen.

Waar op letten: Controleer of de gevonden waarde van r voldoet aan de voorwaarden van de opgave (bijvoorbeeld dat wortels gedefinieerd zijn).
Wees nauwkeurig met algebraïsche herleidingen, vooral bij het kwadrateren van uitdrukkingen met wortels.
Geef een exact antwoord, geen benadering.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, stelling van Pythagoras, cirkelvergelijking, kwadratische vergelijkingen, afstand tussen punten

Veelgemaakte fouten:
- De foute oplossing r = 2 - √3 niet verwerpen op basis van de voorwaarde a ≥ 0 (wat volgt uit r ≥ 1/2).
- Algebraïsche fouten bij het herleiden van de vergelijking met wortels en kwadraten.
- De relatie MA = r/2 niet correct afleiden uit het gegeven dat A het midden is van MB en B op de cirkel met straal r ligt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/17

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 3
woensdag 6 juli
9.00 - 12.00 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-22-3-o

### Pagina 2

Formules
Goniometrie
$\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$
$\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$
$\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$
$\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$
$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$
$\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$
VW-1025-a-o 2 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1025-a-o 3 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Gelijke oppervlaktes

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-6}$.
De functie $F$ gegeven door $F(x) = \ln(x^2 - 11x + 30)$ is een primitieve
van $f$.
3p 1 Bewijs dit.

In figuur 1 is de grafiek van $f$ (die uit drie delen bestaat) getekend.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en de x-as. De grafiek van f bestaat uit drie delen, gescheiden door verticale asymptoten bij x=5 en x=6. Er zijn gebieden V en W gearceerd. Gebied V wordt begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x=7 en x=9. Gebied W wordt begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x=9 en x=p.]
$V$ is het gebied begrensd door de grafiek van $f$, de $x$-as en de lijnen met
vergelijking $x=7$ en $x=9$. $W$ is het gebied begrensd door de grafiek
van $f$, de $x$-as en de lijnen met vergelijking $x=9$ en $x=p$, met $p > 9$.

Er is een waarde van $p$ waarvoor de oppervlaktes van $V$ en $W$ gelijk zijn.
5p 2 Bereken exact deze waarde van $p$.

VW-1025-a-o 4 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 5

De functie $g$ is gegeven door $g(x) = \left| \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-6} \right|$.
In figuur 2 is de grafiek van $g$ getekend.
Deze grafiek is symmetrisch in de lijn $x=5\frac{1}{2}$.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. De x-as loopt van 0 tot 11. Er zijn twee verticale asymptoten te zien, één bij $x=5$ en één bij $x=6$. De grafiek heeft een symmetrieas bij $x=5.5$. Er is een knik zichtbaar op de x-as bij $x=5.5$. De grafiek lijkt op een 'W' vorm, maar dan breder.]

De grafiek van $g$ heeft in punt $A(5\frac{1}{2}, 0)$ een knik.
Zowel aan het deel van de grafiek links van $A$ als aan het deel van de grafiek rechts van $A$ is er een raaklijn in $A$. Deze twee raaklijnen zijn verschillend.
5p 3 Bereken algebraïsch de hoek tussen deze raaklijnen. Geef je eindantwoord in gehele graden nauwkeurig.

VW-1025-a-o 5 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Drie op een rij

Rechthoek $ADEH$ bestaat uit drie vierkanten $ABGH$, $BCFG$ en $CDEF$.
Hierbij is $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ en $\vec{AH} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Verder zijn gegeven de lijnstukken $AF$ en $HD$.
$S$ is het snijpunt van $AF$ en $HD$.
Zie de figuur.

figuur

[FIGUUR: Een rechthoek ADHE is getekend, opgedeeld in drie vierkanten door de punten B, C, F, G. A is linksonder, D is rechtsonder, H is linksboven, E is rechtsboven. AB=BC=CD=1, AH=FG=EF=1. Lijnstuk AF is getekend van A naar F. Lijnstuk HD is getekend van H naar D. Het snijpunt van AF en HD is gemarkeerd als S. ]

Er geldt: $\vec{AS} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix}$.

3p 4 Bewijs dit.

3p 5 Onderzoek of de vectoren $\vec{BS}$ en $\vec{HD}$ loodrecht op elkaar staan.

VW-1025-a-o 6 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 7

Modeltube

In figuur 1 is een cilindervormige koker
getekend met diameter 4 cm.
Als de cirkel aan de onderkant wordt
samengeknepen tot een lijnstuk, ontstaat een
model voor een tube zonder dop. Op de foto zie
je zo'n tube maar dan met dop.
Deze tube, die bijvoorbeeld shampoo kan
bevatten, heeft, zonder dop, een hoogte van
10 cm en aan de bovenkant een diameter van
4 cm.

In het vervolg van de opgave worden horizontale doorsneden van de
rechtopstaande modeltube bekeken.

Het model heeft drie uitgangspunten:
De doorsnede op hoogte $h$, gemeten vanaf de onderkant, bestaat voor
$0<h<10$ uit twee halve cirkels en twee evenwijdige lijnstukken van
gelijke lengte.
De omtrek van elke doorsnede is gelijk aan de omtrek van de cilinder.
De afstand tussen de twee lijnstukken in de doorsnede is gelijk aan de
diameter van de halve cirkels. Deze afstand neemt lineair toe van 0 tot 4.

In figuur 2 is op vier hoogtes de
doorsnede getekend.
De oppervlakte $A$ van een doorsnede
hangt af van de hoogte $h$.
Met behulp van bovenstaande drie
uitgangspunten kan een formule
worden opgesteld voor $A(h)$.
De inhoud $I$ van de modeltube kan
met behulp van deze formule voor
$A(h)$ worden berekend.

Er geldt:
$$I = \int_{0}^{10} A(h) dh$$

6p 6 Onderzoek of de modeltube $80 \text{ cm}^3$
shampoo kan bevatten.

[FIGUUR: Figuur 1 toont een cilinder en een foto van een shampoofles.]
figuur 1 foto

[FIGUUR: Figuur 2 toont vier doorsneden van de modeltube met bijbehorende hoogtes en diameters.]
figuur 2
$h = 10$ $d=4$
$h = 6$ $d=2,4$
$h = 2$ $d=0,8$
$h = 0$ $d=0$

VW-1025-a-o 7 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Vierkanten bij een exponentiële functie
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = e^x$.
Op de grafiek van $f$ ligt een punt $P(p, e^p)$ met $p>0$.
Zie de figuur.

[FIGUUR: Grafiek van de functie $f(x) = e^x$ met de y-as en x-as. De oorsprong is aangeduid met O. Er is een punt P op de grafiek met coördinaten $(p, e^p)$. Twee vierkanten zijn getekend. Vierkant V heeft een hoekpunt in O en een ander hoekpunt op de y-as ter hoogte van $e^p$. De zijkant van V is dus $e^p$. Het hoekpunt van V op de grafiek is niet gemarkeerd. Vierkant W heeft een hoekpunt op de x-as bij p en een ander hoekpunt op de x-as verder naar rechts. Het hoekpunt van W op de grafiek is P. De zijkant van W is dus $p$.]

In de figuur zijn ook de vierkanten $V$ en $W$ getekend.
Van vierkant $V$ is $P$ een hoekpunt en ligt een zijde op de y-as.
Van vierkant $W$ is $P$ een hoekpunt en ligt een zijde op de x-as.

Voor elke waarde van $p$ bekijken we de verhouding:
$$R = \frac{\text{oppervlakte van vierkant } V}{\text{oppervlakte van vierkant } W}$$

8p 7 Er is een waarde van $p$ waarvoor $R$ maximaal is.
Bereken exact de maximale waarde van $R$.

VW-1025-a-0 8 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 9

Gelijke hoeken
Gegeven is de lijn $k$ met vectorvoorstelling $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$ en de lijn $l$ met vectorvoorstelling $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 24 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
De lijnen $k$ en $l$ snijden elkaar in een punt $S$.
Lijn $m$ is een lijn met vectorvoorstelling $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$.
De waarden van $a$ en $b$ kunnen zo worden gekozen dat $m$ de scherpe hoek die de lijnen $k$ en $l$ met elkaar maken, in twee gelijke hoeken verdeelt.
In de figuur is deze situatie getekend.
figuur
[FIGUUR: Een xy-assenstelsel met twee lijnen $l$ en $k$ die elkaar snijden in punt $S$. Lijn $m$ is de bissectrice van de scherpe hoek tussen $l$ en $k$ en gaat door de oorsprong $O$.]
In deze situatie geldt $a = 1\frac{3}{4}$.
4p 8 Bewijs dit.
5p 9 Bereken exact de waarde van $b$.
VW-1025-a-o 9/14 lees verder ►►►

### Pagina 10

Verouderingskromme
De Rijksgebouwendienst beschrijft in een handboek manieren om de
conditie van gebouwen te bepalen. Op basis van inspecties waarbij voor
elk bouwdeel (deel van een gebouw) een conditiescore wordt
vastgesteld, is het mogelijk plannen voor onderhoud, renovatie en
nieuwbouw te maken.
Een conditiescore is een geheel getal van 1 tot en met 6.
Conditiescore 1 hoort bij een nieuw bouwdeel. Naarmate de leeftijd van
het bouwdeel toeneemt, zal slijtage optreden en daarbij horen hogere
conditiescores. Als het bouwdeel niet meer bruikbaar is, krijgt het
conditiescore 6.
In een model waarmee de conditiescore van een bouwdeel wordt
berekend, wordt gebruikgemaakt van drie variabelen:
- t: de leeftijd van het bouwdeel (in jaren),
- L: de theoretische levensduur van het bouwdeel (in jaren) als het niet
wordt onderhouden en
- C: een getal waarmee de uiteindelijke conditiescore wordt berekend.
Hierbij is t ≤ L.
Oorspronkelijk werd door de inspecteurs van de Rijksgebouwendienst
voor een normaal verouderingsproces het volgende verband tussen deze
variabelen gehanteerd:
$$ C = 6 - 5\left(1 - \frac{t}{L}\right)^{\frac{1}{2,3}} $$ (1)
De uiteindelijke conditiescore werd bepaald door bij de berekende waarde
van C alle decimalen weg te laten. Zo geldt bijvoorbeeld voor een
bouwdeel met een leeftijd die gelijk is aan een kwart van zijn theoretische
levensduur dat $C \approx 1,59$. In dat geval is de conditiescore gelijk aan 1.
Door het weglaten van de decimalen leveren verschillende leeftijden soms
dezelfde conditiescore op.
3p 10
Bereken voor een bouwdeel met een theoretische levensduur van 25 jaar
gedurende hoeveel jaar dat bouwdeel conditiescore 2 krijgt. Geef je
antwoord in één decimaal nauwkeurig.
De Rijksgebouwendienst hanteerde ook een formule waarin t is uitgedrukt
in L en C. Deze formule ontstaat door formule (1) te herleiden tot een
formule van de volgende vorm:
$$ t = L - L \cdot a(6-C)^{b} $$ (2)
4p 11
Bepaal de waarden van a en b door formule 1 te herleiden tot formule 2.
Rond je berekeningen zo nodig af op drie decimalen.
VW-1025-a-o
10 / 14
lees verder ►►►

### Pagina 11

Nieuwe inzichten van de inspecteurs hebben ertoe geleid dat in de loop
van de tijd formule 1 is vervangen door:
$C = 1 + \frac{1}{2} \log (1 - \frac{t}{L})$ (3)
In de figuur is van formule 1 en van formule 3 de bijbehorende
verouderingskromme weergegeven. De kromme die hoort bij formule 1
is gestippeld weergegeven.
Op de verticale as staat $C$; hoge waarden van $C$ staan onderaan.

figuur

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de schaal van 1 tot 6 (oplopend naar beneden, gelabeld met C) en op de x-as de tijd t (oplopend naar rechts, gelabeld met leeftijd t, met markeringen t=0, t=0,5L, t=0,7L en t=L). Er zijn twee curves getekend. Een doorgetrokken curve is gelabeld als 'formule 3' en een gestippelde curve is gelabeld als 'formule 1'. Beide curves beginnen bij C=1 en dalen naar lagere waarden van C naarmate t toeneemt. De gestippelde curve 'formule 1' daalt sneller dan de doorgetrokken curve 'formule 3'.]

Op de horizontale as staat de leeftijd $t$ van een bouwdeel uitgedrukt in de
theoretische levensduur $L$. Zo betekent $t=0,5L$ dat een bouwdeel de
helft van zijn theoretische levensduur heeft bereikt.
In de figuur is te zien dat volgens formule 1 conditiescore 3 wordt bereikt
als de leeftijd van een bouwdeel bijna 70 procent van de theoretische
leeftijd is. Volgens formule 3 bereikt dat bouwdeel conditiescore 3 later
dan volgens formule 1.

3p 12 Bereken exact na hoeveel procent van de theoretische levensduur het
bouwdeel conditiescore 3 bereikt volgens formule 3.

### Pagina 12

Cosinusgrafiek door hoogste punten

Voor elke $p$ met $0 \leq p \leq 4$ wordt de functie $f_p$ met domein $0 \leq x \leq \frac{1}{2}\pi$ gegeven door:
$f_p(x) = -2\cos^2(x) + p \cdot \cos(x) - 1$

In figuur 1 is voor enkele waarden van $p$ de grafiek van $f_p$ getekend.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as gelabeld van -3 tot 1 en de x-as gelabeld met 0, pi/2 en pi. Er zijn vier grafieken getekend, die verschillende waarden van p representeren: p=4, p=3, p=2, en p=1. De grafieken beginnen allemaal op de y-as en dalen naar een punt op de x-as rond pi/2.]

De grafiek van $f_3$ heeft behalve de oorsprong een tweede gemeenschappelijk punt met de x-as.

4p 13 Bereken exact de x-coördinaat van dat tweede gemeenschappelijke punt.

VW-1025-a-o 12 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 13

De grafiek van $f_p$ heeft voor $p=4$ een hoogste punt voor $x=0$. Ook
voor de andere waarden van $p$ heeft de grafiek van $f_p$ een hoogste punt.
In figuur 2 is telkens met een dikke stip het hoogste punt van de grafiek
van $f_p$ aangegeven. De gestippelde kromme verbindt deze hoogste
punten met elkaar.

figuur 2

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as lopend van -3 tot 1 en de x-as van 0 tot $\pi$. Er zijn vier gesloten krommen getekend, elk gelabeld met een waarde van $p$ (0, 1, 2, 3). Boven deze krommen loopt een gestippelde kromme, gelabeld met $g$, die ook naar rechts afbuigt en eindigt op de x-as op $\frac{1}{2}\pi$. Op de gestippelde kromme zijn een paar stippen getekend.]

Voor de x-coördinaat $a$ van het hoogste punt van de grafiek van $f_p$ geldt
dat $\cos(a) = \frac{1}{4}p$.

4p 14 Bewijs dit.

De kromme die de hoogste punten van de grafieken van $f_p$ verbindt, is
de grafiek van de functie $g$ gegeven door $g(x) = \cos(2x)$, met $0 \le x \le \frac{1}{2}\pi$.

4p 15 Bewijs dit.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1025-a-o 13 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 14

Loodrecht door de parabool

Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = t^2 \\
y(t) = t
\end{cases}
$$
De bijbehorende baan is een parabool. Punt $M(r, 0)$ is een punt op de positieve $x$-as met $r > \frac{1}{2}$.
We kiezen punt $A(a, \sqrt{a})$ op de parabool zodanig dat de halve lijn vanuit $M$ door $A$ de parabool loodrecht snijdt in punt $A$.
Zie figuur 1.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De x-as is horizontaal en de y-as verticaal. De oorsprong is O. Een parabool met de top in O opent naar rechts. Op de x-as ligt het punt M met coordinaat r, rechts van O. Er is een punt A op de parabool. De lijn MA loopt door A en is loodrecht op de parabool. De lijn MA is ook een normale van de parabool.]

Er geldt:
$a = r - \frac{1}{2}$

6p 16 Bewijs dit.
We voegen de cirkel toe met middelpunt $M(r, 0)$ en straal $r$. Het punt $O(0, 0)$ ligt op deze cirkel en op de gegeven parabool.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De x-as is horizontaal en de y-as verticaal. De oorsprong is O. Een parabool met de top in O opent naar rechts. Een cirkel met middelpunt M op de x-as en straal r. De cirkel snijdt de parabool in O en in een ander punt B. De lijn MA snijdt de cirkel in B.]
De halve lijn vanuit $M$ door $A$ snijdt de cirkel in punt $B$.
Zie figuur 2.
Voor een bepaalde waarde van $r$ is $A$ het midden van lijnstuk $MB$.

6p 17 Bereken exact deze waarde van $r$.
VW-1025-a-o