# Eindexamen Wiskunde B VWO 2022 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2

## Vraag 1 – Afgeleide bewijzen met ketenregel (4 punten)

De functie f is gegeven door f(x) = 2(2x−1)³ + 3(2x−1)². 
Voor de afgeleide geldt: f'(x) = 48x² − 24x
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie f(x) en de afgeleide f'(x) is gegeven. Het is jouw taak om algebraïsch te bewijzen dat de gegeven afgeleide correct is. Dit vereist differentiëren en vervolgens herleiden.

Wat moet je kennen: Machtsregel: d/dx (x^n) = n*x^(n-1)
Ketenregel: d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)
Productregel: d/dx (u*v) = u'*v + u*v' (niet direct nodig, maar handig om te kennen bij differentiëren)
Somregel: d/dx (u+v) = u'+v'

Wat moet je kunnen: De ketenregel correct toepassen bij het differentiëren van samengestelde functies.
Haakjes correct uitwerken (bijvoorbeeld (a+b)^2 en (a+b)^3).
Algebraïsche uitdrukkingen herleiden en vereenvoudigen tot de gewenste vorm.
Termen met gelijke machten van x combineren.

Waar op letten: Vergeet de 'binnenste afgeleide' niet bij het toepassen van de ketenregel.
Wees nauwkeurig met het uitwerken van haakjes en het combineren van termen om rekenfouten te voorkomen.
Werk stap voor stap en controleer je herleidingen.

Kernbegrippen: differentiëren, ketenregel, machtsregel, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- ketenregel vergeten toe te passen
- fout bij het uitwerken van haakjes
- rekenfout bij het combineren van termen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Vergelijking raaklijn in buigpunt (5 punten)

De lijn k raakt de grafiek van f in het buigpunt.
Stel door middel van exacte berekeningen een vergelijking op van k.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een grafiek. De raaklijn gaat specifiek door het buigpunt van de functie, wat betekent dat je de tweede afgeleide moet gebruiken om dit punt te vinden.

Wat moet je kennen: Definitie buigpunt: een punt waar de tweede afgeleide van een functie nul is (f''(x) = 0) en van teken wisselt.
Vergelijking van een lijn: y = ax + b, waarbij 'a' de richtingscoëfficiënt is en 'b' het snijpunt met de y-as.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt (x, y) is gelijk aan de waarde van de eerste afgeleide in dat punt (f'(x)).

Wat moet je kunnen: Bepaal de eerste en tweede afgeleide van de gegeven functie f(x).
Los f''(x) = 0 op om de x-coördinaat van het buigpunt te vinden.
Bereken de y-coördinaat van het buigpunt door de gevonden x-waarde in f(x) in te vullen.
Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn door de x-waarde van het buigpunt in f'(x) in te vullen.
Stel de vergelijking van de raaklijn op met behulp van het buigpunt en de berekende richtingscoëfficiënt.

Waar op letten: Gebruik f''(x) = 0 voor het buigpunt, niet f'(x) = 0 (dat is voor extremen).
Voer alle berekeningen exact uit, dus laat breuken staan en vereenvoudig deze.
Controleer of je de juiste functie (f(x), f'(x) of f''(x)) gebruikt bij het invullen van de x-waarde.

Kernbegrippen: tweede afgeleide, buigpunt, raaklijn opstellen, differentiëren

Veelgemaakte fouten:
- f'(x)=0 gebruiken i.p.v. f''(x)=0 voor het buigpunt
- rekenfouten bij het invullen van de breuk x=1/4
- verkeerde functie gebruiken voor y-coördinaat of helling

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Lengte AP bij loodrechte lijnstukken (6 punten)

Gegeven is een vierkant ABCD met zijde 2. Punt M is het midden van lijnstuk AB. Punt P ligt op diagonaal AC en valt niet samen met punt A of punt C. Zie de figuur.

P kan zo worden gekozen dat de lijnstukken DP en MP loodrecht op elkaar staan.

3 Bereken exact de lengte van lijnstuk AP in deze situatie.

Wat kun je verwachten: Dit is een meetkundige vraag waarbij je analytische meetkunde toepast. Je krijgt een figuur met een vierkant en punten, en de voorwaarde dat twee lijnstukken loodrecht op elkaar staan. Je moet een exacte lengte berekenen.

Wat moet je kennen: Coördinaten van punten in een assenstelsel
Vectornotatie: een vector van punt X naar punt Y is Y-X
Inproduct van twee vectoren: (a,b) ⋅ (c,d) = a*c + b*d
Voorwaarde voor loodrechte vectoren: het inproduct is 0
Afstandsformule tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2): sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
Vergelijking van een lijn door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 1: y = x

Wat moet je kunnen: Kies een geschikt assenstelsel en bepaal de coördinaten van alle relevante punten.
Stel de coördinaten van punt P op, rekening houdend met de lijn waarop P ligt.
Formuleer de vectoren van de lijnstukken DP en MP.
Gebruik de voorwaarde voor loodrechte lijnen (inproduct is 0) om een vergelijking op te stellen.
Los de vergelijking algebraïsch op voor de onbekende coördinaat.
Bereken de lengte van lijnstuk AP met de afstandsformule en geef het antwoord exact.

Waar op letten: Controleer of de gekozen coördinaten van P voldoen aan de gegeven beperkingen (P valt niet samen met A of C).
Voorkom algebraïsche fouten bij het uitwerken van het inproduct en het oplossen van de kwadratische vergelijking.
Geef de uiteindelijke lengte exact, dus laat wortels staan en vereenvoudig waar mogelijk.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, vectoren, inproduct, loodrechte lijnen, afstandsformule

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het opstellen van de coördinaten van de punten.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking voor de coördinaat p.
- Vergeten de oplossing p=0 te verwerpen op basis van de context van de vraag.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Bereik van goniometrische functie (5 punten)

Bereken exact het bereik van f.

Wat kun je verwachten: Je moet het bereik van een goniometrische functie exact berekenen. Dit vereist het vinden van extreme waarden door te differentiëren of door de eigenschappen van de basisfunctie te gebruiken, en rekening te houden met eventuele asymptoten.

Wat moet je kennen: Quotiëntregel: (f/g)' = (f'*g - f*g') / g^2
Kettingregel: f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)
Afgeleide van sin(x) is cos(x)
Afgeleide van cos(x) is -sin(x)
Definitie van bereik: de verzameling van alle mogelijke y-waarden van een functie

Wat moet je kunnen: De afgeleide van een goniometrische functie bepalen met de quotiënt- en kettingregel.
Extreme waarden vinden door de afgeleide gelijk te stellen aan nul en de bijbehorende x-waarden te bepalen.
De y-waarden van de extreme punten berekenen.
De eigenschappen van sin(x) (bereik [-1, 1]) gebruiken om extreme waarden van de functie te bepalen.
Het bereik correct noteren, rekening houdend met asymptoten en de aard van de functie.

Waar op letten: Let goed op de toepassing van de kettingregel en quotiëntregel bij het differentiëren.
Vergeet niet te controleren of de noemer van de afgeleide niet nul is bij het oplossen van f'(x) = 0.
Noteer het bereik correct, vaak als een vereniging van intervallen, en niet als één gesloten interval als er asymptoten zijn.

Kernbegrippen: bereik van een functie, differentiëren, extreme waarden, goniometrische functies, oplossen van goniometrische vergelijkingen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren (kettingregel of quotiëntregel).
- Verwarring tussen het maximum/minimum van sin(x) en het maximum/minimum van f(x).
- Het bereik incorrect noteren als een enkel interval, bijvoorbeeld [-1/2, 1/2], en de asymptoten negeren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Geen snijpunten van goniometrische functies (5 punten)

Bereken exact voor welke waarden van a de grafieken van f en gₐ géén punten gemeenschappelijk hebben.

Wat kun je verwachten: Je moet exact bepalen voor welke waarden van een parameter 'a' twee goniometrische functies geen snijpunten hebben. Dit vereist het oplossen van een goniometrische vergelijking en het analyseren van het bereik van de resulterende sinusfunctie.

Wat moet je kennen: Verdubbelingsformule: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Bereik van de sinusfunctie: -1 <= sin(y) <= 1
Definitie van snijpunten: f(x) = g(x)

Wat moet je kunnen: Goniometrische vergelijkingen herleiden naar een standaardvorm (bijv. sin(y) = C)
Ongelijkheden met breuken oplossen, rekening houdend met het teken van de variabele in de noemer
De voorwaarden voor het bestaan van oplossingen van goniometrische vergelijkingen toepassen
De vraagstelling 'géén punten gemeenschappelijk' correct vertalen naar ongelijkheden

Waar op letten: Let goed op het teken van 'a' bij het oplossen van ongelijkheden met 1/a.
Vergeet niet dat de vraag vraagt om géén snijpunten, dus de omgekeerde voorwaarde van 'wel snijpunten' moet worden gebruikt.
Controleer of de randgevallen (a=1 en a=-1) correct worden geïnterpreteerd (dit zijn de gevallen met raakpunten).

Kernbegrippen: goniometrische vergelijkingen, parameteronderzoek, verdubbelingsformules, snijpunten van functies, bereik van functies

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het oplossen van de ongelijkheid -1 ≤ 1/a ≤ 1, bijvoorbeeld door kruislings vermenigvuldigen zonder rekening te houden met het teken van a.
- Vergeten dat de vraag gaat om géén oplossingen, en dus de omgekeerde ongelijkheid op te lossen.
- De randgevallen a=1 en a=-1 (raakpunten) onjuist meenemen in het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Helling en laagste punt bepalen (4 punten)

Bepaal met behulp van de afgeleide van T de helling van de grafiek voor n=4 en beredeneer daarmee of het laagste punt links of rechts van n=4 ligt.

Wat kun je verwachten: Je moet de afgeleide van een gegeven functie bepalen, een specifieke waarde invullen in de afgeleide en op basis van de uitkomst een conclusie trekken over de ligging van het laagste punt van de grafiek.

Wat moet je kennen: Afgeleide van x^n: d/dx(x^n) = n*x^(n-1)
Afgeleide van a^x: d/dx(a^x) = a^x * ln(a)
De afgeleide van een functie geeft de helling van de raaklijn in een punt.
Een positieve helling betekent dat de functie stijgt; een negatieve helling betekent dat de functie daalt.

Wat moet je kunnen: Differentiëren van een functie die bestaat uit een som van termen, waarbij elke term een andere differentieerregel vereist.
Een numerieke waarde invullen in de afgeleide functie om de helling in dat punt te berekenen.
De berekende helling interpreteren om te bepalen of de functie stijgt of daalt op dat punt.
Op basis van de stijging of daling de relatieve positie van een minimum (laagste punt) beredeneren.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de differentieerregels voor zowel machtsfuncties als exponentiële functies.
Voorkom rekenfouten bij het invullen van de waarde in de afgeleide.
Zorg dat je de betekenis van een positieve of negatieve helling correct interpreteert in relatie tot het laagste punt.

Kernbegrippen: differentiëren, afgeleide van een exponentiële functie, afgeleide van een machtsfunctie, interpreteren van de afgeleide, stijgen en dalen

Veelgemaakte fouten:
- De afgeleide van a^x verwarren met de afgeleide van x^a, dus 0,8^n foutief differentiëren naar n*0,8^(n-1).
- Een rekenfout maken bij het invullen van n=4 in de afgeleide.
- De verkeerde conclusie trekken uit een positieve helling (bijvoorbeeld denken dat het minimum dan rechts ligt).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Bewijs van verband met T(n) (4 punten)

Bewijs dat dit verband juist is.

Wat kun je verwachten: Je moet een algebraïsch bewijs leveren. Je krijgt een formule voor T(n) en een verband dat geldt als T(n) = T(n+1). Je taak is om te laten zien dat de gegeven formule voor T(n) inderdaad leidt tot het opgegeven verband onder de voorwaarde T(n) = T(n+1).

Wat moet je kennen: Machtenregel: a^m * a^n = a^(m+n)
Machtenregel: a^m / a^n = a^(m-n)
Distributieve eigenschap: a(b+c) = ab + ac
Breuken optellen/aftrekken: a/b - c/d = (ad - bc) / bd

Wat moet je kunnen: Gelijkstellen van twee uitdrukkingen: T(n) = T(n+1) opstellen.
Termen met machten van (1-p)ⁿ bij elkaar nemen.
Breuken gelijknamig maken en combineren.
Factoren buiten haakjes halen om uitdrukkingen te vereenvoudigen.

Waar op letten: Let goed op tekenwisselingen bij het verplaatsen van termen naar de andere kant van het isgelijkteken.
Wees nauwkeurig bij het gelijknamig maken van breuken en het combineren van de tellers.
Controleer of je de term (1-p)ⁿ correct buiten haakjes haalt, vooral bij (1-p)ⁿ - (1-p)ⁿ⁺¹.

Kernbegrippen: algebraïsche vaardigheden, herleiden van vergelijkingen, rekenen met machten, bewijsvoering

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het buiten haakjes halen van de term (1-p)ⁿ.
- Algebraïsche fouten bij het gelijknamig maken van de breuken 1/n en 1/(n+1).
- Tekenwisselfouten bij het verplaatsen van termen over het isgelijkteken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Maximaal aantal monsters berekenen (3 punten)

Van een bepaalde besmetting is bekend dat p = 0,025. Men wil dat het verwachte totale aantal tests niet groter is dan 750. Met behulp van de tabel en formule 2 kan nu worden berekend van maximaal hoeveel monsters N bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.
Bereken met behulp van de tabel en formule 2 van maximaal hoeveel monsters N bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert het aflezen van een waarde uit een tabel met het invullen en oplossen van een vergelijking. Je krijgt een formule voor het verwachte aantal tests en een tabel met bijbehorende waarden.

Wat moet je kennen: Formule 2: T(n) = N * (1 + 1/n - (1-p)^n)
De betekenis van de variabelen: T(n) = verwachte totale aantal tests, n = aantal samengevoegde monsters, p = fractie besmette monsters, N = totaal aantal monsters.

Wat moet je kunnen: De juiste waarde van n aflezen uit de gegeven tabel op basis van de gegeven p-waarde.
De bekende waarden (p, T(n) en de afgelezen n) correct substitueren in Formule 2.
De resulterende vergelijking oplossen naar N.
Het antwoord correct afronden op basis van de context 'niet groter dan'.

Waar op letten: Lees de waarde van n nauwkeurig af uit de tabel bij de gegeven p-waarde.
Voer de berekening met de macht (1-p)^n correct uit.
Let op de afronding van het eindantwoord voor N, omdat het verwachte aantal tests 'niet groter dan' een bepaalde waarde mag zijn.

Kernbegrippen: formule substitueren, vergelijking oplossen, aflezen uit tabel, exponentiële relaties

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van n uit de tabel (bijvoorbeeld n=6 kiezen).
- Reken- of afrondingsfout bij het berekenen van de term met de macht.
- Verkeerd interpreteren van 'niet groter dan 750', wat leidt tot incorrect afronden van het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Oppervlakteberekening met integraal en rechthoek (7 punten)

De functie f is gegeven door:
f(x) = 4 / √(x+1)

De grafiek van f snijdt de y-as in het punt (0,4). In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven. Ook is de rechthoek weergegeven die wordt begrensd door de x-as, de y-as, de lijn met vergelijking y = 4 en de lijn met vergelijking x = q met q > 0.
De grafiek van f verdeelt deze rechthoek in twee delen.

Er is één waarde van q waarbij de oppervlaktes van deze twee delen even groot zijn.
9 Bereken exact deze waarde van q.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie f(x) en een rechthoek waarvan de afmetingen deels afhankelijk zijn van een variabele q. Je moet de oppervlakte onder de grafiek van f berekenen met behulp van een bepaalde integraal en deze relateren aan de totale oppervlakte van de rechthoek om q exact te bepalen.

Wat moet je kennen: Definitie van de bepaalde integraal als oppervlakte onder de grafiek: Oppervlakte = ∫_a^b f(x)dx
Primitiveren van machtsfuncties: ∫ x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C (voor n ≠ -1)
Specifiek: 1/sqrt(x) = x^(-1/2)

Wat moet je kunnen: Een functie van de vorm c/sqrt(ax+b) primitiveren door deze te herschrijven als c*(ax+b)^(-1/2).
De grenzen van de integraal correct toepassen bij het berekenen van de oppervlakte onder de grafiek.
Een vergelijking opstellen door de berekende oppervlaktes aan elkaar gelijk te stellen.
Een wortelvergelijking algebraïsch oplossen door te kwadrateren en de resulterende kwadratische vergelijking op te lossen.

Waar op letten: Let goed op het correct primitiveren van functies met wortels en machten, inclusief de kettingregel bij primitiveren.
Controleer of je de grenzen van de integraal correct invult en aftrekt.
Wees zorgvuldig bij het kwadrateren van beide zijden van een wortelvergelijking; vergeet niet (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Vergeet niet te controleren of de gevonden waarde van q voldoet aan de voorwaarde q > 0 en of deze geen 'valse' oplossingen introduceert na het kwadrateren.

Kernbegrippen: primitiveren, bepaalde integraal, oppervlakte onder een grafiek, wortelvergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het primitiveren van een functie van de vorm 1/√u.
- Verkeerd toepassen van de grenzen van de integraal.
- Fouten bij het algebraïsch oplossen van de wortelvergelijking, met name bij het kwadrateren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Oppervlakte tussen functie en inverse (5 punten)

De functie g is de inverse functie van de functie f. Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de grafiek van g en de lijn met vergelijking x = 4 is in figuur 2 grijs gekleurd.
Bereken de oppervlakte van dit gebied. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte berekenen van een gebied dat wordt ingesloten door een functie f, zijn inverse functie g, en een verticale lijn. Dit vereist het bepalen van de inverse functie, het vinden van snijpunten en het toepassen van integratie.

Wat moet je kennen: Definitie inverse functie: als y = f(x), dan is x = f_inv(y).
Symmetrie van inverse functies: de grafiek van f_inv(x) is het spiegelbeeld van f(x) in de lijn y = x.
Oppervlakte onder een grafiek: integraal van de functie over een interval [a, b] is int(f(x) dx) van a tot b.
Oppervlakte tussen twee grafieken: int(bovenste functie - onderste functie) dx van a tot b.

Wat moet je kunnen: De inverse functie g(x) bepalen door x en y te verwisselen in de functie f(x) en vervolgens op y op te lossen.
De snijpunten van de grafieken van f en g bepalen, bijvoorbeeld door f(x) = g(x) op te lossen, of door f(x) = x op te lossen (vanwege de symmetrie).
De juiste integratiegrenzen bepalen op basis van de snijpunten en de gegeven lijn x = 4.
De integraal van het verschil van de functies (of een slimme constructie met de lijn y=x) berekenen met behulp van je grafische rekenmachine (GR).
Het eindantwoord afronden op één decimaal.

Waar op letten: Controleer of je de inverse functie correct hebt afgeleid; een veelvoorkomende fout is het niet volledig oplossen naar y.
Zorg dat je de juiste integratiegrenzen gebruikt; het gebied begint bij het snijpunt van f en g en eindigt bij x=4.
Let op de volgorde van de functies in de integraal: 'bovenste functie - onderste functie' om een positieve oppervlakte te krijgen.
Vergeet niet om je eindantwoord af te ronden op het gevraagde aantal decimalen.

Kernbegrippen: inverse functie bepalen, oppervlakte berekenen met integreren, snijpunt van twee functies, grafische rekenmachine

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het algebraïsch bepalen van de inverse functie.
- Verkeerde integratiegrenzen kiezen, bijvoorbeeld van 0 tot 4.
- De functies in de integraal verwisselen (onder - boven in plaats van boven - onder).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Loodrechte vectoren bij bewegingsvergelijkingen (5 punten)

Voor 0 ≤ t ≤ 2π beweegt een punt P over een cirkelvormige baan c_P met middelpunt O(0,0) volgens de bewegingsvergelijkingen:
{x_P(t) = 2cos(t)
y_P(t) = 2sin(t)

Voor 0 ≤ t ≤ 2π beweegt tegelijkertijd een punt Q over een cirkelvormige baan c_Q volgens de bewegingsvergelijkingen:
{x_Q(t) = 2+cos(t)
y_Q(t) = sin(t)

Hoek POQ is afhankelijk van t. In figuur 1 zijn beide cirkels c_P en c_Q weergegeven. Ook zijn de lijnstukken OP en OQ weergegeven voor een waarde van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan.
11 Bereken exact de waarden van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over parametrische krommen en vectoren. Je krijgt bewegingsvergelijkingen van twee punten en moet exact de tijdstippen berekenen waarop de vectoren vanuit de oorsprong naar deze punten loodrecht op elkaar staan. Dit vereist kennis van het inproduct en het oplossen van goniometrische vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Vectorvoorstelling van een punt P(x,y) vanuit de oorsprong O(0,0): vector OP = (x, y)
Voorwaarde voor loodrechte stand van twee vectoren a en b: het inwendig product (dot product) a * b = 0
Definitie inwendig product van a=(a1, a2) en b=(b1, b2): a * b = a1*b1 + a2*b2
Goniometrische identiteit: sin^2(t) + cos^2(t) = 1

Wat moet je kunnen: De bewegingsvergelijkingen omzetten naar vectorvoorstellingen van OP en OQ.
De voorwaarde voor loodrechte stand toepassen door het inwendig product van de twee vectoren gelijk te stellen aan 0.
De resulterende goniometrische vergelijking algebraïsch herleiden en vereenvoudigen.
De goniometrische vergelijking exact oplossen binnen het gegeven domein [0, 2π].

Waar op letten: Controleer of je het inwendig product correct hebt berekend.
Vergeet niet de identiteit sin^2(t) + cos^2(t) = 1 toe te passen om de vergelijking te vereenvoudigen.
Geef alle oplossingen binnen het gespecificeerde domein [0, 2π] en zorg dat deze exact zijn.

Kernbegrippen: parametrische krommen, vectoren, inwendig product, loodrechte stand, goniometrische vergelijkingen

Veelgemaakte fouten:
- verkeerde voorwaarde voor loodrecht gebruiken (bv. rc1=rc2)
- rekenfout bij het uitwerken van het inwendig product
- vergeten dat cos²(t) + sin²(t) = 1
- onvolledige oplossing van de goniometrische vergelijking binnen het domein

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – x-coördinaat snijpunt onafhankelijk van t (5 punten)

De lijn door P en Q snijdt de x-as in punt A. De x-coördinaat van A is onafhankelijk van t.
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt om een bewijs dat de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as onafhankelijk is van de parameter t. Je krijgt de coördinaten van twee punten P en Q, die afhankelijk zijn van t en op cirkels liggen. Je kunt dit bewijzen met vectorrekening, een lijnvergelijking of gelijkvormigheid.

Wat moet je kennen: Vectorvoorstelling van een lijn door twee punten: r_l = p + r * (q - p)
Vergelijking van een lijn door twee punten (x_1, y_1) en (x_2, y_2): y - y_1 = ((y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)) * (x - x_1)
Snijpunt met de x-as: y = 0
Coördinaten van een punt op een cirkel met middelpunt (a,b) en straal R: (a + R*cos(t), b + R*sin(t))

Wat moet je kunnen: De coördinaten van P en Q correct afleiden uit de figuur en de context.
Een correcte vectorvoorstelling of lijnvergelijking opstellen voor de lijn door P en Q.
De voorwaarde y=0 toepassen om de x-coördinaat van het snijpunt met de x-as te vinden.
De gevonden x-coördinaat algebraïsch vereenvoudigen en aantonen dat deze geen t bevat.

Waar op letten: Let goed op de juiste volgorde bij het bepalen van de richtingsvector (Q-P of P-Q). Maak geen algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking voor x. Vergeet niet expliciet te concluderen dat de x-coördinaat onafhankelijk is van t.

Kernbegrippen: vectorrekening, parametrische krommen, analytische meetkunde, vergelijking van een lijn, gelijkvormigheid

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het opstellen van de richtingsvector, bijvoorbeeld P-Q en Q-P verwarren.
- Algebraïsche fouten bij het isoleren van x na het substitueren van y=0.
- De conclusie 'onafhankelijk van t' vergeten te vermelden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Percentage tijd buiten cirkels (6 punten)

Voor t ≈ 0,723 ligt punt M op cirkel c_Q. Zie figuur 2.
Na t ≈ 0,723 komt M in het gebied buiten c_Q te liggen. Zie figuur 3.
Op een zeker tijdstip ligt M op cirkel c_P. Zie figuur 4.
Punt M ligt een percentage van de tijd waarin de punten P en Q een volledige baan doorlopen buiten c_Q en c_O.
Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert meetkunde met parametrische bewegingsvergelijkingen. Je moet de coördinaten van een bewegend punt M bepalen en vervolgens de tijdsintervallen berekenen waarin M zich buiten specifieke cirkels bevindt. Dit vereist het opstellen en oplossen van vergelijkingen, vaak met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een cirkel met middelpunt (a,b) en straal r: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Coördinaten van het midden van een lijnstuk met eindpunten (x1, y1) en (x2, y2): ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
De baan van een punt P op een cirkel met straal R rond de oorsprong is (R*cos(t), R*sin(t))
De periode van een goniometrische functie zoals cos(t) of sin(t) is 2*pi radialen.

Wat moet je kunnen: De coördinaten van punt M opstellen als functie van t (parametrische vergelijking).
De vergelijking van cirkel c_P opstellen.
De vergelijking opstellen die beschrijft wanneer punt M op cirkel c_P ligt.
Deze goniometrische vergelijking oplossen met je grafische rekenmachine om de relevante t-waarden te vinden.
De totale tijdsduur berekenen dat M buiten de cirkels ligt, rekening houdend met symmetrie en de gegeven starttijd.
Het berekende tijdsinterval omzetten naar een percentage van de totale omlooptijd (2*pi).

Waar op letten: Controleer of je rekenmachine in radialen-modus staat voor goniometrische berekeningen.
Vergeet niet de symmetrie van de baan te gebruiken om de totale tijdsduur correct te berekenen (vaak een factor 2).
Gebruik de gegeven starttijd (t ≈ 0,723) correct in je berekening van het tijdsinterval.
Geef het eindantwoord als een geheel percentage, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: parametrische krommen, bewegingsvergelijkingen, coördinaten van het midden van een lijnstuk, vergelijking van een cirkel, snijpunten van krommen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het opstellen van de coördinaten van M.
- De symmetrie van de baan niet gebruiken, waardoor de tijdsduur (en dus het percentage) verkeerd wordt berekend (factor 2 vergeten).
- De starttijd t ≈ 0,723 niet of onjuist gebruiken in de eindberekening.
- Rekenmachine in graden-modus in plaats van radialen-modus.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Vergelijking scheve asymptoot met absolute waarde (3 punten)

De functie f is gegeven door:
f(x) = |x - 1| + (x - 5) / (2x - 5)
In de figuur is de grafiek van f weergegeven. De grafiek heeft een knikpunt voor x = 1. Lijn k is een scheve asymptoot van de grafiek van f. Ook deze scheve asymptoot is in de figuur weergegeven.

14 Stel een vergelijking op van k.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het bepalen van de vergelijking van een scheve asymptoot van een functie die een absolute waarde bevat. Je moet de functie herschrijven voor een specifiek domein en vervolgens een limiet bepalen.

Wat moet je kennen: Definitie van absolute waarde: |A| = A als A >= 0 en |A| = -A als A < 0.
Definitie van een scheve asymptoot: y = ax + b, waarbij de functie f(x) - (ax+b) naar 0 gaat voor x naar oneindig (of min oneindig).
Limiet van een rationale functie voor x naar oneindig: deel teller en noemer door de hoogste macht van x.

Wat moet je kunnen: De absolute waarde functie herschrijven voor het relevante domein (x < 1).
De limiet van het rationale deel van de functie bepalen voor x naar min oneindig.
De constante term van de scheve asymptoot correct afleiden uit de limiet en het herschreven functievoorschrift.

Waar op letten: Let goed op het teken bij het oplossen van de absolute waarde voor x < 1.
Zorg dat je de limiet van de breuk correct bepaalt, vaak is dit een constante.
Vergeet niet alle termen mee te nemen in de uiteindelijke vergelijking van de asymptoot.

Kernbegrippen: scheve asymptoot, limieten, absolute waarde functie, functie herschrijven

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd oplossen van de absolute waarde, bijvoorbeeld |x-1| wordt x-1 voor x<1.
- De limiet van de breuk onjuist bepalen, bijvoorbeeld naar 0 of 1.
- Vergeten de '+1' uit de absolute waarde mee te nemen in de eindvergelijking van de asymptoot.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Grafiek onder de x-as met absolute waarde (6 punten)

Bereken exact voor welke waarden van x de grafiek van f onder de x-as ligt.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het bepalen van het interval waar een functie onder de x-as ligt. De functie bevat een absolute waarde en een rationale uitdrukking, en er is een figuur gegeven die inzicht kan geven in het gedrag van de functie.

Wat moet je kennen: Definitie van absolute waarde: |A| = A als A >= 0, en |A| = -A als A < 0.
Definitie van een nulpunt: f(x) = 0.
Definitie van een verticale asymptoot: de noemer is nul en de teller is niet nul.
Het oplossen van kwadratische vergelijkingen (abc-formule of ontbinden in factoren).

Wat moet je kunnen: De absolute waarde functie splitsen in twee gevallen (voor en na het knikpunt).
De vergelijking f(x) = 0 opstellen en herleiden tot een kwadratische vergelijking.
De nulpunten van de functie exact berekenen.
De vergelijking van de verticale asymptoot bepalen door de noemer gelijk te stellen aan nul.
Een tekenschema of grafiekschets gebruiken om de ongelijkheid f(x) < 0 op te lossen, rekening houdend met nulpunten en asymptoten.

Waar op letten: Behandel de absolute waarde correct door de functie te splitsen op het knikpunt (x=1).
Vergeet niet de verticale asymptoot te bepalen en deze mee te nemen in de analyse van de ongelijkheid.
Controleer of de gevonden nulpunten voldoen aan de voorwaarde van de absolute waarde (bijvoorbeeld x > 1 of x < 1).
Geef het antwoord exact en in intervalnotatie.

Kernbegrippen: oplossen van een ongelijkheid, absolute waarde functie, rationale functies, verticale asymptoten, nulpunten van een functie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de absolute waarde correct te behandelen (voor x>1 is |x-1|=x-1).
- De verticale asymptoot niet meenemen in de analyse van de ongelijkheid.
- Een rekenfout maken bij het herleiden van de vergelijking naar een kwadratische vorm.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Richtingscoëfficiënt en exponentiële functie (5 punten)

De functie f is gegeven door f(x) = x·eˣ.
De punten P en Q liggen op de grafiek van f.
De x-coördinaat van P is p en de x-coördinaat van Q is 2p.
Voor een bepaalde waarde van p heeft de lijn door P en Q een richtingscoëfficiënt van 6.
16 Bereken exact deze waarde van p.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie met een exponentiële term en twee punten op de grafiek. Je moet de x-coördinaat van deze punten gebruiken om de richtingscoëfficiënt van de lijn door deze punten te bepalen en deze gelijk te stellen aan een gegeven waarde. Uiteindelijk los je een vergelijking op met behulp van logaritmen.

Wat moet je kennen: Richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten (x1, y1) en (x2, y2): m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Eigenschappen van exponentiële functies: e^a > 0 voor alle reële a
Eigenschappen van logaritmen: ln(e^x) = x en e^(ln(x)) = x voor x > 0
Oplossen van kwadratische vergelijkingen (bijvoorbeeld met de abc-formule of ontbinden in factoren)

Wat moet je kunnen: De coördinaten van de punten P en Q opstellen in termen van p.
De formule voor de richtingscoëfficiënt van de lijn door P en Q opstellen en vereenvoudigen.
De verkregen vergelijking omvormen tot een kwadratische vergelijking in e^p.
De kwadratische vergelijking oplossen en de geldige oplossing voor e^p bepalen.
De waarde van p exact berekenen met behulp van de natuurlijke logaritme.

Waar op letten: Let goed op algebraïsche vereenvoudigingen, vooral bij het delen door (2p - p).
Herken de kwadratische structuur in de vergelijking (bijvoorbeeld door substitutie van u = e^p).
Vergeet niet dat e^p altijd positief moet zijn; verwerp negatieve oplossingen voor e^p.

Kernbegrippen: richtingscoëfficiënt, exponentiële functies, kwadratische vergelijking oplossen, logaritmen

Veelgemaakte fouten:
- algebraïsche fout bij het vereenvoudigen van de breuk voor de richtingscoëfficiënt
- de kwadratische structuur van de vergelijking in eᵖ niet herkennen
- de negatieve oplossing voor eᵖ niet verwerpen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/16

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 16 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-22-2-o

### Pagina 2

Formules
 Goniometrie
$ \sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u) $
$ \sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u) $
$ \cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u) $
$ \cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u) $
$ \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) $
$ \cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t) $
VW-1025-a-22-2-0 2 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 3

Buigraaklijn
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = 2(2x-1)^3 + 3(2x-1)^2$.
Voor de afgeleide geldt: $f'(x) = 48x^2 - 24x$.
4p 1 Bewijs dit.
5p 2 De lijn $k$ raakt de grafiek van $f$ in het buigpunt.
Stel door middel van exacte berekeningen een vergelijking op van $k$.
VW-1025-a-22-2-0 3 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Op de diagonaal van een vierkant

Gegeven is een vierkant $ABCD$ met zijde 2. Punt $M$ is het midden van
lijnstuk $AB$. Punt $P$ ligt op diagonaal $AC$ en valt niet samen met punt $A$ of
punt $C$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een vierkant ABCD met hoekpunten A, B, C, D in tegenwijzerzin. De diagonaal AC is getekend. Punt M is op AB. Punt P is op AC. Lijnstuk DP en lijnstuk MP zijn getekend.]

$P$ kan zo worden gekozen dat de lijnstukken $DP$ en $MP$ loodrecht op
elkaar staan.

6p 3 Bereken exact de lengte van lijnstuk $AP$ in deze situatie.

VW-1025-a-22-2-o 4 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Golvend ertussen door
Voor $0 < x < 2\pi$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = \frac{1}{2\sin(x)}$.
In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van de functie f, een curve die naar + en - oneindig gaat in de buurt van x=0 en x=pi, met een minimum in de buurt van x=pi/2 en een maximum in de buurt van x=3pi/2]

5p 4 Bereken exact het bereik van $f$.
Voor elke waarde van $a$ is de functie $g_a$ gegeven door $g_a(x) = a\cos(x)$ met domein $[0, 2\pi]$.
In figuur 2 zijn voor een waarde van $a$ de grafieken van $f$ en $g_a$ weergegeven. In deze situatie hebben de grafieken van $f$ en $g_a$ geen punten gemeenschappelijk. Als de waarde van $a$ verandert, verandert de amplitude van de grafiek van $g_a$.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met twee functies, f en g_a. Functie f is dezelfde als in figuur 1. Functie g_a is een cosinuscurve die de x-as kruist bij pi/2 en 3pi/2.]

5p 5 Bereken exact voor welke waarden van $a$ de grafieken van $f$ en $g_a$ géén punten gemeenschappelijk hebben.

VW-1025-a-22-2-o 5 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 6

Efficiënt testen

Een teek is een parasiet. Teken kunnen drager zijn van de bacterie waarvan je de ziekte van Lyme kunt krijgen. Ongeveer 20% van de teken in Nederland is drager van deze bacterie.
Om te onderzoeken of een persoon de ziekte van Lyme heeft, neemt men een monster: er wordt wat bloed afgenomen.
In een laboratorium wil men 1000 monsters testen op de aanwezigheid van de bacterie.
In het laboratorium kan elk van de monsters individueel getest worden. In dat geval zijn er 1000 tests nodig.
Een alternatief is om van een aantal monsters een paar druppels te nemen, die bij elkaar te voegen en dan dit mengsel te testen. Als het mengsel de bacterie niet bevat, dan bevat geen van de monsters in het mengsel de bacterie. Als het mengsel de bacterie wel bevat, weet je nog niet welk monster de bacterie bevat en moeten alsnog de monsters in het mengsel stuk voor stuk worden getest.
Het aantal monsters dat wordt samengevoegd voor één test is $n$. Als $n$ = 2 worden telkens twee monsters samengevoegd voor een test, en als het mengsel de bacterie bevat, worden de twee monsters nog eens apart getest. Het totale aantal tests $T$ dat naar verwachting nodig is, hangt af van $n$ volgens de volgende formule:

$T = 1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{n} - 0,8^n\right)$ (formule 1)

Hierbij is $n \ge 2$.

We bekijken nu eerst de grafiek van deze formule voor $T$. Deze grafiek is weergegeven in de figuur hiernaast. De grafiek heeft een laagste punt.

[FIGUUR: Een grafiek met de T-as verticaal en de n-as horizontaal, beginnend bij n=2 en oplopend, waarbij de grafiek eerst daalt en daarna weer stijgt, met een minimum.]

4p 6 Bepaal met behulp van de afgeleide van $T$ de helling van de grafiek voor $n=4$ en beredeneer daarmee of het laagste punt links of rechts van $n=4$ ligt.

### Pagina 7

Deze methode om het laagste totale aantal tests te bepalen wordt ook gebruikt bij het testen op andere soorten besmetting. De fractie besmette monsters wordt daarbij steeds voorgesteld door de variabele $p$ (met $0 \le p \le 1$). Voor de eerder genoemde besmetting door teken geldt dat ongeveer 20% besmet is, dus wordt gerekend met $p=0,2$.

Als er niet 1000, maar $N$ monsters worden getest, dan ziet formule 1 er voor willekeurige $p$ als volgt uit:
$$T(n) = N \cdot \left(1 + \frac{1}{n} - (1-p)^n \right) \quad \text{(formule 2)}$$
Hierin is $T(n)$ het verwachte totale aantal tests, $n$ het aantal monsters dat wordt samengevoegd en $p$ de fractie besmette monsters.
In de praktijk werkt men in een laboratorium niet met de formule, maar met een tabel. Als bekend is welke fractie van de teken $(p)$ besmet is, dan kan in zo'n tabel worden afgelezen voor welke waarde van $n$ het verwachte totale aantal tests ($T(n)$) zo laag mogelijk is.
Om die laagste waarde te vinden wordt bepaald bij welke waarde van $p$ geldt: $T(n) = T(n+1)$.
Er geldt dan het volgende verband:
$$n(n+1) \cdot p(1-p)^n = 1 \quad \text{(formule 3)}$$

4p 7 Bewijs dat dit verband juist is.

Met behulp van formule 3 kunnen de grenswaarden voor $p$ worden bepaald. Voor een aantal waarden van $n$ staan de grenswaarden voor $p$ weergegeven in de tabel hiernaast. In de tabel is bijvoorbeeld te zien dat voor waarden van $p$ tussen 0,0411 en 0,0656 bij een keuze van $n=5$ het totale aantal tests zo klein mogelijk is.

[FIGUUR: Tabel met de kolommen 'p' en 'n'. Rij 1: 0,0656, 4. Rij 2: 0,0411, 5. Rij 3: 0,0283, 6. Rij 4: 0,0207, 7. Rij 5: 0,0158, 8.]

Van een bepaalde besmetting is bekend dat $p = 0,025$. Men wil dat het verwachte totale aantal tests niet groter is dan 750. Met behulp van de tabel en formule 2 kan nu worden berekend van maximaal hoeveel monsters $N$ bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.
3p 8 Bereken met behulp van de tabel en formule 2 van maximaal hoeveel monsters $N$ bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.

VW-1025-a-22-2-o 7 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Begrensde gebieden

De functie $f$ is gegeven door:
$$f(x) = \frac{4}{\sqrt{x+1}}$$
De grafiek van $f$ snijdt de $y$-as in het punt $(0,4)$. In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven. Ook is de rechthoek weergegeven die wordt begrensd door de $x$-as, de $y$-as, de lijn met vergelijking $y=4$ en de lijn met vergelijking $x=q$ met $q>0$. De grafiek van $f$ verdeelt deze rechthoek in twee delen.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gemarkeerd bij 4. De grafiek van f begint bij (0,4) en loopt naar rechts beneden. Een rechthoek is getekend met de linker onderhoek bij O, de linker bovenhoek op de y-as bij 4, de rechter bovenhoek op y=4 en de rechter onderhoek op de x-as bij q. Het deel van de rechthoek onder de grafiek van f is grijs gekleurd.]

Er is één waarde van $q$ waarbij de oppervlaktes van deze twee delen even groot zijn.
7p 9 Bereken exact deze waarde van $q$.

De functie $g$ is de inverse functie van de functie $f$. Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$, de grafiek van $g$ en de lijn met vergelijking $x=4$ is in figuur 2 grijs gekleurd.
5p 10 Bereken de oppervlakte van dit gebied.
Geef je eindantwoord in één decimaal.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gemarkeerd bij 4. De grafiek van f begint bij (0,4) en loopt naar rechts beneden. De grafiek van g is een spiegelbeeld van f ten opzichte van de lijn y=x. Een deel van de grafiek van f en g, ingesloten door de lijn x=4 en de oorsprong, is grijs gekleurd.]

VW-1025-a-22-2-0 8 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 9

Cirkels en lijnen

Voor $0 \le t \le 2\pi$ beweegt een punt $P$ over een cirkelvormige baan $c_P$ met middelpunt $O(0,0)$ volgens de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x_P(t) = 2 \cos(t) \\
y_P(t) = 2 \sin(t)
\end{cases}
$$
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O en een punt P op de cirkel. Een kleinere cirkel met middelpunt Q raakt aan de grotere cirkel in O.]
figuur 1

Voor $0 \le t \le 2\pi$ beweegt tegelijkertijd een punt $Q$ over een cirkelvormige baan $c_Q$ volgens de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x_Q(t) = 2 + \cos(t) \\
y_Q(t) = \sin(t)
\end{cases}
$$
Hoek $POQ$ is afhankelijk van $t$. In figuur 1 zijn beide cirkels $c_P$ en $c_Q$ weergegeven. Ook zijn de lijnstukken $OP$ en $OQ$ weergegeven voor een waarde van $t$ waarvoor $OP$ en $OQ$ loodrecht op elkaar staan.

11 Bereken exact de waarden van $t$ waarvoor $OP$ en $OQ$ loodrecht op elkaar staan.

De lijn door $P$ en $Q$ snijdt de $x$-as in punt $A$. De $x$-coördinaat van $A$ is onafhankelijk van $t$.

12 Bewijs dit.

Punt $M$ is het midden van lijnstuk $PQ$. Op $t=0$ beginnen $P$ en $Q$ vanaf de $x$-as naar boven te bewegen. Punt $M$ beweegt dan mee naar boven. In figuur 2, 3 en 4 is voor drie waarden van $t$ de situatie weergegeven.

[FIGUUR: De situatie weergegeven in figuur 2, met cirkels $c_P$ en $c_Q$ en punten P, Q en M.]
figuur 2

[FIGUUR: De situatie weergegeven in figuur 3, met cirkels $c_P$ en $c_Q$ en punten P, Q en M. $t \approx 0,723$.]
figuur 3
$t \approx 0,723$

[FIGUUR: De situatie weergegeven in figuur 4, met cirkels $c_P$ en $c_Q$ en punten P, Q en M. $t = \dots$.]
figuur 4
$t = \dots$

Voor $t \approx 0,723$ ligt punt $M$ op cirkel $c_Q$. Zie figuur 2.
Na $t \approx 0,723$ komt $M$ in het gebied buiten $c_Q$ te liggen. Zie figuur 3.
Op een zeker tijdstip ligt $M$ op cirkel $c_P$. Zie figuur 4.

13 Punt $M$ ligt een percentage van de tijd waarin de punten $P$ en $Q$ een volledige baan doorlopen buiten $c_P$ en $c_Q$.
Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.

VW-1025-a-22-2-o

9 / 11

lees verder


### Pagina 10

Asymptoot

De functie $f$ is gegeven door:
$$f(x) = |x-1| + \frac{x-5}{2x-5}$$
In de figuur is de grafiek van $f$ weergegeven. De grafiek heeft een knikpunt voor $x=1$. Lijn $k$ is een scheve asymptoot van de grafiek van $f$. Ook deze scheve asymptoot is in de figuur weergegeven.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gelabeld met $y$, de x-as met $x$. De oorsprong is gemarkeerd met $O$. Er zijn twee curven getekend die de functie $f$ voorstellen. Eén curve is aan de linkerkant van de y-as, met een knikpunt bij $x=1$. De andere curve is aan de rechterkant van de y-as en heeft een asymptoot op de x-as en een scheve asymptoot. Er is een gestippelde lijn getekend die de scheve asymptoot voorstelt, gelabeld met $k$.]

14 (3p) Stel een vergelijking op van $k$.

15 (6p) Een deel van de grafiek van $f$ ligt onder de $x$-as. Bereken exact voor welke waarden van $x$ de grafiek van $f$ onder de $x$-as ligt.

VW-1025-a-22-2-o 10 / 11 lees verder ▶▶▶

### Pagina 11

Twee punten op een grafiek
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = x \cdot e^x$.
De punten $P$ en $Q$ liggen op de grafiek van $f$.
De x-coördinaat van $P$ is $p$ en de x-coördinaat van $Q$ is $2p$.
Voor een bepaalde waarde van $p$ heeft de lijn door $P$ en $Q$ een
richtingscoëfficiënt van 6.
5p 16 Bereken exact deze waarde van $p$.
VW-1025-a-22-2-o 11 / 11 einde