# Eindexamen Wiskunde B VWO 2022 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1

## Vraag 1 – Bewijs inverse functies (ln en e-macht) (3 punten)

De functies f_p en g_p zijn gegeven door f_p(x) = p·ln(x) en g_p(x) = e^(x/p), voor p ≠ 0.
De functies f_p en g_p zijn elkaars inverse.

Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je moet aantonen dat twee gegeven functies, een logaritmische en een exponentiële functie, elkaars inverse zijn. Je krijgt de functievoorschriften f_p(x) = p*ln(x) en g_p(x) = e^(x/p).

Wat moet je kennen: Definitie van inverse functies: f(g(x)) = x EN g(f(x)) = x.
Definitie van inverse functie: verwissel x en y en los op naar y.
Logaritme: als y = ln(x), dan is x = e^y.
Rekenregel logaritmen: ln(e^a) = a.
Rekenregel exponenten: e^(ln(a)) = a.

Wat moet je kunnen: De stappen voor het bepalen van een inverse functie correct uitvoeren (x en y omwisselen en dan y isoleren).
De rekenregels voor logaritmen en exponenten correct toepassen om een uitdrukking te vereenvoudigen.
Algebraïsche herleidingen nauwkeurig uitvoeren om aan te tonen dat f(g(x)) = x of g(f(x)) = x.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen bij het omschrijven van logaritmes naar exponenten en vice versa.
Voorkom algebraïsche fouten bij het isoleren van y.
Controleer of je de rekenregels voor logaritmen en exponenten correct toepast, vooral met de parameter p.

Kernbegrippen: inverse functies, logaritmische functies, exponentiële functies, algebraïsch omschrijven

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het omwisselen van x en y.
- Algebraïsche fouten bij het isoleren van y, met name de overgang van een logaritmische naar een exponentiële vorm.
- Verkeerde toepassing van rekenregels voor logaritmen of exponenten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Oppervlakte berekenen met inverse functies (5 punten)

Bereken de oppervlakte van V. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte van een gebied berekenen dat wordt ingesloten door de grafieken van twee inverse functies, de x-as en de y-as. Dit vereist het vinden van snijpunten en het opstellen en berekenen van integralen.

Wat moet je kennen: Definitie van inverse functie: als y = f(x), dan is x = f⁻¹(y) of y = f⁻¹(x) (na verwisselen van x en y).
De grafiek van een inverse functie f⁻¹(x) is het spiegelbeeld van de grafiek van f(x) in de lijn y = x.
Oppervlakte onder een grafiek: A = ∫_a^b f(x) dx.

Wat moet je kunnen: De snijpunten van de grafieken van de inverse functies met de assen en met elkaar bepalen.
De integraal of integralen opstellen die de gevraagde oppervlakte representeren.
De bepaalde integraal of integralen berekenen, eventueel met behulp van een rekenmachine.
Het eindantwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Zorg dat je de juiste integratiegrenzen gebruikt die horen bij het af te bakenen gebied.
Controleer of je de integraal correct hebt opgesteld, vooral bij het bepalen van de 'bovenste' en 'onderste' functie.
Vergeet niet om het eindantwoord in twee decimalen te geven, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: oppervlakte berekenen met integralen, snijpunt van twee functies, inverse functies, numeriek integreren

Veelgemaakte fouten:
- verkeerde integratiegrenzen gebruiken
- fout bij het opstellen van de integraal voor de oppervlakte
- onjuist afronden van het eindantwoord

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Gemeenschappelijke raaklijn y=x (4 punten)

Er bestaat een waarde van p waarbij de lijn y = x de gemeenschappelijke raaklijn is van de grafieken van f_p en g_p. Deze situatie is in figuur 2 weergegeven.

4p 3 Bereken exact de waarde van p waarvoor de lijn y = x de gemeenschappelijke raaklijn is van de grafieken van f_p en g_p.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het bepalen van een parameter (p) waarbij een gegeven lijn (y=x) de gemeenschappelijke raaklijn is aan twee functies (f_p en g_p). Je moet differentiëren en vergelijkingen oplossen, mogelijk met logaritmen of exponentiële functies.

Wat moet je kennen: Definitie van een raaklijn: de helling van de raaklijn is gelijk aan de afgeleide van de functie in het raakpunt.
Afgeleide van ln(x): d/dx (ln(x)) = 1/x.
Afgeleide van e^(ax): d/dx (e^(ax)) = a*e^(ax).
Eigenschappen van logaritmen en exponenten: ln(e^x) = x en e^(ln(x)) = x.

Wat moet je kunnen: De afgeleide van de gegeven functies bepalen.
De voorwaarden voor een raaklijn opstellen: de functiewaarde in het raakpunt is gelijk aan de y-waarde van de raaklijn, én de afgeleide in het raakpunt is gelijk aan de helling van de raaklijn.
Een stelsel van vergelijkingen oplossen om de waarde van p en de x-coördinaat van het raakpunt te vinden.
Exacte waarden behouden tijdens het oplossen.

Waar op letten: Zorg dat je beide voorwaarden voor een raaklijn gebruikt: de functiewaarde én de afgeleide.
Let op bij het oplossen van vergelijkingen zoals p*ln(p) = p; deel niet zomaar door p, maar breng alles naar één kant en factoriseer om geen oplossingen te missen (of onterecht uit te sluiten).
Controleer of de gevonden waarde van p voldoet aan eventuele domeinbeperkingen (bijvoorbeeld p > 0 voor ln(p)).

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn aan een grafiek, oplossen van logaritmische vergelijkingen, inverse functies, exponentiële functies

Veelgemaakte fouten:
- Alleen de afgeleide gelijkstellen aan 1 (f'_p(x)=1) en vergeten de tweede voorwaarde (f_p(x)=x) te gebruiken.
- Fout bij het oplossen van de vergelijking p ln(p) = p, bijvoorbeeld door de oplossing p=0 niet correct uit te sluiten.
- Reken- of afgeleidefout bij het bepalen van f'_p(x).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Snijpunt van twee raaklijnen berekenen (3 punten)

In figuur 4 zie je de punten A en B en de twee raaklijnen, geplaatst in een assenstelsel. Gegeven is dat A de coördinaten (1/15, 4/3) heeft, B de coördinaten (1, 19/10), dat de raaklijn in B horizontaal is en dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A gelijk is aan 4. Het punt C is het snijpunt van de twee raaklijnen en speelt een belangrijke rol bij de constructie van de kromme K.

Bereken exact de x-coördinaat van C.

Wat kun je verwachten: Je krijgt coördinaten van twee punten en informatie over de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen door deze punten. Je moet de vergelijkingen van de twee raaklijnen opstellen en vervolgens het snijpunt van deze lijnen berekenen. Het gaat hierbij om coördinatenmeetkunde en het werken met lineaire vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een horizontale lijn: y = c
Vergelijking van een lijn door een punt (x1, y1) met richtingscoëfficiënt m: y - y1 = m(x - x1)
Definitie van een snijpunt van twee lijnen: de x- en y-coördinaten voldoen aan beide lijnvergelijkingen

Wat moet je kunnen: Stel de vergelijking op van de raaklijn in B, gebruikmakend van de gegeven coördinaten en het feit dat de raaklijn horizontaal is.
Stel de vergelijking op van de raaklijn in A, gebruikmakend van de gegeven coördinaten en de richtingscoëfficiënt.
Los het stelsel van de twee lijnvergelijkingen op om de x-coördinaat van het snijpunt C te vinden.

Waar op letten: Let goed op het exact rekenen met breuken; vermijd afronden.
Controleer of je de juiste coördinaten en richtingscoëfficiënten op de juiste plaats invult in de punt-richtingsformule.
Vergeet niet dat een horizontale lijn een constante y-waarde heeft.

Kernbegrippen: vergelijking van een lijn opstellen, richtingscoëfficiënt, snijpunt van twee lijnen, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- rekenfouten met breuken
- verkeerd toepassen van de punt-richtingsformule y - y1 = m(x - x1)
- verwarren van x- en y-coördinaten bij het invullen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Bézierkromme punt construeren met t=0,25 (3 punten)

Figuur 4 is op de uitwerkbijlage uitvergroot weergegeven.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het punt R van de Bézierkromme dat hoort bij t = 0,25. Licht je werkwijze toe.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over de constructie van een punt op een Bézierkromme met behulp van de Casteljau's algoritme. Je krijgt een figuur met controlepunten en moet een specifiek punt construeren en je werkwijze toelichten.

Wat moet je kennen: De Casteljau's algoritme voor een kwadratische Bézierkromme met controlepunten A, B en C:
Het punt R(t) op de kromme wordt gevonden door:
1. Punt P op lijnstuk AC zodat AP = t * AC
2. Punt Q op lijnstuk CB zodat CQ = t * CB
3. Punt R op lijnstuk PQ zodat PR = t * PQ
Vectoriële voorstelling van een punt op een lijnstuk: vector(OX) = vector(OY) + t * vector(YZ) waarbij X op lijnstuk YZ ligt en YX = t * YZ.

Wat moet je kunnen: 1. Bepaal de controlepunten A, B en C uit de figuur.
2. Construeer punt P op lijnstuk AC zodanig dat AP = 0,25 * AC. Dit kun je doen door de lengte van AC te meten en 0,25 daarvan af te passen vanuit A, of door vectorrekening te gebruiken.
3. Construeer punt Q op lijnstuk CB zodanig dat CQ = 0,25 * CB. Meet de lengte van CB en pas 0,25 daarvan af vanuit C.
4. Construeer punt R op lijnstuk PQ zodanig dat PR = 0,25 * PQ. Meet de lengte van PQ en pas 0,25 daarvan af vanuit P.
5. Licht je werkwijze toe door de stappen duidelijk te beschrijven.

Waar op letten: Let goed op de deelverhouding t=0,25; dit betekent 1/4 van de lengte vanaf het beginpunt van het lijnstuk. Zorg voor nauwkeurig tekenwerk; een afwijking van meer dan 1 mm kan punten kosten. Controleer of je de punten op de juiste lijnstukken construeert (P op AC, Q op CB, R op PQ).

Kernbegrippen: vectorrekening, constructie van Bézierkrommes, deelverhouding, de Casteljau's algoritme

Veelgemaakte fouten:
- Deelverhouding verkeerd toepassen, bijvoorbeeld 1:4 in plaats van 0,25 van de totale lengte.
- Punten P, Q of R op de verkeerde lijnstukken construeren.
- Meetfouten bij het tekenen die buiten de toegestane marge van 1 mm vallen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Bewijs vectorformule Bézierkromme (5 punten)

\vecOR is uit te drukken in t, \vecOA, \vecOB en \vecOC. Er geldt voor elke waarde van t:
\vecOR = (1-t)^2 · \vecOA + t^2 · \vecOB + 2t(1-t) · \vecOC
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je een gegeven vectorformule moet afleiden. Je krijgt een figuur met punten O, A, B, C, P, Q, R en relaties tussen deze punten, uitgedrukt in vectoren en een parameter t. Het is een vraag die draait om vectorrekening en algebraïsch herleiden.

Wat moet je kennen: Vectoroptelling: $\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$
Vectoraftrekking: $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
Scalaire vermenigvuldiging van vectoren: $k \cdot \vec{AB}$ is een vector in dezelfde of tegengestelde richting met lengte $|k|$ keer de lengte van $\vec{AB}$
Haakjes uitwerken: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ en $a(b-c) = ab - ac$

Wat moet je kunnen: Relaties tussen vectoren opstellen op basis van de figuur en de gegeven informatie (bijvoorbeeld $\vec{OP} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AC}$)
Vectorrelaties substitueren in een grotere vectoruitdrukking (bijvoorbeeld $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$)
Algebraïsch herleiden van vectoruitdrukkingen door haakjes uit te werken en gelijksoortige termen samen te nemen
Een bewijs stap voor stap opbouwen en elke stap logisch onderbouwen

Waar op letten: Let goed op tekenfouten bij het omzetten van lijnstukken naar vectoren (bijvoorbeeld $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$, niet andersom).
Wees nauwkeurig bij het uitwerken van haakjes en het combineren van termen.
Zorg dat je alle gegeven relaties correct toepast en substitueert.

Kernbegrippen: vectorrekening, parameterkromme, Bézierkromme, algebraïsch herleiden, substitutie

Veelgemaakte fouten:
- fouten bij het uitwerken van haakjes
- verkeerd substitueren van vectorrelaties
- tekenfouten bij vectoraftrekking, bijvoorbeeld $\vec{AC} = \vec{OA} - \vec{OC}$ in plaats van $\vec{OC} - \vec{OA}$

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Bézierkromme bewijzen met vectoren (3 punten)

In de rest van deze opgave kijken we naar een ander voorbeeld. Het gaat niet meer om de letter 'a'.
De coördinaten van A, B en C zijn nu als volgt: A(0, 4), B(2, 2) en C(3, 0). Ook nu is C het snijpunt van de raaklijnen in A en B.

De Bézierkromme van A, B en C is, volgens de formule voor \vecOR, te beschrijven met behulp van vectoren. Het is echter ook mogelijk deze Bézierkromme met bewegingsvergelijkingen te beschrijven.

We bekijken het punt L met de volgende bewegingsvergelijkingen:
x(t) = -4t^2 + 6t
y(t) = 6t^2 - 8t + 4 met 0 \le t \le 1

De baan van L is weergegeven in figuur 5.

Er geldt: de baan van L is de Bézierkromme die hoort bij de punten A, B en C.

Bewijs dit met behulp van de formule voor \vecOR.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de formule voor een Bézierkromme met drie controlepunten (A, B, C) moet gebruiken. Je krijgt de coördinaten van de punten en bewegingsvergelijkingen van een punt L. Je moet aantonen dat de vectorvoorstelling van de Bézierkromme overeenkomt met de gegeven bewegingsvergelijkingen door middel van algebraïsche herleiding.

Wat moet je kennen: Formule voor de Bézierkromme met drie controlepunten P0, P1, P2:
vec(OR)(t) = (1-t)^2 * vec(OP0) + 2t(1-t) * vec(OP1) + t^2 * vec(OP2)
Vectornotatie van punten: P(x, y) komt overeen met vec(OP) = (x, y)
Regels voor het uitwerken van kwadraten: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Wat moet je kunnen: De coördinaten van de gegeven punten A, B en C correct invullen in de vectorformule voor de Bézierkromme.
De vectorformule stap voor stap uitwerken door de scalairen met de vectoren te vermenigvuldigen.
De x-componenten en y-componenten van de resulterende vectoren afzonderlijk bij elkaar optellen.
De verkregen uitdrukkingen voor x(t) en y(t) algebraïsch herleiden tot de eenvoudigste vorm.

Waar op letten: Let goed op het correct uitwerken van haakjes, vooral bij (1-t)^2 en 2t(1-t).
Voorkom rekenfouten bij het optellen van de termen voor de x- en y-componenten.
Controleer of je de coördinaten van A, B en C correct hebt overgenomen in de formule.

Kernbegrippen: vectorrekening, parametrische krommen, Bézierkrommen, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het uitwerken van haakjes, met name $(1-t)^2$.
- Rekenfouten bij het combineren van de x- en y-componenten van de vectoren.
- Verkeerd overnemen van de coördinaten van de punten A, B of C.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Raakpunten van goniometrische functies bewijzen (8 punten)

De functie f is voor -π < x < π gegeven door: f(x) = sin(x)/sin(2x).
De functie g is gegeven door g(x) = sin(x).
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.

8p 8 Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je moet aantonen dat twee goniometrische functies elkaar in twee punten raken. Je krijgt de functievoorschriften en een figuur ter illustratie. Je moet goniometrische vergelijkingen oplossen en afgeleiden bepalen.

Wat moet je kennen: Definitie van 'raken': f(x) = g(x) én f'(x) = g'(x)
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'*g - f*g') / g^2
Afgeleide van sin(x): d/dx sin(x) = cos(x)
Afgeleide van cos(x): d/dx cos(x) = -sin(x)
Kettingregel: d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)
Basisoplossingen sin(A) = sin(B): A = B + k*2π of A = π - B + k*2π
Dubbelehoekformule: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Wat moet je kunnen: Stel de vergelijking f(x) = g(x) op en los deze exact op binnen het gegeven domein.
Controleer of de gevonden x-waarden geldig zijn voor de functie f (voorkom delen door nul).
Bepaal de afgeleide f'(x) met de quotiëntregel en kettingregel.
Bepaal de afgeleide g'(x).
Controleer voor elke gevonden x-waarde of f'(x) = g'(x) geldt.

Waar op letten: Vergeet niet beide voorwaarden (f(x)=g(x) én f'(x)=g'(x)) te controleren voor 'raken'.
Let op het domein (-π < x < π) bij het oplossen van de goniometrische vergelijkingen.
Sluit oplossingen uit waarbij de noemer van f(x) nul wordt (sin(2x) = 0).
Werk exact, dus geen afgeronde waarden.

Kernbegrippen: goniometrische vergelijkingen oplossen, raakpunten van functies, afgeleide bepalen, quotiëntregel, domein van een functie, kettingregel

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de voorwaarde f'(x) = g'(x) te controleren voor 'raken'.
- Fout bij het oplossen van de goniometrische vergelijking sin(2x) = 1.
- De oplossing sin(x)=0 niet uitsluiten, hoewel f(x) daar niet gedefinieerd is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Nulpunten van functie met wortel bewijzen (4 punten)

Bewijs dat er geen andere gemeenschappelijke punten van de grafiek van f met de x-as zijn.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat er geen andere gemeenschappelijke punten van de grafiek van f met de x-as zijn dan de reeds bekende. Dit betekent dat je een vergelijking moet oplossen waarbij de functie gelijkgesteld wordt aan nul, en dit exact moet bewijzen.

Wat moet je kennen: Definitie van nulpunten: f(x) = 0
Regels voor het oplossen van vergelijkingen (factoren buiten haakjes halen)
Kwadratische vergelijkingen: ax^2 + bx + c = 0
Eigenschap: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Wat moet je kunnen: De functie f(x) gelijkstellen aan 0 om de nulpunten te vinden.
Een factor x buiten haakjes halen om de vergelijking te vereenvoudigen.
De overgebleven vergelijking (met wortels) oplossen, bijvoorbeeld door te kwadrateren of door een kwadratische vorm te herkennen.
Controleren of de gevonden oplossingen voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking (vooral bij kwadrateren).

Waar op letten: Vergeet de oplossing x=0 niet als je deelt door x.
Let goed op de structuur van de vergelijking; soms is het een kwadratische vergelijking in √x.
Wees zorgvuldig bij het kwadrateren van beide zijden van een vergelijking om fouten te voorkomen (bijvoorbeeld (x+1)^2 is niet x^2+1).

Kernbegrippen: nulpunten van een functie, vergelijking met wortels oplossen, ontbinden in factoren, kwadratische vergelijking

Veelgemaakte fouten:
- De oplossing x=0 vergeten na het delen door x.
- De structuur van een kwadratische vergelijking in √x niet herkennen.
- Foutief kwadrateren bij de alternatieve methode, bijvoorbeeld 2√x = x+1 wordt 4x = x²+1.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Oppervlakte berekenen met integraal (4 punten)

Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f en de x-as.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het exact berekenen van de oppervlakte van een vlakdeel. Je krijgt een functievoorschrift en een figuur die het ingesloten vlakdeel met de x-as visualiseert. Je moet integreren om de oppervlakte te vinden.

Wat moet je kennen: Standaard primitieven van machtsfuncties: ∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C (voor n ≠ -1).
De oppervlakte A van een vlakdeel ingesloten door de grafiek van f(x) en de x-as tussen x=a en x=b is A = |∫_a^b f(x) dx|.
De eigenschap dat sqrt(x) = x^(1/2).

Wat moet je kunnen: De snijpunten van de functie met de x-as bepalen om de integratiegrenzen te vinden.
De functie f(x) herschrijven naar een vorm die makkelijk te primitiveren is (bijvoorbeeld wortels omzetten naar machtsfuncties).
De primitieve van de functie bepalen.
De bepaalde integraal berekenen door de grenzen in te vullen in de primitieve en het verschil te nemen (hoofdstelling van de integraalrekening).
Exact rekenen met breuken en machten.

Waar op letten: Let goed op het correct herschrijven van termen zoals x*sqrt(x) naar een machtsvorm (x^(1.5)).
Controleer of de integratiegrenzen correct zijn bepaald door de snijpunten met de x-as.
Voer de berekeningen exact uit; geen afrondingen.
Let op tekenfouten bij het invullen van de grenzen in de primitieve.

Kernbegrippen: integreren, oppervlakte berekenen met een integraal, primitiveren van machtsfuncties, bepaalde integraal

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het primitiveren van de term met een wortel, specifiek 2x√x = 2x^(1.5).
- Verkeerde integratiegrenzen kiezen, bijvoorbeeld door de snijpunten met de x-as niet correct te bepalen.
- Reken- of tekenfout bij het invullen van de grenzen in de primitieve.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Raaklijn en verschuiving (7 punten)

De functie f is gegeven door f(x) = x² − 2x√x + x met x ≥ 0.
In de figuur is de grafiek van f met haar raaklijn k in de oorsprong weergegeven.
De grafiek van f heeft de punten (0, 0) en (1, 0) gemeenschappelijk met de x-as.

Er is een waarde van a, met a ≠ 0, waarbij een verschuiving van de raaklijn k over de vector (a 0) weer een raaklijn aan de grafiek van f geeft.

7p 11 Bereken exact deze waarde van a.

Wat kun je verwachten: Dit is een analysevraag over differentiëren en raaklijnen. Je krijgt een functievoorschrift en een figuur. Je moet de helling van een raaklijn bepalen, een vergelijking oplossen en een verschuiving van een lijn correct toepassen om een specifieke waarde te berekenen.

Wat moet je kennen: Machtsregel voor differentiëren: (x^n)' = n*x^(n-1)
Productregel voor differentiëren: (f*g)' = f'*g + f*g'
Definitie van de afgeleide: f'(x) geeft de helling van de raaklijn in punt x
Vergelijking van een lijn: y = mx + b of y - y1 = m(x - x1)

Wat moet je kunnen: De functie f(x) herschrijven naar een vorm met alleen machtsfuncties (bijvoorbeeld x*sqrt(x) als x^(3/2)).
De afgeleide f'(x) bepalen met de juiste differentieerregels.
De helling van de raaklijn in een specifiek punt berekenen door de x-waarde in f'(x) in te vullen.
Een vergelijking oplossen waarbij wortels voorkomen, door te kwadrateren of factoren buiten haakjes te halen.
De coördinaten van een punt op de grafiek berekenen door de x-waarde in f(x) in te vullen.
De vergelijking van een verschoven lijn opstellen en deze gebruiken om de gevraagde waarde te vinden.

Waar op letten: Let goed op het correct differentiëren van termen zoals x*sqrt(x) (schrijf dit als x^(3/2)).
Wees zorgvuldig bij het oplossen van de vergelijking f'(x) = m, vooral als er wortels in voorkomen.
Controleer of je de verschuiving over de vector (a 0) correct toepast op de vergelijking van de raaklijn (y = x - a, niet y = x + a).

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn opstellen, helling van een raaklijn, vectorverschuiving, vergelijking met wortels oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van de term -2x√x, bijvoorbeeld door de productregel of de machtsregel voor x^(3/2) verkeerd toe te passen.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking 2x - 3√x = 0.
- Verkeerd interpreteren van de vectorverschuiving, bijvoorbeeld door y = x + a te gebruiken in plaats van y = x - a.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Bewijs baanvergelijking met parameter (3 punten)

Uitgaande van stelsel 1 kan de y-coördinaat van de baan worden uitgedrukt in x en α. Er geldt (voor α ≠ ½π):
y = 2000 + tan(α) · x − rac{1}{9000cos²(α)} · x²      (2)

3p 12 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om een gegeven baanvergelijking (y uitgedrukt in x en α) te bewijzen, uitgaande van een parametervoorstelling (x en y uitgedrukt in t en α). Je moet de parameter t elimineren of de formules in elkaar substitueren en herleiden.

Wat moet je kennen: Goniometrische identiteit: tan(α) = sin(α)/cos(α)
Regels voor het kwadrateren van breuken: (a/b)^2 = a^2/b^2
Algebraïsche herleiding van breuken en machten

Wat moet je kunnen: De parameter t uitdrukken in x en α met behulp van de x(t)-vergelijking.
De gevonden uitdrukking voor t substitueren in de y(t)-vergelijking.
De resulterende vergelijking algebraïsch herleiden tot de te bewijzen formule.
OF
De x(t) en y(t) vergelijkingen substitueren in de te bewijzen formule en aantonen dat de linker- en rechterkant gelijk zijn.

Waar op letten: Let goed op bij het kwadrateren van de term met t: (x / (210cos(α)))^2 = x^2 / (210cos(α))^2 = x^2 / (210^2 * cos^2(α)).
Voorkom rekenfouten bij het vereenvoudigen van de constanten, zoals 4,9 / 210^2.
Pas goniometrische identiteiten correct toe, met name tan(α) = sin(α)/cos(α).

Kernbegrippen: parametervoorstelling, elimineren van parameter, goniometrie, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- substitutiefout
- rekenfout bij kwadrateren van een breuk
- verkeerd toepassen van goniometrische regels

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Afstand lavabom bij kwadratische baan (3 punten)

Een lavabom wordt onder een hoek α = 1 (radiaal) weggeslingerd. Deze lavabom komt op een bepaalde afstand van de vulkaan op de grond. Voor dit punt geldt y = 0.
Bereken deze afstand. Geef je eindantwoord in honderden meters nauwkeurig.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van een afstand met behulp van een gegeven functie die de baan van een lavabom beschrijft. Je krijgt een formule voor de y-coördinaat in termen van x en de hoek α, en je moet de x-waarde vinden wanneer y = 0. Dit komt neer op het oplossen van een kwadratische vergelijking.

Wat moet je kennen: Kwadratische formule: ax^2 + bx + c = 0
ABC-formule: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)
Definitie van tan(α) en cos(α) in radialen

Wat moet je kunnen: Gegeven waarden (α en y) substitueren in de formule.
De vergelijking herleiden tot de standaardvorm van een kwadratische vergelijking (ax^2 + bx + c = 0).
De ABC-formule correct toepassen om de oplossingen voor x te vinden.
De context van de vraag gebruiken om de juiste oplossing te kiezen (bijvoorbeeld een positieve afstand).

Waar op letten: Zorg ervoor dat je rekenmachine is ingesteld op radialen (RAD) voor het berekenen van tan(1) en cos(1).
Verwerp de negatieve oplossing voor x, aangezien afstand positief moet zijn.
Rond je eindantwoord af op honderden meters nauwkeurig, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: kwadratische vergelijking oplossen, parametrische beweging, modelleren met functies, substitutie van waarden, goniometrische functies

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde mode op de rekenmachine (graden in plaats van radialen voor α=1).
- De negatieve oplossing voor x niet verwerpen.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op honderden meters.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Bewijs raaklijnen lavabommen (4 punten)

Alle banen van de lavabommen hebben precies één punt gemeenschappelijk met de gestippelde kromme en raken dus aan deze kromme.
Bewijs dat alle banen van de lavabommen raken aan de gestippelde kromme.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om algebraïsch te bewijzen dat een familie van parabolen (banen van lavabommen) raakt aan een andere parabool (de gestippelde kromme). Je krijgt de formules van beide krommen en moet aantonen dat ze elkaar precies in één punt raken voor elke mogelijke afschiethoek α. Dit kan op twee manieren: via de discriminant of via differentiëren.

Wat moet je kennen: Een kwadratische vergelijking ax^2 + bx + c = 0 heeft precies één oplossing als de discriminant D = b^2 - 4ac gelijk is aan 0.
Als twee grafieken elkaar raken, hebben ze in het raakpunt dezelfde functiewaarde én dezelfde afgeleide (richtingscoëfficiënt van de raaklijn).

Wat moet je kunnen: Methode 1 (Discriminant):
Stel de twee functievoorschriften aan elkaar gelijk om de x-coördinaten van de snijpunten te vinden.
Herleid de vergelijking tot de standaardvorm van een kwadratische vergelijking: Ax^2 + Bx + C = 0.
Bereken de discriminant D = B^2 - 4AC en laat zien dat deze gelijk is aan 0, ongeacht de waarde van α.

Methode 2 (Differentiëren):
Bereken de afgeleide van beide functies (dy/dx).
Stel de twee functievoorschriften aan elkaar gelijk EN stel de twee afgeleiden aan elkaar gelijk.
Los het stelsel van vergelijkingen op en laat zien dat er voor elke α precies één oplossing (x, y) bestaat die aan beide voorwaarden voldoet.

Waar op letten: Let goed op algebraïsche herleidingen; een tekenfout of rekenfout kan leiden tot een onjuiste discriminant.
Zorg ervoor dat je de vergelijking volledig herleidt naar de vorm Ax^2 + Bx + C = 0 voordat je de discriminant berekent.
Vergeet niet de conclusie te trekken: D=0 betekent precies één gemeenschappelijk punt, dus de grafieken raken elkaar.

Kernbegrippen: raken van grafieken, discriminant, kwadratische vergelijking, algebraïsch bewijzen, differentiëren

Veelgemaakte fouten:
- Algebraïsche fouten bij het herleiden van de vergelijking naar de standaardvorm.
- Een rekenfout maken bij het berekenen van de discriminant, waardoor deze niet op 0 uitkomt.
- Vergeten de conclusie te trekken dat D=0 impliceert dat er precies één oplossing is en de grafieken elkaar dus raken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Bewijs midden van lijnstuk met raaklijn (8 punten)

De functie f is gegeven door f(x) = x + 2/x.
De grafiek van f heeft een verticale asymptoot met vergelijking x = 0 en een scheve asymptoot.
In onderstaande figuur is voor x > 0 de grafiek van f weergegeven.
De scheve asymptoot is gestippeld weergegeven.

figuur

Op de grafiek van f ligt een willekeurig punt P(p, p + 2/p).
De raaklijn aan de grafiek van f in P snijdt de verticale asymptoot in punt Q en de scheve asymptoot in punt R. Zie de figuur.

15 Bewijs dat P het midden is van lijnstuk QR.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om een bewijs te leveren over de ligging van een punt op een lijnstuk. Je moet de vergelijking van een raaklijn opstellen, snijpunten met asymptoten berekenen en vervolgens de middenformule toepassen. De functie f(x) = x + 2/x is gegeven, inclusief de verticale en scheve asymptoot.

Wat moet je kennen: Definitie van de afgeleide als helling van de raaklijn.
Vergelijking van een lijn: y - y_1 = m(x - x_1) of y = mx + b.
Afgeleide van x^n: d/dx(x^n) = n*x^(n-1).
Midden van een lijnstuk met eindpunten (x_1, y_1) en (x_2, y_2) is ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2).

Wat moet je kunnen: 1. Bepaal de vergelijking van de scheve asymptoot door het gedrag van f(x) voor grote x te analyseren.
2. Differentieer de functie f(x) om de helling van de raaklijn te vinden.
3. Stel de vergelijking van de raaklijn op in punt P(p, p + 2/p).
4. Bereken de coördinaten van snijpunt Q met de verticale asymptoot (x=0) en snijpunt R met de scheve asymptoot.
5. Gebruik de middenformule om aan te tonen dat P het midden is van lijnstuk QR.

Waar op letten: Let goed op het correct differentiëren van 2/x (denk aan 2*x^(-1)).
Wees nauwkeurig met algebraïsche herleidingen bij het bepalen van de snijpunten.
Vergeet niet expliciet de conclusie te trekken dat P het midden is, door de middenformule toe te passen op zowel de x- als de y-coördinaten.

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn opstellen, scheve asymptoot, snijpunten van lijnen berekenen, midden van een lijnstuk

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van 2/x (bijvoorbeeld vergeten minteken).
- Algebraïsche fouten bij het uitwerken van de vergelijkingen om de coördinaten van Q en R te vinden.
- De middenformule verkeerd toepassen of de conclusie niet expliciet trekken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Middelloodlijn door een punt (5 punten)

Bereken exact voor welke waarde van a de middelloodlijn van lijnstuk AB wél door D gaat.

Wat kun je verwachten: Dit is een analytische meetkunde vraag waarbij je de vergelijking van een middelloodlijn moet opstellen en vervolgens een onbekende parameter (a) moet berekenen door een gegeven punt in te vullen. Je krijgt de coördinaten van de punten A, B en D, waarbij de y-coördinaat van A afhangt van a.

Wat moet je kennen: Midden van een lijnstuk M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
Een middelloodlijn staat loodrecht op het lijnstuk en gaat door het midden van dat lijnstuk.
De richtingscoëfficiënt van een lijn loodrecht op een lijn met rc_1 is rc_2 = -1/rc_1 (mits rc_1 niet 0 is).
Het inproduct van twee loodrechte vectoren is 0: vector_1 * vector_2 = 0.
Afstandsformule tussen twee punten P(x1, y1) en Q(x2, y2): d(P,Q) = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).

Wat moet je kunnen: Bepaal de coördinaten van het midden van lijnstuk AB.
Bereken de richtingscoëfficiënt van lijnstuk AB of stel de richtingsvector/normaalvector van AB op.
Stel de vergelijking van de middelloodlijn van AB op (bijvoorbeeld met y = mx + b, of met een normaalvector, of met een vectorvoorstelling).
Vul de coördinaten van punt D in de vergelijking van de middelloodlijn in.
Los de resulterende vergelijking op voor a en geef de exacte waarde.

Waar op letten: Let op het 'exact' berekenen van de waarde van a; geen decimalen afronden.
Controleer of je de juiste richtingscoëfficiënt of normaalvector voor de middelloodlijn gebruikt (loodrecht op AB).
Vergeet niet de voorwaarde a > 0 te controleren bij het oplossen van de vergelijking.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, middelloodlijn, vectorrekening, normaalvector, vergelijking van een lijn

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de normaalvector of richtingsvector.
- Reken- of tekenfout bij het oplossen van de vergelijking.
- Vergeten van de voorwaarde a > 0, hoewel de negatieve oplossing hier niet relevant is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Zwaartepunt en limiet van puntmassa's (4 punten)

Wanneer a groter wordt, verschuift het punt A(0, a) over de y-as omhoog en neemt het gewicht in C toe. Ook het zwaartepunt Z van de vier puntmassa's verandert dan van plaats. Wanneer a onbegrensd toeneemt, nadert het zwaartepunt Z tot een vast punt P.
Bewijs dat de y-coördinaat van dat punt P gelijk is aan 1.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert vectorrekening voor het bepalen van een zwaartepunt met limieten. Je krijgt de coördinaten van vier punten en de bijbehorende gewichten, waarvan één gewicht afhankelijk is van een parameter 'a'. Je moet de y-coördinaat van het zwaartepunt bepalen en vervolgens de limiet van deze coördinaat berekenen als 'a' naar oneindig gaat.

Wat moet je kennen: Formule voor het zwaartepunt Z van puntmassa's m_i op posities r_i: Z = (som(m_i * r_i)) / (som(m_i))
Definitie van een limiet van een rationale functie voor x naar oneindig: lim(x->inf) (ax^n + ...)/(bx^m + ...) = 0 als n < m, a/b als n = m, oneindig als n > m

Wat moet je kunnen: 1. Bepaal de totale massa van alle puntmassa's, uitgedrukt in 'a'.
2. Stel de vectorformule voor het zwaartepunt Z op, waarbij je de gewichten en positievectoren van de punten A, B, C en D correct invult.
3. Vereenvoudig de uitdrukking voor de y-coördinaat van het zwaartepunt Z tot een breuk met 'a' in teller en noemer.
4. Bereken de limiet van deze y-coördinaat als 'a' naar oneindig gaat door teller en noemer te delen door de hoogste macht van 'a'.

Waar op letten: Let goed op de correcte toewijzing van gewichten aan de juiste punten.
Controleer of je de coördinaten van de punten correct gebruikt in de zwaartepuntformule.
Zorg ervoor dat je de limiet van de gebroken functie correct berekent, met name bij het delen door de hoogste macht van 'a'.

Kernbegrippen: zwaartepunt, vectorrekening, limieten, parameter

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de formule voor het zwaartepunt (gewichten en coördinaten verwisselen).
- Algebraïsche fout bij het uitwerken van de coördinaten van het zwaartepunt.
- Foutieve berekening van de limiet van een gebroken functie voor a naar oneindig.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/17

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 1
vrijdag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-22-1-o

### Pagina 2

Formules
 Goniometrie
$sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)$
$sin(t - u) = sin(t)cos(u) - cos(t)sin(u)$
$cos(t + u) = cos(t)cos(u) - sin(t)sin(u)$
$cos(t - u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)$
$sin(2t) = 2sin(t)cos(t)$
$cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t) = 2cos^2(t) - 1 = 1 - 2sin^2(t)$
VW-1025-a-o 2 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Inverse van ln(x)
De functies $f_p$ en $g_p$ zijn gegeven door $f_p(x) = p \ln(x)$ en $g_p(x) = e^{\frac{x}{p}}$,
voor $p \neq 0$.
De functies $f_p$ en $g_p$ zijn elkaars inverse.

3p 1 Bewijs dit.
Neem $p = -1$. $V$ is het gebied dat wordt
ingesloten door de grafieken van $f_{-1}$ en
$g_{-1}$, de x-as en de y-as. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Grafiek met de functies $f_{-1}$ en $g_{-1}$ en het gebied $V$ dat ingesloten is door de grafieken, de x-as en de y-as.]

5p 2 Bereken de oppervlakte van $V$. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.

Er bestaat een waarde van $p$ waarbij de
lijn $y = x$ de gemeenschappelijke raaklijn
is van de grafieken van $f_p$ en $g_p$.
Deze situatie is in figuur 2 weergegeven.

[FIGUUR: Grafiek met de functies $f_p$ en $g_p$ die elkaar raken aan de lijn $y=x$.]

4p 3 Bereken exact de waarde van $p$ waarvoor
de lijn $y = x$ de gemeenschappelijke
raaklijn is van de grafieken van
$f_p$ en $g_p$.

VW-1025-a-o 3 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 4

Letter op het computerbeeldscherm

De rand van een letter op een computerbeeldscherm is een
aaneenschakeling van meerdere krommen. Zo is de rand van de
(uitvergrote) letter 'a' in figuur 1 gemaakt met behulp van zestien
krommen, die je in figuur 2 ziet.

figuur 1
[FIGUUR: Een gestileerde hoofdletter 'a' met een dikke, vloeiende lijn.]

figuur 2
[FIGUUR: Twee weergaven van een kleine letter 'a' opgebouwd uit stippen en stippellijnen, met de letters K en B aangegeven.]

figuur 3
[FIGUUR: Een weergave van een deel van een kromme, met de letters B en A en een raaklijn aan de kromme in punt B.]

figuur 4
[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as en de x-as. Een kromme snijdt de y-as in punt C en gaat door punt B op de x-as. Een raaklijn aan de kromme in C is getekend.]

Elk van de zestien krommen kan met een formule worden beschreven.
Computers hebben die formules nodig om de letters op het scherm te
kunnen tekenen. Als voorbeeld bekijken we de kromme K tussen A en B,
die in figuur 2 dikker is getekend.

We gaan ervan uit dat er vier gegevens bekend zijn:
- de coördinaten van A;
- de coördinaten van B;
- de richting van de raaklijn in A aan de kromme;
- de richting van de raaklijn in B aan de kromme.

Zie figuur 3. De vraag is nu hoe je uit deze vier gegevens een formule
voor de kromme K maakt.

In figuur 4 zie je de punten A en B en de twee raaklijnen, geplaatst in een
assenstelsel. Gegeven is dat A de coördinaten ($1 \frac{1}{15}, \frac{4}{3}$) heeft, B de
coördinaten ($1, \frac{19}{10}$) , dat de raaklijn in B horizontaal is en dat de
richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A gelijk is aan 4. Het punt C is het
snijpunt van de twee raaklijnen en speelt een belangrijke rol bij de
constructie van de kromme K.

3p 4 Bereken exact de x-coördinaat van C.

VW-1025-a-o 4 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Om de kromme K te kunnen construeren, worden er, behalve de drie vaste punten A, B en C, drie bewegende punten P, Q en R gebruikt. Deze bewegen als volgt:
- Punt P beweegt voor $0 \leq t \leq 1$ met een constante snelheid over lijnstuk AC van A naar C. Er geldt: $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AC}$
- Punt Q beweegt voor $0 \leq t \leq 1$ met een constante snelheid over lijnstuk CB van C naar B. Er geldt: $\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OC} + t \cdot \overrightarrow{CB}$
- Terwijl punten P en Q bewegen, schuift punt R op het bewegende lijnstuk PQ van P naar Q. Er geldt: $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \overrightarrow{PQ}$
Het punt R doorloopt van $t=0$ tot $t=1$ een kromme van A naar B. Deze kromme wordt de Bézierkromme (van A, B en C) genoemd, en dat is kromme K uit figuur 2.

3p 5 Figuur 4 is op de uitwerkbijlage uitvergroot weergegeven. Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het punt R van de Bézierkromme dat hoort bij $t=0,25$. Licht je werkwijze toe.

$\overrightarrow{OR}$ is uit te drukken in t, $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ en $\overrightarrow{OC}$. Er geldt voor elke waarde van t:
$\overrightarrow{OR} = (1-t)^2 \cdot \overrightarrow{OA} + t^2 \cdot \overrightarrow{OB} + 2t(1-t) \cdot \overrightarrow{OC}$

5p 6 Bewijs dit.

In de rest van deze opgave kijken we naar een ander voorbeeld. Het gaat niet meer om de letter 'a'.
De coördinaten van A, B en C zijn nu als volgt: $A(0,4)$, $B(2,2)$ en $C(3,0)$. Ook nu is C het snijpunt van de raaklijnen in A en B.

De Bézierkromme van A, B en C is, volgens de formule voor $\overrightarrow{OR}$, te beschrijven met behulp van vectoren. Het is echter ook mogelijk deze Bézierkromme met bewegingsvergelijkingen te beschrijven.

We bekijken het punt L met de volgende bewegingsvergelijkingen:
$$ \begin{cases} x(t) = -4t^2 + 6t \\ y(t) = 6t^2 - 8t + 4 \end{cases} \quad \text{met } 0 \leq t \leq 1 $$
De baan van L is weergegeven in figuur 5.

Er geldt: de baan van L is de Bézierkromme die hoort bij de punten A, B en C.
3p 7 Bewijs dit met behulp van de formule voor $\overrightarrow{OR}$.

[FIGUUR: Een coördinatenstelsel met de x-as en y-as. De x-as loopt horizontaal, de y-as verticaal. Er zijn drie punten getekend: A, B en C. Punt A bevindt zich op de y-as, hoog boven de oorsprong. Punt B bevindt zich in het eerste kwadrant, en is verbonden met A door een gebogen lijn. Punt C bevindt zich op de x-as, rechts van de oorsprong. De lijnstukken AC en BC zijn getekend. Er is ook een curve getekend die begint bij A, naar B gaat en eindigt bij C. De curve is de Bézierkromme.]

VW-1025-a-o 5 / 11

### Pagina 6

Gebroken sinusfunctie

De functie $f$ is voor $-\pi < x < \pi$ gegeven door:
$$ f(x) = \frac{\sin(x)}{\sin(2x)} $$
De functie $g$ is gegeven door $g(x) = \sin(x)$.
In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de functies f en g. Functie f heeft twee asymptoten en een gat in het midden. Functie g is een sinusgolf.]

8p 8 Bewijs dat de grafieken van $f$ en $g$ elkaar in twee punten raken.

VW-1025-a-o 6 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 7

Raaklijn verschuiven
De functie $f$ is gegeven door
$f(x) = x^2 - 2x\sqrt{x} + x$ met $x \ge 0$.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Een kromme lijn, genaamd $f$, start op de oorsprong en buigt naar boven af. Een stippellijn, genaamd $k$, raakt de kromme op de oorsprong en loopt steiler omhoog dan $f$. Er is een punt gemarkeerd op de x-as, op positie 1.]
In de figuur is de grafiek van $f$ met haar
raaklijn $k$ in de oorsprong weergegeven.
De grafiek van $f$ heeft de
punten $(0, 0)$ en $(1, 0)$ gemeenschappelijk
met de x-as.
4p 9 Bewijs dat er geen andere gemeenschappelijke punten van de grafiek
van $f$ met de x-as zijn.
4p 10 Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek
van $f$ en de x-as.
Er is een waarde van $a$, met $a \ne 0$, waarbij een verschuiving van de
raaklijn $k$ over de vector $\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$ weer een raaklijn aan de grafiek van $f$ geeft.
7p 11 Bereken exact deze waarde van $a$.
VW-1025-a-o
7 / 11
lees verder

### Pagina 8

Vulkaan

Een vulkaan kan op verschillende manieren
tot uitbarsting komen. Bij een zogenoemde
plinisische uitbarsting wordt de druk binnen
de vulkaan steeds groter totdat de vulkaan
met groot geweld tot uitbarsting komt. Bij de
uitbarsting worden brokken gesmolten
steen weggeslingerd die lavabommen
worden genoemd.

[FIGUUR: Een foto van een vulkaanuitbarsting met gloeiende deeltjes die omhoog spuiten.]

In een model van de baan van een lavabom wordt ervan uitgegaan dat op
het moment van de uitbarsting alle lavabommen een snelheid hebben van
210 meter per seconde. Een tweede uitgangspunt is dat elke lavabom een
parabolische baan beschrijft. De hoogte van de vulkaan ten opzichte van
de grond is 2000 meter.

In figuur 1 zie je de banen van een aantal lavabommen die in het vlak door
de x-as en de y-as bewegen.

figuur 1

[FIGUUR: Een grafiek met meerdere paraboolvormige banen van lavabommen die vanuit een punt omhoog schieten en weer naar beneden vallen. De y-as is gelabeld met 'y' en de x-as met 'x'. Er staat een punt op de y-as met de waarde '2000' en een punt op de x-as met 'O'.]

De bewegingsvergelijkingen van een lavabom hangen af van de richting
waarin de lavabom tijdens de uitbarsting wordt weggeslingerd. In het
model worden de volgende bewegingsvergelijkingen als uitgangspunt
genomen:

$$
\begin{cases}
x(t) = 210 \cos(\alpha) \cdot t \\
y(t) = 2000 + 210 \sin(\alpha) \cdot t - 4,9 t^2
\end{cases}
$$ (1)

Hierbij is $\alpha$ de hoek die de baan van de lavabom op het moment van
wegslingeren maakt met een horizontale lijn, waarbij $0 < \alpha < \pi$.
Verder is $t$ de tijd in seconden (waarbij $t=0$ het moment van wegslingeren
is) en zijn $x(t)$ en $y(t)$ in meters.

VW-1025-a-o

8 / 11

lees verder ► ► ►


### Pagina 9

Uitgaande van stelsel 1 kan de y-coördinaat van de baan worden
uitgedrukt in x en $\alpha$. Er geldt (voor $\alpha \neq \frac{1}{2}\pi$):
$y = 2000 + \tan(\alpha) \cdot x - \frac{1}{9000 \cos^2(\alpha)} \cdot x^2$ (2)
3p 12 Bewijs dit.
Een lavabom wordt onder een hoek $\alpha = 1$ (radiaal) weggeslingerd. Deze
lavabom komt op een bepaalde afstand van de vulkaan op de grond.
Voor dit punt geldt $y = 0$.
3p 13 Bereken deze afstand. Geef je eindantwoord in honderden meters
nauwkeurig.
Formule 2 kan worden herleid tot:
$y = - \frac{1 + \tan^2(\alpha)}{9000} \cdot x^2 + \tan(\alpha) \cdot x + 2000$ (3)
In figuur 2 is bij de parabolische banen van een aantal lavabommen een
gestippelde kromme getekend. Deze kromme stelt de uiterste grens voor
van het gebied dat door deze lavabommen kan worden bereikt.
figuur 2
[FIGUUR: Parabolische banen, met een stippellijn als omhullende.]
De formule van de gestippelde kromme is:
$y = - \frac{1}{9000} \cdot x^2 + 4250$ (4)
4p 14 Alle banen van de lavabommen hebben precies één punt gemeen-
schappelijk met de gestippelde kromme en raken dus aan deze kromme.
Bewijs dat alle banen van de lavabommen raken aan de gestippelde
kromme.
VW-1025-a-o
9/11
lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Scheve asymptoot

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = x + \frac{2}{x}$.
De grafiek van $f$ heeft een verticale asymptoot met vergelijking $x=0$ en een scheve asymptoot.
In onderstaande figuur is voor $x>0$ de grafiek van $f$ weergegeven. De scheve asymptoot is gestippeld weergegeven.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is verticaal en de x-as is horizontaal. Een kromme lijn met de vorm van een parabool opent naar boven, deze lijn is gelabeld met $f$. Een verticale lijn door de oorsprong is de y-as. Een horizontale lijn door de oorsprong is de x-as. Een gestippelde rechte lijn, die de asymptoot voorstelt, snijdt de y-as op de oorsprong en loopt omhoog naar rechts. Een punt $Q$ ligt op de y-as. Een punt $P$ ligt op de kromme lijn $f$. Een punt $R$ ligt op de gestippelde lijn.]

Op de grafiek van $f$ ligt een willekeurig punt $P(p, p+\frac{2}{p})$.
De raaklijn aan de grafiek van $f$ in $P$ snijdt de verticale asymptoot in punt $Q$ en de scheve asymptoot in punt $R$. Zie de figuur.

8p 15 Bewijs dat $P$ het midden is van lijnstuk $QR$.

### Pagina 11

Vlieger
Gegeven zijn voor $a > 0$ de punten $A(0,a)$,
$B(1,0)$, $C(0,-1)$ en $D(-1,0)$.
Vierhoek $ABCD$ is een vlieger.
In figuur 1 is de vlieger getekend voor $a = 2$.
[FIGUUR: Vlieger met punten A op de y-as, B op de x-as, C op de negatieve y-as en D op de negatieve x-as. De coördinaten zijn A(0,a), B(1,0), C(0,-1), D(-1,0). De vlieger is getekend in een assenstelsel met y-as omhoog en x-as naar rechts. De oorsprong is O.]

De middelloodlijn van een lijnstuk gaat door het midden
van dat lijnstuk en staat loodrecht op dat lijnstuk.

Voor $a = 2$ gaat de middelloodlijn van lijnstuk $AB$ niet
door $D$.

5p 16 Bereken exact voor welke waarde van $a$ de
middelloodlijn van lijnstuk $AB$ wél door $D$ gaat.

In de hoekpunten van de
vlieger bevinden zich
puntmassa's:
– in punt $A$ met gewicht 2;
– in zowel $B$ als $D$ met gewicht 1;
– in punt $C$ met gewicht $a$.

[FIGUUR: Vlieger met puntmassa's in de hoekpunten. Zwaartepunt Z is aangegeven. De coördinaten zijn A(0,a), B(1,0), C(0,-1), D(-1,0). Het zwaartepunt Z is binnen de vlieger. De vlieger is getekend in een assenstelsel.]

In figuur 2 zijn de vlieger, de
puntmassa's en het zwaartepunt $Z$
van de puntmassa's getekend voor
het geval $a = 1$.
[FIGUUR: Vlieger met puntmassa's en zwaartepunt voor a=1. De coördinaten zijn A(0,1), B(1,0), C(0,-1), D(-1,0). Het zwaartepunt Z is binnen de vlieger. De vlieger is getekend in een assenstelsel.]

In figuur 3 zijn de vlieger, de puntmassa's en het zwaartepunt $Z$ getekend
voor het geval $a = 2$.
[FIGUUR: Vlieger met puntmassa's en zwaartepunt voor a=2. De coördinaten zijn A(0,2), B(1,0), C(0,-1), D(-1,0). Het zwaartepunt Z is binnen de vlieger. De vlieger is getekend in een assenstelsel.]

Wanneer $a$ groter wordt, verschuift het punt $A(0,a)$ over de $y$-as omhoog
en neemt het gewicht in $C$ toe. Ook het zwaartepunt $Z$ van de vier
puntmassa's verandert dan van plaats. Wanneer $a$ onbegrensd toeneemt,
nadert het zwaartepunt $Z$ tot een vast punt $P$.

4p 17 Bewijs dat de $y$-coördinaat van dat punt $P$ gelijk is aan 1.

VW-1025-a-o 11 / 11 einde