# Eindexamen Wiskunde B VWO 2021 tijdvak 3

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3

## Vraag 1 – Lengte zijde berekenen met cosinusregel (4 punten)

Gegeven is driehoek ABC met AB = 4 en BC = 12.
Punt M is het midden van lijnstuk BC. Verder geldt: AM = 5.
Bereken algebraïsch de lengte van AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Een meetkundige vraag waarbij je de lengte van een zijde in een driehoek moet berekenen. Je krijgt zijdelengtes en een middelpunt van een zijde, en moet de cosinusregel toepassen in meerdere stappen om tot het antwoord te komen.

Wat moet je kennen: Cosinusregel: c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)
Definitie van een middelpunt van een lijnstuk
Relatie tussen cosinussen van supplementaire hoeken: cos(180° - α) = -cos(α)

Wat moet je kunnen: De cosinusregel correct toepassen in een driehoek om een onbekende hoek of zijde te vinden.
Algebraïsch een vergelijking oplossen om de cosinus van een hoek te bepalen.
De berekende cosinuswaarde gebruiken in een volgende toepassing van de cosinusregel.
Je eindantwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let op dat je de cosinusregel in de juiste driehoek toepast en de juiste zijden en hoeken gebruikt.
Vergeet niet dat je de exacte waarde van de cosinus kunt gebruiken in vervolgstappen om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je de juiste hoek gebruikt (bijvoorbeeld ∠ABM is gelijk aan ∠ABC).
Rond pas af bij het eindantwoord op het gevraagde aantal decimalen.

Kernbegrippen: cosinusregel, goniometrie in driehoeken, algebraïsch oplossen, middelpunt

Veelgemaakte fouten:
- Cosinusregel op de verkeerde driehoek toepassen (bijv. direct op ABC zonder de hoek te kennen).
- Vergeten dat voor supplementaire hoeken geldt cos(180° - α) = -cos(α) in de alternatieve uitwerking.
- Reken- of afrondingsfouten bij het oplossen van de vergelijkingen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/1

## Vraag 2 – Bewijs afgeleide met goniometrie (6 punten)

Bewijs dat inderdaad geldt: f'(x) = 6 cos³(x) - 5 cos(x).

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de afgeleide van een functie moet bepalen en deze moet herleiden tot een gegeven goniometrische uitdrukking. Je krijgt een functie f(x) die een product is van twee goniometrische functies.

Wat moet je kennen: Productregel: (f*g)' = f'*g + f*g'
Kettingregel: f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)
Afgeleide van cos(x) is -sin(x)
Afgeleide van sin(x) is cos(x)
Goniometrische identiteiten: cos(2x) = 2cos²(x) - 1 en sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Goniometrische identiteit: sin²(x) + cos²(x) = 1

Wat moet je kunnen: De productregel correct toepassen op de gegeven functie f(x).
De kettingregel toepassen bij het differentiëren van cos(2x).
De afgeleide uitdrukking stap voor stap herleiden met behulp van goniometrische identiteiten.
Algebraïsch herleiden van termen met cos(x) en sin(x) naar een uitdrukking met alleen cos(x).

Waar op letten: Vergeet de mintekens niet bij het differentiëren van cosinusfuncties.
Pas de kettingregel correct toe bij cos(2x); de factor 2 is cruciaal.
Kies de juiste goniometrische identiteiten om de uitdrukking te vereenvoudigen en te herleiden naar de gevraagde vorm.
Let op tekenfouten bij het uitwerken van haakjes en het combineren van termen.

Kernbegrippen: differentiëren, productregel, ketenregel, goniometrische identiteiten

Veelgemaakte fouten:
- productregel vergeten of incorrect toepassen
- fout in de ketenregel bij de afgeleide van cos(2x)
- incorrect toepassen van goniometrische identiteiten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/2

## Vraag 3 – Aantal waarden p voor loodrechte raaklijnen (6 punten)

In de figuur is een waarde van p gekozen waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden. Er zijn meerdere waarden van p waarvoor dit het geval is.
Bereken exact het aantal waarden van p waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het bepalen van het aantal waarden van p waarvoor twee raaklijnen, getekend in punten met x-coördinaat p op twee verschillende functies, elkaar loodrecht snijden. Je moet afgeleiden berekenen, een goniometrische vergelijking opstellen en oplossen, en het aantal oplossingen exact bepalen.

Wat moet je kennen: Afgeleide van cos(x) is -sin(x).
Afgeleide van sin(x) is cos(x).
Kettingregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).
Productregel: (u*v)' = u'*v + u*v'.
Voor loodrechte lijnen geldt dat het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan -1 (m1 * m2 = -1).

Wat moet je kunnen: De afgeleiden van de gegeven functies f(x) en g(x) correct berekenen.
De richtingscoëfficiënten van de raaklijnen uitdrukken in p door p in de afgeleiden te substitueren.
De voorwaarde voor loodrechte lijnen (m1 * m2 = -1) toepassen om een vergelijking in p op te stellen.
De resulterende goniometrische vergelijking oplossen, eventueel met behulp van substitutie (bijvoorbeeld q = cos²(p)).
Het aantal oplossingen voor p binnen het relevante domein correct tellen, rekening houdend met de aard van goniometrische functies.

Waar op letten: Controleer of je de afgeleiden van beide functies correct hebt berekend, inclusief ketting- en productregel.
Let goed op de substitutie: q = cos²(p) is cruciaal, niet q = cos(p).
Vergeet niet dat elke positieve waarde voor cos²(p) twee waarden voor cos(p) oplevert (positief en negatief).
Tel het aantal oplossingen voor p zorgvuldig, elke cos(p) = c heeft twee oplossingen op [0, 2pi) tenzij c=1 of c=-1.

Kernbegrippen: afgeleide van goniometrische functies, raaklijnen, loodrechte stand van lijnen, oplossen van goniometrische vergelijkingen, substitutiemethode

Veelgemaakte fouten:
- De afgeleide van g(x) vergeten te berekenen en te gebruiken.
- Fout bij het oplossen van de vierdegraadsvergelijking, bijvoorbeeld door de substitutie q = cos(p) te gebruiken in plaats van q = cos²(p).
- Vergeten dat cos²(p) = q twee oplossingen voor cos(p) geeft (positief en negatief), waardoor het aantal oplossingen wordt gehalveerd.
- Onjuist bepalen van het aantal oplossingen op het gegeven domein.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/3

## Vraag 4 – Goniometrisch bewijs met somformules (3 punten)

Bewijs dat 1/2(sin(3x) - sin(x)) = sin(x)cos(2x).

Wat kun je verwachten: Je moet een goniometrische identiteit bewijzen. Dit doe je door één kant van de vergelijking (meestal de meest complexe kant) te bewerken met goniometrische formules totdat deze gelijk is aan de andere kant. De vraag geeft de te bewijzen gelijkheid: 1/2(sin(3x) - sin(x)) = sin(x)cos(2x).

Wat moet je kennen: Somformules voor sinus:
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
Dubbele hoek formules (indien nodig): cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

Wat moet je kunnen: Kies de meest complexe kant van de vergelijking om te bewerken.
Herken patronen zoals (A+B) en (A-B) om som- en verschilformules toe te passen.
Werk de uitdrukking algebraïsch uit en vereenvoudig deze stap voor stap.
Zorg ervoor dat je alle termen correct combineert en vereenvoudigt totdat je de andere kant van de vergelijking bereikt.

Waar op letten: Let goed op tekenfouten, vooral bij het uitwerken van haakjes na het toepassen van de somformules.
Kies slim welke kant je bewerkt en welke formules je toepast om efficiënt tot het bewijs te komen.
Zorg dat je alle stappen van je bewijs duidelijk en logisch opschrijft.

Kernbegrippen: goniometrische identiteiten, som- en verschilformules, algebraïsch bewijzen

Veelgemaakte fouten:
- fouten in de som- en verschilformules
- tekenfouten bij het uitwerken van haakjes
- verkeerde keuze voor t en u

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/4

## Vraag 5 – Oppervlakte tussen goniometrische functies (4 punten)

Bereken exact de oppervlakte van V.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om de exacte oppervlakte te berekenen tussen twee goniometrische functies, f(x) en g(x), die gegeven zijn in een figuur. Je moet hiervoor integreren over een bepaald interval.

Wat moet je kennen: Oppervlakte tussen twee functies: Oppervlakte = ∫(a)^(b) (bovenfunctie - onderfunctie) dx
Primitieven van goniometrische functies: ∫sin(ax) dx = (-1/a)*cos(ax) + C
Primitieven van goniometrische functies: ∫cos(ax) dx = (1/a)*sin(ax) + C
Exacte waarden van cosinus voor veelvoorkomende hoeken (bv. cos(pi), cos(pi/2), cos(0))

Wat moet je kunnen: De boven- en onderfunctie correct identificeren uit de grafiek.
De snijpunten van de functies bepalen om de integratiegrenzen te vinden, of deze aflezen als ze gegeven zijn.
De verschilfunctie (bovenfunctie - onderfunctie) opstellen en vereenvoudigen.
De verschilfunctie primitiveren, inclusief het correct toepassen van de ketenregel bij goniometrische functies.
De grenzen van het integratie-interval invullen in de primitieve en de exacte waarde berekenen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de functies: bovenfunctie min onderfunctie. Een verkeerde volgorde geeft een negatieve oppervlakte.
Wees nauwkeurig bij het primitiveren van functies zoals sin(3x); vergeet de factor (1/3) niet door de ketenregel.
Voer de berekeningen met de exacte waarden van goniometrische functies uit en geef het antwoord exact, niet afgerond.

Kernbegrippen: oppervlakte tussen krommen, integreren, primitiveren van goniometrische functies, ketenregel bij primitiveren

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het primitiveren van sin(3x) door de ketenregel te vergeten (factor 1/3).
- De boven- en onderfunctie verwisselen, wat leidt tot een negatieve oppervlakte.
- Teken- of rekenfouten bij het invullen van de grenzen, met name met cos(-½π) en cos(-³/₂π).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/5

## Vraag 6 – Herhalingstijd berekenen met logaritmisch model (5 punten)

Voor de Rijn geldt: a = 5734 en b = 1648. De capaciteit is 12 000 m³/s. Bereken algebraïsch de herhalingstijd in jaren. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Dit is een vraag over het toepassen van een wiskundig model met logaritmen. Je krijgt een formule en waarden voor de parameters en de capaciteit, en je moet algebraïsch de herhalingstijd berekenen door een logaritmische vergelijking op te lossen.

Wat moet je kennen: Definitie van de natuurlijke logaritme: ln(x) = y <=> x = e^y
Eigenschappen van logaritmen en exponenten
Algebraïsche regels voor het oplossen van vergelijkingen

Wat moet je kunnen: Gegeven waarden correct invullen in de formule.
Een vergelijking met dubbele logaritmen stap voor stap oplossen door van buiten naar binnen te werken.
De exponentiële functie (e-macht) toepassen om logaritmen op te heffen.
Een breukvergelijking van de vorm T/(T-1) = k oplossen naar T.
Het eindantwoord afronden naar een geheel getal zoals gevraagd.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen bij het oplossen van de dubbele logaritme.
Voer de algebraïsche stappen zorgvuldig uit, vooral bij het isoleren van T uit de breuk.
Controleer je rekenmachine-invoer, met name bij negatieve getallen in de exponent van e.
Vergeet niet het eindantwoord als geheel getal te geven, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijkingen oplossen, natuurlijke logaritme (ln), exponentiële functie (e-macht), algebraïsche vaardigheden, toepassen van een wiskundig model

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde volgorde bij het oplossen van de dubbele logaritme (niet van buiten naar binnen werken).
- Algebraïsche fout bij het isoleren van T uit de vergelijking T/(T-1) = k.
- Reken- of intoetsfouten met de rekenmachine, met name met de negatieve exponent.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/6

## Vraag 7 – Afgeleide van logaritmische functie bewijzen (5 punten)

Uit formule 1 is af te leiden dat voor de afgeleide van C geldt:
(dC)/(dT) = (b)/(T · (T-1) · \ln\left((T)/(T-1)\right)) met T > 1 (formule 2)
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet een gegeven afgeleide bewijzen door de oorspronkelijke functie te differentiëren. Dit omvat het toepassen van differentieerregels voor logaritmische functies en mogelijk de quotiëntregel, gecombineerd met de kettingregel.

Wat moet je kennen: Afgeleide van ln(x): (ln(x))' = 1/x
Kettingregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'*g - f*g') / g^2
Logaritmische rekenregel: ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Wat moet je kunnen: De kettingregel correct toepassen bij samengestelde functies.
De quotiëntregel correct toepassen bij breuken.
Algebraïsche breuken herleiden tot de gewenste vorm.
Logaritmische rekenregels toepassen om de functie te vereenvoudigen vóór het differentiëren, indien nuttig.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de kettingregel, vooral als deze meerdere keren nodig is.
Controleer zorgvuldig de mintekens bij het toepassen van de quotiëntregel.
Zorg dat je de logaritmische rekenregels correct toepast om de uitdrukking te vereenvoudigen of te herleiden.

Kernbegrippen: differentiëren, ketenregel, quotiëntregel, logaritmische functies

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de ketenregel tweemaal toe te passen
- Fout in de quotiëntregel (bijvoorbeeld een minteken vergeten)
- Logaritmische rekenregels verkeerd toepassen in de alternatieve uitwerking

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/7

## Vraag 8 – Bewijs stijgende grafiek met afgeleide (5 punten)

Voor elke rivier geldt natuurlijk: hoe groter de herhalingstijd, des te groter is de capaciteit. De grafiek van C zou dus voor elke waarde van a en b (met a > 0 en b > 0) stijgend moeten zijn.
Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van C inderdaad stijgend is voor elke waarde van a en b (met a > 0 en b > 0).

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je moet aantonen dat een functie stijgend is. Je krijgt een formule voor de afgeleide van de functie en moet met behulp van gegeven voorwaarden (a > 0, b > 0, T > 1) redeneren over het teken van de afgeleide.

Wat moet je kennen: Een functie is stijgend als de afgeleide groter is dan 0 (f'(x) > 0).
Eigenschappen van logaritmen: ln(x) > 0 als x > 1.
Eigenschappen van logaritmen: ln(A/B) = ln(A) - ln(B).

Wat moet je kunnen: Het teken van de afgeleide bepalen door elk afzonderlijk deel van de afgeleide te analyseren.
Redeneren met ongelijkheden en de gegeven voorwaarden (a > 0, b > 0, T > 1).
Logaritmische eigenschappen toepassen om een uitdrukking te vereenvoudigen of het teken ervan te bepalen.

Waar op letten: Gebruik de voorwaarde T > 1 actief in je redenering.
Let goed op het teken van alle factoren in de afgeleide.
Vergeet niet te concluderen dat de afgeleide inderdaad positief is en dus de grafiek stijgend.

Kernbegrippen: afgeleide functie, monotonie van functies, eigenschappen van de natuurlijke logaritme, bewijsvoering

Veelgemaakte fouten:
- Niet correct redeneren over het teken van de term ln(T/(T-1))
- De voorwaarde T > 1 niet gebruiken in de analyse
- Vergeten dat de functie ln(x) alleen positief is voor x > 1

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/8

## Vraag 9 – Capaciteit Maas bij herhalingstijd (4 punten)

Voor de Maas geldt:
- Bij een capaciteit van 1700 m³/s is de herhalingstijd gelijk aan 4 jaar.
- Bij een capaciteit van 2100 m³/s is de herhalingstijd gelijk aan 10 jaar.
Voor toekomstig beleid wil het ministerie van Infrastructuur en Waterstaat voor de Maas weten welke capaciteit hoort bij een herhalingstijd van 100 jaar.

Bereken deze waarde van C in m³/s met behulp van formule 1. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met twee onbekende parameters (a en b) en twee datapunten. Je moet een stelsel van vergelijkingen opstellen en oplossen om de parameters te vinden. Vervolgens gebruik je de gevonden parameters om een nieuwe waarde te berekenen.

Wat moet je kennen: Formule 1: C = a - b * ln(ln(T/(T-1))) met T > 1
Eigenschappen van logaritmen voor het oplossen van vergelijkingen
Methoden voor het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen (substitutie of eliminatie)

Wat moet je kunnen: Gegeven waarden correct invullen in de formule om een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden (a en b) op te stellen.
Het opgestelde stelsel van vergelijkingen algebraïsch oplossen om de waarden van a en b te bepalen.
De berekende waarden van a en b, samen met de nieuwe T-waarde, invullen in de formule om de gevraagde C-waarde te berekenen.
Het eindantwoord afronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Waar op letten: Wees nauwkeurig bij het invullen van de waarden in de dubbele logaritme, vooral met de breuk T/(T-1).
Voorkom rekenfouten bij het oplossen van het stelsel, vooral met de logaritmische termen.
Vergeet niet het eindantwoord af te ronden op een geheel getal, zoals de vraag expliciet vraagt.

Kernbegrippen: stelsel van vergelijkingen oplossen, logaritmische functies, parametrisch model, substitutie

Veelgemaakte fouten:
- fouten bij het opstellen van het stelsel vergelijkingen
- rekenfouten met de rekenmachine bij dubbele logaritmen
- vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/9

## Vraag 10 – Afstand punt tot cirkel op y-as (7 punten)

P wordt zo op de y-as gekozen dat de afstand van P tot c₁ twee keer zo groot is als de afstand van P tot c₂.
Bereken de y-coördinaat van P voor deze situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Een vraag over de afstand van een punt op de y-as tot twee cirkels. Je moet de vergelijking van een cirkel herleiden, afstanden berekenen en een wortelvergelijking oplossen om een coördinaat te vinden.

Wat moet je kennen: Cirkelvergelijking: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, met middelpunt (a,b) en straal r.
Afstand tussen twee punten (x₁, y₁) en (x₂, y₂): sqrt((x₂-x₁)^2 + (y₂-y₁)^2).
Afstand van een punt P tot een cirkel c: afstand(P, middelpunt c) - straal c.

Wat moet je kunnen: Cirkelvergelijkingen herleiden met kwadraat afsplitsen om middelpunt en straal te bepalen.
De afstand van een punt op de y-as (0, y_P) tot de middelpunten van de cirkels uitdrukken in y_P.
Een vergelijking opstellen op basis van de gegeven afstandsrelatie.
Wortelvergelijkingen algebraïsch oplossen door te kwadrateren.
Het eindantwoord correct afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Vergeet niet de straal van de cirkel af te trekken van de afstand tot het middelpunt om de afstand tot de cirkel te krijgen.
Wees zorgvuldig met algebraïsche stappen, vooral bij het kwadrateren van uitdrukkingen met wortels.
Controleer of je antwoord voldoet aan de voorwaarden (bijvoorbeeld y >= 0 voor halve cirkels).
Rond pas aan het einde af op het gevraagde aantal decimalen.

Kernbegrippen: cirkelvergelijking, kwadraat afsplitsen, afstand tussen twee punten, afstand van een punt tot een cirkel, wortelvergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- De afstand van een punt tot een cirkel verwarren met de afstand tot het middelpunt (vergeten de straal af te trekken).
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de wortelvergelijking, met name bij het kwadrateren.
- Onnauwkeurig afronden of het antwoord niet in de gevraagde twee decimalen geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/10

## Vraag 11 – Gelijke snelheid bij bewegingsvergelijkingen (5 punten)

Voor t ≥ 0 beweegt het punt P₁ volgens de bewegingsvergelijkingen:
{ x(t) = t² + 2t
{ y(t) = 4t

Tegelijkertijd beweegt het punt P₂ volgens de bewegingsvergelijkingen:
{ x(t) = 4t
{ y(t) = 2t²

In figuur 1 zijn beide banen getekend met daarop de punten P₁ en P₂ op een tijdstip t.

Voor de snelheid v₂ van P₂ geldt: v₂(t) = 4√t² + 1.
Er is één tijdstip t waarop de punten P₁ en P₂ gelijke snelheid hebben.

11 Bereken exact dit tijdstip.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over parametrische krommen en bewegingsvergelijkingen. Je krijgt de bewegingsvergelijkingen van twee punten P₁ en P₂ en de formule voor de snelheid van P₂. Je moet het tijdstip berekenen waarop beide punten dezelfde snelheid hebben.

Wat moet je kennen: Snelheidsvector v(t) = (x'(t), y'(t))
Baansnelheid v(t) = sqrt((x'(t))^2 + (y'(t))^2)
Afgeleide van t^n is n*t^(n-1)
De abc-formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen: x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Wat moet je kunnen: Differentiëren van de x(t) en y(t) componenten om de snelheidsvector te vinden.
De formule voor de baansnelheid correct toepassen.
Een wortelvergelijking algebraïsch oplossen door kwadrateren.
Een kwadratische vergelijking herleiden tot de vorm at^2 + bt + c = 0 en oplossen.
Controleren of de gevonden oplossingen voldoen aan het gegeven domein (t >= 0).

Waar op letten: Let op algebraïsche fouten bij het kwadrateren van tweetermen en het herleiden van de vergelijking.
Vergeet niet de negatieve oplossing voor t te verwerpen, aangezien t >= 0.
Zorg dat je de baansnelheid exact berekent en niet afrondt tussendoor.

Kernbegrippen: parametrische kromme, bewegingsvergelijkingen, snelheidsvector, baansnelheid, wortelvergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de ketenregel toe te passen bij het differentiëren van de positievectoren (hier niet van toepassing, maar algemeen risico).
- Fout bij het opstellen van de baansnelheid, bijvoorbeeld de wortel of de kwadraten vergeten.
- Algebraïsche fouten bij het uitwerken van de haakjes en het herleiden van de vergelijking.
- De negatieve oplossing voor t niet verwerpen, terwijl het domein t ≥ 0 is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/11

## Vraag 12 – Bewijs richtingscoëfficiënt lijn l (3 punten)

De richtingscoëfficiënt van l is gelijk aan -2 voor elke waarde van t (met t ≠ 0 en t ≠ 2).
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de richtingscoëfficiënt van een lijn moet bepalen die door twee punten gaat, waarvan de coördinaten afhankelijk zijn van een parameter t. Je moet algebraïsch aantonen dat deze richtingscoëfficiënt een constante waarde heeft.

Wat moet je kennen: Definitie richtingscoëfficiënt (rc) van een lijn door twee punten (x₁, y₁) en (x₂, y₂): rc = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
Definitie richtingsvector van een lijn door twee punten (x₁, y₁) en (x₂, y₂): (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Wat moet je kunnen: De coördinaten van de twee punten P₁ en P₂ correct invullen in de formule voor de richtingscoëfficiënt.
De resulterende breuk algebraïsch vereenvoudigen door factoren buiten haakjes te halen in teller en noemer.
Alternatief: Een richtingsvector opstellen en deze vereenvoudigen om de richtingscoëfficiënt af te leiden.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de coördinaten bij het opstellen van de breuk (Δy / Δx).
Wees nauwkeurig met mintekens bij het vereenvoudigen van de noemer.
Controleer of je de voorwaarden voor t (t ≠ 0 en t ≠ 2) correct meeneemt in je redenering, aangezien de noemer dan nul zou worden.

Kernbegrippen: richtingscoëfficiënt, parameterkromme, algebraïsch vereenvoudigen, vectorvoorstelling van een lijn

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het opstellen van de breuk voor de richtingscoëfficiënt (Δy/Δx verwisselen).
- Algebraïsche fout bij het vereenvoudigen van de noemer 4t-(t²+2t).
- Vergeten de voorwaarden t ≠ 0 en t ≠ 2 te noemen, waardoor de noemer nul zou kunnen worden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/12

## Vraag 13 – x-coördinaat van P₃ exact berekenen (4 punten)

Bereken exact op welk tijdstip de x-coördinaat van P₃ gelijk is aan 3.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over analytische meetkunde waarbij je de vergelijking van een lijn moet opstellen die door twee punten met parametervergelijkingen gaat. Vervolgens moet je het snijpunt van deze lijn met de x-as bepalen en een kwadratische vergelijking exact oplossen om een tijdstip te vinden.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een lijn: y = ax + b
Helling van een lijn door twee punten (x₁, y₁) en (x₂, y₂): a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
Oplossen van een kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 met de abc-formule: x = (-b ± sqrt(b² - 4ac)) / (2a)
Een punt op de x-as heeft y-coördinaat 0.

Wat moet je kunnen: De helling van de lijn l uitdrukken in de parameter t.
De vergelijking van lijn l opstellen met behulp van één van de punten P₁ of P₂ en de berekende helling.
De x-coördinaat van P₃ bepalen door y = 0 te stellen in de vergelijking van lijn l.
De resulterende kwadratische vergelijking exact oplossen met de abc-formule.
De gevonden oplossingen controleren op geldigheid in de context van de vraag (bijvoorbeeld tijd t > 0).

Waar op letten: Let goed op het exact oplossen van de kwadratische vergelijking; vereenvoudig wortels waar mogelijk. Controleer of de gevonden tijdstippen logisch zijn in de context van de opgave (tijd is vaak positief). Voorkom rekenfouten bij het substitueren van de coördinaten en het oplossen van de vergelijking.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, vergelijking van een lijn, kwadratische vergelijkingen oplossen, parametervergelijkingen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfout bij het oplossen van de kwadratische vergelijking.
- Verkeerd substitueren van de coördinaten van de punten.
- Vergeten de negatieve oplossing voor tijd (t) te verwerpen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/13

## Vraag 14 – Bewijs inverse functie (3 punten)

Bewijs dat inderdaad geldt: f⁻¹(x) = -2 + ³√x−1.

Wat kun je verwachten: Je moet algebraïsch bewijzen dat een gegeven functie de inverse is van een andere functie. Dit kan op verschillende manieren, bijvoorbeeld door x en y te verwisselen en de functie te herleiden, of door de compositie van de functies te bepalen.

Wat moet je kennen: Definitie van een inverse functie: als y = f(x), dan is x = f⁻¹(y) of f(f⁻¹(x)) = x.
Regel voor het uitwerken van een derdemacht: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Wat moet je kunnen: De stappen voor het bepalen van een inverse functie correct uitvoeren (verwisselen van x en y, dan oplossen naar y).
Algebraïsch herleiden van uitdrukkingen met machten en wortels.
De compositie van twee functies f(g(x)) correct opstellen en herleiden tot x.

Waar op letten: Let goed op de algebraïsche herleidingen, vooral bij het uitwerken van (a+b)³.
Zorg dat je x en y op het juiste moment verwisselt als je die methode gebruikt.
Controleer of je bewijs volledig is en alle stappen duidelijk zijn.

Kernbegrippen: inverse functie, algebraïsch bewijs, derdegraadsfuncties, machtsvergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verwisselen van x en y op het verkeerde moment in de afleiding.
- Algebraïsche fouten bij het uitwerken van machten, zoals (a+b)³.
- De compositieregel f(f⁻¹(x))=x niet correct of volledig toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/14

## Vraag 15 – Inhoud omwentelingslichaam om y-as (3 punten)

Vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam.
Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Dit is een vraag over het berekenen van de inhoud van een omwentelingslichaam. Het vlakdeel wordt om de y-as gewenteld, wat betekent dat je moet integreren naar y. Je krijgt een functie y = f(x) en moet deze mogelijk omzetten naar x = g(y).

Wat moet je kennen: Formule voor inhoud omwentelingslichaam om de y-as: Inhoud = pi * integraal van a tot b van (x(y))^2 dy
De inverse functie van y = x^3 is x = ³√y.

Wat moet je kunnen: 1. Bepaal de integratiegrenzen langs de y-as.
2. Herschrijf de functie y = f(x) naar de vorm x = g(y).
3. Vul de functie x = g(y) en de grenzen in de formule voor de inhoud van een omwentelingslichaam om de y-as.
4. Bereken de integraal en geef het eindantwoord in één decimaal.

Waar op letten: Let goed op dat je de functie omzet naar x(y) en niet per ongeluk de oorspronkelijke functie f(x) gebruikt. Zorg ervoor dat je de juiste integratiegrenzen (y-waarden) gebruikt. Vergeet niet de functie x(y) te kwadrateren in de integraal. Rond af op het gevraagde aantal decimalen.

Kernbegrippen: inhoud omwentelingslichaam, rotatie om de y-as, integreren, inverse functie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde integratiegrenzen gebruiken, bijvoorbeeld de x-grenzen in plaats van de y-grenzen.
- De formule voor rotatie om de x-as gebruiken in plaats van de y-as.
- Vergeten de functie x(y) te kwadrateren in de integraal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/15

## Vraag 16 – Raaklijnen, inverse functie en snijpunt y-as (6 punten)

Op de grafiek van f ligt een punt P waarin de raaklijn aan de grafiek van f horizontaal is.
Op de grafiek van f⁻¹ ligt een punt Q waarin de raaklijn aan de grafiek van f⁻¹ verticaal is.
De lijn door P en Q snijdt de y-as in punt S.
Bereken exact de y-coördinaat van S.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert differentiëren met eigenschappen van inverse functies en analytische meetkunde. Je moet de coördinaten van punten P en Q bepalen, waarbij P een horizontale raaklijn heeft op de grafiek van f en Q een verticale raaklijn op de grafiek van f⁻¹. Vervolgens bereken je de y-coördinaat van het snijpunt S van de lijn door P en Q met de y-as.

Wat moet je kennen: Definitie horizontale raaklijn: f'(x) = 0.
Relatie tussen f(x) en f⁻¹(x): als (a,b) op f ligt, dan ligt (b,a) op f⁻¹.
Definitie verticale raaklijn: de afgeleide van de inverse functie is ongedefinieerd (noemer is 0).
Vergelijking van een lijn: y = ax + b, waarbij a de richtingscoëfficiënt is en b de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as.

Wat moet je kunnen: De afgeleide f'(x) bepalen van een gegeven functie f(x).
De x-coördinaat van een punt met horizontale raaklijn vinden door f'(x) = 0 op te lossen.
De coördinaten van een punt op de inverse functie bepalen door de coördinaten van het corresponderende punt op de oorspronkelijke functie om te wisselen.
De richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten (x1, y1) en (x2, y2) berekenen met de formule a = (y2 - y1) / (x2 - x1).
De vergelijking van een lijn opstellen en het snijpunt met de y-as bepalen (x=0 invullen).

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een horizontale raaklijn (f'(x)=0) en een verticale raaklijn (f⁻¹'(x) is ongedefinieerd of f'(y)=0 als je de afgeleide van f in termen van y gebruikt).
Vergeet niet dat de coördinaten van P en Q gespiegeld zijn in de lijn y=x.
Voer de berekeningen exact uit, tenzij anders vermeld.

Kernbegrippen: differentiëren, afgeleide functie, inverse functies, raaklijn, analytische meetkunde

Veelgemaakte fouten:
- De relatie tussen de coördinaten van P en Q verkeerd toepassen (niet spiegelen in y=x).
- Reken- of tekenfout bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt.
- Verwarring tussen de voorwaarde voor een horizontale raaklijn (f'(x)=0) en een verticale raaklijn (afgeleide ongedefinieerd).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3/vraag/16

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2021
tijdvak 3
woensdag 7 juli
9.00 - 12.00 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 16 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 73 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-21-3-o

### Pagina 2

Formules
Goniometrie
$sin(t+u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)$
$sin(t-u) = sin(t)cos(u) - cos(t)sin(u)$
$cos(t+u) = cos(t)cos(u) - sin(t)sin(u)$
$cos(t-u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)$
$sin(2t) = 2sin(t)cos(t)$
$cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t) = 2cos^2(t) - 1 = 1 - 2sin^2(t)$
VW-1025-a-o 2 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Onbekende zijde
Gegeven is driehoek $ABC$ met $AB=4$ en $BC=12$. Punt $M$ is het midden van lijnstuk $BC$. Verder geldt: $AM=5$. Bereken algebraïsch de lengte van $AC$. Geef je eindantwoord in één decimaal.
4p 1
VW-1025-a-o 3 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 4

Spookje

Op het domein $[\frac{1}{2}\pi, 1\frac{1}{2}\pi]$ worden de functies $f$ en $g$ gegeven door:
$f(x) = \sin(x)\cos(2x)$
$g(x) = 2 + \sin(x)$

Er geldt: $f'(x) = 6\cos^3(x) - 5\cos(x)$.

6p 2 Bewijs dat inderdaad geldt: $f'(x) = 6\cos^3(x) - 5\cos(x)$.

In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven. De verticale lijn met vergelijking $x = p$ snijdt de grafiek van $f$ in het punt $A$ en de grafiek van $g$ in het punt $B$. We bekijken de raaklijn aan de grafiek van $f$ in $A$ en de raaklijn aan de grafiek van $g$ in $B$.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. De grafiek van f is een golvende lijn, de grafiek van g is een hogere sinusvormige lijn. Een verticale stippellijn is getekend op x=p. Punt A ligt op de grafiek van f op x=p. Punt B ligt op de grafiek van g op x=p. Een raaklijn aan de grafiek van g is getekend in punt B, en snijdt de x-as. Een raaklijn aan de grafiek van f is getekend in punt A en loopt omhoog.]

figuur

In de figuur is een waarde van $p$ gekozen waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden. Er zijn meerdere waarden van $p$ waarvoor dit het geval is.
6p 3 Bereken het aantal waarden van $p$ waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.

VW-1025-a-o 4 / 10 lees verder 

### Pagina 5

Het functievoorschrift van $f$ kan worden herleid tot:
$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin(x))$
Dit kan bijvoorbeeld worden bewezen door de vorm $\sin(t+u) - \sin(t-u)$ voor een geschikte keuze van $t$ en $u$ te herleiden.

3p 4 Bewijs dat $\frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin(x)) = \sin(x)\cos(2x)$.

De grafieken van $f$ en $g$ hebben twee gemeenschappelijke punten, namelijk $(-\frac{1}{2}\pi, 1)$ en $(1\frac{1}{2}\pi, 1)$.

4p 5 V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van $f$ en $g$. Bereken exact de oppervlakte van $V$.

VW-1025-a-o 5 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Hoogwater

De hoeveelheid water die door een rivier wordt afgevoerd, varieert van
moment tot moment. De hoeveelheid water die de rivier maximaal kan
afvoeren, noemen we de capaciteit van de rivier. Als de capaciteit te laag
is, kan de rivier overstromen. Om te kunnen inschatten hoe vaak een
overstroming plaatsvindt, gebruiken we het volgende model:

$C = a - b \cdot \ln \left( \frac{T}{T-1} \right)$ met $T > 1$ (formule 1)

Hierin is $C$ de capaciteit in m³/s en $T$ de zogeheten herhalingstijd.
De herhalingstijd is de periode in jaren waarin de waarde van $C$
gemiddeld één keer wordt overschreden. Als bijvoorbeeld $T=40$, dan zal
de rivier gemiddeld één keer in de 40 jaar overstromen.
De waarden van $a$ en $b$ worden berekend met behulp van gegevens uit
het verleden. Er geldt altijd: $a > 0$ en $b > 0$.

5p 6 Voor de Rijn geldt: $a=5734$ en $b=1648$. De capaciteit is $12000$ m³/s.
Bereken algebraïsch de herhalingstijd in jaren. Geef je eindantwoord als
geheel getal.

Uit formule 1 is af te leiden dat voor de afgeleide van $C$ geldt:

$$ \frac{dC}{dT} = \frac{b}{T \cdot (T-1)} \quad \text{met } T>1 \quad (\text{formule 2}) $$

5p 7 Bewijs dit.

Voor elke rivier geldt natuurlijk: hoe groter de herhalingstijd, des te groter
is de capaciteit. De grafiek van $C$ zou dus voor elke waarde van $a$ en $b$
(met $a > 0$ en $b > 0$) stijgend moeten zijn.
5p 8 Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van $C$ inderdaad stijgend
is voor elke waarde van $a$ en $b$ (met $a > 0$ en $b > 0$).

Voor de Maas geldt:
– Bij een capaciteit van $1700$ m³/s is de herhalingstijd gelijk aan $4$ jaar.
– Bij een capaciteit van $2100$ m³/s is de herhalingstijd gelijk aan $10$ jaar.

Voor toekomstig beleid wil het ministerie van Infrastructuur en Waterstaat
voor de Maas weten welke capaciteit hoort bij een herhalingstijd van
100 jaar.
4p 9 Bereken deze waarde van $C$ in m³/s met behulp van formule 1. Geef je
eindantwoord als geheel getal.

VW-1025-a-o 6 / 10 lees verder

### Pagina 7

Twee halve cirkels
Gegeven zijn de twee halve cirkels $c_1$ en $c_2$.
Voor $c_1$ geldt: $x^2 + y^2 + 12x = -32$, het middelpunt is $M_1$ en $y \ge 0$.
Voor $c_2$ geldt: het middelpunt is $M_2(5, 0)$, de straal is 5 en $y \ge 0$.
Op de positieve y-as ligt een punt $P$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Twee halve cirkels. De linker halve cirkel $c_1$ ligt met zijn basis op de x-as, met middelpunt $M_1$. De rechter halve cirkel $c_2$ ligt ook met zijn basis op de x-as, met middelpunt $M_2$ op $x=5$. De y-as snijdt de basis van $c_2$ bij de oorsprong. Op de positieve y-as ligt een punt $P$.]

$7p$ 10 Bereken de y-coördinaat van $P$ voor deze situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
VW-1025-a-o 7 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Twee bewegende punten

Voor $t \ge 0$ beweegt het punt $P_1$ volgens de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = t^2 + 2t \\
y(t) = 4t
\end{cases}
$$
Tegelijkertijd beweegt het punt $P_2$ volgens de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = 4t \\
y(t) = 2t^2
\end{cases}
$$
In figuur 1 zijn beide banen getekend met daarop de punten $P_1$ en $P_2$ op een tijdstip $t$.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as naar links en de x-as naar beneden. Twee gekromde lijnen starten vanuit de oorsprong. De ene lijn heeft een vorm die toeneemt en daarna vlakt af. De andere lijn heeft een vorm die eerst langzaam toeneemt en daarna snel. Op de eerste lijn ligt een punt P1. Op de tweede lijn ligt een punt P2.]

Voor de snelheid $v_2$ van $P_2$ geldt: $v_2(t) = 4\sqrt{t^2+1}$.
Er is één tijdstip $t$ waarop de punten $P_1$ en $P_2$ gelijke snelheid hebben.
5p 11 Bereken exact dit tijdstip.

VW-1025-a-o 8 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 9

In figuur 2 zijn nogmaals beide banen getekend.
Op twee tijdstippen, namelijk $t=0$ en $t=2$, vallen $P_1$ en $P_2$ samen. Op
alle andere tijdstippen kun je de lijn $l$ door $P_1$ en $P_2$ tekenen. In figuur 2 is
dit voor twee tijdstippen gedaan.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met een y-as en een x-as. Op de grafiek zijn twee gebogen lijnen getekend, die op de oorsprong beginnen. Er zijn ook twee rechte lijnen getekend. Eén rechte lijn snijdt de y-as. Punten P1, P2 en P3 zijn aangegeven op de gebogen en rechte lijnen.]

De richtingscoëfficiënt van $l$ is gelijk aan $-2$ voor elke waarde van $t$ (met
$t \neq 0$ en $t \neq 2$).

3p 12 Bewijs dit.
Voor elke waarde van $t$ (met $t \neq 0$ en $t \neq 2$) is $P_3$ het snijpunt van $l$ met de
$x$-as. Zie figuur 2, waarin $P_3$ is aangegeven voor twee verschillende
tijdstippen.

4p 13 Bereken exact op welk tijdstip de $x$-coördinaat van $P_3$ gelijk is aan 3.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1025-a-o 9 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 10

Een derde graads functie
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x + 9$.
Deze functie heeft een inverse functie $f^{inv}$. Er geldt: $f^{inv}(x) = -2 + \sqrt[3]{x-1}$.

3p 14 Bewijs dat inderdaad geldt: $f^{inv}(x) = -2 + \sqrt[3]{x-1}$.

$V$ is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$, de $x$-as en
de $y$-as.
Zie de figuur. Deze figuur is niet op schaal.

[FIGUUR: Grafiek van een functie $f$ met de $y$-as en de $x$-as. Een deel van de grafiek ligt boven de $x$-as en is gearceerd als vlakdeel $V$. De $y$-as loopt langs de linkerkant van het gearceerde vlakdeel, en de $x$-as langs de onderkant.]

Vlakdeel $V$ wordt gewenteld om de $y$-as. Zo ontstaat een
omwentelingslichaam.
3p 15 Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam. Geef je eindantwoord in
één decimaal.

Op de grafiek van $f$ ligt een punt $P$ waarin de raaklijn aan de grafiek van $f$
horizontaal is.
Op de grafiek van $f^{inv}$ ligt een punt $Q$ waarin de raaklijn aan de grafiek
van $f^{inv}$ verticaal is.
6p 16 De lijn door $P$ en $Q$ snijdt de $y$-as in punt $S$.
Bereken exact de $y$-coördinaat van $S$.

VW-1025-a-o 10 / 10 einde ■