# Eindexamen Wiskunde B VWO 2021 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2

## Vraag 1 – Helling parametrische kromme bewijzen (3 punten)

De helling in het punt (x(t), y(t)) van K kan worden berekend met: sin(t)/cos(t). Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een parametrische kromme K gegeven door x(t) en y(t). Je moet bewijzen dat de helling van K in een punt (x(t), y(t)) gelijk is aan een gegeven uitdrukking, door de afgeleiden te bepalen en de verhouding te vereenvoudigen.

Wat moet je kennen: Afgeleide van sin(t) is cos(t).
Afgeleide van cos(t) is -sin(t).
Kettingregel: als f(x) = g(h(x)), dan f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).
Helling van een parametrische kromme: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).

Wat moet je kunnen: De afgeleide van x(t) bepalen met de kettingregel.
De afgeleide van y(t) bepalen met de kettingregel.
De uitdrukking voor dy/dx opstellen door y'(t) te delen door x'(t).
De resulterende breuk algebraïsch vereenvoudigen tot de gevraagde vorm.

Waar op letten: Let goed op het correct toepassen van de kettingregel, vooral bij machten van goniometrische functies.
Controleer de tekens bij het differentiëren van cosinus.
Vereenvoudig de breuk zorgvuldig, door gelijke factoren weg te strepen.

Kernbegrippen: parametrische kromme, afgeleide functie, ketenregel, helling van een raaklijn, kettingregel

Veelgemaakte fouten:
- ketenregel incorrect toepassen
- tekenfout bij de afgeleide van cosinus
- verwarring door de fout in de opgave (ontbrekend minteken)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Bewijs raaklijnvergelijking parameterkromme (3 punten)

Een vergelijking van de raaklijn in het punt (x(t), y(t)) van K is:
y = - (sin(t))/(cos(t)) x + sin(t)

2 Bewijs dat deze vergelijking juist is.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om een gegeven vergelijking van een raaklijn aan een parameterkromme te bewijzen. Je moet aantonen dat de vergelijking klopt, door gebruik te maken van de coördinaten van het raakpunt en goniometrische identiteiten.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een lijn: y = mx + b
Goniometrische hoofdregel: sin²(t) + cos²(t) = 1
Definitie van een raaklijn: een lijn die door het raakpunt gaat en de juiste helling heeft

Wat moet je kunnen: Substitueren van coördinaten in een vergelijking
Algebraïsch herleiden van goniometrische uitdrukkingen
Gebruikmaken van goniometrische identiteiten om een bewijs te voltooien

Waar op letten: Controleer zorgvuldig je algebraïsche stappen, vooral bij het herleiden van goniometrische termen.
Vergeet niet de goniometrische hoofdregel sin²(t) + cos²(t) = 1 toe te passen waar nodig.
Zorg ervoor dat je de x- en y-coördinaten van het raakpunt correct invult in de vergelijking.

Kernbegrippen: parameterkromme, raaklijn opstellen, parametrisch differentiëren, goniometrische identiteiten, bewijsvoering

Veelgemaakte fouten:
- algebraïsche fouten bij het substitueren van de coördinaten
- de goniometrische hoofdregel sin²(t) + cos²(t) = 1 vergeten of verkeerd toepassen
- x- en y-coördinaten verwisselen bij de substitutie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Lengte lijnstuk raaklijn parametrische kromme (3 punten)

Bewijs dat de lengte van het lijnstuk AB constant is.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat de lengte van een lijnstuk constant is. Dit lijnstuk wordt gevormd door de snijpunten van een raaklijn aan een parametrische kromme met de coördinaatassen. Je zult de vergelijking van de raaklijn moeten opstellen en vervolgens de snijpunten met de x- en y-as moeten bepalen.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een raaklijn aan een kromme in punt P(x_P, y_P): y - y_P = m * (x - x_P), waarbij m de richtingscoëfficiënt is.
Afstandsformule tussen twee punten (x_1, y_1) en (x_2, y_2): sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2).
Goniometrische hoofdformule: sin^2(t) + cos^2(t) = 1.

Wat moet je kunnen: De afgeleide van de parametrische kromme bepalen om de richtingscoëfficiënt van de raaklijn te vinden.
De vergelijking van de raaklijn opstellen.
De snijpunten van de raaklijn met de x-as (y=0) en de y-as (x=0) algebraïsch bepalen.
De afstandsformule toepassen op de gevonden snijpunten.
De goniometrische hoofdformule herkennen en toepassen om de lengte te vereenvoudigen tot een constante waarde.

Waar op letten: Let op de correcte bepaling van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
Voer de algebraïsche stappen voor het vinden van de snijpunten nauwkeurig uit.
Vergeet niet de afstandsformule correct toe te passen en de goniometrische identiteit te gebruiken voor de vereenvoudiging.

Kernbegrippen: parametrische kromme, vergelijking van een raaklijn, snijpunten met de coördinaatassen, afstandsformule, goniometrische identiteiten

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het algebraïsch oplossen van de vergelijking voor het snijpunt met de x-as.
- Verkeerd toepassen van de afstandsformule (stelling van Pythagoras).
- De goniometrische hoofdformule sin²(t) + cos²(t) = 1 niet herkennen of correct toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Vectorrekening en spiegelen (4 punten)

Gegeven is punt F(7, 2) en vector \vecOF.
Vector \vecOF wordt in de x-as gespiegeld. Het spiegelbeeld is vector \vecOG.
Voor één bepaalde combinatie van p en q geldt p · \vecOF + q · \vecOG = 7
-3.
Bereken exact deze waarden van p en q.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een punt en een vector, die gespiegeld wordt. Vervolgens moet je twee scalairen (p en q) exact berekenen door een lineaire combinatie van de oorspronkelijke en de gespiegelde vector gelijk te stellen aan een gegeven vector. Dit leidt tot een stelsel van lineaire vergelijkingen.

Wat moet je kennen: Een vector van de oorsprong O(0,0) naar een punt P(x,y) is \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.
Spiegeling van een punt (x,y) in de x-as resulteert in het punt (x,-y).
Scalaire vermenigvuldiging van een vector: k * \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka \\ kb \end{pmatrix}.
Optellen van vectoren: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix}.

Wat moet je kunnen: De coördinaten van een vector bepalen op basis van een gegeven punt.
De coördinaten van een gespiegelde vector bepalen na spiegeling in de x-as.
Een lineaire combinatie van vectoren (scalaire vermenigvuldiging en optelling) uitvoeren en gelijkstellen aan een gegeven vector.
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden exact oplossen (bijvoorbeeld met substitutie- of eliminatiemethode).

Waar op letten: Let goed op de coördinaten van de gespiegelde vector, vooral het teken van de y-coördinaat bij spiegeling in de x-as.
Voer de scalaire vermenigvuldiging en vectoroptelling zorgvuldig uit om fouten in het stelsel te voorkomen.
Bereken p en q exact, dus laat wortels of breuken staan en rond niet af.

Kernbegrippen: vectorrekening, spiegelen in de x-as, stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- verkeerde coördinaten voor de gespiegelde vector
- rekenfout bij het opstellen van het stelsel
- fout bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Spiegelbeeld vector t.o.v. lijn (5 punten)

Onderzoek met algebraïsche berekeningen of het spiegelbeeld van $\vec{OF}$ links of rechts van de y-as ligt.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om met algebraïsche berekeningen te bepalen of het spiegelbeeld van een gegeven vector (OF) ten opzichte van een lijn (k) links of rechts van de y-as ligt. Je krijgt de coördinaten van punt F en een vectorvoorstelling van lijn k.

Wat moet je kennen: Vectorvoorstelling van een lijn: r = p + t*d
Loodrechte stand van vectoren: het inproduct is 0 (a*b = 0)
Afstand tussen twee punten: sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
Vergelijking van een lijn: y = ax + b of ax + by = c
Hoek tussen twee vectoren: cos(theta) = (a * b) / (|a| * |b|)

Wat moet je kunnen: Een lijn loodrecht op een andere lijn opstellen.
Het snijpunt van twee lijnen berekenen door een stelsel van vergelijkingen op te lossen.
De coördinaten van een spiegelbeeld bepalen met behulp van het projectiepunt.
De hoek tussen twee vectoren of lijnen berekenen met behulp van het inproduct of tangens.
Conclusies trekken over de ligging van een punt ten opzichte van de y-as op basis van de x-coördinaat.

Waar op letten: Let goed op het teken bij het bepalen van de richtingsvector van de loodlijn.
Voorkom rekenfouten bij het oplossen van stelsels vergelijkingen.
Zorg dat je de juiste coördinaat (x-coördinaat) gebruikt om te bepalen of het spiegelbeeld links of rechts van de y-as ligt (x < 0 is links, x > 0 is rechts).

Kernbegrippen: vectorrekening, spiegelen in een lijn, loodrechte projectie, vectorvoorstelling van een lijn, hoek tussen vectoren

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve richtingsvector voor de loodlijn opstellen (bv. teken niet omkeren).
- Reken- of algebrafout bij het oplossen van het stelsel van vergelijkingen.
- Verkeerde conclusie trekken uit de coördinaten van het projectiepunt (bv. denken dat $x_S > 0$ betekent dat het spiegelbeeld ook rechts van de y-as ligt).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Midden van lijnstuk bewijzen (4 punten)

Bewijs dat M het midden is van lijnstuk AB.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de coördinaten van snijpunten en het midden van een lijnstuk moet bepalen. Je zult moeten differentiëren om de vergelijking van een raaklijn op te stellen en vervolgens algebraïsch een vergelijking oplossen om een bewijs te leveren.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een lijn: y = ax + b
Afgeleide van een machtsfunctie: d/dx (x^n) = n*x^(n-1)
Coördinaten van het midden M van een lijnstuk AB met A(x_A, y_A) en B(x_B, y_B): M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2)

Wat moet je kunnen: De afgeleide van een functie bepalen (f'_p(x))
De richtingscoëfficiënt van een raaklijn bepalen door de x-coördinaat van het raakpunt in de afgeleide in te vullen
De vergelijking van een raaklijn opstellen (y = ax + b)
Het snijpunt van twee lijnen (k en l) bepalen door hun vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen
Algebraïsch een vergelijking oplossen om een x-coördinaat te vinden

Waar op letten: Controleer je differentiatiestappen zorgvuldig, vooral met parameters.
Vergeet niet de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as (punt B) te gebruiken als startgetal (b) voor de raaklijn.
Voer de algebraïsche stappen voor het oplossen van de vergelijking nauwkeurig uit om fouten te voorkomen.

Kernbegrippen: differentiëren, vergelijking van een raaklijn opstellen, snijpunt van twee lijnen berekenen, coördinaten van het midden van een lijnstuk, algebraïsch bewijzen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van de functie f_p(x).
- De y-coördinaat van punt B (het startgetal van de raaklijn) vergeten bij het opstellen van de vergelijking van lijn l.
- Een algebraïsche fout maken bij het oplossen van de vergelijking px = (p-4)x + 4.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Oppervlakte tussen grafiek en lijn (5 punten)

De lijn k en de grafiek van f_p sluiten een vlakdeel V in. In figuur 2 is voor een waarde van p vlakdeel V grijs weergegeven.

7 Bereken exact de oppervlakte van V.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van de exacte oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door een functie en een lijn. Je krijgt de formules van beide functies en een figuur ter illustratie.

Wat moet je kennen: Definitie van de bepaalde integraal voor oppervlakte: Oppervlakte = integraal van (bovenste functie - onderste functie) dx
Primitiveren van machtsfuncties: integraal van x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C
Eigenschappen van integralen: integraal van (f(x) - g(x)) dx = integraal van f(x) dx - integraal van g(x) dx

Wat moet je kunnen: 1. Bepaal de snijpunten van de twee functies door hun vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen en op te lossen.
2. Identificeer welke functie de 'bovenste' en welke de 'onderste' is binnen het ingesloten gebied (gebruik de figuur of test een punt).
3. Stel de bepaalde integraal op met de juiste functies en de berekende snijpunten als integratiegrenzen.
4. Primitiveer de resulterende functie en vul de bovengrens en ondergrens in om de exacte oppervlakte te berekenen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de functies in de integraal om een positieve oppervlakte te krijgen.
Vereenvoudig de functie onder het integraalteken zo veel mogelijk voordat je gaat primitiveren.
Voer de berekeningen exact uit, dus laat breuken staan en vermijd afronden tot het eindantwoord.

Kernbegrippen: oppervlakte tussen krommen, bepaalde integraal, primitiveren, snijpunten van functies

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde volgorde van functies in de integraal (f_p - k in plaats van k - f_p), wat leidt tot een negatief antwoord.
- De px-termen niet wegstrepen, wat de berekening onnodig complex maakt.
- Reken- of slordigheidsfouten bij het primitiveren of het invullen van de grenzen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Bewijs verdubbelingstijd formule (4 punten)

Bewijs dat deze formule voor T correct is.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de formule voor de verdubbelingstijd T moet afleiden. Je start met de definitie van verdubbelingstijd en een gegeven groeipercentage p, en gebruikt logaritmen om de formule te isoleren.

Wat moet je kennen: Definitie groeifactor g bij groeipercentage p: g = 1 + p/100
Definitie verdubbelingstijd T: g^T = 2
Rekenregel logaritmen: log(a^b) = b * log(a)
Omzetting van logaritme met grondtal g naar natuurlijke logaritme: glog(x) = ln(x) / ln(g)

Wat moet je kunnen: De relatie tussen groeipercentage p en groeifactor g correct opstellen.
De vergelijking voor verdubbelingstijd opstellen.
Logaritmen toepassen om de exponent T te isoleren.
Logaritmische rekenregels correct toepassen om de formule te vereenvoudigen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen het groeipercentage p en de groeifactor g.
Pas de rekenregels voor logaritmen nauwkeurig toe, vooral bij het omzetten van machten.
Zorg dat je de stappen van het bewijs logisch en volledig opschrijft.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, logaritmen, rekenregels voor logaritmen, verdubbelingstijd

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen rentepercentage p en groeifactor g.
- Foutieve toepassing van logaritmische rekenregels, bijvoorbeeld ln(a+b) verwarren met ln(a) + ln(b).
- De relatie tussen de groeifactor en het percentage verkeerd opstellen, bijvoorbeeld g = p/100 in plaats van 1 + p/100.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Verticale afstand en differentiëren (4 punten)

Bewijs met behulp van differentiëren dat de verticale afstand tussen de grafiek van N en lijn k inderdaad groter wordt als x groter wordt.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de verticale afstand tussen twee functies moet bepalen en vervolgens met behulp van differentiëren moet aantonen dat deze afstand toeneemt. Je krijgt een formule voor de grafiek N en de lijn k, en een figuur ter illustratie.

Wat moet je kennen: Afgeleide van ln(f(x)): (ln(f(x)))' = f'(x) / f(x)
Ketenregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
Productregel: (f*g)' = f'*g + f*g
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'*g - f*g') / g^2
Als de afgeleide van een functie positief is op een interval, dan is de functie stijgend op dat interval.

Wat moet je kunnen: Een functie opstellen voor de verticale afstand tussen twee grafieken.
De afgeleide van een samengestelde functie bepalen met de ketenregel.
Een tekenonderzoek uitvoeren van de afgeleide om te bewijzen dat de functie stijgend is.
Algebraïsch herleiden van uitdrukkingen om een conclusie te kunnen trekken.

Waar op letten: Let goed op de ketenregel bij het differentiëren van ln(1 + x/100).
Vergeet niet het domein (x > 0) te gebruiken in je redenering over het teken van de afgeleide.
Zorg dat je een duidelijke conclusie trekt uit het teken van de afgeleide om het bewijs af te ronden.

Kernbegrippen: differentiëren, ketenregel, tekenonderzoek van de afgeleide, verticale afstand tussen grafieken, bewijsvoering

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het toepassen van de ketenregel op ln(1 + x/100).
- Onvolledige redenering waarom A'(x) > 0, bijvoorbeeld het domein x > 0 niet gebruiken.
- De tweede afgeleide berekenen in plaats van de eerste, zonder de juiste conclusie te trekken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Rentepercentage bij bankenformules (5 punten)

Bereken dit rentepercentage p. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het vergelijken van benaderingen voor de verdubbelingstijd van rente. Je krijgt een exacte formule en twee benaderingsformules. Je moet het rentepercentage berekenen waarbij de ene benadering beter wordt dan de andere.

Wat moet je kennen: Exacte verdubbelingstijd: T = ln(2) / ln(1 + p/100)
Benadering 1: T_1 = 70/p
Benadering 2: T_2 = 72/p
Definitie van 'betere benadering': de benadering met het kleinste absolute verschil ten opzichte van de exacte waarde.

Wat moet je kunnen: Formules voor de absolute verschillen tussen T en T_1, en T en T_2 opstellen.
Een vergelijking opstellen door deze absolute verschillen aan elkaar gelijk te stellen.
De opgestelde vergelijking oplossen met behulp van de grafische rekenmachine (GR).
Het gevonden antwoord correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let goed op de vraagstelling: je moet het rentepercentage vinden waarbij de ene benadering 'beter' wordt dan de andere. Dit betekent dat de absolute verschillen gelijk moeten zijn.
Voer de formules nauwkeurig in je GR in, vooral de logaritmische functie.
Vergeet niet het eindantwoord af te ronden op één decimaal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen met GR, modelleren met formules, logaritmische functies, interpretatie van benaderingen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde vergelijking opstellen, bijvoorbeeld $T_1 = T_2$ in plaats van de verschillen met T gelijk te stellen.
- Foutieve invoer van de complexe logaritmische functie in de grafische rekenmachine.
- Het eindantwoord niet afronden op één decimaal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Helling van wortelfuncties bewijzen (6 punten)

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = 2√x en g(x) = √2x.
Op de grafiek van f ligt het punt P(p, 2√p).
De helling van de grafiek van f in P is gelijk aan 1/√p.
De lijn door O en P snijdt de grafiek van g in het punt Q. Deze situatie is weergegeven in figuur 1.
De helling van de grafiek van g in punt Q is voor elke waarde van p gelijk aan de helling van de grafiek van f in punt P.

6p 11 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet een bewijs leveren dat de helling van twee verschillende wortelfuncties (f(x) = 2√x en g(x) = √2x) op specifieke punten gelijk is. Dit omvat differentiëren, het opstellen van een lijnvergelijking door de oorsprong en een punt P, en het algebraïsch oplossen van een vergelijking om het snijpunt Q te vinden.

Wat moet je kennen: Differentiatieregels:
  - d/dx (c*x^n) = c*n*x^(n-1)
  - d/dx (sqrt(x)) = 1/(2*sqrt(x))
  - Ketenregel: d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)
Vergelijking van een lijn door de oorsprong (0,0) en een punt (x_P, y_P): y = (y_P/x_P)*x

Wat moet je kunnen: 1. Differentieer de functie g(x) = sqrt(2x) met behulp van de ketenregel.
2. Stel de vergelijking op van de lijn door de oorsprong O(0,0) en punt P(p, 2sqrt(p)).
3. Bepaal de x-coördinaat van snijpunt Q door de lijnvergelijking gelijk te stellen aan g(x) en deze vergelijking algebraïsch op te lossen.
4. Substitueer de gevonden x-coördinaat van Q in de afgeleide van g(x) en vereenvoudig de uitdrukking om te laten zien dat deze gelijk is aan de gegeven helling van f in P.

Waar op letten: Vergeet de ketenregel niet bij het differentiëren van g(x) = sqrt(2x).
Wees nauwkeurig met algebraïsche stappen, vooral bij het kwadrateren van worteluitdrukkingen om vergelijkingen op te lossen.
Controleer of je de juiste x-coördinaat van Q gebruikt (x=0 is een triviale oplossing en niet het gezochte punt Q).

Kernbegrippen: differentiëren van wortelfuncties, ketenregel, vergelijking van een lijn opstellen, snijpunt van een lijn en een grafiek, algebraïsch bewijzen

Veelgemaakte fouten:
- De ketenregel vergeten bij het differentiëren van g(x) = √2x.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking met wortels, bijvoorbeeld bij het kwadrateren.
- De oplossing x=0, die ook voldoet, ten onrechte aanwijzen als de coördinaat van Q.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Oppervlakte vlakdeel en driehoek vergelijken (6 punten)

Het lijnstuk PR en de grafieken van f en g sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in figuur 2 grijsgemaakt.

Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte van dit vlakdeel en de oppervlakte van driehoek PRS.

Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte van een vlakdeel berekenen dat wordt ingesloten door twee functies en een lijnstuk, en de oppervlakte van een driehoek. Vervolgens bereken je de exacte verhouding tussen deze twee oppervlaktes. Dit omvat het gebruik van integralen en basis meetkunde.

Wat moet je kennen: Oppervlakte van een vlakdeel tussen twee functies f(x) en g(x) op interval [a,b]: ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx
Primitieve van x^n: (1/(n+1)) * x^(n+1) (voor n ≠ -1)
Oppervlakte van een driehoek: 1/2 * basis * hoogte

Wat moet je kunnen: De coördinaten van de relevante punten (P, R, S) bepalen.
De oppervlakte van de driehoek PRS berekenen door basis en hoogte te identificeren.
De juiste integratiegrenzen bepalen voor het vlakdeel.
De primitieve van wortelfuncties (zoals sqrt(x) en sqrt(2x)) correct bepalen.
De integraal exact uitrekenen door de primitieve te evalueren bij de grenzen.
De berekende oppervlaktes vereenvoudigen en de exacte verhouding bepalen.

Waar op letten: Let op het correct primitiveren van termen met een constante onder de wortel, zoals sqrt(2x) = sqrt(2) * sqrt(x).
Zorg ervoor dat je exact rekent en geen decimalen afrondt, tenzij anders gevraagd.
Controleer of je de juiste functie als 'bovenste' functie gebruikt bij het opstellen van de integraal voor het vlakdeel.
Wees nauwkeurig bij het bepalen van de basis en hoogte van de driehoek.

Kernbegrippen: oppervlakte berekenen met integralen, primitiveren van wortelfuncties, oppervlakte van een driehoek, verhouding berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het primitiveren van √2x, bijvoorbeeld door de √2 niet correct mee te nemen.
- Reken- of algebrafout bij het uitwerken van de oppervlaktes of het vereenvoudigen van de verhouding.
- Verkeerde hoogte of basis gebruiken voor de oppervlakte van de driehoek.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Asymptoten van inverse functie (3 punten)

De grafiek van f heeft twee asymptoten. Daarom heeft de grafiek van de inverse functie van f ook twee asymptoten.
Stel met behulp van exacte berekeningen vergelijkingen op van de asymptoten van de grafiek van de inverse functie van f.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het bepalen van de vergelijkingen van asymptoten van een inverse functie. Je krijgt een functievoorschrift en moet met limieten de asymptoten van de oorspronkelijke functie vinden, of eerst de inverse functie bepalen en daarvan de asymptoten vinden.

Wat moet je kennen: Definitie horizontale asymptoot: lim(x→∞) f(x) = c of lim(x→-∞) f(x) = c, dan is y=c een horizontale asymptoot.
Definitie verticale asymptoot: lim(x→a) f(x) = ±∞, dan is x=a een verticale asymptoot.
Eigenschap inverse functie: De grafiek van de inverse functie f^inv(x) ontstaat door de grafiek van f(x) te spiegelen in de lijn y=x.
Eigenschap asymptoten van inverse functie: Als y=c een horizontale asymptoot is van f(x), dan is x=c een verticale asymptoot van f^inv(x). Als x=a een verticale asymptoot is van f(x), dan is y=a een horizontale asymptoot van f^inv(x).

Wat moet je kunnen: Bepaal de horizontale asymptoot van f(x) door lim(x→∞) f(x) en/of lim(x→-∞) f(x) te berekenen.
Bepaal de verticale asymptoot van f(x) door te onderzoeken voor welke x-waarden de functiewaarde naar ±∞ gaat (vaak bij noemer nul of logaritme van nul).
Leid de vergelijkingen van de asymptoten van de inverse functie af door de x en y van de asymptoten van f(x) te verwisselen.
Alternatief: Bepaal eerst het functievoorschrift van de inverse functie f^inv(x) door x en y te verwisselen en op te lossen naar y, en bepaal vervolgens de asymptoten van f^inv(x) met limieten.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de functie f(x) = e^(-1/x) en e^(1/x) bij het bepalen van limieten.
Vergeet niet dat de asymptoten van de inverse functie ontstaan door x en y van de asymptoten van de oorspronkelijke functie te verwisselen.
Wees nauwkeurig bij het berekenen van limieten, vooral bij x→0 of x→1 voor logaritmische functies.

Kernbegrippen: limieten, asymptoten, inverse functie, spiegelen in de lijn y=x

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen de functie f(x) = e^(-1/x) uit de opgave en de functie e^(1/x) die in de eerste uitwerkingsmethode van het correctievoorschrift wordt gebruikt.
- Foutief bepalen van de limiet naar 0 of oneindig.
- Vergeten dat de asymptoten van de inverse functie worden gevonden door x en y te verwisselen in de asymptoten van de oorspronkelijke functie.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Maximale x-coördinaat van raaklijnsnijpunt (7 punten)

De x-coördinaat van S hangt af van de positie van P op de grafiek van f.
Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is.
Bereken exact deze maximale waarde van de x-coördinaat van S.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie en een punt P op de grafiek. De raaklijn in P snijdt de x-as in punt S. Je moet de x-coördinaat van S maximaliseren en de maximale waarde exact berekenen. Dit is een optimalisatievraagstuk dat differentiëren en het opstellen van een raaklijnvergelijking combineert.

Wat moet je kennen: Vergelijking van een raaklijn in punt (x_0, y_0): y - y_0 = f'(x_0) * (x - x_0)
Productregel voor differentiëren: (f*g)' = f'*g + f*g'
Kettingregel voor differentiëren: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
Voor een maximum of minimum geldt dat de afgeleide gelijk is aan nul: f'(x) = 0

Wat moet je kunnen: De afgeleide f'(x) van de gegeven functie bepalen met behulp van de product- en kettingregel.
De vergelijking van de raaklijn in een algemeen punt P(p, f(p)) opstellen.
Het snijpunt S van de raaklijn met de x-as bepalen door y=0 te stellen in de raaklijnvergelijking, en zo een uitdrukking voor x_S in termen van p vinden.
De afgeleide van x_S(p) bepalen en deze gelijkstellen aan nul om de waarde van p te vinden waarvoor x_S maximaal is.
De gevonden p-waarde invullen in de uitdrukking voor x_S om de maximale waarde van x_S exact te berekenen.

Waar op letten: Let goed op de algebraïsche stappen bij het isoleren van x_S uit de raaklijnvergelijking.
Vergeet niet de gevonden p-waarde in te vullen in de formule voor x_S om de maximale waarde te vinden, niet alleen de p-waarde te geven.
Voer de differentiatie van de functie en van x_S(p) nauwkeurig uit om reken- en tekenfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn opstellen, optimaliseren, maximum bepalen met afgeleide

Veelgemaakte fouten:
- Algebraïsche fout bij het omschrijven van de raaklijnvergelijking naar een uitdrukking voor x_S.
- Vergeten de gevonden p-waarde (die de locatie van het maximum aangeeft) in te vullen in de formule voor x_S om de maximale waarde zelf te vinden.
- Reken- of tekenfout bij het differentiëren van de functie x_S(p) = -p² + p.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Goniometrie en raaklijn aan cirkel (5 punten)

Bereken de waarde van α waarvoor x_A = 1/2. Geef je eindantwoord in hele graden.

Wat kun je verwachten: Een vraag over goniometrie in een meetkundige context met een cirkel en een raaklijn. Je moet een goniometrische vergelijking opstellen en oplossen om een hoek te vinden, waarbij de x-coördinaat van een punt gegeven is.

Wat moet je kennen: Definities van sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek (SOH CAH TOA).
De eigenschap dat de raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt.
Verbanden tussen goniometrische functies, zoals tan(α) = sin(α)/cos(α).
De stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek.

Wat moet je kunnen: Rechthoekige driehoeken herkennen en benoemen in de figuur.
De coördinaten van punten uitdrukken in goniometrische functies van de hoek α.
Een goniometrische vergelijking opstellen op basis van de gegeven informatie.
Een goniometrische vergelijking oplossen met behulp van de grafische rekenmachine of algebraïsch.

Waar op letten: Zorg dat je de juiste goniometrische verhouding kiest voor de zijden in de driehoek.
Let op algebraïsche fouten bij het omschrijven van de vergelijking.
Controleer of je rekenmachine is ingesteld op graden (degrees) en niet op radialen (radians) voor het eindantwoord.

Kernbegrippen: goniometrie in rechthoekige driehoeken, sinus, cosinus, tangens, coördinatenstelsel, goniometrische vergelijking oplossen, raaklijn aan een cirkel

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde goniometrische verhouding (sin, cos, tan) kiezen voor de gegeven zijden.
- Algebraïsche fouten bij het omschrijven van de goniometrische vergelijking.
- Rekenmachine ingesteld op radialen in plaats van graden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Grenswaarde oppervlakte driehoek (5 punten)

Als α nadert naar 0, neemt de oppervlakte van driehoek MBC af tot een grenswaarde. Bereken exact deze grenswaarde.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert meetkunde met goniometrie en limieten. Je moet de oppervlakte van een driehoek uitdrukken in een variabele hoek α en vervolgens de grenswaarde bepalen als α naar 0 nadert. De vraag maakt gebruik van eigenschappen van cirkels en raaklijnen.

Wat moet je kennen: Stelling: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.
Som van hoeken in een driehoek is 180°.
Definitie van een middellijnshoek en omtrekshoek (indien van toepassing).
Oppervlakte driehoek: Opp = ½ * zijde1 * zijde2 * sin(ingesloten hoek).
Exacte goniometrische waarden voor standaardhoeken (bijv. sin(45°)).

Wat moet je kunnen: Hoeken in de figuur uitdrukken in α, gebruikmakend van de gegeven informatie en meetkundige stellingen.
De oppervlakte van driehoek MBC opstellen met behulp van de sinusregel voor oppervlakte.
De limiet van de uitdrukking voor de oppervlakte bepalen als α nadert naar 0.
Exacte waarden van goniometrische functies toepassen in de berekening.

Waar op letten: Let goed op de hoekrelaties en welke hoek je precies gebruikt voor de oppervlakteformule.
Vergeet de factor ½ niet in de oppervlakteformule van een driehoek.
Zorg dat je de exacte waarde van sin(45°) correct toepast en niet afrondt.

Kernbegrippen: limieten, goniometrie, oppervlakte van een driehoek, meetkunde met cirkels

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde hoekrelatie opstellen tussen α en de hoeken in de driehoeken.
- Fout in de formule voor de oppervlakte van een driehoek, bijvoorbeeld de factor ½ vergeten.
- Reken- of afleidingsfout bij het bepalen van de exacte waarde van sin(45°).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2/vraag/16

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2021
tijd vak 2
vrijdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 16 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 72 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-21-2-o

### Pagina 2

Formules

Goniometrie

$\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$
$\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$
$\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$
$\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$

$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$
$\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$

VW-1025-a-21-2-o
2 / 10
lees verder 

### Pagina 3

Kromme $K$

De kromme $K$ is gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = \cos^3(t) \\
y(t) = \sin^3(t)
\end{cases}
$$
met $0 < t < \frac{1}{2}\pi$

In de figuur is kromme $K$ getekend. Ook is voor een waarde van $t$ in het bijbehorende punt van $K$ de raaklijn aan $K$ getekend.
De helling in het punt $(x(t), y(t))$ van $K$ kan worden berekend met: $-\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

[FIGUUR: Een grafiek met een kromme K die begint in het tweede kwadrant en naar beneden buigt naar het eerste kwadrant, eindigend op de x-as. Een raaklijn is getekend aan de kromme op een punt B, die de y-as snijdt en de x-as snijdt in een punt A.]

3p 1 Bewijs dit.

Een vergelijking van de raaklijn in het punt $(x(t), y(t))$ van $K$ is:
$$
y = -\frac{\sin(t)}{\cos(t)} x + \sin(t)
$$

3p 2 Bewijs dat deze vergelijking juist is.

De raaklijn snijdt de $x$-as in punt $A$ en de $y$-as in punt $B$.

3p 3 Bewijs dat de lengte van het lijnstuk $AB$ constant is.

VW-1025-a-21-2-o 3 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 4

Vectoren spiegelen

Wanneer een vector in een lijn wordt gespiegeld, wordt zowel het beginpunt als het eindpunt van de vector in die lijn gespiegeld. Het resultaat is een nieuwe vector die het gespiegelde beginpunt en het gespiegelde eindpunt verbindt.

figuur 1

In figuur 1 is een voorbeeld weergegeven.
Daarin wordt vector $\vec{AB}$, met $A(1,1)$ en $B(2,3)$, gespiegeld in de lijn met vergelijking $x=3$. Het spiegelbeeld is dan vector $\vec{CD}$, met $C(5,1)$ en $D(4,3)$.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as van 0 tot 5 en de x-as van 0 tot 6. Een verticale lijn op x=3. Punt A op (1,1), punt B op (2,3). Een pijl van A naar B. Punt C op (5,1), punt D op (4,3). Een pijl van C naar D. De lijn x=3 is de spiegelingsas.]

Gegeven is punt $F(7,2)$ en vector $\vec{OF}$.
Vector $\vec{OF}$ wordt in de x-as gespiegeld. Het spiegelbeeld is vector $\vec{OG}$.
Voor één bepaalde combinatie van $p$ en $q$ geldt $p \cdot \vec{OF} + q \cdot \vec{OG} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix}$.

4p 4 Bereken exact deze waarden van $p$ en $q$.

Ook is gegeven de lijn $k$ met vectorvoorstelling $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Zie figuur 2.

Vector $\vec{OF}$ wordt gespiegeld in lijn $k$.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en de x-as. Een lijn k die door de oorsprong gaat. Een vector F wijst naar een punt F.]

5p 5 Onderzoek met algebraïsche berekeningen of het spiegelbeeld van $\vec{OF}$ links of rechts van de y-as ligt.

VW-1025-a-21-2-o 4 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie

De functie $f_p$ is gegeven door:
$f_p(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + px$

De lijn $k$ heeft vergelijking $y = px$.
Lijn $k$ raakt de grafiek van $f_p$ voor iedere waarde van $p$ in de oorsprong.

De lijn $l$ is de raaklijn aan de grafiek van $f_p$ in het punt $A$ met $x$-coördinaat 2.
Lijn $l$ snijdt de $y$-as voor elke waarde van $p$ in het punt $B(0, 4)$.

Punt $M$ is het snijpunt van lijn $k$ en lijn $l$.

In figuur 1 is de grafiek van $f_p$ weergegeven voor een waarde van $p$.
De raaklijnen $k$ en $l$ zijn gestippeld weergegeven.

[FIGUUR: Grafiek van een vierdegraadsfunctie met twee lijnen, een door de oorsprong en een rakend aan de curve.]

4p 6 Bewijs dat $M$ het midden is van lijnstuk $AB$.

De lijn $k$ en de grafiek van $f_p$ sluiten een
vlakdeel $V$ in. In figuur 2 is voor een
waarde van $p$ vlakdeel $V$ grijs
weergegeven.

[FIGUUR: Grafiek van een vierdegraadsfunctie met een gebied dat begrensd wordt door de grafiek en een lijn.]

5p 7 Bereken exact de oppervlakte van $V$.

VW-1025-a-21-2-o 5 / 10 lees verder

### Pagina 6

Bankenformules

Op een spaarrekening wordt een bedrag gestort. Het jaarlijkse rentepercentage op deze spaarrekening is constant. Hierdoor groeit het bedrag op de spaarrekening exponentieel. Voor de spaarder is het interessant om te weten na hoeveel jaar het bedrag is verdubbeld.
De verdubbelingstijd is exact te berekenen met de formule $T = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}$.

Hierin is $T$ de verdubbelingstijd in jaren en $p$ het jaarlijkse rentepercentage.

4p 8 Bewijs dat deze formule voor $T$ correct is.

Als je geen rekenmachine gebruikt, is de formule voor $T$ onhandig. Daarom gebruiken bankmedewerkers, als zij de verdubbelingstijd willen weten, formules die de exacte verdubbelingstijd benaderen. Zulke formules noemen we bankenformules. Om zo'n bankenformule te vinden onderzoeken we eerst de noemer van de formule voor $T$. We bekijken dus de functie $N$ gegeven door:
$N(x) = \ln(1 + \frac{x}{100})$ (met $x \ge 0$)

In de figuur is de grafiek van $N$ getekend. Ook is de raaklijn $k$ aan de grafiek van $N$ in $O$ getekend.

[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as waarden 0,05, 0,10, 0,15 en op de x-as waarden 0, 5, 10, 15. Een curve N start bij (0,0) en loopt omhoog. Een rechte lijn k start bij (0,0) en loopt iets steiler dan curve N.]

Een vergelijking van $k$ is $y = \frac{1}{100}x$. Als $x > 0$ ligt de grafiek van $N$ onder lijn $k$. Verder geldt: als $x$ groter wordt, dan wordt de verticale afstand tussen de grafiek van $N$ en lijn $k$ groter.

4p 9 Bewijs met behulp van differentiëren dat de verticale afstand tussen de grafiek van $N$ en lijn $k$ inderdaad groter wordt als $x$ groter wordt.

VW-1025-a-21-2-o
6 / 10
lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Voor kleine positieve waarden van $x$ ligt lijn $k$ dicht bij de grafiek van $N$. Je kunt dus zeggen dat voor kleine positieve waarden van $p$ geldt dat
$ln(1+\frac{p}{100})$ ongeveer gelijk is aan $\frac{1}{100}p$. Dan geldt dus:
$$T \approx \frac{\ln(2)}{\frac{1}{100} p} \text{ ofwel } T \approx \frac{100 \cdot \ln(2)}{p} \approx \frac{70}{p}$$
Daarmee is een voorbeeld gevonden van een bankenformule: de exacte verdubbelingstijd $T$ kan voor kleine positieve waarden van $p$ benaderd worden door $\frac{70}{p}$ te berekenen. Deze benadering noemen we $T_1$.
De benadering met de formule $T_1 = \frac{70}{p}$ verschilt voor toenemende waarden van $p$ steeds meer van de waarde volgens de exacte formule, waarmee de benadering dus steeds slechter wordt. Daarom wordt in de praktijk het getal 70 in de teller aangepast als $p$ groter wordt, bijvoorbeeld naar 72. Deze benadering noemen we $T_2$.
In de tabel wordt voor twee waarden van $p$ de verdubbelingstijd in jaren volgens de bankenformules $T_1 = \frac{70}{p}$ en $T_2 = \frac{72}{p}$ vergeleken met de verdubbelingstijd volgens de exacte formule.
[FIGUUR: Tabel met kolommen "rentepercentage", "p = 1,5", "p = 5,5". Rijen: "exacte formule $T = \frac{\ln(2)}{\ln(1+\frac{p}{100})}$" met waarden "46,56", "12,95"; "bankenformule $T_1 = \frac{70}{p}$" met waarden "46,67", "12,73"; "bankenformule $T_2 = \frac{72}{p}$" met waarden "48,00", "13,09".]
In de tabel is te zien dat voor $p=1,5$ de bankenformule $T_1 = \frac{70}{p}$ een betere benadering geeft dan de bankenformule $T_2 = \frac{72}{p}$. In de tabel is ook te zien dat voor $p=5,5$ de benadering met $T_2 = \frac{72}{p}$ beter is dan met $T_1 = \frac{70}{p}$.
Vanaf een bepaald rentepercentage $p$ geeft de formule $T_2 = \frac{72}{p}$ een betere benadering van de exacte verdubbelingstijd dan de formule $T_1 = \frac{70}{p}$.
5p 10 Bereken dit rentepercentage $p$. Geef je eindantwoord in één decimaal.
VW-1025-a-21-2-o
7 / 10
lees verder ►►►

### Pagina 8

Twee wortelgrafieken

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x) = 2\sqrt{x}$ en $g(x) = \sqrt{2x}$.
Op de grafiek van $f$ ligt het punt $P(p, 2\sqrt{p})$.

De helling van de grafiek van $f$ in $P$ is gelijk aan $\frac{1}{\sqrt{p}}$.
De lijn door $O$ en $P$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $Q$. Deze situatie is
weergegeven in figuur 1.

[FIGUUR: Grafiek met de functies f en g. De functie f is de bovenste curve, de functie g is de onderste curve. Er zijn twee stippen, P op f en Q op g. De lijn door O en P snijdt g bij Q. Een gestippelde lijn loopt vanaf O door Q en P.]

De helling van de grafiek van $g$ in punt $Q$ is voor elke
waarde van $p$ gelijk aan de helling van de grafiek van $f$ in punt $P$.

6p 11 Bewijs dit.

We kiezen nu $p=4$. Punt $R$ ligt op de grafiek van $g$ recht onder punt $P$.
De raaklijnen in $P$ en $R$ snijden elkaar in het punt $S(-4, 0)$. Zie figuur 2.

[FIGUUR: Grafiek met de functies f en g. De functie f is de bovenste curve, de functie g is de onderste curve. Er is een punt P op f en een punt R op g, waarbij R recht onder P ligt. Een gestippelde lijn vanaf O snijdt g bij Q. Er is een grijze arcering tussen de curves f en g, en de lijn PR, en de y-as. Er zijn twee stippellijnen die de raaklijnen aan f en g voorstellen.]

Het lijnstuk $PR$ en de grafieken van $f$ en $g$ sluiten een vlakdeel in. Dit
vlakdeel is in figuur 2 grijsgemaakt.

6p 12 Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte van dit vlakdeel en
de oppervlakte van driehoek $PRS$.

VW-1025-a-21-2-o 8 / 10 lees verder

### Pagina 9

Asymptoten en raaklijnen
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \text{e}^{-\frac{1}{x}}$.
In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is de verticale as en de x-as is de horizontale as. Er is een curve getekend die start vanaf de oorsprong en naar rechtsboven loopt, steeds dichter naar de horizontale lijn y=0 toe. De curve is gelabeld met 'f'.]
De grafiek van $f$ heeft twee asymptoten. Daarom heeft de grafiek van de inverse functie van $f$ ook twee asymptoten.
3p 13 Stel met behulp van exacte berekeningen vergelijkingen op van de asymptoten van de grafiek van de inverse functie van $f$.
De afgeleide functie van $f$ wordt gegeven door $f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot \text{e}^{-\frac{1}{x}}$.
In de rest van de opgave is het domein van $f$ beperkt tot $x > 0$.
De raaklijn aan de grafiek van $f$ in een punt $P$ snijdt de $x$-as in een punt $S$.
Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is de verticale as en de x-as is de horizontale as. Er is een curve getekend die start vanaf een punt net boven de oorsprong en naar rechtsboven loopt, steeds dichter naar een horizontale lijn y=c toe. Er is een punt P getekend op de curve. Er is een stippellijn getekend die begint bij het punt P en doorloopt naar rechtsonder, de x-as snijdend in een punt S. De curve is gelabeld met 'f'.]
De $x$-coördinaat van $S$ hangt af van de positie van $P$ op de grafiek van $f$.
Er is een positie van $P$ waarvoor de $x$-coördinaat van $S$ maximaal is.
7p 14 Bereken exact deze maximale waarde van de $x$-coördinaat van $S$.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
VW-1025-a-21-2-o
9 / 10
lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Driehoek in cirkel
figuur 1
Een lijn $k$ gaat door de oorsprong $O$ en
maakt een hoek $\alpha$ met de positieve $x$-as,
met $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Op de positieve $x$-as ligt een punt $M$ zo
dat de cirkel met middelpunt $M$ en straal 1
lijn $k$ raakt. Punt $A$ is het raakpunt en
hoek $OAM$ is dus $90^\circ$.
In figuur 1 is de situatie voor een bepaalde waarde van $\alpha$ weergegeven.
De coördinaten van $A(x_A, y_A)$ kunnen worden uitgedrukt in $\alpha$.
15 Bereken de waarde van $\alpha$ waarvoor $x_A = \frac{1}{2}$. Geef je eindantwoord in hele
graden.
Voor elke hoek $\alpha$ (met $0^\circ < \alpha < 90^\circ$) raakt lijn $k$ de cirkel in punt $A$. Verder
snijdt de cirkel de $x$-as rechts van het middelpunt in een punt $B$. Op de
cirkel ligt een punt $C$ boven de $x$-as, zo dat de lijn door $M$ en $C$ hoek $AMB$
middendoor deelt. De positie van $M$, en dus ook de oppervlakte van
driehoek $MBC$, hangt af van hoek $\alpha$. In figuur 2 en 3 is voor twee
verschillende waarden van $\alpha$ de situatie weergegeven.
figuur 2
figuur 3
Als $\alpha$ nadert naar 0, neemt de oppervlakte van driehoek $MBC$ af tot een
grenswaarde.
16 Bereken exact deze grenswaarde.
VW-1025-a-21-2-o
10 / 10
einde