# Eindexamen Wiskunde B VWO 2021 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1

## Vraag 1 – Oppervlakte ingesloten door parabool en lijn (8 punten)

De functie f wordt gegeven door f(x) = x - x².

Het punt T(½, ¼) is de top van de grafiek van f.
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong.
De lijn m staat loodrecht op lijn l en gaat door T.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn m en de grafiek van f.
Zie de figuur.

1 Bereken exact de oppervlakte van V.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je vaardigheden in differentiëren om raaklijnen op te stellen, het bepalen van vergelijkingen van loodrechte lijnen, en het berekenen van een oppervlakte tussen twee functies met behulp van integreren. Je krijgt een functievoorschrift en een figuur.

Wat moet je kennen: Afgeleide van een machtsfunctie: d/dx (x^n) = n*x^(n-1)
Vergelijking van een lijn: y = ax + b
Voor loodrechte lijnen geldt: rc_1 * rc_2 = -1 (waarbij rc de richtingscoëfficiënt is)
Hoofdstelling van de integraalrekening: integraal van f(x) van a tot b is F(b) - F(a), waarbij F(x) een primitieve is van f(x)

Wat moet je kunnen: De afgeleide van een functie bepalen en deze gebruiken om de richtingscoëfficiënt van een raaklijn te vinden.
De vergelijking van een lijn opstellen als de richtingscoëfficiënt en een punt bekend zijn.
Snijpunten van twee functies bepalen door de functievoorschriften aan elkaar gelijk te stellen en de vergelijking op te lossen.
De oppervlakte tussen twee functies f(x) en g(x) berekenen door de integraal van (bovenste functie - onderste functie) te bepalen tussen de snijpunten.

Waar op letten: Let goed op het teken bij het bepalen van de richtingscoëfficiënt van de loodrechte lijn (rc_m = -1/rc_l).
Zorg ervoor dat je de juiste functie aftrekt in de integraal: (bovenste functie - onderste functie) om een positieve oppervlakte te krijgen.
Bereken de oppervlakte exact, dus laat wortels en breuken staan en rond niet af.

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn opstellen, loodrechte lijnen, snijpunten van functies, oppervlakte berekenen met integreren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde formule voor loodrechte lijnen gebruiken (bv. rc_m = 1/rc_l i.p.v. -1/rc_l).
- Fouten bij het algebraïsch oplossen van de kwadratische vergelijking voor de snijpunten.
- De integrand verkeerd opstellen (onderste functie - bovenste functie) wat leidt tot een negatieve oppervlakte.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Snijpunten goniometrische functies (4 punten)

De functies f en g worden voor 0 ≤ x ≤ 2π gegeven door:
f(x) = 2sin(x) − sin(2x)
g(x) = sin(2x)
De grafieken van f en g hebben vijf gemeenschappelijke punten. Drie van deze punten liggen op de x-as. De andere twee punten zijn P en Q. Zie figuur 1.

4p 2 Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee goniometrische functies en moet de x-coördinaten van hun snijpunten berekenen. Dit vereist het oplossen van een goniometrische vergelijking binnen een gegeven domein, waarbij je mogelijk verdubbelingsformules moet toepassen.

Wat moet je kennen: Goniometrische identiteiten:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Oplossen van sin(A) = sin(B):
A = B + k * 2pi of A = pi - B + k * 2pi (met k is een geheel getal)

Wat moet je kunnen: Stel de twee functievoorschriften aan elkaar gelijk om de snijpunten te vinden.
Herleid de vergelijking tot een standaard goniometrische vorm (bijvoorbeeld sin(A) = sin(B) of sin(x) = constante).
Pas de juiste goniometrische identiteiten toe om de vergelijking te vereenvoudigen.
Los de goniometrische vergelijking systematisch op voor alle mogelijke waarden van k.
Selecteer de oplossingen die binnen het gegeven domein [0, 2pi] vallen en die overeenkomen met de gevraagde punten P en Q (dus niet de punten op de x-as).

Waar op letten: Let goed op het domein [0, 2pi] en zorg dat je alle oplossingen binnen dit interval vindt.
Vergeet niet de tweede familie van oplossingen bij sin(A) = sin(B) (de 'pi - B' variant).
Maak onderscheid tussen de snijpunten op de x-as en de gevraagde snijpunten P en Q.
Werk exact; geen afgeronde getallen.

Kernbegrippen: goniometrische functies, snijpunten van grafieken, goniometrische vergelijkingen oplossen, verdubbelingsformules

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de tweede familie oplossingen (x = π - A) bij het oplossen van sin(A)=sin(B).
- Niet alle oplossingen binnen het domein [0, 2π] correct identificeren.
- De oplossingen die op de x-as liggen (sin(x)=0) verwarren met de gevraagde punten P en Q.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Oppervlakte tussen goniometrische functies (5 punten)

De grafieken van f en h snijden elkaar in twee punten. De x-coördinaten van deze twee punten zijn afgerond 1,33 en 2,97.
Bereken de oppervlakte van V met behulp van primitiveren. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Een vraag over het berekenen van de oppervlakte van een gebied ingesloten door twee goniometrische functies. Je krijgt de functies en de snijpunten (integratiegrenzen) gegeven. Je moet primitiveren en een bepaalde integraal berekenen.

Wat moet je kennen: Oppervlakte V = integraal van (bovenste functie - onderste functie) dx
Primitieve van sin(ax) is (-1/a)*cos(ax)
Primitieve van cos(ax) is (1/a)*sin(ax)
Primitieve van een constante c is cx

Wat moet je kunnen: 1. Bepaal de functie h(x) door de transformatie van g(x) toe te passen.
2. Stel de verschilfunctie op: (bovenste functie - onderste functie). Gebruik de figuur om te bepalen welke functie boven ligt.
3. Primitiveer de verschilfunctie term voor term.
4. Vul de gegeven integratiegrenzen in de primitieve in en bereken het verschil (F(b) - F(a)).

Waar op letten: Controleer goed welke functie boven en welke onder ligt om een positieve oppervlakte te krijgen.
Let op de factor 1/a bij het primitiveren van goniometrische functies met een argument ax.
Voer de berekeningen met de afgeronde grenzen nauwkeurig uit en rond pas op het eind af op één decimaal.

Kernbegrippen: oppervlakte tussen krommen, bepaalde integraal, primitiveren, goniometrische functies

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte volgorde in de integraal (h(x) - f(x)), wat leidt tot een negatief antwoord.
- Fouten bij het primitiveren van goniometrische functies, met name de sin(2x) term (vergeten van de factor 1/2 bij de primitieve).
- Teken- of rekenfouten bij het invullen van de grenzen in de primitieve.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Raaklijnen en goniometrische functies (4 punten)

De functie k wordt gegeven door k(x) = ½ tan(x). Zie figuur 3, waarin de grafieken van k en f zijn weergegeven.

De grafiek van k raakt de grafiek van f in een punt met x-coördinaat ⅓π.
4 Bewijs dat voor x = ⅓π de grafieken van k en f elkaar inderdaad raken.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je moet aantonen dat twee grafieken elkaar raken in een specifiek punt. Je krijgt de functievoorschriften van twee goniometrische functies en een x-coördinaat. Je moet differentiëren en exacte waarden berekenen.

Wat moet je kennen: Voorwaarden voor raken van grafieken: f(a) = g(a) én f'(a) = g'(a).
Afgeleide van tan(x): tan'(x) = 1/cos^2(x).
Afgeleide van sin(ax): (sin(ax))' = a*cos(ax).
Afgeleide van cos(ax): (cos(ax))' = -a*sin(ax).
Exacte waarden van goniometrische functies voor x = ⅓π (60 graden): sin(⅓π) = ½sqrt(3), cos(⅓π) = ½, tan(⅓π) = sqrt(3).

Wat moet je kunnen: Controleer of de functiewaarden van beide functies gelijk zijn in het gegeven punt.
Bereken de afgeleide van beide functies met behulp van differentieerregels.
Controleer of de afgeleiden van beide functies gelijk zijn in het gegeven punt.
Substitueer de x-coördinaat exact in de functies en hun afgeleiden.

Waar op letten: Vergeet niet beide voorwaarden voor 'raken' te controleren: gelijke functiewaarde én gelijke afgeleide.
Let goed op de kettingregel bij het differentiëren van functies zoals sin(2x) en cos(2x).
Gebruik exacte waarden voor goniometrische functies; geen afgeronde decimalen.

Kernbegrippen: differentiëren van goniometrische functies, ketenregel, raaklijn, voorwaarden voor raken van grafieken

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten één van de twee voorwaarden voor raken te controleren (f(a)=g(a) én f'(a)=g'(a)).
- Fout bij het differentiëren van tan(x) of de samengestelde functie in f(x).
- Reken- of tekenfout bij het invullen van x = ⅓π in de goniometrische functies.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Afstand epicentrum met golfsnelheden (4 punten)

Een aardbeving ontstaat op een plek in de aarde. Het punt recht boven die plek, op het aardoppervlak, heet het epicentrum van die aardbeving. We bekijken in deze opgave een model over aardbevingen, waarbij we ervan uitgaan dat de aardbeving in het epicentrum ontstaat.

Bij een aardbeving ontstaan verschillende typen golven in de aarde: primaire golven en secundaire golven. Primaire golven zijn sneller dan secundaire golven. We nemen in deze opgave aan dat een primaire golf een constante snelheid van 6 km/s heeft en een secundaire golf een constante snelheid van 3,5 km/s.

Een seismograaf is een meetinstrument waarmee je primaire en secundaire golven van elkaar kunt onderscheiden. Bij een bepaalde aardbeving registreert een seismograaf in een meetstation dat de eerste secundaire golf 17 seconden na de eerste primaire golf bij het meetstation aankomt. Met deze gegevens kun je de afstand d (in km) van de seismograaf tot het epicentrum van de aardbeving bepalen.
Bereken deze afstand d.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het opstellen en oplossen van een stelsel van vergelijkingen. Je krijgt informatie over snelheden en een tijdsverschil, en moet hiermee een onbekende afstand berekenen. Het is een toepassing van het verband tussen afstand, snelheid en tijd.

Wat moet je kennen: Verband afstand, snelheid, tijd: s = v * t (afstand = snelheid * tijd)
Of: v = s/t
Of: t = s/v

Wat moet je kunnen: 1. Definieer de onbekende variabelen (afstand d, tijd t) en noteer de gegeven waarden (snelheden, tijdsverschil).
2. Stel voor elke golf (primair en secundair) een vergelijking op die het verband tussen afstand, snelheid en tijd beschrijft.
3. Gebruik het gegeven tijdsverschil om de twee vergelijkingen aan elkaar te koppelen, zodat een stelsel van vergelijkingen ontstaat.
4. Los het stelsel van vergelijkingen algebraïsch op om de waarde van de gevraagde afstand d te vinden.

Waar op letten: Let goed op het correct modelleren van het tijdsverschil: de langzamere golf doet er langer over. Controleer of je de juiste snelheden aan de juiste golven koppelt. Rond je antwoord pas aan het einde af en vermeld de eenheid (km).

Kernbegrippen: verband afstand, snelheid en tijd, stelsel van vergelijkingen opstellen, stelsel van vergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- tijdverschil verkeerd modelleren (t-17 i.p.v. t+17)
- rekenfouten bij het oplossen van het stelsel
- snelheden van primaire en secundaire golven verwisselen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Epicentrum bepalen met cirkelvergelijkingen (6 punten)

Bereken algebraïsch de coördinaten van de twee mogelijke plaatsen van het epicentrum in kilometers. Geef de coördinaten in je eindantwoord als gehele getallen.

Wat kun je verwachten: Deze vraag vraagt je om de coördinaten van een epicentrum te berekenen. Je krijgt informatie over afstanden tot twee meetstations, wat leidt tot een stelsel van twee cirkelvergelijkingen. Je moet dit stelsel algebraïsch oplossen om de snijpunten te vinden.

Wat moet je kennen: Cirkelvergelijking: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal.
Kwadratische vergelijking: ax^2 + bx + c = 0, oplosbaar met de abc-formule x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a).

Wat moet je kunnen: 1. Stel de vergelijkingen op van de twee cirkels, gebaseerd op de gegeven afstanden en coördinaten van de meetstations.
2. Los het stelsel van de twee cirkelvergelijkingen algebraïsch op, bijvoorbeeld door de vergelijkingen van elkaar af te trekken om een lineaire relatie tussen x en y te vinden.
3. Substitueer de gevonden lineaire relatie in één van de cirkelvergelijkingen om een kwadratische vergelijking in één variabele te verkrijgen.
4. Los de kwadratische vergelijking op om de mogelijke x-waarden te vinden, en bereken vervolgens de bijbehorende y-waarden.

Waar op letten: Let goed op reken- en algebrafouten bij het uitwerken van haakjes en het herleiden van vergelijkingen.
Vergeet niet de coördinaten af te ronden op gehele getallen zoals gevraagd in de opgave.
Controleer of je de juiste waarden substitueert en of je alle stappen zorgvuldig uitvoert.

Kernbegrippen: stelsel van vergelijkingen oplossen, cirkelvergelijking, snijpunten van cirkels, kwadratische vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- en algebrafouten bij het uitwerken van de haakjes
- Vergeten de coördinaten af te ronden op gehele getallen
- Fout bij het substitueren van de lineaire relatie in de cirkelvergelijking

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Aardbevingen model en afwijking (6 punten)

Met behulp van deze twee gegevens is het mogelijk de waarden van *a* en *b* uit te rekenen. Vervolgens kun je met dat model een voorspelling doen van het aantal aardbevingen per jaar met een magnitude van 6,5 of groter.
Onderzoek hoeveel die voorspelling afwijkt van de gegevens in de tabel. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je vaardigheden in het opstellen en oplossen van een stelsel van vergelijkingen met logaritmen, gebaseerd op een exponentieel model. Je moet de parameters van het model bepalen en vervolgens een voorspelling doen, die je vergelijkt met gegeven data uit een tabel.

Wat moet je kennen: Definitie van logaritme: als y = 10^x, dan x = log(y).
Eigenschappen van logaritmen (niet direct nodig voor deze vraag, maar handig om te weten).
Exponentiële functies voor modelleren van groei/afname.

Wat moet je kunnen: Gegevens uit de tabel vertalen naar twee vergelijkingen in de vorm N = 10^(a-b*M).
Deze exponentiële vergelijkingen omzetten naar logaritmische vergelijkingen om een lineair stelsel te krijgen.
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden (a en b) oplossen (bijvoorbeeld met substitutie of eliminatie).
De gevonden waarden van a en b gebruiken om een voorspelling te doen met het model.
Relevante waarden uit de tabel optellen om een totaal te bepalen.
Het verschil tussen de modelvoorspelling en de tabeldata berekenen en afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Rond de waarden van a en b pas aan het einde van de berekening af om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je alle relevante waarden uit de tabel optelt voor de vergelijking.
Zorg dat je het stelsel van vergelijkingen correct opstelt en oplost.

Kernbegrippen: exponentiële en logaritmische functies, stelsel van vergelijkingen oplossen, modelleren met functies, interpreteren van data

Veelgemaakte fouten:
- Te vroeg afronden van de berekende waarden voor a en b, wat leidt tot een significant ander eindantwoord.
- Een rekenfout bij het oplossen van het stelsel van vergelijkingen.
- Het verkeerd optellen van de waarden uit de tabel om het 'werkelijke' aantal aardbevingen te bepalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Hoek tussen vectoren bewijzen (6 punten)

Bewijs dat voor elke waarde van p de hoek tussen de vectoren CP en CA gelijk is aan de hoek tussen de vectoren CA en CQ.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de gelijkheid van twee hoeken tussen vectoren moet aantonen. Je krijgt de coördinaten van de punten en moet de hoeken berekenen met behulp van vectorrekening en algebraïsche vereenvoudiging.

Wat moet je kennen: Vector van punt A naar B: vector(AB) = B - A
Lengte van een vector v = (vx, vy): ||v|| = sqrt(vx^2 + vy^2)
Inproduct van twee vectoren v = (vx, vy) en w = (wx, wy): v * w = vx*wx + vy*wy
Formule voor de cosinus van de hoek alpha tussen twee vectoren v en w: cos(alpha) = (v * w) / (||v|| * ||w||)

Wat moet je kunnen: Stel de coördinaten van de benodigde vectoren op (CP, CA, CQ).
Bereken het inproduct van de vectoren voor elke hoek.
Bereken de lengte van elke vector.
Pas de formule voor de cosinus van de hoek tussen twee vectoren toe voor beide hoeken.
Vereenvoudig de algebraïsche uitdrukkingen voor de cosinussen en toon aan dat ze gelijk zijn.

Waar op letten: Zorg dat je de vectoren correct opstelt (eindpunt - beginpunt).
Wees nauwkeurig met de algebraïsche vereenvoudiging, vooral bij breuken en wortels.
Controleer of je de juiste lengtes en inproducten gebruikt in de formule voor de cosinus.

Kernbegrippen: vectoren, inproduct, hoek tussen vectoren, algebraïsche vaardigheden, goniometrie

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het opstellen van de vectoren, bijvoorbeeld de verkeerde richting (van C naar P is P-C).
- Verkeerde toepassing van de formule voor het inproduct of de lengte van een vector.
- Algebraïsche fouten bij het vereenvoudigen van de goniometrische uitdrukking, met name de breuk met wortels.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Loodrechte vectoren en coördinaten (7 punten)

In figuur 2 is p zo gekozen dat vector QM loodrecht staat op lijnstuk PB. Bereken deze waarde van p. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Deze vraag test je kennis van vectorrekening en coördinatenmeetkunde. Je moet de waarde van een parameter p berekenen, gegeven dat twee vectoren loodrecht op elkaar staan. De vraag omvat het opstellen van coördinaten, vectoren en het oplossen van een vergelijking.

Wat moet je kennen: Coördinaten van het midden van een lijnstuk: M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
Vector AB = (xB - xA, yB - yA)
Inproduct van twee vectoren: a * b = ax*bx + ay*by
Voorwaarde voor loodrechte stand van twee vectoren: a * b = 0

Wat moet je kunnen: Coördinaten van punten bepalen aan de hand van de figuur en gegeven parameters.
Vectoren opstellen met behulp van puntcoördinaten.
Het inproduct van twee vectoren correct berekenen.
Een vergelijking opstellen en oplossen, eventueel met behulp van een grafische rekenmachine (GR).

Waar op letten: Controleer of je de coördinaten van het midden M correct hebt berekend.
Let op de volgorde van de punten bij het opstellen van de vectoren (bijvoorbeeld PB is B-P).
Voorkom algebraïsche fouten bij het uitwerken van het inproduct tot een vergelijking.
Vergeet niet de voorwaarde 0 < p < 1 te gebruiken om de juiste oplossing te kiezen en rond af op twee decimalen.

Kernbegrippen: vectorrekening, inproduct (dot product), loodrechte stand van vectoren, coördinatenmeetkunde, vergelijking numeriek oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het opstellen van de coördinaten van het midden M.
- Verkeerde volgorde van punten bij het opstellen van de vectoren (bv. BP in plaats van PB).
- Algebraïsche fouten bij het uitwerken van het inproduct.
- Vergeten de voorwaarde 0 < p < 1 toe te passen om de juiste oplossing te kiezen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Limiet van een verhouding bij parametrische kromme (4 punten)

Limiet van een verhouding

De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
{ x(t) = t²
{ y(t) = t² − 2t

Gegeven is de lijn met vergelijking x = a, waarbij a > 0.
Deze lijn snijdt de x-as in punt Q en de baan van P in de punten R en S, waarbij de y-coördinaat van S groter is dan de y-coördinaat van R.
Zie de figuur.

figuur
(afbeelding van een assenstelsel met de baan van P en de lijn x=a)

Als a onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding QR/QS tot een limiet.

10 Bereken exact deze limiet.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het berekenen van een limiet van een verhouding. Je krijgt bewegingsvergelijkingen van een punt P en een lijn x=a. Je moet de snijpunten van de lijn met de x-as en de baan van P bepalen, en vervolgens de limiet van een verhouding van afstanden berekenen als 'a' onbegrensd toeneemt.

Wat moet je kennen: Definitie van een limiet: lim(x->inf) c/x^n = 0 voor n > 0
Oplossen van kwadratische vergelijkingen (t^2 = a)
Coördinaten van punten bepalen op basis van bewegingsvergelijkingen

Wat moet je kunnen: De t-waarden bepalen voor de snijpunten van de lijn x=a met de baan van P.
De y-coördinaten van de snijpunten R en S berekenen door de gevonden t-waarden in y(t) te substitueren.
De afstanden QR en QS uitdrukken in 'a'.
De verhouding QR/QS opstellen en algebraïsch vereenvoudigen.
De limiet van de vereenvoudigde verhouding bepalen als a naar oneindig gaat.

Waar op letten: Let goed op de toewijzing van de t-waarden aan de punten R en S, gebaseerd op de y-coördinaten (y_S > y_R).
Vergeet niet dat t^2 = a twee oplossingen heeft: t = sqrt(a) en t = -sqrt(a).
Zorg voor correcte algebraïsche vereenvoudiging van de breuk voordat je de limiet neemt.
Geef de limiet exact.

Kernbegrippen: limieten, parametrische krommen, bewegingsvergelijkingen, algebraïsche vereenvoudiging

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toewijzen van de t-waarden aan de punten R en S, wat kan leiden tot een omgekeerde breuk.
- Fout bij het algebraïsch vereenvoudigen van de breuk, bijvoorbeeld door onjuist delen door a.
- De negatieve oplossing t = -√a vergeten bij het oplossen van t² = a.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Bewijs ligging grafiek t.o.v. scheve asymptoot (3 punten)

11 De grafiek van f₁ heeft een scheve asymptoot. Bewijs dat de grafiek van f₁ boven deze scheve asymptoot ligt.

Wat kun je verwachten: Dit is een bewijsvraag over de ligging van een grafiek ten opzichte van zijn scheve asymptoot. Je krijgt een functievoorschrift en een figuur, en moet aantonen dat de grafiek altijd boven de asymptoot ligt.

Wat moet je kennen: Definitie van een scheve asymptoot: y = ax + b als lim(x->+/-inf) [f(x) - (ax + b)] = 0.
Breuksplitsing of staartdeling van polynomen om f(x) te schrijven als ax + b + restterm.
Eigenschappen van ongelijkheden: als A > B, dan A - B > 0.

Wat moet je kunnen: De functie f(x) herschrijven met behulp van breuksplitsing of staartdeling om de vergelijking van de scheve asymptoot te bepalen.
De restterm van de herschreven functie analyseren om het teken ervan te bepalen.
Een logische redenering opstellen om te bewijzen dat de grafiek boven de asymptoot ligt, gebaseerd op het teken van de restterm.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de functie correct herschrijft naar de vorm ax + b + restterm.
Let goed op het teken van de restterm voor alle relevante waarden van x (het domein).
Vergeet niet te vermelden waarom de restterm altijd positief is, en hoe dit zich vertaalt naar de ligging van de grafiek.

Kernbegrippen: scheve asymptoot, limieten, breuksplitsing, ongelijkheden

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd uitvoeren van de staartdeling of breuksplitsing om de asymptoot te vinden.
- Niet correct redeneren waarom de restterm altijd positief is.
- Vergeten het domein (x ≠ 0) in de redenering te betrekken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Toppen op een lijn bewijzen (5 punten)

Voor elke waarde van p > 0 heeft de grafiek van f_p één top.
Bewijs dat er een lijn is waarop al deze toppen liggen.

Wat kun je verwachten: Een bewijsvraag waarbij je de toppen van een functie met parameter moet bepalen en vervolgens aantonen dat deze toppen op één lijn liggen. Je moet differentiëren, vergelijkingen oplossen en algebraïsch herleiden.

Wat moet je kennen: Quotiëntregel: (f/g)' = (f'*g - f*g') / g^2
Productregel: (f*g)' = f'*g + f*g'
Machtsregel: (x^n)' = n*x^(n-1)
Definitie van een top: f'(x) = 0

Wat moet je kunnen: De functie differentiëren met de quotiëntregel (of door de functie te herschrijven en dan de som- en machtsregel toe te passen).
De afgeleide gelijkstellen aan nul en de x-coördinaat van de top uitdrukken in de parameter p.
De gevonden x-coördinaat invullen in de oorspronkelijke functie om de y-coördinaat van de top te vinden, uitgedrukt in p.
De parameter p elimineren uit de uitdrukkingen voor x en y om een verband tussen y en x te vinden (de vergelijking van de lijn).

Waar op letten: Let goed op het minteken in de quotiëntregel.
Behandel de parameter p als een constante bij het differentiëren.
Zorg dat je de parameter p volledig elimineert om de vergelijking van de lijn te vinden, niet alleen een relatie tussen x, y en p.

Kernbegrippen: differentiëren met de quotiëntregel, extremen van een functie bepalen, parameter-eliminatie, algebraïsch herleiden, bewijsvoering

Veelgemaakte fouten:
- Fouten in de quotiëntregel, met name het minteken.
- De parameter p als variabele behandelen bij het differentiëren.
- Na het vinden van de coördinaten van de top (uitgedrukt in p), de stap vergeten om de relatie tussen y en x te bewijzen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Absolute natuurlijke logaritme en lijnstukken (6 punten)

Absolute natuurlijke logaritme

De functie f wordt gegeven door f(x) = |ln(x)|.
Gegeven is verder de horizontale lijn met vergelijking y = q, met q > 0.
Deze lijn snijdt de y-as in het punt A en de grafiek van f in de punten B en C met x_B < x_C. Zie de figuur.

figuur
[figuur van een assenstelsel met de grafiek van f(x)=|ln(x)| en een horizontale lijn y=q]

Er is een waarde van q waarvoor de lengte van lijnstuk BC drie keer zo groot is als de lengte van lijnstuk AB.
13 Bereken exact deze waarde van q.

Wat kun je verwachten: Deze vraag gaat over het oplossen van een vergelijking met een absolute waarde en een natuurlijke logaritme. Je moet de snijpunten van de functie f(x)=|ln(x)| met een horizontale lijn y=q bepalen en vervolgens een relatie tussen de lengtes van lijnstukken gebruiken om de exacte waarde van q te berekenen.

Wat moet je kennen: Definitie van absolute waarde: |a| = a als a >= 0, en |a| = -a als a < 0.
Eigenschappen van logaritmen: ln(e^x) = x en e^(ln(x)) = x.
Eigenschappen van logaritmen: ln(a) + ln(b) = ln(a*b) en ln(a) - ln(b) = ln(a/b) en n*ln(a) = ln(a^n).
De grafiek van ln(x) is positief voor x > 1 en negatief voor 0 < x < 1.

Wat moet je kunnen: De absolute waarde correct opheffen door te kijken naar het teken van de uitdrukking binnen de absolute waarde.
De x-coördinaten van de snijpunten B en C uitdrukken in q door logaritmische vergelijkingen op te lossen.
De lengtes van de lijnstukken AB en BC bepalen met behulp van de x-coördinaten.
Een exponentiële vergelijking algebraïsch oplossen om de exacte waarde van q te vinden.

Waar op letten: Let goed op het domein van ln(x), namelijk x > 0.
Controleer of je de absolute waarde correct hebt opgeheven voor zowel x_B als x_C, afhankelijk van of ln(x) positief of negatief is.
Zorg ervoor dat je de lengtes van de lijnstukken correct opstelt: lengte is altijd een positieve waarde.
Geef de waarde van q exact, dus niet afronden.

Kernbegrippen: absolute waarde, logaritmische functies, logaritmische vergelijkingen, exponentiële functies, afstanden op een lijn

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd oplossen van de absolute waarde, bijvoorbeeld ln(x) = q en ln(x) = -q zonder rekening te houden met het teken van ln(x).
- Fout bij het opstellen van de lengtes van de lijnstukken AB en BC.
- Algebraïsche fout bij het oplossen van de exponentiële vergelijking e^q = 4e^{-q}.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Coördinaat P' met hoek en afstand (6 punten)

De functie f wordt gegeven door f(x) = 6√x.
Het punt P is een punt op de grafiek van f rechts van de y-as.
Zie de figuur.

In de figuur is het punt P zo gekozen dat er een punt P' bestaat met de volgende eigenschappen:
– P' ligt op de negatieve x-as;
– Lijnstuk OP' heeft dezelfde lengte als lijnstuk OP;
– ∠POP' = 120°.

14 Bereken exact de x-coördinaat van P'.

Wat kun je verwachten: Deze vraag combineert analytische meetkunde met goniometrie. Je krijgt een functie, een punt P op de grafiek en een punt P' op de negatieve x-as. Gegeven zijn de lengte van OP en OP' (gelijk) en de hoek ∠POP' (120°). Je moet de x-coördinaat van P' exact berekenen.

Wat moet je kennen: Definitie van de tangens in een rechthoekige driehoek: tan(hoek) = overstaande zijde / aanliggende zijde
Relatie tussen hellingshoek α en richtingscoëfficiënt m: m = tan(α)
Afstandsformule tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2): afstand = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
Eigenschappen van bijzondere driehoeken (bijv. 30-60-90 driehoek) of exacte goniometrische waarden (bijv. tan(60°))

Wat moet je kunnen: De hellingshoek van lijnstuk OP bepalen door de gegeven hoek van 120° en de ligging van P' op de negatieve x-as te gebruiken.
De richtingscoëfficiënt van lijn OP berekenen met behulp van de hellingshoek.
Een vergelijking opstellen door de richtingscoëfficiënt van OP gelijk te stellen aan (y_P - y_O) / (x_P - x_O) en hierin de functie f(x) te gebruiken.
Een wortelvergelijking exact oplossen door te kwadrateren en de oplossingen te controleren.
De lengte van OP berekenen met de afstandsformule of Pythagoras, en daarmee de x-coördinaat van P' bepalen.

Waar op letten: Let goed op de hoek: de 120° is ∠POP', niet de hellingshoek van OP. De hellingshoek van OP is 180° - 120° = 60°.
Controleer altijd je oplossingen bij het kwadrateren van wortelvergelijkingen, want er kunnen 'valse' oplossingen ontstaan.
Vergeet niet dat P' op de negatieve x-as ligt, dus de x-coördinaat van P' moet negatief zijn.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, goniometrie, hellingshoek en richtingscoëfficiënt, wortelvergelijkingen oplossen, afstandsformule

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de hoek van 120° met de hellingshoek van lijn OP.
- Rekenfouten bij het kwadrateren van de wortelvergelijking.
- Vergeten dat P' op de negatieve x-as ligt, en daardoor een positief eindantwoord geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/14

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2021
tijdvak 1
maandag 17 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Dit examen bestaat uit 14 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-21-1-o

### Pagina 2

Formules
Goniometrie
$ \sin(t + u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u) $
$ \sin(t - u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u) $
$ \cos(t + u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u) $
$ \cos(t - u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u) $
$ \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) $
$ \cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t) $
VW-1025-a-21-1-o
2 / 12
lees verder ▶▶▶

### Pagina 3

Parabool en twee lijnen

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x - x^2$.
Het punt $T(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ is de top van de grafiek van $f$.
De lijn $l$ is de raaklijn aan de grafiek van $f$ in de oorsprong.
De lijn $m$ staat loodrecht op lijn $l$ en gaat door $T$.
$V$ is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn $m$ en de grafiek van $f$.
Zie de figuur.

figuur

[FIGUUR: Een parabool met top T op de y-as. De x-as en y-as zijn getekend. Lijn l raakt de parabool in de oorsprong O. Lijn m staat loodrecht op lijn l en gaat door T. Lijn m snijdt de parabool bij O en T. Het vlakdeel V is begrensd door de lijn m en de parabool.]

8p 1 Bereken exact de oppervlakte van $V$.

VW-1025-a-21-1-o 3 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 4

Goniometrische functies

De functies $f$ en $g$ worden voor $0 \le x \le 2\pi$ gegeven door:
$f(x) = 2\sin(x) - \sin(2x)$
$g(x) = \sin(2x)$
De grafieken van $f$ en $g$ hebben vijf gemeenschappelijke punten. Drie van
deze punten liggen op de x-as. De andere twee punten zijn $P$ en $Q$.
Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de functies f en g. De x-as loopt van 0 tot ongeveer 2pi. De y-as loopt van ongeveer -2 tot 2. De functie f is een golvende lijn die begint op de oorsprong, stijgt tot een piek, daalt door de x-as en eindigt weer op de x-as. De functie g is een golvende lijn die begint op de oorsprong, stijgt tot een piek, daalt door de x-as, bereikt een dal en stijgt weer. De twee grafieken snijden elkaar op de oorsprong, bij P en bij Q. De oorsprong is aangegeven met O. De punten P en Q liggen op de x-as.]

4p 2 Bereken exact de x-coördinaten van $P$ en $Q$.

De grafiek van $g$ wordt 1 omhoog geschoven. Zo ontstaat de grafiek van
de functie $h$. Zie figuur 2.
$V$ is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van $f$ en $h$. In
figuur 2 is dit gebied grijs gemaakt.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de functies f en h. De x-as loopt van 0 tot ongeveer 2pi. De y-as loopt van ongeveer -1 tot 3. De functie f is een golvende lijn die begint op de oorsprong, stijgt tot een piek, daalt door de x-as en eindigt weer op de x-as. De functie h is een golvende lijn die begint op y=1, stijgt tot een piek, daalt door de x-as, bereikt een dal en stijgt weer. Het gebied V is grijs gemaakt en wordt begrensd door de functie f en de functie h. De punten h en V zijn aangegeven.]

De grafieken van $f$ en $h$ snijden elkaar in twee punten. De x-coördinaten
van deze twee punten zijn afgerond 1,33 en 2,97.

5p 3 Bereken de oppervlakte van $V$ met behulp van primitiveren. Geef je
eindantwoord in één decimaal.

VW-1025-a-21-1-o 4 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

De functie $k$ wordt gegeven door $k(x) = \frac{1}{2}\tan(x)$. Zie figuur 3, waarin de
grafieken van $k$ en $f$ zijn weergegeven.

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gelabeld met 'y' en de x-as met 'x'. Er zijn twee grafieken getekend: een curve gelabeld met 'f' die in een holle U-vorm begint, een asymptoot heeft en naar boven toeneemt, en een curve gelabeld met 'k' die lijkt op een tangensfunctie, met verticale asymptoten. Er is een verticale stippellijn getrokken.]

De grafiek van $k$ raakt de grafiek van $f$ in een punt met x-coördinaat $\frac{1}{3}\pi$.
4p 4 Bewijs dat voor $x = \frac{1}{3}\pi$ de grafieken van $k$ en $f$ elkaar inderdaad raken.

VW-1025-a-21-1-o 5 / 12 lees verder ▶▶▶

### Pagina 6

Aardbevingen
Een aardbeving ontstaat op een plek in de aarde. Het punt recht boven die plek, op het aardoppervlak, heet het epicentrum van die aardbeving. We bekijken in deze opgave een model over aardbevingen, waarbij we ervan uitgaan dat de aardbeving in het epicentrum ontstaat.
Bij een aardbeving ontstaan verschillende typen golven in de aarde: primaire golven en secundaire golven. Primaire golven zijn sneller dan secundaire golven. We nemen in deze opgave aan dat een primaire golf een constante snelheid van 6 km/s heeft en een secundaire golf een constante snelheid van 3,5 km/s.
4p 5 Een seismograaf is een meetinstrument waarmee je primaire en secundaire golven van elkaar kunt onderscheiden. Bij een bepaalde aardbeving registreert een seismograaf in een meetstation dat de eerste secundaire golf 17 seconden na de eerste primaire golf bij het meetstation aankomt. Met deze gegevens kun je de afstand $d$ (in km) van de seismograaf tot het epicentrum van de aardbeving bepalen. Bereken deze afstand $d$.
Om de plaats van het epicentrum te bepalen worden de meetgegevens van verschillende meetstations gecombineerd. In een bepaald gebied staan twee meetstations: S en T. Meetstation T ligt 192 km oostelijker en 128 km noordelijker dan meetstation S.
Uit de metingen in meetstation S volgt dat het epicentrum van de aardbeving op een afstand van 240 km van dit meetstation S ligt.
Uit de metingen in meetstation T volgt dat het epicentrum op 80 km van dit meetstation T ligt.
Op grond van deze gegevens zijn er twee mogelijke plaatsen van het epicentrum aan te wijzen. Om deze plaatsen te bepalen worden de meetstations in een assenstelsel geplaatst, waarbij meetstation S in de oorsprong ligt. De coördinaten van meetstation T zijn dan (192, 128). Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De y-as loopt van 0 tot 100+. De x-as loopt van 0 tot 200+. Op de x-as staat een punt met de letter S ernaast. Verderop op de x-as staan de getallen 100 en 200. Op de y-as staat het getal 100. Boven de x-as, in het midden van de grafiek, staat een stip met de letter T erboven.]
VW-1025-a-21-1-o 6 / 12 lees verder

### Pagina 7

6p 6 Bereken algebraïsch de coördinaten van de twee mogelijke plaatsen van het epicentrum in kilometers. Geef de coördinaten in gehele getallen.
De zwaarte van een aardbeving wordt uitgedrukt in een getal: de magnitude. Een zware aardbeving heeft een grote magnitude, een lichte aardbeving heeft een kleine magnitude. De United States Geological Survey heeft voor verschillende magnitudes onderzocht hoe vaak aardbevingen met die magnitude in een bepaald gebied voorkwamen.
Zie de tabel.

[FIGUUR: Tabel met magnitude-intervallen en gemiddeld aantal aardbevingen per jaar]

Tabel
magnitude | gemiddeld aantal aardbevingen per jaar
------- | --------
6,0 – 6,4 | 210
6,5 – 6,9 | 56
7,0 – 7,4 | 15
7,5 – 7,9 | 3,1
8,0 – 8,4 | 1,1
8,5 – 8,9 | 0,3

De onderzoekers Gutenberg en Richter hebben een model ontwikkeld om het aantal aardbevingen per jaar in een gebied te voorspellen. Dit model is van de vorm:
$$ N = 10^{a-bM} $$
Hierin is $M$ de magnitude en $N$ het te verwachten aantal aardbevingen per jaar met deze magnitude $M$ of groter. De waarden van $a$ en $b$ zijn constanten.
Uit de tabel kun je afleiden dat er gemiddeld 285,5 aardbevingen per jaar zijn met een magnitude van 6,0 of groter. Ook kun je afleiden dat er gemiddeld 4,5 aardbevingen per jaar zijn met een magnitude van 7,5 of groter.
Met behulp van deze twee gegevens is het mogelijk de waarden van $a$ en $b$ uit te rekenen. Vervolgens kun je met dat model een voorspelling doen van het aantal aardbevingen per jaar met een magnitude van 6,5 of groter.
6p 7 Onderzoek hoeveel die voorspelling afwijkt van de gegevens in de tabel. Geef je eindantwoord als geheel getal.

VW-1025-a-21-1-o
7 / 12
lees verder ▶▶▶

### Pagina 8

Een vierkant en vier vectoren
Gegeven is het vierkant $OABC$ met hoekpunten $O(0, 0)$, $A(1, 0)$, $B(1, 1)$ en $C(0, 1)$. Verder zijn gegeven het punt $P(p, 0)$ en het punt $Q(\frac{1}{p}, 0)$, met $0 < p < 1$.
In figuur 1 zijn de vectoren $\vec{CP}$, $\vec{CA}$ en $\vec{CQ}$ voor een willekeurige waarde van $p$ weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as links van de oorsprong en de x-as onder de oorsprong. De oorsprong is gemarkeerd met O. Op de x-as liggen de punten P en Q. Op de y-as ligt het punt C op hoogte 1. Het vierkant OABC heeft hoekpunten O(0,0), A(1,0), B(1,1) en C(0,1). De punten P en Q liggen op de x-as. P is tussen O en A. Q ligt rechts van A. Er zijn drie vectoren getekend die vertrekken vanuit C: naar P, naar A en naar Q.]
6p 8 Bewijs dat voor elke waarde van $p$ de hoek tussen de vectoren $\vec{CP}$ en $\vec{CA}$ gelijk is aan de hoek tussen de vectoren $\vec{CA}$ en $\vec{CQ}$.
$M$ is het midden van lijnstuk $PB$. Zie figuur 2, waarin ook lijnstuk $PB$ en vector $\vec{QM}$ zijn getekend.
figuur 2
[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as links van de oorsprong en de x-as onder de oorsprong. De oorsprong is gemarkeerd met O. Op de x-as ligt het punt P. Op de y-as ligt het punt C op hoogte 1. Het vierkant OABC heeft hoekpunten O(0,0), A(1,0), B(1,1) en C(0,1). Het punt P ligt op de x-as. M is het midden van PB. Een vector QM is getekend.]
7p 9 In figuur 2 is $p$ zo gekozen dat vector $\vec{QM}$ loodrecht staat op lijnstuk $PB$. Bereken deze waarde van $p$. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
VW-1025-a-21-1-o 8 / 12
le es verder
Beschikbaar gesteld door Stichting Studieve geleiding Leiden (SSL).

### Pagina 9

Limiet van een verhouding

De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen:

$$
\begin{cases}
x(t) = t^2 \\
y(t) = t^2 - 2t
\end{cases}
$$

Gegeven is de lijn met vergelijking $x = a$, waarbij $a > 0$.
Deze lijn snijdt de x-as in punt Q en de baan van P in punten R en S, waarbij de y-coördinaat van S groter is dan de y-coördinaat van R. Zie de figuur.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is gemarkeerd met O. Een curve die begint bij O en naar rechtsboven buigt is de baan van punt P. Een verticale lijn op $x=a$ snijdt de x-as bij punt Q en de curve bij punt S. De x-as is gemarkeerd met O en x. De y-as is gemarkeerd met y. Er is ook een lijn getekend die door S en R gaat. Punt R ligt op de curve en de y-as.]

Als a onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding $\frac{QR}{QS}$ tot een limiet.

4p 10 Bereken exact deze limiet.

VW-1025-a-21-1-o 9 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 10

Gebroken functie met een parameter
Voor $p > 0$ wordt de functie $f_p$ gegeven door:
$$f_p(x) = \frac{x^3+4p}{x^2}$$
In de figuur is de grafiek van $f_1$ weergegeven.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met een verticale asymptoot bij x=0 en een schuine asymptoot. De grafiek heeft een lokale maximum en een lokale minimum.]
3p 11 De grafiek van $f_1$ heeft een scheve asymptoot.
Bewijs dat de grafiek van $f_1$ boven deze scheve asymptoot ligt.
5p 12 Voor elke waarde van $p > 0$ heeft de grafiek van $f_p$ één top.
Bewijs dat er een lijn is waarop al deze toppen liggen.
VW-1025-a-21-1-o
10 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 11

Absolute natuurlijke logaritme

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=|\ln(x)|$.
Gegeven is verder de horizontale lijn met vergelijking $y=q$, met $q>0$.
Deze lijn snijdt de $y$-as in het punt $A$ en de grafiek van $f$ in de
punten $B$ en $C$ met $x_B < x_C$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek van de absolute waarde van de natuurlijke logaritme. De y-as is verticaal, de x-as is horizontaal. De oorsprong is gemarkeerd met O. Er is een horizontale lijn getekend op hoogte y=q, die de y-as snijdt bij punt A en de grafiek van f snijdt bij punten B en C. De grafiek van f heeft een V-vorm, met het minimum op de x-as.]

Er is een waarde van $q$ waarvoor de lengte van lijnstuk $BC$ drie keer zo
groot is als de lengte van lijnstuk $AB$.
6p 13 Bereken exact deze waarde van $q$.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
VW-1025-a-21-1-o 11 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 12

P en P'

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=6\sqrt{x}$.
Het punt $P$ is een punt op de grafiek van $f$ rechts van de y-as.
Zie de figuur.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is aangegeven met O. Een curve, gelabeld met $f$, begint bij O en buigt naar rechtsboven. Er zijn twee punten P en P'. P ligt op de curve en aan de rechterkant van de y-as. P' ligt op de negatieve x-as, links van O. Een lijnstuk verbindt O met P. Een ander lijnstuk verbindt O met P'. Er is een boog getekend tussen de lijnstukken OP en OP', met de boog aan de kant van de curve, met de tekst 120° erbij.]

In de figuur is het punt $P$ zo gekozen dat er een punt $P'$ bestaat met de
volgende eigenschappen:
- $P'$ ligt op de negatieve x-as;
- Lijnstuk $OP'$ heeft dezelfde lengte als lijnstuk $OP$;
- $\angle POP' = 120^\circ$.

6p 14 Bereken exact de x-coördinaat van $P'$.

VW-1025-a-21-1-o 12 / 12 einde ■