# Eindexamen Wiskunde B VWO 2019 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2019/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2019
tijd vak 2
woensdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee red enen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-19-2-o

### Pagina 2

Formules
 Goniometrie
$\sin(t + u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$
$\sin(t - u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$
$\cos(t + u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$
$\cos(t - u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$
$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$
$\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$
VW-1025-a-19-2-o
2 / 15
lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Minimale lengte
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x(x-3)^2 + 2$. Op de grafiek van $f$
ligt het punt $P$. Verder is gegeven het punt $A(7, 0)$. Zie de figuur.
De lengte van lijnstuk $AP$ hangt af van de positie van $P$. In de figuur is $P$
zó gekozen dat de lengte van lijnstuk $AP$ minimaal is.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek van de functie f met de y-as links van de oorsprong en de x-as onder de oorsprong. De functie f begint laag op de y-as, stijgt tot een maximum, daalt dan en stijgt weer omhoog. De oorsprong is gemarkeerd met O. Een punt P ligt op de grafiek van f. Een lijnstuk verbindt P met punt A op de x-as. Het punt A ligt rechts van de oorsprong. De curve van f is gelabeld met 'f'.]

4p 1 Bereken deze minimale lengte. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
VW-1025-a-19-2-o
3 / 15
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Bewegend punt

De beweging van een punt $P$ wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = \cos(2t) - \sin(2t) \\
y(t) = \sin(2t) - \sin(t)
\end{cases}
\quad \text{met } 0 \le t \le 2\pi
$$
Op verschillende tijdstippen bevindt $P$ zich op de $x$-as. Op een van die tijdstippen bevindt $P$ zich links van de $y$-as. Zie figuur 1, waarin de positie van $P$ op dit tijdstip is aangegeven.
2 Bereken exact de $x$-coördinaat van $P$ op dit tijdstip.
4p

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met een x- en y-as. Er is een kromme getekend. Een punt $P$ ligt op de x-as, links van de oorsprong. Een horizontale lijnstuk loopt vanaf de oorsprong naar punt P.]

Op de tijdstippen $t = 0$ en $t = \pi$ bevindt $P$ zich in hetzelfde punt. Dit punt is met een stip aangegeven in figuur 2. Ook zijn de snelheidsvector van $P$ op tijdstip $t = 0$ en de snelheidsvector van $P$ op tijdstip $t = \pi$ aangegeven.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met een x- en y-as. De oorsprong is aangegeven met O. Er zijn twee snelheidsvectoren getekend, beide beginnend bij een punt P op de x-as. De vectoren wijzen weg van P en hebben verschillende richtingen en lengtes.]

3 Bereken algebraïsch de hoek in graden tussen deze twee snelheidsvectoren. Geef je eindantwoord in één decimaal.
6p

VW-1025-a-19-2-o 4 / 15 lees verder

### Pagina 5

Raaklijn in knikpunt
De functie $f$ wordt gegeven door:
$f(x) = |x-2| \cdot (\frac{1}{2}x+2)+1$
De grafiek van $f$ heeft een knik in het punt $A$. Dit punt verdeelt de grafiek in twee delen. De lijn $l$ is de raaklijn in $A$ aan het linker deel van de grafiek. Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. De grafiek van de functie $f$ begint links onder en stijgt naar links. Vanaf punt A gaat de grafiek steil omhoog naar rechts. De lijn $l$ is een stippellijn die punt A raakt aan de linker kant van de grafiek.]
5p 4 Stel op exacte wijze een vergelijking van lijn $l$ op.
VW-1025-a-19-2-o 5 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 6

Optimale snijsnelheid

In de metaalindustrie worden met een boormachine gaten in harde materialen geboord. Zie de foto.

[FIGUUR: Een close-up foto van een boormachine die een gat boort in een metalen oppervlak, waarbij metaalslijpsel zichtbaar is.]

De levensduur van een boor is afhankelijk van de (snij)snelheid: dit is de snelheid waarmee de buitenkant van de boor door het metaal snijdt. Bij een hoge snijsnelheid zal de boor snel slijten waardoor de levensduur kort is.

Rond 1900 stelde F.W. Taylor het volgende verband vast:

$$ V \cdot T^m = C $$

Hierin is:
- $V$ de (snij)snelheid van de boor (in meter per minuut (m/min)) ($V$ ligt vaak tussen de 5 en 150 m/min),
- $T$ de levensduur (in minuten),
- $m$ een constante die afhangt van het materiaal waarvan de boor is gemaakt,
- $C$ een constante die afhangt van het materiaal waarin wordt geboord.

De waarden van $m$ en $C$ worden experimenteel bepaald.
De resultaten van een meting in een bepaalde situatie zijn:
- Bij een snelsnelheid van 20 m/min is de levensduur 116 minuten.
- Bij een snelsnelheid van 30 m/min is de levensduur 40 minuten.

4p 5
Bereken algebraïsch de waarden van $m$ en $C$ in deze situatie. Geef $m$ in twee decimalen en $C$ als geheel getal.

In een fabriek boort één boormachine 24 uur per dag dezelfde soort gaten. Het is belangrijk de snelheid van de boor goed in te stellen: een hoge snijsnelheid betekent dat het boren van een gat minder tijd kost. Maar daar staat tegenover dat de boor sneller vervangen moet worden. Men wil berekenen bij welke snelheid $V$ het aantal geboorde gaten $A$ per 24 uur maximaal is.

VW-1025-a-19-2-o 6 / 15 lees verder

### Pagina 7

Om $A$ uit te kunnen drukken in $V$ doen we de volgende aannames:
a Het aantal gaten $N$ dat in één minuut geboord kan worden, is recht
evenredig met de snelheid $V$ van de boor. Bij een snelheid van
20 m/min boort deze boor 6 gaten in één minuut.
b Met behulp van de formule van Taylor is te berekenen na hoeveel
minuten boren de boor vervangen moet worden. Voor het boorproces
in deze fabriek geldt $C=150$ en $m=0,25$, dus $V \cdot T^{0,25}=150$.
c Het vervangen van een boor kost telkens 2 minuten. De boormachine
is dus maar een deel van de tijd bezig met boren.
Voor dit deel $d$ geldt: $d=\frac{T}{T+2}$.
d Voor het aantal geboorde gaten $A$ per 24 uur geldt: $A=1440 \cdot N \cdot d$.
Met de aannames a, b, c en d kun je voor $A$ de volgende formule
opstellen:
$$A = \frac{432V}{2\frac{V^4}{150^4} + 1}$$
5p 6 Leid deze formule voor $A$ af uit de aannames a, b, c en d.
In de figuur is de grafiek van $A$ weergegeven voor $5 \leq V \leq 150$.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as A (tot 30000) en op de x-as V (tot 150). De grafiek begint bij V=0, A=0, stijgt tot een maximum rond V=100 en daalt daarna.]
5p 7 Uit de grafiek blijkt dat er een snelheid is waarbij het aantal geboorde
gaten per 24 uur maximaal is.
Bereken algebraïsch deze snelheid in m/min. Geef je eindantwoord
in één decimaal.
VW-1025-a-19-2-o 7 / 15 lees verder ▶▶▶

### Pagina 8

Hierbij een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina**:
Opgave (examenopgave)

**2. Visuele elementen**:
*   **Grafiek 1 (Figuur 1)**: Een 2D-grafiek met een x-as die loopt van 0 tot π en een y-as die van 0 tot 2 loopt. De grafiek toont de functie $f(x) = 2\sin(x)$. Een gedeelte van het gebied onder de grafiek is grijs gekleurd, begrensd door de x-as, de verticale lijn $x = p$ en de verticale lijn $x = \pi - p$. De coördinatenassen zijn gelabeld met 'O' voor de oorsprong.
*   **Grafiek 2 (Figuur 2)**: Zelfde als Figuur 1, maar nu zijn de punten P en Q aangegeven op de grafiek $f$. Een horizontale lijn verbindt P en Q. Deze lijn verdeelt het grijze gebied in twee delen: een bovenste deel gelabeld met 'V' en een onderste deel gelabeld met 'W'.

**3. Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
*   **Integralen en oppervlakteberekening**: Het bepalen van de oppervlakte onder een curve (sinusfunctie) door middel van integratie.
*   **Trigonometrische functies**: Werken met de sinus- en cosinusfunctie.
*   **Algebraïsche manipulatie**: Uitdrukkingen met p en $\pi$ vereenvoudigen en gelijkstellen.
*   **Vergelijkingen oplossen**: Het vinden van een specifieke waarde van p die aan een bepaalde voorwaarde voldoet.

**4. Context**:
De student wordt gevraagd om:
*   Bewijs te leveren voor een gegeven formule voor de oppervlakte $A(p)$ onder een sinusgrafiek, begrensd door specifieke lijnen. Dit houdt in dat de student de oppervlakte moet berekenen met behulp van definite integralen en dit moet aantonen dat het overeenkomt met de gegeven formule $A(p) = 4\cos(p)$.
*   Een specifieke waarde van $p$ te berekenen waarbij de

### Pagina 9

Horizontale en verticale asymptoot
De functie $f$ wordt gegeven door:
$$f(x) = \frac{e^{2x} - 1000}{e^x - 10}$$
De grafiek van $f$ heeft een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. In de figuur is de grafiek van $f$ met de beide asymptoten weergegeven. De twee asymptoten snijden elkaar in het punt $B$. Het punt $A$ is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de y-as. Het punt $C$ is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de grafiek van $f$.
figuur
[FIGUUR: Grafiek van een functie f, met een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. De x-as en y-as zijn getekend met de oorsprong O. De horizontale asymptoot is een horizontale lijn links van het punt A en gaat dan verder naar rechts. Het punt A ligt op de y-as. De verticale asymptoot is een verticale lijn. De functie f is een kromme die de verticale asymptoot nadert aan de rechterkant en de horizontale asymptoot aan de linkerkant. Het punt B is het snijpunt van de horizontale en verticale asymptoten. Het punt C ligt op de horizontale asymptoot en op de grafiek van f.]
7p 10 Bewijs dat $B$ het midden is van lijnstuk $AC$.
VW-1025-a-19-2-0

### Pagina 10

Wind aan zee
Wind heeft een richting en een snelheid. Daarom kan wind als een vector
worden weergegeven. In de figuren bij deze opgave wordt een wind met
een snelheid van 1 m/s weergegeven als een vector van 1 cm.

Op een warme zomerdag worden aan de kust de windrichting en de
windsnelheid door twee processen bepaald:
- de luchtstroming van een gebied met hoge luchtdruk naar een gebied
met lage luchtdruk: dit is wind $\vec{w}_d$.
- de luchtstroming die ontstaat doordat de temperatuur boven zee
anders is dan boven land: dit is wind $\vec{w}_z$. We gaan er in deze opgave
van uit dat deze wind loodrecht op de kustlijn staat en richting het land
waait.
In figuur 1 is een voorbeeldsituatie getekend waarbij wind $\vec{w}_d$ in westelijke
richting waait.

figuur 1
[FIGUUR: Een diagram met een kompas en twee assen die een kustlijn voorstellen. De kustlijn loopt schuin van linksboven naar rechtsonder, met "land" aan de rechterkant en "zee" aan de linkerkant. De oorsprong van de assen is gemarkeerd met "O". Er zijn drie vectoren getekend: $\vec{w}_r$ wijst naar links-onder op de zee, $\vec{w}_d$ wijst naar links op de kustlijn, en $\vec{w}_z$ wijst naar rechts-onder op het land. Er is een loodrechte hoek aangegeven tussen de kustlijn en de vector $\vec{w}_z$.]

De resulterende wind $\vec{w}_r$ is de wind zoals die wordt ervaren door iemand
die zich aan de kust in punt $O$ bevindt. Er geldt: $\vec{w}_r = \vec{w}_z + \vec{w}_d$.

Op de uitwerkbijlage is een deel van een kust getekend. Er geldt:
- De wind $\vec{w}_d$ waait met een snelheid van 4 m/s landinwaarts.
- De wind $\vec{w}_z$ waait met een snelheid van 6 m/s.
- De resulterende wind $\vec{w}_r$ waait evenwijdig met de kustlijn.

Op basis van bovenstaande drie gegevens zijn er twee mogelijkheden
voor $\vec{w}_d$.

4p 11 Teken op de uitwerkbijlage deze twee vectoren $\vec{w}_d$. Neem daarbij punt $O$
als beginpunt van $\vec{w}_d$. Licht je aanpak toe.

VW-1025-a-19-2-o
10 / 15
lees verder

### Pagina 11

Op een plek langs de Nederlandse kust (in figuur 2 het punt $O$) maakt de
kustlijn een hoek van $30^\circ$ met het noorden. Op zekere dag waait de
wind $\vec{w}_d$ met een snelheid van $5$ m/s in zuidwestelijke richting. De
wind $\vec{w}_z$ heeft een snelheid van $3$ m/s en staat loodrecht op de kustlijn.
In figuur 2 zijn de lijn noord-zuid en de lijn oost-west de assen van het
assenstelsel. De lijn door $O$ waar vector $\vec{w}_d$ op ligt, is gestippeld
getekend; die maakt dus een hoek van $45^\circ$ met het noorden.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 2
[FIGUUR: Een assenstelsel met de oorsprong O. De noord-as loopt verticaal omhoog, de oost-as horizontaal naar rechts. De kustlijn is een lijn die een hoek van 30 graden maakt met de noord-as, naar het oosten toe. Er is een vector w_d getekend, die op een gestippelde lijn ligt die een hoek van 45 graden maakt met de noord-as, naar het oosten toe. Er is ook een vector w_z getekend, die loodrecht op de kustlijn staat en naar het zuiden en oosten wijst. De sector zee ligt aan de kant van de noord-as en de oost-as. Het land ligt in de andere sector.]

5p 12 Bereken algebraïsch de snelheid in m/s van de resulterende wind. Geef je
eindantwoord in één decimaal. Je kunt bij deze vraag de uitwerkbijlage
gebruiken.

VW-1025-a-19-2-o 11 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 12

Twee logaritmische functies

De functies $f$ en $g$ worden gegeven door:
$f(x)=\log(\sqrt{x})$ en $g(x)=\log(x\sqrt{x})-1$
De lijn met vergelijking $y=q$ snijdt de grafiek van $f$ in het punt $A$ en de grafiek van $g$ in het punt $B$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as links en de x-as onder. Twee kromme lijnen, $f$ en $g$, beginnen boven de x-as en lopen naar rechts omhoog. Een horizontale lijn met vergelijking $y=q$ snijdt beide krommen. Het snijpunt met $f$ is punt $A$, het snijpunt met $g$ is punt $B$.]

Er zijn waarden van $q$ waarvoor $A$ links van $B$ ligt en de lengte van lijnstuk $AB$ gelijk is aan 3.
13 Bereken deze waarden van $q$. Geef je eindantwoorden in twee decimalen.
4p

### Pagina 13

Het snijpunt van de twee grafieken ligt bij $x = 10$.
Gegeven is $p > 10$. De lijn met vergelijking $x = p$ ligt dan rechts van het
snijpunt van de twee grafieken.
De lijn met vergelijking $x = p$ snijdt de grafiek van $f$ in het punt $C$, de
grafiek van $g$ in het punt $D$ en de $x$-as in het punt $E$.
Doordat $p > 10$, ligt $D$ boven $C$. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as naar boven en de x-as naar rechts. De oorsprong is aangegeven met O. Twee grafieken, f en g, zijn getekend. Grafiek f begint in de buurt van de y-as boven de x-as en stijgt langzaam naar rechts. Grafiek g begint in de buurt van de y-as onder de x-as en stijgt ook naar rechts, langzamer dan f. Er is een verticale lijn getekend met de vergelijking x = p, die de grafieken f en g snijdt. Het snijpunt met f is punt C en het snijpunt met g is punt D. De lijn x = p snijdt ook de x-as in punt E. Punt D ligt boven punt C. De x-as is gemarkeerd met 10.]

De verhouding tussen de lengte van lijnstuk $CD$ en de lengte van lijnstuk
$CE$ hangt af van $p$. Er geldt:

$$ \frac{CD}{CE} = \frac{2\log(p)-2}{\log(p)} $$

3p 14 Bewijs dat deze formule voor $\frac{CD}{CE}$ juist is.

Als $p$ onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding $\frac{CD}{CE}$ tot een
grenswaarde.

2p 15 Bereken exact deze grenswaarde.

VW-1025-a-19-2-o 13 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 14

Parabool en cirkel met variabele straal

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = x^2$ en een punt $M(0, r)$ op
de positieve $y$-as. We bekijken de cirkel met middelpunt $M$ en straal $r$.
Het punt $O(0, 0)$ ligt op deze cirkel en op de gegeven parabool.

Afhankelijk van de waarde van $r$ hebben de cirkel en de parabool één
gemeenschappelijke punt of drie gemeenschappelijke punten.
In figuur 1 is de situatie met $r = \frac{9}{20}$ getekend, waarbij er één
gemeenschappelijke punt is. In figuur 2 is de situatie met $r=1$ getekend,
met drie gemeenschappelijke punten.

[FIGUUR: De grafiek van de parabool $y=x^2$ en een cirkel met middelpunt $M(0, \frac{9}{20})$ en straal $r=\frac{9}{20}$. De cirkel raakt de parabool in één punt.]

figuur 1 $r = \frac{9}{20}$

[FIGUUR: De grafiek van de parabool $y=x^2$ en een cirkel met middelpunt $M(0, 1)$ en straal $r=1$. De cirkel snijdt de parabool in drie punten.]

figuur 2 $r = 1$

5p 16 Bereken exact voor welke waarden van $r$ de cirkel en de parabool drie
gemeenschappelijke punten hebben.

VW-1025-a-19-2-o 14 / 15 lees verder

### Pagina 15

In de rest van deze opgave gaan we uit van de situatie waarin de cirkel en
de parabool alleen punt $O$ gemeenschappelijk hebben.

De lijn $k$ gaat door $M$ en is evenwijdig aan de $x$-as.
$V$ is het gebied rechts van de $y$-as dat wordt ingesloten door de cirkel,
de parabool en lijn $k$. In figuur 3 is dit gebied lichtgrijs gemaakt.
$W$ is het gebied rechts van de $y$-as dat wordt ingesloten door de cirkel,
de $y$-as en lijn $k$. In figuur 3 is dit gebied donkergrijs gemaakt.

figuur 3
[FIGUUR: Een assenstelsel met een parabool en een cirkel. De parabool opent naar rechts en raakt de x-as in de oorsprong O. De cirkel is gecentreerd op de y-as en raakt de x-as in O. De lijn k is horizontaal en snijdt de cirkel en de parabool. Het gebied V is het deel rechts van de y-as, ingesloten door de cirkel, de parabool en lijn k. Het gebied W is het deel rechts van de y-as, ingesloten door de cirkel, de y-as en lijn k.]

Wanneer de cirkel wordt gewenteld om de $y$-as, ontstaat een bol met
inhoud $\frac{4}{3}\pi r^3$.

De gebieden $V$ en $W$ worden gewenteld om de $y$-as.
Er is een waarde van $r$ waarvoor de inhoud van de omwentelingslichamen
van $V$ en $W$ aan elkaar gelijk zijn.

5p 17 Bereken exact deze waarde van $r$.

VW-1025-a-19-2-o 15 / 15 einde ■