# Eindexamen Wiskunde B VWO 2019 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2019/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2019
tijdvak 1
maandag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 15 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redeneren worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-19-1-o

### Pagina 2

Formules

Goniometrie

$ \sin(t + u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u) $
$ \sin(t - u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u) $
$ \cos(t + u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u) $
$ \cos(t - u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u) $

$ \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) $
$ \cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t) $

VW-1025-a-19-1-o 2 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Lijnen door de oorsprong en een cirkel
Gegeven is cirkel $c$ met middelpunt $(1, 7)$ en straal 5.
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ is een vectorvoorstelling van een lijn $k$ door de oorsprong.
Lijn $k$ snijdt cirkel $c$ in twee punten.
5p 1 Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.

Rechts van het snijpunt
De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door:
$f(x) = 3 \cos(2x) - \sqrt{2x}$ en
$g(x) = 3 - \sqrt{2x}$.
De grafiek van $g$ snijdt de $x$-as in punt $A$.
De grafiek van $f$ heeft diverse toppen, alle met een positieve $x$-coördinaat.
Punt $B$ is de derde van deze toppen.
Zie de figuur.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De x-as is gemarkeerd met O. Een functie g die schuin naar beneden loopt en de x-as snijdt in punt A. Een functie f die oscilleert en meerdere toppen heeft. Punt B is aangegeven bij de derde top van functie f.]
Er geldt: punt $B$ ligt rechts van punt $A$.
5p 2 Toon dit aan met behulp van de afgeleide van $f$.

VW-1025-a-19-1-o 3/11 lees verder ►►►

### Pagina 4

Altijd raak

Voor $p \geq 1$ is de functie $f_p$ gegeven door:
$f_p(x) = p + \sqrt{x-p}$
In figuur 1 is voor enkele waarden van $p$ de grafiek van $f_p$ weergegeven en ook lijn $k$ met vergelijking $y = x + \frac{1}{4}$.

[FIGUUR: Een grafiek met een y-as en x-as die elkaar snijden bij de oorsprong O. De y-as is gelabeld met y en de x-as is gelabeld met x. Verschillende krommen, genaamd $f_1, f_3, f_4, f_7$, zijn weergegeven, stijgend van links naar rechts en bol naar beneden. Een rechte lijn, genaamd k, snijdt de krommen op verschillende punten en lijkt raak te zijn aan één van de krommen. Er zijn stippen op de krommen, waarschijnlijk randpunten.]

Lijn $k$ raakt de grafiek van $f_p$ voor elke waarde van $p \geq 1$.

5p 3 Bewijs dit.

Voor $p \geq 1$ heeft de grafiek van $f_p$ een randpunt, ook wel beginpunt genoemd. De randpunten van de grafieken in figuur 1 zijn met een stip aangegeven.

Er geldt voor elke $p \geq 1$: het randpunt van de grafiek van $f_p$ ligt op de grafiek van $f_{p-1}$.

3p 4 Bewijs dat inderdaad voor $p \geq 1$ geldt: het randpunt van de grafiek van $f_p$ ligt op de grafiek van $f_{p-1}$.

VW-1025-a-19-1-o 4 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Punt $A(1,1)$ is het randpunt van de grafiek van $f_1$. Punt $B(2,2)$ is het
randpunt van de grafiek van $f_2$. $B$ ligt dus op de grafiek van $f_1$.
Door de punten $A$ en $B$ gaat een lijn $l$.
$V$ is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn $l$ en de grafiek van $f_1$.
Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met twee krommen, $f_1$ en $f_2$. De kromme $f_1$ is een paraboolachtige curve die start bij punt A en omhoog krult. De kromme $f_2$ is een andere curve die boven $f_1$ begint. Een rechte lijn $l$ loopt van punt A naar punt B, dat op de kromme $f_2$ ligt. Het gebied V is het grijs gekleurde deel ingesloten door de lijn $l$ en de kromme $f_1$.]
5p 5 Bereken exact de oppervlakte van $V$.
VW-1025-a-19-1-o 5 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Slingshot

De Slingshot is een kermisattractie.
Tussen de toppen van twee palen hangt aan
twee identieke elastische koorden een capsule
die plaats biedt aan twee personen. Zie de foto.
De capsule wordt allereerst omlaag getrokken
tot aan de grond. Op dat moment gaan er twee
personen in de capsule zitten. Vervolgens wordt
de capsule losgelaten. De capsule schiet dan
recht omhoog. Daarna valt hij recht omlaag,
gaat weer omhoog, enzovoorts. Na enige tijd
komt de capsule stil te hangen.

Gegeven is:
- De palen staan 14 m uit elkaar.
- De palen staan verticaal.
- De palen zijn 20 m hoog.
- Zonder uittrekking heeft elk koord een lengte van 8 m.
- Elk koord trekt aan de capsule met een kracht die afhangt van de
lengte van het uitgerekte koord. De grootte van deze kracht kan
berekend worden met de formule:

$F_k = 0,6 \cdot (L-8)$

Hierbij is $F_k$ de grootte van de kracht in kN (kilonewton) en $L$ de
lengte van het uitgerekte koord in m (met $L \ge 8$).

[FIGUUR: Een diagram met twee verticale palen A en B, 14m uit elkaar en 20m hoog. Een capsule C hangt aan twee koorden FK, tussen de toppen van de palen en de capsule. De capsule bevindt zich op de grond.]

In figuur 1 is de beginsituatie
weergegeven. De capsule is aangegeven
met het punt C en de toppen van de palen
met A en B.
De capsule bevindt zich op de grond,
midden tussen de palen.
Beide koorden, CA en CB, zijn dan flink
uitgerekt en staan strak.

3p 6 Bereken de grootte van de kracht in kN
waarmee een koord in de beginsituatie
aan de capsule trekt. Geef je
eindantwoord in één decimaal.

VW-1025-a-19-1-o 6/11 lees verder

### Pagina 7

De twee krachten kun je weergeven met twee vectoren.
De som van deze twee vectoren is een vector die een verticale kracht
weergeeft met grootte $F_{kv}$. De grootte van deze kracht kan berekend
worden met de volgende formule:
$F_{kv} = 2 \cdot F_k \cdot \cos(\alpha)$
Hierin is $\alpha$ de hoek tussen een koord en de verticale vector. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een diagram met een verticale lijn AB van 20 m hoogte. Vanuit punt C, dat op 20 m hoogte is, lopen twee koorden (AC en BC) naar de toppen van twee verticale palen. De palen staan 14 m uit elkaar. De kracht $F_k$ wordt getekend langs de koorden. De verticale kracht $F_{kv}$ wordt getekend vanuit C omhoog. De hoek tussen AC en AB is $\alpha$, en de hoek tussen BC en AB is $\alpha$.]

figuur 3
[FIGUUR: Een diagram met een verticale lijn AB van 20 m hoogte. Vanuit punt C, dat op een hoogte x onder punt B, lopen twee koorden (AC en BC) naar de toppen van twee verticale palen. De palen staan 14 m uit elkaar. De kracht $F_k$ wordt getekend langs de koorden. De verticale kracht $F_z$ wordt getekend vanuit C omlaag.]

Op de capsule, inclusief de twee personen, werkt niet alleen de kracht
van beide koorden, maar ook de zwaartekracht $F_z$, die recht naar
beneden is gericht. Zie figuur 3. Deze zwaartekracht bedraagt 1,8 kN.
In figuur 2 en figuur 3 is ook het hoogteverschil tussen C en de toppen
van de palen met $x$ aangegeven.

Na een aantal keren op en neer te zijn geslingerd, is de capsule tot
stilstand gekomen. Op dat moment heeft de zwaartekracht de twee
krachten op die door de koorden samen worden uitgeoefend.
Er geldt dan dus: $F_{kv} = F_z$

De hoogte waarop de capsule tot stilstand komt, is te berekenen door
eerst $F_{kv}$ in $x$ uit te drukken.
Druk $F_{kv}$ uit in $x$ en bereken daarmee hoe hoog de capsule boven de
grond hangt als hij tot stilstand is gekomen. Geef je eindantwoord in
gehele meters.

6p 7

VW-1025-a-19-1-o
7 / 11
lees verder ► ► ►


### Pagina 8

Een logaritmische functie en haar afgeleide

De functies $f$ en $g$ worden gegeven door:
$f(x) = x \ln(x) - x + 1$
$g(x) = f'(x)$

5p 8 Bereken exact de $x$-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van $f$ en $g$.

Er is één waarde van $p$ waarvoor geldt:
$$ \int_p^{2p} g(x) \, \mathrm{d}x = 0 $$
Voor deze waarde van $p$ is de situatie in de figuur geschetst.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De x-as heeft markeringen bij $p$ en $2p$. Een gebogen lijn, gelabeld met $g$, snijdt de x-as bij $x=p$ en gaat omhoog. Een ander deel van de grafiek is onder de x-as. Er is een rechthoek getekend met de linker onderhoek bij $(p, 0)$ en de rechter bovenhoek op de curve $g$ bij $x=2p$. Het gebied onder de curve $g$ van $x=0$ tot $x=p$ is gearceerd, evenals een deel van het gebied boven de curve tussen $x=p$ en $x=2p$.]

7p 9 Bereken exact deze waarde van $p$. Schrijf je eindantwoord in de vorm $p = ae$, waarbij $a$ een getal is.

VW-1025-a-19-1-o 8 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 9

Gebroken goniometrische functie
De functie $f$ is gegeven door:
$f(x) = \frac{\cos(x)}{-\sin^2(x)}$
figuur 1
Lijn $k$ is de lijn met vergelijking
$y = \sqrt{2}$
[FIGUUR: Grafiek van een gebroken functie met twee verticale asymptoten en een horizontale lijn $k$ die de grafiek snijdt op punten A en B.]
Lijn $k$ en de grafiek van $f$ hebben oneindig veel snijpunten. De punten $A$ en $B$ zijn de twee snijpunten met de kleinste positieve $x$-coördinaten. Deze zijn in figuur 1 aangegeven.
6p 10 Bereken exact de $x$-coördinaten van $A$ en $B$.
Voor elke waarde van $p$ is de functie $f_p$ gegeven door:
$f_p(x) = \frac{\cos(x)}{p - \sin^2(x)}$
6p 11 Onderzoek of er waarden van $p$ zijn waarvoor de grafiek van $f_p$
perforaties heeft.
In de rest van de opgave beperken we ons tot waarden voor $p$ waarvoor
geldt: $p \ne 0$
De punten op de grafiek van $f_p$ met $x$-coördinaten $0$, $\pi$ en $2\pi$ noemen
we respectievelijk $P$, $Q$ en $R$.
In figuur 2 is voor een waarde van $p$ de grafiek van $f_p$ weergegeven.
Ook zijn de lijnstukken $PQ$ en $QR$ weergegeven.
[FIGUUR: Grafiek van de functie $f_p$ met punten P, Q en R en lijnstukken PQ en QR.]
figuur 2
4p 12 Er zijn waarden van $p$ waarvoor $PQ$ en $QR$ loodrecht op elkaar staan.
Bereken exact deze waarden van $p$.
VW-1025-a-19-1-o
9/11

### Pagina 10

Driehoek met bewegend hoekpunt

Lijn $k$ gaat door de punten $A(0,10)$ en $B(40,0)$.
De baan van een punt $P$ is gegeven door de volgende
bewegingsvergelijkingen:
$$ \begin{cases} x = 18 + 5t \\ y = 30 - 3t \end{cases} $$
De baan van punt $P$ is de lijn $m$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as van 0 tot 40 en de x-as van 0 tot 70. Er zijn twee punten A en B getekend. A is op de y-as bij 10, en B is op de x-as bij 40. Een lijn k gaat door A en B. Een punt P is getekend op een lijn m. De lijn m snijdt de lijn k. Een driehoek ABP is getekend.]

Bij bijna elke positie van punt $P$ vormen de punten $A$, $B$ en $P$ een
driehoek $ABP$. Er is één uitzondering.

5p 13 Bereken de coördinaten van $P$ zodat $A$, $B$ en $P$ niet de
hoekpunten van een driehoek vormen.

8p 14 Onderzoek op algebraïsche wijze of er een positie van $P$ is, zó dat
driehoek $ABP$ een rechte hoek heeft bij $P$ én driehoek $ABP$ een
gelijkbenige driehoek is.

VW-1025-a-19-1-o 10 / 11 lees verder 

### Pagina 11

Afgeknotte paraboloïde

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \sqrt{x}$. De grafiek van $f$ is getekend in
figuur 1, samen met de lijnen met vergelijkingen $x = a$ en $x = b$, waarbij
$0 < a < b$. Midden tussen de punten $(a,0)$ en $(b,0)$ ligt het punt $(m,0)$.

De grafiek van $f$, de $x$-as en de twee verticale lijnen sluiten een gebied in.
Dit gebied, in figuur 1 met grijs aangegeven, wordt gewenteld om de $x$-as.
Het omwentelingslichaam is een zogenaamde afgeknotte paraboloïde.
Deze is afgebeeld in figuur 2.

[FIGUUR: Grafiek van $y=\sqrt{x}$ van $x=0$ tot $x=b$, met verticale lijnen bij $x=a$ en $x=m$. Het gebied tussen $x=a$ en $x=m$ onder de curve is grijs gekleurd.]
figuur 1

[FIGUUR: Een 3D-weergave van een omwentelingslichaam, dat de vorm heeft van een afgeknotte paraboloïde. De doorsnedes zijn cirkels waarvan de straal lineair toeneemt met de hoogte. Aanduidingen $a$, $m$, $b$ en $f$ zijn zichtbaar.]
figuur 2

Bij de omwenteling beschrijft elk punt van de grafiek een cirkel.
De oppervlakte van de cirkel die beschreven wordt door het punt $(m, \sqrt{m})$
noemen we $A$. De cirkelschijf met deze oppervlakte is met donkergrijs
aangegeven in figuur 2.

[FIGUUR: Een afgeknotte paraboloïde, die lijkt op een deel van een kegel. De hoogte van het object is $h$. Er zijn twee niveaus gemarkeerd op de hoogte $a$ en $b$, met corresponderende straal $m$. Een grijs gedeelte markeert een deel van het object.]
figuur 3

In figuur 3 staat de afgeknotte paraboloïde
een kwartslag gedraaid. In die figuur is ook
de hoogte $h$ van de afgeknotte paraboloïde
aangegeven.

Voor de inhoud $V$ van de afgeknotte paraboloïde geldt de formule:
$$V = h \cdot A$$
7p 15 Bewijs dit.

VW-1025-a-19-1-o 11 / 11 einde