# Eindexamen Wiskunde B VWO 2018 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2018/tijdvak-2 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opgave 2 ### Vraag 2 – Opgave 1 ### Vraag 3 – Opgave 2 ### Vraag 4 – Opgave 2 ### Vraag 5 – Opgave 2 ### Vraag 6 – Opgave 1 ### Vraag 7 – Opgave 1 ### Vraag 8 – Opgave 8 ### Vraag 9 – Opgave 2 ### Vraag 10 – Opgave 10 ### Vraag 11 – Opgave 11 ### Vraag 12 – Opgave 12 ### Vraag 13 – Opgave 13 ### Vraag 14 – Opgave 2 ### Vraag 15 – Opgave 15 ### Vraag 16 – Opgave 16 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2018 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30 - 16.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1025-a-18-2-0 ### Pagina 2 Formules Goniometrie $\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$ $\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$ $\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$ $\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$ $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$ $\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$ VW-1025-a-18-2-o 2 / 10 lees verder ►►► ### Pagina 3 Loodrecht in de perforatie De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{-2+2\sqrt{x+1}}{x}$. Ook is gegeven de functie $h$ door $h(x) = \frac{2}{1+\sqrt{x+1}}$. Voor $x \neq 0$ geldt: $f(x) = h(x)$ 3p 1 Bewijs dat voor $x \neq 0$ geldt: $f(x) = h(x)$. Verder is de functie $g$ gegeven door $g(x) = \frac{4x^2+x}{x}$. Er is een lijn $k$ die voor $x \neq 0$ samenvalt met de grafiek van $g$. In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven. Punt $P(0,1)$ is de perforatie van beide grafieken. In figuur 2 zijn de grafiek van $h$ en lijn $k$ weergegeven en ook hun snijpunt $P$. figuur 1 [FIGUUR: Grafiek van de functie f, die een kromme is en de grafiek van g, die een rechte lijn is, met snijpunt P op de y-as.] figuur 2 [FIGUUR: Grafiek van de functie h, die een kromme is en de grafiek van lijn k, die een rechte lijn is, met snijpunt P op de y-as.] Er geldt: de grafieken van $f$ en $g$ staan in hun perforatie $P$ loodrecht op elkaar als de grafiek van $h$ en lijn $k$ in hun snijpunt $P$ loodrecht op elkaar staan. 5p 2 Bewijs dat de grafieken van $f$ en $g$ in hun perforatie $P$ loodrecht op elkaar staan. VW-1025-a-18-2-o 3 / 10 lees verder ►►► ### Pagina 4 IJsbol De snelheid waarmee een ijsklontje smelt, hangt foto onder andere af van de verhouding tussen de oppervlakte $A$ in cm$^2$ en het volume $V$ in cm$^3$ van het ijsklontje. Deze verhouding wordt uitgedrukt in het quotiënt $\frac{A}{V}$. Voorbeeld: bij een kusvormig ijsklontje met ribben van 3 cm is dit quotiënt gelijk aan $\frac{54}{27} = 2$. Er zijn ook bolvormige ijsklontjes ofwel ijsbollen. Zie de foto. Voor een bol met straal $r$ gelden voor $A$ en $V$ de formules $A = 4\pi r^2$ en $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Bij een ijsbol met hetzelfde volume als het genoemde kubusvormige ijsktontje met ribben van 3 cm is het quotiënt $\frac{A}{V}$ kleiner dan 2. 4p 3 Bereken algebraïsch dit quotiënt bij deze ijsbol. Rond je eindantwoord af op 2 decimalen. Een ijsbol wordt in een glas water gedaan, figuur waarna de ijsbol in het water drijft. Op het moment dat de ijsbol in het water wordt gedaan, heeft deze een straal van 1,5 cm. Er geldt dat 92% van het volume van de ijsbol onder water zit en 8% erboven. Het volume van de ijsbol is dan $\frac{4}{3}\pi \cdot 1,5^3 \approx 14,137$ cm$^3$. Het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de cirkel met vergelijking $x^2 + y^2 = 2,25$ om de $y$-as. Zie de figuur. 5p 4 Bereken hoeveel cm de ijsbol boven het water uitsteekt op het moment dat hij in het water wordt gedaan. Rond je eindantwoord af op 2 decimalen. VW-1025-a-18-2-o 4 / 10 lees verder ► ► ► ### Pagina 5 In een wiskundig model van het smelten van een ijsbol wordt ervan uitgegaan dat de ijsbol tijdens het smelten bolvormig blijft. De straal van de ijsbol is afhankelijk van de tijd. De straal van de ijsbol op tijdstip $t$ is $r(t)$, met $t$ in minuten. Het volume van de ijsbol op tijdstip $t$ is dan $V(t) = \frac{4}{3}\pi (r(t))^3$. In het model wordt er verder van uitgegaan dat de formule van $r(t)$ lineair is. Een ijsbol heeft op tijdstip $t=0$ een straal van $1,5$ cm. Op tijdstip $t=10$ is het volume van deze ijsbol gehalveerd. Vanaf een bepaald tijdstip is er geen ijs meer aanwezig. 5p 5 Bereken vanaf welk geheel aantal minuten er voor het eerst geen ijs meer aanwezig is. VW-1025-a-18-2-o 5 / 10 lees verder ► ► ► ### Pagina 6 Constante verhouding Voor $a > 0$ wordt de functie $f_a$ gegeven door $f_a(x) = x - x \ln(ax)$. 4p 6 Bewijs dat voor elke toegestane waarde van $x$ geldt: $$ \frac{f_a(x) + f_1(x)}{2} = f_1(x) $$ Voor elke positieve waarde van $a$ geldt: – de grafiek van $f_a$ snijdt de x-as in precies één punt $S$ (met $x$-coördinaat $x_S$ ); – de grafiek van $f_a$ heeft één top $T$ (met $x$-coördinaat $x_T$). In de figuur zijn voor een waarde van $a$ de grafiek van $f_a$ en de punten $S$ en $T$ weergegegeven. figuur [FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as naar boven en de x-as naar rechts. De oorsprong is aangeduid met O. Een kromme lijn begint bij O, buigt naar rechts en naar beneden. De kromme snijdt de x-as bij punt S. De kromme heeft een top T. De kromme is gelabeld met $f_a$. De x-as is gelabeld met x.] 7p 7 Bewijs dat voor elke positieve waarde van $a$ de verhouding $\frac{x_S}{x_T}$ constant is.