# Eindexamen Wiskunde B VWO 2018 tijdvak 1 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2018/tijdvak-1 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opgave 2 ### Vraag 2 – Opgave 1 ### Vraag 3 – Opgave 2 ### Vraag 4 – Opgave 1 ### Vraag 5 – Opgave 2 ### Vraag 6 – Opgave 2 ### Vraag 7 – Opgave 1 ### Vraag 8 – Opgave 1 ### Vraag 9 – Opgave 2 ### Vraag 10 – Opgave 2 ### Vraag 11 – Opgave 2 ### Vraag 12 – Opgave 1 ### Vraag 13 – Opgave 2 ### Vraag 14 – Opgave 1 ### Vraag 15 – Opgave 1 ### Vraag 16 – Opgave 2 ### Vraag 17 – Opgave 1 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2018 tijdvak 1 maandag 14 mei 13.30 - 16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 73 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1025-a-18-1-o ### Pagina 2 Formules Goniometrie $\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$ $\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$ $\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$ $\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$ $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$ $\cos(2t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) = 2\cos^2(t) - 1 = 1 - 2\sin^2(t)$ VW-1025-a-18-1-o 2 / 12 lees verder ### Pagina 3 Bewegend punt De beweging van een punt $P$ wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: $$ \begin{cases} x(t) = 1-t^2 \\ y(t) = (1+t)^2 \end{cases} $$ In de figuur is de baan van $P$ weergegeven. [FIGUUR: Een grafiek van een kromme in het $xy$-vlak. De $y$-as loopt verticaal en de $x$-as horizontaal. De oorsprong is gemarkeerd met $O$. De kromme begint links van de $y$-as, buigt omhoog en snijdt de $y$-as bij punt $A$. Vervolgens buigt de kromme naar rechts.] 4p 1 De baan van $P$ snijdt de $y$-as in de oorsprong $O$ en in punt $A$. Zie de figuur. Bereken exact de snelheid waarmee $P$ door punt $A$ gaat. 4p 2 Voor elke waarde van $t$ bevindt $P$ zich op de kromme met vergelijking: $$ (x+y)^2 = 4y $$ Bewijs dit. VW-1025-a-18-1-o 3 / 12 lees verder ### Pagina 4 Lijn door de toppen Voor elke waarde van $a$ met $a > 0$ wordt de functie $f_a$ gegeven door $f_a(x) = xe^{ax}$. De afgeleide functie $f_a'$ wordt gegeven door $f_a'(x) = e^{ax} + axe^{ax}$. In figuur 1 zie je voor een aantal waarden van $a$ de grafiek van $f_a$. Ook is de lijn $l$ met vergelijking $y = \frac{1}{e}x$ weergegeven. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal, ze snijden elkaar bij O (de oorsprong). Er zijn vier krommen getekend, die allemaal door de oorsprong gaan. De drie meest linkse krommen gaan eerst naar beneden en daarna naar boven, en lijken voor x > 0 stijgend te zijn. De meest rechtse kromme is ook stijgend voor x > 0. Een stippellijn, aangeduid met l, loopt door de oorsprong met een positieve helling en snijdt alle krommen.] figuur 1 Voor elke waarde van $a$ met $a > 0$ heeft de grafiek van $f_a$ precies één 4p 3 top. Bewijs dat deze top op lijn $l$ ligt. VW-1025-a-18-1-o 4 / 12 lees verder ►►► ### Pagina 5 De functie $F_a$ is gegeven door: $F_a(x) = -\frac{1}{a}xe^{ax} - \frac{1}{a^2}e^{ax}$ $3\text{p}\quad 4\quad F_a$ is een primitieve van $f_a$. Bewijs dat $F_a$ inderdaad een primitieve van $f_a$ is. Voor $f_1$ geldt $f_1(x) = xe^x$. In figuur 2 is de grafiek van $f_1$ getekend, en ook lijn $l$. Het vlakdeel tussen lijn $l$ en de grafiek van $f_1$ is grijs gemaakt. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gelabeld met y en de x-as is gelabeld met x. De oorsprong is aangegeven met O. Er zijn twee grafieken getekend. Een kromme grafiek die de y-as snijdt op een negatieve waarde en dan omhoog buigt, gelabeld met $f_1$. Een rechte lijn die door de oorsprong gaat, met een positieve helling, gelabeld met l. Een deel van het gebied tussen de kromme $f_1$ en de lijn $l$ links van de y-as is grijs gekleurd.] $5\text{p}\quad 5\quad$ Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel. VW-1025-a-18-1-o 5 / 12 lees verder ► ► ► ### Pagina 6 Zwaartepunt en rakende cirkels Gegeven is cirkel $c$ met middelpunt $M(14, 8)$ en straal 10. Deze cirkel snijdt de $x$-as in de punten $A$ en $B$ met $x_A < x_B$. Zie figuur 1. In $A$ bevindt zich een puntmassa met massa 3, in $B$ een puntmassa met massa 1 en in $M$ een puntmassa met massa 2. figuur 1 [FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M, en de x-as snijdt de cirkel in A en B.] 5p 6 Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie puntmassa's. De cirkel $d$ met middelpunt $N$ raakt de $y$-as in de oorsprong $O$ en raakt cirkel $c$ zoals weergegeven in figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 [FIGUUR: Twee cirkels. De linker cirkel, d, raakt de y-as in O en de x-as in N. De rechter cirkel, c, raakt cirkel d.] 5p 7 Bereken exact de straal van cirkel $d$. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. VW-1025-a-18-1-o 6 / 12 lees verder ►►► ### Pagina 7 Maxima en minima De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = 6\sin(x) - \cos(2x)$. 6p 8 De grafiek van $f$ heeft oneindig veel toppen. Bereken exact de $x$-coördinaten van alle toppen van de grafiek van $f$. Een van de toppen is het punt $P(1\frac{1}{2}\pi, -5)$. De grafiek van $f$ is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door $P$. Boven $P$ wordt een horizontaal lijnstuk van lengte 2 geplaatst, waarvan de eindpunten op de grafiek van $f$ liggen. Zie de figuur. figuur [FIGUUR: Een grafiek van een functie met de y-as links en de x-as rechts. Er is een piek en een dal zichtbaar. Een verticale stippellijn is getekend bij $x = 1\frac{1}{2}\pi$. Op deze lijn is een punt P gemarkeerd. Een horizontaal lijnstuk is getekend dat op gelijke afstand van de x-as ligt en aan beide zijden de grafiek raakt.] 4p 9 Bereken de afstand van $P$ tot het horizontale lijnstuk. Rond je eindantwoord af op twee decimalen. VW-1025-a-18-1-o lees verder ►►► ### Pagina 8 Sheffield Winter Garden Voor elke waarde van $k$ met $k > 0$ wordt de functie $f_k$ gegeven door: $f_k(x) = \frac{1}{2k}(e^{kx} + e^{-kx})$ De grafiek van $f_k$ wordt een kettinglijn genoemd. Op de grafiek van $f_k$ worden twee punten $P$ en $Q$ met gelijke $y$-coördinaat gekozen. De lengte van het deel van de kettinglijn tussen $P$ en $Q$ noemen we $l$. De top $T$ van de kettinglijn ligt op de $y$-as. De afstand van $T$ tot de horizontale lijn $PQ$ noemen we $d$. Zie figuur 1. Er geldt: $k = \frac{8d}{l^2 - 4d^2}$ In figuur 1 is voor $k=0,7$, $x_P = -3$ en $x_Q = 3$ het bijbehorende deel van de kettinglijn getekend. 4p 10 Bereken voor de situatie van figuur 1 de lengte van het deel van de kettinglijn tussen $P$ en $Q$. Rond je eindantwoord af op twee decimalen. [FIGUUR: Een grafiek van een kettinglijn, aangeduid als $f_{0,7}$. Twee punten P en Q liggen op de kettinglijn met gelijke y-coördinaten, onder en boven de top T. De x-as loopt horizontaal met markeringen -3, 0 en 3. De y-as loopt verticaal met een pijl omhoog. De afstand tussen de horizontale lijn door P en Q en de top T is gemarkeerd als d.] figuur 1 VW-1025-a-18-1-o 8 / 12 lees verder ►►► ### Pagina 9 Als het deel van de grafiek van $f_k$ tussen $P$ en $Q$ wordt gespiegeld in de $x$-as en vervolgens omhoog wordt geschoven, ontstaat een boog. foto [FIGUUR: Foto van een gebouw met meerdere gekromde daken.] Bij de bouw van de Sheffield Winter Garden, een in 2003 geopende plantenkas, is gebruikgemaakt van dergelijke bogen. Zie de foto. figuur 2 [FIGUUR: Schematische tekening van meerdere bogen boven elkaar, die een paraboolvorm vormen.] De ontwerpers hebben een tekening gemaakt van het vooraanzicht van het gebouw. Dit vooraanzicht bestaat uit acht bogen. Zie figuur 2. In de rest van deze opgave kijken we naar de grootste boog. Deze boog is in figuur 2 dikker gedrukt. Voor de grootste boog in deze tekening geldt: - de lengte van de boog is 49,63 meter; - het hoogste punt van de boog bevindt zich 20,51 meter boven de grond. Bij deze grootste boog gaan we een functievoorschrift opstellen. We kiezen daartoe een assenstelsel waarbij de $x$-as door de onderste punten van de boog gaat en de top van de boog op de $y$-as ligt. De eenheden langs de assen zijn meters. In dit assenstelsel wordt de boog weergegeven door de grafiek van een functie $h$. De grafiek van deze functie $h$ ontstaat door de grafiek van een functie $f_k$ te spiegelen in de $x$-as en de beeldgrafiek vervolgens omhoog te schuiven. Er is precies één waarde van $k$ waarvoor de beeldgrafiek de juiste lengte en hoogte heeft. 5p 11 Stel een functievoorschrift op van $h$. Rond de getallen in je eindantwoord af op twee decimalen. VW-1025-a-18-1-o 9 / 12 lees verder ►►► ### Pagina 10 Natuurlijke logaritme van de wortel De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = \ln(\sqrt{x})$. Deze functie heeft een inverse functie $f^{\text{inv}}$. Er geldt: $f^{\text{inv}}(x) = \text{e}^{2x}$. 3p 12 Bewijs dat inderdaad geldt $f^{\text{inv}}(x) = \text{e}^{2x}$. De grafiek van $f^{\text{inv}}$ wordt ten opzichte van de $x$-as met factor $\frac{1}{2}$ vermenigvuldigd. Zo ontstaat de grafiek van de functie $g$. Elke verticale lijn rechts van de $y$-as snijdt de grafiek van $f$ in één punt en de grafiek van $g$ in één punt. Het lijnstuk tussen deze twee punten heeft een lengte die afhangt van de plaats van de verticale lijn. Zie de figuur. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is verticaal, de x-as is horizontaal. De oorsprong is gemarkeerd met O. Er zijn twee grafieken getekend. Eén grafiek, genaamd 'f', stijgt langzaam van linksboven naar rechtsboven, met een asymptoot langs de x-as. Een andere grafiek, die niet expliciet is gelabeld maar wel de naam 'g' draagt, begint op de y-as en stijgt steiler naar rechtsboven, met een asymptoot langs de y-as. Een verticale lijnstuk is getekend tussen de grafiek van 'f' en de x-as, en tussen de grafiek van 'g' en de x-as, op een willekeurige x-waarde.] 4p 13 Bereken de minimale lengte van het lijnstuk. Rond je eindantwoord af op drie decimalen. De functie $h$ wordt gegeven door: $$h(x) = \frac{\ln(\sqrt{x})}{\ln(x)}$$ 4p 14 De grafiek van $h$ heeft rechts van de $y$-as één perforatie. Bereken exact de coördinaten van deze perforatie. VW-1025-a-18-1-o 10 / 12 lees verder ►►► ### Pagina 11 Vierkant onder grafiek Voor $x > 0$ wordt de functie $f$ gegeven door $f(x) = \frac{1}{x}$. In de figuur is de grafiek van $f$ getekend. Onder de grafiek is een vierkant getekend met twee zijden evenwijdig aan de $x$-as en twee zijden evenwijdig aan de $y$-as. figuur [FIGUUR: Assenstelsel met de grafiek van een hyperbool in het eerste kwadrant. Een vierkant is getekend onder de hyperbool. De linker onderhoek van het vierkant ligt op de oorsprong, de rechter onderhoek op de x-as. De linker bovenhoek ligt op de y-as, de rechter bovenhoek op de hyperbool.] Het vierkant heeft linksonder hoekpunt $(1, 0)$. Het hoekpunt rechtsboven ligt op de grafiek van $f$. 4p 15 Bereken exact de lengte van de zijde van het vierkant. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina. VW-1025-a-18-1-0 11 / 12 lees verder ### Pagina 12 Twee vierkanten op een kwartcirkel Gegeven zijn de punten $A(1,0)$ en $B(0,1)$. Punt $C$ bevindt zich op de kwartcirkel door $A$ en $B$ met middelpunt $O(0,0)$. Op de lijnstukken $AC$ en $BC$ worden twee vierkanten $ADEC$ en $BCFG$ getekend. Zie figuur 1. figuur 1 [FIGUUR: De een kwartcirkel in het eerste kwadrant, met punten $O(0,0)$, $A(1,0)$ en $B(0,1)$. Op de kwartcirkel ligt een punt $C$. Twee vierkanten zijn getekend: $ADEC$ met AC als schuine zijde, en $BCFG$ met BC als schuine zijde. Er is een hoek $t$ getekend tussen de positieve x-as en het lijnstuk $OC$.] De grootte van hoek $AOC$ (in radialen) noemen we $t$, met $0