# Eindexamen Wiskunde B VWO 2017 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2017/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2017
tijdvak 2
woensdag 21 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 14 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 71 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-17-2-o

### Pagina 2

Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR, gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzzr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pygthagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
 Goniometrie
$sin(t+u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)$
$sin(t-u) = sin(t)cos(u) - cos(t)sin(u)$
$cos(t+u) = cos(t)cos(u) - sin(t)sin(u)$
$cos(t-u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)$
$sin(t) + sin(u) = 2sin(\frac{t+u}{2})cos(\frac{t-u}{2})$
$sin(t) - sin(u) = 2sin(\frac{t-u}{2})cos(\frac{t+u}{2})$
$cos(t) + cos(u) = 2cos(\frac{t+u}{2})cos(\frac{t-u}{2})$
$cos(t) - cos(u) = -2sin(\frac{t+u}{2})sin(\frac{t-u}{2})$
VW-1025-a-17-2-o
2 / 11
lees verder ►►►

### Pagina 3

VW-1025-a-17-2-o 3 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 4

Twee machten van 2

De functie $f$ is gegeven door:
$f(x) = 2^x + 2^{-2x}$

In figuur 1 is een deel van de grafiek van $f$ weergegeven.
De functie heeft één extreme waarde en dat is een minimum.

5p 1 Bereken exact de waarde van $x$ waarvoor $f(x)$ minimaal is.

In figuur 2 is het grijze gebied gemaakt dat wordt begrensd door de grafiek van $f$, de $x$-as en de lijnen met vergelijkingen $x = -1$ en $x = 1$.
In figuur 3 is het rechthoekige gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de $x$-as en de lijnen met vergelijkingen $x = -1$, $x = 1$ en $y = k$.
De waarde van $k$ is zo gekozen dat het grijze gebied uit figuur 2 en het grijze gebied uit figuur 3 dezelfde oppervlakte hebben.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek van functie f, met de y-as en x-as. De y-as loopt van 0 naar boven. De x-as loopt van -1 naar 1. Het grijze gebied is begrensd door de grafiek, de x-as, en de verticale lijnen x=-1 en x=1.]

figuur 3
[FIGUUR: Grafiek van functie f, met de y-as en x-as. De y-as loopt van 0 naar boven. De x-as loopt van -1 naar 1. Het grijze gebied is een rechthoek begrensd door de x-as, de lijnen x=-1 en x=1, en de horizontale lijn y=k.]

5p 2 Bereken algebraisch de waarde van $k$. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.

VW-1025-a-17-2-o
4 / 11
lees verder ►►►


### Pagina 5

De stelling van Ptolemaeus

De Griekse wiskundige Ptolemaeus leefde van 87 tot 150 na Christus.
In een van zijn stellingen formuleert hij het volgende verband tussen de
lengtes van de twee diagonalen en de vier zijden van een
koordenvierhoek ABCD:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$
In deze opgave gaan we deze stelling van Ptolemaeus in stappen bewijzen.
In de figuur is een koordenvierhoek ABCD getekend. Verder is op het
verlengde van zijde AB, aan de kant van B, punt P getekend waarvoor
geldt: $\angle ACD = \angle PCB$.

figuur
[FIGUUR: Een cirkel met koordenvierhoek ABCD. De lijn AB is verlengd tot punt P. Hoek C is gemarkeerd met een kruisje, dat wijst naar een arc op de lijn CP. Hoek B en C in driehoek BCP zijn gemarkeerd met kruisjes.]

4p 3 Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Ook de driehoeken BCD en PCA zijn gelijkvormig.

4p 4 Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken BCD en PCA volgt de
uitdrukking
$AP \cdot CD = AC \cdot BD$
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ACD en PCB volgt voor
$BP \cdot CD$ een soortgelijke uitdrukking.

4p 5 Bewijs met behulp van deze uitdrukkingen de stelling van Ptolemaeus:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

VW-1025-a-17-2-o 5 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 6

Straal van een waterstraal

In deze opgave kijken we naar water dat uit een cirkelvormige kraanopening stroomt.

figuur 1
[FIGUUR: Een diagram van een waterstraal die naar beneden stroomt en smaller wordt. Er worden verschillende hoogtes en stralen aangegeven.]

In figuur 1 is de vorm van de waterstraal getekend. Op elke hoogte is de horizontale doorsnede van de waterstraal een cirkel. De straal van die cirkel wordt naar beneden toe steeds kleiner.

Op hoogte $h$ heeft de horizontale doorsnede straal $r$ en is de stroomsnelheid van het water $v$. De kraanopening heeft straal $r_0$ en bevindt zich op hoogte $h_0$.
De snelheid waarmee het water uit de kraan stroomt, is $v_0$.
Het hoogteverschil $h_0 - h$ geven we aan met $x$.

In de formules van deze opgave is meter de eenheid van lengte en meter per seconde de eenheid van snelheid.

Uit de (natuurkundige) Wet van behoud van energie volgt:
$$v_0^2 + 2gh_0 = v^2 + 2gh \quad (1)$$
Hierin is $g$ de valversnelling van $9,81$ m/s$^2$.

De hoeveelheid water die per seconde op een bepaalde hoogte voorbystroomt, is voor elke hoogte gelijk. Hieruit is af te leiden:
$$r_0^2 \cdot v_0 = r^2 \cdot v \quad (2)$$

Door formule 1 en formule 2 te combineren kan worden aangetoond:
$$r = r_0 \cdot \sqrt[4]{\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2gx}} \quad (3)$$

5p 6 Toon door formule 1 en formule 2 te combineren aan dat formule 3 juist is.

VW-1025-a-17-2-o 6 / 11 lees verder ►►►


### Pagina 7

Een bepaalde kraan heeft een opening met een diameter van 2 cm. De
opening bevindt zich 30 cm boven een oppervlak. De kraan wordt zo ver
opengedraaid dat $v_0 = 0,5$ m/s.
In figuur 2 is voor deze waterkraan de grafiek getekend die het verband
weergeeft tussen het hoogteverschil $x$ en de straal $r$.

figuur 2

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de straal r, variërend van 0 tot 0,01, en op de x-as het hoogteverschil x, variërend van 0 tot 0,3. Een curve begint bij (0, 0,01) en daalt naar rechts, eindigend bij ongeveer (0,3, 0,002).]

Als deze grafiek wordt gewenteld om de horizontale x-as, ontstaat de
vorm van de waterstraal (90 graden linksom gedraaid).

De inhoud van het omwentelingslichaam is gelijk aan de hoeveelheid
water waaruit de waterstraal op een bepaald moment bestaat.
5p 7 Bereken deze hoeveelheid. Rond je eindantwoord af op een geheel aantal
cm$^3$.

VW-1025-a-17-2-o 7/11 lees verder

### Pagina 8

Sinus en het kwadraat van sinus
Voor $0 \le x \le \frac{1}{2}\pi$ zijn de functies $f$ en $g$ gegeven door $f(x) = \sin(x)$ en $g(x) = \sin^2(x)$. De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar in $O$ en $(\frac{1}{2}\pi, 1)$. $V$ is het vlakdeel dat wordt begrensd door de twee grafieken. In figuur 1 is $V$ grijs gemaakt.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van twee functies $f$ en $g$ in het eerste kwadrant, beginnend bij de oorsprong. De y-as loopt van 0 tot 1, de x-as van 0 tot $\frac{1}{2}\pi$. De functie $f(x)=\sin(x)$ is de bovenste curve. De functie $g(x)=\sin^2(x)$ is de onderste curve. Het gebied tussen de twee curves, $V$, is grijs gekleurd.]

8 Bereken exact de oppervlakte van $V$.
De lijn met vergelijking $x=p$, met $0<p<\frac{1}{2}\pi$, snijdt de grafiek van $f$ in het punt $A$ en die van $g$ in het punt $B$. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek vergelijkbaar met figuur 1, maar met een verticale lijn getekend bij $x=p$. Deze lijn snijdt de curve $f$ in punt $A$ en de curve $g$ in punt $B$. De punten $A$ en $B$ zijn gemarkeerd.]

9 De lengte van lijnstuk $AB$ is afhankelijk van $p$.
Bereken exact de maximale lengte van lijnstuk $AB$.

VW-1025-a-17-2-o 8 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 9

De vergelijking van Arrhenius

Om een chemische reactie tot stand te brengen is een bepaalde hoeveelheid activeringsenergie nodig. De Zweedse scheikundige en Nobelprijswinnaar Svante Arrhenius heeft een vergelijking opgesteld die het verband aangeeft tussen het aantal reagerende moleculen, de temperatuur en de activeringsenergie:

[FIGUUR: Portret van Svante Arrhenius]

$$ k = A \cdot \text{e}^{-\left(\frac{E}{8,314T}\right)} $$

Hierin is
– $A$ de constante van Arrhenius;
– $E$ de activeringsenergie (in joule per mol);
– $T$ de temperatuur (in kelvin);
– $k$ een getal dat aangeeft hoeveel moleculen er per seconde reageren.

De vergelijking van Arrhenius kun je herleiden tot de volgende vorm:

$$ E = 8,314T \cdot \ln\left(\frac{A}{k}\right) $$

4p 10 Geef een herleiding waaruit dit blijkt.

$E$ en $A$ hebben voor elk soort reactie een eigen waarde. De waarden van $E$ en $A$ hangen niet af van de temperatuur. Omdat ze niet direct te meten zijn, meet men bij een reactie de waarde van $k$ bij twee verschillende temperaturen. Hieruit zijn dan met de vergelijking van Arrhenius de bij die reactie horende waarden van $E$ en $A$ te berekenen.

Als voorbeeld bekijken we de chemische reactie waarbij stikstofdioxide wordt omgezet in stikstofmonoxide en zuurstof.
Voor deze reactie is in een proef vastgesteld dat $k = 2,7 \cdot 10^{-2}$ als $T = 500$ en dat $k = 2,4 \cdot 10^{-1}$ als $T = 550$.

3p 11 Bereken de waarde van $E$ van deze reactie. Geef je eindantwoord in de vorm $a \cdot 10^5$, met $a$ afgerond op één decimaal.

VW-1025-a-17-2-o 9 / 11 lees verder

### Pagina 10

Op een cirkel
Op de cirkel met middelpunt $O(0, 0)$ ligt punt $A(0, -1)$. Punt $P$ beweegt
over de cirkel volgens de bewegingsvergelijkingen
$$
\begin{cases}
x = \cos(\alpha) \\
y = \sin(\alpha)
\end{cases}
$$
waarbij $\alpha$ (met $0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$) de draaihoek in radialen is ten opzichte van
de positieve $x$-as.

De raaklijnen aan de cirkel in de
punten $A$ en $P$ snijden elkaar in een
punt $S$. In figuur 1 is een mogelijke
situatie getekend.

Voor de $x$-coördinaat van $S$ geldt:
$$
x = \frac{1+\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
$$
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O op de oorsprong, een punt A op de negatieve y-as, en een punt P op de cirkel in het eerste kwadrant. Er zijn twee raaklijnen getekend: één aan punt A en één aan punt P. Deze raken elkaar in punt S, dat zich rechts van de cirkel op de x-as bevindt.]

figuur 1

7p 12 Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.

Punt $Q$ op de cirkel is het beeld van
$P$ bij spiegeling in de $y$-as. Als $P$
over de cirkel beweegt, veranderen
de posities van $Q$ en van $S$. Bij deze
beweging blijven de lijnstukken $AS$
en $PQ$ evenwijdig.

Voor $0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$ is er een positie
van $P$ waarbij de lijnstukken $PQ$ en
$AS$ even lang zijn.
In figuur 2 is deze situatie getekend.

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O op de oorsprong, een punt A op de negatieve y-as, en een punt P op de cirkel in het eerste kwadrant. Punt Q is de spiegeling van P in de y-as. Lijnstuk PQ is horizontaal. Lijnstuk AS is getekend, waarbij S op de x-as ligt. De lengtes van PQ en AS zijn gelijk. De sector POQ is gearceerd.]

figuur 2

8p 13 Bereken voor deze situatie exact de omtrek van vierhoek $ASPQ$.

VW-1025-a-17-2-o
10 / 11
lees verder ►►►

### Pagina 11

Middelloodlijn en koordenvierhoek

Gegeven is een scherphoekige driehoek $ABC$ waarin de middelloodlijn van $AB$ zijde $BC$ snijdt. De cirkel door de punten $A$, $B$ en $C$ heeft als middelpunt $M$. De middelloodlijn van $AB$ gaat dus door $M$. Deze middelloodlijn snijdt $AB$ in punt $R$ en $BC$ in punt $S$. Zie de figuur. In de figuur is ook vierhoek $AMSC$ aangegeven.

figuur

[FIGUUR: Een cirkel met daarin een driehoek ABC. M is het middelpunt van de cirkel. R ligt op AB, en de lijn RM staat loodrecht op AB. S ligt op BC. Er is ook een lijn getrokken van M naar C en van A naar S.]

6p 14 Bewijs dat vierhoek $AMSC$ een koordenvierhoek is. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

VW-1025-a-17-2-o 11 / 11 einde