# Eindexamen Wiskunde B VWO 2017 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2017/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2017
tijdvak 1
maandag 15 mei
13:30 - 16:30 uur
wiskunde B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 14 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-17-1-o

### Pagina 2

Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR, gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
 Goniometrie
$ \sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u) $ $ \sin(t)+\sin(u) = 2\sin(\frac{t+u}{2})\cos(\frac{t-u}{2}) $
$ \sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u) $ $ \sin(t)-\sin(u) = 2\sin(\frac{t-u}{2})\cos(\frac{t+u}{2}) $
$ \cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u) $ $ \cos(t)+\cos(u) = 2\cos(\frac{t+u}{2})\cos(\frac{t-u}{2}) $
$ \cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u) $ $ \cos(t)-\cos(u) = -2\sin(\frac{t+u}{2})\sin(\frac{t-u}{2}) $
VW-1025-a-17-1-o 2 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 3

Rakende grafieken?

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door:
$f(x) = \ln(x)$ en
$g(x) = \frac{1}{2e} \cdot x^2$

5p 1 Ga na met exacte berekening of de grafieken van $f$ en $g$ elkaar raken.

VW-1025-a-17-1-o 3 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 4

Elektrische spanning

De spanning op elektriciteitsdraden in het Nederlandse spanningsnet is een wisselspanning met formule $U(t) = 325 \sin (100\pi t)$. Hierin is $U$ de spanning in volt en $t$ de tijd in seconden. De grafiek van deze wisselspanning is een sinusoïde met amplitude 325. In de figuur is één periode van de grafiek weergegeven. Ook zijn de lijnen met vergelijking $U=230$ en $U=-230$ getekend.

De spanning op het stopcontact schommelt tussen -325 volt en +325 volt. Toch zegt men in het algemeen dat de spanning op een stopcontact 230 volt is. Dat komt omdat de zogenaamde effectieve waarde$^1$) van de wisselspanning ongeveer 230 volt is.

figuur
$U$
(volt)
$\uparrow$
230
$O$
-230

$\longrightarrow t$ (seconden)

5p 2 Bereken hoeveel procent van de tijd de spanning meer dan 230 volt van 0 afwijkt.

De effectieve waarde van de wisselspanning geven we aan met $U_{\text{eff}}$.
Deze waarde kan worden berekend met de formule:
$$ T \cdot U_{\text{eff}}^2 = \int_{0}^{T} (U(t))^2 dt $$
Hierin is $T$ de periode van de spanning $U$.

Uitgaande van de gegeven formules kun je met de grafische rekenmachine berekenen dat $U_{\text{eff}}$ ongeveer 230 volt is.
3p 3 Bereken $U_{\text{eff}}$ in twee decimalen nauwkeurig.

noot 1 De effectieve waarde van een wisselspanning is de waarde van een gelijkspanning die evenveel vermogen levert als de wisselspanning.

VW-1025-a-17-1-o 4 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Het Nederlandse spanningsnet maakt gebruik van drie elektriciteitsdraden
die fasedraden worden genoemd: de spanningen $U_1$, $U_2$ en $U_3$ in deze
drie draden hebben namelijk een onderling faseverschil. Voor de spanning
in twee van de drie fasedraden geldt:
$U_1(t) = 325 \sin(100 \pi t)$
$U_2(t) = 325 \sin(100 \pi t - \frac{2}{3}\pi)$

Voor woonhuizen wordt doorgaans alleen de eerste fasedraad gebruikt
met een bijbehorende effectieve waarde van 230 volt. In fabrieken is voor
machines vaak een hogere effectieve waarde dan 230 volt nodig. De
stroom die hiervoor nodig is, wordt krachtstroom genoemd. Hiervoor wordt
gebruikgemaakt van twee van de drie fasedraden. De spanning $U_{kracht}$ die
een machine dan krijgt, is het spanningsverschil tussen de twee
fasedraden, bijvoorbeeld $U_1 - U_2$. Dan geldt:

$$U_{\text{kracht}}(t) = U_1(t) - U_2(t) = 325(\sin(100\pi t) - \sin(100\pi t - \frac{2}{3}\pi))$$

5p 4 Bereken exact de maximale waarde van $U_{\text{kracht}}$.

### Pagina 6

Bisse c t r i c e en c i r k e l

$AB$ is een koorde van een cirkel met middelpunt $M$. Op deze koorde is een gelijkbenige, stomphoekige driehoek $ABC$ getekend met $C$ op de cirkel en $AC = BC$. De raaklijn aan de cirkel in $A$ snijdt lijn $BC$ in punt $D$. Zie figuur 1. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur 1

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Punt A ligt op de cirkel en heeft een raaklijn. Punt B en C liggen ook op de cirkel. Er is een driehoek ABC getekend, waarbij hoek C stomphoekig lijkt. Lijn AD snijdt de lijn BC in D.]

Er geldt: lijn $AC$ is bissectrice van hoek $BAD$.

3p 5 Bewijs dit.

In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid. Door $A, C$ en $D$ is een gestippelde cirkel getekend. Punt $E$ is zo op lijnstuk $AB$ gekozen, dat lijnstuk $EC$ de gestippelde cirkel in een punt $F$ snijdt. De lijnstukken $AC$ en $DF$ snijden elkaar in punt $G$. Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur 2

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M en punten A, B, C op de cirkel. Lijn AD snijdt lijn BC in D. Door A, C, D is een grotere, gestippelde cirkel getekend. Punt E ligt op lijn AB. Lijn EC snijdt de gestippelde cirkel in F. Lijn AC en DF snijden elkaar in G. Er zijn twee "x" markeringen op de gestippelde cirkel bij F en bij E.]

4p 6 Bewijs dat $G$ op de cirkel door $A, E$ en $F$ ligt.

VW-1025-a-17-1-o


lees verder ►►►

### Pagina 7

Twee sinusoïden

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door:
$f(x)=\frac{1}{2}\sin(2x-\frac{2}{3}\pi)-\frac{1}{4}\sqrt{3}$ en
$g(x)=\sin(x-\frac{2}{3}\pi)$

In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven op het interval $[0, \frac{2}{3}\pi]$. Verder is de lijn getekend met vergelijking $x=p$, met $0<p<\frac{2}{3}\pi$. Deze lijn snijdt de grafiek van $f$ in punt $A$ en de grafiek van $g$ in punt $B$.

[FIGUUR: Grafiek met y-as links en x-as rechts. De grafiek toont twee sinusoïdale functies, f en g, en een verticale lijn op x=p. Punt A ligt op functie f en punt B ligt op functie g, beide op de lijn x=p. Het interval op de x-as loopt van 0 tot 2/3 pi.]

7p 7
De lengte van lijnstuk $AB$ is afhankelijk van $p$. Voor een bepaalde waarde van $p$ is deze lengte maximaal.
Bereken exact voor welke waarde van $p$ de lengte van lijnstuk $AB$ maximaal is.

VW-1025-a-17-1-o 7 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Sinus en parabool

Op het domein $[0, \pi]$ is de functie $f$ gegeven door:
$f(x) = 3\sin(x) - 2\sin^2(x)$
De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in de punten $(0, 0)$ en $(\pi, 0)$. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een grafiek van de functie f(x) op het domein [0, pi]. De x-as loopt van 0 tot pi, de y-as is positief. De grafiek begint bij (0,0), stijgt tot een maximum bij punt A, daalt weer tot een minimum bij punt P, stijgt weer tot een maximum bij punt B, en daalt tenslotte naar (pi, 0). Er is een horizontale lijn getekend op y=1.]

figuur 1

De lijn met vergelijking $y = 1$ raakt de grafiek van $f$ in het punt $P(\frac{1}{2}\pi, 1)$.
Deze lijn heeft nog twee andere punten met de grafiek van $f$ gemeenschappelijk.
8 Bereken exact de afstand tussen deze twee andere punten.

$V$ is het gebied dat wordt ingesloten door de $x$-as en de grafiek van $f$. Zie figuur 2.

[FIGUUR: Een grafiek van de functie f(x) op het domein [0, pi]. De x-as loopt van 0 tot pi, de y-as is positief. Het gebied onder de grafiek van f(x) en boven de x-as is grijs gekleurd en aangeduid met V. De grafiek begint bij (0,0) en eindigt bij (pi,0). Er is een inkeping in de grafiek zichtbaar rond x=pi/2.]

figuur 2

9 Bereken exact de oppervlakte van $V$.

VW-1025-a-17-1-o 8 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 9

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Grafiek (figuur 3)**: Een tweedimensionale grafiek met een x-as en een y-as.
        *   Op de x-as is het punt '$\pi$' aangeduid.
        *   De oorsprong wordt aangeduid met 'O'.
        *   Twee functies zijn getekend:
            *   Een functie '$f$' die begint in de oorsprong (0,0), stijgt, buigt af en daalt vervolgens weer naar (π, 0). De grafiek van $f$ lijkt een sinus-achtige vorm te hebben, maar is mogelijk een meer complexe functie.
            *   Een functie '$g$' die een parabool is. Deze parabool begint ook in de oorsprong (0,0), stijgt dan boven $f$ uit, heeft een top en daalt vervolgens weer naar (π, 0). De grafiek van $g$ is duidelijk een opwaarts openende parabool als we kijken naar de gegeven functie $g(x) = ax^2 + bx$. Echter, de getekende parabool is opwaarts geopend (concave naar beneden), wat betekent dat $a$ negatief moet zijn. Beide grafieken $f$ en $g$ lijken elkaar te raken in $(0,0)$ en $(\pi,0)$, wat consistent is met de opgave dat ze daar dezelfde helling hebben.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Functies en grafieken**: Analyseren van de kenmerken van grafieken.
    *   **Parabolen**: Werken met de algemene vorm van een kwadratische functie ($g(x) = ax^2 + bx$).
    *   **Afgeleiden/Helling**: Het concept van 'dezelfde helling' in een punt, wat duidt op het gebruik van afgeleiden.
    *   **Stelsels van vergelijkingen**: Het oplossen voor onbekende constanten ($a$ en $b$) door het opstellen van vergelijkingen op basis van gegeven voorwaarden.
    *

### Pagina 10

Brandwerendheid van een deur
De (lucht)temperatuur tijdens een bepaald soort natuurlijke brand kan
worden beschreven met het volgende model:
$$T_{\text{nat}}(t) = 20 + 1050 \cdot \text{e}^{-\ln^2(t) + 6\ln(t)-9}$$
Hierin is $T_{\text{nat}}$ de temperatuur in $^\circ$C en $t$ de tijd in minuten vanaf het begin
van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in figuur 1.

[FIGUUR: Grafiek van temperatuur (y-as) tegen tijd (x-as) voor een natuurlijke brand. De y-as loopt van 0 tot 1200 met stippen op 400, 800, 1200. De x-as loopt van 0 tot 100 met stippen op 20, 40, 60, 80, 100. Een kromme curve begint bij (0,20) en stijgt naar een maximum rond t=20, waarna het langzaam daalt en de x-as nadert rond t=100. De piek is aangeduid met T_nat.]

In de figuur is te zien dat de temperatuur bij deze natuurlijke brand een
maximum bereikt.
5p 11 Bereken exact deze maximale temperatuur.
Deuren worden getest op hun brandwerendheid door ze in een
laboratorium aan een brand bloot te stellen.
De temperatuur tijdens zo'n laboratoriumbrand verloopt anders dan bij
de natuurlijke brand, namelijk volgens de formule:
$$T_{\text{lab}}(t) = 20 + 345 \cdot \log(8t+1)$$
Hierin is $T_{\text{lab}}$ de temperatuur in $^\circ$C en $t$ de tijd in minuten vanaf het begin
van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in figuur 2.

[FIGUUR: Grafiek van temperatuur (y-as) tegen tijd (x-as) voor een laboratoriumbrand. De y-as loopt van 0 tot 800 met stippen op 400, 800. De x-as loopt van 0 tot 80 met stippen op 20, 30, 40, 60, 80. De curve begint bij (0,20) en stijgt. Rond t=30 minuten is er een punt (0,69; 300) aangegeven en een verticale lijn. De curve blijft stijgen en bereikt een plateau rond 300 graden Celsius bij 30 minuten. De lijn van 300 graden is aangegeven. De curve is aangeduid met T_lab.]

VW-1025-a-17-1-o
10 / 12
lees verder

### Pagina 11

Temperaturen onder de $300\ ^\circ C$ leveren geen blijvende schade aan de
deur op. Pas vanaf een temperatuur van $300\ ^\circ C$ heeft een deur onder de
brand te lijden. Het tijdstip $t$ waarop deze temperatuur bij de
laboratoriumbrand wordt bereikt, is afgerond op twee decimalen $0,69$. Zie
figuur $2$.

4p 12 Bereken algebraïsch het tijdstip $t$ waarop de temperatuur bij de
laboratoriumbrand de waarde $300\ ^\circ C$ bereikt. Rond je antwoord af op drie
decimalen.

In de rest van deze opgave bekijken we een deur die wordt blootgesteld
aan een laboratoriumbrand. Deze deur blijkt precies $30$ minuten stand te
houden. Men vraagt zich af hoe berekend kan worden of zo'n deur tijdens
de natuurlijke brand óók $30$ minuten standhoudt.

In figuur $3$ is het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt ingesloten door de
grafiek van $T_{lab}$, de horizontale lijn met vergelijking $T = 300$ en de
verticale lijn met vergelijking $t = 30$.

figuur $3$ laboratoriumbrand
[FIGUUR: grafiek met op de y-as temperatuur in graden Celsius en op de x-as tijd in minuten. De y-as loopt van 0 tot 800. De x-as loopt van 0 tot 80. Een curve start bij (0,400) en stijgt naar een asymptoot van 800 graden Celsius. Bij $T = 300$ graden Celsius is er een horizontale lijn getekend. Bij $t = 30$ minuten is er een verticale lijn getekend. Het gebied tussen de curve, de horizontale lijn $T=300$ en de verticale lijn $t=30$ is grijs gemarkeerd. De coördinaten (0,69; 300) zijn aangeduid met een pijl naar de horizontale lijn en de verticale lijn.]

temperatuur
($^\circ C$)
$T_{lab}$
$800$
$400$
$(0,69; 300)$
$0$
$20$
$30$
$40$
$60$
$80$
tijd (minuten)

De Amerikaanse Simon Ingber deed in $1928$ de volgende veronderstelling:

De deur bezwijkt tijdens de natuurlijke brand op dát tijdstip $t_b$, waarvoor
geldt dat de oppervlakte tussen de grafiek van $T_{nat}$, de horizontale lijn
met vergelijking $T = 300$ en de verticale lijn met vergelijking $t = t_b$ gelijk is aan
de oppervlakte van het grijze vlakdeel in figuur $3$.

7p 13 Onderzoek of volgens de veronderstelling van Ingber de deur tijdens de
natuurlijke brand minstens $30$ minuten standhoudt.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1025-a-17-1-o $11$ / $12$ lees verder

### Pagina 12

Parallellogram met verlengde diagonaal

Gegeven is parralellogram $ABCD$. Punt $E$ ligt op het verlengde van diagonaal $AC$ zodanig dat $CE = AC$. Zie de figuur, die ook staat afgebeeld op de uitwerkbijlage.

figuur

[FIGUUR: Een parallellogram ABCD met diagonaal AC. Het punt E ligt op het verlengde van AC, voorbij C. De lijn BE en DE zijn getekend.]

14 5p Punt $C$ is het snijpunt van de zwaartelijnen van driehoek $DBE$. Bewijs dit.