# Eindexamen Wiskunde B VWO 2016 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2016/tijdvak-2 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opgave 2 ### Vraag 2 – Opgave 2 ### Vraag 3 – Opgave 2 ### Vraag 4 – Opgave 2 ### Vraag 5 – Opgave 2 ### Vraag 6 – Opgave 1 ### Vraag 7 – Opgave 1 ### Vraag 8 – Opgave 2 ### Vraag 9 – Opgave 1 ### Vraag 10 – Opgave 1 ### Vraag 11 – Opgave 1 ### Vraag 12 – Opgave 2 ### Vraag 13 – Opgave 2 ### Vraag 14 – Opgave 2 ### Vraag 15 – Opgave 1 ### Vraag 16 – Opgave 2 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30 - 16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1025-a-16-2-o ### Pagina 2 Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige plaatsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie $\sin(t+u) = \sin(t)\cos(u) + \cos(t)\sin(u)$ $\sin(t-u) = \sin(t)\cos(u) - \cos(t)\sin(u)$ $\cos(t+u) = \cos(t)\cos(u) - \sin(t)\sin(u)$ $\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) + \sin(t)\sin(u)$ $= 2\sin\left(\frac{t+u}{2}\right)\cos\left(\frac{t-u}{2}\right)$ $= 2\sin\left(\frac{t-u}{2}\right)\cos\left(\frac{t+u}{2}\right)$ $= 2\cos\left(\frac{t+u}{2}\right)\cos\left(\frac{t-u}{2}\right)$ $= -2\sin\left(\frac{t+u}{2}\right)\sin\left(\frac{t-u}{2}\right)$ VW-1025-a-16-2-o 2 / 14 lees verder ### Pagina 3 VW-1025-a-16-2-o 3 / 14 lees verder ### Pagina 4 Parabolen met gemeenschappelijke raaklijn Voor elke waarde van $p$ is de functie $f_p$ gegeven door: $f_p(x) = (x-p)^2 + 2p$ De grafieken van deze functies zijn parabolen. 4p 1 Twee van deze parabolen gaan door de oorsprong. Bereken exact de coördinaten van de toppen van deze twee parabolen. Verder is gegeven de lijn $k$ met vergelijking $y = 2x - 1$. Voor elke waarde van $p$ raakt de lijn $k$ aan de grafiek van $f_p$ in het punt met coördinaten $(p+1; 2p+1)$. 4p 2 Bewijs dat het punt $(p+1; 2p+1)$ inderdaad raakpunt is. We bekijken de functies $f_0$ en $f_p$ (met $p \neq 0$). De lijn $k$ raakt de grafiek van $f_0$ in $Q$ en de grafiek van $f_p$ in $R_p$. De grafieken van $f_0$ en $f_p$ snijden elkaar in $S_p$. Zie figuur 1. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Twee parabolen, $f_0$ en $f_p$, en een lijn $k$. De parabolen hebben hun top aan de linkerkant van de y-as en buigen naar boven. Lijn $k$ raakt $f_0$ in punt Q en $f_p$ in punt $R_p$. De parabolen snijden elkaar in punt $S_p$.] Er geldt: de $x$-coördinaat van $S_p$ is het gemiddelde van de $x$-coördinaten van $Q$ en $R_p$. 5p 3 Bewijs dit. VW-1025-a-16-2-o 4 / 14 lees verder ### Pagina 5 De grafieken van $f_0$ en $f_4$ en de gemeenschappelijke raaklijn $k$ sluiten een gebied $V$ in. Zie figuur 2, waarin gebied $V$ met grijs is aangegeven. figuur 2 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De grafiek toont twee parabolen die openen naar boven en uit de oorsprong komen, en drie lijnen die vanuit de oorsprong omhoog gaan. Een van de parabolen is gelabeld met $f_0$. De lijnen zijn gelabeld met $f_0$, $f_4$ en $k$. Een gebied tussen de parabool $f_0$ en de lijn $f_4$ is grijs gekleurd en gelabeld met $V$.] 6p 4 Bereken exact de oppervlakte van $V$. VW-1025-a-16-2-o 5 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 6 Spots Veel industriële en medische processen worden gestuurd door een digitale camera die gekoppeld is aan een computer. Hierbij is een gelijkmatige verlichting van het werkoppervlak van groot belang. Voor de belichting gebruikt men vaak een of meer kleine spots. Zie figuur 1. [FIGUUR: Schematische weergave van een camera geflankeerd door twee spots die licht uitstralen op een werkoppervlak.] Om de belichting goed te kunnen instellen is de hoogte van de spots boven het werkoppervlak variabel. We bekijken eerst de situatie met één spot S. Zie figuur 2. De waargenomen verlichtingssterkte $E$ (in lux) in een punt $P$ van een horizontaal oppervlak kan berekend worden met de formule: $$E = \frac{I_{\text{spot}}}{4\pi r^2} \cdot \cos \alpha$$ Hierin is: - $I_{\text{spot}}$ een constante: de door de spot uitgezonden lichtstroom (in microlumen); - $r$ de afstand (in mm) tot de spot; - $\alpha$ de hoek (in radialen) tussen de lichtstraal en de loodlijn in $P$ op het werkoppervlak. [FIGUUR: Geometrische opstelling van een spot S boven een werkoppervlak. Een punt P op het werkoppervlak bevindt zich op afstand d van de projectie van S. De afstand van S tot P is r. Er is een hoek $\alpha$ gedefinieerd.] In figuur 2 is $d$ de horizontale afstand in mm van de spot tot $P$ en $x$ de verticale afstand in mm van de spot tot $P$. Er geldt: $$E = \frac{I_{\text{spot}}}{4\pi} \cdot \frac{x}{(x^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}$$ 5 (4p) Bewijs dit. 6 (7p) We kiezen $d = 10$. Er is een waarde van $x$ waarvoor $E$ maximaal is. Bereken algebraïsch deze waarde van $x$. Rond je antwoord af op één decimaal. VW-1025-a-16-2-o 6 / 14 lees verder ### Pagina 7 In de rest van deze opgave bekijken we de situatie met twee identieke spots. Voor elke spot geldt: $I_{spot} = 500$. De spots hebben horizontaal een onderlinge afstand van 40 mm en schijnen recht naar beneden. De verticale afstand van de spots tot het werkgoppervlak is 25 mm. Zie figuur 3. Hierin is ook $d$ aangegeven, de horizontale afstand in mm van de linker spot tot $P$. De horizontale afstand in mm van de rechter spot tot $P$ is dan $40 - d$. figuur 3 [FIGUUR: Diagram met twee spots S boven een lijn, de linker spot op afstand d van een punt P en de rechter spot op afstand 40-d van P. De verticale afstand van de spots tot het werkgoppervlak is 25.] De totale verlichtingssterkte $E_{totaal}$ in een punt op het werkgoppervlak is de som van de waargenomen verlichtingssterktes in dat punt van beide spots. Het deel van het werkgoppervlak tussen de spots wordt voldoende gelijkmatig belicht als de laagste waarde van $E_{totaal}$ in dat deel minstens 80% van de hoogste waarde van $E_{totaal}$ bedraagt. 5p 7 Onderzoek of bij de ingestelde verticale afstand van 25 mm het deel van het werkgoppervlak tussen de spots voldoende gelijkmatig belicht wordt. VW-1025-a-16-2-o 7 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 8 Buiten en binnen de cirkel Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 1. Buiten de cirkel liggen punten P en Q zo dat M niet op de lijn door P en Q ligt. Op lijnstuk MP ligt binnen de cirkel het punt P' zo dat $MP' \cdot MP = 1$. Op lijnstuk MQ ligt binnen de cirkel het punt Q' zo dat $MQ' \cdot MQ = 1$. In figuur 1 zijn de punten P en Q met de bijbehorende punten P' en Q' getekend. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 1 [FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Punt P ligt buiten de cirkel. P' ligt op het lijnstuk MP en binnen de cirkel. Punt Q ligt buiten de cirkel. Q' ligt op het lijnstuk MQ en binnen de cirkel. Een lijn loopt door M, P' en P. Een andere lijn loopt door M, Q' en Q.] De driehoeken $MP'Q'$ en $MQP$ zijn gelijkvormig. 4p 8 Bewijs dit. ### Pagina 9 In figuur 2 zie je opnieuw de cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal 1. Verder is een lijn $l$ buiten de cirkel getekend. figuur 2 [FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Een lijn l snijdt de cirkel in punt A en gaat verder buiten de cirkel naar punt B. De lijn MA is loodrecht op lijn l.] Op $l$ ligt het punt $A$ zo dat lijnstuk $MA$ loodrecht op $l$ staat. Op lijnstuk $MA$ ligt het punt $A'$ zo dat $MA' \cdot MA = 1$. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. 3p 9 In figuur 2 is ook een punt $B$ op $l$ getekend. Op lijnstuk $MB$ ligt het punt $B'$ zo dat $MB' \cdot MB = 1$. Bewijs dat $B'$ op de cirkel met middellijn $MA'$ ligt. VW-1025-a-16-2-o 9 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 10 Getransformeerde grafiek De functies $f$ en $g$ worden gegeven door: $f(x) = \ln(x^2+1)$ en $g(x) = \ln \left(\frac{e^2}{x^2+1} \right)$ De grafieken van $f$ en $g$ staan in figuur 1. Ze snijden elkaar in de punten $S$ en $T$. figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. Twee krommen zijn getekend, gelabeld met $f$ en $g$. Een verticale lijn is getekend, gelabeld met $l$. Op de lijn $l$ zijn punten $A$, $P$ en $B$ aangegeven. De kromme $f$ snijdt de lijn $l$ in $A$. De kromme $g$ snijdt de lijn $l$ in $B$. De krommen $f$ en $g$ snijden elkaar in de punten $S$ en $T$. De oorsprong is aangegeven met $O$.] Lijn $l$ met vergelijking $x=p$ snijdt de grafiek van $f$ in punt $A$ en de grafiek van $g$ in punt $B$. Het punt op lijn $l$ met $y$-coördinaat 1 noemen we $P$. In figuur 1 is de situatie weergegeven waarbij $l$ rechts van $T$ ligt. 3p 10 Bewijs dat in deze situatie $AP = BP$. VW-1025-a-16-2-o 10 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 11 Ook voor waarden van $p$ waarvoor $l$ niet rechts van $T$ ligt, geldt dat $AP=BP$. Hieruit volgt dat de grafieken van $f$ en $g$ elkaars gespiegelde zijn in de lijn met vergelijking $y = 1$. Deze lijn is getekend in figuur 2. In figuur 2 is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de grafieken van $f$ en $g$ en de y-as, grijsgemaakt. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Twee krommen zijn getekend. De ene kromme, gelabeld met 'f', begint hoog links, bereikt een minimum net boven de x-as en stijgt dan naar rechts. De andere kromme, gelabeld met 'g', begint laag links, bereikt een maximum net onder de x-as en daalt dan naar rechts. Een horizontale lijn is getekend op y=1, en een andere horizontale lijn is getekend op y=-1. De kromme 'f' kruist de lijn y=1 op punt S en de kromme 'g' kruist de lijn y=-1 op punt T. Het gebied tussen de y-as, de kromme 'f' en de lijn y=1 is grijs gekleurd.] figuur 2 Dit gebied wordt gewenteld om de y-as. 5p 11 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam. De grafiek van $f$ wordt 2 naar rechts verschoven. In figuur 3 staan de grafiek van $f$ en de verschoven grafiek. figuur 3 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Twee krommen zijn getekend. De ene kromme is duidelijk hoger gelegen dan de andere. Beide krommen lijken op elkaar en zijn naar rechts geopend. Een horizontale lijn is getekend op y=0.] 8p 12 Het lijkt of deze grafieken elkaar loodrecht snijden. Dit is zo als in het snijpunt van de grafieken het product van de richtingcoëfficiënten van de raaklijnen aan deze grafieken gelijk is aan $-1$. Bewijs dat ze elkaar loodrecht snijden. VW-1025-a-16-2-o 11 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 12 Drooglig tij d In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loop van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdenscyclus met een periode van ongeveer 745 minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule: $h=125\cos\left(\frac{\pi}{745}t\right)$ Hierbij is $h$ de waterhoogte in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is $t$ de tijd in minuten. Tijdstip $t=0$ komt overeen met een moment waarop $h=125$. In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die gedurende een deel van een getijdenscyclus droog komen te liggen. De droogtijd $D$ is het aantal minuten per getijdenscyclus dat een zandbank niet geheel onder water ligt. De droogtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste punt van de zandbank ten opzichte van NAP. In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP. In figuur 1 is de grafiek van de waterhoogte $h$ getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte $h$ gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze tijdstippen $t_1$ en $t_2$. Het verschil tussen $t_2$ en $t_1$ is de droogtijd $D$. figuur 1 [FIGUUR: Grafiek van waterhoogte $h$ tegen tijd $t$. De $h$-as loopt van -125 tot 125, met markeringen bij -125, 0 en 125. De $t$-as heeft een markering bij 0 en $745/2$. Een horizontale gestippelde lijn is getrokken op $h=40$. Een sinusvormige curve start bij $h=125$ op $t=0$, daalt, kruist de $t$-as en gaat verder naar beneden. De curve heeft de maximale waarde van 125 bij $t=0$. De curve snijdt de lijn $h=40$ op twee punten, gelabeld met $t_1$ en $t_2$. Het gebied tussen $t_1$ en $t_2$ wordt aangeduid als droogtijd $D$. De curve bereikt zijn minimum bij $t=745/2$.] 4p 13 Bereken de droogtijd $D$ van deze zandbank. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten. VW-1025-a-16-2-o 12 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 13 Op drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen. Met z duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten opzichte van NAP. Er geldt dan: $z = 125\cos\left(\pi-\frac{\pi}{745}D\right)$ 5p 14 Bewijs dit. In figuur 2 is de grafiek van z getekend voor waarden van $D$ tussen 0 en 745. Ook kan een grafiek van het verband tussen $D$ en $z$ worden getekend waarbij $z$ op de horizontale as en $D$ op de verticale as wordt gekozen. Zie figuur 3. figuur 2 [FIGUUR: Grafiek met de z-as verticaal van -125 tot 125 en de D-as horizontaal van 0 tot 745. De grafiek is een cosinusfunctie die start op (0, 125), daalt naar een minimum van (372,5, -125) en stijgt naar (745, 125).] figuur 3 [FIGUUR: Grafiek met de D-as horizontaal van ongeveer -125 tot 125 en de z-as verticaal van 0 tot 745. De grafiek is een deel van een curve die vanuit het negatieve D-gebied omhoog loopt en de z-as snijdt nabij 372.5.] figuur 4 [FIGUUR: Grafiek met de z-as horizontaal van -125 tot 125 en de D-as verticaal van 0 tot 745. De grafiek is een stijgende curve die start bij (0, 372.5) en omhoog loopt.] In onderzoeksrapporten wordt, in plaats van de formule die bij figuur 3 hoort, ook wel de volgende derde graads formule gebruikt: $D = 8 \cdot 10^{-5}z^3 + 1,7z + 372,5$ De bijbehorende grafiek staat in figuur 4. De grafieken in figuren 3 en 4 lijken op elkaar. Zo verschillen de hellingen van beide grafieken in het punt $(0; 372,5)$ niet veel. De helling in een punt op de grafiek van figuur 3 kan worden berekend met behulp van de helling in het overeenkomstige punt in figuur 2: er geldt dat het product van deze twee hellingen gelijk is aan 1. Bereken op algebraïsche wijze bij elk van de figuren 3 en 4 de helling van de grafiek in het punt $(0; 372,5)$. Rond je antwoorden af op één decimaal. 15 Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. VW-1025-a-16-2-0 13 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 14 Driehoek, cirkel en koordenvierhoek Gegeven is driehoek ABC. Verder is gegeven een cirkel, zo dat - de cirkel zijde AB in punt D raakt; - de cirkel zijde BC in twee punten E en F snijdt; - zijde DE evenwijdig aan zijde AC is. Zie de figuur, die ook op de uitwerkbijlage staat. figuur [FIGUUR: Een driehoek ABC met een cirkel die de zijde AB raakt in punt D en de zijde BC snijdt in de punten E en F. De zijde DE is evenwijdig aan de zijde AC.] 4p 16 Bewijs dat vierhoek ADFc een koordenvierhoek is. VW-1025-a-16-2-o 14/14 einde