# Eindexamen Wiskunde B VWO 2016 tijdvak 1 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2016/tijdvak-1 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opgave 1 ### Vraag 2 – Opgave 1 ### Vraag 3 – Opgave 2 ### Vraag 4 – Opgave 2 ### Vraag 5 – Opgave 1 ### Vraag 6 – Opgave 2 ### Vraag 7 – Opgave 1 ### Vraag 8 – Opgave 1 ### Vraag 9 – Opgave 2 ### Vraag 10 – Opgave 1 ### Vraag 11 – Opgave 1 ### Vraag 12 – Opgave 1 ### Vraag 13 – Opgave 1 ### Vraag 14 – Opgave 2 ### Vraag 15 – Opgave 1 ### Vraag 16 – Opgave 2 ### Vraag 17 – Opgave 1 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30 - 16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1025-a-16-1-o ### Pagina 2 Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige plaatsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie $sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)$ $sin(t - u) = sin(t)cos(u) - cos(t)sin(u)$ $cos(t + u) = cos(t)cos(u) - sin(t)sin(u)$ $cos(t - u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)$ $sin(t) + sin(u) = 2sin(\frac{t+u}{2})cos(\frac{t-u}{2})$ $sin(t) - sin(u) = 2sin(\frac{t-u}{2})cos(\frac{t+u}{2})$ $cos(t + u) = 2cos(\frac{t+u}{2})cos(\frac{t-u}{2})$ $cos(t - u) = -2sin(\frac{t+u}{2})sin(\frac{t-u}{2})$ VW-1025-a-16-1-o 2 / 15 lees verder ### Pagina 3 VW-1025-a-16-1-0 3 / 15 lees verder ### Pagina 4 Kettinglijn De functie f is gegeven door $f(x) = \frac{1}{2} e^x + 2e^{-x} + 1 \frac{1}{2}$. In figuur 1 is de grafiek van $f$, een zogenaamde kettinglijn, op het domein $[0,6]$ getekend. Punt $T$ is het laagste punt van de grafiek en punt $A$ is het gemeenschappelijke punt van de grafiek met de $y$-as. De $x$-coördinaat van $T$ is ongeveer 1,4. 4p 1 Bereken exact de waarde van de $x$-coördinaat van $T$. Aan twee verticale palen met bevestigingspunten $A$ en $B$ is een flexibele, niet elastische kabel opgehangen. Door het eigen gewicht hangt de kabel in de vorm van een kettinglijn. In figuur 2 is deze situatie in een assenstelsel getekend. De $x$-as valt samen met de grond. De getekende kettinglijn is de grafiek van de functie $f$ op het domein $[0,6]$. figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek van een functie. De y-as is gemarkeerd met 'y', de x-as met 'x'. De oorsprong is gemarkeerd met 'O'. Er is een kettinglijn getekend. Punt A bevindt zich op de y-as en punt T bevindt zich op de kettinglijn. Een stippellijn loopt vanaf T naar de x-as, de waarde 6 is op de x-as aangegeven.] figuur 2 [FIGUUR: Een grafiek die een kettinglijn toont die tussen twee verticale palen hangt. De y-as is gemarkeerd met 'y', de x-as met 'x'. De oorsprong is gemarkeerd met 'O'. Punt A bevindt zich op de y-as, en punt B bevindt zich verder naar rechts op de grafiek. Een stippellijn loopt vanaf B naar de x-as, de waarde 6 is op de x-as aangegeven.] 5p 2 De kabel schiet los bij punt A. Onderzoek of de loshangende kabel de grond raakt. VW-1025-a-16-1-o 4 / 15 lees verder ▶▶▶ ### Pagina 5 In figuur 3 zijn de grafiek van de functie $f$ en de parabool door $A$ met top $T$ getekend. In deze figuur is te zien dat de parabool de kettinglijn benadert, maar dat voor grotere waarden van $x$ de benadering minder goed wordt. Van de parabool door $A$ met top $T$ kan een vergelijking van de vorm $y = a(x-b)^2 + c$ worden opgesteld. [FIGUUR: Een grafiek met een y-as en x-as. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal. Op de y-as is een punt A gemarkeerd. Op de x-as zijn de waarden O en 6 gemarkeerd. Er loopt een verticale gestippelde lijn vanaf de x-as bij 6 omhoog. Tussen de y-as en de gestippelde lijn is een curve getekend. Een deel van de curve is een doorgetrokken lijn, gelabeld als 'kettinglijn', en een deel is een gestippelde lijn, gelabeld als 'parabool'. Het laagste punt van de parabool is gemarkeerd met T. De kettinglijn en de parabool kruisen elkaar bij punt A.] 6p 3 Bereken de waarde van $x$ waarvoor het (verticale) hoogteverschil tussen de kettinglijn en deze parabool gelijk is aan 1. Rond je antwoord af op één decimaal. VW-1025-a-16-1-o 5 / 15 lees verder ► ► ► ### Pagina 6 Automotor In een automotor wordt de op- en neergaande beweging van een zuiger via een drijfstang omgezet in een draaiende beweging. In figuur 1 zijn twee standen getekend. In de eerste stand beweegt de zuiger omlaag en in de tweede stand omhoog. [FIGUUR: figuur 1 met twee cylinder-zuiger combinaties met drijfstangen.] In figuur 2 zijn vier standen schematisch getekend. A is een vast punt, D beweegt verticaal over AB en C draait over een cirkel met straal 1 en middelpunt A waarbij CD een vaste lengte 4 heeft. De grootte van hoek CAD (in radialen) noemen we $\alpha$. Punt E is de loodrechte projectie van C op lijn AD. [FIGUUR: figuur 2 met vier cylinder-zuiger combinaties met drijfstangen en cirkels.] Punt D beweegt op en neer tussen zijn hoogste punt B ($\alpha = 0$ en $\alpha = 2\pi$) en zijn laagste punt O ($\alpha = \pi$). De afstand van D tot B noemen we s. s hangt af van $\alpha$. Er geldt: $s = 5 - \cos(\alpha) - \sqrt{16 - \sin^2(\alpha)}$, met $0 \leq \alpha \leq 2\pi$. 5p 4 Bewijs dit voor de meest linkse van de in figuur 2 getekende standen (dus voor $0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$). VW-1025-a-16-1-o 6 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 7 In de techniek wordt s soms benaderd met behulp van de formule $z = 1 - \cos(\alpha) + \frac{1}{8}\sin^2(\alpha)$. Om te onderzoeken of de formule $z = 1 - \cos(\alpha) + \frac{1}{8}\sin^2(\alpha)$ een goede benadering voor s geeft, wordt het maximale verschil tussen s en z berekend. 3p 5 Bereken in drie decimalen nauwkeurig dit maximale verschil. Zowel in B als in () is de snelheid van de zuiger gelijk aan 0. Tijdens de beweging wordt voor een waarde van $\alpha$, met $0 < \alpha < \pi$, de maximale zuigersnelheid bereikt. 4p 6 Stel een formule voor de afgeleide van z op en bereken hiermee de maximale zuigersnelheid. Rond je antwoord af op twee decimalen. VW-1025-a-16-1-o 7/15 lees verder ► ► ► ### Pagina 8 Omgeschreven cirkel Punt $M$ is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de scherphoekige driehoek $ABC$. Op deze cirkel ligt punt $D$ zo dat straal $MD$ zijde $AB$ in punt $E$ loodrecht snijdt. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. [FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Een driehoek ABC is ingeschreven in de cirkel. Punt D ligt op de cirkel. Een lijnstuk MD snijdt AB in punt E. De lijn MD staat loodrecht op AB.] figuur 1 4p 7 Bewijs dat $CD$ de bissectrice van hoek $ACB$ is. In figuur 2 is de omgeschreven cirkel getekend van een andere driehoek $ABC$. Op deze cirkel met middelpunt $M$ liggen de punten $H$, $D$ en $Z$. [FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Punten H, D en Z liggen op de cirkel.] Voor driehoek $ABC$ geldt: - $D$ ligt zodanig op de cirkel dat $MD$ loodrecht staat op $AB$; - $H$ is het snijpunt van het verlengde van de hoogtelijn vanuit $C$ met de cirkel; - $Z$ is het snijpunt van de lijn door $C$ en het snijpunt $E$ van $MD$ en $AB$ met de cirkel. figuur 2 4p 8 Teken driehoek $ABC$ in de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe. VW-1025-a-16-1-o 8 / 15 lees verder ### Pagina 9 Raaklijnen aan twee parabolen Gegeven zijn de twee parabolen met vergelijkingen $y = x^2 + 3$ en $y = -x^2 - 1$. Er zijn twee lijnen die aan beide parabolen raken. Deze twee raaklijnen snijden elkaar in het punt dat midden tussen de toppen van de beide parabolen ligt. Zie de figuur. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Twee parabolen zijn getekend. Eén parabool opent naar boven met de top op (0, 3). Een andere parabool opent naar beneden met de top op (0, -1). Twee lijnen worden getekend die aan beide parabolen raken. Deze lijnen snijden elkaar op de y-as, halverwege de toppen van de parabolen.] 6p 9 Stel met behulp van exacte berekeningen van beide raaklijnen een vergelijking op. VW-1025-a-16-1-0 9 / 15 lees verder ▶ ► ► ### Pagina 10 Vierkant bij een grafiek De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{16}{\sqrt{x}}$. Van vierkant $ABCD$ liggen de hoekpunten $A$ en $B$ op de $x$-as en het hoekpunt $D$ op de grafiek van $f$. Zie figuur 1. [FIGUUR: Grafiek van een functie $f(x) = 16/\sqrt{x}$ in het eerste kwadrant. Een vierkant $ABCD$ is getekend waarbij $A$ en $B$ op de $x$-as liggen en $D$ op de grafiek.] De $x$-coördinaten van $A$ en $B$ noemen we respectievelijk $a$ en $b$, met $0 < a < b$. De coördinaten van $D$ zijn dan $(a, \frac{16}{\sqrt{a}})$. Voor $a = 1$ ontstaat het vierkant met zijde 16. $V$ is het deel van dit vierkant dat zich boven de grafiek bevindt. Vlakdeel $V$ wordt gewenteld om de $x$-as. 5p 10 Bereken exact de inhoud van het bijbehorende omwentelingslichaam. In figuur 2 zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant $ABCD$ getekend. [FIGUUR: Drie grafieken van een functie $f(x) = 16/\sqrt{x}$ in het eerste kwadrant, elk met een vierkant $ABCD$ waarbij $A$ en $B$ op de $x$-as liggen en $D$ op de grafiek. In elk diagram is de afstand $b$ aangegeven.] Bij de getekende situaties is de afstand van punt $B$ tot de oorsprong aangegeven. Deze afstand $b$ hangt af van $a$, de $x$-coördinaat van $A$. Als $a$ vanaf 0 toeneemt, neemt $b$ eerst af en vervolgens weer toe. Er is dus een waarde van $a$ waarvoor $b$ minimaal is. 5p 11 Druk $b$ uit in $a$ en bereken vervolgens exact deze minimale waarde van $b$. VW-1025-a-16-1-o 10 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 11 Snelheid op een baan Voor $0 \leq t \leq \pi$ is de baan van het punt $P$ gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: $$ \begin{cases} x(t) = \sin(2t) + \sin(t) \\ y(t) = \cos(t) \end{cases} $$ In de figuur is de baan van $P$ weergegeven. [FIGUUR: Een grafiek met de x- en y-as. De y-as loopt van ongeveer -1 tot 1. De x-as loopt van 0 tot ongeveer 1. Op de y-as zijn de punten A (0,1) en C (0,-1) aangegeven. De baan begint bij punt A, buigt naar rechts en beneden, kruist de y-as bij B (0,0) en eindigt bij punt C.] Op $t=0$ bevindt $P$ zich in het hoogste punt $A(0,1)$ van de baan. Op $t=\pi$ bevindt $P$ zich in het laagste punt $C(0,-1)$ van de baan. Tussen $t=0$ en $t=\pi$ snijdt de baan de y-as één keer in het punt $B$. De snelheid van $P$ op tijdstip $t$ is $\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$. 7p 12 Bereken exact de snelheid van $P$ in punt $B$. ### Pagina 12 Driehoek met dubbele hoek Gegeven is een driehoek $ABC$, waarbij hoek $B$ twee keer zo groot is als hoek $C$. Het middelpunt $M$ van de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$ ligt binnen deze driehoek. Middellijn $AE$ snijdt zijde $BC$ in punt $D$. Zie figuur 1. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage. [FIGUUR: Een cirkel met getekende driehoek ABC erin. De punten A, B, C, D, E en M zijn gemarkeerd. Hoek B is gemarkeerd met $2\gamma$, hoek C is gemarkeerd met $\gamma$. M is het middelpunt van de cirkel.] 4p 13 Bewijs dat driehoek $ABD$ gelijkbenig is. VW-1025-a-16-1-o 12 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 13 In figuur 2 is opnieuw de driehoek $ABC$ getekend met zijn omgeschreven cirkel. De lijn door $A$ evenwijdig met zijde $BC$ snijdt de cirkel behalve in $A$ ook in punt $F$. Lijn $l$ raakt de cirkel in $F$. De hoek tussen $l$ en lijnstuk $CF$ is $\alpha$ en de hoek tussen $l$ en lijnstuk $AF$ is $\beta$. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 [FIGUUR: Een cirkel met daarop de punten A, B en C. Punt F ligt op de cirkel en er is een lijn l getekend die raakt aan de cirkel in F. Een lijnstuk CF en AF zijn getekend. De hoek tussen lijn l en CF is $\alpha$ en de hoek tussen lijn l en AF is $\beta$. De hoek bij C is $\gamma$ en de hoek bij B is $2\gamma$. De hoek bij A is $\alpha$ en $2\gamma$ wordt ook aangegeven bij de hoek tussen AB en de lijn AB.] 5p 14 Bewijs dat $l$ evenwijdig is aan $AC$. VW-1025-a-16-1-o 13 / 15 lees verder ► ► ► ### Pagina 14 Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave. De pagina bevat twee opgaven (15 en 16) met bijbehorende figuren en uitleg. 2. **Visuele elementen**: * **Titel**: "De kromme van Agnesi" bovenaan de pagina. * **Tekst**: Bevat de functie definitie, historische context over Maria Agnesi, en de beschrijving van de snijpunten en lijnen. * **Formules**: * `f(x) = 1 / (x^2 + 1)`: Definitie van de functie van Agnesi. * `0 < p < 1/2`: Voorwaarde voor de parameter `p`. * `De lengte van lijnstuk AB is 2 * sqrt(1/p - 1)`: Bewezen moet worden. * `AB * CD = 4`: Bewezen moet worden. * **Figuur 1**: * Een grafiek met een gebogen lijn, gelabeld `f`, die de functie `f(x)` voorstelt. De grafiek is symmetrisch rond de y-as en heeft een maximum op (0, 1). * Een horizontale lijn, gelabeld `y = p`, die de grafiek `f` snijdt op twee punten, gelabeld `A` en `B`. * Assenstelsel met x- en y-as, met de oorsprong `O`. * **Figuur 2**: * Zelfde grafiek `f` en horizontale lijn `y = p` met snijpunten `A` en `B` als in Figuur 1. * Extra horizontale lijn, gelabeld `y = 1 - p`, die de grafiek `f` snijdt op twee punten, gelabeld `C` en `D`. * Assenstelsel met x- en y-as, met de oorsprong `O`. * **Pagina-indicatie**: "14 / 15" onderaan in het midden en "Pagina: ### Pagina 15 De grafiek van $f_a$ ontstaat uit de grafiek van $f$ door twee transformaties: een vermenigvuldiging van de grafiek van $f$ ten opzichte van de $x$-as met een positieve factor $\alpha$ en vervolgens een vermenigvuldiging van de zo verkregen grafiek ten opzichte van de $y$-as met dezelfde factor $a$. 3p 17 Stel een functievoorschrift op voor $f_a$. Schrijf je antwoord als één breuk.