# Eindexamen Wiskunde B VWO 2015 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2015/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2015
tijdvak 2
donderdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-15-2-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR, gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogteijn driehoek, hoogtelijn driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie

$$ \sin(t+u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u $$
$$ \sin(t-u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u $$
$$ \cos(t+u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u $$
$$ \cos(t-u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u $$

$$ \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \sin t - \sin u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $$
$$ \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $$

VW-1025-a-15-2-o 2 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Het achtste deel
Op het domein $[-9,0]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = \sqrt{x+9}$.
In de figuur is de grafiek van $f$ getekend en een lijn met vergelijking $x = p$
met $-9 < p \leq 0$.
Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$, de $x$-as en deze lijn
is met grijs aangegeven.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek van de functie f(x) = sqrt(x+9). De x-as loopt van -9 tot 1, de y-as van 0 tot 3. Een verticale lijn is getekend bij x=p. Het gebied tussen de curve, de x-as en de lijn x=p is grijs gekleurd.]

De oppervlakte van het grijze gebied noemen we $A$. De waarde van $A$
hangt af van de waarde van $p$. Er geldt:
$$A(p) = \frac{2}{3}(p+9)^{\frac{3}{2}}.$$
4p 1 Bewijs dat $A(p) = \frac{2}{3}(p+9)^{\frac{3}{2}}$.

Er is een waarde van $p$ waarvoor $A(p)$ het achtste deel is van de
oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$, de
$x$-as en de $y$-as.
5p 2 Bereken exact deze waarde van $p$.

VW-1025-a-15-2-o
3 / 13
lees verder

### Pagina 4

Stuitende bal

Een bal wordt vanaf een bepaalde hoogte boven een vloer losgelaten en begint vervolgens te stuiteren. In deze opgave bekijken we een wiskundig model van deze situatie.

Op het moment van loslaten bevindt de onderkant van de bal zich $h_0$ meter boven de vloer. De maximale hoogte van de onderkant van de bal tussen twee keer stuiteren noemen we de stuihoogte. De stuihoogte na de eerste keer stuiteren noemen we $h_1$, die na de tweede keer stuiteren $h_2$, enzovoort. Aan de linkerkant van figuur 1 is de bal getekend op verschillende stuihoogtes. Rechts daarvan is de hoogte $h$ van de stuitende bal (in meters) uitgezet tegen de tijd $t$ (in seconden).

[FIGUUR: Grafiek met op de verticale as de hoogte $h$ en op de horizontale as de tijd $t$. De verticale as is gemarkeerd met $h_0$, $h_1$, $h_2$, $h_3$. De grafiek toont een curve die start bij $h_0$, vervolgens daalt, stijgt tot $h_1$, daalt, stijgt tot $h_2$, daalt, stijgt tot $h_3$, en zo verder.]

In deze opgave gaan we ervan uit dat de verhouding tussen twee opeenvolgende stuihoogtes constant is, dus $h_1 : h_0$ is gelijk aan $h_2 : h_1$, enzovoort. Deze verhouding noemen we $a$. Voor de stuihoogte na $n$ keer stuiteren geldt dan:
$$h_n = h_0 \cdot a^n$$
De waarde van $a$ hangt af van het soort bal.

3p 3 Bereken de waarde van $a$ voor een bal waarvan na 7 keer stuiteren de stuihoogte 5 keer zo klein is als de hoogte waarop de bal is losgelaten. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

VW-1025-a-15-2-o 4 / 13 lees verder

### Pagina 5

De hoogte van de onderkant van de bal tussen twee opeenvolgende
keren stuiteren is een functie van de tijd. De grafiek van deze functie is
een bergparabool.
De tijd in seconden tussen de $n$-de en de $(n+1)$-ste keer stuiteren
noemen we de $stuitttijd$ $T_n$. In figuur 2 zijn drie stuitttijden aangegeven.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek van hoogte als functie van tijd, met de eerste sprong die start op hoogte $h_0$ en eindigt op hoogte 0, de tweede sprong die start op hoogte 0 en eindigt op hoogte $h_1$, de derde sprong start op hoogte $h_1$ en eindigt op hoogte 0, de vierde sprong start op hoogte 0 en eindigt op hoogte $h_2$, de vijfde sprong start op hoogte $h_2$ en eindigt op hoogte 0, de zesde sprong start op hoogte 0 en eindigt op hoogte $h_3$. De tijdsintervallen voor de eerste drie sprongen zijn aangegeven met $T_1$, $T_2$, en $T_3$ op de x-as.]
De stuitttijd $T_n$ kan worden uitgedrukt in de stuitthoogte $h_n$.
Er geldt:
$$ T_n = 2 \cdot \sqrt{\frac{h_n}{4,9}} $$
Een bal wordt losgelaten vanaf hoogte $h_0$. De stuitttijd $T_1$ is 1,11 seconden
en de stuitttijd $T_4$ is 0,68 seconden.
5p 4 Bereken $h_0$. Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.
VW-1025-a-15-2-o
5 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 6

Snijdende raaklijnen
Gegeven zijn cirkel c met middelpunt M en cirkel d met middelpunt N. Lijn
k gaat door M en raakt d in punt A. Lijn l gaat door N en raakt c in punt B.
De punten A en B liggen aan dezelfde kant van MN. Punt S is het snijpunt
van k en l. De lijnen MB en NA snijden elkaar in punt C. De lijn door
C en S snijdt lijnstuk MN in punt D.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
[FIGUUR: Een geometrische tekening met twee cirkels, aangeduid als 'c' en 'd', met middenspunten 'M' en 'N' respectievelijk. Lijn 'k' snijdt cirkel 'd' in punt 'A' en gaat door 'M'. Lijn 'l' snijdt cirkel 'c' in punt 'B' en gaat door 'N'. Lijnsegmenten 'MB' en 'NA' snijden elkaar in punt 'C'. Lijnsegment 'MN' wordt doorkruist door een verticale lijn in punt 'D', en lijn 'CS' snijdt 'MN' in 'D'. De punten 'A' en 'B' liggen aan dezelfde kant van de lijn 'MN'. Punt 'S' is het snijpunt van lijnen 'k' en 'l'.]
6p 5 Er geldt: $\angle ACS = \angle NMS$.
Bewijs dit.
VW-1025-a-15-2-o
6 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 7

Onveranderlijke lengte

Voor $a > 1$ is de functie $f_a$ gegeven door:
$f_a(x) = a \cdot e^x - e^{2x}$

De grafiek van $f_a$ snijdt de $x$-as in het punt $S(\ln a, 0)$. De grafiek van $f_a$ heeft één top: punt $T$. De loodrechte projectie van $T$ op de $x$-as is punt $U$. $U$ ligt links van $S$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek van de functie $f_a$, waarbij de y-as verticaal en de x-as horizontaal is. De curve begint linksboven, stijgt naar een piek aan de rechterkant van de y-as, en daalt daarna verder. De oorsprong O ligt op de x-as. Een punt U ligt op de x-as rechts van O. Een verticale lijn loopt van de x-as bij U naar het hoogste punt van de curve, T. De curve snijdt de x-as bij S, rechts van U. De functie $f_a$ is gelabeld.]

De $x$-coördinaten van de punten $U$ en $S$ zijn afhankelijk van de waarde van $a$.

7p 6 Bewijs dat de lengte van lijnstuk $US$ onafhankelijk is van $a$.

VW-1025-a-15-2-o 7 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 8

Over de muur

In vroeger tijden probeerde men met een katapult kogels over
vestingmuren te slingeren. In deze opgave bekijken we een katapult met
een draaibare hefboom. Het linker deel van de hefboom is 4 meter lang.
Op het einde daarvan ligt een kogel met middelpunt $P$. Aan het einde van
het rechter deel van de hefboom zit een contragewicht $Q$. In het begin
wordt de hefboom horizontaal gehouden door een touw tussen de
hefboom en de grond. De hoogte van de hefboom is dan 2 meter.

In figuur 1 is deze beginstand getekend in een assenstelsel met
oorsprong $O$ op de grond. Punt $P$ heeft dan coördinaten $(-4, 2)$.

Nadat het touw wordt doorgesneden, gaat de hefboom draaien in de
richting van de wijzers van de klok, tot deze draaiing door een verstelbaar
stopblok wordt gestopt en de kogel wegvliegt. De draaihoek in de
eindstand wordt de stophoek $\alpha$ genoemd, met $0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$ radialen. In
figuur 2 is de eindstand getekend.

figuur 1
beginstand
[FIGUUR: Een diagram met de x- en y-as. De oorsprong O is de kruising. Op de x-as is een punt gemarkeerd met het getal 4. Op de y-as is een punt gemarkeerd met het getal 2. Punt P bevindt zich op de linkerzijde van de y-as, op een afstand van 4 eenheden, en op de y-as, op een afstand van 2 eenheden. Een lijnstuk loopt van P naar O. Er is een dikke horizontale lijn van P naar een punt rechts. Een dikke verticale lijn loopt vanaf het midden van deze horizontale lijn omlaag tot O en verder. Een dik blok is geplaatst op de verticale lijn boven O. Een vierkant blokje is geplaatst rechts van de verticale lijn, ongeveer ter hoogte van het dikke blok. Er is een lijn getrokken van P naar O, en een lijn getrokken van O naar het vierkant blokje Q.]

figuur 2
eindstand
[FIGUUR: Een diagram met de x- en y-as. De oorsprong O is de kruising. Punt P bevindt zich op de x-as, op de lijn naar rechts. Een dikke lijn loopt van P naar een punt rechts en schuin naar beneden. Een dikke verticale lijn loopt vanaf het midden van deze horizontale lijn omlaag tot O en verder. Een dik blok is geplaatst op de verticale lijn boven O, ter hoogte van het stopblok. Een vierkant blokje Q is geplaatst rechts van de verticale lijn, ongeveer op dezelfde hoogte als P. Een lijnstuk loopt van P naar Q, en de hoek tussen de horizontale lijn en deze lijn wordt aangeduid met $\alpha$. De lijn van P naar O is schuin omhoog getrokken. De lijn van Q naar O is schuin omhoog getrokken. De lengte van de horizontale lijn wordt aangeduid met 4. De lengte van het deel van de verticale lijn onder het stopblok wordt aangeduid met 2.]

2p 7 Druk de coördinaten van $P$ uit in de stophoek $\alpha$ op het moment dat de
eindstand wordt bereikt.

VW-1025-a-15-2-o 8 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Als de hefboom bij stophook $\alpha$ tot stilstand komt, verlaat de kogel de
hefboom en vliegt vervolgens door de lucht. De baan die $P$ dan beschrijft
is bij benadering gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = 20t \cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{\sin \alpha} - 4 \cos \alpha \\
y(t) = -5t^2 + 20t \cdot \cos \alpha \cdot \sqrt{\sin \alpha} + 4 \sin \alpha
\end{cases}
$$
Hierin is $t$ de tijd in seconden vanaf het moment dat de kogel de hefboom
verlaat. Verder zijn $x(t)$ en $y(t)$ in meters en is $\alpha$ in radialen.

Voor $y_{top}$, de $y$-coördinaat van het hoogste punt van de baan van $P$, geldt:
$$
y_{top} = 2 + 24 \sin \alpha - 20 \sin^3 \alpha
$$

5p 8 Bewijs dat de formule voor $y_{top}$ volgt uit de bewegingsvergelijkingen.

Uit de formule voor $y_{top}$ kan de waarde van de stophook $\alpha$ worden
berekend waarvoor de kogel de grootst mogelijke hoogte bereikt. In dit
optimale geval zijn de bewegingsvergelijkingen voor $P$ bij benadering
gelijk aan:
$$
\begin{cases}
x(t) = 10,1t - 3,1 \\
y(t) = -5t^2 + 12,3t + 4,5
\end{cases}
$$

4p 9 Toon met een berekening aan dat in dit geval inderdaad bij benadering
geldt $y(t) = -5t^2 + 12,3t + 4,5$.

De stophoek is zo ingesteld dat de kogel zo hoog mogelijk komt. Als de
katapult, gemeten vanaf $O$, 24 meter van een 6 meter hoge vestingmuur
staat, komt de kogel niet over de muur.

5p 10 Bereken de afstand waarover de katapult minstens in de richting van de
muur moet worden verschoven zodat de kogel wel over de muur komt.
Geef het antwoord in gehele meters.

VW-1025-a-15-2-o
9 / 13

### Pagina 10

Parabool en cirkel

Een parabool heeft brandpunt $F$ en richtlijn $l$. Op de parabool ligt een punt $P$. Punt $P'$ is de loodrechte projectie van $P$ op $l$. Cirkel $c$ heeft middelpunt $F$ en gaat door $P$. De lijn door $F$ evenwijdig aan $PP'$ snijdt $c$ in punt $Q$. Lijn $m$ gaat door $Q$ en is evenwijdig met $l$.

Punt $P$ ligt zo op de parabool dat $m$ de middelloodlijn van lijnstuk $PP'$ is. Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur

[FIGUUR: Een diagram met een parabool, een cirkel, en lijnen. De parabool buigt naar beneden. De richtlijn $l$ is een horizontale lijn onderaan. Punt $P'$ is op $l$. Een verticale lijn verbindt $P$ met $P'$. De cirkel $c$ heeft brandpunt $F$ als middelpunt en gaat door $P$. Lijn $m$ is een horizontale lijn die door $Q$ gaat en evenwijdig is aan $l$. Punt $Q$ is op $l$. Lijn $m$ is ook de middelloodlijn van $PP'$, aangegeven met dubbele streepjes op $PQ$ en $P'Q$. Lijn $PF$ is getekend, en een lijn door $F$ parallel aan $PP'$ snijdt de cirkel bij $Q$. De lijn $PQ$ is getekend.]

6p 11 Bewijs dat $PQ = FP$.

VW-1025-a-15-2-o 10 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Koordenvierhoek maken
Gegeven is een scherphoekige driehoek $ABC$. $M$ is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met daarin de punten A, B en C. De punten vormen een driehoek. M is het middelpunt van de cirkel.]
Er geldt: $\angle CBM = 90^\circ - \angle CAB$.
4p 12 Bewijs dit.
In de driehoek van figuur 1 maken we nu als volgt een koordenvierhoek.
Kies een punt $N$ op lijnstuk $MB$. De loodlijn in $N$ op $MB$ snijdt de
lijnstukken $AB$ en $BC$ in respectievelijk punt $P$ en punt $Q$.
Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met de punten A, B en C. Er is een lijnstuk MB getekend. Er is ook een punt N op MB en een lijnstuk PQ getekend dat loodrecht op MB staat en de lijnstukken AB en BC snijdt in P en Q. De punten APQN vormen een koordenvierhoek binnen de cirkel.]
4p 13 Bewijs dat $APQC$ een koordenvierhoek is.
VW-1025-a-15-2-0 11 / 13 lees verder
Voor alle eindexamens, zie ook www.ssl-examen.nl. Pagina: 851

### Pagina 12

Lemniscaat

Punt $P$ beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = \cos t \\
y(t) = \sin t \cdot \cos t
\end{cases}
\text{ met } 0 \le t < 2\pi
$$
In figuur 1 is de baan van $P$ getekend. Deze baan wordt lemniscaat genoemd.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een lemniscaat (liggende achtvorm) met de x-as horizontaal en de y-as verticaal. De oorsprong is gemarkeerd met O. De x-as loopt van -1 naar 1, met markeringen op -1 en 1. De y-as loopt van -1 naar 1, met markeringen op -1 en 1. De lemniscaat is symmetrisch ten opzichte van beide assen en kruist de x-as bij O, met lussen die zich uitstrekken tot x=-1 en x=1. De y-waarden gaan van ongeveer 0.5 tot -0.5 aan de linkerkant en van ongeveer 0.5 tot -0.5 aan de rechterkant.]

Tijdens de beweging passeert punt $P$ vier keer de lijn met vergelijking $y = \frac{1}{4}$.
4p 14 Bereken exact voor welke waarden van $t$ dit het geval is.

De snelheid van $P$ op tijdstip $t$ is gelijk aan $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$.
$P$ gaat twee keer door de oorsprong $O$, beide keren met even grote snelheid.
6p 15 Bereken exact deze snelheid.

Een vergelijking van de baan van $P$ is: $y^2 = x^2(1-x^2)$.
3p 16 Bewijs dit.

VW-1025-a-15-2-o
12 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 13

De lemniscaat snijdt de positieve $x$-as bij $x=1$.
$V$ is het vlakdeel boven de $x$-as dat wordt ingesloten door de lemniscaat
en de positieve $x$-as. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een lemniscaat is afgebeeld in het $xy$-vlak met de $x$-as horizontaal en de $y$-as verticaal. De lemniscaat heeft lussen in het linker en rechter kwadrant. De positieve $x$-as is gemarkeerd tot $x=1$. Het gebied $V$ is de bovenste helft van de rechter lus van de lemniscaat, begrensd door de $x$-as.]

4p 17 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als $V$
om de $x$-as wordt gewenteld.

VW-1025-a-15-2-o 13 / 13 einde