# Eindexamen Wiskunde B VWO 2015 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2015/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2015
tijdvak 1
woensdag 13 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-15-1-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR, gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

 Goniometrie

$$ \sin(t+u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u \quad \quad \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \sin(t-u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u \quad \quad \sin t - \sin u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $$
$$ \cos(t+u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u \quad \quad \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \cos(t-u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u \quad \quad \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $$

VW-1025-a-13-1-o 2 / 12 lees verder

### Pagina 3

Wortelfuncties

In de figuur zijn de grafieken getekend van de functies $f$ en $g$ gegeven door $f(x)=\sqrt{x}$ en $g(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}$. Verder zijn de lijnen getekend met vergelijkingen $x=a$ en $x=4$, met $0<a<4$.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met y-as en x-as. De curves $f$ en $g$ lopen van de oorsprong omhoog. Twee verticale lijnen zijn getekend op $x=a$ en $x=4$. Twee grijze vlakken zijn gearceerd: het ene tussen de y-as, de x-as, $x=a$ en de curve $f$. Het andere tussen $x=a$, de x-as, $x=4$ en de curve $g$.]

6p 1 In de figuur zijn twee vlakdelen grijs gemaakt. Het ene grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafieken van $f$ en $g$ en de lijn met vergelijking $x=a$. Het andere grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van $g$, de $x$-as en de lijnen met vergelijkingen $x=a$ en $x=4$.
Bereken exact voor welke waarde van $a$ deze vlakdelen gelijke oppervlakte hebben.

VW-1025-a-15-1-o 3 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Cirkels en lijnstuk

Over de cirkel met middelpunt $(0, 0)$ en straal 1 beweegt een punt $A$ met
bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = \sin t \\
y(t) = \cos t
\end{cases} \quad \text{met } 0 \le t \le 2\pi
$$
Over de cirkel met middelpunt $(0, 0)$ en straal 2 beweegt een punt $B$ met
bewegingsvergelijkingen:
$$
\begin{cases}
x(t) = 2\sin(2t) \\
y(t) = 2\cos(2t)
\end{cases} \quad \text{met } 0 \le t \le 2\pi
$$
In de figuren 1 en 2 zijn de twee cirkels en het lijnstuk $AB$ getekend voor
de tijdstippen $t = 0$ en $t = 2$.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Er zijn twee cirkels getekend, een met straal 1 en een met straal 2, beide gecentreerd op de oorsprong (O). Het punt A is gemarkeerd op de cirkel met straal 1, op de positieve y-as. De tijd is aangegeven als t=0.]

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Er zijn twee cirkels getekend, een met straal 1 en een met straal 2, beide gecentreerd op de oorsprong (O). De punten A en B zijn gemarkeerd. Punt A bevindt zich op de cirkel met straal 1, in het eerste kwadrant. Punt B bevindt zich op de cirkel met straal 2, in het vierde kwadrant. Er is een lijnstuk getekend tussen A en B. De tijd is aangegeven als t=2.]

Op de tijdstippen waarop $B$ zich op de x-as bevindt, bevindt $A$ zich op de
lijn met vergelijking $y=x$ of op de lijn met vergelijking $y=-x$.

5p 2 Bewijs dit.

VW-1025-a-15-1-o 4 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 5

In figuur 3 is het lijnstuk $AB$ getekend op een tijdstip waarop het horizontaal is
en boven de $x$-as ligt.
figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as van -2 tot 2 en de x-as van -2 tot 2. Er zijn twee cirkels getekend met het middelpunt in de oorsprong O. De binnenste cirkel heeft een straal van 1 en de buitenste cirkel heeft een straal van 2. Op de buitenste cirkel zijn twee punten A en B getekend, verbonden met een horizontale lijn. Punt A ligt links van de y-as en punt B ligt rechts van de y-as. De y-coördinaat van A en B is ongeveer 1.2.]

Er zijn twee tijdstippen waarop het lijnstuk $AB$ horizontaal is en onder de
$x$-as ligt.
6p 3 Bereken voor één van deze tijdstippen de coördinaten van $A$, afgerond op
één decimaal, en teken het bijbehorende lijnstuk $AB$ in de figuur op de
uitwerkbijlage.

VW-1025-a-15-1-o 5 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 6

Helderheid van sterren

Aan de sterrenhemel bevinden zich heldere en minder heldere sterren. De
helderheid van een ster werd in de oudheid reeds aangegeven met een
getal, de magnitude van de ster. Zeer heldere sterren kregen
magnitude 1. Nauwelijks zichtbare sterren kregen magnitude 6. Een kleine
waarde betekent dus een grote helderheid. In deze opgave is $m$ de
magnitude.

Tegenwoordig meet men de hoeveelheid licht die van een ster wordt
ontvangen. De helderheid van een ster wordt dan vaak uitgedrukt in lux
(een eenheid voor verlichtingssterkte). In deze opgave is $L$ de helderheid
in lux.

In de tabel staan voor een aantal helderheden de waarden van $m$ en $L$.

tabel

[FIGUUR: Tabel met twee rijen en zes kolommen. De eerste rij bevat de waarden m: 1,0, 2,0, 3,0, 4,0, 5,0, 6,0. De tweede rij bevat de waarden L: 1,0·10⁻⁶, 4,0·10⁻⁷, 1,6·10⁻⁷, 6,3·10⁻⁸, 2,5·10⁻⁸, 1,0·10⁻⁸.]

Tussen $L$ en $m$ bestaat een exponentieel verband van de vorm
$$L = 10^{p+qm}$$

4p 4 Leid uit de tabelgegevens bij $m = 1,0$ en $m = 6,0$ af dat $p = -5,6$ en
$q = -0,4$.

Voor $L$ geldt dus: $L=10^{-5,6-0,4m}$.

In het sterrenbeeld Steenbok bevindt zich een optische dubbelster: twee
sterren die met het blote oog als één object worden waargenomen. Na
meting blijkt dat voor de ene ster geldt $m=4,30$ en voor de andere ster
$m=3,58$. De waarde van $L$ van de optische dubbelster is de som van de
$L$-waarden van de afzonderlijke sterren.

4p 5 Bereken de magnitude van de optische dubbelster. Rond je antwoord af
op één decimaal.

$L$ is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand $x$ (in meters)
van de ster tot de aarde: $L = \frac{C}{x^2}$, waarbij $C$ een constante is.

Er geldt het volgende verband:
$$m(x) = -14,0 - 2,5 \log C + 5,0 \log x$$

4p 6 Bewijs dit.

VW-1025-a-15-1-0 Pagina: 790
lees verder ►►►
6 / 12

### Pagina 7

Momenteel is de afstand $x$ van de ster Aldebaran tot de aarde $6,3 \cdot 10^{17}$ meter. Deze afstand neemt toe met $1,7 \cdot 10^{12}$ meter per jaar, dus $\frac{dx}{dt} = 1,7 \cdot 10^{12}$ m/j. Door deze verwijdering verandert ook de helderheid van de ster en dus ook de magnitude $m$. De snelheid waarmee $m$ verandert kan worden berekend met de afgeleide van $m$ als functie van de tijd $t$ (in jaren).

Voor deze afgeleide geldt:
$$ \frac{dm}{dt} = \frac{dm}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$

3p 7 Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de magnitude $m$ van Aldebaran op dit moment verandert.

### Pagina 8

Gelijke hoeken

Gegeven is cirkel c met middelpunt M. Op deze cirkel liggen de punten A en B zo, dat door A, B en M een cirkel d met middelpunt N gaat, waarbij N buiten c ligt.
Punt S ligt op cirkel d op de boog buiten cirkel c.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 1
[FIGUUR: Cirkel c met middelpunt M en daarop de punten A en B. Een andere cirkel d gaat door A, B en M en heeft middelpunt N. Punt S ligt op cirkel d en op de boog buiten cirkel c. Er zijn lijnen getrokken tussen M, A, B, S en N.]

Er geldt $\angle ASM = \angle BSM$.

4p 8 Bewijs dit.

De hierboven beschreven situatie geldt ook in figuur 2. Punt S is nu zo gekozen dat lijnstuk AS door N gaat. Het snijpunt van AS en cirkel c is het punt C. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 2
[FIGUUR: Cirkel c met middelpunt M en daarop de punten B en C. Een andere cirkel d gaat door A, B en M, en de lijn AS gaat door N. A en S liggen op cirkel d. Punt S ligt op de boog buiten cirkel c. Er zijn lijnen getrokken tussen M, B, C, A, S en N.]

5p 9 Bewijs dat $\angle AMC = \angle ASB$.

VW-1025-a-15-1-o
8 / 12
lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Gelijke hellingen
Voor elke $a$ met $-\frac{1}{2}\pi < a < \frac{1}{2}\pi$ wordt de functie $f_a$ gegeven door
$f_a(x) = \sin x \cdot \sin(x-a)$ met domein $[0, \pi]$.
De afgeleide functie van $f_a$ kan worden geschreven als
$f_a'(x) = \sin(2x-a)$.
3p 10 Bewijs dit.
De functie $g$ is gegeven door $g(x) = \sin x$ met domein $[0, \pi]$. In de figuur zijn de grafieken van $g$ en $f_{\frac{1}{6}\pi}$ getekend.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as van 0 tot 1 en de x-as van 0 tot $\pi$. Twee krommen zijn getekend. Een kromme die begint bij (0,0), omhoog gaat en eindigt bij ($\pi$,0). Dit is de grafiek van g. Een andere kromme begint bij (0,0), gaat omhoog en dan omlaag, en eindigt bij ($\pi$,0). De label $f_{\frac{1}{6}\pi}$ is nabij de tweede kromme.]

Deze twee grafieken raken elkaar in een punt met $x = \frac{2}{3}\pi$. In dat punt is de helling van beide grafieken dus gelijk. Er zijn nog twee andere waarden van $x$ waarvoor de helling van de grafiek van $f_{\frac{1}{6}\pi}$ gelijk is aan de helling van de grafiek van $g$.
6p 11 Bewijs dat deze $x$-waarden $\frac{2}{3}\pi$ van elkaar verschillen.
VW-1025-a-15-1-o 9 / 12 lees verder ▷▷▷

### Pagina 10

Hardheid

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=\sqrt{25-x^2}$. De grafiek van $f$ is een halve cirkel met middelpunt $O(0,0)$ en straal 5.

Voor de functie $f$ geldt: $\sqrt{1+(f'(x))^2} = \frac{5}{\sqrt{25-x^2}}$

5p 12 Bewijs dit.

In figuur 1 is de grafiek van $f$ getekend. We bekijken het deel van de grafiek tussen $x=5-h$ en $x=5$. Door dit gedeelte te wentelen om de $x$-as ontstaat het bolsegment met dikte $h$. Zie figuur 2.

[FIGUUR: Figuur 1 toont een halve cirkel in een coördinatenstelsel met de x-as lopend van -5 tot 5 en de y-as van 0 tot 5. De halve cirkel is de grafiek van $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ voor $x \in [-5, 5]$. Er is een verticale lijn getrokken bij $x=5-h$, die de halve cirkel snijdt. De afstand tussen $x=5-h$ en $x=5$ is gemarkeerd als $h$.]

[FIGUUR: Figuur 2 toont een 3D-weergave van een bolsegment. Het segment is gevormd door een deel van een bol af te snijden. Het is grijzig gekleurd en toont de dikte $h$.]

Voor de grijs gemaakte oppervlakte $A$ van het bolsegment, dus zonder de oppervlakte van de cirkelvormige linkerkant, geldt:
$$ A = 2\pi \cdot \int_{5-h}^{5} f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2} \mathrm{d}x $$
Met behulp van deze integraal kan exact worden berekend dat $A = 10\pi h$.

3p 13 Bewijs dat $A = 10\pi h$.

De formule $A=10\pi h$ voor de oppervlakte van een bolsegment bewijst zijn nut bij de methode die de Zweed Brinell ontwikkelde voor het bepalen van de hardheid van materialen. Bij deze methode wordt gebruik gemaakt van een massieve bolvormige kogel die een diameter van 10 mm heeft. De kogel wordt met kracht tegen het te testen materiaal gedrukt, waardoor er in het materiaal een indruk in de vorm van een bolsegment ontstaat. De oppervlakte van dat bolsegment hangt af van de hardheid van het materiaal en de kracht waarmee wordt gedrukt.

VW-1025-a-15-1-o 10 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 11

Deze kracht mag niet zo groot zijn dat de kogel vervormt of voor meer dan
de helft in het materiaal wordt gedrukt.
In de praktijk wordt bij de hardheidsmeting volgens Brinell de
diameter $d$ (in mm) van de cirkelvormige rand van de indruk gemeten. In
figuur 3 is een dwarsdoorsnede getekend van een kogel met diameter
10 mm die een stukje in het materiaal is gedrukt. De diepte van de indruk
is $h$ (in mm).
figuur 3
[FIGUUR: Dwarsdoorsnede van een kogel met diameter 10 mm die in een materiaal wordt gedrukt. De indruk heeft diameter $d$ en diepte $h$.]
Met behulp van figuur 3 kan het volgende verband tussen $h$ en $d$ worden
gevonden:
$$h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$$
5p 14 Bewijs de juistheid van deze formule.

De hardheid volgens Brinell wordt aangeduid als $HB$. Deze hardheid
wordt bepaald met de formule:
$$HB=0,102\cdot\frac{F}{A}$$
Hierbij is $F$ de kracht in newton (N) waarmee wordt gedrukt en $A$ de
oppervlakte van het bolsegment dat in het materiaal is gedrukt in mm².
Bij een hardheidsmeting wordt de kogel met een kracht van 29 400 N in
het te testen materiaal gedrukt.
5p 15 Bereken voor welke waarde van $d$ de hardheid $HB$ van het materiaal 340
is. Rond je antwoord af op één decimaal.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1025-a-15-1-o
11 / 12
lees verder ► ► ►

### Pagina 12

Raken aan een cirkel

Gegeven zijn twee halve lijnen $k$ en $l$ vanuit punt $A$ en een cirkel met middelpunt $M$ die zowel $k$ als $l$ raakt. De raakpunten van $k$ en $l$ aan de cirkel zijn respectievelijk $B$ en $C$. Zie figuur 1. Uit de congruentie van driehoek $ABM$ en driehoek $ACM$ volgt dat $AM$ bissectrice is van hoek $BAC$.

figuur 1
[FIGUUR: Cirkel met middelpunt M, geraakt door lijnen AB en AC in punten B en C. A, M, B, C zijn de labels.]

figuur 2
[FIGUUR: Cirkel met middelpunt M, geraakt door lijnen AE en AD in punten E en D. Lijn l gaat door E en M, en snijdt lijn m in E. Lijn k gaat door D.]

In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid. Lijn $m$ is evenwijdig aan $k$ en raakt de cirkel in punt $D$. De lijnen $l$ en $m$ snijden elkaar in punt $E$. Uit de congruentie van driehoek $ECM$ en driehoek $EDM$ volgt dat $EM$ bissectrice is van hoek $CED$. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

5p 16 Bewijs dat $\angle AME = 90^{\circ}$.

In figuur 3 zijn weer twee halve lijnen $k$ en $l$ vanuit punt $A$ getekend. De hoek tussen $k$ en $l$ is scherp. Tussen deze halve lijnen ligt een punt $F$. Ook is de parabool getekend die brandpunt $F$ en richtlijn $k$ heeft. Door $F$ kunnen twee cirkels worden getekend die zowel $k$ als $l$ raken. Een van deze cirkels is getekend. Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur 3
[FIGUUR: Twee halve lijnen k en l vanuit punt A, die een scherpe hoek vormen. Een parabool met brandpunt F en richtlijn k. Een cirkel die door F gaat en k en l raakt. Een punt N is de middelpunt van deze cirkel.]

4p 17 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het middelpunt $N$ van de andere cirkel. Licht je werkwijze toe.

VW-1025-a-15-1-o 12 / 12 einde ■