# Eindexamen Wiskunde B VWO 2014 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2014/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2014
tijdvak 2
woensdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-14-2-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR, gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie

$ \sin(t+u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u $
$ \sin(t-u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u $
$ \cos(t+u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u $
$ \cos(t-u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u $

$ \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \sin t - \sin u = 2 \sin \frac{t-u}{2} \cos \frac{t+u}{2} $
$ \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $

VW-1025-a-14-2-o 2 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 3

Gelijke oppervlakte
Voor $x \ge 0$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = 3\sqrt{x} - x$.
De punten $O(0,0)$ en $A(9,0)$ liggen op de grafiek van $f$.
Het punt $T$ is het hoogste punt van deze grafiek. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een functie $f$ die start in de oorsprong, stijgt en daarna daalt. De x-as loopt van 0 tot ruim 9, de y-as loopt van 0 tot ruim 2. Het punt O(0,0) is het startpunt. Het punt A(9,0) ligt op de x-as. Het hoogste punt van de grafiek is T. Het gebied onder de curve en boven de x-as tussen x=0 en x=A is gearceerd.]
De coördinaten van T zijn $(2\frac{1}{4}, 2\frac{1}{4})$.

4p 1 Bewijs dat de coördinaten van $T$ inderdaad $(2\frac{1}{4}, 2\frac{1}{4})$ zijn.
$V$ is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van $f$ en de $x$-as.
In figuur 2 is $V$ grijs gemaakt.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek van een functie $f$ die start in de oorsprong, stijgt en daarna daalt. De x-as loopt van 0 tot ruim 9, de y-as loopt van 0 tot ruim 2. Het punt O(0,0) is het startpunt. Het punt A(9,0) ligt op de x-as. Het hoogste punt van de grafiek is T. Het gebied onder de curve en boven de x-as tussen x=0 en x=A is gearceerd met de letter V in het gebied.]
De lijn door $A$ en $T$ snijdt de $y$-as in het punt $B$. In figuur 3 is
driehoek $OAB$ grijs gemaakt.
figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de x-as en de y-as. Een curve begint in de oorsprong, stijgt en daalt naar punt A op de x-as. Een lijn gaat door punt A en punt T (het hoogste punt van de curve) en snijdt de y-as in punt B. Het gebied onder de curve en boven de x-as is gearceerd. De driehoek OAB is ook gearceerd.]
6p 2 De oppervlakte van $V$ en de oppervlakte van driehoek $OAB$ zijn gelijk.
Bewijs dit.

VW-1025-a-14-2-o 3 / 10 lees verder

### Pagina 4

Het uiteinde van een wip

We bekijken in deze opgave een wiskundig model voor de beweging van het uiteinde van een wip.

[FIGUUR: Een zwart-witfoto van kinderen op een wip. Kinderen zitten op de uiteinden van een horizontale balk die rust op een centraal punt. Er zijn schaduwen zichtbaar, wat duidt op zonlicht.]

Lijnstuk $PQ$ met midden $M$ en lengte 4 draait om $M$. De hoogte van van $P$ is 1. Zie figuur 1. We kijken naar het verloop van de hoogte van $P$. Op tijdstip $t=0$ is de hoogte van $P$ gelijk aan 0. Van $t=0$ tot $t=2$ beweegt $P$ omhoog. In figuur 1 is het lijnstuk getekend op drie tijdstippen: op $t=0$, op $t=\frac{4}{3}$ en op $t=2$.

figuur 1

$t = 0$
[FIGUUR: Schematische tekening van de wip op tijdstip $t=0$. Lijnstuk $PQ$. $P$ is het linker uiteinde, $Q$ het rechter. $M$ is het midden van $PQ$. Er is een verticale lijn vanaf $P$ naar de horizontale ondergrond. De lengte van deze lijn is $h$, wat de hoogte van $P$ aangeeft. Er is een verticale lijn vanaf $M$ naar de horizontale ondergrond, met lengte 1. Het lijnstuk $PM$ heeft lengte 2. Het lijnstuk $MQ$ heeft lengte 2.]

$t = \frac{4}{3}$
[FIGUUR: Schematische tekening van de wip op tijdstip $t=\frac{4}{3}$. Lijnstuk $PQ$. $P$ is het linker uiteinde, $Q$ het rechter. $M$ is het midden van $PQ$. Er is een verticale lijn vanaf $P$ naar de horizontale ondergrond. De lengte van deze lijn is $h$, wat de hoogte van $P$ aangeeft. Er is een verticale lijn vanaf $M$ naar de horizontale ondergrond, met lengte 1. Het lijnstuk $PM$ heeft lengte 2. Het lijnstuk $MQ$ heeft lengte 2.]

$t = 2$
[FIGUUR: Schematische tekening van de wip op tijdstip $t=2$. Lijnstuk $PQ$. $P$ is het linker uiteinde, $Q$ het rechter. $M$ is het midden van $PQ$. Er is een verticale lijn vanaf $P$ naar de horizontale ondergrond. De lengte van deze lijn is $h$, wat de hoogte van $P$ aangeeft. Er is een verticale lijn vanaf $M$ naar de horizontale ondergrond, met lengte 1. Het lijnstuk $PM$ heeft lengte 2. Het lijnstuk $MQ$ heeft lengte 2.]

De hoogte van $P$ tijdens de omhooggaande beweging wordt beschreven door het volgende model:

* fase 1: $h_1(t) = 1+2\sin\left(\frac{3\pi}{10}t^2-\frac{\pi}{6}\right)$ voor $0 \leq t \leq \frac{1}{3}$
* fase 2: $h_2(t) = 1+2\sin\left(\frac{\pi}{5}t-\frac{\pi}{5}\right)$ voor $\frac{1}{3} < t \leq \frac{5}{3}$
* fase 3: $h_3(t) = 1+2\sin\left(-\frac{3\pi}{10}t^2+\frac{6\pi}{5}t-\frac{31\pi}{30}\right)$ voor $\frac{5}{3} < t \leq 2$

Hierin zijn $h_1$, $h_2$ en $h_3$ de hoogtes van $P$ in de verschillende fas

### Pagina 5

In figuur 2 is de grafiek van de hoogte van $P$ in de fasen 1, 2 en 3 getekend.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as hoogte $h$ en op de x-as tijd $t$. De grafiek begint bij de oorsprong, stijgt gekromd tot een punt met hoogte $h_1$ bij $t = 1/3$. Vervolgens stijgt de grafiek lineair tot een punt met hoogte $h_2$ bij $t=5/3$. Daarna stijgt de grafiek verder gekromd tot een punt $h_3$ en blijft dan stijgen, maar minder steil.]
De hoogte van $P$ aan het eind van fase 2 is $h_2(\frac{5}{3})$. Door $t=\frac{5}{3}$ in te vullen in de formule van $h_3$ kan worden bewezen dat de hoogte van $P$ aan het begin van fase 3 gelijk is aan de hoogte van $P$ aan het eind van fase 2.
3a (4p) 3 Bewijs dat deze hoogtes gelijk zijn.
4p 4 De helling van de grafiek van $h_2$ aan het begin van fase 2 is $\frac{2\pi}{5}\cos(\frac{2\pi}{15})$.
Bewijs dat de helling van de grafiek van $h_1$ aan het eind van fase 1 hieraan gelijk is.
Voor elke waarde van $a$, met $0 < a < \frac{2}{3}$, geldt:
$$ \frac{h_2(1-a)+h_3(1+a)}{2} = 1 $$
4p 5 Bewijs deze gelijkheid.
VW-1025-a-14-2-o 5 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 6

Cirkel en lijnstuk

Gegeven zijn een cirkel $c$ met middelpunt $M$ en een lijnstuk $AB$ buiten $c$. De lijn $AB$ snijdt de cirkel $c$ niet.

Lijnstuk $AM$ snijdt $c$ in punt $C$ en lijnstuk $BM$ snijdt $c$ in punt $D$. De bissectrice van hoek $BAM$ en de bissectrice van hoek $ABM$ snijden elkaar in punt $E$.

Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Een lijnstuk AB ligt buiten de cirkel. Lijnstuk AM snijdt de cirkel in C. Lijnstuk BM snijdt de cirkel in D. De bissectrice van hoek BAM en de bissectrice van hoek ABM snijden elkaar in E. Er zijn hoektekens bij A en B die aangeven dat de bissectrices zijn.]

6 (5p) Bewijs dat de lijnstukken $CE$ en $DE$ even lang zijn.
Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Gespiegelde punten

Voor $x > 0$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = 2 \cdot \ln x$.
De grafiek van $g$ ontstaat door de grafiek van $f$ over een afstand $a$ naar links te verschuiven, waarbij $a > 1$. De grafiek van $g$ snijdt de $x$-as in punt $P$ en de $y$-as in punt $Q$.

Er is een waarde van $a$ waarvoor het beeld van $P$ bij spiegeling in de lijn $y = -x$ samenvalt met $Q$. Er geldt dan: $y_Q = -x_P$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een assenstelsel met een kromme lijn f (logaritmische functie). Een tweede kromme lijn g, die een verschuiving van f naar links is. De lijn y = -x snijdt de y-as en loopt schuin naar beneden. Punt P ligt op de x-as, punt Q ligt op de y-as. De lijn y = -x gaat door het midden van PQ.]

7 (7p) Bereken deze waarde van $a$. Rond je antwoord af op twee decimalen.

VW-1025-a-14-2-o 6 / 10 lees verder ►►►

### Pagina 7

Ankerketting

Een schip ligt op zee voor anker. Door stroming en wind trekt het schip aan de ankerketting. Hierdoor en door het eigen gewicht van de ankerketting neemt de ketting een vorm aan die bekend staat als een kettinglijn. In de figuur is deze situatie schematisch in een assenstelsel weergegeven. De x-as valt samen met de horizontale zeebodem, waarop het anker ligt. De oorsprong $O$ van het assenstelsel is gekozen in het punt waar de ankerketting aan het anker is bevestigd. Aan het schip zit de ankerketting vast in punt $A$. We gaan ervan uit dat de ankerketting daar direct het water in gaat. Het punt $A$ bevindt zich 96 meter rechts van de $y$-as.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as rechts. Een gebogen lijn begint laag bij de y-as, stijgt en loopt horizontaal naar rechts, waar een boot op de lijn staat. De oorsprong is gemarkeerd met O. Het punt waar de boot vastzit is gemarkeerd met A.]

Een kettinglijn waarvan het laagste punt door $O$ gaat, kan worden beschouwd als een deel van de grafiek van de functie $f$ gegeven door:
$f(x) = \frac{1}{2a}(e^{ax} + e^{-ax} - 2)$, met $a > 0$

Voor de functie $f$ geldt:
$1+(f'(x))^2 = (\frac{1}{2}e^{ax} + \frac{1}{2}e^{-ax})^2$

6p 8 Bewijs deze gelijkheid.

Voor de ankerketting in de figuur geldt $a = \frac{1}{140}$ en $0 \le x \le 96$. Hierin zijn $x$ en $f(x)$ in meters. Door golven en wind kan een schip flinke bewegingen maken. Bij een korte ankerketting kan dan het anker losraken. Om dit te voorkomen, geeft men bij het uitwerpen van een anker de ankerketting veel lengte. Hiervoor hanteert men in de scheepvaart de vuistregel dat de lengte van de ankerketting tussen anker en schip ten minste driemaal de waterdiepte moet zijn.

5p 9 Onderzoek of de ankerketting in de figuur aan deze vuistregel voldoet.

VW-1025-a-14-2-o
lees verder ►►►

### Pagina 8

Acht keer zo groot

Voor $p > 0$ is de functie $f_p$ gegeven door $f_p(x) = 3px^2 - x^3$.
De grafiek van $f_p$ raakt de $x$-as in het punt $O(0,0)$ en snijdt deze in het punt $A(3p,0)$.
Verder heeft de grafiek van $f_p$ een buigpunt $B(p, 2p^3)$.

$V$ is het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van $f_p$ en de $x$-as. De verticale lijn door het buigpunt verdeelt $V$ in twee delen.
In figuur 1 is deze situatie weergegeven. De oppervlakte van het linker deel is $\frac{3}{4} p^4$.
5p 10 Bewijs dat de oppervlakte van het rechterdeel acht keer zo groot is als de oppervlakte van het linker deel.

Er is een waarde van $p$ waarvoor geldt:
de lijnstukken $BO$ en $AO$ zijn even lang.
4p 11 Bereken exact deze waarde van $p$.

De buiglijn in $B$ snijdt de $x$-as in punt $C$.
In figuur 2 is deze situatie weergegeven.
5p 12 Bewijs dat de lengte van $CA$ voor elke waarde van $p > 0$ acht keer zo groot is als de lengte van $OC$.

[FIGUUR: Grafiek van een functie $f_p$ die de $x$-as snijdt bij $O(0,0)$ en $A(3p,0)$. Een verticale lijn snijdt de grafiek bij buigpunt $B$. Het gebied onder de grafiek en boven de $x$-as is gearceerd en verdeeld in twee delen door de verticale lijn.]

[FIGUUR: Grafiek van een functie $f_p$ en de raaklijn in buigpunt $B$. De raaklijn snijdt de $x$-as in punt $C$. De punten $O$, $B$ en $A$ worden aangeduid.]

VW-1025-a-14-2-o 8 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Tussen twee bewegende punten
Over de eenheidscirkel bewegen twee punten $A$ en $B$. Beide punten
bevinden zich op tijdstip $t = 0$ in het punt $(1, 0)$. Ze bewegen met
constante snelheid, waarbij de snelheid van $A$ drie keer zo groot is als de
snelheid van $B$.
De bewegingsvergelijkingen van $A$ en $B$ zijn respectievelijk:
$$ \begin{cases} x_A(t) = \cos(3t) \\ y_A(t) = \sin(3t) \end{cases} \quad \text{en} \quad \begin{cases} x_B(t) = \cos t \\ y_B(t) = \sin t \end{cases} $$
Voor $t \ne k \cdot \pi$, met $k$ geheel, vallen de punten $A$ en $B$ niet samen en zijn ze
de eindpunten van de koorde $AB$.
In de figuur is de situatie getekend voor $t = \frac{1}{5}\pi$.
figuur
[FIGUUR: Een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en een straal van 1. De x-as loopt van -1 tot 1, de y-as loopt van 0 tot 1. Er zijn twee punten A en B op de cirkel getekend. Punt A is getekend in het tweede kwadrant, punt B in het eerste kwadrant. Er is een lijn AB getekend. Van A en B zijn projecties A' en B' op de x-as getekend. Er is ook een lijn van A naar de y-as getekend, deze snijdt de y-as op het punt (0,1).]
Lijnstuk $A'B'$ is de loodrechte
projectie van koorde $AB$ op de x-as.
De lengte van $A'B'$ verandert
voortdurend tijdens de beweging.
13 Bereken de maximale lengte
van $A'B'$. Rond je antwoord af op
twee decimalen.
4p
Tijdens de beweging verandert ook de richtingscoëfficiënt van koorde $AB$.
Deze richtingscoëfficiënt noemen we $a$. Voor elk tijdstip $t$, waarbij
$t \ne k \cdot \frac{1}{2}\pi$ met $k$ geheel, geldt:
$$ a = - \frac{\cos(2t)}{\sin(2t)} $$
14 Bewijs dit.
4p
Lijn $l$ is de lijn met vergelijking $y = -x$. Er zijn vier waarden van $t$,
met $0 < t < 2\pi$, waarvoor koorde $AB$ evenwijdig is met $l$.
15 Bereken exact deze vier waarden.
5p
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
VW-1025-a-14-2-o
9 / 10
lees verder ►►►

### Pagina 10

Diagonalen en gelijke hoeken

Gegeven is een cirkel met een koordenvierhoek ABCD met diagonalen AC en BD. Diagonaal BD verdeelt hoek ADC in twee gelijke hoeken. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met vier punten A, B, C, D op de omtrek. De punten vormen een vierhoek. Er zijn twee diagonalen getekend, AC en BD. Hoek ADC is verdeeld in twee gelijke hoeken door BD. Er is een punt E getekend op de diagonaal AC.]

Voor deze koordenvierhoek geldt: $AB$ en $BC$ zijn even lang.
4p 16 Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

In figuur 2, die ook op de uitwerkbijlage staat, is opnieuw een cirkel getekend met een koordenvierhoek ABCD.
Er geldt nu:
- diagonaal $BD$ verdeelt hoek $ADC$ in twee gelijke hoeken;
- diagonaal $AC$ verdeelt hoek $BAD$ in twee gelijke hoeken.
De diagonalen snijden elkaar in het punt E.
De lijn door B en het middelpunt M van de cirkel snijdt diagonaal AC in het punt F. De lijn door C en M snijdt diagonaal BD in het punt G.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met vier punten A, B, C, D op de omtrek. De punten vormen een vierhoek. Er zijn twee diagonalen getekend, AC en BD, die elkaar snijden in punt E. Hoek ADC is verdeeld in twee gelijke hoeken door BD, en hoek BAD is verdeeld in twee gelijke hoeken door AC. Er is een middelpunt M van de cirkel. Een lijn door B en M snijdt AC in F. Een lijn door C en M snijdt BD in G.]

6p 17 Bewijs dat de punten E, F, M en G op één cirkel liggen. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

VW-1025-a-14-2-o
10 / 10
einde ■