# Eindexamen Wiskunde B VWO 2014 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2014/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2014
tijdvak 1
dinsdag 20 mei
13.30 uur - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-14-1-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR, gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie
$$ \sin(t+u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u $$
$$ \sin(t-u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u $$
$$ \cos(t+u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u $$
$$ \cos(t-u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u $$
$$ \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \sin t - \sin u = 2 \sin \frac{t-u}{2} \cos \frac{t+u}{2} $$
$$ \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $$

VW-1025-a-14-1-o 2/11 lees verder ►►►

### Pagina 3

Bal in de sloot

Een bal met een straal van 11 cm komt in een sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich $h$ cm onder het wateroppervlak.
In figuur 1 zie je een doorsnede van de situatie. Het deel van de bal onder het wateroppervlak is daarin grijs gemaakt.
[FIGUUR: Een cirkel die de doorsnede van de bal voorstelt. Een horizontale lijn snijdt de cirkel, waarbij het onderste deel grijs is gekleurd. De afstand van de horizontale lijn tot het laagste punt van de cirkel is aangegeven met $h$.]

figuur 1

Om het rekenwerk te vereenvoudigen, draaien we de figuur een kwartslag. Vervolgens kiezen we een assenstelsel zodanig dat de halve cirkel boven de $x$-as de grafiek is van de functie $f$ met:
$f(x) = \sqrt{22x - x^2}$
Hierbij zijn $x$ en $f(x)$ in centimeters. Zie figuur 2.
[FIGUUR: Een halve cirkel met het middelpunt op de oorsprong van een $xy$-assenstelsel. De halve cirkel is de grafiek van de functie $f$. Een verticale lijn, op afstand $h$ van de $y$-as, snijdt de halve cirkel. Het deel van de halve cirkel links van deze lijn is grijs gekleurd.]
figuur 2

Het deel van de bal onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de grafiek van $f$ om de $x$-as.
Voor de inhoud $I$ in cm$^3$ van het deel van de bal onder het wateroppervlak geldt:
$I = \pi h^2 \left( 11 - \frac{1}{3}h \right)$

4p 1 Bewijs dat deze formule juist is.

De massa van de bal is 425 gram. Uit de natuurkunde is bekend dat de massa van een drijvende bal even groot is als de massa van het door de bal weggedrukte water. Neem aan dat 1 cm$^3$ water een massa van 1 gram heeft.
3p 2 Bereken hoe diep de drijvende bal in het water ligt. Rond je antwoord af op een geheel aantal millimeters.

VW-1025-a-14-1-o 3 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 4

Boven en onder de lijn door de buigpunten

Voor elke waarde van $p$ met $p \neq 0$ is een functie $f_p$ gegeven waarbij voor de tweede afgeleide geldt: $f_p''(x) = 12(x-p)(x+p)$.
Er geldt: $f_p(x) = x^4 - 6p^2 x^2 + ax + b$ met $a$ en $b$ constanten.

4p 3 Toon dit aan met primitiveren.

Voor $a = -8$ en $b = 5$ wordt $f_1$ gegeven door $f_1(x) = x^4 - 6x^2 - 8x + 5$.
In de figuur zie je de grafiek van $f_1$. Deze grafiek heeft buigpunten voor $x = -1$ en $x = 1$.
Deze lijn en de grafiek van $f_1$ begrenzen drie vlakdelen $V_1, V_2$ en $V_3$ die om en om onder en boven de lijn liggen.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met twee assen. De y-as is verticaal en de x-as is horizontaal. Twee krommen en een rechte lijn zijn getekend. Eén kromme is een functie $f_1$ die een w-vorm heeft en door de oorsprong gaat. Een andere kromme is een rechte lijn die door de oorsprong gaat en een negatieve helling heeft. Twee gebieden worden gemarkeerd als $V_1$ en $V_3$. De x-assen zijn gelabeld met -1, O, 1. De y-as is gelabeld met y. De krommen snijden elkaar op de x-as bij x = -1 en x = 1 en de y-as bij y = 0. Twee buigpunten worden gemarkeerd als $V_1$ en $V_3$.]

4p 4 De lijn met vergelijking $y = -8x$ snijdt de grafiek van $f_1$ niet alleen in de twee buigpunten, maar ook in twee andere punten.
Bereken exact de x-coördinaten van de twee andere snijpunten.

4p 5 De vlakdelen $V_1$ en $V_3$ hebben gelijke oppervlakte, namelijk $3 \frac{1}{5}$.
Bewijs dat de gezamenlijke oppervlakte van $V_1$ en $V_3$ gelijk is aan de oppervlakte van $V_2$.

VW-1025-a-14-1-o 4 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Grafiek verdeelt rechthoek

Voor $x > 0$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = \frac{1}{x}$.
In onderstaande figuur is voor $p > 0$ een rechthoek getekend die wordt
begrensd door de lijnen met vergelijkingen $x = 2p$ en $y = \frac{1}{p}$, de $x$-as en
de $y$-as.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onderaan. De y-as heeft een markering $\frac{1}{p}$ en de x-as heeft markeringen O en $2p$. Een curve die de functie $f$ voorstelt begint boven $\frac{1}{p}$ bij de y-as en daalt naar rechts. Er is een grijs gearceerd rechthoek getekend met de linker benedenhoek op de oorsprong (O), de linker bovenhoek op de y-as op de hoogte $\frac{1}{p}$, de rechter benedenhoek op de x-as op de positie $2p$ en de rechter bovenhoek op de curve $f$ bij $x=2p$.]

figuur

Voor elke positieve waarde van $p$ verdeelt de grafiek van $f$ de rechthoek
in twee stukken.
7p 6 Bewijs met behulp van integreren dat de oppervlakte van elk van deze
stukken onafhankelijk is van de waarde van $p$.

VW-1025-a-14-1-o 5/11 lees verder

### Pagina 6

De ideale stootboek

Een kogelstoter stoot een kogel weg
onder een hoek $\alpha$ (in radialen,
$0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$).
De hoogte in meters waarop de
kogelstoter de kogel loslaat is $h$.
Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een schematische weergave van een kogelstoter in actie, met de baan van de kogel en de hoek waaronder deze wordt weggestoten.]
Bij deze situatie kiezen we een assenstelsel waarbij de plaats waar de
kogel wordt losgelaten zich op hoogte $h$ op de verticale as bevindt. De
kogel komt op afstand $r$ in meters van de oorsprong op de grond. Zie
figuur 2.
In deze opgave gaan we ervan uit dat de kogelstoter de kogel altijd met
dezelfde snelheid wegstoot.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek die de baan van de kogel weergeeft, met de y-as als verticale hoogte en de x-as als horizontale afstand. De oorsprong O is aan de grond. De kogel wordt weggestoten vanaf hoogte h onder een hoek alpha.]
Als $\alpha$ zo is dat $\cos \alpha = 0,6$ en we de afmetingen van de kogel en de
wrijving met de lucht verwaarlozen, dan gelden (bij benadering) de
volgende formules voor de coördinaten van de kogel tijdens de vlucht:

$$
\begin{cases}
x(t) = 8,4t \\
y(t) = h+11,2t - 4,9t^2
\end{cases}
$$
Hierin is $t$ de tijd in seconden met $t=0$ op het moment van loslaten, $x$ de
horizontale afstand in meters en $y$ de hoogte in meters.

4p 7 De kogelstoter laat de kogel los op een hoogte van 1,96 m.
Bereken op hoeveel meter afstand van de kogelstoter de kogel op de
grond komt. Rond je antwoord af op een geheel aantal decimeters.

VW-1025-a-14-1-o
6 / 11
lees verder

### Pagina 7

De horizontale afstand $r$ die de kogel overbrugt, hangt af van de hoek $\alpha$ waaronder deze wordt weggestoten.
In het algemeen geldt voor elke waarde van $\alpha$ de volgende formule voor $r$:
$$r = 20 \cos \alpha \left( \sin \alpha + \sqrt{\sin^2 \alpha + 0,1h} \right)$$
De ideale stoothoek is de hoek $\alpha$ waarbij $r$ zo groot mogelijk is.
We bekijken nu de situatie waarbij de kogelstoter de kogel loslaat op een hoogte van $1,85$ m.
3p 8 Bereken voor deze situatie de ideale stoothoek.
6p 9 Tot slot bekijken we de denkbeeldige situatie waarin $h = 0$.
Bereken exact de ideale stoothoek voor deze denkbeeldige situatie.
VW-1025-a-14-1-o 7/11 lees verder ►►►

### Pagina 8

Even lang

Gegeven is een gelijkzijdige driehoek $ABC$ met zijden van lengte 2.
In driehoek $ABC$ is $AD$ hoogtelijn én zwaartelijn.
Daarom geldt: $BD = CD = 1$ en $AD = \sqrt{3}$.
Ook is gegeven de gelijkzijdige driehoek $AEF$ met zijden van lengte $2\sqrt{3}$, waarbij $E$ en $F$ op het verlengde van respectievelijk $AB$ en $AC$ liggen.
Lijn $AD$ snijdt $EF$ in $G$. $Z$ is het zwaartepunt van driehoek $AEF$.
De lijn door $C$ en $Z$ snijdt $AE$ in $K$ en het verlengde van $FE$ in $H$.
Zie onderstaande figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Driehoek ABC is gelijkzijdig met zijde 2. AD is de hoogtelijn/zwaartelijn van A naar BC. D is het midden van BC. AD heeft lengte wortel 3. Punten E en F liggen op de verlengingen van AB en AC. Driehoek AEF is gelijkzijdig met zijde 2*wortel 3. Lijn AD snijdt EF in G. Z is het zwaartepunt van AEF. Lijn CZ snijdt AE in K en verlengde FE in H.]

De driehoeken $CDZ$ en $HGZ$ zijn gelijkvormig.

4p 10 Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

De lengte van $DZ$ is $2 - \sqrt{3}$.

3p 11 Toon dit met een exacte berekening aan.

5p 12 Bewijs dat $EH$ even lang is als $AB$. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

VW-1025-a-14-1-o 8 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Gemeenschappelijk met de x-as

Voor elke waarde van $a$ met $a \neq 0$ is de functie $f_a$ gegeven door
$$f_a(x) = 2\sin(ax) + \sin(2ax)$$
Het punt $(\frac{\pi}{a}, 0)$ is een gemeenschappelijk punt van de grafiek van $f_a$ en de x-as.

4p 13 Bewijs dat voor elke waarde van $a$ (met $a \neq 0$) de grafiek van $f_a$ de x-as in $(\frac{\pi}{a}, 0)$ raakt.

5p 14 Bewijs dat de grafiek van $f_2$ puntsymmetrisch is in het punt $(\frac{1}{2}\pi, 0)$.

VW-1025-a-14-1-o 9/11 lees verder ►►►

### Pagina 10

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina:**
*   **Opgavepagina**: Dit is duidelijk een pagina met opgaven voor een examen. Er zijn genummerde vragen met puntenaanduiding (bijv. "3p", "5p"), introductietekst en specifieke rekenopdrachten.

**2. Visuele elementen:**
*   **Tekst**: Het grootste deel van de pagina is gevuld met tekst in een duidelijke, leesbare lettertype.
    *   De titel "Hoogwaterstanden" bovenaan in een groter, vet lettertype.
    *   Introductietekst over eb en vloed, hoogwaterstanden en de context van de formule.
    *   De formule zelf: `f(h) = 10^(a-b*h)` is prominent weergegeven in het midden van de pagina.
    *   Vragen 15, 16 en 17 met bijbehorende puntentelling ("3p", "5p").
    *   Aanvullende informatie en context voor elke vraag, inclusief historische gegevens (watersnoodramp 1953) en locaties (Hoek van Holland).
*   **Formulesymbool**: De wiskundige formule `f(h) = 10^(a-b*h)` is als speciaal element opgenomen en centraal in de context geplaatst.
*   **Geen grafieken, tabellen of complexe diagrammen**: De pagina bevat geen grafieken, tabellen of andere visuele hulpmiddelen dan de tekst en de wiskundige formule.

**3. Wiskundig/wetenschappelijk concept:**
*   **Exponentiële functies**: De kern van de opgaven is de analyse en toepassing van de exponentiële functie `f(

### Pagina 11

Koordenvierhoek

Gegeven zijn een cirkel met middelpunt $M$ en een lijnstuk $AB$ buiten de cirkel. De lijn door $A$ en $B$ snijdt de cirkel niet.
Punten $P$ en $Q$ worden zodanig op de cirkel gekozen dat aan de volgende voorwaarden is voldaan:
- koorde $PQ$ is evenwijdig aan lijnstuk $AB$;
- lijnstuk $AQ$ snijdt de cirkel in $R$;
- lijnstuk $BP$ snijdt de cirkel in $S$;
- $AQ$ snijdt $BP$ binnen de cirkel.

Zie de figuur hieronder.

figuur

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. De punten P en Q liggen op de cirkel en de lijn PQ is horizontaal met een pijl die de richting aangeeft. De lijn AB ligt buiten de cirkel en is ook horizontaal, beneden PQ. De lijn AQ snijdt de cirkel in R. De lijn BP snijdt de cirkel in S. De lijnen AQ en BP snijden elkaar binnen de cirkel. De punten A en B liggen buiten de cirkel.]

5p 18 Bewijs dat $ABSR$ een koordenvierhoek is. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

VW-1025-a-14-1-o 11 / 11 einde ■