# Eindexamen Wiskunde B VWO 2013 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2013/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2013
tijdvak 2
woensdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-13-2-0

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR, gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie
$ \sin (t + u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u $
$ \sin (t - u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u $
$ \cos (t + u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u $
$ \cos (t - u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u $
$ \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \sin t - \sin u = 2 \sin \frac{t-u}{2} \cos \frac{t+u}{2} $
$ \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $

VW-1025-a-13-2-o
2 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 3

Eerste- en derde graadsfunctie
De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x)=(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})$ en $g(x)=-x+1\frac{1}{2}$.
De grafieken van $f$ en $g$ snijden beide de $y$-as in het punt $A(0,1\frac{1}{2})$ en de $x$-as in het punt $B(1\frac{1}{2}, 0)$.

4p 1 De grafiek van $g$ raakt in punt $A$ aan de grafiek van $f$.
Toon dit aan met behulp van differentiëren.

In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ getekend.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onderaan. De y-as loopt van laag naar hoog en de x-as van links naar rechts. Er zijn twee grafieken getekend: een paraboolvormige grafiek die naar boven opent, aangeduid met 'f', en een rechte lijn die schuin naar beneden loopt, aangeduid met 'g'. De grafiek 'f' snijdt de y-as op een positief punt, en heeft twee snijpunten met de x-as, waarvan één positief en één negatief. De grafiek 'g' snijdt de y-as op hetzelfde punt als 'f', en heeft één positief snijpunt met de x-as. De grafiek 'g' lijkt de grafiek 'f' te raken in het snijpunt op de y-as. Het punt waar 'f' en 'g' elkaar snijden op de y-as is gelabeld als 'A'. Het positieve snijpunt van beide grafieken met de x-as is gelabeld als 'B'. De oorsprong is gelabeld als 'O'.]

6p 2 De grafiek van $f$ verdeelt driehoek $OAB$ in twee delen.
Toon met een exacte berekening aan dat de oppervlakte van het linker deel twee keer zo groot is als de oppervlakte van het rechter deel.

VW-1025-a-13-2-o 3 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Verzadigingsgraad van hemoglobine

Zuurstof wordt in het menselijk lichaam getransporteerd door de
hemoglobine in het bloed. De zuurstof wordt in de longen aan de
hemoglobine gebonden en in de weefsels weer afgegeven. Het
percentage van de hemoglobine dat zuurstof aan zich bindt, wordt de
verzadigingsgraad van hemoglobine genoemd. Deze
verzadigingsgraad hangt af van de partiële zuurstofdruk; dit is het deel
van de totale luchtdruk in de longen dat veroorzaakt wordt door de
zuurstof.
In 1910 heeft de fysioloog Hill gevonden dat onder bepaalde
omstandigheden het verband tussen de partiële zuurstofdruk $p$ en de
verzadigingsgraad $\nu$ van hemoglobine kan worden benaderd met de
formule:
$$ \nu = \frac{100 p^3}{p^3 + 25000} $$
Hierin is:
$\nu$ de verzadigingsgraad van hemoglobine in procenten en
$p$ de partiële zuurstofdruk in mmHg (millimeter kwik, de toen gebruikte
eenheid voor druk).

3a (3p) 3 Bereken de partiële zuurstofdruk als de verzadigingsgraad van
hemoglobine 75% is. Rond je antwoord af op een geheel aantal mmHg.

In de figuur is de grafiek getekend van $\nu$ als functie van $p$ volgens de
benaderingsformule van Hill.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de verzadigingsgraad $\nu$ in (%) van 0 tot 100 en op de x-as de partiële zuurstofdruk $p$ in mmHg van 0 tot 120. De grafiek begint bij (0,0) en stijgt kromlijnig naar ongeveer (100,100).]
figuur
$\nu$ (%)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
→ $p$ (mmHg)

4p 4 Bereken met behulp van de afgeleide functie van $\nu$ voor welke waarde van
$p$ de grafiek het steilst is. Rond je antwoord af op een gehele waarde.

VW-1025-a-13-2-o
4 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 5

Hill vond zijn formule doordat hij ontdekte dat $\frac{\nu}{100-\nu}$ evenredig is met $p^3$.
De evenredigheidsconstante is $4 \cdot 10^{-5}$. Dat wil zeggen:

$$ \frac{\nu}{100-\nu} = 0,00004 p^3 $$

4p 5 Herleid de formule $\frac{\nu}{100-\nu} = 0,00004 p^3$ tot de formule $v = \frac{100 p^3}{p^3 + 25000}$.

Vermenigvuldigen in horizontale en verticale richting

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{1+\ln x}{x}$.
Voor elke waarde van $c$ is de functie $g_c$ gegeven door $g_c(x) = \frac{c+\ln x}{x}$.

De grafiek van $f$ wordt ten opzichte van de x-as vermenigvuldigd met $e$, het grondtal van de natuurlijke logaritme. Vervolgens wordt de zo verkregen grafiek ten opzichte van de y-as vermenigvuldigd met $\frac{1}{e}$.
Hierdoor ontstaat de grafiek van $g_c$ voor een waarde van $c$.
4p 6 Bereken exact deze waarde van $c$.

[FIGUUR: Grafiek met de functies $f$ en $g_3$. De y-as is aangegeven met $y$ en de x-as met $x$. De grafiek van $f$ begint hoog bij de y-as en daalt daarna. De grafiek van $g_3$ begint ook hoog maar daalt langzamer. Het grijze vlak $W$ is het gebied ingesloten tussen de grafiek van $f$ en $g_3$, en de lijnen $x=1$ en $x=e$.]

In de figuur is de grafiek van $g_3$ getekend. Ook de grafiek van $f$ is in de figuur getekend. Het vlak $W$ is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van $f$ en $g_3$ en de lijnen met vergelijking $x=1$ en $x=e$.
4p 7 Bereken exact de oppervlakte van $W$.

VW-1025-a-13-2-o 5 / 12 lees verder

### Pagina 6

Gelijke hoeken

Gegeven is een hoek A en een cirkel c. Een been van hoek A snijdt de cirkel c in de punten B en C. Het andere been van hoek A raakt de cirkel c in punt D. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 1
[FIGUUR: Een driehoek ABC met een cirkel die de zijden AB en AC snijdt in B en C en de derde zijde AD raakt in D. AD is een lijn die vanuit A door D gaat.]

De driehoeken ABD en ADC zijn gelijkvormig.

3p 8 Bewijs dit.

In figuur 2 is de bissectrice van hoek A getekend. Deze snijdt lijnstuk BD in punt P en lijnstuk CD in punt Q. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 2
[FIGUUR: Een driehoek ABC met een cirkel die de zijden AB en AC snijdt in B en C en de derde zijde AD raakt in D. AD is een lijn die vanuit A door D gaat. Binnen de driehoek is een bissectrice getekend die AD snijdt in P en CD in Q.]

4p 9 Bewijs dat de hoeken P Q D en Q P D even groot zijn.

VW-1025-a-13-2-o 6 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Een hartvormige kromme
Voor $0 \le t \le 2\pi$ wordt de beweging
van een punt $P$ beschreven door de
bewegingsvergelijkingen
$$
\begin{cases}
x(t) = 2\cos t - \cos(2t) \\
y(t) = 2\sin t - \sin(2t)
\end{cases}
$$
In figuur 1 is de baan van $P$ getekend.
Voor $t=0$ en $t=2\pi$ bevindt $P$ zich in
$(1,0)$.
8p 10 Bereken exact de maximale waarde van
de $y$-coördinaat van $P$.
De lijn met vergelijking $x=1$ snijdt de
baan van $P$ behalve in het punt $(1,0)$
ook in de punten $(1,a)$ en $(1,-a)$, met
$a>0$. Zie figuur 2.
6p 11 Bereken exact de waarde van $a$.

[FIGUUR: Een grafiek van een hartvormige kromme in het xy-vlak. De x-as loopt van ongeveer -2 tot 1, met markeringen bij -1, 0, en 1. De y-as loopt van ongeveer -2 tot 2, met markeringen bij -2, -1, 1, en 2. De kromme begint links en bovenin, beweegt naar rechts en beneden, vormt een hartvorm met de punt naar rechts, en eindigt weer links en bovenin.]
figuur 1

[FIGUUR: Een grafiek van een hartvormige kromme in het xy-vlak. De x-as loopt van ongeveer -2 tot 1, met markeringen bij -1, 0, en 1. De y-as loopt van ongeveer -2 tot 2, met markeringen bij -2, -1, 1, en 2. De kromme snijdt de lijn x=1 op twee punten boven en onder de x-as.]
figuur 2

VW-1025-a-13-2-o
7 / 12
lees verder 

### Pagina 8

De leeftijd van ons zonnestelsel

Volgens sterrenkundigen zijn de meteorieten die op aarde terechtkomen gelijk met ons zonnestelsel ontstaan.

[FIGUUR: Een afbeelding van het zonnestelsel met planeten die rond een zon draaien.]

Meteorieten bestaan onder andere uit de stoffen rubidium-87 (Rb-87), strontium-87 (Sr-87) en strontium-86 (Sr-86). Het radioactieve Rb-87 vervalt tot Sr-87. De hoeveelheid Sr-86 verandert niet.

Om de leeftijd $t$ (in jaren) van een meteoriet te bepalen gebruikt men onder andere de verhouding:
$$ a(t) = \frac{\text{hoeveelheid Rb-}87}{\text{hoeveelheid Sr-}86} \text{ op tijdstip } t $$
Deze verhouding verandert voortdurend vanaf het ontstaan van een meteoriet. Er geldt:
$$ a(t) = a(0) \cdot e^{-\lambda t} $$
Hierin is $\lambda$ de vervalconstante van Rb-87. Die is $1,42 \cdot 10^{-11}$ per jaar. De constante $a(0)$ is de verhouding tussen de hoeveelheden Rb-87 en Sr-86 op $t=0$.

3p 12 Bereken op algebraïsche wijze in hoeveel tijd de waarde van $a$ gehalveerd wordt. Geef je antwoord in miljarden jaren nauwkeurig.

VW-1025-a-13-2-o 8 / 12 lees verder

### Pagina 9

De waarde $a(0)$ is onbekend en verschilt per meteoriet. Daarom kunnen we de leeftijd van een meteoriet niet bepalen op grond van de gemeten waarde $a(t)$ alleen. Leeftijdsbepaling is wel mogelijk door naast $a(t)$ ook gebruik te maken van een tweede verhouding:

$$ b(t) = \frac{\text{hoeveelheid Sr-87}}{\text{hoeveelheid Sr-86}} \text{ op tijdstip } t $$

Omdat Rb-87 vervalt tot Sr-87 en Sr-87 zelf niet vervalt, verandert de waarde van de som van $a(t)$ en $b(t)$ voor een bepaalde meteoriet niet in de loop der tijd. Dit betekent dat $a(t) + b(t) = a(0) + b(0)$ voor elke $t \ge 0$.

Uit $a(t) + b(t) = a(0) + b(0)$ en $a(t) = a(0) \cdot e^{-\lambda t}$ volgt:
$$ b(t) + (1 - e^{-\lambda t}) a(t) = b(0) $$

3p 13 Toon dit aan.

Van twee even oude meteorieten, $M_1$ en $M_2$, zijn de waarden $a(t)$ en $b(t)$ bepaald, waarbij $t$ de leeftijd van deze meteorieten is. Zie de tabel.

[FIGUUR: Tabel met kolommen 'meteoriet', 'a(t)' en 'b(t)'. Rij 1: 'M1', '0,60', '0,739'. Rij 2: 'M2', '0,20', '0,713'.]

Door gebruik te maken van:
* $b(t) + (1 - e^{-\lambda t}) a(t) = b(0)$, met $\lambda = 1,42 \cdot 10^{-11}$ per jaar,
* de aanname dat $b(0)$ voor elke meteoriet hetzelfde is en
* de gegevens uit de tabel

kan de leeftijd van de meteorieten (en volgens sterrenkundigen dus ook die van ons zonnestelsel) worden berekend.

4p 14 Bereken deze leeftijd. Rond je antwoord af op miljarden jaren.

### Pagina 10

Koordenvierhoek
Gegeven is een koordenvierhoek $ABCD$ met diagonalen $AC$ en $BD$. Op diagonaal $BD$ ligt het punt $E$ zo dat $EA = ED$. Op diagonaal $AC$ ligt het punt $F$ zo dat $FC = FB$. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met ingeschreven vierhoek ABCD. De diagonalen AC en BD snijden elkaar in E. De punten D en A zijn verbonden met E. De punten C en B zijn verbonden met F. Er zijn streepjes op AD en ED, en op FC en FB, die aangeven dat deze lijnen gelijk zijn.]
De punten $A$, $B$, $F$ en $E$ liggen op een cirkel.
5p 15 Bewijs dit.
VW-1025-a-13-2-o
10 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 11

In figuur 2 zijn ook het lijnstuk $EF$ en de cirkel door $A$, $B$, $F$ en $E$ getekend.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met daarop de punten A, B, C, D, E, F. Lijnstukken verbinden deze punten. Er zijn ook boogjes die gelijkheid van hoeken of lijnstukken aangeven.]
4p 16 Bewijs dat $EF$ evenwijdig is aan $DC$.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende
pagina.
VW-1025-a-13-2-o 11 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 12

Lijntuk en parabool
Op het domein $[0, 4]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = 8 - \frac{1}{2}x^2$. De
randpunten van de grafiek van $f$ zijn $P(0,8)$ en $Q(4,0)$. Zie de figuur.
Verder is gegeven een lijntuk $PR$ met eindpunten $P(0,8)$ en $R(a,0)$,
waarbij $a>4$. In de figuur is voor een waarde van $a$ ook het lijntuk $PR$
getekend.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as lopend van 0 tot 8 en de x-as lopend van 0 tot 5. De grafiek toont een parabool die begint op punt P(0,8) en daalt naar punt Q(4,0). Ook is er een rechte lijn getekend vanaf punt P(0,8) naar punt R(a,0) op de x-as, waarbij a groter is dan 4.]

4p 17 Er is een waarde van $a$ waarvoor de grafiek van $f$ en het lijntuk $PR$
elkaar snijden in het midden van $PR$.
Bereken exact deze waarde van $a$.

De lengte van boog $PQ$ van de grafiek van $f$ is gelijk aan
$$ \int_0^4 \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx $$

5p 18 Bereken in twee decimalen nauwkeurig voor welke waarde van $a$ de
lengte van boog $PQ$ van de grafiek van $f$ gelijk is aan de lengte van
lijntuk $PR$.

VW-1025-a-13-2-0 12 / 12 einde