# Eindexamen Wiskunde B VWO 2012 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2012/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2012
tijdvak 2
woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-12-2-0

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectrice paar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythgora's, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie
$sin(t + u) = sin t cos u + cos t sin u$
$sin(t - u) = sin t cos u - cos t sin u$
$cos(t + u) = cos t cos u - sin t sin u$
$cos(t - u) = cos t cos u + sin t sin u$
$sin t + sin u = 2 sin \frac{t+u}{2} cos \frac{t-u}{2}$
$sin t - sin u = 2 cos \frac{t+u}{2} sin \frac{t-u}{2}$
$cos t + cos u = 2 cos \frac{t+u}{2} cos \frac{t-u}{2}$
$cos t - cos u = -2 sin \frac{t+u}{2} sin \frac{t-u}{2}$

VW-1025-a-12-2-0
2
lees verder

### Pagina 3

Een regentdon
Op het domein [0, 1] is de functie $r$ gegeven door $r(x) = \frac{1}{10} \sqrt{5 + 15x - 15x^2}$.
$W$ is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de grafiek van $r$ en de lijn $x = h$, met $0 < h \le 1$. Zie de onderstaande figuur.

figuur
[FIGUUR: Grafiek van de functie r(x) op het domein [0,1]. De grafiek start bij y=0.5 bij x=0 en eindigt bij y=0 bij x=1. Er is een verticale lijn getekend bij x=h. Het ingesloten vlakdeel W is gearceerd.]

Voor het volume $V$ van het omwentelingslichaam dat ontstaat door vlakdeel $W$ om de x-as te wentelen, geldt:
$$V = \frac{\pi}{40} (2h + 3h^2 - 2h^3)$$

5p 1 Toon aan dat deze formule voor $V$ juist is.

Als de grafiek van $r$ om de x-as
gewenteld wordt, ontstaat een
figuur die lijkt op een regenton.
Voor $x, h$ en $r$ nemen we de meter
als eenheid, zodat de ton 1 meter
hoog is.
$V$ is dus het volume van het water
in de ton als het water $h$ meter
hoog staat.
5p 2 Bereken de waterhoogte in de ton
als deze voor drie vierde deel is
gevuld. Rond je antwoord af op
een geheel aantal cm.

foto
[FIGUUR: Zwart-witfoto van een houten regenton die naast een houten schutting staat.]

VW-1025-a-12-2-o 3 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Een ellips
Punt P doorloopt in het Oxy-vlak een ellips\
vormige baan volgens de
bewegingsvergelijkingen
$$
\begin{cases}
x(t) = \frac{1}{2}\sin t \\
y(t) = \sin(t + \frac{1}{3}\pi)
\end{cases}
$$
Hierin is t de tijd.
De baan van P is weergegegegeven in figuur 1.

[FIGUUR: Ellips met assen x en y, en punt P op de ellips]

figuur 1

3p 3
Gedurende de beweging verandert de afstand van P tot de oorsprong.
Bereken de maximale afstand van P tot de oorsprong. Geef je antwoord in twee
decimalen nauwkeurig.

De snelheid van P op tijdstip t is
$$
\sqrt{\left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2}
$$
4p 4
Bereken exact de snelheid van P als t = 0.

De baan van P snijdt de lijn met
vergelijking y = 2x in de punten A
en B. Zie figuur 2.

6p 5
Bereken exact de coördinaten van
A en B.

[FIGUUR: Ellips met assen x en y, en een lijn y=2x die de ellips snijdt in punten A en B.]

figuur 2

VW-1025-a-12-2-0 4 lees verder ▸▸▸

### Pagina 5

Bissectrices en omgeschreven cirkel
Gegeven is een driehoek $ABC$ met zijn omgeschreven cirkel.
De bissectrice van hoek $A$ snijdt de omgeschreven cirkel in punt $P$ en de bissectrice van hoek $B$ snijdt deze cirkel in punt $Q$. Het snijpunt van de bissectrices is $S$. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met daarop de punten A, B, C, P, Q. De punten A, B, C vormen een driehoek. De bissectrice van hoek A gaat door S en P. De bissectrice van hoek B gaat door S en Q. S is het middelpunt van de cirkel.]
Er geldt: driehoek $CPQ$ is congruent met driehoek $SPQ$.
3p 6 Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik maken van de uitwerkbijlage.
In figuur 2 is in de driehoek $ABC$ ook de bissectrice van hoek $C$ getekend. Deze gaat door $S$ en snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$ in punt $R$.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met daarop de punten A, B, C, P, Q, R. De punten A, B, C vormen een driehoek. De bissectrice van hoek A gaat door S en P. De bissectrice van hoek B gaat door S en Q. De bissectrice van hoek C gaat door S en R. S is het middelpunt van de cirkel. Er zijn loodrechte tekens geplaatst bij de snijpunten van PQ en CR. ]
Met behulp van de congruentie van de driehoeken $CPQ$ en $SPQ$ volgt dat de lijnen $PQ$ en $CR$ staan loodrecht op elkaar.
In figuur 3 zie je alleen een cirkel waarop drie punten $P, Q$ en $R$ liggen. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 3
[FIGUUR: Een cirkel met daarop de punten P, Q, R. De punten P, Q, R liggen op de cirkel. Er zijn lijnen getrokken die de punten verbinden, en er zijn bissectrices getekend.]
Bij deze punten $P, Q$ en $R$ is er een driehoek $ABC$ waarvoor geldt: $A, B$ en $C$ liggen op de gegeven cirkel, zó dat de lijnen $AP, BQ$ en $CR$ de bissectrices zijn van de hoeken van driehoek $ABC$.
3p 7 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage deze driehoek $ABC$. Licht je werkwijze toe.
VW-1025-a-12-2-o 5 lees verder

### Pagina 6

Medicijn in actieve vorm

Sommige medicijnen kennen een passieve en een actieve vorm. Ze worden in
passieve vorm ingespoten en door het lichaam omgezet in actieve vorm.

De hoeveelheid medicijn in passieve vorm, in milligram, die $t$ uur na inspuiten
nog niet is omgezet in actieve vorm, noemen we $p(t)$. Als 25 mg wordt
ingespoten, geldt de volgende formule:

$p(t) = 25 \cdot e^{-k \cdot t}$

Hierbij is $k$ een positieve constante waarvan de waarde afhangt van het type
medicijn. Hoe groter $k$, hoe sneller het medicijn in passieve vorm wordt omgezet
in actieve vorm.

Om de werkzaamheid van het medicijn te onderzoeken, meet men hoe lang het
duurt tot 99% van de hoeveelheid medicijn in passieve vorm is omgezet naar
medicijn in actieve vorm. Deze tijdsduur $t_{99}$ hangt af van $k$.

3p 8 Druk $t_{99}$ uit in $k$.

Het medicijn in actieve vorm wordt door de lever afgebroken. De omzetting van
medicijn in passieve vorm naar medicijn in actieve vorm en de afbraak van
medicijn in actieve vorm vinden gelijktijdig plaats.

Een patiënt krijgt een injectie met een dergelijk medicijn. De hoeveelheid
medicijn in actieve vorm, in milligram, die $t$ uur na inspuiten in het lichaam zit,
noemen we $a(t)$. Voor $a(t)$ geldt:

$a(t) = 25(e^{-0,1 \cdot t} - e^{-0,4 \cdot t})$

In figuur 1 is de grafiek van $a$ getekend.

figuur 1

[FIGUUR: Grafiek van de hoeveelheid medicijn in actieve vorm $a(t)$ over de tijd $t$. De y-as toont $a_{max}$ en de x-as toont $t_{max}$. De grafiek start bij de oorsprong, stijgt naar een maximum en daalt dan weer.]

VW-1025-a-12-2-o 6 lees verder ►►►

### Pagina 7

Het maximum van $a$ noemen we $a_{\max}$. Dit maximum wordt aangenomen op
tijdstip $t_{\max}$.

9 Bereken $t_{\max}$ met behulp van differentiëren.

Als maat voor de tijdsduur die een medicijn werkzaam is, wordt gekeken naar de
zogenaamde FWHM (Full Width at Half Maximum). Dat is de breedte van de
piek in de grafiek van $a$ ter hoogte van $\frac{1}{2}a_{\max}$. Anders gezegd: de FWHM geeft
aan hoe lang de hoeveelheid medicijn in actieve vorm in het lichaam minstens
50% is van de maximale hoeveelheid $a_{\max}$.
In figuur 2 is de FWHM aangegeven.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek van $a$ tegen $t$, met de y-as gelabeld met $a_{\max}$ en $\frac{1}{2}a_{\max}$ en de x-as met $O$, $t$ en FWHM. De curve toont een piek rond een bepaald tijdstip $t_{\max}$, waarna de waarde van $a$ afneemt.]

10 Bereken de FWHM in uren nauwkeurig.

VW-1025-a-12-2-o 7 lees verder ►►►

### Pagina 8

Onafhankelijk van $p$

Voor elke positieve waarde van $p$ is een functie $f$ gegeven door
$f(x) = -x^3 + 3px^2$.
De grafiek van $f$ heeft twee punten met de $x$-as gemeenschappelijk: $O(0, 0)$ en punt $A$. Zie onderstaande figuur.
De top van de grafiek van $f$ die rechts van de $y$-as ligt, noemen we $T$.
De horizontale lijn door $T$ snijdt de $y$-as in punt $C$ en snijdt de verticale lijn door $A$ in punt $B$. De oppervlakte van het gebied onder de grafiek van $f$ binnen rechthoek $OABC$ is in de figuur grijs gemaakt.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek van een functie $f$ met de $x$-as en $y$-as. De functie heeft een maximum rechts van de $y$-as, wat het punt $T$ is. De $y$-as snijdt de grafiek in de oorsprong $O$. Er is een rechthoek $OABC$ getekend, waarbij $C$ op de $y$-as ligt en $B$ op de verticale lijn door $A$. Het gebied onder de grafiek van $f$ binnen de rechthoek $OABC$ is grijs gekleurd.]

8p 11 Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van het grijze gebied en de oppervlakte van rechthoek $OABC$ onafhankelijk is van $p$.

### Pagina 9

Drie halve cirkels
Op een lijnstuk $AB$ met lengte 4 ligt het punt $C$ zo dat $AC = 1$.
Op $AC$, $CB$ en $AB$ zijn halve cirkels getekend, alle drie aan dezelfde kant van
$AB$. $D$ is een punt op de grootste halve cirkel, niet gelijk aan $A$ of $B$.
$AD$ en $BD$ snijden de andere halve cirkels respectievelijk in de punten $E$ en $F$.
Zie de onderstaande figuur. Hierin zijn ook de lijnstukken $CE$ en $CF$ getekend.
figuur
[FIGUUR: Een lijnstuk AB met C erop. D is een punt op de grootste halve cirkel boven AB. AD en BD snijden kleinere halve cirkels. E is op de linker halve cirkel, F is op de middelste halve cirkel. Lijnstukken CE en CF zijn getekend.]
Op grond van de stelling van Thales zijn de hoeken $ADB$, $AEC$ en $CFB$ recht.
Hieruit volgt dat $CFDE$ een rechthoek is.
De driehoeken $ACE$, $CBF$ en $ABD$ zijn gelijkvormig.
De lengte van $CE$ noemen we $x$.
De oppervlakte van rechthoek $CFDE$ is dan $3\sqrt{x^2-x^4}$.
3p 12 Toon dit laatste aan.
Als $D$ over de grootste halve cirkel beweegt, verandert de oppervlakte van
rechthoek $CFDE$.
Er zijn twee situaties waarin deze oppervlakte gelijk is aan $\sqrt{2}$. Voor één van
deze situaties geldt dat $E$ op de linker helft van de boog $AC$ ligt.
5p 13 Bereken exact de lengte van $CE$ voor deze situatie.
Als $D$ over de grootste halve cirkel beweegt, is er een situatie waarin de
oppervlakte van $CFDE$ maximaal is.
7p 14 Ga op algebraïsche wijze na of rechthoek $CFDE$ in deze situatie een vierkant is.
VW-1025-a-12-2-o 9 lees verder ►►►

### Pagina 10

Kleinste amplitude
Voor elke waarde van $a$, met $a > 1$, is de functie $f_a$ met domein $[0, \pi]$ gegeven
door
$$ f_a(x) = \frac{a}{\ln a} \cdot \sin x $$
In de figuur is voor enkele waarden van $a$ de grafiek van $f_a$ getekend.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de variabele $y$ en op de x-as de variabele $x$. Er zijn vier curves getekend. De bovenste drie curves zijn effen lijnen, waarbij de bovenste de hoogste amplitude heeft en de amplitude steeds kleiner wordt naar onderen. De onderste curve is een gestippelde lijn. Bij de curves staan labels: $a = 1 \frac{1}{2}$, $a = 5 \frac{1}{2}$, $a = 2$.]

Voor elke waarde van $a$ is de grafiek van $f_a$ een sinusoïde. In de figuur is te
zien dat de amplitude bij $a=2$ kleiner is dan bij $a=1\frac{1}{2}$ of $a=5\frac{1}{2}$.
Er is een waarde van $a$ waarvoor de amplitude minimaal is. De grafiek van $f_a$ bij
deze waarde van $a$ is in de figuur gestippeld getekend.
15 8p Bereken exact de oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as en de
grafiek van $f_a$ met de kleinste amplitude.

VW-1025-a-12-2-o 10 lees verder ►►►

### Pagina 11

Vier punten op een cirkel

Gegeven is een cirkel met middelpunt $M$ en een middellijn $AB$. $k$ is de raaklijn aan de cirkel in punt $B$.
Op de cirkel liggen twee punten $P$ en $Q$ zodanig dat $P$ en $Q$ beide aan dezelfde kant van $AB$ liggen én dat $Q$ op de kleinste boog tussen $B$ en $P$ ligt.
De snijpunten van de lijnen $AP$ en $AQ$ met $k$ zijn respectievelijk $P'$ en $Q'$.
De figuur hieronder staat twee maal op de uitwerkbijlage.

figuur

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M en diameter AB. Een raaklijn k is getekend door B. Punten P en Q liggen op de cirkel. Lijnen AP en AQ snijden de raaklijn k in P' en Q'.]

Er geldt: $\angle ABP = \angle AP'B$.

4p 16 Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik maken van de uitwerkbijlage.

4p 17 Bewijs dat $P$, $Q$, $Q'$ en $P'$ op één cirkel liggen. Je kunt hierbij gebruik maken van de uitwerkbijlage.

VW-1025-a-12-2-o 11 einde ■