# Eindexamen Wiskunde B VWO 2012 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2012/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2012
tijd vak 1
woensdag 16 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-12-1-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middellooodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZZZ, ZZG; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr, middellooodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagorastheorema, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie

$ \sin(t+u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u $
$ \sin(t-u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u $
$ \cos(t+u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u $
$ \cos(t-u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u $

$ \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \sin t - \sin u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $
$ \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $

VW-1025-a-12-1-o
2
lees verder

### Pagina 3

Onafhankelijk van $a$

Voor elke positieve waarde van $a$ is een functie $f_a$ gegeven door
$f_a(x) = (1-ax) \cdot e^{-ax}$ en een functie $F_a$ gegeven door
$F_a(x) = x \cdot e^{-ax}$.
De functie $F_a$ is een primitieve functie van $f_a$.

3p 1 Toon dit aan.

De grafiek van $f_a$ snijdt de x-as in punt $A(\frac{1}{a}, 0)$ en de y-as in punt $B(0, 1)$.
Zie onderstaande figuur.

[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as aan de linkerkant en de x-as aan de onderkant. De oorsprong is aangegeven met O. Een kromme lijn, gemarkeerd als $f_a$, start op de y-as bij punt B (0,1), daalt en snijdt de x-as bij punt A (1/a, 0). Er is ook een rechte lijn getekend die door O en B gaat en die de kromme $f_a$ snijdt.]

5p 2 De grafiek van $f_a$ verdeelt driehoek $OAB$ in twee delen.
Toon aan dat de verhouding van de oppervlakten van deze twee delen onafhankelijk is van $a$.

VW-1025-a-12-1-o 3 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Titel**: "Het standaard proefglas" bovenaan de pagina.
    *   **Tekst**: Inleidende tekst over de achtergrond van het standaard proefglas en de methode om het model te creëren.
    *   **Figuur 1**: Een zwart-wit afbeelding van een deel van een wijnglas (het onderste deel, inclusief voet en steel). De achtergrond is zwart, wat het glas accentueert.
    *   **Figuur 2**: Een grafiek met een xy-assenstelsel. De x-as loopt van 0 tot ongeveer 150, de y-as van -40 tot 40. Er zijn vier gemarkeerde punten met coördinaten: A(0,0; 32,5), B(55,3; 4,5), C(87,5; 32,5), D(155,0; 23,0). Er zijn meerdere kromme lijnen getekend die samen de profiel van het wijnglas vormen, inclusief hun spiegelbeelden ten opzichte van de x-as. Eén specifieke kromme, AB, is duidelijk zichtbaar.
    *   **Formule**: De functie $f(x) = 4,5 + 28,0 \cdot e^{-0,452x}$ wordt gegeven, gekoppeld aan kromme AB.
    *   **Vraag/Opgave**: Gemarkeerd met "4p" en "3", gevolgd door de instructie om een berekening uit te voeren.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Wentelen van functies/solids of revolution**: Het model van het proefglas wordt gevormd

### Pagina 5

Om $CD$ te tekenen wordt een bergparabool gebruikt met $C$ als top. Een formule
van deze parabool kan worden gevonden door eerst kromme $CD$ te verschuiven
zo dat $C$ terechtkomt op $O(0,0)$. In figuur 3 zijn de kromme $CD$ en de
beeldkromme $OE$ getekend en is ook de verschuiving weergegeven.
Kromme $OE$ is deel van een bergparabool met top $O$ en heeft dus een formule
van de vorm $y = ax^2$, met $a < 0$. Nu kan gebruik gemaakt worden van de
translatie die kromme $OE$ afbeeldt op kromme $CD$. In figuur 3 is ook deze
translatie weergegeven.

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as lopend van 0 tot 20 en de x-as lopend van 0 tot 140. Er is een kromme getekend die start op het punt O(0,0) en eindigt op het punt D(155,0; 23,0). Een ander punt op de kromme is C(87,5; 32,5). Twee stippellijnen verbinden O met C en C met D.]

5p 4 Stel een formule op voor kromme $CD$.

In figuur 4 zijn opnieuw de drie
grafieken en hun spiegelbeelden in
de $x$-as getekend.
Voor het proeven van wijn wordt
een glas bij voorkeur met 50 ml wijn
gevuld. Daarom wil de tekenaar in
figuur 4 het punt aangeven tot waar
het standaard maatglas gevuld
moet worden om 50 ml wijn te
bevatten. Dit punt $P$ ligt op
kromme $BC$.

Kromme $BC$ is de grafiek van de functie $g$ met $g(x) = \sqrt{-x^2 + 175x - 6600}$ op het
domein $[55,3; 87,5]$; hierbij zijn $g(x)$ en $x$ in mm.
In figuur 4 is het vlakdeel $V$ grijs gemaakt dat wordt begrensd door de verticale
lijnen door $B$ en $P$, de $x$-as en kromme $BP$.

Als $V$ wordt gewenteld om de $x$-as, heeft het omwentelingslichaam dus een
inhoud die overeenkomt met 50 ml. Hierbij wordt de dikte van het glas
verwaarloosd.
6p 5 Bereken met behulp van primitiveren de $x$-coördinaat van $P$. Rond je antwoord
af op een geheel getal.

[FIGUUR: Twee grafieken. De bovenste grafiek toont een kromme die start rond het punt (55,3; 4,5) en stijgt naar het punt C(87,5; 32,5) en daarna weer daalt. De x-as loopt van ongeveer 50 tot 100. Er is een gearceerd gebied V aangegeven. De onderste grafiek toont een omgekeerde curve, beginnend rond (55,3; -4,5) en eindigend rond (87,5; -32,5).]

VW-1025-a-12-1-o 5 lees verder

### Pagina 6

Vanuit een parallellogram

Gegeven is een parallellogram $ABCD$. De bissectrice van hoek $ADB$ snijdt het verlengde van $CB$ in het punt $E$. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

Driehoek $BDE$ is gelijkbenig.

3p 6 Bewijs dit.

In figuur 2 is opnieuw een parallellogram $ABCD$ getekend. Nu is ook gegeven dat de lijn door $B$ en $C$ raakt aan de omgeschreven cirkel van driehoek $ADB$. De bissectrice van hoek $ADB$ snijdt het verlengde van $CB$ in $E$ en de cirkel in $F$. Ook hier geldt: driehoek $BDE$ is gelijkbenig. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

4p 7 Bewijs dat $\angle BFD = 2 \cdot \angle BEF$.

[FIGUUR: Figuur 1 toont een parallellogram ABCD met de bissectrice van hoek ADB die het verlengde van CB snijdt in punt E.]

[FIGUUR: Figuur 2 toont een parallellogram ABCD met een omgeschreven cirkel van driehoek ADB. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E en de cirkel in F. Het gebied binnen de cirkel boven AB is gearceerd.]

VW-1025-a-12-1-o 6 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Tussen twee sinusgrafieken

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x) = \sin x$ en $g(x) = \sin(x+\frac{1}{3}\pi)$.
In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en $g$ getekend op het domein $[0, 2\pi]$.
De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar op dit domein bij $x = \frac{1}{3}\pi$ in het punt $A$ en
bij $x = \frac{4}{3}\pi$ in het punt $B$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van twee sinusfuncties f en g op het interval [0, 2pi]. Functie f heeft amplitude 1 en faseverschuiving 0. Functie g heeft amplitude 1 en faseverschuiving pi/3 naar links. De grafieken snijden elkaar op punten A en B.]
$V$ is het vlakdeel dat tussen $A$ en $B$ wordt ingesloten door de grafieken van $f$ en $g$.

4p 8 Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van $V$.

De functie $h$ is gegeven door $h(x) = \frac{1}{2} \cdot (f(x) + g(x))$. In figuur 2 zijn de grafieken van $f$, $g$ en $h$ getekend op het domein $[0, 2\pi]$.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek van drie sinusfuncties f, g en h op het interval [0, 2pi]. Functie h ligt tussen f en g.]

4p 9 Bereken exacte waarden van $a$ en $b$ zo dat $\frac{1}{2} \cdot (f(x) + g(x))$ te herleiden is tot $a \cdot \sin(x + b)$.

VW-1025-a-12-1-o 7 lees verder

### Pagina 8

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina**: Opgave

**2. Visuele elementen**:

*   **Figuur 1: Schematische weergave (Diagram)**
    *   Toont een rechthoek met een breedte van 30 en een hoogte van 20.
    *   Binnen deze rechthoek bevinden zich vierkanten gelabeld A, B en C, en een ongekleurd gebied gelabeld D.
    *   Vierkant A is linksonder geplaatst. De zijde van vierkant A wordt aangeduid met 'x'.
    *   Vierkant B is rechtsonder geplaatst.
    *   Vierkant C is rechtsboven geplaatst.
    *   Vierkant A en B liggen tegen elkaar aan.
    *   Vierkant B en C liggen tegen elkaar aan.
    *   Gebied D is de ruimte die overblijft tussen vierkant A, B, C en de randen van de grote rechthoek. Het is een kleinere rechthoek.
    *   De lengtes en breedtes van de grote rechthoek zijn aangeduid met pijlen en getallen (30 en 20).
    *   De zijde van vierkant A is ook aangeduid met 'x'.

*   **Figuur 2: Numerieke voorstelling (Diagram met waarden)**
    *   Toont een soortgelijke configuratie als Figuur 1, maar nu met concrete getallen voor een specifieke waarde van 'x'.
    *   De lengte van de zijde van vierkant A is hier gespecificeerd als $13\frac{1}{2}$.
    *   De afmetingen van de grote rechthoek zijn 20 en 30.
    *   De oppervlaktes van de verschillende delen worden vermeld:
        *   $133\frac{1}{4}$ (waarschijnlijk vierkant A)
        *   $182\frac{1}{4}$ (waarschijnlijk vierkant B, maar de positie is onduidelijk)
        *   $272\frac{1}{4}$ (Dit nummer correleert niet direct met een vierkant in

### Pagina 9

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave.
    Dit is een pagina met opgaven van een wiskunde-examen of -toets. Dit blijkt uit de genummerde vragen (11, 12), de puntentoekenning (5p) en de algemene lay-out die kenmerkend is voor examenmateriaal (titel, figuur, doorlopende tekst).

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Grafiek/Diagram (figuur)**: Een tweedimensionaal coördinatenstelsel (Oxy-vlak) met daarin:
        *   Een zwarte, doorlopende, golvende lijn die de baan van punt P voorstelt. Deze lijn heeft de vorm van een 'W'.
        *   Twee specifieke punten op deze baan: punt A en punt B. Punt A is waarschijnlijk het startpunt (rechtsboven in de grafiek, met coördinaten (1,1)) en punt B het eindpunt (linksboven, met coördinaten (-1,1)). Beide punten zijn gemarkeerd met een stip en een letter.
        *   De oorsprong O is duidelijk aangegeven.
        *   Een rechte, diagonale lijn die door de oorsprong gaat en stijgt, wat de lijn $y=x$ voorstelt. Deze lijn kruist de "W"-vormige baan van P op meerdere plaatsen.
        *   De assen $(x, y)$ zijn benoemd.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Parametrische functies/bewegingsvergelijkingen**: De beweging van punt P wordt beschreven door parametrische vergelijkingen: $x(t) = \cos(\frac{\pi}{15} \cdot t)$ en $y(t) = \cos(\frac{4\pi}{15} \cdot t)$. Deze geven de positie $(x,y)$ van P als functie van de tijd $t$.
    *   **Trigonometrische functies**: Cosinusfuncties worden gebruikt in de parametrische vergelijkingen.
    *   **Analyse van beweging**: Het traceren van de

### Pagina 10

Versc hoven platen

Op de foto's hieronder zie je een kunstwerk van de Friese kunstenaar
Ids Willemsma bij het voormalige Arbeidsbureau in Heerenveen.

foto 1 foto 2
[FIGUUR: Twee foto's van een kunstwerk bestaande uit ijzeren platen.]

Het kunstwerk bestaat uit een aantal naast elkaar geplaatste ijzeren platen van
gelijke lengte. De voorste plaat op foto 2 staat verticaal op de grond tegen een
muurtje. De stand van de volgende platen is ontstaan door zo'n plaat eerst
verticaal tegen het muurtje te plaatsen en daarna de onderkant over de grond te
verschuiven in de richting loodrecht op het muurtje. De platen steunen steeds op
de bovenkant van het muurtje.

Om te voorkomen dat voorbijgangers zich stoten aan het kunstwerk, willen we
weten hoe ver de bovenkant van een verschoven plaat maximaal in horizontale
richting kan uitsteken.

In deze opgave kijken we naar een model met één plaat met lengte 280 cm die
steeds schuiner tegen een muurtje met hoogte 35 cm komt te staan.
In dit model wordt de plaat voorgesteld door een lijnstuk $PQ$. Zie de figuur op de
volgende bladzijde.
Het punt waar $PQ$ op de bovenrand van het muurtje steunt, noemen we $A$.
We brengen een assenstelsel aan met de $x$-as horizontaal door $P$ en de $y$-as
verticaal door $A$. Langs beide assen nemen we als eenheid 1 cm. De
coördinaten van $A$ zijn dus $(0, 35)$.

VW-1025-a-12-1-o
10
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

In de verticale beginstand van $PQ$ bevindt punt $P$ zich in de oorsprong en is $Q$
het punt $(0, 280)$. Punt $P$ wordt over de x-as naar links geschoven, terwijl lijnstuk
$PQ$ door punt $A$ blijft gaan. In de figuur zijn de beginstand, een tussenstand en
de eindstand van lijnstuk $PQ$ getekend.

[FIGUUR: Links: een assenstelsel met de y-as verticaal en de x-as horizontaal.
Het punt $P$ ligt op de oorsprong $(0,0)$. Het punt $Q$ ligt op de y-as bij 280.
Het lijnstuk $PQ$ is getekend. Een punt $A$ ligt op het lijnstuk $PQ$.
Midden: een assenstelsel met de y-as verticaal en de x-as horizontaal.
Het punt $P$ is naar links verschoven van de oorsprong en ligt nu op $-p$. Het punt $Q$ ligt
op de y-as. Een lijnstuk $PQ$ is getekend. De projectie van $Q$ op de x-as, $Q'$, ligt op
een afstand $q$ van de oorsprong. Er is een hoek van 35 graden aangegeven.
Rechts: een assenstelsel met de y-as verticaal en de x-as horizontaal.
Het punt $P$ is verder naar links verschoven. Het punt $Q$ is verschoven naar de positie
van $A$ in de eerste figuur, dus $Q=A$ op de y-as. De afstand van de oorsprong
tot het punt op de x-as is $280$. De afstand van de oorsprong tot het punt op de y-as is
35. Het lijnstuk $PQ$ is getekend. Een punt $A$ ligt op het lijnstuk.]

De loodrechte projectie van $Q$ op de x-as noemen we $Q'$.
De afstand van $P$ tot de oorsprong noemen we $p$ en de afstand van $Q'$ tot de
oorsprong noemen we $q$. Zie de figuur.

Uitgaande van de getekende tussenstand kan $q$, met behulp van gelijke
verhoudingen in gelijkvormige driehoeken, als volgt worden uitgedrukt in $p$:
$$q = \frac{280p}{\sqrt{p^2 + 1225}} - p$$

4p 13 Toon aan dat deze formule juist is.

Als we $q$ beschouwen als functie van $p$, dan geldt voor de afgeleide:
$$q'(p) = \frac{343000}{(p^2 + 1225)\sqrt{p^2 + 1225}} - 1$$

4p 14 Toon dit aan.

6p 15 Bereken exact het maximum van $q$.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

VW-1025-a-12-1-o 11 lees verder 

### Pagina 12

Evenwijdige lijnen en een rechthoek
Op een cirkel met middelpunt $M$ liggen de punten $A, B, C$ en $D$ zo dat $AC$ een
middellijn is en de lijnstukken $AB$ en $CD$ evenwijdig zijn. Zie figuur 1. Deze
figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Punten A, B, C, D liggen op de cirkel. AC is een middellijn. AB en CD zijn koorden, met pijlen die aangeven dat ze parallel lopen. Er zijn lijnstukken AD en BC getekend.]

4p 16 Bewijs dat vierhoek $ABCD$ een rechthoek is.

Door punt $D$ trekken we de lijn $l$ evenwijdig aan $AC$.
Lijn $l$ snijdt de cirkel behalve in $D$ ook in punt $E$. Lijnstuk $ME$ snijdt $CD$ in punt $S$.
Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Punten A, B, C, D, E liggen op de cirkel. AC is een middellijn. Lijn l gaat door D en E en is evenwijdig aan AC. Lijnstuk ME snijdt CD in punt S. Er zijn lijnstukken AD, BC, CE, EA getekend.]

4p 17 Bewijs dat $\angle CSE = 3 \cdot \angle CDE$.

VW-1025-a-12-1-o 12 einde ■