# Eindexamen Wiskunde B VWO 2011 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2011/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2011
tijdvak 2
woensdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1025-a-11-2-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pyhtagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie
$sin(t+u) = sin t cos u + cos t sin u$
$sin(t-u) = sin t cos u - cos t sin u$
$cos(t+u) = cos t cos u - sin t sin u$
$cos(t-u) = cos t cos u + sin t sin u$
$sin t + sin u = 2 sin \frac{t+u}{2} cos \frac{t-u}{2}$
$sin t - sin u = 2 sin \frac{t-u}{2} cos \frac{t+u}{2}$
$cos t + cos u = 2 cos \frac{t+u}{2} cos \frac{t-u}{2}$
$cos t - cos u = -2 sin \frac{t+u}{2} sin \frac{t-u}{2}$

VW-1025-a-11-2-o
2
lees verder ►►►

### Pagina 3

Een symmetrische gebroken functie

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{2}{1+e^x}$.

3p 1 Bereken exact voor welke waarden van $x$ geldt: $f(x) < \frac{1}{100}$.

$F(x) = 2x - 2\ln(1+e^x)$ is een primitieve van $f(x) = \frac{2}{1+e^x}$.

4p 2 Toon dit aan.

Het vlaktdeel $V$ wordt ingesloten door de grafiek van $f$, de $y$-as, de $x$-as en de lijn $x = \ln 3$.
5p 3 Bereken exact de oppervlakte van $V$ en schrijf je antwoord in de vorm $\ln k$.

Voor elke waarde van $x$ geldt: $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=1$.

5p 4 Toon dit aan.

VW-1025-a-11-2-o 3 lees verder ►►►

### Pagina 4

Gelijke afstanden
Tussen de landen A en B ligt een zee die begrensd is door een cirkelboog en een deel van lijn $g$. Het punt $M$ is het middelpunt van de cirkelboog. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een tweedimensionale weergave van twee landmassa's, A en B, gescheiden door een zee. Land A is een gebied boven een gekromde lijn, en land B is een gebied onder deze lijn. De zee is een sector begrensd door een cirkelboog, waarvan het middelpunt is gemarkeerd als M. Een rechte lijn, aangeduid als g, vormt de andere grens van land A.]
VW-1025-a-11-2-0 4 lees verder ▶▶▶

### Pagina 5

We bekijken de punten in de zee die op gelijke afstand van beide oevers liggen.
In figuur 2 is zo'n punt $L$ getekend: de afstand $LP$ van punt $L$ tot land A is gelijk
aan de afstand $LQ$ van punt $L$ tot land B. Hierin is $P$ de loodrechte projectie van
$L$ op $g$ en is $Q$ het snijpunt van de lijn door $M$ en $L$ met de cirkelboog.

figuur 2
[FIGUUR: Een tweedimensionale weergave van een kustlijn met land A en land B, gescheiden door zee. Een cirkelvormige boog met middelpunt M markeert de kustlijn van land B. Een lijn g snijdt de zee, en een punt L bevindt zich in de zee. P is de loodrechte projectie van L op g. Q is het snijpunt van de lijn LM met de cirkelboog. Een gestippelde lijn k loopt door R, dat de loodrechte projectie is van L op k.]

Om de ligging van punt $L$ te onderzoeken, is in figuur 2 een hulplijn $k$ getekend
evenwijdig aan lijn $g$. De afstand tussen de twee evenwijdige lijnen is gelijk aan
de straal van de cirkelboog met middelpunt $M$.
Punt $R$ is de loodrechte projectie van $L$ op $k$. Dus $L$ ligt op $PR$ en de lengte van
$PR$ is de afstand tussen $g$ en $k$.

Er geldt: $L$ ligt op de middelloodlijn van $MR$.

4p 5 Bewijs dit.

4p 6 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de meetkundige plaats van alle punten in
de zee die op gelijke afstand van beide oevers liggen. Licht je werkwijze toe.

VW-1025-a-11-2-o 5 lees verder ►►►

### Pagina 6

Het ontwerp van een brug

Een gemeente wil in een park een brug over een vijver aanleggen.
De brug moet:
1 minstens 8,00 meter overspannen (de breedte van de vijver),
2 als zijaanzicht de vorm van een sinusoïde hebben (om esthetische redenen),
3 horizontaal aansluiten op beide oevers (de oevers liggen even hoog),
4 een hoogste punt van 1,00 m boven het wateroppervlak hebben (om roeiboten eronderdoor te kunnen laten varen); het water staat 0,20 m onder het niveau van de beide oevers,
5 maximaal een helling $\frac{1}{15}$ hebben (voor mensen in een rolstoel).

In figuur 1 staat een schets van een zijaanzicht van de situatie, waarbij de punten waarin de brug horizontaal aansluit op beide oevers steeds A en B genoemd worden. De tekening is niet op schaal.

figuur 1
[FIGUUR: Een schematische tekening van een brug over water. De brug heeft een gebogen vorm, hoger in het midden en lager aan de uiteinden. A en B markeren de punten waar de brug de oevers raakt. De hoogte van het water onder de brug is ook aangegeven.]

In dit zijaanzicht kiezen we een assenstelsel waarin de $x$-as op de hoogte van beide oevers ligt en de $y$-as door het hoogste punt van de brug gaat. We kiezen zowel op de $x$-as als op de $y$-as de meter als eenheid. Het zijaanzicht kan nu door een vergelijking in $x$ en $y$ beschreven worden.
Een vergelijking van de vorm $y = 0,40(1 + \cos(\frac{2\pi x}{p}))$, met $x$ en $y$ in meters, $p$ positief en $x$ binnen een geschikt interval, voldoet aan de eisen 2, 3 en 4. Hierbij is de dikte van het brugdek verwaarloosd.

2p 7 Afhankelijk van de waarde van $p$ is ook aan eis 1 voldaan. Bepaal voor welke waarden van $p$ aan eis 1 is voldaan.

5p 8 Als aan eis 1 is voldaan, betekent dat nog niet dat is voldaan aan eis 5. Zo is bijvoorbeeld voor $p = 10,00$ wel aan eis 1 voldaan, maar niet aan eis 5. Bepaal voor welke waarden van $p$ aan eis 5 is voldaan.

VW-1025-a-11-2-o 6 lees verder ►►►

### Pagina 7

Men kiest voor het zijaanzicht van de brug de vergelijking met $p = 40,00$.
Deze vergelijking is te schrijven als:
$y = 0,40(1 + \cos(\frac{\pi}{20,00}x))$
De horizontaal gemeten afstand tussen $A$ en $B$ is in dit geval 40,00 meter, zodat aan eis 1 is voldaan. Met de gekozen vergelijking is ook aan de vier andere eisen voldaan.

De lengte van het brugdek blijkt bij deze keuze niet veel groter te zijn dan de horizontaal gemeten afstand tussen $A$ en $B$.
4p 9 Bereken de lengte van het brugdek. Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig.
Het brugdek wordt 3,50 m breed. De uiteinden van de brug wil men ondersteunen door aan beide zijden, over de hele breedte van het brugdek, beton te storten. De betonnen gedeelten (met verticale wanden) beginnen op een afstand van 4,00 meter vanaf de rand van de vijver. In figuur 2 zijn in een schets van een zijaanzicht beide delen van de betonnen ondersteuning met grijs aangegeven. De tekening is niet op schaal.

figuur 2
[FIGUUR: Zijaanzicht van een brug met een gebogen brugdek. Onder het brugdek is een wateroppervlak met de tekst "(8,00 m breed)". Aan weerszijden van het water zijn "oever"s aangegeven, met een horizontale afstand van 4,00 m gemarkeerd vanaf de rand van de oever tot het punt waar de brug op de oever rust. De punten waar de brug rust op de oevers zijn gemarkeerd als A en B.]

5p 10 Bereken hoeveel kubieke meter beton voor de betonnen ondersteuning nodig is.

VW-1025-a-11-2-o 7 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Verticale en horizontale verbindingslijnstukken

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x) = \frac{1}{x}$ en $g(x) = \frac{1}{x^2}$ met $x > 0$.
De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar in het punt $(1, 1)$.

Voor $a > 1$ bekijken we bij $x = a$ het verticale verbindingsstuk tussen de grafieken van $f$ en $g$. Zie figuur 1.
11 Bereken op algebraïsche wijze de exacte waarden van $a$ waarvoor de lengte van het verticale verbindingsstuk $\frac{1}{6}$ is.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt van 0 naar 1 en hoger. De x-as loopt van 0 naar 1 en verder. Twee krommen, f en g, dalen van linksboven naar rechtsonder. Een verticale stippellijn op $x=a$.]

Voor $b > 1$ bekijken we bij $y = b$ het horizontale verbindingsstuk tussen de grafieken van $f$ en $g$. Zie figuur 2.
De x-coördinaten van de eindpunten van dit verbindingsstuk zijn respectievelijk $\frac{1}{b}$ en $\frac{1}{\sqrt{b}}$.
Voor een zekere waarde van $b$ is de lengte van dit lijnsstuk maximaal.

12 Bereken met behulp van differentiëren de maximale lengte van het horizontale verbindingsstuk.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt van 0 naar 1 en hoger. De x-as loopt van 0 naar 1 en verder. Twee krommen, f en g, dalen van linksboven naar rechtsonder. Een horizontale stippellijn op $y=b$. Een dikke horizontale lijnsegment tussen de krommen f en g, dat de lengte van het verbindingsstuk weergeeft.]

VW-1025-a-11-2-o
8
lees verder

### Pagina 9

Het vlakdeel $V$ wordt ingesloten door de grafieken van $f$ en $g$ en de lijn $y = 4$.
Zie figuur 3.
7p 13 Bereken exact de oppervlakte van $V$. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as gelabeld met y en de x-as gelabeld met x. Twee kromme lijnen, f en g, dalen van linksboven naar rechtsonder. Een gearceerd gebied V ligt tussen de twee krommen en onder de horizontale lijn y = 4. De lijn y = 4 is een gestippelde lijn.]
Het midden van een koorde
Gegeven is een cirkel met middelpunt $M$.
Punt $C$ ligt binnen de cirkel. $C$ is niet gelijk aan $M$.
$PQ$ is een koorde door $C$ die niet door $M$ gaat. Het midden van $PQ$ is $S$.
3p 14 Bewijs dat $S$ op de cirkel met middellijn $MC$ ligt.
VW-1025-a-11-2-o 9 lees verder ►►►

### Pagina 10

Kostenfuncties
In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een
hoeveelheid $q$ van een bepaald product:
– de totale kosten $T(q)$.
– de marginale kosten $M(q)$, die benaderd kunnen worden door $T'(q)$.
In deze opgave geldt: $M(q) = T'(q)$
– de gemiddelde kosten $G(q) = \frac{T(q)}{q}$.
Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden
berekend met de formule $T(q) = 0,2 \cdot q^3 - 1,2 \cdot q^2 + 4,2 \cdot q + 1$, met $q$ de
geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en $T(q)$ de totale kosten in
duizenden euro's.
4p 15 Bereken met behulp van differentiëren bij welke producttiehoeveelheid $q$ de
gemiddelde kosten $G(q)$ minimaal zijn.
In het algemeen geldt dat de totale kosten $T(q)$ eerst afnemend stijgend en
vervolgens toenemend stijgend zijn. In figuur 1 is deze situatie weergegeven.
Omdat derdegraadsfuncties $T$ met figuur 1
$T(q) = a \cdot q^3 + b \cdot q^2 + c \cdot q + d$ zich onder
bepaalde voorwaarden voor $a, b, c$ en $d$ op
deze manier gedragen, worden deze vaak
gebruikt om de totale kosten te beschrijven.
Voor een bruikbare derdegraadsfunctie $T$
moet gelden: $a > 0$, $c > 0$ en $d > 0$.
Een voorwaarde voor $b$ kan worden
gevonden door te bedenken dat de
marginale kosten $M(q) = T'(q)$ eerst
afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet
er dus een productiehoeveelheid $q$ zijn
waarbij de marginale kosten $M(q)$ minimaal zijn.
5p 16 Toon aan dat hieruit volgt dat $b < 0$.
VW-1025-a-11-2-o 10 lees verder

### Pagina 11

In figuur 2 is de grafiek van een willekeurige totale kostenfunctie $T$ getekend. De functie $T$ hoeft niet een
derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van $T$ is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken.
Ook zijn in figuur 2 de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie $M$ met $M(q) = T'(q)$ en de gemiddelde
kostenfunctie $G$ met $G(q) = \frac{T(q)}{q}$.
Verder is in figuur 2 aangegeven dat voor $q=q_0$ de gemiddelde kosten $G(q)$ minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: $G'(q_0) = 0$.

Het lijkt of de grafieken van $G$ en $M$ elkaar voor $q=q_0$ snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor $q=q_0$ de marginale kosten $M(q)$ en de gemiddelde kosten $G(q)$ aan elkaar gelijk zijn.
4p 17 Toon op algebraïsche wijze aan dat uit $G'(q_0)=0$ volgt dat deze bewering waar is.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

[FIGUUR: Grafiek met drie krommen labeled T, M en G, en een verticale lijn bij q=q0. De x-as is gelabeld met 0, q0, q en de y-as is leeg.]

VW-1025-a-11-2-o 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 12

Twee snijdende cirkels

Twee cirkels $c_1$ en $c_2$ met middspunten $M$ en $N$ snijden elkaar in de punten $A$ en $B$.
Het verlengde van de straal $MB$ snijdt $c_2$ in het punt $C$ en het verlengde van de straal $NB$ snijdt $c_1$ in het punt $D$.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur

[FIGUUR: Twee cirkels $c_1$ en $c_2$ met middelpunt $M$ en $N$. De cirkels snijden elkaar in punten $A$ en $B$. De straal $MB$ wordt verlengd tot punt $C$ op cirkel $c_2$. De straal $NB$ wordt verlengd tot punt $D$ op cirkel $c_1$.]

4p 18 Bewijs dat de punten $M$, $N$, $C$ en $D$ op één cirkel liggen.

VW-1025-a-11-2-o* 12 einde ■