# Eindexamen Wiskunde B VWO 2011 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2011/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2011
tijdvak 1
woensdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redeneen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-11-1-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr, middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie

$ \sin(t+u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u $
$ \sin(t-u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u $
$ \cos(t+u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u $
$ \cos(t-u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u $

$ \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \sin t - \sin u = 2 \sin \frac{t-u}{2} \cos \frac{t+u}{2} $
$ \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $
$ \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $

VW-1025-a-11-1-0
2
lees verder ►►►

### Pagina 3

Tussen twee grafieken
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \sqrt{1-x}$.
In figuur 1 zijn op het interval $[0, 1]$ de grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ getekend.
De grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ snijden elkaar in het punt $T$.
Op de lijn $y = x$ ligt tussen $O(0,0)$ en $T$ een punt $P(p,p)$.
De lijn $y = p$ snijdt de grafiek van $f$ in het punt $Q$.
[FIGUUR: Figuur 1 toont de grafiek van $f(x) = \sqrt{1-x}$ en de lijn $y=x$ op het interval [0,1]. De lijn $y=x$ snijdt de grafiek van $f$ in punt $T$. Een punt $P$ met coördinaten $(p,p)$ ligt op de lijn $y=x$. Een horizontale lijn door $P$ snijdt de grafiek van $f$ in punt $Q$. Een rechthoek met hoekpunten $(0,0)$, $(p,0)$, $(p,p)$, $(0,p)$ is gedeeltelijk grijs gekleurd.]
De rechthoek waarvan $PQ$ een zijde is en waarvan de tegenoverliggende zijde op de $x$-as ligt, is in figuur 1 voor een waarde van $p$ grijs gemaakt.
De $x$-coördinaat van $Q$ is $1 - p^2$.
3p 1 Toon dit aan.
6p 2 Er is een waarde van $p$ waarvoor de oppervlakte van de rechthoek maximaal is. Bereken exact deze waarde van $p$.
Het gebied $V$ wordt begrensd door de grafiek van $f$, de $y$-as, de lijn $y=x$ en de lijn $x = \frac{1}{2}$.
Zie figuur 2.
6p 3 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat wanneer $V$ om de $x$-as wordt gewenteld.
[FIGUUR: Figuur 2 toont een gebied $V$ begrensd door de grafiek van $f(x)=\sqrt{1-x}$, de $y$-as, de lijn $y=x$ en de lijn $x=\frac{1}{2}$.]
VW-1025-a-11-1-o 3 lees verder

### Pagina 4

Raakcirkels aan een lijn
Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen $k$ en $m$ en een punt $F$, niet op $m$, zo dat de
afstand van $k$ tot $k$ gelijk is aan de afstand van $k$ tot $m$.
We bekijken de cirkels die door $F$ gaan en aan $k$ raken.
In figuur 1 zijn enkele van deze raakcirkels getekend. In elke raakcirkel is de
middellijn vanuit $F$ getekend. Elke middellijn heeft behalve $F$ nog een tweede
eindpunt op de raakcirkel.
De tekening doet vermoeden dat deze eindpunten op een parabool met
brandpunt $F$ en richtlijn $m$ liggen.

figuur 1
[FIGUUR: Een punt F is gegeven. Twee evenwijdige lijnen k en m zijn getekend. Lijn k is de bovenste lijn en lijn m is de onderste lijn. Een gebogen lijn die op een parabool lijkt, is getekend die door F gaat en de lijn k raakt. Lijn m lijkt de richtlijn van de parabool te zijn. Er zijn ook verschillende cirkels getekend die door F gaan en de lijn k raken. De middellijnen van deze cirkels zijn getekend, en eindigen op de lijn m.]
VW-1025-a-11-1-o 4 lees verder ►►►

### Pagina 5

In figuur 2 is een van de raakcirkels getekend met middelpunt $M$, middellijn $FX$ en raakpunt $R$. De loodlijn vanuit $F$ op $k$ en $m$ snijdt $k$ in $G$ en $m$ in $H$, dus $FG = GH$. Lijn $FR$ snijdt $m$ in $S$. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M en een raaklijn k. Lijnstuk FX is een middellijn van de cirkel, met R als raakpunt op lijn k. Een lijnstuk FG staat loodrecht op k en een lijnstuk FH staat loodrecht op m. Lijn m is parallel aan lijn k. Lijn FR snijdt lijn m in S.]
Er geldt: $FR = RS$.
4p 4 Bewijs dit.
Uit $FS = 2 \cdot FR$ en $FX = 2 \cdot FM$ en $\angle XFS = \angle MFR$ volgt de gelijkvormigheid van de driehoeken $FXS$ en $FMR$ (zhz).
Met behulp van deze gelijkvormigheid kan bewezen worden dat $XS$ loodrecht op $m$ staat.
3p 5 Bewijs op deze manier dat $XS$ loodrecht op $m$ staat.
3p 6 Bewijs dat punt $X$ inderdaad ligt op de parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $m$.
VW-1025-a-11-1-o 5 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Extrusie
Op de foto hiernaast zie je enkele
staven met verschillende profielen.
Profielen kunnen gemaakt worden
door middel van extrusie. Bij deze
techniek wordt bijvoorbeeld
verwarmde kunststof door een
opening geperst. De opening
bepaalt de vorm van het
extrusieprofiel. In figuur 1 zie je
een illustratie hiervan.
foto
extrusieprofielen
[FIGUUR: Een verzameling kunststof profielen, sommige rechthoekig, andere cilindrisch.]
figuur 1
[FIGUUR: Twee isometrische weergaven van een mal met een vierkante buitenomtrek. Beide mallen hebben twee ronde gaten en een centrale opening. De linker opening is driehoekig, de rechter opening is een rechthoek met aan de onderkant een halfronde uitsparing.]
De druk die nodig is om het materiaal door de opening te persen, is onder
andere afhankelijk van de grootte en de vorm van de opening. De invloed van de
vorm hangt af van het quotiënt $\frac{P}{\sqrt{A}}$.
Hierin is $P$ de omtrek van de opening (in cm) en $A$ de oppervlakte van de
opening (in cm²).
Zo geldt voor cirkelvormige openingen: $\frac{P}{\sqrt{A}} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\pi r^2}} = 2\sqrt{\pi} \approx 3,5$.
We vergelijken twee openingen die gelijkvormig zijn. Zie bijvoorbeeld figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Twee isometrische weergaven van een onregelmatige veelhoekige opening in een groter vlak. Beide openingen hebben ongeveer dezelfde vorm, waarbij de ene opening groter is dan de andere.]
Van de grote opening zijn de breedte en de hoogte $k$ keer zo groot als de
breedte en de hoogte van de kleine opening.
3p 7 Toon aan dat het quotiënt $\frac{P}{\sqrt{A}}$ voor de grote opening even groot is als voor de
kleine opening.
VW-1025-a-11-1-o
6
lees verder ►►►

### Pagina 7

In figuur 3 is een opening getekend
waarvan één rand recht is en de
andere rand de vorm van een
parabool heeft. De rechte rand is
4 cm lang. De top van de parabool
bevindt zich 3 cm boven het
midden van de rechte rand.
We nemen een assenstelsel met
de x-as langs de rechte rand en de
y-as door de top van de parabool.
De parabolische rand wordt dan
beschreven door de vergelijking
$y = 3 - \frac{3}{4}x^2$, met x en y in cm.

[FIGUUR: Een grafiek van een parabool in een assenstelsel. De parabool opent naar beneden en de top ligt op de y-as. De x-as heeft de markeringen 4 links en rechts. De y-as heeft de markering 3. Een dubbele pijl geeft de lengte van 3 aan langs de y-as.]

figuur 3

8p 8 Bereken de waarde van het quotiënt $\frac{P}{\sqrt{A}}$ voor de opening in figuur 3. Rond je
antwoord af op één decimaal.

We vergelijken rechthoekige openingen van x bij 1 cm. In figuur 4 staan drie
voorbeelden.

figuur 4

[FIGUUR: Drie rechthoekige openingen binnen een grotere grijze rechthoek. De openingen zijn verticaal uitgelijnd. De linker opening is breed en kort. De middelste opening is smaller en langer. De rechter opening is smal en nog langer. Bij de middelste en rechter opening is de zijde gemarkeerd met 1.]

In figuur 5 is van dergelijke rechthoekige openingen de waarde van het quotiënt
$\frac{P}{\sqrt{A}}$ uitgezet tegen x.

figuur 5

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as gemarkeerd als $\frac{P}{\sqrt{A}}$ en de x-as gemarkeerd als x. De grafiek begint hoog op de y-as bij x nabij 0 en daalt vervolgens naar een plateau.]

9 5p De grafiek in figuur 5 heeft één top.
Bereken langs algebraïsche weg de x-coördinaat van deze top.

VW-1025-a-11-1-o 7 lees verder >>>


### Pagina 8

De formule van Gompertz

Verzekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen maken bij het berekenen van
de premies en uitkeringen een schatting van de levensverwachting van
verzekerden. Daarbij wordt vaak een formule gebruikt waarvan de vorm
gebaseerd is op de resultaten van een onderzoek uit 1825 van de
verzekeringswiskundige Benjamin Gompertz (1779 - 1865).

Voor een levensverzekering die op een leeftijd van 40 jaar afgesloten wordt,
hanteerde een verzekeringsmaatschappij in de 19e eeuw de volgende formule
van Gompertz om het percentage nog levende verzekerden met een bepaalde
leeftijd te schatten:
$P(t)=119 \cdot e^{-0,0161 \cdot e^{0,0595t}}$

Hierin is $t \ge 40$ en geeft $P(t)$ aan welk percentage van de mensen die zo'n
verzekering afsloten minstens $t$ jaar oud wordt.

4p 10 Bereken hoeveel jaar na het afsluiten van de levensverzekering volgens deze
formule de helft van de polishouders is overleden.

3p 11 De gegeven formule is ook te schrijven in de vorm $P(t)=100 \cdot e^{m-0,0161 \cdot e^{0,0595t}}$.
Bereken langs algebraïsche weg de waarde van $m$. Rond je antwoord af op twee
decimalen.

De algemene formule van Gompertz heeft de vorm $P(t)=a \cdot e^{-b \cdot e^{kt}}$, met
positieve waarden van $a, b$ en $k$.

Een eigenschap van deze algemene formule is:
$$ \frac{P'(t)}{P(t)} = c \cdot e^{kt} $$
4p 12 Hierin hangt de waarde van $c$ af van de waarden van $b$ en $k$.
Druk $c$ uit in $b$ en $k$.

VW-1025-a-11-1-o 8 lees verder ►►►

### Pagina 9

Goniometrische functies

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \sin x + \sin(2x)$ op het domein $[0, \pi]$.
In figuur 1 is de grafiek van $f$ getekend. Deze grafiek snijdt de $x$-as tussen $O(0,0)$ en $A(\pi, 0)$ in het punt $B$.
4p 13 Bereken exact de $x$-coördinaat van punt $B$.

Voor elke positieve waarde van $a$ is de functie $f_a$ gegeven door $f_a(x) = \sin x + a \cdot \sin(2x)$ op het domein $[0, \pi]$.
In figuur 2 is voor enkele waarden van $a$ de grafiek van $f_a$ getekend.

Voor een bepaalde waarde van $a$ heeft de grafiek van $f_a$ twee toppen en is de $x$-coördinaat van een van deze toppen $\frac{5}{6}\pi$.
5p 14 Bereken in twee decimalen nauwkeurig de $x$-coördinaat van de andere top bij deze waarde van $a$.

Voor elke waarde van $a$ waarvoor geldt $0 < a < \frac{1}{2}$ ligt de grafiek van $f_a$ tussen $(0,0)$ en $(\pi, 0)$ geheel boven de $x$-as. In figuur 3 is een dergelijke grafiek getekend.
5p 15 Toon aan dat de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van $f_a$ en de $x$-as, onafhankelijk is van $a$.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met y-as van 0 tot 2 en x-as van 0 tot pi. De grafiek start in (0,0), stijgt naar een maximum en daalt vervolgens om de x-as te snijden in een punt B, waarna de grafiek verder daalt onder de x-as en weer stijgt naar (pi,0). Er is een punt B aangegeven op de x-as tussen 0 en pi.]

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met y-as van 0 tot 2 en x-as van 0 tot pi. Er zijn drie grafieken getekend die allemaal starten in (0,0) en eindigen in (pi,0). De grafieken stijgen naar een maximum en dalen vervolgens. De drie grafieken hebben verschillende krommingen.]

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met y-as van 0 tot 2 en x-as van 0 tot pi. De grafiek start in (0,0), stijgt naar een maximum en daalt vervolgens om de x-as te snijden in (pi,0). De grafiek blijft de gehele tijd boven de x-as.]

VW-1025-a-11-1-o 9 lees verder ►►►

### Pagina 10

Cirkels bij een driehoek

Gegeven is een driehoek $ABC$, met punt $D$ op zijde $BC$. In figuur 1 is deze
driehoek getekend met zijn omgeschreven cirkel. Figuur 1 staat ook op de
uitwerkbijlage.

figuur 1
[FIGUUR: Een driehoek ABC met een omgeschreven cirkel. D is een punt op BC.]

De cirkel door $D$ die de lijn $AB$ raakt in $A$, snijdt de omgeschreven cirkel van
driehoek $ABC$ behalve in $A$ ook in punt $E$.
3p 16 Teken op de uitwerkbijlage punt $E$. Licht je werkwijze toe.

De cirkel door $D$ die de lijn $AB$ raakt in $B$ en de cirkel door $D$ die de lijn $AC$ raakt
in $C$, hebben koorde $DF$ gemeenschappelijk. Zie figuur 2.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 2
[FIGUUR: Twee cirkels die elkaar snijden in D en F. Een driehoek ABC waarbij AB raakt aan een cirkel in B en AC raakt aan een andere cirkel in C. A is ook een punt van de eerste cirkel en B van de tweede cirkel.]

4p 17 Bewijs dat vierhoek $ABFC$ een koordenvierhoek is.

VW-1025-a-11-1-o 10 lees verder ►►►

### Pagina 11

Vierkant bij een derdegraadskromme

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = bx - \frac{1}{3}x^3$ met $b > 0$.
De grafiek van $f$ snijdt de positieve $x$-as in $A$. $T$ is de top van de grafiek van $f$ die ligt tussen de $y$-as en de verticale lijn door $A$. De $x$-as, de verticale lijn door $A$, de horizontale lijn door $T$ en de $y$-as sluiten de rechthoek $OABC$ in. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is O. De grafiek is een kromme die begint bij de oorsprong, stijgt tot een top T, en daalt daarna. De top T heeft een y-coördinaat die correspondeert met een punt C op de y-as. Een horizontale lijn loopt van T naar een punt B op de verticale lijn door A. Een verticale lijn loopt van B naar A op de x-as. De punten O, A, B, C vormen de hoekpunten van een rechthoek.]

8p 18 Bereken exact de waarde van $b$ waarvoor rechthoek $OABC$ een vierkant is.

VW-1025-a-11-1-o* 11 einde ■