# Eindexamen Wiskunde B VWO 2010 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2010/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2010
tijd vak 2
woensdag 23 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-10-2-0

### Pagina 2

Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand
punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZZZ,
ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices
driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek,
zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek,
rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve
gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek,
omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
sin($t+u$) = sin $t$ cos $u$ + cos $t$ sin $u$
sin($t-u$) = sin $t$ cos $u$ - cos $t$ sin $u$
cos($t+u$) = cos $t$ cos $u$ - sin $t$ sin $u$
cos($t-u$) = cos $t$ cos $u$ + sin $t$ sin $u$
sin $t$ + sin $u$ = $2$ sin $\frac{t+u}{2}$ cos $\frac{t-u}{2}$
sin $t$ - sin $u$ = $2$ sin $\frac{t-u}{2}$ cos $\frac{t+u}{2}$
cos $t$ + cos $u$ = $2$ cos $\frac{t+u}{2}$ cos $\frac{t-u}{2}$
cos $t$ - cos $u$ = $-2$ sin $\frac{t+u}{2}$ sin $\frac{t-u}{2}$
VW-1025-a-10-2-o
2
lees verder ►►►

### Pagina 3

Snijden met een hoogtelijn

Op een cirkel kiezen we drie vaste punten $A$, $B$ en $C$, waarbij lijnstuk $AB$ geen
middellijn is en punt $C$ op de kortste cirkelboog $AB$ ligt.
Een punt $P$ doorloopt dat deel van de langste cirkelboog $AB$ waarvoor driehoek
$ABP$ niet stomphoekig is.
De hoogtelijn $BQ$ van driehoek $ABP$ snijdt de koorde $CP$ in punt $R$.
In figuur 1 is een mogelijke positie van $P$ getekend met de bijbehorende punten
$Q$ en $R$. Deze figuur staat ook twee maal op de uitwerkbijlage.

figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met punten A, B, C en P op de omtrek. Lijnstuk AB is een koorde. Vanuit P is een loodlijn BQ getrokken naar AB, met Q op AB. De lijn CP snijdt BQ in punt R. A, B, C, P en Q liggen op de cirkel.]

Bij de beweging van $P$ over het hierboven beschreven deel van de cirkelboog
$AB$ verandert de grootte van hoek $BRC$ niet.

4p 1 Bewijs dit.

De baan van $R$ die hoort bij de hierboven beschreven beweging van $P$, kan
getekend worden met behulp van de onder figuur 1 genoemde eigenschap.
5p 2 Teken op deze manier in de figuur op de uitwerkbijlage de baan van $R$. Geef de
randpunten van de baan, waarbij driehoek $ABP$ rechthoekig is, duidelijk aan.
Licht je werkwijze toe.

VW-1025-a-10-2-o 3 lees verder >>>

### Pagina 4

De leercurve
Het aanleren van een nieuwe handeling kost tijd. Als je een handeling vaker
uitvoert, wordt de voor deze handeling benodigde tijd meestal steeds korter.
T.P. Wright stelde voor dit leerproces de volgende formule op: $T_n = T_1 \cdot n^{-a}$.
Hierin is:
$T_n$ het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de $n$-de keer wordt
uitgevoerd,
$T_1$ het aantal seconden dat nodig is als de handeling voor de eerste keer wordt
uitgevoerd en
$a$ een positieve constante die afhangt van de snelheid van het leerproces.

Volgens de formule van Wright leidt een verdubbeling van het aantal keer
uitvoeren van een zelfde handeling tot een daling van de hoeveelheid benodigde
tijd (en dus kosten) van de laatste keer met een vast percentage.
Men spreekt van een P%-leercuve als bij verdubbeling van het aantal keer
uitvoeren van $n$ naar $2n$ de laatste keer nog maar P% kost van de tijd bij de $n$-de
keer. Ofwel: $\frac{T_{2n}}{T_n} = \frac{P}{100}$.

4p 3 Bereken de waarde van $a$ in de formule van Wright bij een 85%-leercuve. Rond
je antwoord af op twee decimalen.

In een bepaald bedrijf voeren mensen een handeling aan de lopende band uit.
Deze handeling wordt niet door iedereen op dezelfde manier aangeleerd. In de
praktijk komt men onder andere de volgende twee soorten mensen tegen:
- snelle starters: deze mensen kunnen de handeling de eerste keer al snel
uitvoeren, maar het lukt hen daarna niet om dit snel te verbeteren,
- snelle leerders: de eerste keer duurt bij deze mensen wat langer, maar zij
zijn in staat snel vooruitgang te boeken.

Voor beide soorten hanteert het bedrijf een formule van Wright:
- snelle starters: $T_n = 20 \cdot n^{-0,152}$,
- snelle leerders: $T_n = 40 \cdot n^{-0,328}$.

4p 4 Bereken bij de hoeveelste keer uitvoeren een snelle leerder de handeling voor
het eerst sneller uitvoert dan een snelle starter.

VW-1025-a-10-2-o 4 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Men wil weten hoe lang een snelle starter bij de eerste 100 handelingen
gemiddeld over een handeling doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de
som $T_1 + T_2 + T_3 + \dots + T_{100}$, uitgerekend worden. Deze som is gelijk aan de totale
oppervlakte van 100 rechthoeken met breedte 1 en hoogtes $T_1, T_2, T_3, \dots, T_{100}$.
In figuur 1 is een aantal van deze rechthoeken getekend voor een snelle starter.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as lopend van 0 tot 20 en de x-as lopend van 0 tot 21. De grafiek toont een curve met daaronder rechthoeken van breedte 1, beginnend bij x=0 tot en met x=21. De curve is getekend vanaf de bovenkant van de rechthoeken.]

4p 5
De oppervlakte van de 100 rechthoeken kan goed benaderd worden met een
oppervlakte onder de grafiek van de functie $T$ die gegeven is door
$T(x) = 20 \cdot x^{-0,152}$.
Bereken deze oppervlakte onder de grafiek van $T$ met behulp van primitiveren
en bepaal hiermee hoe lang een snelle starter bij de eerste 100 handelingen
gemiddeld over een handeling doet. Rond deze tijdsduur af op een geheel
aantal seconden.
VW-1025-a-10-2-o
5
lees verder ►►►

### Pagina 6

Een exponentiële functie

In figuur 1 is voor $x \ge 0$ de grafiek getekend van de functie $f$ die gegeven is door
$$f(x) = \frac{8x}{\mathrm{e}^x}.$$
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van de functie f(x) = 8x/e^x voor x>=0, met een punt A op de grafiek, de y-as, de x-as, en markeringen op de y-as bij 1 en op de x-as bij 1.]

4p 6 Deze grafiek heeft één top, die we $A$ noemen. Bereken exact de $x$-coördinaat van $A$.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek van de functie f(x) = 8x/e^x, met een gearceerd vierkant met zijde 1, waarvan één hoekpunt op de x-as en de tegenoverliggende hoekpunt op de grafiek ligt.]

4p 7 Zoals je in figuur 2 ziet, past een vierkant met zijde 1 waarvan één zijde op de $x$-as ligt, ruimschoots in het gebied tussen de grafiek van $f$ en de $x$-as. Onderzoek met een berekening of een vierkant met zijde 2 waarvan één zijde op de $x$-as ligt, ook nog in dit gebied past.

VW-1025-a-10-2-o 6 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

We bekijken nu voor positieve waarden van n met n ̸= 1 de functie gn die is
gegeven door
$g_n(x) = \frac{8nx}{e^{nx}}$
.
De grafieken van gn snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor
elke positieve waarde van n met n ̸= 1 nog een ander snijpunt.
In tabel 1 staat voor enkele waarden van n de x-coördinaat van dit andere
snijpunt.

tabel 1
| n | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| xsnijpunt | $\frac{1}{2}$ln 2 | $\frac{1}{3}$ln 3 | $\frac{1}{4}$ln 4 | $\frac{1}{5}$ln 5 |

Voor de vier waarden van n uit de tabel geldt:
$x_{snijpunt} = \frac{1}{n-1}\ln n$.
Hieruit ontstaat het vermoeden dat deze formule voor $x_{snijpunt}$ klopt voor elke
positieve waarde van n met n ̸= 1.
8 Toon aan dat dit vermoeden juist is.

figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. Twee curves zijn getekend. De ene curve ($g_3$) bereikt een piek bij ongeveer x=0.33 en hoogte y=1.5. De andere curve ($f$) start bij y=1 en daalt langzaam. Het gebied tussen de twee curves, vanaf x=0 tot ongeveer x=1.5, is grijs gekleurd. De y-as heeft markeringen bij 0 en 1. De x-as heeft markeringen bij 0 en 1.]

In figuur 3 zijn de grafieken getekend van f en de functie g3, gegeven door
$g_3(x) = \frac{24x}{e^{3x}}$. De grafieken van f en g3 sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in
9 figuur 3 grijs gemaakt.
Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel.

### Pagina 8

Wortelfuncties
Voor $n=1,2,3,\dots$ is de functie $f_n$ gegeven door $f_n(x)=n+6\sqrt{x-n}$. De functie $f_{12}$ is dus gegeven door $f_{12}(x)=12+6\sqrt{x-12}$. In figuur 1 is de grafiek van $f_{12}$ getekend en de lijn met vergelijking $y=x$.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van de functie $f_{12}(x) = 12 + 6\sqrt{x-12}$ en de lijn $y=x$ in een assenstelsel, met de y-as oplopend van 0 tot 50 en de x-as oplopend van 0 tot 50.]

8p 10 Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de lijn met vergelijking $y=x$ en de grafiek van $f_{12}$.

6p 11 Verder is gegeven de lijn $k$ met vergelijking $y=x+9$. Bewijs dat voor elke waarde van $n$ de grafiek van $f_n$ de lijn $k$ raakt in het punt met x-coördinaat $n+9$.

VW-1025-a-10-2-o 8 lees verder ►►►

### Pagina 9

Zoek de geodriehoek
Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen $k$ en $m$ en een punt $A$ ertussenin. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Twee parallelle lijnen $k$ en $m$ met daartussen een punt $A$.]

In deze opgave bekijken we hoe je op elk van de twee gegeven lijnen een punt kunt tekenen zo dat deze punten samen met punt $A$ de hoekpunten zijn van een geodriehoek. Een geodriehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. We bekijken de situatie waarbij de hoek waarvan $A$ het hoekpunt is, recht is.

Om te begrijpen hoe we die situatie kunnen tekenen, bekijken we figuur 2. Hierin is een geodriehoek $PQR$ getekend, waarbij hoek $P$ recht is en de punten $Q$ en $R$ respectievelijk op de (evenwijdige) lijnen $k$ en $m$ liggen. De loodlijn door $P$ op $k$ en $m$ snijdt $k$ in punt $S$ en $m$ in punt $T$.
Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
[FIGUUR: Een geodriehoek $PQR$ met de punten $Q$ en $R$ op de parallelle lijnen $k$ en $m$. Punt $P$ is het hoekpunt van de rechte hoek. De loodlijnen vanuit $P$ snijden $k$ in $S$ en $m$ in $T$. Er zijn gelijke streepjes op de zijden $PS$ en $PT$, en op de zijden $QS$ en $RT$.]

Er geldt: driehoek $PQS$ is congruent met driehoek $RPT$.

12 4p Bewijs dit.
13 3p In de figuur op de uitwerkbijlage zijn twee evenwijdige lijnen $k$ en $m$ getekend met een punt $A$ ertussenin. Teken in deze figuur met behulp van wat hierboven over figuur 2 gezegd is een geodriehoek waarvan op elk van deze lijnen $k$ en $m$ een hoekpunt ligt en waarvan $A$ het hoekpunt van de rechte hoek is. Licht je werkwijze toe.

VW-1025-a-10-2-o 9 lees verder

### Pagina 10

Gebroken functie

Voor elke positieve waarde van $a$ is de functie $f_a$ gegeven door

$f_a(x) = ax + \frac{1}{x}$ met $x > 0$

In figuur 1 is voor enkele waarden van $a$ de grafiek van $f_a$ getekend.

figuur 1

[FIGUUR: Grafiek met de y-as van 0 tot 5 en de x-as van 0 tot 5. Er zijn vier functies getekend. Eén functie is een gestippelde lijn, de andere drie zijn doorlopende lijnen. Alle functies lijken op hyperbolen met een minimum.]

De grafiek van $f_a$ heeft voor elke positieve waarde van $a$ een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking $xy = c$ voor een zekere waarde van $c$. Deze hyperbool is in figuur 1 gestippeld weergegeven.

5p 14 Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking $xy = c$ liggen en bereken de waarde van $c$.

VW-1025-a-10-2-o 10 lees verder ►►►

### Pagina 11

Rechthoeken bij een kwartcirkel
In een rechthoekig assenstelsel $Oxy$ bekijken we het deel van de eenheidscirkel
dat in het eerste kwadrant ligt. Het snijpunt met de $x$-as is $A(1,0)$.
Op de kwartcirkel ligt een willekeurig punt $B(\cos t, \sin t)$ met $\angle AOB = t$ rad en
$0 < t < \frac{1}{2}\pi$.
Punt $R$ is de loodrechte projectie van $B$ op de $x$-as.
We maken nu twee rechthoeken:

I. Een rechthoek $ONPQ$, waarbij $N$
het midden van $AR$ is en $P$ en $Q$ op
dezelfde hoogte als $B$ liggen.
$OQ = \sin t$ en $ON = \frac{1}{2}(1 + \cos t)$.
Zie figuur 1.
De oppervlakte van deze
rechthoek noemen we $V(t)$.

II. Een rechthoek $ATSR$, waarbij $S$
het midden van $BR$ is.
$RS = \sin t$ en $RA = 1 - \cos t$.
Zie figuur 2.
De oppervlakte van deze
rechthoek noemen we $W(t)$.

[FIGUUR: figuur 1, een kwartcirkel in het eerste kwadrant met punt O op de oorsprong, punt A op (1,0) op de x-as, punt B op de cirkel, en een rechthoek ONPQ met P en Q op de zelfde hoogte als B, en N op de x-as.]

figuur 1

[FIGUUR: figuur 2, een kwartcirkel in het eerste kwadrant met punt O op de oorsprong, punt A op (1,0) op de x-as, punt B op de cirkel, en een rechthoek ATSR met R op de x-as en S op BR.]

figuur 2

5p 15 Bereken exact de waarde van $t$ waarvoor $V(t) = 3 \cdot W(t)$.

De bovengenoemde rechthoeken zijn gelijkvormig als de verhouding van de
zijden van de ene rechthoek gelijk is aan de verhouding van de zijden van de
andere rechthoek.
Hiervoor zijn twee mogelijkheden: $\frac{ON}{OQ} = \frac{RS}{RA}$ of $\frac{ON}{OQ} = \frac{RA}{RS}$.

4p 16 Toon aan dat voor elke waarde van $t$ met $0 < t < \frac{1}{2}\pi$ geldt:
$\frac{ON}{OQ} = \frac{RS}{RA}$.

Er is een waarde van $t$ (met $0 < t < \frac{1}{2}\pi$) waarvoor geldt dat $\frac{ON}{OQ} = \frac{RA}{RS}$.
7p 17 Voor deze waarde van $t$ zijn beide rechthoeken vierkant.
Bereken van beide vierkanten exact de zijde voor deze waarde van $t$.

VW-1025-a-10-2-o*
11
einde