# Eindexamen Wiskunde B VWO 2010 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2010/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2010
tijdvak 1
dinsdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-10-1-o

### Pagina 2

Formules

Vlakke meetkunde

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:
middelloòdlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.

Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloödlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Py-thagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.

Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.

Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek.

Goniometrie

$$ \sin(t+u) = \sin t \cos u + \cos t \sin u $$
$$ \sin(t-u) = \sin t \cos u - \cos t \sin u $$
$$ \cos(t+u) = \cos t \cos u - \sin t \sin u $$
$$ \cos(t-u) = \cos t \cos u + \sin t \sin u $$

$$ \sin t + \sin u = 2 \sin \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \sin t - \sin u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $$
$$ \cos t + \cos u = 2 \cos \frac{t+u}{2} \cos \frac{t-u}{2} $$
$$ \cos t - \cos u = -2 \sin \frac{t+u}{2} \sin \frac{t-u}{2} $$

VW-1025-a-10-1-o
2
lees verder ►►►


### Pagina 3

Gelijke oppervlakten
De parabool met vergelijking $y = 4x - x^2$ en de x-as sluiten een vlakdeel $V$ in. De lijn $y = ax$ (met $0 \le a < 4$) snijdt de parabool in de oorsprong $O$ en in punt $A$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as lopend van -1 tot 4 en de x-as lopend van -1 tot 4. Een parabool met top bij (2,4) snijdt de x-as bij x=0 en x=4. Een rechte lijn door de oorsprong snijdt de parabool in het eerste kwadrant bij punt A. Het gebied tussen de parabool en de x-as is gearceerd.]

$A$ heeft de coördinaten $(4-a, 4a - a^2)$.

4p 1 Toon dit aan.

6p 2 Toon dit aan.

5p 3 Bereken exact voor welke waarde van $a$ de lijn $y = ax$ het gebied $V$ verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.

VW-1025-a-10-1-o 3 lees verder ►►►

### Pagina 4

Onderzetter

Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren.
Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. Zie de foto.

foto
[FIGUUR: Een deel van een metalen schuifonderzetter met ruitvormige openingen.]

In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte
van de staven verwaarloosd.
Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we $P$, het scharnierpunt
linksboven noemen we $Q$ en het midden van de middelste ruit noemen we $O$. De
grootte van de binnenhoek bij $P$ in radialen noemen we $\alpha$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een geometrische weergave van een deel van de onderzetter met de punten P, Q, O en de hoek $\alpha$ aangeduid.]

We kiezen lengte $l$ voor de zijde van een ruit.
De lengte $l$ en de breedte $b$ van het model zijn functies van $\alpha$, waarbij $0 \leq \alpha \leq \pi$.

Er geldt: $l=10\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ en $b=6\sin(\frac{1}{2}\alpha)$.

3p 4 Toon aan dat de formules voor $l$ en $b$ juist zijn.

4p 5 Bereken exact de waarde van $b$ als $l=8$.

VW-1025-a-10-1-o
4
lees verder

### Pagina 5

5p 6 Als we $\alpha$ van 0 tot $\pi$ laten toenemen, zal $b$ toenemen en $l$ afnemen.
Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van $\alpha$ de breedte $b$
even snel toeneemt als de lengte $l$ afneemt. Rond je antwoord af op twee
decimalen.

Er geldt: $OQ = \sqrt{4+5 \sin^2(\frac{1}{2}\alpha)}$

5p 7 Toon aan dat de formule voor $OQ$ juist is.

Het model van de onderzetter kan zodanig geschar-nierd worden dat zes van de
acht buitenste scharnierpunten op een cirkel met middelpunt O liggen.
Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met daarin een rooster van ruiten. Twee scharnierpunten op de cirkel zijn gelabeld met P en Q. Een hoek bij punt P is gelabeld met $\alpha$. Het middelpunt van de cirkel is gelabeld met O.]

4p 8 Bereken voor welke waarde van $\alpha$ dit het geval is. Rond je antwoord af op twee
decimalen.

VW-1025-a-10-1-o 5 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Aan een cirkel rakende rechthoeken

Gegeven is een cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal 3 cm. Op $c$ ligt een vast punt $A$. Deze cirkel met punt $A$ staat op de uitwerkbijlage.

We bekijken rechthoeken met hoekpunten $A, B, C$ en $D$ waarvan $A$ en $D$ op $c$ liggen en waarvan zijde $BC$ cirkel $c$ raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden $E$ van $BC$. In figuur 1 is zo'n rechthoek getekend.

figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. Een rechthoek ABCD is getekend, waarbij A en D op de cirkel liggen. De zijde BC raakt de cirkel in punt E, het midden van BC. De cirkel is gelabeld met c.]

Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden $BC$ en $AD$ 4 cm lang zijn.

4p 9 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage alle mogelijke punten $E$ waarbij aan bovenstaande eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.

VW-1025-a-10-1-o 6 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten $A$, $B$, $C$ en $D$ waarvan $A$ en $D$ op
$c$ liggen en waarvan zijde $BC$ raakt aan $c$, wordt de parabool $p$ getekend met
brandpunt $M$ en richtlijn van de lijn $BC$.
Het midden van ($CD$) noemen we $N$. Zie figuur 2.

figuur 2

[FIGUUR: Een cirkelboog $c$ gaat door punten $D$ en $A$. Een punt $C$ ligt op de cirkelboog. Een lijnstuk $BC$ raakt de cirkelboog in $C$. Een punt $E$ ligt op het lijnstuk $BC$ zodanig dat $CE$ en $EB$ gemarkeerd zijn met dubbele streepjes. Een lijnstuk $AB$ is getekend. Een punt $B$ ligt buiten de cirkelboog. Lijnstuk $CD$ is getekend. Een lijnstuk $DN$ is getekend, met $N$ gemarkeerd als een stip en gemarkeerd met dubbele streepjes. Een punt $M$ ligt op het lijnstuk $DN$. Een lijnstuk $AD$ is een koorde. Een parabool $p$ is getekend, met een brandpunt $M$. Een lijn $BC$ is de richtlijn van de parabool $p$.]

Wanneer we $D$ over $c$ bewegen, komt er een situatie waarbij $N$ op $p$ ligt. Zie
figuur 3. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 3

[FIGUUR: Een cirkelboog $c$ gaat door punten $D$ en $A$. Een punt $C$ ligt op de cirkelboog. Een lijnstuk $BC$ raakt de cirkelboog in $C$. Een punt $E$ ligt op het lijnstuk $BC$ zodanig dat $CE$ en $EB$ gemarkeerd zijn met dubbele streepjes. Een lijnstuk $AB$ is getekend. Een punt $B$ ligt buiten de cirkelboog. Lijnstuk $CD$ is getekend. Een lijnstuk $DN$ is getekend, met $N$ gemarkeerd als een stip en gemarkeerd met dubbele streepjes. Een punt $M$ ligt op het lijnstuk $DN$. Een lijnstuk $AD$ is een koorde. Een parabool $p$ is getekend, met een brandpunt $M$. Een lijn $BC$ is de richtlijn van de parabool $p$. In dit specifieke geval ligt punt $N$ op de parabool $p$.]

In dat geval geldt: $\angle CMD = 90^\circ$
10 5p Bewijs dit.

VW-1025-a-10-1-o 7 lees verder ►►►

### Pagina 8

Condensatoren

Een condensator is een elektrische component waarin je elektrische lading kunt
opslaan.
lemand heeft een elektrisch circuit met één condensator gemaakt waarin geldt:
als de lege condensator wordt opgeladen, neemt de condensatorspanning toe
van 0 tot een limietspanning volgens de formule
$$U = 12 \cdot (1 - e^{-\frac{t}{2000C}})$$
Hierin is: $U$ de condensatorspanning in volt,
$t$ de oplaadtijd in seconden en
$C$ de capaciteit van de condensator in farad.

Een condensator met een capaciteit van 0,01 farad wordt in dit circuit
opgeladen. Voor deze condensator in dit circuit geldt dus:
$$U = 12 \cdot (1 - e^{-\frac{t}{20}})$$
In figuur 1 is de grafiek van deze $U$ als functie van $t$ getekend.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as U (spanning) en op de x-as t (tijd). De curve begint bij de oorsprong en loopt omhoog naar een limietspanning. De limietspanning is aangegeven met een horizontale stippellijn boven de curve. De schaal op de y-as loopt van 0 tot 10, en op de x-as van 0 tot 70.]

3p 11 Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde)
de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad toeneemt
op tijdstip $t = 0$.

6p 12 Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een
capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.
Rond je antwoord af op hele seconden.

VW-1025-a-10-1-o 8 lees verder ►►►


### Pagina 9

Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste
capaciteit. Om een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren
in serie schakelen. Een serieschakeling van $n$ condensatoren met capaciteiten
$C_1$, ..., $C_n$ heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit $C_s$,
waarbij $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$.
Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een
capaciteit van 0,01 farad dezelfde werking als één condensator met een
capaciteit van 0,005 farad.

We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 10 seconden een
condensatorspanning van minstens 10 volt verkrijgen. We beschikken over een
groot aantal lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,01 farad.
6p 13 Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld
moeten worden om het gestelde doel te bereiken.

VW-1025-a-10-1-o 9 lees verder ►►►

### Pagina 10

Een rechthoek in stukken

De punten $A(1,1)$ en $B(3, \frac{1}{3})$ liggen op de grafiek van $y = \frac{1}{x}$.
We bekijken de rechthoek waarvan $A$ en $B$ hoekpunten zijn en waarvan twee
zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn
aan de y-as).
Een punt $P(p, \frac{1}{p})$ ligt op de grafiek van $y = \frac{1}{x}$, tussen $A$ en $B$. De horizontale en
de verticale lijn door $P$ verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken.
In figuur 1 zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.

[FIGUUR: Grafiek van $y=\frac{1}{x}$ met de punten $A(1,1)$ en $B(3, \frac{1}{3})$. Een punt $P(p, \frac{1}{p})$ is op de curve getekend. De y-as en x-as zijn getekend. De horizontale en verticale lijnen door P snijden de assen en de rechthoek die door A en B wordt gedefinieerd. Twee rechthoekige stukken zijn grijs gearceerd: het stuk rechtsboven en het stuk linksonder.]

figuur 1

5p 14 Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van $p$ de oppervlakte van
het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan $\frac{1}{2}$.

De som van de oppervlakten van de grijze stukken rechtsboven en linksonder is
$$ \frac{4}{3}(-p+4-\frac{3}{p}). $$
5p 15 Er is een waarde van $p$ waarvoor deze som van de oppervlakten maximaal is.
Bereken exact deze waarde van $p$.

VW-1025-a-10-1-o 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Logaritmen en vierde macht
De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x) = 4 \cdot \ln x$ en $g(x) = (\ln x)^4$ met $x > 0$.
De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar in de punten $S$ en $T$.
Een lijn $x = p$ snijdt tussen $S$ en $T$ de grafiek van $f$ in $A$ en de grafiek van $g$ in $B$.
Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van twee functies, f en g, met de y-as en x-as. De x-as heeft een punt S. De y-as heeft een punt A en B. Er is een lijn x=p getekend.]

6p 16 Er is een waarde van $p$ waarvoor de lengte van lijnstuk $AB$ maximaal is.
Bereken exact de maximale lengte van $AB$. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
VW-1025-a-10-1-o
11
lees verder

### Pagina 12

Een geodriehoek

Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen $k$ en $m$ en een punt $A$ er tussenin. Zie
figuur 1.

[FIGUUR: Twee parallelle lijnen k en m, met een punt A daartussen. Een lijnstuk loopt van A naar m.]

figuur 1

Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten
samen met punt $A$ de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige
driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek.
Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie
waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt $A$
op $k$ ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te
bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is.

Op $k$ zijn de punten $B$ en $C$ getekend zo dat $AB \perp BC$ en $AB=BC$. Punt $D$ is
op $m$ getekend zo dat $DC \perp AC$.
Op $k$ is vervolgens punt $E$ getekend zo dat $\angle ADE = 45^\circ$. Zie figuur 2. Deze
figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Een geometrische figuur met punten A, B, C, D, E. Lijnen k en m zijn parallel. Er zijn rechte hoeken aangegeven bij B en bij de lijn DC ten opzichte van AC. Een hoek van 45 graden is aangegeven bij D.]

figuur 2

Er geldt: vierhoek $ACED$ is een koordenvierhoek.

17 Bewijs dit. (4p)

18 Bewijs dat driehoek $AED$ een geodriehoek is. (4p)

VW-1025-a-10-1-o* 12 einde