# Eindexamen Wiskunde B VWO 2009 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2009/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2009
tijdvak 2
woensdag 24 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1,2
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redene worden gevraagd en je geeft meer dan twee redene, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
949-0152-a-VW-2-o

### Pagina 1

Examen VWO
2009
tijdvak 2
woensdag 24 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
949-0151-a-VW-2-o

### Pagina 2

Een rij
De rij $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ is voor $n \ge 1$ vastgelegd door de recursievergelijking
$$u_n = \frac{1}{2-u_{n-1}}$$
met startwaarde $u_0 = \frac{1}{2}$.
4p 1
De rij $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ is convergent.
Bereken exact de limiet van deze rij.
De eerste termen van de rij $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ zijn $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$.
Op grond hiervan wordt vermoed dat voor elke $n \ge 0$ de volgende formule geldt:
$$u_n = \frac{n+1}{n+2}$$
5p 2
Toon aan dat $u_n = \frac{n+1}{n+2}$ voor elke $n \ge 1$ voldoet aan de recursievergelijking
$$u_n = \frac{1}{2-u_{n-1}}$$
949-0152-a-VW-2-o 2 lees verder

### Pagina 2

Een spiraal

In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte 1 en oneven
lengte: 1, 3, 5, ..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te
leggen, maken we een spiraal. In figuur 1 is het begin van de spiraal getekend,
gelegd op een rooster, waarbij alleen de eerste zeven stroken zijn gelegd. De
totale oppervlakte van deze zeven stroken is 49. Dit begin van de spiraal past
precies in een rechthoek van 13 bij 12; die rechthoek is in figuur 1 dik getekend.
Van deze rechthoek is 49/156 deel bedekt door de spiraal.

[FIGUUR: Rastertekening van een spiraalvorm, beginnend in het midden en naar buiten spiraliserend. De spiraal is opgebouwd uit grijze rechthoekige stroken. Getallen 12 en 13 staan op de rasterlijnen.]

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5, ..., 99 past precies in
een rechthoek.
5p 1 Bereken welk deel van die rechthoek door de volledige spiraal bedekt wordt.

We kunnen op dezelfde manier een spiraal leggen met rechthoekige stroken van
breedte 1 en even lengte: 2, 4, 6, 8, 10, ..., $n$. Hierbij is $n$ een even getal.
De spiraal van deze stroken past precies in een rechthoek van $n$ bij $n-1$.
De fractie van de rechthoek die door de spiraal bedekt wordt noemen we $V$.
Voor even waarden van $n$ geldt de volgende formule:
$$V = \frac{n+2}{4n-4}$$
Voor iedere even waarde van $n$ is $V$ groter dan $\frac{1}{4}$. Als voor $n$ steeds grotere
waarden worden genomen, komt de waarde van $V$ steeds dichter bij $\frac{1}{4}$.
5p 2 Bereken langs algebraïsche weg de kleinste waarde van $n$ waarvoor de waarde van $V$ minder dan $\frac{1}{100}$ verschilt van $\frac{1}{4}$.

949-0151-a-VW-2-o 2 lees verder ►►►


### Pagina 3

Onnodig ingewikkeld?

Een gezonde volwassene is 's morgens langer dan aan het einde van de dag.
De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en
gepubliceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie $S$:
$$S=\ln(-0,00216t+2,7183)$$
Hierin is $t$ het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en $S$ de verhouding
tussen de lengte $L$ van die persoon ten opzicht van zijn lengte $L_0$ bij het
opstaan.
Dus $S = \frac{L}{L_0}$ .

4p 3 Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van 170,0 cm.
Bereken na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule 2,0 cm korter is
geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het
opstaan 16 uur actief is, dus na 16 uur weer gaat slapen.

In figuur 1 is de grafiek van $S$ als functie figuur 1
van $t$ getekend. Deze grafiek lijkt zo op
het eerste gezicht een rechte lijn, maar
door de formule weten wij dat dit niet zo
is.
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'S' en op de x-as 't'. De y-as loopt van 0,980 tot 1,000 en de x-as van 0 tot 16. Er is een dalende lijn getekend.]

6p 4 Leg met behulp van de tweede
afgeleide uit of er voor $0 \le t \le 16$
sprake is van toenemende of
afnemende daling.

De grafiek van $S$ valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten
(0; 1,0000) en (16; 0,9872). Is de formule van $S$ met de natuurlijke logaritme,
zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig
ingewikkeld? We zouden voor $S$ ook gewoon een lineaire functie van $t$ kunnen
nemen.
We vergelijken daarom de formule $S = -0,0008t+1,0000$ die hoort bij de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en
(16; 0,9872).

We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van 170,0 cm bij het opstaan,
als voorbeeld. Met behulp van beide formules kun je op elk tijdstip $t$ (met
$0 \le t \le 16$) de lengte van meneer Jansen in de loop van de dag uitrekenen. Ook
kun je op elk tijdstip $t$ het verschil tussen de uitkomsten van beide formules
bekijken.

4p 5 Bereken het maximale verschil voor de lengte van meneer Jansen dat de twee
formules kunnen opleveren.

949-0152-a-VW-2-o
lees verder


### Pagina 3

Het gemiddelde van normale verdelingen

In een land leven twee stammen, de Langen en de Korten. Van beide stammen is de lichaamslengte van een volwassen man normaal verdeeld: van de Langen met gemiddelde $185$ cm, van de Korten met gemiddelde $160$ cm. Beide verdelingen hebben standaardafwijking $6$ cm. In het land behoort $20%$ van de volwassen mannen tot de Langen en $80%$ tot de Korten.

Als er bij de Korten evenveel volwassen mannen zouden zijn als bij de Langen, dan zou de gemiddelde lichaamslengte van alle volwassen mannen $172.5$ cm zijn. In dit geval is dat niet zo: de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen is $165$ cm.

2p 3 Toon dit aan.

Er geldt dat de lichaamslengte van meer dan $60%$ van de volwassen mannen in het land kleiner is dan de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen.

4p 4 Toon dit aan.

3p 5 Is de lichaamslengte van de totale groep van de volwassen mannen in het bewuste land normaal verdeeld? Licht je antwoord toe.

949-0151-a-VW-2-o 3 lees verder ► ► ►


### Pagina 4

Gelijkzijdige driehoeken
Gegeven is een gelijkzijdige
driehoek ABC.
l is de lijn door C, evenwijdig aan
AB. Punt E ligt op l aan dezelfde
kant van BC als A.
Punt D ligt zó op de lijn BC dat
∠AED = 60°.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook
op de uitwerkbijlage.

Vierhoek ACDE is een koordenvierhoek.
3p 6 Bewijs dit.

Driehoek ADE is gelijkzijdig.
5p 7 Bewijs dit.

Gegeven zijn de lijnen k en m en
een punt A. Zie figuur 2.
In de volgende vraag zoeken we een
gelijkzijdige driehoek waarvan A één
van de hoekpunten is, waarvan een
ander hoekpunt op k ligt en waarvan
het derde hoekpunt op m ligt.
Daartoe tekenen we eerst de
gelijkzijdige driehoek ABC waarbij B
en C beide op k liggen. Zie figuur 3.
4p 8 Teken in de figuur op de
uitwerkbijlage een gelijkzijdige
driehoek AKM, waarbij K op k ligt en
M op m. Licht je werkwijze toe.

figuur 1
[FIGUUR: Een driehoek ABC met een lijn l die door C gaat en parallel is aan AB. Punt E ligt op lijn l. Punt D ligt op lijn BC. Hoek AED is 60 graden.]

figuur 2
[FIGUUR: Twee parallelle lijnen k en m, met een punt A erboven.]

figuur 3
[FIGUUR: Twee parallelle lijnen k en m. Een punt A erboven. Een driehoek ABC waarbij B en C op lijn k liggen.]

949-0152-a-VW-2-o
4
lees verder ►►►

### Pagina 4

Een verdeeld vierkant

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van y-as en x-as, met een curve die begint rechtsboven en naar beneden buigt, en een gearceerd vierkant aan de onderkant links. Het vierkant heeft hoekpunten O, A, B en C. De curve snijdt AB in S en BC in T. Punt O is de oorsprong (0,0).]

Voor $x > 0$ is gegeven de functie $f$ met $f(x) = \frac{1}{x^2}$.
In figuur 1 is de grafiek van $f$ getekend en het vierkant met hoekpunten $O(0,0)$, $A(p,0)$, $B(p,p)$ en $C(0,p)$ voor zekere $p > 1$.
De grafiek van $f$ snijdt $AB$ in $S(p, \frac{1}{p^2})$ en $BC$ in $T(-\frac{1}{\sqrt{p}}, p)$.

3p 6 Bereken voor het geval dat $p=4$ de richtingscoëfficiënt van lijnstuk $ST$.
4p 7 Neem weer $p=4$. Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$ en de lijnstukken $CT$, $OC$, $OA$ en $AS$.
4p 8 Bereken exact de waarde van $p$ waarvoor $T$ het midden is van zijde $BC$.
6p 9 Bereken met behulp van differentiëren de waarde van $p$ waarvoor diagonaal $AC$ raakt aan de grafiek van $f$. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
949-0151-a-VW-2-o 4 lees verder ►►►

### Pagina 5

Evenwijdige lijnen
De functie f is gegeven door $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$.
De grafiek van f snijdt de x-as in punt A (4, 0) en de y-as in punt B (0, 4).
Voor elke waarde van c is de lijn k met vergelijking $y = -x + c$ evenwijdig aan de lijn AB. Voor $c > 5$ sluiten de x-as, de lijn k, de y-as en de lijn AB een trapezium in dat door de grafiek van f in twee delen wordt verdeeld. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met y-as van 0 tot 5 en x-as van 0 tot 5. De curve f is een parabool die op (0,4) begint en door (4,0) gaat. De lijn AB is een stippellijn die (0,4) en (4,0) verbindt. De lijn k is een dikkere lijn die evenwijdig loopt aan AB, hoger op de grafiek, met een snijpunt met de y-as bij ongeveer 5.2 en een snijpunt met de x-as bij ongeveer 5.2. Het gebied tussen de lijn k, de y-as, de x-as en de lijn AB is gearceerd. Het gebied tussen de curve f, de y-as, de x-as en de lijn AB is ook gearceerd.]

8p 9 Bereken algebraïsch voor welke exacte waarde van c deze twee delen gelijke oppervlakte hebben.
949-0152-a-VW-2-o 5 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Onnodig ingewikkeld?

Een gezonde volwassene is 's morgens langer dan aan het einde van de dag.
De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en
publiceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie $S$:
$S = \ln(-0,00216t+2,7183)$.
Hierin is $t$ het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en $S$ de verhouding
tussen de lengte $L$ van die persoon ten opzichte van zijn lengte $L_0$ bij het
opstaan.
Dus $S = \frac{L}{L_0}$.

4p 10 Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van 170,0 cm.
Bereken na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule 2,0 cm korter is
geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het
opstaan 16 uur actief is, dus na 16 uur weer gaat slapen.

figuur 1
In figuur 1 is de grafiek van $S$ als functie
van $t$ getekend. Deze grafiek lijkt zo op
het eerste gezicht een rechte lijn, maar
door de formule weten wij dat dit niet zo
is.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as S (van 0,980 tot 1,000) en op de x-as t (van 0 tot 16). Er is een dalende rechte lijn getekend.]

6p 11 Leg met behulp van de tweede
afgeleide uit of er voor $0 \le t \le 16$
sprake is van toenemende of
afnemende daling.

De grafiek van $S$ valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten
(0; 1,0000) en (16; 0,9872). Is de formule van $S$ met de natuurlijke logaritme,
zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig
ingewikkeld? We zouden voor $S$ ook gewoon een lineaire functie van $t$ kunnen
nemen.
We vergelijken daarom de formule $S = \ln(-0,00216t+2,7183)$ met de formule
$S = -0,0008t+1,0000$ die hoort bij de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en
(16; 0,9872).

We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van 170,0 cm bij het opstaan,
als voorbeeld. Met behulp van beide formules kun je op elk tijdstip $t$ (met
$0 \le t \le 16$) de lengte van meneer Jansen in de loop van de dag uitrekenen. Ook
kun je op elk tijdstip $t$ het verschil tussen de uitkomsten van beide formules
bekijken.

4p 12 Bereken het maximale verschil voor de lengte van meneer Jansen dat de twee
formules kunnen opleveren.

949-0151-a-VW-2-o
lees verder

### Pagina 6

Een leugendetector
Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling,
hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruik
van een leugendetector is dat iemands lichaam zich anders gedraagt wanneer
hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt.
Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De
uitkomsten zijn als volgt:
- als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in 88% van de gevallen
als leugenaar aangewezen (en in 12% van de gevallen wordt hij niet als
leugenaar aangewezen);
- als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in 25%
van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in 75% van de gevallen
wordt hij niet als leugenaar aangewezen).
Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen
liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt
gebruikgemaakt van de leugendetector.

3p 10 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door
de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die
worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:
- de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;
- één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de
andere vier niet.

5p 11 Bereken de kans dat één van deze vijf mensen door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen.

De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen, is 25%. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat
hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één aanwijst als
leugenaar ongeveer 94% is. Dat is onacceptabel hoog. De leugendetector moet
worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid
spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens 50% is.

5p 12 Bereken hoe groot de kans dat de leugendetector iemand die de waarheid
spreekt als leugenaar aanwijst maximaal mag zijn.

949-0152-a-VW-2-o
6
lees verder

### Pagina 6

Een leugendetector

Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling, hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruik van een leugendetector is dat iemands lichaam zich anders gedraagt wanneer hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt.
Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De uitkomsten zijn als volgt:
– als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in 88% van de gevallen ook als leugenaar aangewezen (en in 12% van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen);
– als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in 25% van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in 75% van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen).

Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt gebruikgemaakt van de leugendetector.

3p 13 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:
– de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;
– één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de andere vier personen niet.

5p 14 Bereken de kans dat één van deze vijf mensen door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen, is 25%. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één als leugenaar ongeveer 94% is. Dat is onacceptabel hoog. De leugendetector moet worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens 50% is.

5p 15 Bereken hoe groot de kans dat de leugendetector iemand die de waarheid spreekt als leugenaar aanwijst maximaal mag zijn.

949-0151-a-VW-2-o 6 lees verder ►►►

### Pagina 7

Hieronder volgt een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave.
    Dit is een pagina uit een examen (gezien de nummering van vragen, puntenverdeling en de voetregel "lees verder"). De opdracht is om vragen te beantwoorden aan de hand van gegeven informatie en figuren.

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Titel bovenaan**: "Ellips in een cirkel". Dit geeft het hoofdonderwerp van de opgaven aan.
    *   **Figuur 1 (rechtsboven)**:
        *   Toont een grote cirkel aangeduid met `c`.
        *   Binnen deze cirkel bevindt zich een punt `M` (het middelpunt van de cirkel `c`, volgens de tekst) en een punt `F`.
        *   Een straal `MA` van de cirkel `c` is getekend. `A` ligt op de cirkel `c`.
        *   Een deel van een ellips (`e`) is te zien als een boog die dichter bij `F` ligt.
    *   **Figuur 2 (rechtsonder)**:
        *   Toont een vergelijkbare opstelling als figuur 1, maar met de punten `A` en `F` op andere posities.
        *   Een grote cirkel `c` met middelpunt `M`.
        *   Een punt `A` op de cirkel `c`.
        *   Een punt `F` binnen de cirkel `c`.
        *   Een straal `MA` is getekend.
        *   Een tweede, kleinere ellips (of een deel daarvan) is getekend. Het snijpunt van deze ellips met de straal `MA` is aangeduid als punt `B`.
        *   Lijnen zijn getrokken die driehoeken vormen: `MBA` en `FBA` zijn duidelijk zichtbaar, en de driehoek `MFA` en `MBF`.
    *   **Voetnoot links onderaan**: "949-0152-a-VW-2-o" - Waarschijnlijk een documentcode.
    *   **Voetnoot midden onderaan**: Pag

### Pagina 7

Bebruikte rechthoeken

Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een
rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechter kant aangevuld met
een cirkelsegment. Zo'n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een
buik. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Cirkel met een rechthoekig deel erin. Een diameter van de cirkel is 8. Een deel van de cirkel is grijs gekleurd en de rechthoek heeft een gestippelde lijn aan de linkerzijde.]

figuur 2
[FIGUUR: Cirkel met een rechthoekig deel erin, verdeeld in kleinere vlakken. De cirkel heeft een diameter van 8. Een deel van de cirkel is grijs gekleurd. Er is een hoek aangegeven met 't'.]

hoogte

8
8

In figuur 2 is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met
middelpuntshoek $t$ radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze
driehoeken hebben ook een hoek met grootte $\frac{1}{2}t$ radialen.
De oppervlakte $O$ van het gebied is een functie van $t$, met $0 < t < \frac{1}{2}\pi$.
Er geldt: $O(t) = 16 t + 24 \cdot \sin 2t$.

6p 16 Toon de juistheid van deze formule aan.

4p 17 Bereken de exacte waarde van $O$ als de hoogte van het gebied 4 is.

Bij een bepaalde hoogte is de oppervlakte $O$ maximaal.
7p 18 Bereken de exacte waarde van deze hoogte.

949-0151-a-VW-2-o*
7
einde


### Pagina 8

Bebruikte rechthoeken

Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een
rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechter kant aangevuld met
een cirkelsegment. Zo'n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een
buik. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met een rechthoek erin. De diameter van de cirkel is aangegeven met een pijl en de waarde 8.]

figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met een rechthoek erin. Binnen de rechthoek zijn er lijnen getrokken die de rechthoek verdelen in kleinere vlakken. De hoek t is aangegeven. De hoogte van de rechthoek is aangegeven met een pijl en het woord "hoogte".]

In figuur 2 is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met
middelpuntshoek $t$ radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze
driehoeken hebben ook een hoek met grootte $t$ radialen.
De oppervlakte $O$ van het gebied is een functie van $t$, met $0 < t < \frac{1}{2} \pi$.
Er geldt: $O(t) = 16t + 24 \cdot \sin 2t$.

6p 15 Toon de juistheid van deze formule aan.

4p 16 Bereken de exacte waarde van $O$ als de hoogte van het gebied 4 is.

7p 17 Bij een bepaalde hoogte is de oppervlakte $O$ maximaal.
Bereken de exacte waarde van deze hoogte.

949-0152-a-VW-2-o* 8 einde ■


### Pagina 8

Correctievoorschrift VWO
2009

tijdvak 2

wiskunde B1

Het correctievoorschrift bestaat uit:
1 Regels voor de beoordeling
2 Algemene regels
3 Vakspecifieke regels
4 Beoordelingsmodel
5 Inzenden scores

1 Regels voor de beoordeling

Het werk van de kandidaten wordt beoordeeld met inachtneming van de artikelen 41 en
42 van het Eindexamenbesluit v.w.o.-h.a.v.o.-m.a.v.o.-v.b.o. Voorts heeft de CEVO op
grond van artikel 39 van dit Besluit de Regeling beoordeling centraal examen
vastgesteld (CEVO-02-806 van 17 juni 2002 en bekendgemaakt in Uitleg Gele katern
nr 18 van 31 juli 2002).
Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 36, 41, 41a en 42 van
het Eindexamenbesluit van belang:
1 De directeur doet het gemaakte werk met een exemplaar van de opgaven, de
beoordelingsnormen en het proces-verbaal van het examen toekomen aan de
examinator. Deze kijkt het werk na en zendt het met zijn beoordelings-
normen en de regels voor het toekennen van scorepunten toe die zijn
gegeven door de CEVO.
2 De directeur doet de van de examinator ontvangen stukken met een exemplaar van
de opgaven, de beoordelingsnormen, het proces-verbaal en de regels voor het
bepalen van de score onverwijld aan de gecommitteerde toekomen.
3 De gecommitteerde beoordeelt het werk zo spoedig mogelijk en past de
beoordelingsnormen en de regels voor het bepalen van de score toe die zijn
gegeven door de CEVO.

949-0151-a-VW-2-c 1 lees verder ➢➢➢


### Pagina 9

De gecommitteerde voegt bij het gecorrigeerde werk een verklaring betreffende de
verrichte correctie. Deze verklaring wordt mede ondertekend door het bevoegd
gezag van de gecommitteerde.
4 De examinator en de gecommitteerde stellen in onderling overleg het aantal
scorepunten voor het centraal examen vast.
5 Indien de examinator en de gecommitteerde daarbij niet tot overeenstemming
komen, wordt het geschil voorgelegd aan het bevoegd gezag van de
gecommitteerde. Dit bevoegd gezag kan hierover in overleg treden met het bevoegd
gezag van de examinator. Indien het geschil niet kan worden beslecht, wordt
hiervan melding gemaakt aan de inspectie. De inspectie kan een derde
onafhankelijke gecommitteerde aanwijzen. De beoordeling van de derde
gecommitteerde komt in de plaats van de eerdere beoordelingen.

2 Algemene regels

Voor de beoordeling van het examenwerk zijn de volgende bepalingen uit de CEVOregeling van toepassing:
1 De examinator vermeldt op een lijst de namen en/of nummers van de kandidaten,
het aan iedere kandidaat voor iedere vraag toegekende aantal scorepunten en het
totaal aantal scorepunten van iedere kandidaat.
2 Voor het antwoord op een vraag worden door de examinator en door de
gecommitteerde scorepunten toegekend, in overeenstemming met het
beoordelingsmodel. Scorepunten zijn de getallen 0, 1, 2, ..., n, waarbij n het
maximaal te behalen aantal scorepunten voor een vraag is. Andere scorepunten die
geen gehele getallen zijn, of een score minder dan 0 zijn niet geoorloofd.
3 Scorepunten worden toegekend met inachtneming van de volgende regels:
3.1 indien een vraag volledig juist is beantwoord, wordt het maximaal te behalen
aantal scorepunten toegekend;
3.2 indien een vraag gedeeltelijk juist is beantwoord, wordt een deel van de te
behalen scorepunten toegekend, in overeenstemming met het
beoordelingsmodel;
3.3 indien een antwoord op een open vraag niet in het beoordelingsmodel voorkomt
en dit antwoord op grond van aantoonbare, vakinhoudelijke argumenten als juist
of gedeeltelijk juist aangemerkt kan worden, moeten scorepunten worden
toegekend naar analogie of in de geest van het beoordelingsmodel;
3.4 indien slechts één voorbeeld, reden, uitwerking, citaat of andersoortig antwoord
gevraagd wordt, wordt uitsluitend het eerstgegeven antwoord beoordeeld;
3.5 indien meer dan één voorbeeld, reden, uitwerking, citaat of andersoortig
antwoord gevraagd wordt, worden uitsluitend de eerstgegeven antwoorden
beoordeeld, tot maximaal het gevraagde aantal;
3.6 indien in een antwoord een gevraagde verklaring of uitleg of afleiding of
berekening ontbreekt dan wel foutief is, worden 0 scorepunten toegekend, tenzij
in het beoordelingsmodel anders is aangegeven;
3.7 indien in het beoordelingsmodel verschillende mogelijkheden zijn opgenomen,
gescheiden door het teken /, gelden deze mogelijkheden als verschillende
formuleringen van hetzelfde antwoord of onderdeel van dat antwoord;

949-0151-a-VW-2-c
lees verder ► ► ►
2

### Pagina 10

3.8 indien in het beoordelingsmodel een gedeelte van het antwoord tussen haakjes staat, behoeft dit gedeelte niet in het antwoord van de kandidaat voor te komen.
3.9 indien een kandidaat op grond van een algemeen geldende woordbetekenis, zoals bijvoorbeeld vermeld in een woordenboek, een antwoord geeft dat vakinhoudelijk onjuist is, worden aan dat antwoord geen scorepunten toegekend, of ten minste niet de scorepunten die met de vakinhoudelijke onjuistheid gemoeid zijn.
4 Het juiste antwoord op een meerkeuzevraag is de hoofdletter die behoort bij de juiste keuzemogelijkheid. Voor een juist antwoord op een meerkeuzevraag wordt het in het beoordelingsmodel vermelde aantal punten toegekend. Voor elk ander antwoord worden geen scorepunten toegekend. Indien meer dan één antwoord gegeven is, worden eveneens geen scorepunten toegekend.
5 Een fout mag in de uitwerking van een vraag maar één keer worden aangerekend, tenzij daardoor de vraag aanzienlijk vereenvoudigd wordt en/of tenzij in het beoordelingsmodel anders is vermeld.
6 Een zelfde fout in de beantwoording van verschillende vragen moet steeds opnieuw worden aangerekend tenzij in het beoordelingsmodel anders is vermeld.
7 Indien de examinator of de gecommitteerde meent dat in een examen of in het beoordelingsmodel bij dat examen een fout of onvolkomenheid zit, beoordeelt hij het werk van de kandidaten alsof examen en beoordelingsmodel juist zijn. Hij kan de fout of onvolkomenheid mededelen aan de CEVO. Het is niet toegestaan zelfstandig af te wijken van het beoordelingsmodel. Met een eventuele fout wordt bij de definitieve normering van het examen rekening gehouden.
8 Scorepunten worden toegekend op grond van het door de kandidaat gegeven antwoord op iedere vraag. Er worden geen scorepunten vooraf gegeven.
9 Het cijfer voor het centraal examen wordt als volgt verkregen.
Eerste en tweede corrector stellen de score voor iedere kandidaat vast. Deze score wordt meegedeeld aan de directeur.
De directeur stelt het cijfer voor het centraal examen vast op basis van de regels voor omzetting van score naar cijfer.
NB Het aangeven van de onvolkomenheden op het werk en/of het noteren van de behaalde scores bij de vraag is toegestaan, maar niet verplicht.
3 Vakspecifieke regels
Voor dit examen kunnen maximaal 80 scorepunten worden behaald.
Voor dit examen zijn de volgende vakspecifieke regels vastgesteld:
1 Voor elke rekenfout of   af   in de berekening wordt één punt afgetrokken tot het maximum van het aantal punten dat voor dat deel van de vraag kan worden gegeven.
2 De algemene regel 3.6 geldt ook bij de vragen waarbij de kandidaten de Grafische rekenmachine (GR) gebruiken. Bij de betreffende vragen doen de kandidaten er verslag van hoe zij de GR gebruiken.
949-0151-a-VW-2-c 3 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

4 Beoordelingsmodel

Vraag Antwoord Scores

Een spiraal

1 maximumscore 5 1
• De totale oppervlakte van de stroken is de som van een rekenkundige rij 1
• De som is $\frac{1}{2}\cdot 50\cdot(1+99) = 2500$ 1
• De afmetingen van de rechthoek zijn 99 en 98 1
• De oppervlakte van de rechthoek is $99\cdot 98 = 9702$ 1
• Dus $\frac{2500}{9702}$ deel wordt bedekt (of: ongeveer 25,8% wordt bedekt) 1

2 maximumscore 5 1
• De ongelijkheid $\frac{n+2}{4n-4}-\frac{1}{4} < \frac{1}{100}$ moet worden opgelost 1
• De vergelijking $\frac{n+2}{4n-4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{100}$ herleiden tot $\frac{n+2}{4n-4} = \frac{26}{100}$ 1
• Dit schrijven als $100n+200=104n-104$ 1
• De vergelijking heeft als oplossing $n=76$ 1
• De gezochte kleinste waarde van $n$ is 78 1

Het gemiddelde van normale verdelingen

3 maximumscore 2
De gemiddelde lengte van alle volwassen mannen is
$0,20\cdot 185+0,80\cdot 165 = 165$ (cm)

4 maximumscore 4
• De fractie mannen met een lichaamslengte kleiner dan 165 cm is
$0,20\cdot P(X < 165 | \mu = 185, \sigma = 6) + 0,80\cdot P(X < 165 | \mu = 160, \sigma = 6)$ 2
• Beschrijven hoe deze fractie berekend kan worden 1
• De fractie is ongeveer 0,638 (en dat komt overeen met meer dan 60%) 1

Opmerking
Als bij het berekenen van de gevraagde fractie correctie is
toegepast hiervoor geen punten aftrekken.

5 maximumscore 3
• Bij een normaal verdeelde stochast ligt 50% onder het gemiddelde 2
• Hier ligt meer dan 50% onder het gemiddelde (dus is hier geen sprake
van een normale verdeling) 1

949-0151-a-VW-2-c 4 lees verder ►►►

### Pagina 12

Vraag Antwoord Scores

Een verdeeld vierkant

6 maximumscore 3 1
• $S(4, \frac{1}{16})$ en $T(\frac{1}{2}, 4)$
• De richtingscoëfficiënt van $ST$ is $\frac{4-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}-4}$ 1
• Het antwoord $-1\frac{1}{8}$ (of -1,125) 1

7 maximumscore 4
• De oppervlakte van het gebied $OASTC$ is $4 \cdot \frac{1}{2} + \int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{1}{x^2} dx$ 1
• Een primitieve van $\frac{1}{x^2}$ is $-\frac{1}{x}$ 1
• Dus $[-\frac{1}{x}]_{\frac{1}{2}}^{4} = -\frac{1}{4} - (-\frac{1}{\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{4} + 2 = 1\frac{3}{4}$ (of 1,75) 1
• De oppervlakte van $OASTC$ is $2+1\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}$ (of 3,75) 1

8 maximumscore 4
• $T$ is het midden van $BC$ als $\frac{1}{\sqrt{p}} = \frac{1}{2}p$ 1
• Uit $\frac{1}{\sqrt{p}} = \frac{1}{2}p$ volgt $p\sqrt{p} = 2$ 1
• $p = \sqrt[3]{4}$ (of $p = 4^{\frac{1}{3}}$ of $p = 2^{\frac{2}{3}}$) 2
of
• $T$ is het midden van $BC$ als $f(\frac{1}{2}p) = p$ 1
• Uit $f(\frac{1}{2}p) = p$ volgt $p^3 = 4$ 1
• $p = \sqrt[3]{4}$ (of $p = 4^{\frac{1}{3}}$ of $p = 2^{\frac{2}{3}}$) 2

9 maximumscore 6
• De diagonaal $AC$ heeft vergelijking $y = -x + p$ 1
• $AC$ raakt aan de grafiek van $f$ als er een waarde van $x$ is waarvoor geldt dat $f'(x) = -1$ en $f(x) = -x + p$ 1
• $f'(x) = -2x^{-3}$ 1
• $f'(x) = -1$ geeft $x=\sqrt[3]{2}$ (of $x \approx 1,2599$) 1
• $f(x) = -x + p$ geeft $\frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} = -\sqrt[3]{2} + p$ (of $\frac{1}{1,2599^2} = -1,2599 + p$) dus 1
$p \approx 1,89$ 2

949-0151-a-VW-2-c 5 lees verder ► ► ►

### Pagina 13

Vraag Antwoord Scores
Onnodig ingewikkeld?
10 maximumscore 4
* Uitgerekend moet worden het tijdstip $t$ waarbij $S = \frac{168,0}{170,0}$ ($\approx 0,9882$) 1
* Beschrijven hoe de vergelijking $\frac{168,0}{170,0} = \ln(-0,00216t+2,7183)$ opgelost kan worden 1
* De oplossing van de vergelijking: $t \approx 14,73$ uur 1
* Het antwoord: na (ongeveer) 884 minuten (ofwel 14 uur en 44 min.) 1
11 maximumscore 6
* $S' = \frac{-0,00216}{-0,00216t+2,7183}$ ($= \frac{0,00216}{0,00216t-2,7183}$) 2
* $S'' = \frac{-0,00216^2}{(-0,00216t-2,7183)^2}$ 2
* (omdat $0,00216^2$ en $(0,00216t-2,7183)^2$ beide voor elke waarde van $t$ positief zijn, geldt:) $S''$ is voor elke waarde van $t$ negatief 1
* Dus er is sprake van toenemende daling 1
12 maximumscore 4
* Voor het (positieve) verschil $V$ dat de formules kunnen opleveren geldt: $V = \ln(-0,00216t+2,7183) - (-0,0008t+1,0000)$ 1
* Beschrijven hoe het maximum van $V$ gevonden kan worden 1
* Dit maximum is $2,9551 \cdot 10^{-5}$ 1
* Het maximale verschil voor de lengte van meneer Jansen is dus $170,0 \cdot 2,9551 \cdot 10^{-5} \approx 0,0050$ cm (of $0,005$ cm) 1
949-0151-a-VW-2-c 6 lees verder

### Pagina 14

Vraag Antwoord Scores
Een leugendetector
13 maximumscore 3
• De verwachtingswaarde is $1 \cdot 0,88 + 4 \cdot 0,25$ 2
• Het antwoord: $1,88$ 1
14 maximumscore 5
• De kans dat de leugenaar als leugenaar wordt aangewezen en de
waarheidsprekers niet is $0,88 \cdot 0,75^4 \approx 0,2784$ 2
• De kans dat de leugenaar niet als leugenaar wordt aangewezen en één
van de waarheidsprekers wel is $0,12 \cdot 4 \cdot 0,25 \cdot 0,75^3 \approx 0,0506$ 2
• Het antwoord: ongeveer $0,33$ (of ongeveer $33%$) 1
15 maximumscore 5
• Het aantal waarheidsprekers die als leugenaar worden aangewezen, $X$,
is binomiaal verdeeld met $n = 10$ en $p$ is de kans dat een
waarheidspreker als leugenaar wordt aangewezen 1
• Gevraagd wordt de grootste waarde van $x$ zo dat
$P(X \ge 1|n=10, p=x) \le 0,50$ 1
• Beschrijven hoe $P(X \ge 1|n=10, p=x) = 0,50$ opgelost kan worden 1
• De oplossing van deze vergelijking is $x \approx 0,06697$ 1
• De grootste waarde van $x$ die aan de ongelijkheid voldoet, is ongeveer
$0,066$ (of $0,06$) 1
of
• Als $p$ de kans is dat een waarheidspreker als leugenaar wordt
aangewezen, dan is de kans dat geen van de waarheidsprekers
aangewezen wordt als leugenaar $(1-p)^{10}$ 1
• Gevraagd wordt de grootste waarde van $p$ zo dat $1 - (1-p)^{10} \le 0,50$ 1
• Beschrijven hoe de vergelijking $1 - (1-p)^{10} = 0,50$ opgelost kan worden 1
• De oplossing van deze vergelijking is $p \approx 0,06697$ 1
• De grootste waarde van $p$ die aan de ongelijkheid voldoet, is ongeveer
$0,066$ (of $0,06$) 1
949-0151-a-VW-2-c 7 lees verder

### Pagina 15

Vraag Antwoord Scores
Bebruikte rechthoeken
16 maximumscore 6
• De oppervlakte van elke cirkelsector is $\frac{t}{2\pi}\cdot\pi\cdot4^2 = 8t$ 2
• Elke driehoek heeft oppervlakte $\frac{1}{2}\cdot4 \cos t \cdot 4 \sin t$ 2
• $O(t) = 2\cdot8t+6\cdot\frac{1}{2}\cdot4 \cos t \cdot 4 \sin t = 16t+48 \sin t \cos t$ 1
• Dus $O(t) = 16t + 24 \cdot 2 \sin t \cos t = 16t + 24 \sin 2t$ 1
17 maximumscore 4
• De hoogte is 4, dus $\sin t = \frac{2}{4}$ 1
• Dit geeft $t=\frac{1}{6}\pi$ 1
• De oppervlakte is dan $2\frac{2}{3}\pi + 12\sqrt{3}$ 2
18 maximumscore 7
• $O'(t) = 16 + 48 \cos 2t$ 2
• $O$ is maximaal als $\cos 2t = -\frac{1}{3}$ 1
• Dit geeft $1-2\sin^2 t = -\frac{1}{3}$ en dus $\sin^2 t = \frac{2}{3}$ 2
• Hieruit volgt (omdat $0 < t < \frac{1}{2}\pi$) $\sin t = \sqrt{\frac{2}{3}}$ 1
• De hoogte is $8\cdot\sin t = 8\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} (= \frac{8}{3}\sqrt{6})$ 1
5 Inzenden scores
Verwerk de scores van alle kandidaten per school in het programma WOLF.
Zend de gegevens uiterlijk op 26 juni naar Cito.
949-0151-a-VW-2-c* 8 einde ■

### Pagina 16

Examen VWO
2009
tijdvak 2
woensdag 24 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1,2
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redene worden gevraagd en je geeft meer dan twee redene, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
949-0152-a-VW-2-o

### Pagina 17

Een rij
De rij $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ is voor $n \ge 1$ vastgelegd door de recursievergelijking
$$u_n = \frac{1}{2-u_{n-1}}$$
met startwaarde $u_0 = \frac{1}{2}$.
4p 1
De rij $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ is convergent.
Bereken exact de limiet van deze rij.
De eerste termen van de rij $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ zijn $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$.
Op grond hiervan wordt vermoed dat voor elke $n \ge 0$ de volgende formule geldt:
$$u_n = \frac{n+1}{n+2}$$
5p 2
Toon aan dat $u_n = \frac{n+1}{n+2}$ voor elke $n \ge 1$ voldoet aan de recursievergelijking
$$u_n = \frac{1}{2-u_{n-1}}$$
949-0152-a-VW-2-o 2 lees verder

### Pagina 18

Onnodig ingewikkeld?

Een gezonde volwassene is 's morgens langer dan aan het einde van de dag.
De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en
gepubliceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie $S$:
$$S=\ln(-0,00216t+2,7183)$$
Hierin is $t$ het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en $S$ de verhouding
tussen de lengte $L$ van die persoon ten opzicht van zijn lengte $L_0$ bij het
opstaan.
Dus $S = \frac{L}{L_0}$ .

4p 3 Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van 170,0 cm.
Bereken na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule 2,0 cm korter is
geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het
opstaan 16 uur actief is, dus na 16 uur weer gaat slapen.

In figuur 1 is de grafiek van $S$ als functie figuur 1
van $t$ getekend. Deze grafiek lijkt zo op
het eerste gezicht een rechte lijn, maar
door de formule weten wij dat dit niet zo
is.
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'S' en op de x-as 't'. De y-as loopt van 0,980 tot 1,000 en de x-as van 0 tot 16. Er is een dalende lijn getekend.]

6p 4 Leg met behulp van de tweede
afgeleide uit of er voor $0 \le t \le 16$
sprake is van toenemende of
afnemende daling.

De grafiek van $S$ valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten
(0; 1,0000) en (16; 0,9872). Is de formule van $S$ met de natuurlijke logaritme,
zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig
ingewikkeld? We zouden voor $S$ ook gewoon een lineaire functie van $t$ kunnen
nemen.
We vergelijken daarom de formule $S = -0,0008t+1,0000$ die hoort bij de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en
(16; 0,9872).

We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van 170,0 cm bij het opstaan,
als voorbeeld. Met behulp van beide formules kun je op elk tijdstip $t$ (met
$0 \le t \le 16$) de lengte van meneer Jansen in de loop van de dag uitrekenen. Ook
kun je op elk tijdstip $t$ het verschil tussen de uitkomsten van beide formules
bekijken.

4p 5 Bereken het maximale verschil voor de lengte van meneer Jansen dat de twee
formules kunnen opleveren.

949-0152-a-VW-2-o
lees verder


### Pagina 19

Gelijkzijdige driehoeken
Gegeven is een gelijkzijdige
driehoek ABC.
l is de lijn door C, evenwijdig aan
AB. Punt E ligt op l aan dezelfde
kant van BC als A.
Punt D ligt zó op de lijn BC dat
∠AED = 60°.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook
op de uitwerkbijlage.

Vierhoek ACDE is een koordenvierhoek.
3p 6 Bewijs dit.

Driehoek ADE is gelijkzijdig.
5p 7 Bewijs dit.

Gegeven zijn de lijnen k en m en
een punt A. Zie figuur 2.
In de volgende vraag zoeken we een
gelijkzijdige driehoek waarvan A één
van de hoekpunten is, waarvan een
ander hoekpunt op k ligt en waarvan
het derde hoekpunt op m ligt.
Daartoe tekenen we eerst de
gelijkzijdige driehoek ABC waarbij B
en C beide op k liggen. Zie figuur 3.
4p 8 Teken in de figuur op de
uitwerkbijlage een gelijkzijdige
driehoek AKM, waarbij K op k ligt en
M op m. Licht je werkwijze toe.

figuur 1
[FIGUUR: Een driehoek ABC met een lijn l die door C gaat en parallel is aan AB. Punt E ligt op lijn l. Punt D ligt op lijn BC. Hoek AED is 60 graden.]

figuur 2
[FIGUUR: Twee parallelle lijnen k en m, met een punt A erboven.]

figuur 3
[FIGUUR: Twee parallelle lijnen k en m. Een punt A erboven. Een driehoek ABC waarbij B en C op lijn k liggen.]

949-0152-a-VW-2-o
4
lees verder ►►►

### Pagina 20

Evenwijdige lijnen
De functie f is gegeven door $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$.
De grafiek van f snijdt de x-as in punt A (4, 0) en de y-as in punt B (0, 4).
Voor elke waarde van c is de lijn k met vergelijking $y = -x + c$ evenwijdig aan de lijn AB. Voor $c > 5$ sluiten de x-as, de lijn k, de y-as en de lijn AB een trapezium in dat door de grafiek van f in twee delen wordt verdeeld. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met y-as van 0 tot 5 en x-as van 0 tot 5. De curve f is een parabool die op (0,4) begint en door (4,0) gaat. De lijn AB is een stippellijn die (0,4) en (4,0) verbindt. De lijn k is een dikkere lijn die evenwijdig loopt aan AB, hoger op de grafiek, met een snijpunt met de y-as bij ongeveer 5.2 en een snijpunt met de x-as bij ongeveer 5.2. Het gebied tussen de lijn k, de y-as, de x-as en de lijn AB is gearceerd. Het gebied tussen de curve f, de y-as, de x-as en de lijn AB is ook gearceerd.]

8p 9 Bereken algebraïsch voor welke exacte waarde van c deze twee delen gelijke oppervlakte hebben.
949-0152-a-VW-2-o 5 lees verder ► ► ►

### Pagina 21

Een leugendetector
Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling,
hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruik
van een leugendetector is dat iemands lichaam zich anders gedraagt wanneer
hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt.
Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De
uitkomsten zijn als volgt:
- als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in 88% van de gevallen
als leugenaar aangewezen (en in 12% van de gevallen wordt hij niet als
leugenaar aangewezen);
- als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in 25%
van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in 75% van de gevallen
wordt hij niet als leugenaar aangewezen).
Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen
liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt
gebruikgemaakt van de leugendetector.

3p 10 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door
de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die
worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:
- de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;
- één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de
andere vier niet.

5p 11 Bereken de kans dat één van deze vijf mensen door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen.

De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen, is 25%. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat
hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één aanwijst als
leugenaar ongeveer 94% is. Dat is onacceptabel hoog. De leugendetector moet
worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid
spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens 50% is.

5p 12 Bereken hoe groot de kans dat de leugendetector iemand die de waarheid
spreekt als leugenaar aanwijst maximaal mag zijn.

949-0152-a-VW-2-o
6
lees verder

### Pagina 22

Hieronder volgt een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave.
    Dit is een pagina uit een examen (gezien de nummering van vragen, puntenverdeling en de voetregel "lees verder"). De opdracht is om vragen te beantwoorden aan de hand van gegeven informatie en figuren.

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Titel bovenaan**: "Ellips in een cirkel". Dit geeft het hoofdonderwerp van de opgaven aan.
    *   **Figuur 1 (rechtsboven)**:
        *   Toont een grote cirkel aangeduid met `c`.
        *   Binnen deze cirkel bevindt zich een punt `M` (het middelpunt van de cirkel `c`, volgens de tekst) en een punt `F`.
        *   Een straal `MA` van de cirkel `c` is getekend. `A` ligt op de cirkel `c`.
        *   Een deel van een ellips (`e`) is te zien als een boog die dichter bij `F` ligt.
    *   **Figuur 2 (rechtsonder)**:
        *   Toont een vergelijkbare opstelling als figuur 1, maar met de punten `A` en `F` op andere posities.
        *   Een grote cirkel `c` met middelpunt `M`.
        *   Een punt `A` op de cirkel `c`.
        *   Een punt `F` binnen de cirkel `c`.
        *   Een straal `MA` is getekend.
        *   Een tweede, kleinere ellips (of een deel daarvan) is getekend. Het snijpunt van deze ellips met de straal `MA` is aangeduid als punt `B`.
        *   Lijnen zijn getrokken die driehoeken vormen: `MBA` en `FBA` zijn duidelijk zichtbaar, en de driehoek `MFA` en `MBF`.
    *   **Voetnoot links onderaan**: "949-0152-a-VW-2-o" - Waarschijnlijk een documentcode.
    *   **Voetnoot midden onderaan**: Pag

### Pagina 23

Bebruikte rechthoeken

Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een
rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechter kant aangevuld met
een cirkelsegment. Zo'n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een
buik. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met een rechthoek erin. De diameter van de cirkel is aangegeven met een pijl en de waarde 8.]

figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met een rechthoek erin. Binnen de rechthoek zijn er lijnen getrokken die de rechthoek verdelen in kleinere vlakken. De hoek t is aangegeven. De hoogte van de rechthoek is aangegeven met een pijl en het woord "hoogte".]

In figuur 2 is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met
middelpuntshoek $t$ radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze
driehoeken hebben ook een hoek met grootte $t$ radialen.
De oppervlakte $O$ van het gebied is een functie van $t$, met $0 < t < \frac{1}{2} \pi$.
Er geldt: $O(t) = 16t + 24 \cdot \sin 2t$.

6p 15 Toon de juistheid van deze formule aan.

4p 16 Bereken de exacte waarde van $O$ als de hoogte van het gebied 4 is.

7p 17 Bij een bepaalde hoogte is de oppervlakte $O$ maximaal.
Bereken de exacte waarde van deze hoogte.

949-0152-a-VW-2-o* 8 einde ■