# Eindexamen Wiskunde B VWO 2005 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2005/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wiskunde B1
Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 05
Tijdvak 2
Woensdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te
behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van vraag 18 is een
uitwerkbijlage bijgevoegd.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden, ...) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
500048-2-160
Begin

### Pagina 1

Reistijd
figuur 2
rivier
[FIGUUR: Een diagram van een rivier met de stroomrichting aangegeven door pijlen. Er zijn twee punten, A en B, op de oever. De rivier stroomt van A naar B.]
Een boot vaart op een rivier van A naar B en terug. De afstand tussen A en B is 10 km. De boot vaart altijd met een snelheid van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in de richting van A naar B. Zie figuur 2.
Tijdens de reis van de boot van A naar B en terug is de stroomsnelheid van de rivier constant. We noemen de stroomsnelheid $v$ (in km/u).
Een voorbeeld: als $v = 5$, dan vaart de boot op de heenreis met een snelheid van 25 km/u ten opzichte van de oever en op de terugreis met een snelheid van 15 km/u ten opzichte van de oever.
De totale reistijd $T$ van een retourtocht wordt gegeven door:
$$T = \frac{10}{20+v} + \frac{10}{20-v}$$
Hierbij is $T$ in uren en $v$ in km/u met $0 < v < 20$.
3p 7 □ Toon aan dat deze formule juist is.
3p 8 □ Bereken bij welke waarde van $v$ de totale reistijd van een retourttocht 2 uur is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Als de stroomsnelheid van de rivier groter wordt, neemt de totale reistijd van een retourttocht toe.
6p 9 □ Toon dit aan met behulp van de formule van de afgeleide functie van $T$.
Veronderstel dat $v$ varieert tussen 0 en 10 km/u en dat alle waarden van 0 tot en met 10 km/u even vaak voorkomen. De gemiddelde reistijd kun je dan benaderen door $T$ uit te rekenen voor $v = 0$, $v = \frac{1}{10}$, $v = \frac{2}{10}$, enzovoort tot en met $v = 10$ en van de reistijden het gemiddelde te nemen.
5p 10 □ Bereken de gemiddelde reistijd met deze benaderingswijze; geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
Je kunt de gemiddelde reistijd ook uitrekenen met een integraal.
6p 11 □ Toon langs algebraïsche weg aan dat de gemiddelde reistijd gelijk is aan $\ln 3$ uur.
500048-2-16o 3 Lees verder

### Pagina 2

Twee benaderingen van sin x
Met domein $[0, \pi]$ is gegeven de functie $f(x) = \sin x$.
De grafiek van $f$ snijdt de x-as in $O$ en $A$ en heeft als top $T$. Zie figuur 1.
[FIGUUR: Een grafiek van de sinusfunctie op het domein [0, $\pi$], met de x-as gemarkeerd met O en A, en de top van de curve gemarkeerd met T.]
Gegeven is verder de tweedegraadsfunctie $g(x) = ax(x - \pi)$, eveneens met domein $[0, \pi]$.
In de vragen 1 en 2 nemen we $a = -\frac{4}{\pi^2}$. De grafieken van $f$ en $g$ lijken op elkaar.
3p 1 Toon aan dat ook de grafiek van $g$ door $O, A$ en $T$ gaat.
In $O$ is de helling van de grafiek van $g$ groter dan de helling van de grafiek van $f$.
5p 2 Toon dit aan met behulp van differentiëren.
Een andere benadering voor de grafiek van $f$ krijgen we als we $a$ zodanig kiezen dat geldt:
$$ \int_{0}^{\pi} (g(x) - f(x)) \, dx = 0 $$
7p 3 Bereken in dit geval de exacte waarde van $a$.
Eén, twee of drie keer testen
Bij een experiment doen proefpersonen een test. Zodra de test succesvol is, is de
proefpersoon klaar. Als de eerste test niet succesvol is, doet de proefpersoon een tweede
test; als die tweede test ook niet succesvol is, doet de proefpersoon een derde test. Een
proefpersoon doet hoogstens drie keer een test.
We nemen aan dat elke keer dat de test wordt gedaan de kans op succes 0,3 is,
onafhankelijk van eventuee vorige testen.
De verwachtingswaarde van het aantal keren dat een proefpersoon de test doet, is 2,19.
4p 4 Toon dit aan.
Voor het experiment is € 10000 beschikbaar. Men betaalt elke proefpersoon € 100 voor
zijn deelname aan het experiment. De kosten per test bedragen € 50.
Men wil zo veel mogelijk proefpersonen laten meedoen.
4p 5 Bereken hoeveel proefpersonen men naar verwachting aan dit experiment kan laten
deelnemen.
5p 6 Bereken de kans dat van tien proefpersonen meer dan de helft na drie keer een test nog geen
succes heeft.
500048-2-16o 2 Lees verder

### Pagina 2

Maximumsnelheid

De snelheidsmeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat de werkelijke snelheid is
waarmee de auto rijdt. Voor een bepaald type snelheidsmeter geldt het volgende: als de
snelheidsmeter een snelheid van $v$ km/u aangeeft, is de waarde van de werkelijke snelheid
normaal verdeeld, waarbij de gemiddelde gelijk is aan $v$ en de standaardafwijking gelijk is
aan $1,5%$ van dat gemiddelde.
Bij snelheidscontroles wordt een marge aangehouden van $3%$. Dus bijvoorbeeld bij een
maximumsnelheid van $100$ km/u wordt er beboet bij snelheden van $103$ km/u en hoger.

Van een auto is de snelheidsmeter van bovenstaand type. De bestuurder rijdt volgens de
meter steeds met precies de toegestane maximumsnelheid.

Stel dat de toegestane maximumsnelheid $70$ km/u is. De kans dat de werkelijke snelheid van
de bestuurder zo groot is dat hij voor een boete in aanmerking komt, is dan, afgerond op
drie decimalen, gelijk aan $0,023$.
4p 12 $\Box$ Toon dit aan.

De kans dat hij in aanmerking komt voor een boete is voor elke toegestane
maximumsnelheid even groot.
4p 13 $\Box$ Toon dit aan.

De bestuurder passeert in een jaar $200$ keer een elektronisch bord dat waarschuwt wanneer
men te hard rijdt, dat wil zeggen wanneer men de boetegrens overschrijdt. De kans dat de
bestuurder voor een boete in aanmerking komt, is telkens $0,023$.
4p 14 $\Box$ Bereken de kans dat de bestuurder van die $200$ keer meer dan $2$ keer gewaarschuwd wordt.

Exponentiële functie

Gegeven is de functie $f(x) = e^{-x}$. Op de grafiek van $f$ liggen de punten $A$ en $B$ met
$x$-coördinaten $x_A = 0$ en $x_B = 1$. Zie figuur 3.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en de x-as. De y-as heeft een punt A op y=1. De x-as heeft een punt met waarde 1. Een gebogen lijn, de grafiek van f(x)=e^-x, loopt van A naar rechts beneden en passeert punt B.]
figuur 3

6p 15 $\Box$ Het vlakdeel begrensd door het lijnstuk $AB$ en de grafiek van $f$ noemen we $V$.
Bereken de oppervlakte van $V$.

Op de grafiek van $f$ ligt een punt $C$ waarin de raaklijn aan de grafiek van $f$ evenwijdig is aan
het lijnstuk $AB$.
5p 16 $\Box$ Bereken de $x$-coördinaat van $C$. Rond af op twee decimalen.

500048-2-16o
4
Lees verder

### Pagina 3

Reistijd
figuur 2
rivier
[FIGUUR: Een diagram van een rivier met de stroomrichting aangegeven door pijlen. Er zijn twee punten, A en B, op de oever. De rivier stroomt van A naar B.]
Een boot vaart op een rivier van A naar B en terug. De afstand tussen A en B is 10 km. De boot vaart altijd met een snelheid van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in de richting van A naar B. Zie figuur 2.
Tijdens de reis van de boot van A naar B en terug is de stroomsnelheid van de rivier constant. We noemen de stroomsnelheid $v$ (in km/u).
Een voorbeeld: als $v = 5$, dan vaart de boot op de heenreis met een snelheid van 25 km/u ten opzichte van de oever en op de terugreis met een snelheid van 15 km/u ten opzichte van de oever.
De totale reistijd $T$ van een retourtocht wordt gegeven door:
$$T = \frac{10}{20+v} + \frac{10}{20-v}$$
Hierbij is $T$ in uren en $v$ in km/u met $0 < v < 20$.
3p 7 □ Toon aan dat deze formule juist is.
3p 8 □ Bereken bij welke waarde van $v$ de totale reistijd van een retourttocht 2 uur is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Als de stroomsnelheid van de rivier groter wordt, neemt de totale reistijd van een retourttocht toe.
6p 9 □ Toon dit aan met behulp van de formule van de afgeleide functie van $T$.
Veronderstel dat $v$ varieert tussen 0 en 10 km/u en dat alle waarden van 0 tot en met 10 km/u even vaak voorkomen. De gemiddelde reistijd kun je dan benaderen door $T$ uit te rekenen voor $v = 0$, $v = \frac{1}{10}$, $v = \frac{2}{10}$, enzovoort tot en met $v = 10$ en van de reistijden het gemiddelde te nemen.
5p 10 □ Bereken de gemiddelde reistijd met deze benaderingswijze; geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
Je kunt de gemiddelde reistijd ook uitrekenen met een integraal.
6p 11 □ Toon langs algebraïsche weg aan dat de gemiddelde reistijd gelijk is aan $\ln 3$ uur.
500048-2-16o 3 Lees verder

### Pagina 3

Achtervolging
Op tijdstip $t = 0$ beginnen de punten $P$ en $Q$ met een eenparige cirkelbeweging.
De bewegingsvergelijkingen zijn
voor $P$:
$$
\begin{cases}
x(t) = 5 \cos(\frac{11}{10}t) \\
y(t) = 5 \sin(\frac{11}{10}t)
\end{cases}
$$
en voor $Q$:
$$
\begin{cases}
x(t) = 5 \cos(t + \frac{2}{3}\pi) \\
y(t) = 5 \sin(t + \frac{2}{3}\pi)
\end{cases}
$$
Hierbij is $t$ in seconden en zijn $x(t)$ en $y(t)$ in centimeters.
In figuur 4 staat de beginsituatie op schaal getekend. Deze figuur is ook op ware grootte afgedrukt op de uitwerkbijlage.
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O en straal 5 op de x-y-assen. Punt Q bevindt zich in het eerste kwadrant, op de cirkel. Een lijnstuk van O naar Q is getekend. Punt P bevindt zich op de positieve x-as, op de cirkel.]
figuur 4
4p 17 $\square$ Tijdens de beweging wordt $Q$ telkens door $P$ ingehaald.
Bereken na hoeveel seconden $Q$ voor het eerst door $P$ wordt ingehaald.
3p 18 $\square$ Op een bepaald tijdstip heeft $P$ over de cirkel een afstand van 20 cm afgelegd.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats van $P$ op dit tijdstip. Licht je werkwijze toe.
Het punt $M$ is het midden van lijnstuk $PQ$. De coördinaten van $M$ zijn $(\frac{x_P+x_Q}{2}, \frac{y_P+y_Q}{2})$.
5p 19 $\square$ De bewegingsvergelijkingen van $M$ zijn van de vorm
$$
\begin{cases}
x(t) = \varphi(t) \cdot \cos(at+b) \\
y(t) = \varphi(t) \cdot \sin(at+b)
\end{cases}
$$
Geef een formule voor $\varphi$ uitgedrukt in $t$. Licht je antwoord toe.
Einde
500048-2-16o 5

### Pagina 4

Maximumsnelheid

De snelheidsmeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat de werkelijke snelheid is
waarmee de auto rijdt. Voor een bepaald type snelheidsmeter geldt het volgende: als de
snelheidsmeter een snelheid van $v$ km/u aangeeft, is de waarde van de werkelijke snelheid
normaal verdeeld, waarbij de gemiddelde gelijk is aan $v$ en de standaardafwijking gelijk is
aan $1,5%$ van dat gemiddelde.
Bij snelheidscontroles wordt een marge aangehouden van $3%$. Dus bijvoorbeeld bij een
maximumsnelheid van $100$ km/u wordt er beboet bij snelheden van $103$ km/u en hoger.

Van een auto is de snelheidsmeter van bovenstaand type. De bestuurder rijdt volgens de
meter steeds met precies de toegestane maximumsnelheid.

Stel dat de toegestane maximumsnelheid $70$ km/u is. De kans dat de werkelijke snelheid van
de bestuurder zo groot is dat hij voor een boete in aanmerking komt, is dan, afgerond op
drie decimalen, gelijk aan $0,023$.
4p 12 $\Box$ Toon dit aan.

De kans dat hij in aanmerking komt voor een boete is voor elke toegestane
maximumsnelheid even groot.
4p 13 $\Box$ Toon dit aan.

De bestuurder passeert in een jaar $200$ keer een elektronisch bord dat waarschuwt wanneer
men te hard rijdt, dat wil zeggen wanneer men de boetegrens overschrijdt. De kans dat de
bestuurder voor een boete in aanmerking komt, is telkens $0,023$.
4p 14 $\Box$ Bereken de kans dat de bestuurder van die $200$ keer meer dan $2$ keer gewaarschuwd wordt.

Exponentiële functie

Gegeven is de functie $f(x) = e^{-x}$. Op de grafiek van $f$ liggen de punten $A$ en $B$ met
$x$-coördinaten $x_A = 0$ en $x_B = 1$. Zie figuur 3.
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en de x-as. De y-as heeft een punt A op y=1. De x-as heeft een punt met waarde 1. Een gebogen lijn, de grafiek van f(x)=e^-x, loopt van A naar rechts beneden en passeert punt B.]
figuur 3

6p 15 $\Box$ Het vlakdeel begrensd door het lijnstuk $AB$ en de grafiek van $f$ noemen we $V$.
Bereken de oppervlakte van $V$.

Op de grafiek van $f$ ligt een punt $C$ waarin de raaklijn aan de grafiek van $f$ evenwijdig is aan
het lijnstuk $AB$.
5p 16 $\Box$ Bereken de $x$-coördinaat van $C$. Rond af op twee decimalen.

500048-2-16o
4
Lees verder

### Pagina 4

wiskunde B1
Uitwerkbijlage bij vraag 18
Examen VWO 2005
Examenummer
Tijdvak 2
Woensdag 22 juni
Naam
13.30 – 16.30 uur

Vraag 18

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O(0,0) en straal 1, met de x- en y-as. Punt P ligt op de x-as bij (1,0). Punt Q ligt in het tweede kwadrant, verbonden met O met een lijnstuk.]

500048-2-16u

### Pagina 5

Achtervolging
Op tijdstip $t = 0$ beginnen de punten $P$ en $Q$ met een eenparige cirkelbeweging.
De bewegingsvergelijkingen zijn
voor $P$:
$$
\begin{cases}
x(t) = 5 \cos(\frac{11}{10}t) \\
y(t) = 5 \sin(\frac{11}{10}t)
\end{cases}
$$
en voor $Q$:
$$
\begin{cases}
x(t) = 5 \cos(t + \frac{2}{3}\pi) \\
y(t) = 5 \sin(t + \frac{2}{3}\pi)
\end{cases}
$$
Hierbij is $t$ in seconden en zijn $x(t)$ en $y(t)$ in centimeters.
In figuur 4 staat de beginsituatie op schaal getekend. Deze figuur is ook op ware grootte afgedrukt op de uitwerkbijlage.
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O en straal 5 op de x-y-assen. Punt Q bevindt zich in het eerste kwadrant, op de cirkel. Een lijnstuk van O naar Q is getekend. Punt P bevindt zich op de positieve x-as, op de cirkel.]
figuur 4
4p 17 $\square$ Tijdens de beweging wordt $Q$ telkens door $P$ ingehaald.
Bereken na hoeveel seconden $Q$ voor het eerst door $P$ wordt ingehaald.
3p 18 $\square$ Op een bepaald tijdstip heeft $P$ over de cirkel een afstand van 20 cm afgelegd.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats van $P$ op dit tijdstip. Licht je werkwijze toe.
Het punt $M$ is het midden van lijnstuk $PQ$. De coördinaten van $M$ zijn $(\frac{x_P+x_Q}{2}, \frac{y_P+y_Q}{2})$.
5p 19 $\square$ De bewegingsvergelijkingen van $M$ zijn van de vorm
$$
\begin{cases}
x(t) = \varphi(t) \cdot \cos(at+b) \\
y(t) = \varphi(t) \cdot \sin(at+b)
\end{cases}
$$
Geef een formule voor $\varphi$ uitgedrukt in $t$. Licht je antwoord toe.
Einde
500048-2-16o 5

### Pagina 5

Correctievoorschrift VWO
wiskunde B1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs

20 05
Tijdvak 2

Het correctievoorschrift bestaat uit:
1 Regels voor de beoordeling
2 Algemene regels
3 Vakspecifieke regels
4 Beoordelingsmodel

1 Regels voor de beoordeling

Het werk van de kandidaat wordt beoordeeld met inachtneming van de artikelen 41 en 42
van het Eindexamenbesluit v.w.o.-h.a.v.o.-m.a.v.o.-v.b.o. Voorts heeft de CEVO op grond
van artikel 39 van dit Besluit de Regeling beoordeling centraal examen vastgesteld (CEVO-
02-806 van 17 juni 2002 en bekendgemaakt in Uitleg Gele katern nr. 18 van 31 juli 2002).

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het
Eindexamenbesluit van belang:

1 De directeur doet het gemaakte werk met een exemplaar van de opgaven, de
beoordelingsnormen en het proces-verbaal van het examen toekomen aan de examinator.
Deze kijkt het werk na en past de beoordelingsnormen en het proces-verbaal van de
opgaven van de directeur toe die zijn gegeven door de CEVO.
2 De directeur doet de van de examinator ontvangen stukken met een exemplaar van de
opgaven, de beoordelingsnormen, het proces-verbaal en de regels voor het bepalen van de
score onverwijld aan de gecommitteerde toekomen.
3 De gecommitteerde beoordeelt het werk zo spoedig mogelijk en past de
beoordelingsnormen en de regels voor het bepalen van de score toe die zijn gegeven door de
CEVO.
4 De examinator en de gecommitteerde stellen in onderling overleg het aantal scorepunten
voor het centraal examen vast.
5 Komen zij daarbij niet tot overeenstemming dan wordt het aantal scorepunten bepaald op
het rekenkundig gemiddelde van het door ieder van hen voorgestelde aantal scorepunten, zo
nodig naar boven afgerond.

2 Algemene regels

Voor de beoordeling van het examenwerk zijn de volgende bepalingen uit de CEVO-
regeling van toepassing:

1 De examinator vermeldt op een lijst de namen en/of nummers van de kandidaten, het aan
iedere kandidaat voor iedere vraag toegekende aantal scorepunten en het totaal aantal
scorepunten van iedere kandidaat.

2 Voor het antwoord op een vraag worden door de examinator en door de gecommitteerde
scorepunten toegekend, in overeenstemming met het beoordelingsmodel.
Scorepunten zijn de getallen 0, 1, 2, ..., n, waarbij n het maximaal te behalen
scorepunten voor een vraag is. Andere scorepunten die geen gehele getallen zijn, of een
score minder dan 0 zijn niet geoorloofd.

500048-2-16c
1 Lees verder


### Pagina 6

3 Scorepunten worden toegekend met inachtneming van de volgende regels:
3.1 indien een vraag volledig juist is beantwoord, wordt het maximaal te behalen scorepunten toegekend;
3.2 indien een vraag gedeeltelijk juist is beantwoord, wordt een deel van de te behalen scorepunten toegekend in overeenstemming met het beoordelingsmodel;
3.3 indien een antwoord op een open vraag niet in het beoordelingsmodel voorkomt en dit antwoord op grond van aantoonbare, vakinhoudelijke argumenten als juist of gedeeltelijk juist aangemerkt kan worden, moeten scorepunten worden toegekend naar analogie of in de geest van het beoordelingsmodel;
3.4 indien slechts één voorbeeld, reden, uitwerking, citaat of andersoortig antwoord gevraagd wordt, wordt uitsluitend het eerstgegeven antwoord beoordeeld;
3.5 indien meer dan één voorbeeld, reden, uitwerking, citaat of andersoortig antwoord gevraagd wordt, worden uitsluitend de eerstgegeven antwoorden beoordeeld, tot maximaal het gevraagde aantal;
3.6 indien in een antwoord een gevraagde verklaring of uitleg of afleiding of berekening ontbreekt dan wel foutief is, worden 0 scorepunten toegekend, tenzij in het beoordelingsmodel anders is aangegeven;
3.7 indien in het beoordelingsmodel verschillende mogelijkheden zijn opgenomen, gescheiden door het teken /, gelden deze mogelijkheden als verschillende formuleringen van hetzelfde antwoord of gedeeltelijk van dat antwoord;
3.8 indien in het beoordelingsmodel een gedeelte van het antwoord tussen haakjes staat, behoeft dit gedeelte niet in het antwoord van de kandidaat voor te komen.

4 Een fout mag in de uitwerking van een vraag maar één keer worden aangerekend, tenzij daardoor de vraag aanzienlijk vereenvoudigd wordt en/of tenzij in het beoordelingsmodel anders is vermeld.

5 Een zelfde fout in de beantwoording van verschillende vragen moet steeds opnieuw worden aangerekend, tenzij in het beoordelingsmodel anders is vermeld.

6 Indien de examinator of de gecommitteerde meent dat in een examen of het beoordelingsmodel bij dat examen een fout of onvolkomenheid zit, beoordeelt hij het werk van de kandidaten alsof het examen en beoordelingsmodel juist zijn.
Hij kan de fout of onvolkomenheid mededelen aan de CEVO. Het is niet toegestaan zelfstandig af te wijken van het beoordelingsmodel. Met een eventuele fout wordt bij de definitieve normering van het examen rekening gehouden.

7 Scorepunten worden toegekend op grond van het door de kandidaat gegeven antwoord op iedere vraag. Er worden geen scorepunten vooraf gegeven.

8 Het cijfer voor het centraal examen wordt als volgt verkregen.
Eerste en tweede corrector stellen de score voor iedere kandidaat vast. Deze score wordt meegedeeld aan de directeur.
De directeur stelt het cijfer voor het centraal examen vast op basis van de regels voor omzetting van score naar cijfer.
N.B.: Het aangeven van de onvolkomenheden op het werk en/of het noteren van de behaalde scores bij de vraag is toegestaan, maar niet verplicht.

3 Vakspecifieke regels

Voor het examen wiskunde B1 VWO kunnen maximaal 86 scorepunten worden behaald.

Voor dit examen zijn verder de volgende vakspecifieke regels vastgesteld:

1 Voor elke rekenfout of verschrijving in de berekening wordt één punt afgetrokken tot het maximum van het aantal punten dat voor dat deel van die vraag kan worden gegeven.

2 De algemene regel 3.6 geldt ook bij de vragen waarbij de kandidaten de Grafische rekenmachine (GR) gebruiken. Bij de betreffende vragen doen de kandidaten er verslag van hoe zij de GR gebruiken.

5000

### Pagina 7

4 Beoordelingsmodel

Antwoorden Deel- scores

Twee benaderingen van sin x

Maximumscore 3
1 [ ] • De coördinaten van O, A en T zijn respectievelijk (0, 0), (π, 0) en ($\frac{\pi}{2}$, 1)
1
• $g(0) = 0$ en $g(\pi) = 0$ (dus de grafiek van g gaat door O en A)
1
• $g(\frac{\pi}{2}) = \frac{-4}{\pi^2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 1$ (dus de grafiek van g gaat door T)
1

Maximumscore 5
2 [ ] • $f'(x) = \cos x$
1
• $g'(x) = \frac{-8}{\pi^2}x + \frac{4}{\pi}$
2
• $f'(0) = 1$ en $g'(0) = \frac{4}{\pi}$
1
• $\frac{4}{\pi} > 1$, dus in O is de helling van de grafiek van g groter dan de helling van de grafiek van f
1

Maximumscore 7
3 [ ] $\int_{0}^{\pi} (ax^2 - a\pi x - \sin x)dx = 0$
1
• Een primitieve van $ax^2 - a\pi x$ is $\frac{1}{3}ax^3 - \frac{1}{2}a\pi x^2$
2
• Een primitieve van $\sin x$ is $-\cos x$
1
• $\frac{1}{3}a\pi^3 - \frac{1}{2}a\pi^3 - [- \cos \pi] = 0$
1
• $a = \frac{-12}{\pi^3}$

Eén, twee of drie keer testen

Maximumscore 4
4 [ ] • De kans dat een persoon twee testen aflegt, is 0,7 · 0,3
1
• De kans dat een persoon drie testen aflegt, is 0,7 · 0,7
1
• E(X) = 0,3 · 1 + 0,7 · 0,3 · 2 + 0,7 · 0,7 · 3 = 2,19 waarbij X het aantal testen per persoon is
2

Maximumscore 4
5 [ ] • De verwachte kosten per persoon zijn 100 + 2,19 · 50 = 209,5 euro
1
• 10000 : 209,5 $\approx$ 47,7 dus 47 personen
2

Maximumscore 5
6 [ ] • De kans dat een persoon na 3 keer nog geen succes heeft is 0,7$^3$ = 0,343
2
• Het aantal personen X dat na 3 keer nog geen succes heeft, is binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,343
2
• P(X > 5) = 1 - P(X $\leq$ 5)
1
• beschrijven hoe met de GR deze kans berekend kan worden
1
• het antwoord 0,09
1
500048-2-16c 3 Lees verder


### Pagina 8

Antwoorden Deel- scores

Reistijd

Maximumscore 3
7 $\square$ • De snelheid is op de heenreis 20 + v km/u en op de terugreis 20 − v km/u 1
• De heenreis duurt $\frac{10}{20+v}$ uur en de terugreis $\frac{10}{20-v}$ uur 1
• Deze twee opgeteld geeft de totale reistijd 1

Maximumscore 3
8 $\square$ • Gezocht wordt de oplossing van de vergelijking $\frac{10}{20+v} + \frac{10}{20-v} = 2$ 1
• beschrijven hoe deze vergelijking met de GR opgelost kan worden 1
• het antwoord 14,14 (km/u) 1

Maximumscore 6
9 $\square$ • Er moet gelden dat $T(v) > 0$ voor alle waarden van $v$ 1
• $T'(v) = \frac{-10}{(20+v)^2} - \frac{-10}{(20-v)^2}$ 2
• Wegens $(0<) 20-v < 20+v$ geldt: $\frac{10}{(20-v)^2} > \frac{10}{(20+v)^2}$ 2
• de conclusie
of
• Er moet gelden dat $T'(v) > 0$ voor alle waarden van $v$ 1
• $T'(v) = \frac{-10}{(20+v)^2} - \frac{-10}{(20-v)^2} = \frac{800v}{(20+v)^2 (20-v)^2}$ 2
• de conclusie 1

Maximumscore 5
10 $\square$ • Er moet worden berekend: $\frac{1}{101} \cdot (T(0) + T(0,1) + T(0,2) + \dots + T(10))$ 2
• beschrijven hoe met de GR deze berekening uitgevoerd kan worden 1
• $\frac{1}{101} \cdot (T(0) + T(0,1) + T(0,2) + \dots + T(10)) \approx 1,099$ uur 1
• het antwoord 66 minuten 1

Maximumscore 6
11 $\square$ • Het gemiddelde is $\frac{1}{10} \int_{0}^{10} (\frac{10}{20+v} + \frac{10}{20-v}) dv$ 2
• Een primitieve van $T$ is $10 \ln(20+v) - 10 \ln(20-v)$ 2
• $\int_{0}^{10} (\frac{10}{20+v} + \frac{10}{20-v}) dv = \frac{1}{10} (10\ln 30 - 10\ln 10 - 0)$ 1
• de herleiding van $\frac{1}{10}(10\ln 30 - 10\ln 10 - 0)$ tot $\ln 3$ 1

500048-2-16c 4 Lees verder

### Pagina 9

Antwoorden Deel- scores

Maximumsnelheid
Maximumscore 4
12 $\Box$ • De werkelijke snelheid X is normaal verdeeld met $\mu = 70$ en $\sigma = 70 \cdot 0,015$ 1
• De gevraagde kans is P(X $\geq$ 70 · 1,03 | $\mu = 70$ en $\sigma = 70 \cdot 0,015)$ 1
• beschrijven hoe met de GR deze kans berekend kan worden 1
• Afgerond op drie decimalen is dit inderdaad gelijk aan 0,023 1

Maximumscore 4
13 $\Box$ • $\mu = \nu$ geeft $\sigma = 0,015\nu$ 1
• de ondergrens 1,03$\nu$ 1
• $z = \frac{1,03\nu - \nu}{0,015\nu} (=2)$ is onafhankelijk van $\nu$ 1
• De gevraagde kans P(X $\geq 1,03\nu | \mu = \nu$ en $\sigma = 0,015\nu)$ is dus ook onafhankelijk van $\nu$ 1

Opmerking
Als de bedoelde kans voor een aantal waarden van de maximumsnelheden berekend is, ten
hoogste 2 punten toekennen voor deze vraag.

Maximumscore 4
14 $\Box$ • Het aantal keren X dat hij gewaarschuwd wordt, is binomiaal verdeeld met $n = 200$ en
$p = 0,023$ 1
• P(X > 2) = 1 – P(X $\leq$ 2) 1
• beschrijven hoe met de GR deze kans berekend kan worden 1
• het antwoord 0,84 1

Exponentiële functie
Maximumscore 6
15 $\Box$ • De oppervlakte van (het trapezium) $OABB'$, met $B'(1, 0)$, is $\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{e})$ (of ongeveer 0,6839) 2
• De oppervlakte onder de grafiek van $f$ is $\int_{0}^{1} e^{-x} dx$ 1
• beschrijven hoe deze integraal (middels een primitieve of met de GR) berekend kan worden 1
• het antwoord $1 - \frac{1}{e}$ (of ongeveer 0,6321) 1
• De oppervlakte van V is $\frac{3}{2e} - \frac{1}{2}$ (of ongeveer 0,05) 1
of
• Een vergelijking van de lijn AB is $y = 1 - (1 - e^{-1})x$ 2
• De oppervlakte van V is gelijk aan $\int_{0}^{1} (1 - (1 - e^{-1})x - f(x)) dx$ 2
• beschrijven hoe deze integraal (middels een primitieve of met de GR) berekend kan worden 1
• het antwoord $\frac{3}{2e} - \frac{1}{2}$ (of ongeveer 0,05) 1
500048-2-16c 5 Lees verder

### Pagina 10

Antwoorden
Deel-
scores
Maximumscore 5
16 □ • $f'(x) = -e^{-x}$ 1
• De richtingscoëfficiënt van lijn $AB$ is $\frac{1}{e} - 1$ 1
• Gezocht wordt de oplossing van de vergelijking $-e^{-x} = \frac{1}{e} - 1$ 1
• beschrijven hoe deze vergelijking algebraïsch of met de GR opgelost kan worden 1
• $x \approx 0,46$ 1
Achtervolging
Maximumscore 4
17 □ • $P$ en $Q$ vallen voor het eerst samen als $\frac{11}{10}t = t + \frac{2}{3}\pi$ 2
• het antwoord: na ongeveer 21 seconden 2
of
• $P$ moet $\frac{2}{3}\pi$ rad inhalen 1
• $P$ loopt per seconde $\frac{1}{10}$ rad in op $Q$ 2
• Dus $P$ haalt $Q$ voor het eerst in na $\frac{\frac{2}{3}\pi}{\frac{1}{10}} \approx 21$ seconden 1
Maximumscore 3
18 □ • De omtrek van de cirkel is $10\pi$ cm 1
• $OP$ is over $229^{\circ}$ gedraaid 1
• de tekening van $P$ 1
of
• Als $P$ 20 cm heeft afgelegd, geldt $t = \frac{40}{11}$ 1
• de berekening van de coördinaten van $P$ 1
• de tekening van $P$ 1
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O en assenstelsel. Punten P en Q zijn aangegeven op de cirkel, met een lijnstuk tussen O en Q.]
500048-2-16c 6 Lees verder

### Pagina 11

Antwoorden

Maximumscore 5
19 $\Box$ $\frac{x_P(t) + x_Q(t)}{2} = \frac{5\cos(\frac{11}{10}t) + 5\cos(t + \frac{2}{3}\pi)}{2} = 5\cos(\frac{21}{20}t + \frac{1}{3}\pi) \cdot \cos(\frac{1}{20}t - \frac{1}{3}\pi)$ (2p)
$\frac{y_P(t) + y_Q(t)}{2} = \frac{5\sin(\frac{11}{10}t) + 5\sin(t + \frac{2}{3}\pi)}{2} = 5\sin(\frac{21}{20}t + \frac{1}{3}\pi) \cdot \cos(\frac{1}{20}t - \frac{1}{3}\pi)$ (2p)
$\varphi(t) = 5\cos(\frac{1}{20}t - \frac{1}{3}\pi)$ (1p)

inzenden scores
Verwerk de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school in het programma
Wolf of vul de scores in op de optisch leesbare formulieren.
Zend de gegevens uiterlijk op 24 juni naar de Citogroep.

Einde

500048-2-16c
7

### Pagina 12

wiskunde B1,2
Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 05
Tijdvak 2
Woensdag 22 juni
13.30 – 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te
behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 11, 12, 15 en
16 is een uitwerkbijlage bijgevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redene n,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
500048-2-17o
Begin

### Pagina 13

Reistijd
figuur 1
[FIGUUR: Een rivier met daarin een boot die van A naar B vaart en terug. De rivier stroomt van links naar rechts.]
rivier
A B
Een boot vaart op een rivier van A naar B en terug. De afstand tussen A en B is 10 km. De
boot vaart altijd met een snelheid van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt
in de richting van A naar B. Zie figuur 1.
Tijdens de reis van de boot van A naar B en terug is de stroomsnelheid van de rivier
constant. We noemen de stroomsnelheid $v$ (in km/u).
Een voorbeeld: als $v = 5$, dan vaart de boot op de heenreis met een snelheid van 25 km/u ten
opzichte van de oever en op de terugreis met een snelheid van 15 km/u ten opzichte van de
oever.
De totale reistijd $T$ van een retourtocht wordt gegeven door:
$$T = \frac{10}{20+v} + \frac{10}{20-v}$$
Hierbij is $T$ in uren en $v$ in km/u met $0 < v < 20$.

3p 1 Toon aan dat deze formule juist is.
3p 2 Bereken bij welke waarde van $v$ de totale reistijd van een retourttocht 2 uur is. Geef je
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Als de stroomsnelheid van de rivier groter wordt, neemt de totale reistijd van een
retourttocht toe.
6p 3 Toon dit aan met behulp van de formule van de afgeleide functie van $T$.
Veronderstel dat $v$ varieert tussen 0 en 10 km/u en dat alle waarden van 0 tot en met 10
even vaak voorkomen. De gemiddelde reistijd kun je dan benaderen door $T$ uit te rekenen
voor $v=0, v=\frac{1}{10}, v=\frac{2}{10}$, enzovoort tot en met $v=10$ en van de reistijden het
gemiddelde te nemen.
5p 4 Bereken de gemiddelde reistijd met deze benaderingswijze; geef je antwoord in minuten
nauwkeurig.
Je kunt de gemiddelde reistijd ook uitrekenen met een integraal.
6p 5 Toon langs algebraïsche weg aan dat de gemiddelde reistijd gelijk is aan $\ln 3$ uur.
500048-2-17o 2 Lees verder

### Pagina 14

Maximumsnelheid

De snelheidsmeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat de werkelijke snelheid is waarmee de auto rijdt. Voor een bepaald type snelheidsmeter geldt het volgende: als de snelheidsmeter een werkelijke snelheid van $v$ km/u aangeeft, is de waarde van de werkelijke snelheid normaal verdeeld, waarbij de gemiddelde gelijk is aan $v$ en de standaardafwijking gelijk is aan 1,5% van dat gemiddelde.

Bij snelheidscontroles wordt een marge aangehouden van 3%. Dus bijvoorbeeld bij een maximumsnelheid van 100 km/u wordt er beboet bij snelheden van 103 km/u en hoger.

Van een auto is de snelheidsmeter van bovenstaand type. De bestuurder rijdt volgens de meter steeds met precies de toegestane maximumsnelheid.

4p 6 $\Box$ Stel dat de toegestane maximumsnelheid 70 km/u is. De kans dat de werkelijke snelheid van de bestuurder zo groot is dat hij voor een boete in aanmerking komt, is dan, afgerond op drie decimalen, gelijk aan 0,023. Toon dit aan.

4p 7 $\Box$ De kans dat hij in aanmerking komt voor een boete is voor elke toegestane maximumsnelheid even groot. Toon dit aan.

4p 8 $\Box$ De bestuurder passeert in een jaar 200 keer een elektronisch bord dat waarschuwt wanneer men te hard rijdt, dat wil zeggen wanneer men de boetegrens overschrijdt. De kans dat de bestuurder voor een boete in aanmerking komt, is telkens 0,023. Bereken de kans dat de bestuurder van die 200 keer meer dan 2 keer gewaarschuwd wordt.

500048-2-17o 3 Lees verder


### Pagina 15

Achtervolging
Op tijdstip $t=0$ beginnen de punten $P$ en $Q$ met een eenparige cirkelbeweging.
De bewegingsvergelijkingen zijn
voor $P$: ${ \begin{array}{l} x(t) = 5\cos(\frac{11}{10}t) \\ y(t) = 5\sin(\frac{11}{10}t) \end{array}$ en voor $Q$: ${ \begin{array}{l} x(t) = 5\cos(t+\frac{2}{3}\pi) \\ y(t) = 5\sin(t+\frac{2}{3}\pi) \end{array}$
Hierbij is $t$ in seconden. In figuur 2 staat de beginsituatie getekend.
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O en assen x en y. Een punt Q op de cirkel aan het einde van een vector naar links-boven. Een punt P op de cirkel op de positieve x-as. Een lijnstuk van O naar Q. Een lijnstuk van O naar P met een hoek 1 erbij.]
4p 9 Bereken na hoeveel seconden $Q$ voor het eerst door $P$ wordt ingehaald.
Het punt $M$ is het midden van lijnstuk $PQ$. De coördinaten van $M$ zijn $( \frac{x_P+x_Q}{2}, \frac{y_P+y_Q}{2} )$.
De bewegingsvergelijkingen van $M$ zijn van de vorm ${ \begin{array}{l} x(t) = \varphi(t) \cdot \cos(at+b) \\ y(t) = \varphi(t) \cdot \sin(at+b) \end{array}$
5p 10 Geef een formule voor $\varphi$ uitgedrukt in $t$. Licht je antwoord toe.
500048-2-17o 4 Lees verder

### Pagina 16

Snijpunten met een ellips

In figuur 3 en op de uitwerkbijlage is een cirkel $c$ getekend met middelpunt $M$ en een middellijn $AB$.
Punt $F$ is een punt binnen de cirkel $c$.
De snijpunten van cirkel $c$ en punt $F$ is een ellips $e$.

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M en diameter AB. Een punt F is binnen de cirkel getekend.]

4p 11 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de snijpunten van deze ellips $e$ en lijn $AB$. Licht je werkwijze toe.

In figuur 4 en op de uitwerkbijlage is cirkel $c$ nogmaals getekend met $M$ en $F$ en ellips $e$.
Verder is een willekeurige middellijn $XY$ getekend.
De snijpunten van de ellips $e$ en de lijn $XY$ zijn $P$ en $Q$.

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M en een ellips e binnen de cirkel. Een lijn XY snijdt de ellips in P en Q. Een punt F is binnen de ellips getekend.]

$\angle PFQ$ noemen we $\alpha$ en $\angle XFY$ noemen we $\beta$.
Tussen $\alpha$ en $\beta$ bestaat het volgende verband: $\beta = \frac{1}{2}\alpha + 90^\circ$.

5p 12 Bewijs dit.

500048-2-17o 5 Lees verder


### Pagina 17

Exponentiële functie
Gegeven is de functie $f(x) = e^{-x}$. Op de grafiek van f liggen de punten A en B met x-coördinaten $x_A = 0$ en $x_B = 1$.

Op de grafiek van f ligt een punt C waarin de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan het lijnstuk AB.
5p 13 Bereken de x-coördinaat van C. Rond af op twee decimalen.

De lijn $x = a$ snijdt de x-as in P en de grafiek van f in R, de lijn $x = a + 1$ snijdt de x-as in Q en de grafiek van f in S. Het gebied begrensd door de grafiek van f en de lijnstukken PS, PQ en QR noemen we W. Het trapezium PQRS noemen we V. Zie figuur 5.

[FIGUUR: Een grafiek van een dalende exponentiële functie. De x-as is getekend met de punten P en Q met x-coördinaten respectievelijk a en a+1. De y-as is getekend met de punten met x-coördinaten a en a+1. Op de x-as ligt het punt P met coördinaat (a,0) en het punt Q met coördinaat (a+1,0). De grafiek van f snijdt de lijn x=a in punt S en de lijn x=a+1 in punt R. De lijn PR is getekend, evenals de lijn PS en QR. PQRS vormt een trapezium.]

7p 14 Toon aan dat de verhouding $\frac{\text{oppervlakte van } W}{\text{oppervlakte van } V}$ onafhankelijk is van a.

500048-2-17o 6 Lees verder

### Pagina 18

Vijf punten op een cirkel

Gegeven zijn de cirkels $c_1$ en $c_2$ met middelpunt-en $M_1$ en $M_2$ en stralen $r_1$ en $r_2$. Cirkel $c_1$ is groter dan cirkel $c_2$. Cirkel $c_2$ ligt geheel buiten cirkel $c_1$. Het verbindingslijnstuk $M_1 M_2$ snijdt $c_1$ in punt $A$ en $c_2$ in punt $B$. Zie figuur 6. De lengte van lijnstuk $AB$ is gelijk aan $d$. In figuur 6 is ook nog een derde cirkel $c_3$ getekend, met middelpunt $D$ en straal $d$.

[FIGUUR: Twee cirkels $c_1$ en $c_2$ liggen naast elkaar met middelpunt-en $M_1$ en $M_2$. De middelpunten liggen op een horizontale lijn. Cirkel $c_1$ is groter dan $c_2$. Cirkel $c_2$ raakt $c_1$ niet. Op de horizontale lijn, tussen $M_1$ en $M_2$, liggen de punten $A$ en $B$. $A$ ligt op $c_1$ en $B$ ligt op $c_2$. De afstand tussen $A$ en $B$ is $d$. Er is een derde cirkel $c_3$ getekend die groter is dan $c_2$ en raakt aan $c_1$ in punt $E$ en aan $c_2$ in punt $C$. Het middelpunt van $c_3$ is $D$ en de straal is $d$.]

figuur 6

We plaatsen $c_3$ zo, dat hij $c_1$ en $c_2$ raakt. De raakpunten noemen we $E$ en $C$. Dan ligt het punt $E$ op $M_1 D$ en het punt $C$ op $M_2 D$. Zie figuur 7. Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Drie cirkels $c_1$, $c_2$ en $c_3$. Cirkel $c_1$ is de grootste, $c_2$ de kleinste en $c_3$ de middelste. $M_1$ is het middelpunt van $c_1$, $M_2$ van $c_2$ en $D$ van $c_3$. De middelpunten $M_1$, $A$, $B$, $M_2$ liggen op een horizontale lijn. Punt $A$ ligt op $c_1$, $B$ ligt op $c_2$. De afstand $AB$ is $d$. Cirkel $c_2$ ligt aan de rechterkant van $c_1$. Cirkel $c_3$ raakt $c_1$ in punt $E$ en $c_2$ in punt $C$. Punt $E$ ligt op de lijn $M_1 D$. Punt $C$ ligt op de lijn $M_2 D$. De straal van $c_3$ is $d$.]

figuur 7

6p 15 Vierhoek $ABDE$ is een koordenvierhoek.
4p 16 Toon dit aan.
4p 16 Bewijs dat de vijf punten $A, B, C, D$ en $E$ op één cirkel liggen.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

500048-2-17o 7 Lees verder


### Pagina 19

Periodieke rijen
Een rij $u_0, u_1, u_2, \ldots$ noemen we periodiek met periode $p$ als $p$ het kleinste positieve gehele getal is waarbij voor alle waarden van $n$ geldt dat $u_{n+p} = u_n$.
Een voorbeeld van een periodieke rij met periode 4 is de rij $1, 5, 16, 12, 1, 5, 16, 12, \ldots$.

Gegeven is een rij $u_0, u_1, u_2, \ldots$ waarvoor geldt:
$$
\begin{cases}
u_0 = 3 \\
u_1 = 7 \\
u_{n+2} = \frac{5}{u_n \cdot u_{n+1}} \quad (n=0, 1, 2, 3, \ldots)
\end{cases}
$$

5p 17 $\Box$ Bereken $u_{2005}$.

We nemen in de bovengenoemde rij in plaats van 3 en 7 de startwaarden $a$ en $b$. Dus $u_0 = a$ en $u_1 = b$.
4p 18 $\Box$ Bereken exact voor welke waarde van $a$ en welke waarde van $b$ de rij periode 1 heeft.

We kiezen weer $u_0 = 3$ en $u_1 = 7$.
We definiëren een rij bij de rij $u_0, u_1, u_2, \ldots$ horende productrij $P_0, P_1, P_2, \ldots$ als volgt:
$$
\begin{cases}
P_0 = u_0 \\
P_1 = u_0 \cdot u_1 \\
P_2 = u_0 \cdot u_1 \cdot u_2 \\
\ldots \\
P_n = u_0 \cdot u_1 \cdot \ldots \cdot u_n \quad (n=0, 1, 2, 3, \ldots)
\end{cases}
$$
4p 19 $\Box$ Toon aan dat $P_{3k+1} = 21 \cdot 5^k$, voor elke positieve gehele waarde van $k$.

Einde

500048-2-17o 8